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IAE Poutres planes
Saber EL AREM
Centre des MatériauxMINES ParisTech
Plan
Rappel
Rappel
Théorème de Castigliano
Flambement d’une poutre élastique
Poutres composites
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 2 / 32
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Rappel
Rappel
Théorème de Castigliano
Flambement d’une poutre élastique
Poutres composites
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Rappel
Rappel
Théorème de Castigliano
Flambement d’une poutre élastique
Poutres composites
Rappel
RappelPour permettre de préciser les relations entre les déformations etcontraintes locales et les quantités résultantes au niveau d’unesection, il est nécessaire d’adopter des hypothèses sur lacinématique des sections lors d’une transformation de la poutre.
On focalise l’attention sur les changements de géométrielongitudinaux. Ainsi on s’interesse pas aux éventuelles variationsde géométrie des sections droites. L’objet d’étude (solide élancé)
est considéré comme une ligne moyenne déformable à chaquepoint de laquelle est attachée une section droite rigide.
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Rappel
Récapitulatif pour les poutres de TimoshenkoLes lois de comportement globales de la structure s’écrivent
N = ESU,1 T = µS(θ+V,1) M = EIθ,1
On rappelle les équations d’équilibre :
N,1 + t = 0 T,1 +p = 0 M,1−T = 0
et les conditions aux limites
N(0) =−F0 N(L) = FL T (0) =−P0 T (L) = PL
M(0) =−M0 M(L) = ML
Il vient : T ,1 = µS(θ,1 +V,11) =−p
M,1 = T = EIθ,11 = µS(θ+V,1)
on obtient EIθ,111 =−p permettant de calculer θ.
Ensuite la flèche est déduite par : T ,1 = µS(θ,1 +V,11) =−p
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Rappel
Récapitulatif pour les poutres de Navier BernoulliOn rappelle les équations d’équilibre :
N,1 + t = 0 T,1 +p = 0 M,1−T = 0
et les conditions aux limites
N(0) =−F0 N(L) = FL T (0) =−P0 T (L) = PL
M(0) =−M0 M(L) = ML
Les lois de comportement globales de la structure s’écrivent
N = ESU,1 M = EIθ,1 = EIV,11 (T = M,1 = EIV,111)
Il vient : T ,1 = EIV,1111 =−p
La flèche est obtenue comme solution d’un problème d’ordre 4 par rapport auxefforts appliqués ; elle est d’ordre 2 pour un moment constant :
V,1111 =−pEI
La rotation de la section est déduite par :
θ =−V,1
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Rappel
Rappel
Théorème de Castigliano
Flambement d’une poutre élastique
Poutres composites
Théorème de Castigliano
Théorème de Castigliano
Matériaux élastique linéaireLe matériaux constituant la structure étudiée ayant uncomportement élastique linéaire, l’énergie apportée par l’extérieursert intégralement à déformer le solide, de manière réversible.
EnoncéLe théorème de Castigliano permet de calculer de déplacement ∆idans le sens et au point où s’applique un effort Fi , par la relation :
∆i =∂W∂Fi
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Théorème de Castigliano
Théorème de Castigliano
Théorème de la charge fictive
Si, à l’endroit où l’on désire calculer le déplacement ∆, il n’y a pas d’effortappliqué, on fera intervenir un effort fictif X , au point et dans la direction de ∆.
L’expression de ∆ sera obtenue en appliquant sur X le théorème de Castigliano :
∆ =(
∂W (P,X)∂X
)X=0
P désigne l’ensemble des efforts extérieurs appliqués à la structureX désigne l’effort fictif
Généralisation : Théorème de Muller-BreslauLe travail d’un effort unitaire appliqué à une structure chargée est égal au travaildes efforts internes qu’il développe dans cette structure, dans les déformationsélastiques dues aux charges extérieures :
∆i =R
structure
[MM̄i
EI+
NN̄i
ES+
T T̄i
GS′
]Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 10 / 32
Théorème de Castigliano
IllustrationConsidérons une poutre console soumise, à son extrémité libre (x1 = L), à unmoment concentré ML.
M(x1) = ML; θ(x1) =ML
EIx1; V (x1) =− ML
2EIx2
1
θ(L) = LML
EIainsi V (L) =−L2 ML
2EIL’énergie de déformation élastique (potentiel élastique) s’écrit :
W =Z
structure
M2(x1)2EI
dx1 = LM2
L
2EI
Il vient : θ(L) =∂W∂ML
=−LML
EI
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Théorème de Castigliano
Appliquons une charge fictive F en x1 = L et déterminons V (L) :
W =Z
structure
M2(x1)2EI
dx1 =Z
structure
(ML−F(L− x1))2
2EIdx1 = L
M2L
2EI−L2 MLF
2EI+L3 F 2
6EI
Il vient : V (L) =(
∂W (ML,F)∂F
)F=0
=−L2 ML
2EI
Maintenant appliquons le théorème de Muller-Breslau : F = 1
M̄i(x1) = x1−L
V (L) =Z
structure
MM̄i
EIdx1 =
Zstructure
ML(x1−L)EI
dx1 =−L2 ML
2EI
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Rappel
Théorème de Castigliano
Flambement d’une poutre élastique
Poutres composites
Flambement d’une poutre élastique
Flambement d’une poutre élastique
Le flambement est un phénomène d’instabilité qui apparaît surles poutres longues, les plaques et les coques minces, et quiconduit à des modes de déformation catastrophiques.
Une poutre droite flambe en compression lorsque sa ligneneutre ne reste pas droite.
La charge critique dépend étroitement du module du matériauqui constitue la poutre, de la forme de la section droite, de lalongueur de la poutre, mais aussi des conditions aux limites.
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Flambement d’une poutre élastique
Flambement d’une poutre élastiqueDans un monde parfait, l’état de déformation est de la compression simple, ladéformation axiale est uniforme sur l’ensemble de la poutre, de valeur F/ES. Ilen est tout autrement si on considère que la ligne neutre de la poutre peut nepas rester droite.
EIV,11 +FV = 0 (1)
En posant w2 = F/EI, l’équation sans second membre s’écrit :
V,11 +w2V = 0 (2)
Elle admet donc des solutions de la forme :
V (x1) = Acos(wx1)+B sin(wx1) (3)
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Flambement d’une poutre élastique
Flambement d’une poutre élastique
Si on considère le cas d’une poutre simplement supportée aux deuxextrémités, la flèche doit être nulle aux deux extrémités (x1 = 0 et x1 = l) :
A = 0 B sin(kl) = 0 (4)
Le cas B = 0 correspond à la situation triviale où la flèche reste nulle. Parcontre, si on a kl = nπ, on trouve effectivement la possibilité d’avoir unedéformée non rectiligne. On trouve alors :
V (x1) = B sin(
nπx1
l
)F = n2
π2 EI
l2(5)
La charge critique d’Euler Fc correspond au premier mode (n = 1) :
Fc = π2 EIl2
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Flambement d’une poutre élastique
Flambement d’une poutre élastique
Dans le cas général on écrit la charge critique d’Euler :
Fc = π2 EI(Kl)2
avec :1 K = 1 : Poutre simplement supportée aux deux extrémités2 K = 0.7 : Poutre encastrée-simplement supportée3 K = 0.5 : Poutre encastrée-encastrée4 K = 2 : Poutre encastrée-libre
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Rappel
Théorème de Castigliano
Flambement d’une poutre élastique
Poutres composites
Poutres composites
Poutre sandwich en flexion 3 points
1x
x3P
2l
e
e2h
On considère un sandwich, avec au centre (−h < x3 < h) un matériau à faiblespropriétés mécaniques, de type mousse (caractéristiques élastiques Em et µm), et, de
chaque côté (−h−e < x3 <−h et h < x3 <−h +e) une couche métallique(caractéristiques élastiques Ea et µa).
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Poutres composites
Poutre sandwich : force axiale
On a toujours : N =R
S σ11 dS ; il faut reconstruire une approximation de σ11
La contrainte σ11 est discontinue, et : σ11(x3) = E(x3)ε11
σ11 = E(x3)(U1,1 +θ1,1x3)
N = U,1
ZS
E(x3)dS +θ,1
ZS
E(x3)x3dS
Si E(x3) est une fonction paire en x3, et indépendante de x2 ; la seconde intégrale est nulle
N =< ES > U,1 avec < ES >=Z
SE(x3)dS
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Poutres composites
Poutre sandwich : moment
M =Z
Sx3σ11 dS
σ11 = E(x3)(U1,1 +θ1,1x3)
M = U,1
ZS
x3E(x3)dS +θ,1
ZS
E(x3)x23 dS
E(x3) est une fonction paire en x3, et indépendante de x2 ; la première intégrale est nulle
M =< EI > θ,1 avec < EI >=Z
SE(x3)x2
3 dS
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 21 / 32
Poutres composites
Poutre sandwich : cisaillementLa contrainte σ13 est continue à l’interface. Il y a une incohérence en surface, car la valeurdonnée par la théorie sur une facette de normale parallèle à x1 est non nulle, alors que lasurface x3 est libre... Dans les couches externes, la contrainte σ13 n’est pas égale à 2µε13.
x
x
1
3
σ
σ
σ
13
31
11
= 0
σ 13
x3
T =Z
Sσ13 dS ≈
Z b
0
Z +h
−hσ13dx2dx3 = (V,1 +θ)
Z +h
−h2bµ(x3)dx3
T ≈< µS >+h−h (V,1 +θ)
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Poutres composites
Forme générale des équations pour une poutre composite
Si la distribution des modules n’est pas paire en x3, il y a un couplage entretraction et flexion. On doit écrire :
N
M
T
=
Z
SEidS
ZS
Eix3dS 0ZS
Eix3dSZ
SEix
23 dS 0
0 0Z
SµidS
=
U,1
θ,1
V,1 +θ
(6)
Unités NN.mN
=
N N.m 0N.m N.m2 0
0 0 N
=
−m−1
−
(7)
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Poutres composites
Poutre sandwich en flexion 3 points :flèche max
Les calculs effectués ci-dessus restent valables, à condition d’utiliser les valeurshomogénéisées des produits EI et µS :
v =Pl3
6 < EI >+
Pl2 < µS >
L’aluminium (Ea, µa), est situé entre les cotes ±h et ±(h +e). La mousse (Em, µm)entre les cotes ±h. Il vient donc :
< EI >=23
b(Ea((h +e)3−h3)+Emh3)
< µS >= 2bhµm
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Poutres composites
Poutre sandwich en flexion 3 points
Application numérique :L’ensemble (P =−160 N, l = 250 mm, Ea = 75000 MPa, Em = 20 MPa, νm = 0.3,
b = 100 mm, e = 2 mm, h = 15 mm) conduit à :
< EI >=23×100(75000× (173−153)+20×153) = 7694500000 N.mm2
< µS >= 2×100×15× 202×1.3
= 23077 N
V = (−0.054−0.867) mm
C’est maintenant le terme lié à l’effort tranchant qui est prépondérant. On notel’importance qu’il y a à conserver un matériau qui possède des propriétés non
négligeables comme cœur de la poutre. Ainsi, avec un module d’Young de 0,80 MPaau lieu de 20 MPa, on trouverait une flèche de plus de 22 mm, en ayant donc perdu
tout l’avantage de l’assemblage «sandwich».
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Poutres composites
Finite element computations
Material parameter
Aluminium alloy : Young’s modulus Ea, Poisson’s ratio νa = 0.3
Foam, calcul B : Young’s modulus E f , Poisson’s ratio ν f
Geometry
Foam thickness 2h, Alu thickness = e
Length � Width of the plate = 500 mm � 100 mm
Loading
Force/unit width F = 1.5 N/mm
Aluminium
Foam2he
e
F
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Poutres composites
Mesh and boundary conditions
Aluminium alloy : E = 75 GPa, ν=0.3
Foam, calcul B : E = 0.907 MPa, ν=0.2
Foam, calcul C : E = 20. MPa, ν=0.2
Load = 0.80 N/mm, corresponding to 150 N on a 100 mm plate
A : Half length = 250 mm, Alu width = 4 mm
B and C : Half length = 250 mm, Alu width = 2 times 2 mm, Foam = 30 mm
SYM V1 V2 V3
Force
Bottom
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Poutres composites
Coarse and Fine meshes
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Poutres composites
Deformed shapes
x
y
z
x
y
z
x
y
z
A
B
C
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Poutres composites
Vertical displacement
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
0 50 100 150 200 250 300
U2
(mm
)
< - - - center - - Y - - right support - - - >
Vertical displacement U2 along the bottom line, aluminium sheet
coarse Afine A
bendingshear
total
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 30 / 32
Poutres composites
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0 50 100 150 200 250 300
U2
(mm
)
< - - - center - - Y - - right support - - - >
Vertical displacement U2 along the bottom line, sandwich with 20 MPa core
fine Bbending
sheartotal
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 31 / 32
Poutres composites
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
0 50 100 150 200 250 300
U2
(mm
)
< - - - center - - Y - - right support - - - >
Vertical displacement U2 along the bottom line, sandwich with 0.5 MPa core
fine Bbending
sheartotal
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 32 / 32