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8122019 Ibantildeez Mate Issuu
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MATEMAacuteTICAS IIISEGUNDA EDICIOacuteN
CON
ENFOQUE
POR
COMPETENCIAS
PATRICIA IBAacuteNtildeEZ CARRASGERARDO GARCIacuteA TORRE
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S E M ESTR E
T E R C E R Patricia Ibaacutentildeez arrascoPatricia Ibaacutentildeez Carrasco
Gerardo Garciacutea TorresGerardo Garciacutea Torres
Australia bull Brasil bull Corea bull Espantildea bull Estados Unidos bull Japoacuten bull Meacutexico bull Reino Unido bull Singapur
Segunda edicioacuten
Revisioacuten teacutecnica Ing Edgar Gonzaacutelez Yebra
Jefe del Departamento de MatemaacuteticasDireccioacuten de Medios y Meacutetodos Educativos
Secretariacutea de Educacioacuten de Guanajuato
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copy DR 2014 por Cengage Learning Editores SA de CVuna Compantildeiacutea de Cengage Learning IncCorporativo Santa FeAv Santa Fe nuacutem 505 piso 12Col Cruz Manca Santa FeCP 05349 Meacutexico DFCengage Learningreg es una marca registradausada bajo permiso
DERECHOS RESERVADOS Ninguna parte deeste trabajo amparado por la Ley Federal delDerecho de Autor podraacute ser reproducidatransmitida almacenada o utilizada encualquier forma o por cualquier medio ya seagraacutefico electroacutenico o mecaacutenico incluyendopero sin limitarse a lo siguiente fotocopiadoreproduccioacuten escaneo digitalizacioacuten
grabacioacuten en audio distribucioacuten en Internetdistribucioacuten en redes de informacioacuten oalmacenamiento y recopilacioacuten en sistemasde informacioacuten a excepcioacuten de lo permitidoen el Capiacutetulo III Artiacuteculo 27 de la Ley Federaldel Derecho de Autor sin el consentimientopor escrito de la Editorial
Datos para catalogacioacuten bibliograacuteficaIbaacutentildeez Carrasco Patricia y Gerardo Garciacutea TorresMatemaacuteticas III segunda edicioacuten
ISBN 13 978-607-519-048-8ISBN 10 607-519-048-1
Visite nuestro sitio enhttplatinoamericacengagecom
Impreso en Meacutexico
1 2 3 4 5 6 7 17 16 15 14
Matemaacuteticas III Segunda edicioacuten Patricia Ibaacutentildeez CarrascoGerardo Garciacutea Torres
Presidente de Cengage LearningLatinoameacutericaFernando Valenzuela Migoya
Director editorial de produccioacuteny de plataformas digitales paraLatinoameacutericaRicardo H Rodriacuteguez
Gerente de procesos paraLatinoameacutericaClaudia Islas Licona
Gerente de manufactura paraLatinoameacutericaRauacutel D Zendejas Espejel
Gerente editorial decontenidos en espantildeolPilar Hernaacutendez Santamarina
Coordinador de manufacturaRafael Peacuterez Gonzaacutelez
EditorasIvonne Arciniega TorresGloria Luz Olguiacuten Sarmiento
Disentildeo de portadaEdiciones OVA
Composicioacuten tipograacuteficaHeriberto Gachuz Chaacutevez
Fotografiacuteas de interioresDreamstimeShutterstock
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CONTENIDO
Bloque I
Reconoces lugares geomeacutetricos 2
Evaluacioacuten diagnoacutestica 4
Geometriacutea analiacutetica introductoria 5
Sistema de coordenadas rectangulares 6
Parejas ordenadas 7Igualdad de parejas 8
Lugares geomeacutetricos 14
Lectura Matemaacuteticas y GPS 23
Evaluacioacuten formativa por proyectos 25
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 26
Mi competencia 1047297nal 27Lista de cotejo 30
Bloque II
Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneosy poliacutegonos 32
Evaluacioacuten diagnoacutestica 34
Segmentos rectiliacuteneos 35
Segmentos rectiliacuteneos dirigidos y no dirigidos 35
Distancia entre dos puntos 37
Periacutemetro y aacuterea de poliacutegonos 44
Punto de divisioacuten de un segmento 51
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Punto medio 55
Lectura Mapas Coordenadas geograacute1047297cas 65
Evaluacioacuten formativa por proyectos 67
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 68Mi competencia 1047297nal 69
Lista de cotejo 70
Bloque III
Aplicas los elementos de una rectacomo lugar geomeacutetrico 72
Evaluacioacuten diagnoacutestica 74
Liacutenea recta 75
De1047297nicioacuten 75
Pendiente y aacutengulo de inclinacioacuten de una recta 78
Relacioacuten de la pendiente con el aacutengulo de inclinacioacuten 85
Aacutengulo formado por dos rectas 89Condiciones de paralelismo y perpendicularidad 96Lectura Liacutenea recta 100
Evaluacioacuten formativa por proyectos 101
Guiacutea de autoobservacioacuten de evaluacioacuten formativa por proyectos 102
Mi competencia 1047297nal 103
Lista de cotejo 104
Bloque IV
Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 106
Evaluacioacuten diagnoacutestica 108
Ecuaciones de la recta 109
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendiente y ordenada en el origen 109
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Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendiente 116
Ecuacioacuten de la recta dados dos puntos 119
Forma simeacutetrica de la ecuacioacuten de la recta 127
Ecuacioacuten de la recta dadas sus intersecciones con los ejes 128
Forma general y normal de la ecuacioacutende la recta 134
Forma normal de la ecuacioacuten de la recta 141
Conversioacuten de la forma general a la forma normal 143
Distancia dirigida de una rectaa un punto 148
Distancia no dirigida entre un punto y una recta 152
Distancia entre dos rectas paralelas 155
Lectura Liacutenea recta y funciones 158
Evaluacioacuten formativa por proyectos 161
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 162
Mi competencia 1047297nal 163
Lista de cotejo 164
Bloque 5
Aplicas los elementos y las ecuacionesde una circunferencia 166
Evaluacioacuten diagnoacutestica 168
Circunferencia 172De1047297nicioacuten y elementos 172
Rectas y segmentos 173
Ecuaciones de la circunferencia 176
Ecuacioacuten canoacutenica de la circunferencia 176
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Ecuacioacuten ordinaria de la circunferencia 181
Obtencioacuten de la ecuacioacuten a partir del centro y el radio 181
Radio y centro de una circunferencia con centro fuera del origen 182
Forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia 189De la forma general a la ordinaria 195
Ecuacioacuten de la circunferencia que pasapor tres puntos 200
Lectura El ciacuterculo en la naturaleza 210
Evaluacioacuten formativa por proyectos 211
Guiacutea de autoevaluacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 212Mi competencia 1047297nal 213
Lista de cotejo 216
Bloque VI
Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola 218
Evaluacioacuten diagnoacutestica 220
Paraacutebola 221
Elementos asociados con la paraacutebola 222
Ecuacioacuten ordinaria de paraacutebolas verticalesy horizontales con veacutertice en el origen 227
La paraacutebola a partir de su ecuacioacuten 232
Ecuacioacuten de una paraacutebola a partir de sus elementos 236
Ecuacioacuten ordinaria de paraacutebolas verticalesy horizontales con veacutertice fuera del origen 241
Los elementos a partir de la ecuacioacuten 241
La ecuacioacuten a partir de los elementos 246
Forma general de la ecuacioacuten de la paraacutebola 248
Conversioacuten de la forma ordinaria a la general 249
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Conversioacuten de la forma general a la ordinaria 254
Lectura Formas paraboacutelicas 261
Evaluacioacuten formativa por proyectos 263
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 264
Mi competencia 1047297nal 265
Lista de cotejo 268
Bloque VII
Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse 270
Evaluacioacuten diagnoacutestica 272
Elipse 273
Elementos asociados con la elipse 274
Ecuacioacuten ordinaria de elipses horizontalesy verticales con centro en el origen yejes paralelos a los ejes cartesianos 276
Elipse horizontal 276
Elipse vertical 276Lado recto de la elipse 277
Ecuacioacuten ordinaria de elipses horizontalesy verticales con centro fuera del origen yejes paralelos a los ejes 283
Forma general de la ecuacioacuten de la elipse 289Lectura Propiedades de la elipse 294
Evaluacioacuten formativa por proyectos 297
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 298
Mi competencia 1047297nal 299
Lista de cotejo 302
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Reconoces
lugaresgeomeacutetricos
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan
reconocer las caracteriacutesticas matemaacuteticas que de1047297nen un lugar
geomeacutetrico
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Identi1047297ca las caracteriacutesticas de un sistema de coordenadas
rectangulares
bull Interpreta la informacioacuten a partir de la nocioacuten de parejas
ordenadas
bull Reconoce las relaciones entre variables que conforman las parejas
ordenadas para determinar un lugar geomeacutetrico
Bloque I
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copy z e n t i l i a S h u t t e r S t o c k
Objetos de aprendizaje
bull Geometriacutea analiacutetica introductoria
bull Sistema de coordenadas rectangulares
bull Parejas ordenadas 991252Igualdad de parejas
bull Lugares geomeacutetricos
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas y graacute1047297cas asimismo interpreta tablas mapas
diagramas y textos con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exiva
comprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis disentildea y aplica modelos para probar suvalidez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un
proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten con pasos
especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otraspersonas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicasdel campo de matemaacuteticas
bull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisisde situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales mediante el
lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea de la
informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental o
matemaacuteticamente las magnitudes del espacio y de las
propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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Completa los siguientes enunciados
1 El sistema de coordenadas estaacute compuesto por
2 iquestCuaacutentos cuadrantes tiene el sistema de coordenadas cartesianas
3 La combinacioacuten de todas las combinaciones de los elementos de dos conjuntos se denomina
4 En una pareja de elementos en la que si se cambia el orden se cambia el sentido
5 La coordenada x se denomina
6 La coordenada y se denomina
7 Conjunto de puntos que cumplen una relacioacuten matemaacutetica
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 5
La geometriacutea analiacutetica se ha desarrollado desde tiempos remotos Podemos con-siderar la obra de Fibonacci Practica Geometriae como el punto de arranquede la geometriacutea renacentista aunque uacutenicamente se ocupe de la medida de aacutereas de
poliacutegonos y voluacutemenes de cuerposDebemos a Jordanus Nemorarius la primera formulacioacuten correcta del problema
del plano inclinadoEn Pariacutes el profesor Nicole Oresme utilizoacute coordenadas rectangulares en una
de sus obras de forma primitiva y rudimentaria para la representacioacuten graacute1047297ca deciertos fenoacutemenos fiacutesicos
Sin duda uno de los grandes en esta materia fue Reneacute Descartes con su famo-sa obra el Discurso del Meacutetodo en cuyo apeacutendice llamado ldquoGeacuteometrierdquo detalla lasinstrucciones geomeacutetricas para resolver ecuaciones cuadraacuteticas despueacutes describe
la aplicacioacuten del aacutelgebra a ciertos problemas geomeacutetricos Casi toda la ldquoGeacuteometrierdquoestaacute dedicada a la interrelacioacuten del aacutelgebra y la geometriacutea con ayuda del sistema de
coordenadas justo lo que actualmente denominamos geometriacutea analiacutetica
Reneacute Descartes
Geometriacutea analiacuteticaintroductoria
Objeto de aprendizaje
Actividad de investigacioacuten 1
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas como actividad extraclase investiguen en fuentes impresas yelectroacutenicas (Internet) los antecedentes de la geometriacutea analiacutetica y disentildeen una liacutenea de tiempo en la que se desta-que a los principales precursores su aportacioacuten y el antildeo correspondiente Elaboren una presentacioacuten electroacutenica y
expoacutenganla ante el grupo para su realimentacioacuten Despueacutes evaluacuteen su desempentildeo con la guiacutea de autoobservacioacuten
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6 Matemaacuteticas III
Guiacutea de autoobservacioacuten
Un arreglo de dos rectas numeacutericas (una en posicioacuten horizontal y otra en posicioacuten vertical) unidas en sus ceros (origen) se denomina sistema de coordenadas rec-
tangulares o plano cartesiano en honor a Reneacute Descartes
La recta horizontal se llama eje X y la recta vertical eje Y Observa que el siste-ma de coordenadas divide al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
Negativos
Positivos
Cuadrante I ()
Cuadrante IV ()
Cuadrante II ()
Cuadrante III ()
Origen
Sistema de coordenadasrectangulares Es un arreglo de dosrectas numeacutericas una horizontal y laotra vertical que se unen en el cero(origen)
Eje X Es la recta horizontaldel sistema de coordenadasrectangulares
Eje Y Es la recta vertical del sistemade coordenadas rectangulares
Cuadrantes Son las cuatroregiones en las que se divide al planoen el sistema de coordenadas
G L O S A R I O
Coordenada (2 3)
Objeto de aprendizaje Sistema de coordenadasrectangulares
Y
X
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Empleamos las TIC para presentar nuestra informacioacuten
2 Empleamos fuentes de informacioacuten confiable y relevante tanto en formaelectroacutenica como impresa
3 Elaboramos una liacutenea de tiempo que destaca precursores antildeo y aportaciones
4 Manejamos de manera fluida la informacioacuten que expusimos al grupo
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia la realimentacioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 7
El primer cuadrante tiene la parte positiva del eje X y del eje Y el segundo
cuadrante tiene la parte negativa del eje X y la parte positiva del eje Y el tercer cua-drante tiene la parte negativa del eje X y del eje Y y el cuarto cuadrante tiene la partepositiva del eje X y la parte negativa del eje Y
Pareja ordenada Es una parejade nuacutemeros ( x y ) escritos en unorden particular
Para iniciar el tema analicemos el siguiente ejemplo Mariacutea tiene blusas de color
blanco y rosa y faldas de color cafeacute azul y negro Quiere saber cuaacutentos posiblesatuendos puede tener Aquiacute estaacute la lista que obtuvo
bull Blusa blanca con falda cafeacutebull Blusa blanca con falda azulbull Blusa blanca con falda negrabull Blusa rosa con falda cafeacutebull Blusa rosa con falda azulbull Blusa rosa con falda negra
Ademaacutes tiene la idea de darle un nuacutemero a
cada blusa y a cada falda para que sea maacutes faacutecilescoger el atuendo
bull Blusas
1 blanca
2 rosa
bull Faldas
1 cafeacute
2 azul
3 negra
Haciendo la ldquotraduccioacutenrdquo obtuvo la siguiente lista
1 1
1 21 3
2 12 2
2 3
En donde el primer nuacutemero pertenece a la blusa y el segundo a la falda Observaque no tendriacutea ninguacuten signi1047297cado pedir (3 2) ya que no hay ninguna blusa 3 En-
tonces el orden en estas parejas es importante lo mismo sucederaacute con las parejasde nuacutemeros que veremos a continuacioacuten
Las parejas ordenadas tienen dos elementos uno de ellos ocupa el primer lugary otro el segundo y si se cambian de lugar el sentido variacutea Se representan encerran-
do sus elementos entre pareacutentesis Por ejemplo (3 4) (6 8) (9 1) (4 3) etceacutetera
Objeto de aprendizaje Parejas ordenadas
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8 Matemaacuteticas III
Actividad 1
Igualdad de parejasObserva que si cambias los nuacutemeros de lugar no quieren decir lo mismo es decir3 y 4 es una pareja ordenada pero 4 y 3 hace referencia a un arreglo distinto En
general las parejas ordenadas cumplen que
(a b) (b a)y
(a b) (b a) si y solo si a b
Esto quiere decir que para considerar iguales a dos parejas estas deben tenerlos mismos elementos en el mismo orden Por ejemplo (5 5)
Organiacutezate con tus compantildeeros formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnos yresuelvan los siguientes ejercicios con una actitud de respeto y tolerancia Al final reflexionen con los integrantesde otro equipo sus procedimientos y resultados
1 La fonda de Chonita tiene tortas de jamoacuten y tacos de pollo para comer y agua de jamaica refresco y jugo parabeber Formen todos los posibles menuacutes que Chonita puede tener
2 La floreriacutea ldquoMil hojasrdquo tiene rosas tulipanes y orquiacutedeas como flores y helecho y dracaena como follaje Cons-truyan los posibles arreglos que puede hacer de un tipo de flor con un tipo de follaje
3 En la fiesta de Luis su mamaacute quiere servir algunas ensaladas que contengan un tipo de fruta y un tipo desemilla Cuenta con frutas como naranjas uvas papayas y mangos en cuanto a las semillas tiene nuecesalmendras avellanas y pistaches Describan las ensaladas que puede haber en la fiesta de Luis
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 9
Ejemplo
Una forma de encontrar todas las posibles parejas ordenadas de nuacutemeros entre dos
conjuntos es por medio del producto cartesiano que se representa como A B Producto cartesiano Es lacoleccioacuten de todas las relaciones(combinaciones) de los elementosde A con los elementos de B
Desarrolla el producto cartesiano A B y B A dados A 1 2 3 y B 1 2 3 4
Solucioacuten
A B
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
Ahora
B A
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
(4 1) (4 2) (4 3) (4 4)
Observa que las parejas (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3) (3 1) (3 2) y (3 3) son iguales en ambos pro-ductos
El producto cartesiano de dos conjuntos de nuacutemeros es un nuevo conjunto de pa-
rejas ordenadas en el que todas estas son distintas El primer elemento correspondeal conjunto A y el segundo elemento corresponde al conjunto B
Observa que si el conjunto A tiene tres elementos y el conjunto B tiene cuatroentonces el conjunto A B tiene 3 4 12 elementos (parejas ordenadas) de
ahiacute la razoacuten de llamarlo producto (multiplicacioacuten) y se le llama cartesiano porque sepuede representar graacute1047297camente en un plano cartesiano como el siguiente
Una aplicacioacuten de las parejas ordenadas es la localizacioacuten de puntos en el sistema
de coordenadas rectangulares
1 2 3 A
(1 4)
(1 3)
(1 2)
(1 1)
(2 4)
(2 3)
(2 2)
(2 1)
(3 4)
(3 3)
(3 2)
(3 1)
B
4
3
2
1
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10 Matemaacuteticas III
Actividad 2
Organiacutezate con tus compantildeeros y reuacutenanse en parejas conformadas por una alumna y un alumno realicen demanera colaborativa los siguientes ejercicios Recuerden mantener siempre una actitud de respeto y responsa-bilidad Compartan en plenaria sus procedimientos y resultados Al final califiquen su desempentildeo con la guiacutea deautoobservacioacuten
1 Respondan las siguientes preguntas respecto a las caracteriacutesticas del sistema de coordenadas
a ) iquestCuaacutentas rectas numeacutericas conforman el sistema de coordenadas rectangulares
b ) iquestCuaacutel es la posicioacuten de cada una de estas rectas
Traza un cuadrado y un triaacutengulo en el siguiente sistema de coordenadas rectangulares luego descriacutebelos indican-do las coordenadas (x y ) que representan a sus veacutertices
Solucioacuten
Cada uno de los puntos que se acaban de localizar tiene dos elementos o referenciasuna estaacute sobre el eje X denominada abscisa y la otra sobre el eje Y denominadaordenada Por tanto las parejas ordenadas tienen la siguiente forma
(abscisa ordenada)
La abscisa siempre se localiza sobre el eje X (tambieacuten se le llama eje de las abscisas)y la ordenada sobre el eje Y (conocido como eje de las ordenadas)
Las coordenadas del cuadro son
(3 3) (3 3) (3 3) y (3 3)
Las coordenadas del triaacutengulo son
(0 4) (0 6) y (4 4)
Ejemplo
Abscisa Es la coordenada x de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
Ordenada Es la coordenada y de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
G L O S A R I O
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 11
c ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta horizontal
d ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta vertical
e ) iquestCoacutemo se llama al punto donde se cruzan los ejes
f ) iquestCoacutemo se llaman las regiones en las que se divide al plano y cuaacutentas son
g ) iquestCuaacuteles son los signos de cada cuadrante
2 Dados los siguientes conjuntos calculen los productos cartesianos y represeacutentenlos en un plano Ademaacutesrodeen las parejas ordenadas iguales
A a b c d B 1 3 5 C 2 4 6 8 D x y z
a ) A B f ) B D
b ) C D g ) B A
c ) A C h ) D C
d ) C B i ) B C
e ) D A j ) A D
3 Localicen en un mismo sistema de coordenadas rectangulares los siguientes puntos e identifiquen a queacute cua-drante pertenecen
a ) A (4 2) h ) H (8 3)
b ) B (3 5) i ) I 64
125
c ) C 12
14
j ) J (6 2)
d ) D (2 7) k ) K 83
3
e ) E (7 3) l ) L(0 0)
f ) F
2
3
4
5 m ) M (
1
2)
g ) G (24) n ) N ( 5 8)
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12 Matemaacuteticas III
4 Escriban las coordenadas de los puntos que se muestran en el siguiente plano cartesiano
a ) A ( ) f ) F ( )
b ) B ( ) g ) G ( )
c ) C ( ) h ) H ( )
d ) D ( ) i ) I ( )
e ) E ( ) j ) J ( )
5 Representen en un sistema de coordenadas rectangula-res los poliacutegonos con los siguientes veacutertices e incluacuteyan-los en su portafolio de evidencias
a ) A (3 4) B (2 1) C (51)
b ) A (9 3) B (5 1) C (4 0)
c ) A (4 2) B (2 3) C (16) D (0 4)
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
G
F
E
A
C
B
D
J
I
H
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como pareja
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Trazamos correctamente el sistema de coordenadas identificando los ejes
2 Ubicamos los puntos en el cuadrante correcto
3 Unimos correctamente los puntos formando la figura geomeacutetrica
4 Identificamos la figura correctamente de acuerdo con el nuacutemero y posicioacutende los veacutertices
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia el desarrollo de lasolucioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 13
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas de preferencia alumno y alumna Realicen los siguientes ejerci-cios de manera colaborativa
1 Tracen las liacuteneas rectas siguientes una de ellas pasa por A (0 6) y B (6 0) la otra pasa por C (6 6) y D (0 0)comprueben que estas liacuteneas rectas se cruzan en el punto (3 3)
2 Dibujen en un sistema coordenado un triaacutengulo isoacutesceles (de cualquier medida) Luego indiquen las coorde-nadas de sus tres veacutertices tambieacuten marquen dos puntos que esteacuten dentro y dos puntos que esteacuten afuera deltriaacutengulo e indiquen sus coordenadas
3 Grafiquen en un mismo sistema de referencia cada uno de los siguientes grupos de coordenadas uacutenanlos yescriban el tipo de figura geomeacutetrica
a ) A(2 4) B (2 1) C (2 1) D (2 4)
b ) E (2 5) F (5 2) G (04)
c ) H (3 5) I (3 9) J (3 5)
d ) K (42) L(44) M (24) N (2 2)
e ) O (5 2) P (1 2) Q (1 4) R (5 4)
4 Resuelvan los siguientes problemas
a ) Mariacutea tiene una casa con una puerta al sur sale de ella ycamina 4 cuadras luego decide caminar 3 cuadras al estedespueacutes gira hacia el sur y avanza otras 5 cuadras final-mente da vuelta al norte y avanza 8 cuadras Si se coloca lacasa de Mariacutea en el origen de un sistema de coordenadasrectangulares y se sigue su trayectoria iquesten queacute punto seencontraraacute al final de su camino Elaboren una hipoacutetesis ycomprueacutebenla en un sistema de coordenadas
b ) El terreno de Feacutelix tiene coordenadas (5 2) (10 2) (5 10)y (10 10)
i Ubiquen el terreno en un sistema de coordenadas rec-
tangulares ii iquestQueacute forma tiene el terreno iii Calculen su aacuterea
Actividad 3
copy E l z b i e t a S e k o w s k a S h u t t e r s t o c k
copy G o D u n k 1 3 S h u t t e r s t o c k
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14 Matemaacuteticas III
c ) En la clase de Biologiacutea Pati realizoacute un experimento paraobservar el crecimiento de una colonia de bacilos Seregistraron los siguientes datos anotando el tiempo quetranscurrioacute y el nuacutemero de bacilos presentes en el ex-perimento
bull 200 bacilos en 6 minutosbull 300 bacilos en 12 minutosbull 500 bacilos en 18 minutosbull 1000 bacilos en 24 minutosbull 1800 bacilos en 30 minutos
Representen los pares de valores que Pati recaboacute en un sistema de coordenadas rectangulares en el que el ejehorizontal sea el tiempo y el eje vertical el nuacutemero de bacilos
copy
M a t e j K a s t e l i c S h u t t e r s t o c k
En geometriacutea analiacutetica pueden presentarse dos problemas fundamentales relacio-nados con los lugares geomeacutetricos
1 Dada una ecuacioacuten encuentra el lugar geomeacutetrico que la representa2 Dado un lugar geomeacutetrico encuentra la ecuacioacuten que lo representa
Con esto en mente podemos hablar de un meacutetodo general para resolver proble-mas de geometriacutea analiacutetica que consta de tres secciones bien de1047297nidas
1 Geomeacutetrica En esta expondraacutes todo lo que sabes respecto al lugar geomeacutetricoque se propone antes de iniciar con el anaacutelisis
2 Analiacutetica Aquiacute efectuaraacutes el anaacutelisis de las ecuaciones dadas para ello usaraacutesaacutelgebra y aritmeacutetica
3 Conclusioacuten Esta parte es importantiacutesima ya que aquiacute redactaraacutes lo que hayas
encontrado a lo largo de todo el proceso
Encontraraacutes problemas en los que es preciso efectuar primero la parte analiacutetica y
despueacutes la geomeacutetrica sin embargo habraacute otros en los que tanto la parte analiacuteticacomo la geomeacutetrica deberaacuten desarrollarse al mismo tiempo pero en cualquiera delos casos ambas estaacuten presentes
Cuando queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con una expresioacutenalgebraica sugerimos realizar los siguientes pasos
1 Haz una tabulacioacuten en donde se asignen valores a x
2 Calcula los valores de y sustituyendo en la ecuacioacuten original
Objeto de aprendizaje Lugares geomeacutetricos
Lugar geomeacutetrico Es un conjuntode puntos que cumplen una
propiedad geomeacutetrica en particular G L O
S A R I O
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 15
3 Calcula las intersecciones con los ejes
a) Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y
b) Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
4 Por uacuteltimo elabora la graacute1047297ca colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten
con los ejes
Ejemplos
1 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Si observas la ecuacioacuten te daraacutes cuenta de que es una ecuacioacuten lineal por lo que se representa como unarecta pero iquestcuaacuteles son las caracteriacutesticas de esta recta en particular Sigamos los pasos propuestos re-cuerda que para graficar una liacutenea recta son suficientes dos puntos
x 2 1
y 4 5
(x y ) (2 4) (1 5)
Para las intersecciones con los ejes
Con el eje Y x
0 y 3x 2
y 3(0) 2
y 0 2
y 2
La interseccioacuten con el eje Y es el punto (0 2)Con el eje X y 0
y 3x 2
0 3x 2
0 2 3x
23
x
x 23
La interseccioacuten con el eje X es el punto 23
0
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16 Matemaacuteticas III
bull Parte geomeacutetrica
Haciendo la graacutefica tenemos que el lugar geomeacutetrico y 3x 2 es
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
y 3 x 2
X
Y
bull Conclusioacuten
El lugar geomeacutetrico es una liacutenea recta que interseca al eje Y en y 2 y al eje X en x 23
Por otro lado si queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con un conjunto de pares ordenadoste sugerimos seguir los siguientes pasos
a ) Hacer una tabulacioacuten con los valores de x y y
b ) Calcular la relacioacuten que se presenta entre los datos
c ) Calcular las intersecciones con los ejes
i Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y ii Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
d ) Por uacuteltimo hacer la graacutefica colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten con los ejes
2 iquestQueacute ecuacioacuten representaraacute el lugar geomeacutetrico que contiene a las siguientes parejas ordenadas (5 25)(4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4) (3 9) (4 16) (5 25)
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero colocamos las parejas ordenadas en una tabla para visualizar la relacioacuten entre las abscisas y lasordenadas
x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
y iquest 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 17
Para encontrar la relacioacuten debemos preguntarnos iquestqueacute le hacemos a5 para que sea 25 iquesta4 para quesea 16 iquesta 3 para que sea 9 etceacutetera
Si pensamos un poco la respuesta es evidentehellip iexclClaro Lo elevamos al cuadrado o sea
25
(
5)
2
16
(
4)
2
9
(
3)
2
etceacutetera
Por tanto la relacioacuten es y x 2
Recordemos que las ecuaciones de este tipo por lo general representan una paraacutebola con veacutertice enel origen que es la uacutenica interseccioacuten con el eje X o Y para verificar lo anterior desarrollemos la partegeomeacutetrica
bull Parte geomeacutetrica
Si graficamos los puntos que tenemos y los
unimos con una curva suave entonces seforma la paraacutebola coacutencava hacia arriba consu veacutertice en el origen
5
10
15
20
25
55 X
Y
bull Conclusioacuten
Entonces tenemos que los puntos (5 25) (4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4)(3 9) (4 16) (5 25) representan el lugar geomeacutetrico denominado paraacutebola con veacutertice en el origen cuya
ecuacioacuten es y x 2
3 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y x 2 4
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero tabulemos la ecuacioacutenComo vimos las liacuteneas rectas soacutelo necesitan 2 puntos en la tabulacioacuten pero en este caso no hablamos
de una ecuacioacuten lineal asiacute que en todas las ecuaciones diferentes de las lineales se tendraacuten que tabular
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Utilizas
distintasformas dela ecuacioacutende una recta
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan realizar
un estudio de las propiedades geomeacutetricas de la recta y de sus
posibilidades analiacuteticas
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta
bull Transforma ecuaciones de una forma a otra
bull Utiliza distintas formas de la ecuacioacuten de la recta para solucionar
problemas yo ejercicios de la vida cotidiana
Bloque IV
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copy P h o t o r e d a k t o r D r e a m s t i m e
Objetos de aprendizaje
bull Ecuaciones de la recta
991252Pendiente y ordenada al origen
991252Punto-pendiente 991252Dos puntos
991252Simeacutetrica
bull Ecuacioacuten general y normal de la ecuacioacuten de la recta
bull Distancia de la recta a un punto
bull Distancia entre dos rectas paralelas
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas o graacute1047297cas
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exivacomprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis y disentildea y aplica modelos para probar
su validez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla
un proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten
con pasos especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras
personas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicas
del campo de matemaacuteticasbull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisis
de situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales medianteel lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea
de la informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental
o matemaacuteticamente las magnitudes del espacio
y de las propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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108
Responde correctamente las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es la distancia maacutes corta entre dos puntos
2 iquestCuaacuteles son las referencias miacutenimas para definir una recta en el plano
3 iquestCoacutemo se llama al punto de interseccioacuten de una recta con el eje Y
4 iquestCoacutemo se denomina a la interseccioacuten de la recta con el eje X
5 iquestEn queacute forma de la ecuacioacuten de la recta se puede identificar de inmediato su ldquoinclinacioacutenrdquo y la interseccioacuten de
esta con el eje Y
6 iquestCoacutemo se conoce a la forma de la ecuacioacuten de una recta que contiene como elementos su abscisa y su orde-nada al origen
7 iquestCoacutemo se escribe la expresioacuten para la forma general de la ecuacioacuten de la recta
8 iquestCuaacuteles son las referencias que necesitamos para emplear la forma normal de la ecuacioacuten de la recta
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 109
Para determinar una recta siempre se necesitan dos referencias como miacutenimo y
esto nos permite usar una forma de la ecuacioacuten de acuerdo con los datos que seproporcionan
1 La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos2 La forma punto-punto que requiere dos puntos pertenecientes a la recta
3 La forma simeacutetrica usa las intersecciones con los ejes
4 La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores
5 La forma normal emplea la distancia al origen y el aacutengulo de inclinacioacuten de la
recta que representa dicha distancia
Estudiaremos todas a lo largo del bloque
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendientey ordenada en el origeniquestCoacutemo se puede trazar la graacute1047297ca de una recta de manera raacutepida y sin la ayudade una tabulacioacuten Necesitamos dos referencias una de ellas puede ser un punto
ldquoespecialrdquo que obtenemos de la interseccioacuten con el eje Y al que se designa con laletra b por tanto sus coordenadas son (0 b) y se le llama ordenada en el origen
la otra referencia es m la pendiente iquestCoacutemo identi1047297carla en la ecuacioacuten de unarecta iexclEs muy faacutecil
A partir de la de1047297nicioacuten del punto al cual corresponde la ordenada en el origen
(0 b) y la pendiente de una recta (m) podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuacioacuten de la recta veamos
y = mx + b
expresioacuten que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquierpunto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y su-
mada a la interseccioacuten con el eje Y
Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta
9 iquestCuaacuteles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta
10 iquestCuaacuteles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas
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110 Matemaacuteticas III
Ejemplos
1 Grafica la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen
y mx b
y 3x 2
Entonces la ecuacioacuten tiene como ordenada en el origen b 2 estosignifica que en ese lugar la recta interseca al eje Y ademaacutes es faacutecilobservar que la pendiente es m 3 Graacuteficamente
Si deseas trazar la recta puedes graficarla pendiente a partir de la ordenada enel origen tal como vimos en el bloqueanterior
2 Grafica la ecuacioacuten y 3
2
x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Toma la ecuacioacuten y compaacuterala con la forma pendiente-ordenada en el origen
y 32
x 2
y mx b
A esta forma de la recta se le denomina forma comuacuten o pendiente-ordenada
en el origen y es muy uacutetil ya que mediante ella es posible identi1047297car de inmediatola pendiente y la ordenada en el origen
X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
b Ordenada en el origen
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
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5
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5
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Y
Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
Portal de Conocimiento
DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
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SOLUCIONES PARA LA INVESTIGACIOacuteN Y LA BIBLIOTECA
CIENCIAS E INGENIERIacuteA MULTIDISCIPLINAR
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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S E M ESTR E
T E R C E R Patricia Ibaacutentildeez arrascoPatricia Ibaacutentildeez Carrasco
Gerardo Garciacutea TorresGerardo Garciacutea Torres
Australia bull Brasil bull Corea bull Espantildea bull Estados Unidos bull Japoacuten bull Meacutexico bull Reino Unido bull Singapur
Segunda edicioacuten
Revisioacuten teacutecnica Ing Edgar Gonzaacutelez Yebra
Jefe del Departamento de MatemaacuteticasDireccioacuten de Medios y Meacutetodos Educativos
Secretariacutea de Educacioacuten de Guanajuato
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copy DR 2014 por Cengage Learning Editores SA de CVuna Compantildeiacutea de Cengage Learning IncCorporativo Santa FeAv Santa Fe nuacutem 505 piso 12Col Cruz Manca Santa FeCP 05349 Meacutexico DFCengage Learningreg es una marca registradausada bajo permiso
DERECHOS RESERVADOS Ninguna parte deeste trabajo amparado por la Ley Federal delDerecho de Autor podraacute ser reproducidatransmitida almacenada o utilizada encualquier forma o por cualquier medio ya seagraacutefico electroacutenico o mecaacutenico incluyendopero sin limitarse a lo siguiente fotocopiadoreproduccioacuten escaneo digitalizacioacuten
grabacioacuten en audio distribucioacuten en Internetdistribucioacuten en redes de informacioacuten oalmacenamiento y recopilacioacuten en sistemasde informacioacuten a excepcioacuten de lo permitidoen el Capiacutetulo III Artiacuteculo 27 de la Ley Federaldel Derecho de Autor sin el consentimientopor escrito de la Editorial
Datos para catalogacioacuten bibliograacuteficaIbaacutentildeez Carrasco Patricia y Gerardo Garciacutea TorresMatemaacuteticas III segunda edicioacuten
ISBN 13 978-607-519-048-8ISBN 10 607-519-048-1
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Impreso en Meacutexico
1 2 3 4 5 6 7 17 16 15 14
Matemaacuteticas III Segunda edicioacuten Patricia Ibaacutentildeez CarrascoGerardo Garciacutea Torres
Presidente de Cengage LearningLatinoameacutericaFernando Valenzuela Migoya
Director editorial de produccioacuteny de plataformas digitales paraLatinoameacutericaRicardo H Rodriacuteguez
Gerente de procesos paraLatinoameacutericaClaudia Islas Licona
Gerente de manufactura paraLatinoameacutericaRauacutel D Zendejas Espejel
Gerente editorial decontenidos en espantildeolPilar Hernaacutendez Santamarina
Coordinador de manufacturaRafael Peacuterez Gonzaacutelez
EditorasIvonne Arciniega TorresGloria Luz Olguiacuten Sarmiento
Disentildeo de portadaEdiciones OVA
Composicioacuten tipograacuteficaHeriberto Gachuz Chaacutevez
Fotografiacuteas de interioresDreamstimeShutterstock
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CONTENIDO
Bloque I
Reconoces lugares geomeacutetricos 2
Evaluacioacuten diagnoacutestica 4
Geometriacutea analiacutetica introductoria 5
Sistema de coordenadas rectangulares 6
Parejas ordenadas 7Igualdad de parejas 8
Lugares geomeacutetricos 14
Lectura Matemaacuteticas y GPS 23
Evaluacioacuten formativa por proyectos 25
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 26
Mi competencia 1047297nal 27Lista de cotejo 30
Bloque II
Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneosy poliacutegonos 32
Evaluacioacuten diagnoacutestica 34
Segmentos rectiliacuteneos 35
Segmentos rectiliacuteneos dirigidos y no dirigidos 35
Distancia entre dos puntos 37
Periacutemetro y aacuterea de poliacutegonos 44
Punto de divisioacuten de un segmento 51
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Punto medio 55
Lectura Mapas Coordenadas geograacute1047297cas 65
Evaluacioacuten formativa por proyectos 67
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 68Mi competencia 1047297nal 69
Lista de cotejo 70
Bloque III
Aplicas los elementos de una rectacomo lugar geomeacutetrico 72
Evaluacioacuten diagnoacutestica 74
Liacutenea recta 75
De1047297nicioacuten 75
Pendiente y aacutengulo de inclinacioacuten de una recta 78
Relacioacuten de la pendiente con el aacutengulo de inclinacioacuten 85
Aacutengulo formado por dos rectas 89Condiciones de paralelismo y perpendicularidad 96Lectura Liacutenea recta 100
Evaluacioacuten formativa por proyectos 101
Guiacutea de autoobservacioacuten de evaluacioacuten formativa por proyectos 102
Mi competencia 1047297nal 103
Lista de cotejo 104
Bloque IV
Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 106
Evaluacioacuten diagnoacutestica 108
Ecuaciones de la recta 109
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendiente y ordenada en el origen 109
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Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendiente 116
Ecuacioacuten de la recta dados dos puntos 119
Forma simeacutetrica de la ecuacioacuten de la recta 127
Ecuacioacuten de la recta dadas sus intersecciones con los ejes 128
Forma general y normal de la ecuacioacutende la recta 134
Forma normal de la ecuacioacuten de la recta 141
Conversioacuten de la forma general a la forma normal 143
Distancia dirigida de una rectaa un punto 148
Distancia no dirigida entre un punto y una recta 152
Distancia entre dos rectas paralelas 155
Lectura Liacutenea recta y funciones 158
Evaluacioacuten formativa por proyectos 161
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 162
Mi competencia 1047297nal 163
Lista de cotejo 164
Bloque 5
Aplicas los elementos y las ecuacionesde una circunferencia 166
Evaluacioacuten diagnoacutestica 168
Circunferencia 172De1047297nicioacuten y elementos 172
Rectas y segmentos 173
Ecuaciones de la circunferencia 176
Ecuacioacuten canoacutenica de la circunferencia 176
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Ecuacioacuten ordinaria de la circunferencia 181
Obtencioacuten de la ecuacioacuten a partir del centro y el radio 181
Radio y centro de una circunferencia con centro fuera del origen 182
Forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia 189De la forma general a la ordinaria 195
Ecuacioacuten de la circunferencia que pasapor tres puntos 200
Lectura El ciacuterculo en la naturaleza 210
Evaluacioacuten formativa por proyectos 211
Guiacutea de autoevaluacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 212Mi competencia 1047297nal 213
Lista de cotejo 216
Bloque VI
Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola 218
Evaluacioacuten diagnoacutestica 220
Paraacutebola 221
Elementos asociados con la paraacutebola 222
Ecuacioacuten ordinaria de paraacutebolas verticalesy horizontales con veacutertice en el origen 227
La paraacutebola a partir de su ecuacioacuten 232
Ecuacioacuten de una paraacutebola a partir de sus elementos 236
Ecuacioacuten ordinaria de paraacutebolas verticalesy horizontales con veacutertice fuera del origen 241
Los elementos a partir de la ecuacioacuten 241
La ecuacioacuten a partir de los elementos 246
Forma general de la ecuacioacuten de la paraacutebola 248
Conversioacuten de la forma ordinaria a la general 249
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Conversioacuten de la forma general a la ordinaria 254
Lectura Formas paraboacutelicas 261
Evaluacioacuten formativa por proyectos 263
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 264
Mi competencia 1047297nal 265
Lista de cotejo 268
Bloque VII
Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse 270
Evaluacioacuten diagnoacutestica 272
Elipse 273
Elementos asociados con la elipse 274
Ecuacioacuten ordinaria de elipses horizontalesy verticales con centro en el origen yejes paralelos a los ejes cartesianos 276
Elipse horizontal 276
Elipse vertical 276Lado recto de la elipse 277
Ecuacioacuten ordinaria de elipses horizontalesy verticales con centro fuera del origen yejes paralelos a los ejes 283
Forma general de la ecuacioacuten de la elipse 289Lectura Propiedades de la elipse 294
Evaluacioacuten formativa por proyectos 297
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 298
Mi competencia 1047297nal 299
Lista de cotejo 302
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Reconoces
lugaresgeomeacutetricos
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan
reconocer las caracteriacutesticas matemaacuteticas que de1047297nen un lugar
geomeacutetrico
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Identi1047297ca las caracteriacutesticas de un sistema de coordenadas
rectangulares
bull Interpreta la informacioacuten a partir de la nocioacuten de parejas
ordenadas
bull Reconoce las relaciones entre variables que conforman las parejas
ordenadas para determinar un lugar geomeacutetrico
Bloque I
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copy z e n t i l i a S h u t t e r S t o c k
Objetos de aprendizaje
bull Geometriacutea analiacutetica introductoria
bull Sistema de coordenadas rectangulares
bull Parejas ordenadas 991252Igualdad de parejas
bull Lugares geomeacutetricos
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas y graacute1047297cas asimismo interpreta tablas mapas
diagramas y textos con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exiva
comprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis disentildea y aplica modelos para probar suvalidez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un
proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten con pasos
especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otraspersonas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicasdel campo de matemaacuteticas
bull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisisde situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales mediante el
lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea de la
informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental o
matemaacuteticamente las magnitudes del espacio y de las
propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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Completa los siguientes enunciados
1 El sistema de coordenadas estaacute compuesto por
2 iquestCuaacutentos cuadrantes tiene el sistema de coordenadas cartesianas
3 La combinacioacuten de todas las combinaciones de los elementos de dos conjuntos se denomina
4 En una pareja de elementos en la que si se cambia el orden se cambia el sentido
5 La coordenada x se denomina
6 La coordenada y se denomina
7 Conjunto de puntos que cumplen una relacioacuten matemaacutetica
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 5
La geometriacutea analiacutetica se ha desarrollado desde tiempos remotos Podemos con-siderar la obra de Fibonacci Practica Geometriae como el punto de arranquede la geometriacutea renacentista aunque uacutenicamente se ocupe de la medida de aacutereas de
poliacutegonos y voluacutemenes de cuerposDebemos a Jordanus Nemorarius la primera formulacioacuten correcta del problema
del plano inclinadoEn Pariacutes el profesor Nicole Oresme utilizoacute coordenadas rectangulares en una
de sus obras de forma primitiva y rudimentaria para la representacioacuten graacute1047297ca deciertos fenoacutemenos fiacutesicos
Sin duda uno de los grandes en esta materia fue Reneacute Descartes con su famo-sa obra el Discurso del Meacutetodo en cuyo apeacutendice llamado ldquoGeacuteometrierdquo detalla lasinstrucciones geomeacutetricas para resolver ecuaciones cuadraacuteticas despueacutes describe
la aplicacioacuten del aacutelgebra a ciertos problemas geomeacutetricos Casi toda la ldquoGeacuteometrierdquoestaacute dedicada a la interrelacioacuten del aacutelgebra y la geometriacutea con ayuda del sistema de
coordenadas justo lo que actualmente denominamos geometriacutea analiacutetica
Reneacute Descartes
Geometriacutea analiacuteticaintroductoria
Objeto de aprendizaje
Actividad de investigacioacuten 1
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas como actividad extraclase investiguen en fuentes impresas yelectroacutenicas (Internet) los antecedentes de la geometriacutea analiacutetica y disentildeen una liacutenea de tiempo en la que se desta-que a los principales precursores su aportacioacuten y el antildeo correspondiente Elaboren una presentacioacuten electroacutenica y
expoacutenganla ante el grupo para su realimentacioacuten Despueacutes evaluacuteen su desempentildeo con la guiacutea de autoobservacioacuten
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6 Matemaacuteticas III
Guiacutea de autoobservacioacuten
Un arreglo de dos rectas numeacutericas (una en posicioacuten horizontal y otra en posicioacuten vertical) unidas en sus ceros (origen) se denomina sistema de coordenadas rec-
tangulares o plano cartesiano en honor a Reneacute Descartes
La recta horizontal se llama eje X y la recta vertical eje Y Observa que el siste-ma de coordenadas divide al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
Negativos
Positivos
Cuadrante I ()
Cuadrante IV ()
Cuadrante II ()
Cuadrante III ()
Origen
Sistema de coordenadasrectangulares Es un arreglo de dosrectas numeacutericas una horizontal y laotra vertical que se unen en el cero(origen)
Eje X Es la recta horizontaldel sistema de coordenadasrectangulares
Eje Y Es la recta vertical del sistemade coordenadas rectangulares
Cuadrantes Son las cuatroregiones en las que se divide al planoen el sistema de coordenadas
G L O S A R I O
Coordenada (2 3)
Objeto de aprendizaje Sistema de coordenadasrectangulares
Y
X
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Empleamos las TIC para presentar nuestra informacioacuten
2 Empleamos fuentes de informacioacuten confiable y relevante tanto en formaelectroacutenica como impresa
3 Elaboramos una liacutenea de tiempo que destaca precursores antildeo y aportaciones
4 Manejamos de manera fluida la informacioacuten que expusimos al grupo
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia la realimentacioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 7
El primer cuadrante tiene la parte positiva del eje X y del eje Y el segundo
cuadrante tiene la parte negativa del eje X y la parte positiva del eje Y el tercer cua-drante tiene la parte negativa del eje X y del eje Y y el cuarto cuadrante tiene la partepositiva del eje X y la parte negativa del eje Y
Pareja ordenada Es una parejade nuacutemeros ( x y ) escritos en unorden particular
Para iniciar el tema analicemos el siguiente ejemplo Mariacutea tiene blusas de color
blanco y rosa y faldas de color cafeacute azul y negro Quiere saber cuaacutentos posiblesatuendos puede tener Aquiacute estaacute la lista que obtuvo
bull Blusa blanca con falda cafeacutebull Blusa blanca con falda azulbull Blusa blanca con falda negrabull Blusa rosa con falda cafeacutebull Blusa rosa con falda azulbull Blusa rosa con falda negra
Ademaacutes tiene la idea de darle un nuacutemero a
cada blusa y a cada falda para que sea maacutes faacutecilescoger el atuendo
bull Blusas
1 blanca
2 rosa
bull Faldas
1 cafeacute
2 azul
3 negra
Haciendo la ldquotraduccioacutenrdquo obtuvo la siguiente lista
1 1
1 21 3
2 12 2
2 3
En donde el primer nuacutemero pertenece a la blusa y el segundo a la falda Observaque no tendriacutea ninguacuten signi1047297cado pedir (3 2) ya que no hay ninguna blusa 3 En-
tonces el orden en estas parejas es importante lo mismo sucederaacute con las parejasde nuacutemeros que veremos a continuacioacuten
Las parejas ordenadas tienen dos elementos uno de ellos ocupa el primer lugary otro el segundo y si se cambian de lugar el sentido variacutea Se representan encerran-
do sus elementos entre pareacutentesis Por ejemplo (3 4) (6 8) (9 1) (4 3) etceacutetera
Objeto de aprendizaje Parejas ordenadas
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8 Matemaacuteticas III
Actividad 1
Igualdad de parejasObserva que si cambias los nuacutemeros de lugar no quieren decir lo mismo es decir3 y 4 es una pareja ordenada pero 4 y 3 hace referencia a un arreglo distinto En
general las parejas ordenadas cumplen que
(a b) (b a)y
(a b) (b a) si y solo si a b
Esto quiere decir que para considerar iguales a dos parejas estas deben tenerlos mismos elementos en el mismo orden Por ejemplo (5 5)
Organiacutezate con tus compantildeeros formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnos yresuelvan los siguientes ejercicios con una actitud de respeto y tolerancia Al final reflexionen con los integrantesde otro equipo sus procedimientos y resultados
1 La fonda de Chonita tiene tortas de jamoacuten y tacos de pollo para comer y agua de jamaica refresco y jugo parabeber Formen todos los posibles menuacutes que Chonita puede tener
2 La floreriacutea ldquoMil hojasrdquo tiene rosas tulipanes y orquiacutedeas como flores y helecho y dracaena como follaje Cons-truyan los posibles arreglos que puede hacer de un tipo de flor con un tipo de follaje
3 En la fiesta de Luis su mamaacute quiere servir algunas ensaladas que contengan un tipo de fruta y un tipo desemilla Cuenta con frutas como naranjas uvas papayas y mangos en cuanto a las semillas tiene nuecesalmendras avellanas y pistaches Describan las ensaladas que puede haber en la fiesta de Luis
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 9
Ejemplo
Una forma de encontrar todas las posibles parejas ordenadas de nuacutemeros entre dos
conjuntos es por medio del producto cartesiano que se representa como A B Producto cartesiano Es lacoleccioacuten de todas las relaciones(combinaciones) de los elementosde A con los elementos de B
Desarrolla el producto cartesiano A B y B A dados A 1 2 3 y B 1 2 3 4
Solucioacuten
A B
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
Ahora
B A
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
(4 1) (4 2) (4 3) (4 4)
Observa que las parejas (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3) (3 1) (3 2) y (3 3) son iguales en ambos pro-ductos
El producto cartesiano de dos conjuntos de nuacutemeros es un nuevo conjunto de pa-
rejas ordenadas en el que todas estas son distintas El primer elemento correspondeal conjunto A y el segundo elemento corresponde al conjunto B
Observa que si el conjunto A tiene tres elementos y el conjunto B tiene cuatroentonces el conjunto A B tiene 3 4 12 elementos (parejas ordenadas) de
ahiacute la razoacuten de llamarlo producto (multiplicacioacuten) y se le llama cartesiano porque sepuede representar graacute1047297camente en un plano cartesiano como el siguiente
Una aplicacioacuten de las parejas ordenadas es la localizacioacuten de puntos en el sistema
de coordenadas rectangulares
1 2 3 A
(1 4)
(1 3)
(1 2)
(1 1)
(2 4)
(2 3)
(2 2)
(2 1)
(3 4)
(3 3)
(3 2)
(3 1)
B
4
3
2
1
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10 Matemaacuteticas III
Actividad 2
Organiacutezate con tus compantildeeros y reuacutenanse en parejas conformadas por una alumna y un alumno realicen demanera colaborativa los siguientes ejercicios Recuerden mantener siempre una actitud de respeto y responsa-bilidad Compartan en plenaria sus procedimientos y resultados Al final califiquen su desempentildeo con la guiacutea deautoobservacioacuten
1 Respondan las siguientes preguntas respecto a las caracteriacutesticas del sistema de coordenadas
a ) iquestCuaacutentas rectas numeacutericas conforman el sistema de coordenadas rectangulares
b ) iquestCuaacutel es la posicioacuten de cada una de estas rectas
Traza un cuadrado y un triaacutengulo en el siguiente sistema de coordenadas rectangulares luego descriacutebelos indican-do las coordenadas (x y ) que representan a sus veacutertices
Solucioacuten
Cada uno de los puntos que se acaban de localizar tiene dos elementos o referenciasuna estaacute sobre el eje X denominada abscisa y la otra sobre el eje Y denominadaordenada Por tanto las parejas ordenadas tienen la siguiente forma
(abscisa ordenada)
La abscisa siempre se localiza sobre el eje X (tambieacuten se le llama eje de las abscisas)y la ordenada sobre el eje Y (conocido como eje de las ordenadas)
Las coordenadas del cuadro son
(3 3) (3 3) (3 3) y (3 3)
Las coordenadas del triaacutengulo son
(0 4) (0 6) y (4 4)
Ejemplo
Abscisa Es la coordenada x de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
Ordenada Es la coordenada y de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
G L O S A R I O
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 11
c ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta horizontal
d ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta vertical
e ) iquestCoacutemo se llama al punto donde se cruzan los ejes
f ) iquestCoacutemo se llaman las regiones en las que se divide al plano y cuaacutentas son
g ) iquestCuaacuteles son los signos de cada cuadrante
2 Dados los siguientes conjuntos calculen los productos cartesianos y represeacutentenlos en un plano Ademaacutesrodeen las parejas ordenadas iguales
A a b c d B 1 3 5 C 2 4 6 8 D x y z
a ) A B f ) B D
b ) C D g ) B A
c ) A C h ) D C
d ) C B i ) B C
e ) D A j ) A D
3 Localicen en un mismo sistema de coordenadas rectangulares los siguientes puntos e identifiquen a queacute cua-drante pertenecen
a ) A (4 2) h ) H (8 3)
b ) B (3 5) i ) I 64
125
c ) C 12
14
j ) J (6 2)
d ) D (2 7) k ) K 83
3
e ) E (7 3) l ) L(0 0)
f ) F
2
3
4
5 m ) M (
1
2)
g ) G (24) n ) N ( 5 8)
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12 Matemaacuteticas III
4 Escriban las coordenadas de los puntos que se muestran en el siguiente plano cartesiano
a ) A ( ) f ) F ( )
b ) B ( ) g ) G ( )
c ) C ( ) h ) H ( )
d ) D ( ) i ) I ( )
e ) E ( ) j ) J ( )
5 Representen en un sistema de coordenadas rectangula-res los poliacutegonos con los siguientes veacutertices e incluacuteyan-los en su portafolio de evidencias
a ) A (3 4) B (2 1) C (51)
b ) A (9 3) B (5 1) C (4 0)
c ) A (4 2) B (2 3) C (16) D (0 4)
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
G
F
E
A
C
B
D
J
I
H
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como pareja
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Trazamos correctamente el sistema de coordenadas identificando los ejes
2 Ubicamos los puntos en el cuadrante correcto
3 Unimos correctamente los puntos formando la figura geomeacutetrica
4 Identificamos la figura correctamente de acuerdo con el nuacutemero y posicioacutende los veacutertices
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia el desarrollo de lasolucioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 13
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas de preferencia alumno y alumna Realicen los siguientes ejerci-cios de manera colaborativa
1 Tracen las liacuteneas rectas siguientes una de ellas pasa por A (0 6) y B (6 0) la otra pasa por C (6 6) y D (0 0)comprueben que estas liacuteneas rectas se cruzan en el punto (3 3)
2 Dibujen en un sistema coordenado un triaacutengulo isoacutesceles (de cualquier medida) Luego indiquen las coorde-nadas de sus tres veacutertices tambieacuten marquen dos puntos que esteacuten dentro y dos puntos que esteacuten afuera deltriaacutengulo e indiquen sus coordenadas
3 Grafiquen en un mismo sistema de referencia cada uno de los siguientes grupos de coordenadas uacutenanlos yescriban el tipo de figura geomeacutetrica
a ) A(2 4) B (2 1) C (2 1) D (2 4)
b ) E (2 5) F (5 2) G (04)
c ) H (3 5) I (3 9) J (3 5)
d ) K (42) L(44) M (24) N (2 2)
e ) O (5 2) P (1 2) Q (1 4) R (5 4)
4 Resuelvan los siguientes problemas
a ) Mariacutea tiene una casa con una puerta al sur sale de ella ycamina 4 cuadras luego decide caminar 3 cuadras al estedespueacutes gira hacia el sur y avanza otras 5 cuadras final-mente da vuelta al norte y avanza 8 cuadras Si se coloca lacasa de Mariacutea en el origen de un sistema de coordenadasrectangulares y se sigue su trayectoria iquesten queacute punto seencontraraacute al final de su camino Elaboren una hipoacutetesis ycomprueacutebenla en un sistema de coordenadas
b ) El terreno de Feacutelix tiene coordenadas (5 2) (10 2) (5 10)y (10 10)
i Ubiquen el terreno en un sistema de coordenadas rec-
tangulares ii iquestQueacute forma tiene el terreno iii Calculen su aacuterea
Actividad 3
copy E l z b i e t a S e k o w s k a S h u t t e r s t o c k
copy G o D u n k 1 3 S h u t t e r s t o c k
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14 Matemaacuteticas III
c ) En la clase de Biologiacutea Pati realizoacute un experimento paraobservar el crecimiento de una colonia de bacilos Seregistraron los siguientes datos anotando el tiempo quetranscurrioacute y el nuacutemero de bacilos presentes en el ex-perimento
bull 200 bacilos en 6 minutosbull 300 bacilos en 12 minutosbull 500 bacilos en 18 minutosbull 1000 bacilos en 24 minutosbull 1800 bacilos en 30 minutos
Representen los pares de valores que Pati recaboacute en un sistema de coordenadas rectangulares en el que el ejehorizontal sea el tiempo y el eje vertical el nuacutemero de bacilos
copy
M a t e j K a s t e l i c S h u t t e r s t o c k
En geometriacutea analiacutetica pueden presentarse dos problemas fundamentales relacio-nados con los lugares geomeacutetricos
1 Dada una ecuacioacuten encuentra el lugar geomeacutetrico que la representa2 Dado un lugar geomeacutetrico encuentra la ecuacioacuten que lo representa
Con esto en mente podemos hablar de un meacutetodo general para resolver proble-mas de geometriacutea analiacutetica que consta de tres secciones bien de1047297nidas
1 Geomeacutetrica En esta expondraacutes todo lo que sabes respecto al lugar geomeacutetricoque se propone antes de iniciar con el anaacutelisis
2 Analiacutetica Aquiacute efectuaraacutes el anaacutelisis de las ecuaciones dadas para ello usaraacutesaacutelgebra y aritmeacutetica
3 Conclusioacuten Esta parte es importantiacutesima ya que aquiacute redactaraacutes lo que hayas
encontrado a lo largo de todo el proceso
Encontraraacutes problemas en los que es preciso efectuar primero la parte analiacutetica y
despueacutes la geomeacutetrica sin embargo habraacute otros en los que tanto la parte analiacuteticacomo la geomeacutetrica deberaacuten desarrollarse al mismo tiempo pero en cualquiera delos casos ambas estaacuten presentes
Cuando queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con una expresioacutenalgebraica sugerimos realizar los siguientes pasos
1 Haz una tabulacioacuten en donde se asignen valores a x
2 Calcula los valores de y sustituyendo en la ecuacioacuten original
Objeto de aprendizaje Lugares geomeacutetricos
Lugar geomeacutetrico Es un conjuntode puntos que cumplen una
propiedad geomeacutetrica en particular G L O
S A R I O
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 15
3 Calcula las intersecciones con los ejes
a) Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y
b) Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
4 Por uacuteltimo elabora la graacute1047297ca colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten
con los ejes
Ejemplos
1 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Si observas la ecuacioacuten te daraacutes cuenta de que es una ecuacioacuten lineal por lo que se representa como unarecta pero iquestcuaacuteles son las caracteriacutesticas de esta recta en particular Sigamos los pasos propuestos re-cuerda que para graficar una liacutenea recta son suficientes dos puntos
x 2 1
y 4 5
(x y ) (2 4) (1 5)
Para las intersecciones con los ejes
Con el eje Y x
0 y 3x 2
y 3(0) 2
y 0 2
y 2
La interseccioacuten con el eje Y es el punto (0 2)Con el eje X y 0
y 3x 2
0 3x 2
0 2 3x
23
x
x 23
La interseccioacuten con el eje X es el punto 23
0
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16 Matemaacuteticas III
bull Parte geomeacutetrica
Haciendo la graacutefica tenemos que el lugar geomeacutetrico y 3x 2 es
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
y 3 x 2
X
Y
bull Conclusioacuten
El lugar geomeacutetrico es una liacutenea recta que interseca al eje Y en y 2 y al eje X en x 23
Por otro lado si queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con un conjunto de pares ordenadoste sugerimos seguir los siguientes pasos
a ) Hacer una tabulacioacuten con los valores de x y y
b ) Calcular la relacioacuten que se presenta entre los datos
c ) Calcular las intersecciones con los ejes
i Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y ii Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
d ) Por uacuteltimo hacer la graacutefica colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten con los ejes
2 iquestQueacute ecuacioacuten representaraacute el lugar geomeacutetrico que contiene a las siguientes parejas ordenadas (5 25)(4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4) (3 9) (4 16) (5 25)
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero colocamos las parejas ordenadas en una tabla para visualizar la relacioacuten entre las abscisas y lasordenadas
x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
y iquest 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 17
Para encontrar la relacioacuten debemos preguntarnos iquestqueacute le hacemos a5 para que sea 25 iquesta4 para quesea 16 iquesta 3 para que sea 9 etceacutetera
Si pensamos un poco la respuesta es evidentehellip iexclClaro Lo elevamos al cuadrado o sea
25
(
5)
2
16
(
4)
2
9
(
3)
2
etceacutetera
Por tanto la relacioacuten es y x 2
Recordemos que las ecuaciones de este tipo por lo general representan una paraacutebola con veacutertice enel origen que es la uacutenica interseccioacuten con el eje X o Y para verificar lo anterior desarrollemos la partegeomeacutetrica
bull Parte geomeacutetrica
Si graficamos los puntos que tenemos y los
unimos con una curva suave entonces seforma la paraacutebola coacutencava hacia arriba consu veacutertice en el origen
5
10
15
20
25
55 X
Y
bull Conclusioacuten
Entonces tenemos que los puntos (5 25) (4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4)(3 9) (4 16) (5 25) representan el lugar geomeacutetrico denominado paraacutebola con veacutertice en el origen cuya
ecuacioacuten es y x 2
3 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y x 2 4
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero tabulemos la ecuacioacutenComo vimos las liacuteneas rectas soacutelo necesitan 2 puntos en la tabulacioacuten pero en este caso no hablamos
de una ecuacioacuten lineal asiacute que en todas las ecuaciones diferentes de las lineales se tendraacuten que tabular
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Utilizas
distintasformas dela ecuacioacutende una recta
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan realizar
un estudio de las propiedades geomeacutetricas de la recta y de sus
posibilidades analiacuteticas
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta
bull Transforma ecuaciones de una forma a otra
bull Utiliza distintas formas de la ecuacioacuten de la recta para solucionar
problemas yo ejercicios de la vida cotidiana
Bloque IV
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copy P h o t o r e d a k t o r D r e a m s t i m e
Objetos de aprendizaje
bull Ecuaciones de la recta
991252Pendiente y ordenada al origen
991252Punto-pendiente 991252Dos puntos
991252Simeacutetrica
bull Ecuacioacuten general y normal de la ecuacioacuten de la recta
bull Distancia de la recta a un punto
bull Distancia entre dos rectas paralelas
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas o graacute1047297cas
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exivacomprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis y disentildea y aplica modelos para probar
su validez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla
un proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten
con pasos especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras
personas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicas
del campo de matemaacuteticasbull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisis
de situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales medianteel lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea
de la informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental
o matemaacuteticamente las magnitudes del espacio
y de las propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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108
Responde correctamente las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es la distancia maacutes corta entre dos puntos
2 iquestCuaacuteles son las referencias miacutenimas para definir una recta en el plano
3 iquestCoacutemo se llama al punto de interseccioacuten de una recta con el eje Y
4 iquestCoacutemo se denomina a la interseccioacuten de la recta con el eje X
5 iquestEn queacute forma de la ecuacioacuten de la recta se puede identificar de inmediato su ldquoinclinacioacutenrdquo y la interseccioacuten de
esta con el eje Y
6 iquestCoacutemo se conoce a la forma de la ecuacioacuten de una recta que contiene como elementos su abscisa y su orde-nada al origen
7 iquestCoacutemo se escribe la expresioacuten para la forma general de la ecuacioacuten de la recta
8 iquestCuaacuteles son las referencias que necesitamos para emplear la forma normal de la ecuacioacuten de la recta
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 109
Para determinar una recta siempre se necesitan dos referencias como miacutenimo y
esto nos permite usar una forma de la ecuacioacuten de acuerdo con los datos que seproporcionan
1 La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos2 La forma punto-punto que requiere dos puntos pertenecientes a la recta
3 La forma simeacutetrica usa las intersecciones con los ejes
4 La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores
5 La forma normal emplea la distancia al origen y el aacutengulo de inclinacioacuten de la
recta que representa dicha distancia
Estudiaremos todas a lo largo del bloque
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendientey ordenada en el origeniquestCoacutemo se puede trazar la graacute1047297ca de una recta de manera raacutepida y sin la ayudade una tabulacioacuten Necesitamos dos referencias una de ellas puede ser un punto
ldquoespecialrdquo que obtenemos de la interseccioacuten con el eje Y al que se designa con laletra b por tanto sus coordenadas son (0 b) y se le llama ordenada en el origen
la otra referencia es m la pendiente iquestCoacutemo identi1047297carla en la ecuacioacuten de unarecta iexclEs muy faacutecil
A partir de la de1047297nicioacuten del punto al cual corresponde la ordenada en el origen
(0 b) y la pendiente de una recta (m) podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuacioacuten de la recta veamos
y = mx + b
expresioacuten que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquierpunto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y su-
mada a la interseccioacuten con el eje Y
Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta
9 iquestCuaacuteles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta
10 iquestCuaacuteles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas
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110 Matemaacuteticas III
Ejemplos
1 Grafica la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen
y mx b
y 3x 2
Entonces la ecuacioacuten tiene como ordenada en el origen b 2 estosignifica que en ese lugar la recta interseca al eje Y ademaacutes es faacutecilobservar que la pendiente es m 3 Graacuteficamente
Si deseas trazar la recta puedes graficarla pendiente a partir de la ordenada enel origen tal como vimos en el bloqueanterior
2 Grafica la ecuacioacuten y 3
2
x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Toma la ecuacioacuten y compaacuterala con la forma pendiente-ordenada en el origen
y 32
x 2
y mx b
A esta forma de la recta se le denomina forma comuacuten o pendiente-ordenada
en el origen y es muy uacutetil ya que mediante ella es posible identi1047297car de inmediatola pendiente y la ordenada en el origen
X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
b Ordenada en el origen
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
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Y
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4
5
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7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
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Y
7
6
5
4
3
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1
1
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3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
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Y
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Y
7
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Y
Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
Portal de Conocimiento
DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
Student ResourcIn Conte
Portal de Conocimie
SOLUCIONES PARA LA INVESTIGACIOacuteN Y LA BIBLIOTECA
CIENCIAS E INGENIERIacuteA MULTIDISCIPLINAR
Accesa con esta direccioacuten a tus soluciones de investigacioacuten
httpwwwcengagecommxportaldelconocimiento
TIPOS DE CONTENIDOPublicaciones acadeacutemicas revistas noticias podcasts
imaacutegenes videos y ligas a sitios web
wwwcengagecom
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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S E M ESTR E
T E R C E R Patricia Ibaacutentildeez arrascoPatricia Ibaacutentildeez Carrasco
Gerardo Garciacutea TorresGerardo Garciacutea Torres
Australia bull Brasil bull Corea bull Espantildea bull Estados Unidos bull Japoacuten bull Meacutexico bull Reino Unido bull Singapur
Segunda edicioacuten
Revisioacuten teacutecnica Ing Edgar Gonzaacutelez Yebra
Jefe del Departamento de MatemaacuteticasDireccioacuten de Medios y Meacutetodos Educativos
Secretariacutea de Educacioacuten de Guanajuato
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copy DR 2014 por Cengage Learning Editores SA de CVuna Compantildeiacutea de Cengage Learning IncCorporativo Santa FeAv Santa Fe nuacutem 505 piso 12Col Cruz Manca Santa FeCP 05349 Meacutexico DFCengage Learningreg es una marca registradausada bajo permiso
DERECHOS RESERVADOS Ninguna parte deeste trabajo amparado por la Ley Federal delDerecho de Autor podraacute ser reproducidatransmitida almacenada o utilizada encualquier forma o por cualquier medio ya seagraacutefico electroacutenico o mecaacutenico incluyendopero sin limitarse a lo siguiente fotocopiadoreproduccioacuten escaneo digitalizacioacuten
grabacioacuten en audio distribucioacuten en Internetdistribucioacuten en redes de informacioacuten oalmacenamiento y recopilacioacuten en sistemasde informacioacuten a excepcioacuten de lo permitidoen el Capiacutetulo III Artiacuteculo 27 de la Ley Federaldel Derecho de Autor sin el consentimientopor escrito de la Editorial
Datos para catalogacioacuten bibliograacuteficaIbaacutentildeez Carrasco Patricia y Gerardo Garciacutea TorresMatemaacuteticas III segunda edicioacuten
ISBN 13 978-607-519-048-8ISBN 10 607-519-048-1
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Impreso en Meacutexico
1 2 3 4 5 6 7 17 16 15 14
Matemaacuteticas III Segunda edicioacuten Patricia Ibaacutentildeez CarrascoGerardo Garciacutea Torres
Presidente de Cengage LearningLatinoameacutericaFernando Valenzuela Migoya
Director editorial de produccioacuteny de plataformas digitales paraLatinoameacutericaRicardo H Rodriacuteguez
Gerente de procesos paraLatinoameacutericaClaudia Islas Licona
Gerente de manufactura paraLatinoameacutericaRauacutel D Zendejas Espejel
Gerente editorial decontenidos en espantildeolPilar Hernaacutendez Santamarina
Coordinador de manufacturaRafael Peacuterez Gonzaacutelez
EditorasIvonne Arciniega TorresGloria Luz Olguiacuten Sarmiento
Disentildeo de portadaEdiciones OVA
Composicioacuten tipograacuteficaHeriberto Gachuz Chaacutevez
Fotografiacuteas de interioresDreamstimeShutterstock
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CONTENIDO
Bloque I
Reconoces lugares geomeacutetricos 2
Evaluacioacuten diagnoacutestica 4
Geometriacutea analiacutetica introductoria 5
Sistema de coordenadas rectangulares 6
Parejas ordenadas 7Igualdad de parejas 8
Lugares geomeacutetricos 14
Lectura Matemaacuteticas y GPS 23
Evaluacioacuten formativa por proyectos 25
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 26
Mi competencia 1047297nal 27Lista de cotejo 30
Bloque II
Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneosy poliacutegonos 32
Evaluacioacuten diagnoacutestica 34
Segmentos rectiliacuteneos 35
Segmentos rectiliacuteneos dirigidos y no dirigidos 35
Distancia entre dos puntos 37
Periacutemetro y aacuterea de poliacutegonos 44
Punto de divisioacuten de un segmento 51
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Punto medio 55
Lectura Mapas Coordenadas geograacute1047297cas 65
Evaluacioacuten formativa por proyectos 67
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 68Mi competencia 1047297nal 69
Lista de cotejo 70
Bloque III
Aplicas los elementos de una rectacomo lugar geomeacutetrico 72
Evaluacioacuten diagnoacutestica 74
Liacutenea recta 75
De1047297nicioacuten 75
Pendiente y aacutengulo de inclinacioacuten de una recta 78
Relacioacuten de la pendiente con el aacutengulo de inclinacioacuten 85
Aacutengulo formado por dos rectas 89Condiciones de paralelismo y perpendicularidad 96Lectura Liacutenea recta 100
Evaluacioacuten formativa por proyectos 101
Guiacutea de autoobservacioacuten de evaluacioacuten formativa por proyectos 102
Mi competencia 1047297nal 103
Lista de cotejo 104
Bloque IV
Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 106
Evaluacioacuten diagnoacutestica 108
Ecuaciones de la recta 109
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendiente y ordenada en el origen 109
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Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendiente 116
Ecuacioacuten de la recta dados dos puntos 119
Forma simeacutetrica de la ecuacioacuten de la recta 127
Ecuacioacuten de la recta dadas sus intersecciones con los ejes 128
Forma general y normal de la ecuacioacutende la recta 134
Forma normal de la ecuacioacuten de la recta 141
Conversioacuten de la forma general a la forma normal 143
Distancia dirigida de una rectaa un punto 148
Distancia no dirigida entre un punto y una recta 152
Distancia entre dos rectas paralelas 155
Lectura Liacutenea recta y funciones 158
Evaluacioacuten formativa por proyectos 161
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 162
Mi competencia 1047297nal 163
Lista de cotejo 164
Bloque 5
Aplicas los elementos y las ecuacionesde una circunferencia 166
Evaluacioacuten diagnoacutestica 168
Circunferencia 172De1047297nicioacuten y elementos 172
Rectas y segmentos 173
Ecuaciones de la circunferencia 176
Ecuacioacuten canoacutenica de la circunferencia 176
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Ecuacioacuten ordinaria de la circunferencia 181
Obtencioacuten de la ecuacioacuten a partir del centro y el radio 181
Radio y centro de una circunferencia con centro fuera del origen 182
Forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia 189De la forma general a la ordinaria 195
Ecuacioacuten de la circunferencia que pasapor tres puntos 200
Lectura El ciacuterculo en la naturaleza 210
Evaluacioacuten formativa por proyectos 211
Guiacutea de autoevaluacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 212Mi competencia 1047297nal 213
Lista de cotejo 216
Bloque VI
Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola 218
Evaluacioacuten diagnoacutestica 220
Paraacutebola 221
Elementos asociados con la paraacutebola 222
Ecuacioacuten ordinaria de paraacutebolas verticalesy horizontales con veacutertice en el origen 227
La paraacutebola a partir de su ecuacioacuten 232
Ecuacioacuten de una paraacutebola a partir de sus elementos 236
Ecuacioacuten ordinaria de paraacutebolas verticalesy horizontales con veacutertice fuera del origen 241
Los elementos a partir de la ecuacioacuten 241
La ecuacioacuten a partir de los elementos 246
Forma general de la ecuacioacuten de la paraacutebola 248
Conversioacuten de la forma ordinaria a la general 249
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Conversioacuten de la forma general a la ordinaria 254
Lectura Formas paraboacutelicas 261
Evaluacioacuten formativa por proyectos 263
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 264
Mi competencia 1047297nal 265
Lista de cotejo 268
Bloque VII
Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse 270
Evaluacioacuten diagnoacutestica 272
Elipse 273
Elementos asociados con la elipse 274
Ecuacioacuten ordinaria de elipses horizontalesy verticales con centro en el origen yejes paralelos a los ejes cartesianos 276
Elipse horizontal 276
Elipse vertical 276Lado recto de la elipse 277
Ecuacioacuten ordinaria de elipses horizontalesy verticales con centro fuera del origen yejes paralelos a los ejes 283
Forma general de la ecuacioacuten de la elipse 289Lectura Propiedades de la elipse 294
Evaluacioacuten formativa por proyectos 297
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 298
Mi competencia 1047297nal 299
Lista de cotejo 302
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Reconoces
lugaresgeomeacutetricos
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan
reconocer las caracteriacutesticas matemaacuteticas que de1047297nen un lugar
geomeacutetrico
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Identi1047297ca las caracteriacutesticas de un sistema de coordenadas
rectangulares
bull Interpreta la informacioacuten a partir de la nocioacuten de parejas
ordenadas
bull Reconoce las relaciones entre variables que conforman las parejas
ordenadas para determinar un lugar geomeacutetrico
Bloque I
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copy z e n t i l i a S h u t t e r S t o c k
Objetos de aprendizaje
bull Geometriacutea analiacutetica introductoria
bull Sistema de coordenadas rectangulares
bull Parejas ordenadas 991252Igualdad de parejas
bull Lugares geomeacutetricos
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas y graacute1047297cas asimismo interpreta tablas mapas
diagramas y textos con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exiva
comprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis disentildea y aplica modelos para probar suvalidez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un
proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten con pasos
especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otraspersonas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicasdel campo de matemaacuteticas
bull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisisde situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales mediante el
lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea de la
informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental o
matemaacuteticamente las magnitudes del espacio y de las
propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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Completa los siguientes enunciados
1 El sistema de coordenadas estaacute compuesto por
2 iquestCuaacutentos cuadrantes tiene el sistema de coordenadas cartesianas
3 La combinacioacuten de todas las combinaciones de los elementos de dos conjuntos se denomina
4 En una pareja de elementos en la que si se cambia el orden se cambia el sentido
5 La coordenada x se denomina
6 La coordenada y se denomina
7 Conjunto de puntos que cumplen una relacioacuten matemaacutetica
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 5
La geometriacutea analiacutetica se ha desarrollado desde tiempos remotos Podemos con-siderar la obra de Fibonacci Practica Geometriae como el punto de arranquede la geometriacutea renacentista aunque uacutenicamente se ocupe de la medida de aacutereas de
poliacutegonos y voluacutemenes de cuerposDebemos a Jordanus Nemorarius la primera formulacioacuten correcta del problema
del plano inclinadoEn Pariacutes el profesor Nicole Oresme utilizoacute coordenadas rectangulares en una
de sus obras de forma primitiva y rudimentaria para la representacioacuten graacute1047297ca deciertos fenoacutemenos fiacutesicos
Sin duda uno de los grandes en esta materia fue Reneacute Descartes con su famo-sa obra el Discurso del Meacutetodo en cuyo apeacutendice llamado ldquoGeacuteometrierdquo detalla lasinstrucciones geomeacutetricas para resolver ecuaciones cuadraacuteticas despueacutes describe
la aplicacioacuten del aacutelgebra a ciertos problemas geomeacutetricos Casi toda la ldquoGeacuteometrierdquoestaacute dedicada a la interrelacioacuten del aacutelgebra y la geometriacutea con ayuda del sistema de
coordenadas justo lo que actualmente denominamos geometriacutea analiacutetica
Reneacute Descartes
Geometriacutea analiacuteticaintroductoria
Objeto de aprendizaje
Actividad de investigacioacuten 1
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas como actividad extraclase investiguen en fuentes impresas yelectroacutenicas (Internet) los antecedentes de la geometriacutea analiacutetica y disentildeen una liacutenea de tiempo en la que se desta-que a los principales precursores su aportacioacuten y el antildeo correspondiente Elaboren una presentacioacuten electroacutenica y
expoacutenganla ante el grupo para su realimentacioacuten Despueacutes evaluacuteen su desempentildeo con la guiacutea de autoobservacioacuten
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6 Matemaacuteticas III
Guiacutea de autoobservacioacuten
Un arreglo de dos rectas numeacutericas (una en posicioacuten horizontal y otra en posicioacuten vertical) unidas en sus ceros (origen) se denomina sistema de coordenadas rec-
tangulares o plano cartesiano en honor a Reneacute Descartes
La recta horizontal se llama eje X y la recta vertical eje Y Observa que el siste-ma de coordenadas divide al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
Negativos
Positivos
Cuadrante I ()
Cuadrante IV ()
Cuadrante II ()
Cuadrante III ()
Origen
Sistema de coordenadasrectangulares Es un arreglo de dosrectas numeacutericas una horizontal y laotra vertical que se unen en el cero(origen)
Eje X Es la recta horizontaldel sistema de coordenadasrectangulares
Eje Y Es la recta vertical del sistemade coordenadas rectangulares
Cuadrantes Son las cuatroregiones en las que se divide al planoen el sistema de coordenadas
G L O S A R I O
Coordenada (2 3)
Objeto de aprendizaje Sistema de coordenadasrectangulares
Y
X
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Empleamos las TIC para presentar nuestra informacioacuten
2 Empleamos fuentes de informacioacuten confiable y relevante tanto en formaelectroacutenica como impresa
3 Elaboramos una liacutenea de tiempo que destaca precursores antildeo y aportaciones
4 Manejamos de manera fluida la informacioacuten que expusimos al grupo
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia la realimentacioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 7
El primer cuadrante tiene la parte positiva del eje X y del eje Y el segundo
cuadrante tiene la parte negativa del eje X y la parte positiva del eje Y el tercer cua-drante tiene la parte negativa del eje X y del eje Y y el cuarto cuadrante tiene la partepositiva del eje X y la parte negativa del eje Y
Pareja ordenada Es una parejade nuacutemeros ( x y ) escritos en unorden particular
Para iniciar el tema analicemos el siguiente ejemplo Mariacutea tiene blusas de color
blanco y rosa y faldas de color cafeacute azul y negro Quiere saber cuaacutentos posiblesatuendos puede tener Aquiacute estaacute la lista que obtuvo
bull Blusa blanca con falda cafeacutebull Blusa blanca con falda azulbull Blusa blanca con falda negrabull Blusa rosa con falda cafeacutebull Blusa rosa con falda azulbull Blusa rosa con falda negra
Ademaacutes tiene la idea de darle un nuacutemero a
cada blusa y a cada falda para que sea maacutes faacutecilescoger el atuendo
bull Blusas
1 blanca
2 rosa
bull Faldas
1 cafeacute
2 azul
3 negra
Haciendo la ldquotraduccioacutenrdquo obtuvo la siguiente lista
1 1
1 21 3
2 12 2
2 3
En donde el primer nuacutemero pertenece a la blusa y el segundo a la falda Observaque no tendriacutea ninguacuten signi1047297cado pedir (3 2) ya que no hay ninguna blusa 3 En-
tonces el orden en estas parejas es importante lo mismo sucederaacute con las parejasde nuacutemeros que veremos a continuacioacuten
Las parejas ordenadas tienen dos elementos uno de ellos ocupa el primer lugary otro el segundo y si se cambian de lugar el sentido variacutea Se representan encerran-
do sus elementos entre pareacutentesis Por ejemplo (3 4) (6 8) (9 1) (4 3) etceacutetera
Objeto de aprendizaje Parejas ordenadas
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8 Matemaacuteticas III
Actividad 1
Igualdad de parejasObserva que si cambias los nuacutemeros de lugar no quieren decir lo mismo es decir3 y 4 es una pareja ordenada pero 4 y 3 hace referencia a un arreglo distinto En
general las parejas ordenadas cumplen que
(a b) (b a)y
(a b) (b a) si y solo si a b
Esto quiere decir que para considerar iguales a dos parejas estas deben tenerlos mismos elementos en el mismo orden Por ejemplo (5 5)
Organiacutezate con tus compantildeeros formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnos yresuelvan los siguientes ejercicios con una actitud de respeto y tolerancia Al final reflexionen con los integrantesde otro equipo sus procedimientos y resultados
1 La fonda de Chonita tiene tortas de jamoacuten y tacos de pollo para comer y agua de jamaica refresco y jugo parabeber Formen todos los posibles menuacutes que Chonita puede tener
2 La floreriacutea ldquoMil hojasrdquo tiene rosas tulipanes y orquiacutedeas como flores y helecho y dracaena como follaje Cons-truyan los posibles arreglos que puede hacer de un tipo de flor con un tipo de follaje
3 En la fiesta de Luis su mamaacute quiere servir algunas ensaladas que contengan un tipo de fruta y un tipo desemilla Cuenta con frutas como naranjas uvas papayas y mangos en cuanto a las semillas tiene nuecesalmendras avellanas y pistaches Describan las ensaladas que puede haber en la fiesta de Luis
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 9
Ejemplo
Una forma de encontrar todas las posibles parejas ordenadas de nuacutemeros entre dos
conjuntos es por medio del producto cartesiano que se representa como A B Producto cartesiano Es lacoleccioacuten de todas las relaciones(combinaciones) de los elementosde A con los elementos de B
Desarrolla el producto cartesiano A B y B A dados A 1 2 3 y B 1 2 3 4
Solucioacuten
A B
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
Ahora
B A
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
(4 1) (4 2) (4 3) (4 4)
Observa que las parejas (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3) (3 1) (3 2) y (3 3) son iguales en ambos pro-ductos
El producto cartesiano de dos conjuntos de nuacutemeros es un nuevo conjunto de pa-
rejas ordenadas en el que todas estas son distintas El primer elemento correspondeal conjunto A y el segundo elemento corresponde al conjunto B
Observa que si el conjunto A tiene tres elementos y el conjunto B tiene cuatroentonces el conjunto A B tiene 3 4 12 elementos (parejas ordenadas) de
ahiacute la razoacuten de llamarlo producto (multiplicacioacuten) y se le llama cartesiano porque sepuede representar graacute1047297camente en un plano cartesiano como el siguiente
Una aplicacioacuten de las parejas ordenadas es la localizacioacuten de puntos en el sistema
de coordenadas rectangulares
1 2 3 A
(1 4)
(1 3)
(1 2)
(1 1)
(2 4)
(2 3)
(2 2)
(2 1)
(3 4)
(3 3)
(3 2)
(3 1)
B
4
3
2
1
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10 Matemaacuteticas III
Actividad 2
Organiacutezate con tus compantildeeros y reuacutenanse en parejas conformadas por una alumna y un alumno realicen demanera colaborativa los siguientes ejercicios Recuerden mantener siempre una actitud de respeto y responsa-bilidad Compartan en plenaria sus procedimientos y resultados Al final califiquen su desempentildeo con la guiacutea deautoobservacioacuten
1 Respondan las siguientes preguntas respecto a las caracteriacutesticas del sistema de coordenadas
a ) iquestCuaacutentas rectas numeacutericas conforman el sistema de coordenadas rectangulares
b ) iquestCuaacutel es la posicioacuten de cada una de estas rectas
Traza un cuadrado y un triaacutengulo en el siguiente sistema de coordenadas rectangulares luego descriacutebelos indican-do las coordenadas (x y ) que representan a sus veacutertices
Solucioacuten
Cada uno de los puntos que se acaban de localizar tiene dos elementos o referenciasuna estaacute sobre el eje X denominada abscisa y la otra sobre el eje Y denominadaordenada Por tanto las parejas ordenadas tienen la siguiente forma
(abscisa ordenada)
La abscisa siempre se localiza sobre el eje X (tambieacuten se le llama eje de las abscisas)y la ordenada sobre el eje Y (conocido como eje de las ordenadas)
Las coordenadas del cuadro son
(3 3) (3 3) (3 3) y (3 3)
Las coordenadas del triaacutengulo son
(0 4) (0 6) y (4 4)
Ejemplo
Abscisa Es la coordenada x de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
Ordenada Es la coordenada y de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
G L O S A R I O
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 11
c ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta horizontal
d ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta vertical
e ) iquestCoacutemo se llama al punto donde se cruzan los ejes
f ) iquestCoacutemo se llaman las regiones en las que se divide al plano y cuaacutentas son
g ) iquestCuaacuteles son los signos de cada cuadrante
2 Dados los siguientes conjuntos calculen los productos cartesianos y represeacutentenlos en un plano Ademaacutesrodeen las parejas ordenadas iguales
A a b c d B 1 3 5 C 2 4 6 8 D x y z
a ) A B f ) B D
b ) C D g ) B A
c ) A C h ) D C
d ) C B i ) B C
e ) D A j ) A D
3 Localicen en un mismo sistema de coordenadas rectangulares los siguientes puntos e identifiquen a queacute cua-drante pertenecen
a ) A (4 2) h ) H (8 3)
b ) B (3 5) i ) I 64
125
c ) C 12
14
j ) J (6 2)
d ) D (2 7) k ) K 83
3
e ) E (7 3) l ) L(0 0)
f ) F
2
3
4
5 m ) M (
1
2)
g ) G (24) n ) N ( 5 8)
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12 Matemaacuteticas III
4 Escriban las coordenadas de los puntos que se muestran en el siguiente plano cartesiano
a ) A ( ) f ) F ( )
b ) B ( ) g ) G ( )
c ) C ( ) h ) H ( )
d ) D ( ) i ) I ( )
e ) E ( ) j ) J ( )
5 Representen en un sistema de coordenadas rectangula-res los poliacutegonos con los siguientes veacutertices e incluacuteyan-los en su portafolio de evidencias
a ) A (3 4) B (2 1) C (51)
b ) A (9 3) B (5 1) C (4 0)
c ) A (4 2) B (2 3) C (16) D (0 4)
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
G
F
E
A
C
B
D
J
I
H
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como pareja
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Trazamos correctamente el sistema de coordenadas identificando los ejes
2 Ubicamos los puntos en el cuadrante correcto
3 Unimos correctamente los puntos formando la figura geomeacutetrica
4 Identificamos la figura correctamente de acuerdo con el nuacutemero y posicioacutende los veacutertices
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia el desarrollo de lasolucioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 13
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas de preferencia alumno y alumna Realicen los siguientes ejerci-cios de manera colaborativa
1 Tracen las liacuteneas rectas siguientes una de ellas pasa por A (0 6) y B (6 0) la otra pasa por C (6 6) y D (0 0)comprueben que estas liacuteneas rectas se cruzan en el punto (3 3)
2 Dibujen en un sistema coordenado un triaacutengulo isoacutesceles (de cualquier medida) Luego indiquen las coorde-nadas de sus tres veacutertices tambieacuten marquen dos puntos que esteacuten dentro y dos puntos que esteacuten afuera deltriaacutengulo e indiquen sus coordenadas
3 Grafiquen en un mismo sistema de referencia cada uno de los siguientes grupos de coordenadas uacutenanlos yescriban el tipo de figura geomeacutetrica
a ) A(2 4) B (2 1) C (2 1) D (2 4)
b ) E (2 5) F (5 2) G (04)
c ) H (3 5) I (3 9) J (3 5)
d ) K (42) L(44) M (24) N (2 2)
e ) O (5 2) P (1 2) Q (1 4) R (5 4)
4 Resuelvan los siguientes problemas
a ) Mariacutea tiene una casa con una puerta al sur sale de ella ycamina 4 cuadras luego decide caminar 3 cuadras al estedespueacutes gira hacia el sur y avanza otras 5 cuadras final-mente da vuelta al norte y avanza 8 cuadras Si se coloca lacasa de Mariacutea en el origen de un sistema de coordenadasrectangulares y se sigue su trayectoria iquesten queacute punto seencontraraacute al final de su camino Elaboren una hipoacutetesis ycomprueacutebenla en un sistema de coordenadas
b ) El terreno de Feacutelix tiene coordenadas (5 2) (10 2) (5 10)y (10 10)
i Ubiquen el terreno en un sistema de coordenadas rec-
tangulares ii iquestQueacute forma tiene el terreno iii Calculen su aacuterea
Actividad 3
copy E l z b i e t a S e k o w s k a S h u t t e r s t o c k
copy G o D u n k 1 3 S h u t t e r s t o c k
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14 Matemaacuteticas III
c ) En la clase de Biologiacutea Pati realizoacute un experimento paraobservar el crecimiento de una colonia de bacilos Seregistraron los siguientes datos anotando el tiempo quetranscurrioacute y el nuacutemero de bacilos presentes en el ex-perimento
bull 200 bacilos en 6 minutosbull 300 bacilos en 12 minutosbull 500 bacilos en 18 minutosbull 1000 bacilos en 24 minutosbull 1800 bacilos en 30 minutos
Representen los pares de valores que Pati recaboacute en un sistema de coordenadas rectangulares en el que el ejehorizontal sea el tiempo y el eje vertical el nuacutemero de bacilos
copy
M a t e j K a s t e l i c S h u t t e r s t o c k
En geometriacutea analiacutetica pueden presentarse dos problemas fundamentales relacio-nados con los lugares geomeacutetricos
1 Dada una ecuacioacuten encuentra el lugar geomeacutetrico que la representa2 Dado un lugar geomeacutetrico encuentra la ecuacioacuten que lo representa
Con esto en mente podemos hablar de un meacutetodo general para resolver proble-mas de geometriacutea analiacutetica que consta de tres secciones bien de1047297nidas
1 Geomeacutetrica En esta expondraacutes todo lo que sabes respecto al lugar geomeacutetricoque se propone antes de iniciar con el anaacutelisis
2 Analiacutetica Aquiacute efectuaraacutes el anaacutelisis de las ecuaciones dadas para ello usaraacutesaacutelgebra y aritmeacutetica
3 Conclusioacuten Esta parte es importantiacutesima ya que aquiacute redactaraacutes lo que hayas
encontrado a lo largo de todo el proceso
Encontraraacutes problemas en los que es preciso efectuar primero la parte analiacutetica y
despueacutes la geomeacutetrica sin embargo habraacute otros en los que tanto la parte analiacuteticacomo la geomeacutetrica deberaacuten desarrollarse al mismo tiempo pero en cualquiera delos casos ambas estaacuten presentes
Cuando queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con una expresioacutenalgebraica sugerimos realizar los siguientes pasos
1 Haz una tabulacioacuten en donde se asignen valores a x
2 Calcula los valores de y sustituyendo en la ecuacioacuten original
Objeto de aprendizaje Lugares geomeacutetricos
Lugar geomeacutetrico Es un conjuntode puntos que cumplen una
propiedad geomeacutetrica en particular G L O
S A R I O
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 15
3 Calcula las intersecciones con los ejes
a) Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y
b) Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
4 Por uacuteltimo elabora la graacute1047297ca colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten
con los ejes
Ejemplos
1 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Si observas la ecuacioacuten te daraacutes cuenta de que es una ecuacioacuten lineal por lo que se representa como unarecta pero iquestcuaacuteles son las caracteriacutesticas de esta recta en particular Sigamos los pasos propuestos re-cuerda que para graficar una liacutenea recta son suficientes dos puntos
x 2 1
y 4 5
(x y ) (2 4) (1 5)
Para las intersecciones con los ejes
Con el eje Y x
0 y 3x 2
y 3(0) 2
y 0 2
y 2
La interseccioacuten con el eje Y es el punto (0 2)Con el eje X y 0
y 3x 2
0 3x 2
0 2 3x
23
x
x 23
La interseccioacuten con el eje X es el punto 23
0
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16 Matemaacuteticas III
bull Parte geomeacutetrica
Haciendo la graacutefica tenemos que el lugar geomeacutetrico y 3x 2 es
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
y 3 x 2
X
Y
bull Conclusioacuten
El lugar geomeacutetrico es una liacutenea recta que interseca al eje Y en y 2 y al eje X en x 23
Por otro lado si queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con un conjunto de pares ordenadoste sugerimos seguir los siguientes pasos
a ) Hacer una tabulacioacuten con los valores de x y y
b ) Calcular la relacioacuten que se presenta entre los datos
c ) Calcular las intersecciones con los ejes
i Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y ii Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
d ) Por uacuteltimo hacer la graacutefica colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten con los ejes
2 iquestQueacute ecuacioacuten representaraacute el lugar geomeacutetrico que contiene a las siguientes parejas ordenadas (5 25)(4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4) (3 9) (4 16) (5 25)
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero colocamos las parejas ordenadas en una tabla para visualizar la relacioacuten entre las abscisas y lasordenadas
x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
y iquest 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 17
Para encontrar la relacioacuten debemos preguntarnos iquestqueacute le hacemos a5 para que sea 25 iquesta4 para quesea 16 iquesta 3 para que sea 9 etceacutetera
Si pensamos un poco la respuesta es evidentehellip iexclClaro Lo elevamos al cuadrado o sea
25
(
5)
2
16
(
4)
2
9
(
3)
2
etceacutetera
Por tanto la relacioacuten es y x 2
Recordemos que las ecuaciones de este tipo por lo general representan una paraacutebola con veacutertice enel origen que es la uacutenica interseccioacuten con el eje X o Y para verificar lo anterior desarrollemos la partegeomeacutetrica
bull Parte geomeacutetrica
Si graficamos los puntos que tenemos y los
unimos con una curva suave entonces seforma la paraacutebola coacutencava hacia arriba consu veacutertice en el origen
5
10
15
20
25
55 X
Y
bull Conclusioacuten
Entonces tenemos que los puntos (5 25) (4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4)(3 9) (4 16) (5 25) representan el lugar geomeacutetrico denominado paraacutebola con veacutertice en el origen cuya
ecuacioacuten es y x 2
3 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y x 2 4
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero tabulemos la ecuacioacutenComo vimos las liacuteneas rectas soacutelo necesitan 2 puntos en la tabulacioacuten pero en este caso no hablamos
de una ecuacioacuten lineal asiacute que en todas las ecuaciones diferentes de las lineales se tendraacuten que tabular
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Utilizas
distintasformas dela ecuacioacutende una recta
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan realizar
un estudio de las propiedades geomeacutetricas de la recta y de sus
posibilidades analiacuteticas
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta
bull Transforma ecuaciones de una forma a otra
bull Utiliza distintas formas de la ecuacioacuten de la recta para solucionar
problemas yo ejercicios de la vida cotidiana
Bloque IV
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copy P h o t o r e d a k t o r D r e a m s t i m e
Objetos de aprendizaje
bull Ecuaciones de la recta
991252Pendiente y ordenada al origen
991252Punto-pendiente 991252Dos puntos
991252Simeacutetrica
bull Ecuacioacuten general y normal de la ecuacioacuten de la recta
bull Distancia de la recta a un punto
bull Distancia entre dos rectas paralelas
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas o graacute1047297cas
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exivacomprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis y disentildea y aplica modelos para probar
su validez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla
un proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten
con pasos especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras
personas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicas
del campo de matemaacuteticasbull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisis
de situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales medianteel lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea
de la informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental
o matemaacuteticamente las magnitudes del espacio
y de las propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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108
Responde correctamente las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es la distancia maacutes corta entre dos puntos
2 iquestCuaacuteles son las referencias miacutenimas para definir una recta en el plano
3 iquestCoacutemo se llama al punto de interseccioacuten de una recta con el eje Y
4 iquestCoacutemo se denomina a la interseccioacuten de la recta con el eje X
5 iquestEn queacute forma de la ecuacioacuten de la recta se puede identificar de inmediato su ldquoinclinacioacutenrdquo y la interseccioacuten de
esta con el eje Y
6 iquestCoacutemo se conoce a la forma de la ecuacioacuten de una recta que contiene como elementos su abscisa y su orde-nada al origen
7 iquestCoacutemo se escribe la expresioacuten para la forma general de la ecuacioacuten de la recta
8 iquestCuaacuteles son las referencias que necesitamos para emplear la forma normal de la ecuacioacuten de la recta
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 109
Para determinar una recta siempre se necesitan dos referencias como miacutenimo y
esto nos permite usar una forma de la ecuacioacuten de acuerdo con los datos que seproporcionan
1 La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos2 La forma punto-punto que requiere dos puntos pertenecientes a la recta
3 La forma simeacutetrica usa las intersecciones con los ejes
4 La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores
5 La forma normal emplea la distancia al origen y el aacutengulo de inclinacioacuten de la
recta que representa dicha distancia
Estudiaremos todas a lo largo del bloque
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendientey ordenada en el origeniquestCoacutemo se puede trazar la graacute1047297ca de una recta de manera raacutepida y sin la ayudade una tabulacioacuten Necesitamos dos referencias una de ellas puede ser un punto
ldquoespecialrdquo que obtenemos de la interseccioacuten con el eje Y al que se designa con laletra b por tanto sus coordenadas son (0 b) y se le llama ordenada en el origen
la otra referencia es m la pendiente iquestCoacutemo identi1047297carla en la ecuacioacuten de unarecta iexclEs muy faacutecil
A partir de la de1047297nicioacuten del punto al cual corresponde la ordenada en el origen
(0 b) y la pendiente de una recta (m) podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuacioacuten de la recta veamos
y = mx + b
expresioacuten que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquierpunto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y su-
mada a la interseccioacuten con el eje Y
Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta
9 iquestCuaacuteles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta
10 iquestCuaacuteles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas
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110 Matemaacuteticas III
Ejemplos
1 Grafica la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen
y mx b
y 3x 2
Entonces la ecuacioacuten tiene como ordenada en el origen b 2 estosignifica que en ese lugar la recta interseca al eje Y ademaacutes es faacutecilobservar que la pendiente es m 3 Graacuteficamente
Si deseas trazar la recta puedes graficarla pendiente a partir de la ordenada enel origen tal como vimos en el bloqueanterior
2 Grafica la ecuacioacuten y 3
2
x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Toma la ecuacioacuten y compaacuterala con la forma pendiente-ordenada en el origen
y 32
x 2
y mx b
A esta forma de la recta se le denomina forma comuacuten o pendiente-ordenada
en el origen y es muy uacutetil ya que mediante ella es posible identi1047297car de inmediatola pendiente y la ordenada en el origen
X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
b Ordenada en el origen
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
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6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
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4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
6
5
4
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2
1
1
2
3
4
5
6
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7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
6
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7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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6
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7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
6
5
4
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1
1
2
3
4
5
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7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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6
5
4
32
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Y
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1
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7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
Portal de Conocimiento
DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
Student ResourcIn Conte
Portal de Conocimie
SOLUCIONES PARA LA INVESTIGACIOacuteN Y LA BIBLIOTECA
CIENCIAS E INGENIERIacuteA MULTIDISCIPLINAR
Accesa con esta direccioacuten a tus soluciones de investigacioacuten
httpwwwcengagecommxportaldelconocimiento
TIPOS DE CONTENIDOPublicaciones acadeacutemicas revistas noticias podcasts
imaacutegenes videos y ligas a sitios web
wwwcengagecom
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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copy DR 2014 por Cengage Learning Editores SA de CVuna Compantildeiacutea de Cengage Learning IncCorporativo Santa FeAv Santa Fe nuacutem 505 piso 12Col Cruz Manca Santa FeCP 05349 Meacutexico DFCengage Learningreg es una marca registradausada bajo permiso
DERECHOS RESERVADOS Ninguna parte deeste trabajo amparado por la Ley Federal delDerecho de Autor podraacute ser reproducidatransmitida almacenada o utilizada encualquier forma o por cualquier medio ya seagraacutefico electroacutenico o mecaacutenico incluyendopero sin limitarse a lo siguiente fotocopiadoreproduccioacuten escaneo digitalizacioacuten
grabacioacuten en audio distribucioacuten en Internetdistribucioacuten en redes de informacioacuten oalmacenamiento y recopilacioacuten en sistemasde informacioacuten a excepcioacuten de lo permitidoen el Capiacutetulo III Artiacuteculo 27 de la Ley Federaldel Derecho de Autor sin el consentimientopor escrito de la Editorial
Datos para catalogacioacuten bibliograacuteficaIbaacutentildeez Carrasco Patricia y Gerardo Garciacutea TorresMatemaacuteticas III segunda edicioacuten
ISBN 13 978-607-519-048-8ISBN 10 607-519-048-1
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Impreso en Meacutexico
1 2 3 4 5 6 7 17 16 15 14
Matemaacuteticas III Segunda edicioacuten Patricia Ibaacutentildeez CarrascoGerardo Garciacutea Torres
Presidente de Cengage LearningLatinoameacutericaFernando Valenzuela Migoya
Director editorial de produccioacuteny de plataformas digitales paraLatinoameacutericaRicardo H Rodriacuteguez
Gerente de procesos paraLatinoameacutericaClaudia Islas Licona
Gerente de manufactura paraLatinoameacutericaRauacutel D Zendejas Espejel
Gerente editorial decontenidos en espantildeolPilar Hernaacutendez Santamarina
Coordinador de manufacturaRafael Peacuterez Gonzaacutelez
EditorasIvonne Arciniega TorresGloria Luz Olguiacuten Sarmiento
Disentildeo de portadaEdiciones OVA
Composicioacuten tipograacuteficaHeriberto Gachuz Chaacutevez
Fotografiacuteas de interioresDreamstimeShutterstock
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CONTENIDO
Bloque I
Reconoces lugares geomeacutetricos 2
Evaluacioacuten diagnoacutestica 4
Geometriacutea analiacutetica introductoria 5
Sistema de coordenadas rectangulares 6
Parejas ordenadas 7Igualdad de parejas 8
Lugares geomeacutetricos 14
Lectura Matemaacuteticas y GPS 23
Evaluacioacuten formativa por proyectos 25
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 26
Mi competencia 1047297nal 27Lista de cotejo 30
Bloque II
Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneosy poliacutegonos 32
Evaluacioacuten diagnoacutestica 34
Segmentos rectiliacuteneos 35
Segmentos rectiliacuteneos dirigidos y no dirigidos 35
Distancia entre dos puntos 37
Periacutemetro y aacuterea de poliacutegonos 44
Punto de divisioacuten de un segmento 51
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httpslidepdfcomreaderfullibanez-mate-issuu 640iv
Punto medio 55
Lectura Mapas Coordenadas geograacute1047297cas 65
Evaluacioacuten formativa por proyectos 67
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 68Mi competencia 1047297nal 69
Lista de cotejo 70
Bloque III
Aplicas los elementos de una rectacomo lugar geomeacutetrico 72
Evaluacioacuten diagnoacutestica 74
Liacutenea recta 75
De1047297nicioacuten 75
Pendiente y aacutengulo de inclinacioacuten de una recta 78
Relacioacuten de la pendiente con el aacutengulo de inclinacioacuten 85
Aacutengulo formado por dos rectas 89Condiciones de paralelismo y perpendicularidad 96Lectura Liacutenea recta 100
Evaluacioacuten formativa por proyectos 101
Guiacutea de autoobservacioacuten de evaluacioacuten formativa por proyectos 102
Mi competencia 1047297nal 103
Lista de cotejo 104
Bloque IV
Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 106
Evaluacioacuten diagnoacutestica 108
Ecuaciones de la recta 109
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendiente y ordenada en el origen 109
8122019 Ibantildeez Mate Issuu
httpslidepdfcomreaderfullibanez-mate-issuu 740 v
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendiente 116
Ecuacioacuten de la recta dados dos puntos 119
Forma simeacutetrica de la ecuacioacuten de la recta 127
Ecuacioacuten de la recta dadas sus intersecciones con los ejes 128
Forma general y normal de la ecuacioacutende la recta 134
Forma normal de la ecuacioacuten de la recta 141
Conversioacuten de la forma general a la forma normal 143
Distancia dirigida de una rectaa un punto 148
Distancia no dirigida entre un punto y una recta 152
Distancia entre dos rectas paralelas 155
Lectura Liacutenea recta y funciones 158
Evaluacioacuten formativa por proyectos 161
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 162
Mi competencia 1047297nal 163
Lista de cotejo 164
Bloque 5
Aplicas los elementos y las ecuacionesde una circunferencia 166
Evaluacioacuten diagnoacutestica 168
Circunferencia 172De1047297nicioacuten y elementos 172
Rectas y segmentos 173
Ecuaciones de la circunferencia 176
Ecuacioacuten canoacutenica de la circunferencia 176
8122019 Ibantildeez Mate Issuu
httpslidepdfcomreaderfullibanez-mate-issuu 840vi
Ecuacioacuten ordinaria de la circunferencia 181
Obtencioacuten de la ecuacioacuten a partir del centro y el radio 181
Radio y centro de una circunferencia con centro fuera del origen 182
Forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia 189De la forma general a la ordinaria 195
Ecuacioacuten de la circunferencia que pasapor tres puntos 200
Lectura El ciacuterculo en la naturaleza 210
Evaluacioacuten formativa por proyectos 211
Guiacutea de autoevaluacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 212Mi competencia 1047297nal 213
Lista de cotejo 216
Bloque VI
Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola 218
Evaluacioacuten diagnoacutestica 220
Paraacutebola 221
Elementos asociados con la paraacutebola 222
Ecuacioacuten ordinaria de paraacutebolas verticalesy horizontales con veacutertice en el origen 227
La paraacutebola a partir de su ecuacioacuten 232
Ecuacioacuten de una paraacutebola a partir de sus elementos 236
Ecuacioacuten ordinaria de paraacutebolas verticalesy horizontales con veacutertice fuera del origen 241
Los elementos a partir de la ecuacioacuten 241
La ecuacioacuten a partir de los elementos 246
Forma general de la ecuacioacuten de la paraacutebola 248
Conversioacuten de la forma ordinaria a la general 249
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httpslidepdfcomreaderfullibanez-mate-issuu 940 vii
Conversioacuten de la forma general a la ordinaria 254
Lectura Formas paraboacutelicas 261
Evaluacioacuten formativa por proyectos 263
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 264
Mi competencia 1047297nal 265
Lista de cotejo 268
Bloque VII
Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse 270
Evaluacioacuten diagnoacutestica 272
Elipse 273
Elementos asociados con la elipse 274
Ecuacioacuten ordinaria de elipses horizontalesy verticales con centro en el origen yejes paralelos a los ejes cartesianos 276
Elipse horizontal 276
Elipse vertical 276Lado recto de la elipse 277
Ecuacioacuten ordinaria de elipses horizontalesy verticales con centro fuera del origen yejes paralelos a los ejes 283
Forma general de la ecuacioacuten de la elipse 289Lectura Propiedades de la elipse 294
Evaluacioacuten formativa por proyectos 297
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 298
Mi competencia 1047297nal 299
Lista de cotejo 302
8122019 Ibantildeez Mate Issuu
httpslidepdfcomreaderfullibanez-mate-issuu 1040
Reconoces
lugaresgeomeacutetricos
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan
reconocer las caracteriacutesticas matemaacuteticas que de1047297nen un lugar
geomeacutetrico
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Identi1047297ca las caracteriacutesticas de un sistema de coordenadas
rectangulares
bull Interpreta la informacioacuten a partir de la nocioacuten de parejas
ordenadas
bull Reconoce las relaciones entre variables que conforman las parejas
ordenadas para determinar un lugar geomeacutetrico
Bloque I
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Objetos de aprendizaje
bull Geometriacutea analiacutetica introductoria
bull Sistema de coordenadas rectangulares
bull Parejas ordenadas 991252Igualdad de parejas
bull Lugares geomeacutetricos
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas y graacute1047297cas asimismo interpreta tablas mapas
diagramas y textos con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exiva
comprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis disentildea y aplica modelos para probar suvalidez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un
proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten con pasos
especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otraspersonas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicasdel campo de matemaacuteticas
bull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisisde situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales mediante el
lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea de la
informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental o
matemaacuteticamente las magnitudes del espacio y de las
propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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Completa los siguientes enunciados
1 El sistema de coordenadas estaacute compuesto por
2 iquestCuaacutentos cuadrantes tiene el sistema de coordenadas cartesianas
3 La combinacioacuten de todas las combinaciones de los elementos de dos conjuntos se denomina
4 En una pareja de elementos en la que si se cambia el orden se cambia el sentido
5 La coordenada x se denomina
6 La coordenada y se denomina
7 Conjunto de puntos que cumplen una relacioacuten matemaacutetica
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 5
La geometriacutea analiacutetica se ha desarrollado desde tiempos remotos Podemos con-siderar la obra de Fibonacci Practica Geometriae como el punto de arranquede la geometriacutea renacentista aunque uacutenicamente se ocupe de la medida de aacutereas de
poliacutegonos y voluacutemenes de cuerposDebemos a Jordanus Nemorarius la primera formulacioacuten correcta del problema
del plano inclinadoEn Pariacutes el profesor Nicole Oresme utilizoacute coordenadas rectangulares en una
de sus obras de forma primitiva y rudimentaria para la representacioacuten graacute1047297ca deciertos fenoacutemenos fiacutesicos
Sin duda uno de los grandes en esta materia fue Reneacute Descartes con su famo-sa obra el Discurso del Meacutetodo en cuyo apeacutendice llamado ldquoGeacuteometrierdquo detalla lasinstrucciones geomeacutetricas para resolver ecuaciones cuadraacuteticas despueacutes describe
la aplicacioacuten del aacutelgebra a ciertos problemas geomeacutetricos Casi toda la ldquoGeacuteometrierdquoestaacute dedicada a la interrelacioacuten del aacutelgebra y la geometriacutea con ayuda del sistema de
coordenadas justo lo que actualmente denominamos geometriacutea analiacutetica
Reneacute Descartes
Geometriacutea analiacuteticaintroductoria
Objeto de aprendizaje
Actividad de investigacioacuten 1
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas como actividad extraclase investiguen en fuentes impresas yelectroacutenicas (Internet) los antecedentes de la geometriacutea analiacutetica y disentildeen una liacutenea de tiempo en la que se desta-que a los principales precursores su aportacioacuten y el antildeo correspondiente Elaboren una presentacioacuten electroacutenica y
expoacutenganla ante el grupo para su realimentacioacuten Despueacutes evaluacuteen su desempentildeo con la guiacutea de autoobservacioacuten
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6 Matemaacuteticas III
Guiacutea de autoobservacioacuten
Un arreglo de dos rectas numeacutericas (una en posicioacuten horizontal y otra en posicioacuten vertical) unidas en sus ceros (origen) se denomina sistema de coordenadas rec-
tangulares o plano cartesiano en honor a Reneacute Descartes
La recta horizontal se llama eje X y la recta vertical eje Y Observa que el siste-ma de coordenadas divide al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
Negativos
Positivos
Cuadrante I ()
Cuadrante IV ()
Cuadrante II ()
Cuadrante III ()
Origen
Sistema de coordenadasrectangulares Es un arreglo de dosrectas numeacutericas una horizontal y laotra vertical que se unen en el cero(origen)
Eje X Es la recta horizontaldel sistema de coordenadasrectangulares
Eje Y Es la recta vertical del sistemade coordenadas rectangulares
Cuadrantes Son las cuatroregiones en las que se divide al planoen el sistema de coordenadas
G L O S A R I O
Coordenada (2 3)
Objeto de aprendizaje Sistema de coordenadasrectangulares
Y
X
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Empleamos las TIC para presentar nuestra informacioacuten
2 Empleamos fuentes de informacioacuten confiable y relevante tanto en formaelectroacutenica como impresa
3 Elaboramos una liacutenea de tiempo que destaca precursores antildeo y aportaciones
4 Manejamos de manera fluida la informacioacuten que expusimos al grupo
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia la realimentacioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 7
El primer cuadrante tiene la parte positiva del eje X y del eje Y el segundo
cuadrante tiene la parte negativa del eje X y la parte positiva del eje Y el tercer cua-drante tiene la parte negativa del eje X y del eje Y y el cuarto cuadrante tiene la partepositiva del eje X y la parte negativa del eje Y
Pareja ordenada Es una parejade nuacutemeros ( x y ) escritos en unorden particular
Para iniciar el tema analicemos el siguiente ejemplo Mariacutea tiene blusas de color
blanco y rosa y faldas de color cafeacute azul y negro Quiere saber cuaacutentos posiblesatuendos puede tener Aquiacute estaacute la lista que obtuvo
bull Blusa blanca con falda cafeacutebull Blusa blanca con falda azulbull Blusa blanca con falda negrabull Blusa rosa con falda cafeacutebull Blusa rosa con falda azulbull Blusa rosa con falda negra
Ademaacutes tiene la idea de darle un nuacutemero a
cada blusa y a cada falda para que sea maacutes faacutecilescoger el atuendo
bull Blusas
1 blanca
2 rosa
bull Faldas
1 cafeacute
2 azul
3 negra
Haciendo la ldquotraduccioacutenrdquo obtuvo la siguiente lista
1 1
1 21 3
2 12 2
2 3
En donde el primer nuacutemero pertenece a la blusa y el segundo a la falda Observaque no tendriacutea ninguacuten signi1047297cado pedir (3 2) ya que no hay ninguna blusa 3 En-
tonces el orden en estas parejas es importante lo mismo sucederaacute con las parejasde nuacutemeros que veremos a continuacioacuten
Las parejas ordenadas tienen dos elementos uno de ellos ocupa el primer lugary otro el segundo y si se cambian de lugar el sentido variacutea Se representan encerran-
do sus elementos entre pareacutentesis Por ejemplo (3 4) (6 8) (9 1) (4 3) etceacutetera
Objeto de aprendizaje Parejas ordenadas
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8 Matemaacuteticas III
Actividad 1
Igualdad de parejasObserva que si cambias los nuacutemeros de lugar no quieren decir lo mismo es decir3 y 4 es una pareja ordenada pero 4 y 3 hace referencia a un arreglo distinto En
general las parejas ordenadas cumplen que
(a b) (b a)y
(a b) (b a) si y solo si a b
Esto quiere decir que para considerar iguales a dos parejas estas deben tenerlos mismos elementos en el mismo orden Por ejemplo (5 5)
Organiacutezate con tus compantildeeros formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnos yresuelvan los siguientes ejercicios con una actitud de respeto y tolerancia Al final reflexionen con los integrantesde otro equipo sus procedimientos y resultados
1 La fonda de Chonita tiene tortas de jamoacuten y tacos de pollo para comer y agua de jamaica refresco y jugo parabeber Formen todos los posibles menuacutes que Chonita puede tener
2 La floreriacutea ldquoMil hojasrdquo tiene rosas tulipanes y orquiacutedeas como flores y helecho y dracaena como follaje Cons-truyan los posibles arreglos que puede hacer de un tipo de flor con un tipo de follaje
3 En la fiesta de Luis su mamaacute quiere servir algunas ensaladas que contengan un tipo de fruta y un tipo desemilla Cuenta con frutas como naranjas uvas papayas y mangos en cuanto a las semillas tiene nuecesalmendras avellanas y pistaches Describan las ensaladas que puede haber en la fiesta de Luis
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 9
Ejemplo
Una forma de encontrar todas las posibles parejas ordenadas de nuacutemeros entre dos
conjuntos es por medio del producto cartesiano que se representa como A B Producto cartesiano Es lacoleccioacuten de todas las relaciones(combinaciones) de los elementosde A con los elementos de B
Desarrolla el producto cartesiano A B y B A dados A 1 2 3 y B 1 2 3 4
Solucioacuten
A B
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
Ahora
B A
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
(4 1) (4 2) (4 3) (4 4)
Observa que las parejas (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3) (3 1) (3 2) y (3 3) son iguales en ambos pro-ductos
El producto cartesiano de dos conjuntos de nuacutemeros es un nuevo conjunto de pa-
rejas ordenadas en el que todas estas son distintas El primer elemento correspondeal conjunto A y el segundo elemento corresponde al conjunto B
Observa que si el conjunto A tiene tres elementos y el conjunto B tiene cuatroentonces el conjunto A B tiene 3 4 12 elementos (parejas ordenadas) de
ahiacute la razoacuten de llamarlo producto (multiplicacioacuten) y se le llama cartesiano porque sepuede representar graacute1047297camente en un plano cartesiano como el siguiente
Una aplicacioacuten de las parejas ordenadas es la localizacioacuten de puntos en el sistema
de coordenadas rectangulares
1 2 3 A
(1 4)
(1 3)
(1 2)
(1 1)
(2 4)
(2 3)
(2 2)
(2 1)
(3 4)
(3 3)
(3 2)
(3 1)
B
4
3
2
1
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10 Matemaacuteticas III
Actividad 2
Organiacutezate con tus compantildeeros y reuacutenanse en parejas conformadas por una alumna y un alumno realicen demanera colaborativa los siguientes ejercicios Recuerden mantener siempre una actitud de respeto y responsa-bilidad Compartan en plenaria sus procedimientos y resultados Al final califiquen su desempentildeo con la guiacutea deautoobservacioacuten
1 Respondan las siguientes preguntas respecto a las caracteriacutesticas del sistema de coordenadas
a ) iquestCuaacutentas rectas numeacutericas conforman el sistema de coordenadas rectangulares
b ) iquestCuaacutel es la posicioacuten de cada una de estas rectas
Traza un cuadrado y un triaacutengulo en el siguiente sistema de coordenadas rectangulares luego descriacutebelos indican-do las coordenadas (x y ) que representan a sus veacutertices
Solucioacuten
Cada uno de los puntos que se acaban de localizar tiene dos elementos o referenciasuna estaacute sobre el eje X denominada abscisa y la otra sobre el eje Y denominadaordenada Por tanto las parejas ordenadas tienen la siguiente forma
(abscisa ordenada)
La abscisa siempre se localiza sobre el eje X (tambieacuten se le llama eje de las abscisas)y la ordenada sobre el eje Y (conocido como eje de las ordenadas)
Las coordenadas del cuadro son
(3 3) (3 3) (3 3) y (3 3)
Las coordenadas del triaacutengulo son
(0 4) (0 6) y (4 4)
Ejemplo
Abscisa Es la coordenada x de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
Ordenada Es la coordenada y de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
G L O S A R I O
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 11
c ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta horizontal
d ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta vertical
e ) iquestCoacutemo se llama al punto donde se cruzan los ejes
f ) iquestCoacutemo se llaman las regiones en las que se divide al plano y cuaacutentas son
g ) iquestCuaacuteles son los signos de cada cuadrante
2 Dados los siguientes conjuntos calculen los productos cartesianos y represeacutentenlos en un plano Ademaacutesrodeen las parejas ordenadas iguales
A a b c d B 1 3 5 C 2 4 6 8 D x y z
a ) A B f ) B D
b ) C D g ) B A
c ) A C h ) D C
d ) C B i ) B C
e ) D A j ) A D
3 Localicen en un mismo sistema de coordenadas rectangulares los siguientes puntos e identifiquen a queacute cua-drante pertenecen
a ) A (4 2) h ) H (8 3)
b ) B (3 5) i ) I 64
125
c ) C 12
14
j ) J (6 2)
d ) D (2 7) k ) K 83
3
e ) E (7 3) l ) L(0 0)
f ) F
2
3
4
5 m ) M (
1
2)
g ) G (24) n ) N ( 5 8)
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12 Matemaacuteticas III
4 Escriban las coordenadas de los puntos que se muestran en el siguiente plano cartesiano
a ) A ( ) f ) F ( )
b ) B ( ) g ) G ( )
c ) C ( ) h ) H ( )
d ) D ( ) i ) I ( )
e ) E ( ) j ) J ( )
5 Representen en un sistema de coordenadas rectangula-res los poliacutegonos con los siguientes veacutertices e incluacuteyan-los en su portafolio de evidencias
a ) A (3 4) B (2 1) C (51)
b ) A (9 3) B (5 1) C (4 0)
c ) A (4 2) B (2 3) C (16) D (0 4)
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
G
F
E
A
C
B
D
J
I
H
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como pareja
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Trazamos correctamente el sistema de coordenadas identificando los ejes
2 Ubicamos los puntos en el cuadrante correcto
3 Unimos correctamente los puntos formando la figura geomeacutetrica
4 Identificamos la figura correctamente de acuerdo con el nuacutemero y posicioacutende los veacutertices
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia el desarrollo de lasolucioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 13
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas de preferencia alumno y alumna Realicen los siguientes ejerci-cios de manera colaborativa
1 Tracen las liacuteneas rectas siguientes una de ellas pasa por A (0 6) y B (6 0) la otra pasa por C (6 6) y D (0 0)comprueben que estas liacuteneas rectas se cruzan en el punto (3 3)
2 Dibujen en un sistema coordenado un triaacutengulo isoacutesceles (de cualquier medida) Luego indiquen las coorde-nadas de sus tres veacutertices tambieacuten marquen dos puntos que esteacuten dentro y dos puntos que esteacuten afuera deltriaacutengulo e indiquen sus coordenadas
3 Grafiquen en un mismo sistema de referencia cada uno de los siguientes grupos de coordenadas uacutenanlos yescriban el tipo de figura geomeacutetrica
a ) A(2 4) B (2 1) C (2 1) D (2 4)
b ) E (2 5) F (5 2) G (04)
c ) H (3 5) I (3 9) J (3 5)
d ) K (42) L(44) M (24) N (2 2)
e ) O (5 2) P (1 2) Q (1 4) R (5 4)
4 Resuelvan los siguientes problemas
a ) Mariacutea tiene una casa con una puerta al sur sale de ella ycamina 4 cuadras luego decide caminar 3 cuadras al estedespueacutes gira hacia el sur y avanza otras 5 cuadras final-mente da vuelta al norte y avanza 8 cuadras Si se coloca lacasa de Mariacutea en el origen de un sistema de coordenadasrectangulares y se sigue su trayectoria iquesten queacute punto seencontraraacute al final de su camino Elaboren una hipoacutetesis ycomprueacutebenla en un sistema de coordenadas
b ) El terreno de Feacutelix tiene coordenadas (5 2) (10 2) (5 10)y (10 10)
i Ubiquen el terreno en un sistema de coordenadas rec-
tangulares ii iquestQueacute forma tiene el terreno iii Calculen su aacuterea
Actividad 3
copy E l z b i e t a S e k o w s k a S h u t t e r s t o c k
copy G o D u n k 1 3 S h u t t e r s t o c k
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14 Matemaacuteticas III
c ) En la clase de Biologiacutea Pati realizoacute un experimento paraobservar el crecimiento de una colonia de bacilos Seregistraron los siguientes datos anotando el tiempo quetranscurrioacute y el nuacutemero de bacilos presentes en el ex-perimento
bull 200 bacilos en 6 minutosbull 300 bacilos en 12 minutosbull 500 bacilos en 18 minutosbull 1000 bacilos en 24 minutosbull 1800 bacilos en 30 minutos
Representen los pares de valores que Pati recaboacute en un sistema de coordenadas rectangulares en el que el ejehorizontal sea el tiempo y el eje vertical el nuacutemero de bacilos
copy
M a t e j K a s t e l i c S h u t t e r s t o c k
En geometriacutea analiacutetica pueden presentarse dos problemas fundamentales relacio-nados con los lugares geomeacutetricos
1 Dada una ecuacioacuten encuentra el lugar geomeacutetrico que la representa2 Dado un lugar geomeacutetrico encuentra la ecuacioacuten que lo representa
Con esto en mente podemos hablar de un meacutetodo general para resolver proble-mas de geometriacutea analiacutetica que consta de tres secciones bien de1047297nidas
1 Geomeacutetrica En esta expondraacutes todo lo que sabes respecto al lugar geomeacutetricoque se propone antes de iniciar con el anaacutelisis
2 Analiacutetica Aquiacute efectuaraacutes el anaacutelisis de las ecuaciones dadas para ello usaraacutesaacutelgebra y aritmeacutetica
3 Conclusioacuten Esta parte es importantiacutesima ya que aquiacute redactaraacutes lo que hayas
encontrado a lo largo de todo el proceso
Encontraraacutes problemas en los que es preciso efectuar primero la parte analiacutetica y
despueacutes la geomeacutetrica sin embargo habraacute otros en los que tanto la parte analiacuteticacomo la geomeacutetrica deberaacuten desarrollarse al mismo tiempo pero en cualquiera delos casos ambas estaacuten presentes
Cuando queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con una expresioacutenalgebraica sugerimos realizar los siguientes pasos
1 Haz una tabulacioacuten en donde se asignen valores a x
2 Calcula los valores de y sustituyendo en la ecuacioacuten original
Objeto de aprendizaje Lugares geomeacutetricos
Lugar geomeacutetrico Es un conjuntode puntos que cumplen una
propiedad geomeacutetrica en particular G L O
S A R I O
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 15
3 Calcula las intersecciones con los ejes
a) Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y
b) Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
4 Por uacuteltimo elabora la graacute1047297ca colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten
con los ejes
Ejemplos
1 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Si observas la ecuacioacuten te daraacutes cuenta de que es una ecuacioacuten lineal por lo que se representa como unarecta pero iquestcuaacuteles son las caracteriacutesticas de esta recta en particular Sigamos los pasos propuestos re-cuerda que para graficar una liacutenea recta son suficientes dos puntos
x 2 1
y 4 5
(x y ) (2 4) (1 5)
Para las intersecciones con los ejes
Con el eje Y x
0 y 3x 2
y 3(0) 2
y 0 2
y 2
La interseccioacuten con el eje Y es el punto (0 2)Con el eje X y 0
y 3x 2
0 3x 2
0 2 3x
23
x
x 23
La interseccioacuten con el eje X es el punto 23
0
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16 Matemaacuteticas III
bull Parte geomeacutetrica
Haciendo la graacutefica tenemos que el lugar geomeacutetrico y 3x 2 es
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
y 3 x 2
X
Y
bull Conclusioacuten
El lugar geomeacutetrico es una liacutenea recta que interseca al eje Y en y 2 y al eje X en x 23
Por otro lado si queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con un conjunto de pares ordenadoste sugerimos seguir los siguientes pasos
a ) Hacer una tabulacioacuten con los valores de x y y
b ) Calcular la relacioacuten que se presenta entre los datos
c ) Calcular las intersecciones con los ejes
i Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y ii Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
d ) Por uacuteltimo hacer la graacutefica colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten con los ejes
2 iquestQueacute ecuacioacuten representaraacute el lugar geomeacutetrico que contiene a las siguientes parejas ordenadas (5 25)(4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4) (3 9) (4 16) (5 25)
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero colocamos las parejas ordenadas en una tabla para visualizar la relacioacuten entre las abscisas y lasordenadas
x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
y iquest 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 17
Para encontrar la relacioacuten debemos preguntarnos iquestqueacute le hacemos a5 para que sea 25 iquesta4 para quesea 16 iquesta 3 para que sea 9 etceacutetera
Si pensamos un poco la respuesta es evidentehellip iexclClaro Lo elevamos al cuadrado o sea
25
(
5)
2
16
(
4)
2
9
(
3)
2
etceacutetera
Por tanto la relacioacuten es y x 2
Recordemos que las ecuaciones de este tipo por lo general representan una paraacutebola con veacutertice enel origen que es la uacutenica interseccioacuten con el eje X o Y para verificar lo anterior desarrollemos la partegeomeacutetrica
bull Parte geomeacutetrica
Si graficamos los puntos que tenemos y los
unimos con una curva suave entonces seforma la paraacutebola coacutencava hacia arriba consu veacutertice en el origen
5
10
15
20
25
55 X
Y
bull Conclusioacuten
Entonces tenemos que los puntos (5 25) (4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4)(3 9) (4 16) (5 25) representan el lugar geomeacutetrico denominado paraacutebola con veacutertice en el origen cuya
ecuacioacuten es y x 2
3 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y x 2 4
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero tabulemos la ecuacioacutenComo vimos las liacuteneas rectas soacutelo necesitan 2 puntos en la tabulacioacuten pero en este caso no hablamos
de una ecuacioacuten lineal asiacute que en todas las ecuaciones diferentes de las lineales se tendraacuten que tabular
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Utilizas
distintasformas dela ecuacioacutende una recta
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan realizar
un estudio de las propiedades geomeacutetricas de la recta y de sus
posibilidades analiacuteticas
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta
bull Transforma ecuaciones de una forma a otra
bull Utiliza distintas formas de la ecuacioacuten de la recta para solucionar
problemas yo ejercicios de la vida cotidiana
Bloque IV
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copy P h o t o r e d a k t o r D r e a m s t i m e
Objetos de aprendizaje
bull Ecuaciones de la recta
991252Pendiente y ordenada al origen
991252Punto-pendiente 991252Dos puntos
991252Simeacutetrica
bull Ecuacioacuten general y normal de la ecuacioacuten de la recta
bull Distancia de la recta a un punto
bull Distancia entre dos rectas paralelas
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas o graacute1047297cas
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exivacomprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis y disentildea y aplica modelos para probar
su validez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla
un proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten
con pasos especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras
personas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicas
del campo de matemaacuteticasbull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisis
de situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales medianteel lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea
de la informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental
o matemaacuteticamente las magnitudes del espacio
y de las propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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108
Responde correctamente las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es la distancia maacutes corta entre dos puntos
2 iquestCuaacuteles son las referencias miacutenimas para definir una recta en el plano
3 iquestCoacutemo se llama al punto de interseccioacuten de una recta con el eje Y
4 iquestCoacutemo se denomina a la interseccioacuten de la recta con el eje X
5 iquestEn queacute forma de la ecuacioacuten de la recta se puede identificar de inmediato su ldquoinclinacioacutenrdquo y la interseccioacuten de
esta con el eje Y
6 iquestCoacutemo se conoce a la forma de la ecuacioacuten de una recta que contiene como elementos su abscisa y su orde-nada al origen
7 iquestCoacutemo se escribe la expresioacuten para la forma general de la ecuacioacuten de la recta
8 iquestCuaacuteles son las referencias que necesitamos para emplear la forma normal de la ecuacioacuten de la recta
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 109
Para determinar una recta siempre se necesitan dos referencias como miacutenimo y
esto nos permite usar una forma de la ecuacioacuten de acuerdo con los datos que seproporcionan
1 La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos2 La forma punto-punto que requiere dos puntos pertenecientes a la recta
3 La forma simeacutetrica usa las intersecciones con los ejes
4 La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores
5 La forma normal emplea la distancia al origen y el aacutengulo de inclinacioacuten de la
recta que representa dicha distancia
Estudiaremos todas a lo largo del bloque
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendientey ordenada en el origeniquestCoacutemo se puede trazar la graacute1047297ca de una recta de manera raacutepida y sin la ayudade una tabulacioacuten Necesitamos dos referencias una de ellas puede ser un punto
ldquoespecialrdquo que obtenemos de la interseccioacuten con el eje Y al que se designa con laletra b por tanto sus coordenadas son (0 b) y se le llama ordenada en el origen
la otra referencia es m la pendiente iquestCoacutemo identi1047297carla en la ecuacioacuten de unarecta iexclEs muy faacutecil
A partir de la de1047297nicioacuten del punto al cual corresponde la ordenada en el origen
(0 b) y la pendiente de una recta (m) podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuacioacuten de la recta veamos
y = mx + b
expresioacuten que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquierpunto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y su-
mada a la interseccioacuten con el eje Y
Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta
9 iquestCuaacuteles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta
10 iquestCuaacuteles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas
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110 Matemaacuteticas III
Ejemplos
1 Grafica la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen
y mx b
y 3x 2
Entonces la ecuacioacuten tiene como ordenada en el origen b 2 estosignifica que en ese lugar la recta interseca al eje Y ademaacutes es faacutecilobservar que la pendiente es m 3 Graacuteficamente
Si deseas trazar la recta puedes graficarla pendiente a partir de la ordenada enel origen tal como vimos en el bloqueanterior
2 Grafica la ecuacioacuten y 3
2
x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Toma la ecuacioacuten y compaacuterala con la forma pendiente-ordenada en el origen
y 32
x 2
y mx b
A esta forma de la recta se le denomina forma comuacuten o pendiente-ordenada
en el origen y es muy uacutetil ya que mediante ella es posible identi1047297car de inmediatola pendiente y la ordenada en el origen
X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
b Ordenada en el origen
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
Portal de Conocimiento
DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
Student ResourcIn Conte
Portal de Conocimie
SOLUCIONES PARA LA INVESTIGACIOacuteN Y LA BIBLIOTECA
CIENCIAS E INGENIERIacuteA MULTIDISCIPLINAR
Accesa con esta direccioacuten a tus soluciones de investigacioacuten
httpwwwcengagecommxportaldelconocimiento
TIPOS DE CONTENIDOPublicaciones acadeacutemicas revistas noticias podcasts
imaacutegenes videos y ligas a sitios web
wwwcengagecom
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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CONTENIDO
Bloque I
Reconoces lugares geomeacutetricos 2
Evaluacioacuten diagnoacutestica 4
Geometriacutea analiacutetica introductoria 5
Sistema de coordenadas rectangulares 6
Parejas ordenadas 7Igualdad de parejas 8
Lugares geomeacutetricos 14
Lectura Matemaacuteticas y GPS 23
Evaluacioacuten formativa por proyectos 25
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 26
Mi competencia 1047297nal 27Lista de cotejo 30
Bloque II
Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneosy poliacutegonos 32
Evaluacioacuten diagnoacutestica 34
Segmentos rectiliacuteneos 35
Segmentos rectiliacuteneos dirigidos y no dirigidos 35
Distancia entre dos puntos 37
Periacutemetro y aacuterea de poliacutegonos 44
Punto de divisioacuten de un segmento 51
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Punto medio 55
Lectura Mapas Coordenadas geograacute1047297cas 65
Evaluacioacuten formativa por proyectos 67
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 68Mi competencia 1047297nal 69
Lista de cotejo 70
Bloque III
Aplicas los elementos de una rectacomo lugar geomeacutetrico 72
Evaluacioacuten diagnoacutestica 74
Liacutenea recta 75
De1047297nicioacuten 75
Pendiente y aacutengulo de inclinacioacuten de una recta 78
Relacioacuten de la pendiente con el aacutengulo de inclinacioacuten 85
Aacutengulo formado por dos rectas 89Condiciones de paralelismo y perpendicularidad 96Lectura Liacutenea recta 100
Evaluacioacuten formativa por proyectos 101
Guiacutea de autoobservacioacuten de evaluacioacuten formativa por proyectos 102
Mi competencia 1047297nal 103
Lista de cotejo 104
Bloque IV
Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 106
Evaluacioacuten diagnoacutestica 108
Ecuaciones de la recta 109
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendiente y ordenada en el origen 109
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httpslidepdfcomreaderfullibanez-mate-issuu 740 v
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendiente 116
Ecuacioacuten de la recta dados dos puntos 119
Forma simeacutetrica de la ecuacioacuten de la recta 127
Ecuacioacuten de la recta dadas sus intersecciones con los ejes 128
Forma general y normal de la ecuacioacutende la recta 134
Forma normal de la ecuacioacuten de la recta 141
Conversioacuten de la forma general a la forma normal 143
Distancia dirigida de una rectaa un punto 148
Distancia no dirigida entre un punto y una recta 152
Distancia entre dos rectas paralelas 155
Lectura Liacutenea recta y funciones 158
Evaluacioacuten formativa por proyectos 161
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 162
Mi competencia 1047297nal 163
Lista de cotejo 164
Bloque 5
Aplicas los elementos y las ecuacionesde una circunferencia 166
Evaluacioacuten diagnoacutestica 168
Circunferencia 172De1047297nicioacuten y elementos 172
Rectas y segmentos 173
Ecuaciones de la circunferencia 176
Ecuacioacuten canoacutenica de la circunferencia 176
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Ecuacioacuten ordinaria de la circunferencia 181
Obtencioacuten de la ecuacioacuten a partir del centro y el radio 181
Radio y centro de una circunferencia con centro fuera del origen 182
Forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia 189De la forma general a la ordinaria 195
Ecuacioacuten de la circunferencia que pasapor tres puntos 200
Lectura El ciacuterculo en la naturaleza 210
Evaluacioacuten formativa por proyectos 211
Guiacutea de autoevaluacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 212Mi competencia 1047297nal 213
Lista de cotejo 216
Bloque VI
Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola 218
Evaluacioacuten diagnoacutestica 220
Paraacutebola 221
Elementos asociados con la paraacutebola 222
Ecuacioacuten ordinaria de paraacutebolas verticalesy horizontales con veacutertice en el origen 227
La paraacutebola a partir de su ecuacioacuten 232
Ecuacioacuten de una paraacutebola a partir de sus elementos 236
Ecuacioacuten ordinaria de paraacutebolas verticalesy horizontales con veacutertice fuera del origen 241
Los elementos a partir de la ecuacioacuten 241
La ecuacioacuten a partir de los elementos 246
Forma general de la ecuacioacuten de la paraacutebola 248
Conversioacuten de la forma ordinaria a la general 249
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Conversioacuten de la forma general a la ordinaria 254
Lectura Formas paraboacutelicas 261
Evaluacioacuten formativa por proyectos 263
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 264
Mi competencia 1047297nal 265
Lista de cotejo 268
Bloque VII
Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse 270
Evaluacioacuten diagnoacutestica 272
Elipse 273
Elementos asociados con la elipse 274
Ecuacioacuten ordinaria de elipses horizontalesy verticales con centro en el origen yejes paralelos a los ejes cartesianos 276
Elipse horizontal 276
Elipse vertical 276Lado recto de la elipse 277
Ecuacioacuten ordinaria de elipses horizontalesy verticales con centro fuera del origen yejes paralelos a los ejes 283
Forma general de la ecuacioacuten de la elipse 289Lectura Propiedades de la elipse 294
Evaluacioacuten formativa por proyectos 297
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 298
Mi competencia 1047297nal 299
Lista de cotejo 302
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Reconoces
lugaresgeomeacutetricos
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan
reconocer las caracteriacutesticas matemaacuteticas que de1047297nen un lugar
geomeacutetrico
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Identi1047297ca las caracteriacutesticas de un sistema de coordenadas
rectangulares
bull Interpreta la informacioacuten a partir de la nocioacuten de parejas
ordenadas
bull Reconoce las relaciones entre variables que conforman las parejas
ordenadas para determinar un lugar geomeacutetrico
Bloque I
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copy z e n t i l i a S h u t t e r S t o c k
Objetos de aprendizaje
bull Geometriacutea analiacutetica introductoria
bull Sistema de coordenadas rectangulares
bull Parejas ordenadas 991252Igualdad de parejas
bull Lugares geomeacutetricos
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas y graacute1047297cas asimismo interpreta tablas mapas
diagramas y textos con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exiva
comprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis disentildea y aplica modelos para probar suvalidez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un
proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten con pasos
especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otraspersonas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicasdel campo de matemaacuteticas
bull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisisde situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales mediante el
lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea de la
informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental o
matemaacuteticamente las magnitudes del espacio y de las
propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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Completa los siguientes enunciados
1 El sistema de coordenadas estaacute compuesto por
2 iquestCuaacutentos cuadrantes tiene el sistema de coordenadas cartesianas
3 La combinacioacuten de todas las combinaciones de los elementos de dos conjuntos se denomina
4 En una pareja de elementos en la que si se cambia el orden se cambia el sentido
5 La coordenada x se denomina
6 La coordenada y se denomina
7 Conjunto de puntos que cumplen una relacioacuten matemaacutetica
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 5
La geometriacutea analiacutetica se ha desarrollado desde tiempos remotos Podemos con-siderar la obra de Fibonacci Practica Geometriae como el punto de arranquede la geometriacutea renacentista aunque uacutenicamente se ocupe de la medida de aacutereas de
poliacutegonos y voluacutemenes de cuerposDebemos a Jordanus Nemorarius la primera formulacioacuten correcta del problema
del plano inclinadoEn Pariacutes el profesor Nicole Oresme utilizoacute coordenadas rectangulares en una
de sus obras de forma primitiva y rudimentaria para la representacioacuten graacute1047297ca deciertos fenoacutemenos fiacutesicos
Sin duda uno de los grandes en esta materia fue Reneacute Descartes con su famo-sa obra el Discurso del Meacutetodo en cuyo apeacutendice llamado ldquoGeacuteometrierdquo detalla lasinstrucciones geomeacutetricas para resolver ecuaciones cuadraacuteticas despueacutes describe
la aplicacioacuten del aacutelgebra a ciertos problemas geomeacutetricos Casi toda la ldquoGeacuteometrierdquoestaacute dedicada a la interrelacioacuten del aacutelgebra y la geometriacutea con ayuda del sistema de
coordenadas justo lo que actualmente denominamos geometriacutea analiacutetica
Reneacute Descartes
Geometriacutea analiacuteticaintroductoria
Objeto de aprendizaje
Actividad de investigacioacuten 1
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas como actividad extraclase investiguen en fuentes impresas yelectroacutenicas (Internet) los antecedentes de la geometriacutea analiacutetica y disentildeen una liacutenea de tiempo en la que se desta-que a los principales precursores su aportacioacuten y el antildeo correspondiente Elaboren una presentacioacuten electroacutenica y
expoacutenganla ante el grupo para su realimentacioacuten Despueacutes evaluacuteen su desempentildeo con la guiacutea de autoobservacioacuten
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6 Matemaacuteticas III
Guiacutea de autoobservacioacuten
Un arreglo de dos rectas numeacutericas (una en posicioacuten horizontal y otra en posicioacuten vertical) unidas en sus ceros (origen) se denomina sistema de coordenadas rec-
tangulares o plano cartesiano en honor a Reneacute Descartes
La recta horizontal se llama eje X y la recta vertical eje Y Observa que el siste-ma de coordenadas divide al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
Negativos
Positivos
Cuadrante I ()
Cuadrante IV ()
Cuadrante II ()
Cuadrante III ()
Origen
Sistema de coordenadasrectangulares Es un arreglo de dosrectas numeacutericas una horizontal y laotra vertical que se unen en el cero(origen)
Eje X Es la recta horizontaldel sistema de coordenadasrectangulares
Eje Y Es la recta vertical del sistemade coordenadas rectangulares
Cuadrantes Son las cuatroregiones en las que se divide al planoen el sistema de coordenadas
G L O S A R I O
Coordenada (2 3)
Objeto de aprendizaje Sistema de coordenadasrectangulares
Y
X
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Empleamos las TIC para presentar nuestra informacioacuten
2 Empleamos fuentes de informacioacuten confiable y relevante tanto en formaelectroacutenica como impresa
3 Elaboramos una liacutenea de tiempo que destaca precursores antildeo y aportaciones
4 Manejamos de manera fluida la informacioacuten que expusimos al grupo
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia la realimentacioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 7
El primer cuadrante tiene la parte positiva del eje X y del eje Y el segundo
cuadrante tiene la parte negativa del eje X y la parte positiva del eje Y el tercer cua-drante tiene la parte negativa del eje X y del eje Y y el cuarto cuadrante tiene la partepositiva del eje X y la parte negativa del eje Y
Pareja ordenada Es una parejade nuacutemeros ( x y ) escritos en unorden particular
Para iniciar el tema analicemos el siguiente ejemplo Mariacutea tiene blusas de color
blanco y rosa y faldas de color cafeacute azul y negro Quiere saber cuaacutentos posiblesatuendos puede tener Aquiacute estaacute la lista que obtuvo
bull Blusa blanca con falda cafeacutebull Blusa blanca con falda azulbull Blusa blanca con falda negrabull Blusa rosa con falda cafeacutebull Blusa rosa con falda azulbull Blusa rosa con falda negra
Ademaacutes tiene la idea de darle un nuacutemero a
cada blusa y a cada falda para que sea maacutes faacutecilescoger el atuendo
bull Blusas
1 blanca
2 rosa
bull Faldas
1 cafeacute
2 azul
3 negra
Haciendo la ldquotraduccioacutenrdquo obtuvo la siguiente lista
1 1
1 21 3
2 12 2
2 3
En donde el primer nuacutemero pertenece a la blusa y el segundo a la falda Observaque no tendriacutea ninguacuten signi1047297cado pedir (3 2) ya que no hay ninguna blusa 3 En-
tonces el orden en estas parejas es importante lo mismo sucederaacute con las parejasde nuacutemeros que veremos a continuacioacuten
Las parejas ordenadas tienen dos elementos uno de ellos ocupa el primer lugary otro el segundo y si se cambian de lugar el sentido variacutea Se representan encerran-
do sus elementos entre pareacutentesis Por ejemplo (3 4) (6 8) (9 1) (4 3) etceacutetera
Objeto de aprendizaje Parejas ordenadas
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8 Matemaacuteticas III
Actividad 1
Igualdad de parejasObserva que si cambias los nuacutemeros de lugar no quieren decir lo mismo es decir3 y 4 es una pareja ordenada pero 4 y 3 hace referencia a un arreglo distinto En
general las parejas ordenadas cumplen que
(a b) (b a)y
(a b) (b a) si y solo si a b
Esto quiere decir que para considerar iguales a dos parejas estas deben tenerlos mismos elementos en el mismo orden Por ejemplo (5 5)
Organiacutezate con tus compantildeeros formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnos yresuelvan los siguientes ejercicios con una actitud de respeto y tolerancia Al final reflexionen con los integrantesde otro equipo sus procedimientos y resultados
1 La fonda de Chonita tiene tortas de jamoacuten y tacos de pollo para comer y agua de jamaica refresco y jugo parabeber Formen todos los posibles menuacutes que Chonita puede tener
2 La floreriacutea ldquoMil hojasrdquo tiene rosas tulipanes y orquiacutedeas como flores y helecho y dracaena como follaje Cons-truyan los posibles arreglos que puede hacer de un tipo de flor con un tipo de follaje
3 En la fiesta de Luis su mamaacute quiere servir algunas ensaladas que contengan un tipo de fruta y un tipo desemilla Cuenta con frutas como naranjas uvas papayas y mangos en cuanto a las semillas tiene nuecesalmendras avellanas y pistaches Describan las ensaladas que puede haber en la fiesta de Luis
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 9
Ejemplo
Una forma de encontrar todas las posibles parejas ordenadas de nuacutemeros entre dos
conjuntos es por medio del producto cartesiano que se representa como A B Producto cartesiano Es lacoleccioacuten de todas las relaciones(combinaciones) de los elementosde A con los elementos de B
Desarrolla el producto cartesiano A B y B A dados A 1 2 3 y B 1 2 3 4
Solucioacuten
A B
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
Ahora
B A
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
(4 1) (4 2) (4 3) (4 4)
Observa que las parejas (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3) (3 1) (3 2) y (3 3) son iguales en ambos pro-ductos
El producto cartesiano de dos conjuntos de nuacutemeros es un nuevo conjunto de pa-
rejas ordenadas en el que todas estas son distintas El primer elemento correspondeal conjunto A y el segundo elemento corresponde al conjunto B
Observa que si el conjunto A tiene tres elementos y el conjunto B tiene cuatroentonces el conjunto A B tiene 3 4 12 elementos (parejas ordenadas) de
ahiacute la razoacuten de llamarlo producto (multiplicacioacuten) y se le llama cartesiano porque sepuede representar graacute1047297camente en un plano cartesiano como el siguiente
Una aplicacioacuten de las parejas ordenadas es la localizacioacuten de puntos en el sistema
de coordenadas rectangulares
1 2 3 A
(1 4)
(1 3)
(1 2)
(1 1)
(2 4)
(2 3)
(2 2)
(2 1)
(3 4)
(3 3)
(3 2)
(3 1)
B
4
3
2
1
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10 Matemaacuteticas III
Actividad 2
Organiacutezate con tus compantildeeros y reuacutenanse en parejas conformadas por una alumna y un alumno realicen demanera colaborativa los siguientes ejercicios Recuerden mantener siempre una actitud de respeto y responsa-bilidad Compartan en plenaria sus procedimientos y resultados Al final califiquen su desempentildeo con la guiacutea deautoobservacioacuten
1 Respondan las siguientes preguntas respecto a las caracteriacutesticas del sistema de coordenadas
a ) iquestCuaacutentas rectas numeacutericas conforman el sistema de coordenadas rectangulares
b ) iquestCuaacutel es la posicioacuten de cada una de estas rectas
Traza un cuadrado y un triaacutengulo en el siguiente sistema de coordenadas rectangulares luego descriacutebelos indican-do las coordenadas (x y ) que representan a sus veacutertices
Solucioacuten
Cada uno de los puntos que se acaban de localizar tiene dos elementos o referenciasuna estaacute sobre el eje X denominada abscisa y la otra sobre el eje Y denominadaordenada Por tanto las parejas ordenadas tienen la siguiente forma
(abscisa ordenada)
La abscisa siempre se localiza sobre el eje X (tambieacuten se le llama eje de las abscisas)y la ordenada sobre el eje Y (conocido como eje de las ordenadas)
Las coordenadas del cuadro son
(3 3) (3 3) (3 3) y (3 3)
Las coordenadas del triaacutengulo son
(0 4) (0 6) y (4 4)
Ejemplo
Abscisa Es la coordenada x de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
Ordenada Es la coordenada y de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
G L O S A R I O
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 11
c ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta horizontal
d ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta vertical
e ) iquestCoacutemo se llama al punto donde se cruzan los ejes
f ) iquestCoacutemo se llaman las regiones en las que se divide al plano y cuaacutentas son
g ) iquestCuaacuteles son los signos de cada cuadrante
2 Dados los siguientes conjuntos calculen los productos cartesianos y represeacutentenlos en un plano Ademaacutesrodeen las parejas ordenadas iguales
A a b c d B 1 3 5 C 2 4 6 8 D x y z
a ) A B f ) B D
b ) C D g ) B A
c ) A C h ) D C
d ) C B i ) B C
e ) D A j ) A D
3 Localicen en un mismo sistema de coordenadas rectangulares los siguientes puntos e identifiquen a queacute cua-drante pertenecen
a ) A (4 2) h ) H (8 3)
b ) B (3 5) i ) I 64
125
c ) C 12
14
j ) J (6 2)
d ) D (2 7) k ) K 83
3
e ) E (7 3) l ) L(0 0)
f ) F
2
3
4
5 m ) M (
1
2)
g ) G (24) n ) N ( 5 8)
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12 Matemaacuteticas III
4 Escriban las coordenadas de los puntos que se muestran en el siguiente plano cartesiano
a ) A ( ) f ) F ( )
b ) B ( ) g ) G ( )
c ) C ( ) h ) H ( )
d ) D ( ) i ) I ( )
e ) E ( ) j ) J ( )
5 Representen en un sistema de coordenadas rectangula-res los poliacutegonos con los siguientes veacutertices e incluacuteyan-los en su portafolio de evidencias
a ) A (3 4) B (2 1) C (51)
b ) A (9 3) B (5 1) C (4 0)
c ) A (4 2) B (2 3) C (16) D (0 4)
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
G
F
E
A
C
B
D
J
I
H
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como pareja
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Trazamos correctamente el sistema de coordenadas identificando los ejes
2 Ubicamos los puntos en el cuadrante correcto
3 Unimos correctamente los puntos formando la figura geomeacutetrica
4 Identificamos la figura correctamente de acuerdo con el nuacutemero y posicioacutende los veacutertices
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia el desarrollo de lasolucioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 13
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas de preferencia alumno y alumna Realicen los siguientes ejerci-cios de manera colaborativa
1 Tracen las liacuteneas rectas siguientes una de ellas pasa por A (0 6) y B (6 0) la otra pasa por C (6 6) y D (0 0)comprueben que estas liacuteneas rectas se cruzan en el punto (3 3)
2 Dibujen en un sistema coordenado un triaacutengulo isoacutesceles (de cualquier medida) Luego indiquen las coorde-nadas de sus tres veacutertices tambieacuten marquen dos puntos que esteacuten dentro y dos puntos que esteacuten afuera deltriaacutengulo e indiquen sus coordenadas
3 Grafiquen en un mismo sistema de referencia cada uno de los siguientes grupos de coordenadas uacutenanlos yescriban el tipo de figura geomeacutetrica
a ) A(2 4) B (2 1) C (2 1) D (2 4)
b ) E (2 5) F (5 2) G (04)
c ) H (3 5) I (3 9) J (3 5)
d ) K (42) L(44) M (24) N (2 2)
e ) O (5 2) P (1 2) Q (1 4) R (5 4)
4 Resuelvan los siguientes problemas
a ) Mariacutea tiene una casa con una puerta al sur sale de ella ycamina 4 cuadras luego decide caminar 3 cuadras al estedespueacutes gira hacia el sur y avanza otras 5 cuadras final-mente da vuelta al norte y avanza 8 cuadras Si se coloca lacasa de Mariacutea en el origen de un sistema de coordenadasrectangulares y se sigue su trayectoria iquesten queacute punto seencontraraacute al final de su camino Elaboren una hipoacutetesis ycomprueacutebenla en un sistema de coordenadas
b ) El terreno de Feacutelix tiene coordenadas (5 2) (10 2) (5 10)y (10 10)
i Ubiquen el terreno en un sistema de coordenadas rec-
tangulares ii iquestQueacute forma tiene el terreno iii Calculen su aacuterea
Actividad 3
copy E l z b i e t a S e k o w s k a S h u t t e r s t o c k
copy G o D u n k 1 3 S h u t t e r s t o c k
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14 Matemaacuteticas III
c ) En la clase de Biologiacutea Pati realizoacute un experimento paraobservar el crecimiento de una colonia de bacilos Seregistraron los siguientes datos anotando el tiempo quetranscurrioacute y el nuacutemero de bacilos presentes en el ex-perimento
bull 200 bacilos en 6 minutosbull 300 bacilos en 12 minutosbull 500 bacilos en 18 minutosbull 1000 bacilos en 24 minutosbull 1800 bacilos en 30 minutos
Representen los pares de valores que Pati recaboacute en un sistema de coordenadas rectangulares en el que el ejehorizontal sea el tiempo y el eje vertical el nuacutemero de bacilos
copy
M a t e j K a s t e l i c S h u t t e r s t o c k
En geometriacutea analiacutetica pueden presentarse dos problemas fundamentales relacio-nados con los lugares geomeacutetricos
1 Dada una ecuacioacuten encuentra el lugar geomeacutetrico que la representa2 Dado un lugar geomeacutetrico encuentra la ecuacioacuten que lo representa
Con esto en mente podemos hablar de un meacutetodo general para resolver proble-mas de geometriacutea analiacutetica que consta de tres secciones bien de1047297nidas
1 Geomeacutetrica En esta expondraacutes todo lo que sabes respecto al lugar geomeacutetricoque se propone antes de iniciar con el anaacutelisis
2 Analiacutetica Aquiacute efectuaraacutes el anaacutelisis de las ecuaciones dadas para ello usaraacutesaacutelgebra y aritmeacutetica
3 Conclusioacuten Esta parte es importantiacutesima ya que aquiacute redactaraacutes lo que hayas
encontrado a lo largo de todo el proceso
Encontraraacutes problemas en los que es preciso efectuar primero la parte analiacutetica y
despueacutes la geomeacutetrica sin embargo habraacute otros en los que tanto la parte analiacuteticacomo la geomeacutetrica deberaacuten desarrollarse al mismo tiempo pero en cualquiera delos casos ambas estaacuten presentes
Cuando queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con una expresioacutenalgebraica sugerimos realizar los siguientes pasos
1 Haz una tabulacioacuten en donde se asignen valores a x
2 Calcula los valores de y sustituyendo en la ecuacioacuten original
Objeto de aprendizaje Lugares geomeacutetricos
Lugar geomeacutetrico Es un conjuntode puntos que cumplen una
propiedad geomeacutetrica en particular G L O
S A R I O
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 15
3 Calcula las intersecciones con los ejes
a) Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y
b) Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
4 Por uacuteltimo elabora la graacute1047297ca colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten
con los ejes
Ejemplos
1 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Si observas la ecuacioacuten te daraacutes cuenta de que es una ecuacioacuten lineal por lo que se representa como unarecta pero iquestcuaacuteles son las caracteriacutesticas de esta recta en particular Sigamos los pasos propuestos re-cuerda que para graficar una liacutenea recta son suficientes dos puntos
x 2 1
y 4 5
(x y ) (2 4) (1 5)
Para las intersecciones con los ejes
Con el eje Y x
0 y 3x 2
y 3(0) 2
y 0 2
y 2
La interseccioacuten con el eje Y es el punto (0 2)Con el eje X y 0
y 3x 2
0 3x 2
0 2 3x
23
x
x 23
La interseccioacuten con el eje X es el punto 23
0
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16 Matemaacuteticas III
bull Parte geomeacutetrica
Haciendo la graacutefica tenemos que el lugar geomeacutetrico y 3x 2 es
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
y 3 x 2
X
Y
bull Conclusioacuten
El lugar geomeacutetrico es una liacutenea recta que interseca al eje Y en y 2 y al eje X en x 23
Por otro lado si queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con un conjunto de pares ordenadoste sugerimos seguir los siguientes pasos
a ) Hacer una tabulacioacuten con los valores de x y y
b ) Calcular la relacioacuten que se presenta entre los datos
c ) Calcular las intersecciones con los ejes
i Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y ii Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
d ) Por uacuteltimo hacer la graacutefica colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten con los ejes
2 iquestQueacute ecuacioacuten representaraacute el lugar geomeacutetrico que contiene a las siguientes parejas ordenadas (5 25)(4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4) (3 9) (4 16) (5 25)
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero colocamos las parejas ordenadas en una tabla para visualizar la relacioacuten entre las abscisas y lasordenadas
x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
y iquest 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 17
Para encontrar la relacioacuten debemos preguntarnos iquestqueacute le hacemos a5 para que sea 25 iquesta4 para quesea 16 iquesta 3 para que sea 9 etceacutetera
Si pensamos un poco la respuesta es evidentehellip iexclClaro Lo elevamos al cuadrado o sea
25
(
5)
2
16
(
4)
2
9
(
3)
2
etceacutetera
Por tanto la relacioacuten es y x 2
Recordemos que las ecuaciones de este tipo por lo general representan una paraacutebola con veacutertice enel origen que es la uacutenica interseccioacuten con el eje X o Y para verificar lo anterior desarrollemos la partegeomeacutetrica
bull Parte geomeacutetrica
Si graficamos los puntos que tenemos y los
unimos con una curva suave entonces seforma la paraacutebola coacutencava hacia arriba consu veacutertice en el origen
5
10
15
20
25
55 X
Y
bull Conclusioacuten
Entonces tenemos que los puntos (5 25) (4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4)(3 9) (4 16) (5 25) representan el lugar geomeacutetrico denominado paraacutebola con veacutertice en el origen cuya
ecuacioacuten es y x 2
3 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y x 2 4
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero tabulemos la ecuacioacutenComo vimos las liacuteneas rectas soacutelo necesitan 2 puntos en la tabulacioacuten pero en este caso no hablamos
de una ecuacioacuten lineal asiacute que en todas las ecuaciones diferentes de las lineales se tendraacuten que tabular
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Utilizas
distintasformas dela ecuacioacutende una recta
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan realizar
un estudio de las propiedades geomeacutetricas de la recta y de sus
posibilidades analiacuteticas
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta
bull Transforma ecuaciones de una forma a otra
bull Utiliza distintas formas de la ecuacioacuten de la recta para solucionar
problemas yo ejercicios de la vida cotidiana
Bloque IV
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copy P h o t o r e d a k t o r D r e a m s t i m e
Objetos de aprendizaje
bull Ecuaciones de la recta
991252Pendiente y ordenada al origen
991252Punto-pendiente 991252Dos puntos
991252Simeacutetrica
bull Ecuacioacuten general y normal de la ecuacioacuten de la recta
bull Distancia de la recta a un punto
bull Distancia entre dos rectas paralelas
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas o graacute1047297cas
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exivacomprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis y disentildea y aplica modelos para probar
su validez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla
un proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten
con pasos especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras
personas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicas
del campo de matemaacuteticasbull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisis
de situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales medianteel lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea
de la informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental
o matemaacuteticamente las magnitudes del espacio
y de las propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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108
Responde correctamente las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es la distancia maacutes corta entre dos puntos
2 iquestCuaacuteles son las referencias miacutenimas para definir una recta en el plano
3 iquestCoacutemo se llama al punto de interseccioacuten de una recta con el eje Y
4 iquestCoacutemo se denomina a la interseccioacuten de la recta con el eje X
5 iquestEn queacute forma de la ecuacioacuten de la recta se puede identificar de inmediato su ldquoinclinacioacutenrdquo y la interseccioacuten de
esta con el eje Y
6 iquestCoacutemo se conoce a la forma de la ecuacioacuten de una recta que contiene como elementos su abscisa y su orde-nada al origen
7 iquestCoacutemo se escribe la expresioacuten para la forma general de la ecuacioacuten de la recta
8 iquestCuaacuteles son las referencias que necesitamos para emplear la forma normal de la ecuacioacuten de la recta
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 109
Para determinar una recta siempre se necesitan dos referencias como miacutenimo y
esto nos permite usar una forma de la ecuacioacuten de acuerdo con los datos que seproporcionan
1 La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos2 La forma punto-punto que requiere dos puntos pertenecientes a la recta
3 La forma simeacutetrica usa las intersecciones con los ejes
4 La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores
5 La forma normal emplea la distancia al origen y el aacutengulo de inclinacioacuten de la
recta que representa dicha distancia
Estudiaremos todas a lo largo del bloque
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendientey ordenada en el origeniquestCoacutemo se puede trazar la graacute1047297ca de una recta de manera raacutepida y sin la ayudade una tabulacioacuten Necesitamos dos referencias una de ellas puede ser un punto
ldquoespecialrdquo que obtenemos de la interseccioacuten con el eje Y al que se designa con laletra b por tanto sus coordenadas son (0 b) y se le llama ordenada en el origen
la otra referencia es m la pendiente iquestCoacutemo identi1047297carla en la ecuacioacuten de unarecta iexclEs muy faacutecil
A partir de la de1047297nicioacuten del punto al cual corresponde la ordenada en el origen
(0 b) y la pendiente de una recta (m) podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuacioacuten de la recta veamos
y = mx + b
expresioacuten que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquierpunto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y su-
mada a la interseccioacuten con el eje Y
Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta
9 iquestCuaacuteles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta
10 iquestCuaacuteles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas
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110 Matemaacuteticas III
Ejemplos
1 Grafica la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen
y mx b
y 3x 2
Entonces la ecuacioacuten tiene como ordenada en el origen b 2 estosignifica que en ese lugar la recta interseca al eje Y ademaacutes es faacutecilobservar que la pendiente es m 3 Graacuteficamente
Si deseas trazar la recta puedes graficarla pendiente a partir de la ordenada enel origen tal como vimos en el bloqueanterior
2 Grafica la ecuacioacuten y 3
2
x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Toma la ecuacioacuten y compaacuterala con la forma pendiente-ordenada en el origen
y 32
x 2
y mx b
A esta forma de la recta se le denomina forma comuacuten o pendiente-ordenada
en el origen y es muy uacutetil ya que mediante ella es posible identi1047297car de inmediatola pendiente y la ordenada en el origen
X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
b Ordenada en el origen
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
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7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
Portal de Conocimiento
DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
Student ResourcIn Conte
Portal de Conocimie
SOLUCIONES PARA LA INVESTIGACIOacuteN Y LA BIBLIOTECA
CIENCIAS E INGENIERIacuteA MULTIDISCIPLINAR
Accesa con esta direccioacuten a tus soluciones de investigacioacuten
httpwwwcengagecommxportaldelconocimiento
TIPOS DE CONTENIDOPublicaciones acadeacutemicas revistas noticias podcasts
imaacutegenes videos y ligas a sitios web
wwwcengagecom
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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Punto medio 55
Lectura Mapas Coordenadas geograacute1047297cas 65
Evaluacioacuten formativa por proyectos 67
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 68Mi competencia 1047297nal 69
Lista de cotejo 70
Bloque III
Aplicas los elementos de una rectacomo lugar geomeacutetrico 72
Evaluacioacuten diagnoacutestica 74
Liacutenea recta 75
De1047297nicioacuten 75
Pendiente y aacutengulo de inclinacioacuten de una recta 78
Relacioacuten de la pendiente con el aacutengulo de inclinacioacuten 85
Aacutengulo formado por dos rectas 89Condiciones de paralelismo y perpendicularidad 96Lectura Liacutenea recta 100
Evaluacioacuten formativa por proyectos 101
Guiacutea de autoobservacioacuten de evaluacioacuten formativa por proyectos 102
Mi competencia 1047297nal 103
Lista de cotejo 104
Bloque IV
Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 106
Evaluacioacuten diagnoacutestica 108
Ecuaciones de la recta 109
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendiente y ordenada en el origen 109
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Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendiente 116
Ecuacioacuten de la recta dados dos puntos 119
Forma simeacutetrica de la ecuacioacuten de la recta 127
Ecuacioacuten de la recta dadas sus intersecciones con los ejes 128
Forma general y normal de la ecuacioacutende la recta 134
Forma normal de la ecuacioacuten de la recta 141
Conversioacuten de la forma general a la forma normal 143
Distancia dirigida de una rectaa un punto 148
Distancia no dirigida entre un punto y una recta 152
Distancia entre dos rectas paralelas 155
Lectura Liacutenea recta y funciones 158
Evaluacioacuten formativa por proyectos 161
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 162
Mi competencia 1047297nal 163
Lista de cotejo 164
Bloque 5
Aplicas los elementos y las ecuacionesde una circunferencia 166
Evaluacioacuten diagnoacutestica 168
Circunferencia 172De1047297nicioacuten y elementos 172
Rectas y segmentos 173
Ecuaciones de la circunferencia 176
Ecuacioacuten canoacutenica de la circunferencia 176
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Ecuacioacuten ordinaria de la circunferencia 181
Obtencioacuten de la ecuacioacuten a partir del centro y el radio 181
Radio y centro de una circunferencia con centro fuera del origen 182
Forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia 189De la forma general a la ordinaria 195
Ecuacioacuten de la circunferencia que pasapor tres puntos 200
Lectura El ciacuterculo en la naturaleza 210
Evaluacioacuten formativa por proyectos 211
Guiacutea de autoevaluacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 212Mi competencia 1047297nal 213
Lista de cotejo 216
Bloque VI
Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola 218
Evaluacioacuten diagnoacutestica 220
Paraacutebola 221
Elementos asociados con la paraacutebola 222
Ecuacioacuten ordinaria de paraacutebolas verticalesy horizontales con veacutertice en el origen 227
La paraacutebola a partir de su ecuacioacuten 232
Ecuacioacuten de una paraacutebola a partir de sus elementos 236
Ecuacioacuten ordinaria de paraacutebolas verticalesy horizontales con veacutertice fuera del origen 241
Los elementos a partir de la ecuacioacuten 241
La ecuacioacuten a partir de los elementos 246
Forma general de la ecuacioacuten de la paraacutebola 248
Conversioacuten de la forma ordinaria a la general 249
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Conversioacuten de la forma general a la ordinaria 254
Lectura Formas paraboacutelicas 261
Evaluacioacuten formativa por proyectos 263
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 264
Mi competencia 1047297nal 265
Lista de cotejo 268
Bloque VII
Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse 270
Evaluacioacuten diagnoacutestica 272
Elipse 273
Elementos asociados con la elipse 274
Ecuacioacuten ordinaria de elipses horizontalesy verticales con centro en el origen yejes paralelos a los ejes cartesianos 276
Elipse horizontal 276
Elipse vertical 276Lado recto de la elipse 277
Ecuacioacuten ordinaria de elipses horizontalesy verticales con centro fuera del origen yejes paralelos a los ejes 283
Forma general de la ecuacioacuten de la elipse 289Lectura Propiedades de la elipse 294
Evaluacioacuten formativa por proyectos 297
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 298
Mi competencia 1047297nal 299
Lista de cotejo 302
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Reconoces
lugaresgeomeacutetricos
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan
reconocer las caracteriacutesticas matemaacuteticas que de1047297nen un lugar
geomeacutetrico
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Identi1047297ca las caracteriacutesticas de un sistema de coordenadas
rectangulares
bull Interpreta la informacioacuten a partir de la nocioacuten de parejas
ordenadas
bull Reconoce las relaciones entre variables que conforman las parejas
ordenadas para determinar un lugar geomeacutetrico
Bloque I
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Objetos de aprendizaje
bull Geometriacutea analiacutetica introductoria
bull Sistema de coordenadas rectangulares
bull Parejas ordenadas 991252Igualdad de parejas
bull Lugares geomeacutetricos
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas y graacute1047297cas asimismo interpreta tablas mapas
diagramas y textos con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exiva
comprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis disentildea y aplica modelos para probar suvalidez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un
proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten con pasos
especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otraspersonas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicasdel campo de matemaacuteticas
bull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisisde situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales mediante el
lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea de la
informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental o
matemaacuteticamente las magnitudes del espacio y de las
propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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Completa los siguientes enunciados
1 El sistema de coordenadas estaacute compuesto por
2 iquestCuaacutentos cuadrantes tiene el sistema de coordenadas cartesianas
3 La combinacioacuten de todas las combinaciones de los elementos de dos conjuntos se denomina
4 En una pareja de elementos en la que si se cambia el orden se cambia el sentido
5 La coordenada x se denomina
6 La coordenada y se denomina
7 Conjunto de puntos que cumplen una relacioacuten matemaacutetica
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 5
La geometriacutea analiacutetica se ha desarrollado desde tiempos remotos Podemos con-siderar la obra de Fibonacci Practica Geometriae como el punto de arranquede la geometriacutea renacentista aunque uacutenicamente se ocupe de la medida de aacutereas de
poliacutegonos y voluacutemenes de cuerposDebemos a Jordanus Nemorarius la primera formulacioacuten correcta del problema
del plano inclinadoEn Pariacutes el profesor Nicole Oresme utilizoacute coordenadas rectangulares en una
de sus obras de forma primitiva y rudimentaria para la representacioacuten graacute1047297ca deciertos fenoacutemenos fiacutesicos
Sin duda uno de los grandes en esta materia fue Reneacute Descartes con su famo-sa obra el Discurso del Meacutetodo en cuyo apeacutendice llamado ldquoGeacuteometrierdquo detalla lasinstrucciones geomeacutetricas para resolver ecuaciones cuadraacuteticas despueacutes describe
la aplicacioacuten del aacutelgebra a ciertos problemas geomeacutetricos Casi toda la ldquoGeacuteometrierdquoestaacute dedicada a la interrelacioacuten del aacutelgebra y la geometriacutea con ayuda del sistema de
coordenadas justo lo que actualmente denominamos geometriacutea analiacutetica
Reneacute Descartes
Geometriacutea analiacuteticaintroductoria
Objeto de aprendizaje
Actividad de investigacioacuten 1
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas como actividad extraclase investiguen en fuentes impresas yelectroacutenicas (Internet) los antecedentes de la geometriacutea analiacutetica y disentildeen una liacutenea de tiempo en la que se desta-que a los principales precursores su aportacioacuten y el antildeo correspondiente Elaboren una presentacioacuten electroacutenica y
expoacutenganla ante el grupo para su realimentacioacuten Despueacutes evaluacuteen su desempentildeo con la guiacutea de autoobservacioacuten
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6 Matemaacuteticas III
Guiacutea de autoobservacioacuten
Un arreglo de dos rectas numeacutericas (una en posicioacuten horizontal y otra en posicioacuten vertical) unidas en sus ceros (origen) se denomina sistema de coordenadas rec-
tangulares o plano cartesiano en honor a Reneacute Descartes
La recta horizontal se llama eje X y la recta vertical eje Y Observa que el siste-ma de coordenadas divide al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
Negativos
Positivos
Cuadrante I ()
Cuadrante IV ()
Cuadrante II ()
Cuadrante III ()
Origen
Sistema de coordenadasrectangulares Es un arreglo de dosrectas numeacutericas una horizontal y laotra vertical que se unen en el cero(origen)
Eje X Es la recta horizontaldel sistema de coordenadasrectangulares
Eje Y Es la recta vertical del sistemade coordenadas rectangulares
Cuadrantes Son las cuatroregiones en las que se divide al planoen el sistema de coordenadas
G L O S A R I O
Coordenada (2 3)
Objeto de aprendizaje Sistema de coordenadasrectangulares
Y
X
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Empleamos las TIC para presentar nuestra informacioacuten
2 Empleamos fuentes de informacioacuten confiable y relevante tanto en formaelectroacutenica como impresa
3 Elaboramos una liacutenea de tiempo que destaca precursores antildeo y aportaciones
4 Manejamos de manera fluida la informacioacuten que expusimos al grupo
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia la realimentacioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 7
El primer cuadrante tiene la parte positiva del eje X y del eje Y el segundo
cuadrante tiene la parte negativa del eje X y la parte positiva del eje Y el tercer cua-drante tiene la parte negativa del eje X y del eje Y y el cuarto cuadrante tiene la partepositiva del eje X y la parte negativa del eje Y
Pareja ordenada Es una parejade nuacutemeros ( x y ) escritos en unorden particular
Para iniciar el tema analicemos el siguiente ejemplo Mariacutea tiene blusas de color
blanco y rosa y faldas de color cafeacute azul y negro Quiere saber cuaacutentos posiblesatuendos puede tener Aquiacute estaacute la lista que obtuvo
bull Blusa blanca con falda cafeacutebull Blusa blanca con falda azulbull Blusa blanca con falda negrabull Blusa rosa con falda cafeacutebull Blusa rosa con falda azulbull Blusa rosa con falda negra
Ademaacutes tiene la idea de darle un nuacutemero a
cada blusa y a cada falda para que sea maacutes faacutecilescoger el atuendo
bull Blusas
1 blanca
2 rosa
bull Faldas
1 cafeacute
2 azul
3 negra
Haciendo la ldquotraduccioacutenrdquo obtuvo la siguiente lista
1 1
1 21 3
2 12 2
2 3
En donde el primer nuacutemero pertenece a la blusa y el segundo a la falda Observaque no tendriacutea ninguacuten signi1047297cado pedir (3 2) ya que no hay ninguna blusa 3 En-
tonces el orden en estas parejas es importante lo mismo sucederaacute con las parejasde nuacutemeros que veremos a continuacioacuten
Las parejas ordenadas tienen dos elementos uno de ellos ocupa el primer lugary otro el segundo y si se cambian de lugar el sentido variacutea Se representan encerran-
do sus elementos entre pareacutentesis Por ejemplo (3 4) (6 8) (9 1) (4 3) etceacutetera
Objeto de aprendizaje Parejas ordenadas
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8 Matemaacuteticas III
Actividad 1
Igualdad de parejasObserva que si cambias los nuacutemeros de lugar no quieren decir lo mismo es decir3 y 4 es una pareja ordenada pero 4 y 3 hace referencia a un arreglo distinto En
general las parejas ordenadas cumplen que
(a b) (b a)y
(a b) (b a) si y solo si a b
Esto quiere decir que para considerar iguales a dos parejas estas deben tenerlos mismos elementos en el mismo orden Por ejemplo (5 5)
Organiacutezate con tus compantildeeros formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnos yresuelvan los siguientes ejercicios con una actitud de respeto y tolerancia Al final reflexionen con los integrantesde otro equipo sus procedimientos y resultados
1 La fonda de Chonita tiene tortas de jamoacuten y tacos de pollo para comer y agua de jamaica refresco y jugo parabeber Formen todos los posibles menuacutes que Chonita puede tener
2 La floreriacutea ldquoMil hojasrdquo tiene rosas tulipanes y orquiacutedeas como flores y helecho y dracaena como follaje Cons-truyan los posibles arreglos que puede hacer de un tipo de flor con un tipo de follaje
3 En la fiesta de Luis su mamaacute quiere servir algunas ensaladas que contengan un tipo de fruta y un tipo desemilla Cuenta con frutas como naranjas uvas papayas y mangos en cuanto a las semillas tiene nuecesalmendras avellanas y pistaches Describan las ensaladas que puede haber en la fiesta de Luis
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 9
Ejemplo
Una forma de encontrar todas las posibles parejas ordenadas de nuacutemeros entre dos
conjuntos es por medio del producto cartesiano que se representa como A B Producto cartesiano Es lacoleccioacuten de todas las relaciones(combinaciones) de los elementosde A con los elementos de B
Desarrolla el producto cartesiano A B y B A dados A 1 2 3 y B 1 2 3 4
Solucioacuten
A B
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
Ahora
B A
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
(4 1) (4 2) (4 3) (4 4)
Observa que las parejas (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3) (3 1) (3 2) y (3 3) son iguales en ambos pro-ductos
El producto cartesiano de dos conjuntos de nuacutemeros es un nuevo conjunto de pa-
rejas ordenadas en el que todas estas son distintas El primer elemento correspondeal conjunto A y el segundo elemento corresponde al conjunto B
Observa que si el conjunto A tiene tres elementos y el conjunto B tiene cuatroentonces el conjunto A B tiene 3 4 12 elementos (parejas ordenadas) de
ahiacute la razoacuten de llamarlo producto (multiplicacioacuten) y se le llama cartesiano porque sepuede representar graacute1047297camente en un plano cartesiano como el siguiente
Una aplicacioacuten de las parejas ordenadas es la localizacioacuten de puntos en el sistema
de coordenadas rectangulares
1 2 3 A
(1 4)
(1 3)
(1 2)
(1 1)
(2 4)
(2 3)
(2 2)
(2 1)
(3 4)
(3 3)
(3 2)
(3 1)
B
4
3
2
1
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10 Matemaacuteticas III
Actividad 2
Organiacutezate con tus compantildeeros y reuacutenanse en parejas conformadas por una alumna y un alumno realicen demanera colaborativa los siguientes ejercicios Recuerden mantener siempre una actitud de respeto y responsa-bilidad Compartan en plenaria sus procedimientos y resultados Al final califiquen su desempentildeo con la guiacutea deautoobservacioacuten
1 Respondan las siguientes preguntas respecto a las caracteriacutesticas del sistema de coordenadas
a ) iquestCuaacutentas rectas numeacutericas conforman el sistema de coordenadas rectangulares
b ) iquestCuaacutel es la posicioacuten de cada una de estas rectas
Traza un cuadrado y un triaacutengulo en el siguiente sistema de coordenadas rectangulares luego descriacutebelos indican-do las coordenadas (x y ) que representan a sus veacutertices
Solucioacuten
Cada uno de los puntos que se acaban de localizar tiene dos elementos o referenciasuna estaacute sobre el eje X denominada abscisa y la otra sobre el eje Y denominadaordenada Por tanto las parejas ordenadas tienen la siguiente forma
(abscisa ordenada)
La abscisa siempre se localiza sobre el eje X (tambieacuten se le llama eje de las abscisas)y la ordenada sobre el eje Y (conocido como eje de las ordenadas)
Las coordenadas del cuadro son
(3 3) (3 3) (3 3) y (3 3)
Las coordenadas del triaacutengulo son
(0 4) (0 6) y (4 4)
Ejemplo
Abscisa Es la coordenada x de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
Ordenada Es la coordenada y de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
G L O S A R I O
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 11
c ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta horizontal
d ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta vertical
e ) iquestCoacutemo se llama al punto donde se cruzan los ejes
f ) iquestCoacutemo se llaman las regiones en las que se divide al plano y cuaacutentas son
g ) iquestCuaacuteles son los signos de cada cuadrante
2 Dados los siguientes conjuntos calculen los productos cartesianos y represeacutentenlos en un plano Ademaacutesrodeen las parejas ordenadas iguales
A a b c d B 1 3 5 C 2 4 6 8 D x y z
a ) A B f ) B D
b ) C D g ) B A
c ) A C h ) D C
d ) C B i ) B C
e ) D A j ) A D
3 Localicen en un mismo sistema de coordenadas rectangulares los siguientes puntos e identifiquen a queacute cua-drante pertenecen
a ) A (4 2) h ) H (8 3)
b ) B (3 5) i ) I 64
125
c ) C 12
14
j ) J (6 2)
d ) D (2 7) k ) K 83
3
e ) E (7 3) l ) L(0 0)
f ) F
2
3
4
5 m ) M (
1
2)
g ) G (24) n ) N ( 5 8)
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12 Matemaacuteticas III
4 Escriban las coordenadas de los puntos que se muestran en el siguiente plano cartesiano
a ) A ( ) f ) F ( )
b ) B ( ) g ) G ( )
c ) C ( ) h ) H ( )
d ) D ( ) i ) I ( )
e ) E ( ) j ) J ( )
5 Representen en un sistema de coordenadas rectangula-res los poliacutegonos con los siguientes veacutertices e incluacuteyan-los en su portafolio de evidencias
a ) A (3 4) B (2 1) C (51)
b ) A (9 3) B (5 1) C (4 0)
c ) A (4 2) B (2 3) C (16) D (0 4)
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
G
F
E
A
C
B
D
J
I
H
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como pareja
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Trazamos correctamente el sistema de coordenadas identificando los ejes
2 Ubicamos los puntos en el cuadrante correcto
3 Unimos correctamente los puntos formando la figura geomeacutetrica
4 Identificamos la figura correctamente de acuerdo con el nuacutemero y posicioacutende los veacutertices
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia el desarrollo de lasolucioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 13
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas de preferencia alumno y alumna Realicen los siguientes ejerci-cios de manera colaborativa
1 Tracen las liacuteneas rectas siguientes una de ellas pasa por A (0 6) y B (6 0) la otra pasa por C (6 6) y D (0 0)comprueben que estas liacuteneas rectas se cruzan en el punto (3 3)
2 Dibujen en un sistema coordenado un triaacutengulo isoacutesceles (de cualquier medida) Luego indiquen las coorde-nadas de sus tres veacutertices tambieacuten marquen dos puntos que esteacuten dentro y dos puntos que esteacuten afuera deltriaacutengulo e indiquen sus coordenadas
3 Grafiquen en un mismo sistema de referencia cada uno de los siguientes grupos de coordenadas uacutenanlos yescriban el tipo de figura geomeacutetrica
a ) A(2 4) B (2 1) C (2 1) D (2 4)
b ) E (2 5) F (5 2) G (04)
c ) H (3 5) I (3 9) J (3 5)
d ) K (42) L(44) M (24) N (2 2)
e ) O (5 2) P (1 2) Q (1 4) R (5 4)
4 Resuelvan los siguientes problemas
a ) Mariacutea tiene una casa con una puerta al sur sale de ella ycamina 4 cuadras luego decide caminar 3 cuadras al estedespueacutes gira hacia el sur y avanza otras 5 cuadras final-mente da vuelta al norte y avanza 8 cuadras Si se coloca lacasa de Mariacutea en el origen de un sistema de coordenadasrectangulares y se sigue su trayectoria iquesten queacute punto seencontraraacute al final de su camino Elaboren una hipoacutetesis ycomprueacutebenla en un sistema de coordenadas
b ) El terreno de Feacutelix tiene coordenadas (5 2) (10 2) (5 10)y (10 10)
i Ubiquen el terreno en un sistema de coordenadas rec-
tangulares ii iquestQueacute forma tiene el terreno iii Calculen su aacuterea
Actividad 3
copy E l z b i e t a S e k o w s k a S h u t t e r s t o c k
copy G o D u n k 1 3 S h u t t e r s t o c k
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14 Matemaacuteticas III
c ) En la clase de Biologiacutea Pati realizoacute un experimento paraobservar el crecimiento de una colonia de bacilos Seregistraron los siguientes datos anotando el tiempo quetranscurrioacute y el nuacutemero de bacilos presentes en el ex-perimento
bull 200 bacilos en 6 minutosbull 300 bacilos en 12 minutosbull 500 bacilos en 18 minutosbull 1000 bacilos en 24 minutosbull 1800 bacilos en 30 minutos
Representen los pares de valores que Pati recaboacute en un sistema de coordenadas rectangulares en el que el ejehorizontal sea el tiempo y el eje vertical el nuacutemero de bacilos
copy
M a t e j K a s t e l i c S h u t t e r s t o c k
En geometriacutea analiacutetica pueden presentarse dos problemas fundamentales relacio-nados con los lugares geomeacutetricos
1 Dada una ecuacioacuten encuentra el lugar geomeacutetrico que la representa2 Dado un lugar geomeacutetrico encuentra la ecuacioacuten que lo representa
Con esto en mente podemos hablar de un meacutetodo general para resolver proble-mas de geometriacutea analiacutetica que consta de tres secciones bien de1047297nidas
1 Geomeacutetrica En esta expondraacutes todo lo que sabes respecto al lugar geomeacutetricoque se propone antes de iniciar con el anaacutelisis
2 Analiacutetica Aquiacute efectuaraacutes el anaacutelisis de las ecuaciones dadas para ello usaraacutesaacutelgebra y aritmeacutetica
3 Conclusioacuten Esta parte es importantiacutesima ya que aquiacute redactaraacutes lo que hayas
encontrado a lo largo de todo el proceso
Encontraraacutes problemas en los que es preciso efectuar primero la parte analiacutetica y
despueacutes la geomeacutetrica sin embargo habraacute otros en los que tanto la parte analiacuteticacomo la geomeacutetrica deberaacuten desarrollarse al mismo tiempo pero en cualquiera delos casos ambas estaacuten presentes
Cuando queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con una expresioacutenalgebraica sugerimos realizar los siguientes pasos
1 Haz una tabulacioacuten en donde se asignen valores a x
2 Calcula los valores de y sustituyendo en la ecuacioacuten original
Objeto de aprendizaje Lugares geomeacutetricos
Lugar geomeacutetrico Es un conjuntode puntos que cumplen una
propiedad geomeacutetrica en particular G L O
S A R I O
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 15
3 Calcula las intersecciones con los ejes
a) Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y
b) Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
4 Por uacuteltimo elabora la graacute1047297ca colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten
con los ejes
Ejemplos
1 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Si observas la ecuacioacuten te daraacutes cuenta de que es una ecuacioacuten lineal por lo que se representa como unarecta pero iquestcuaacuteles son las caracteriacutesticas de esta recta en particular Sigamos los pasos propuestos re-cuerda que para graficar una liacutenea recta son suficientes dos puntos
x 2 1
y 4 5
(x y ) (2 4) (1 5)
Para las intersecciones con los ejes
Con el eje Y x
0 y 3x 2
y 3(0) 2
y 0 2
y 2
La interseccioacuten con el eje Y es el punto (0 2)Con el eje X y 0
y 3x 2
0 3x 2
0 2 3x
23
x
x 23
La interseccioacuten con el eje X es el punto 23
0
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16 Matemaacuteticas III
bull Parte geomeacutetrica
Haciendo la graacutefica tenemos que el lugar geomeacutetrico y 3x 2 es
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
y 3 x 2
X
Y
bull Conclusioacuten
El lugar geomeacutetrico es una liacutenea recta que interseca al eje Y en y 2 y al eje X en x 23
Por otro lado si queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con un conjunto de pares ordenadoste sugerimos seguir los siguientes pasos
a ) Hacer una tabulacioacuten con los valores de x y y
b ) Calcular la relacioacuten que se presenta entre los datos
c ) Calcular las intersecciones con los ejes
i Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y ii Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
d ) Por uacuteltimo hacer la graacutefica colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten con los ejes
2 iquestQueacute ecuacioacuten representaraacute el lugar geomeacutetrico que contiene a las siguientes parejas ordenadas (5 25)(4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4) (3 9) (4 16) (5 25)
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero colocamos las parejas ordenadas en una tabla para visualizar la relacioacuten entre las abscisas y lasordenadas
x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
y iquest 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 17
Para encontrar la relacioacuten debemos preguntarnos iquestqueacute le hacemos a5 para que sea 25 iquesta4 para quesea 16 iquesta 3 para que sea 9 etceacutetera
Si pensamos un poco la respuesta es evidentehellip iexclClaro Lo elevamos al cuadrado o sea
25
(
5)
2
16
(
4)
2
9
(
3)
2
etceacutetera
Por tanto la relacioacuten es y x 2
Recordemos que las ecuaciones de este tipo por lo general representan una paraacutebola con veacutertice enel origen que es la uacutenica interseccioacuten con el eje X o Y para verificar lo anterior desarrollemos la partegeomeacutetrica
bull Parte geomeacutetrica
Si graficamos los puntos que tenemos y los
unimos con una curva suave entonces seforma la paraacutebola coacutencava hacia arriba consu veacutertice en el origen
5
10
15
20
25
55 X
Y
bull Conclusioacuten
Entonces tenemos que los puntos (5 25) (4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4)(3 9) (4 16) (5 25) representan el lugar geomeacutetrico denominado paraacutebola con veacutertice en el origen cuya
ecuacioacuten es y x 2
3 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y x 2 4
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero tabulemos la ecuacioacutenComo vimos las liacuteneas rectas soacutelo necesitan 2 puntos en la tabulacioacuten pero en este caso no hablamos
de una ecuacioacuten lineal asiacute que en todas las ecuaciones diferentes de las lineales se tendraacuten que tabular
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Utilizas
distintasformas dela ecuacioacutende una recta
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan realizar
un estudio de las propiedades geomeacutetricas de la recta y de sus
posibilidades analiacuteticas
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta
bull Transforma ecuaciones de una forma a otra
bull Utiliza distintas formas de la ecuacioacuten de la recta para solucionar
problemas yo ejercicios de la vida cotidiana
Bloque IV
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copy P h o t o r e d a k t o r D r e a m s t i m e
Objetos de aprendizaje
bull Ecuaciones de la recta
991252Pendiente y ordenada al origen
991252Punto-pendiente 991252Dos puntos
991252Simeacutetrica
bull Ecuacioacuten general y normal de la ecuacioacuten de la recta
bull Distancia de la recta a un punto
bull Distancia entre dos rectas paralelas
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas o graacute1047297cas
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exivacomprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis y disentildea y aplica modelos para probar
su validez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla
un proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten
con pasos especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras
personas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicas
del campo de matemaacuteticasbull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisis
de situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales medianteel lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea
de la informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental
o matemaacuteticamente las magnitudes del espacio
y de las propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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108
Responde correctamente las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es la distancia maacutes corta entre dos puntos
2 iquestCuaacuteles son las referencias miacutenimas para definir una recta en el plano
3 iquestCoacutemo se llama al punto de interseccioacuten de una recta con el eje Y
4 iquestCoacutemo se denomina a la interseccioacuten de la recta con el eje X
5 iquestEn queacute forma de la ecuacioacuten de la recta se puede identificar de inmediato su ldquoinclinacioacutenrdquo y la interseccioacuten de
esta con el eje Y
6 iquestCoacutemo se conoce a la forma de la ecuacioacuten de una recta que contiene como elementos su abscisa y su orde-nada al origen
7 iquestCoacutemo se escribe la expresioacuten para la forma general de la ecuacioacuten de la recta
8 iquestCuaacuteles son las referencias que necesitamos para emplear la forma normal de la ecuacioacuten de la recta
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 109
Para determinar una recta siempre se necesitan dos referencias como miacutenimo y
esto nos permite usar una forma de la ecuacioacuten de acuerdo con los datos que seproporcionan
1 La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos2 La forma punto-punto que requiere dos puntos pertenecientes a la recta
3 La forma simeacutetrica usa las intersecciones con los ejes
4 La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores
5 La forma normal emplea la distancia al origen y el aacutengulo de inclinacioacuten de la
recta que representa dicha distancia
Estudiaremos todas a lo largo del bloque
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendientey ordenada en el origeniquestCoacutemo se puede trazar la graacute1047297ca de una recta de manera raacutepida y sin la ayudade una tabulacioacuten Necesitamos dos referencias una de ellas puede ser un punto
ldquoespecialrdquo que obtenemos de la interseccioacuten con el eje Y al que se designa con laletra b por tanto sus coordenadas son (0 b) y se le llama ordenada en el origen
la otra referencia es m la pendiente iquestCoacutemo identi1047297carla en la ecuacioacuten de unarecta iexclEs muy faacutecil
A partir de la de1047297nicioacuten del punto al cual corresponde la ordenada en el origen
(0 b) y la pendiente de una recta (m) podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuacioacuten de la recta veamos
y = mx + b
expresioacuten que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquierpunto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y su-
mada a la interseccioacuten con el eje Y
Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta
9 iquestCuaacuteles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta
10 iquestCuaacuteles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas
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110 Matemaacuteticas III
Ejemplos
1 Grafica la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen
y mx b
y 3x 2
Entonces la ecuacioacuten tiene como ordenada en el origen b 2 estosignifica que en ese lugar la recta interseca al eje Y ademaacutes es faacutecilobservar que la pendiente es m 3 Graacuteficamente
Si deseas trazar la recta puedes graficarla pendiente a partir de la ordenada enel origen tal como vimos en el bloqueanterior
2 Grafica la ecuacioacuten y 3
2
x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Toma la ecuacioacuten y compaacuterala con la forma pendiente-ordenada en el origen
y 32
x 2
y mx b
A esta forma de la recta se le denomina forma comuacuten o pendiente-ordenada
en el origen y es muy uacutetil ya que mediante ella es posible identi1047297car de inmediatola pendiente y la ordenada en el origen
X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
b Ordenada en el origen
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
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DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
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SOLUCIONES PARA LA INVESTIGACIOacuteN Y LA BIBLIOTECA
CIENCIAS E INGENIERIacuteA MULTIDISCIPLINAR
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendiente 116
Ecuacioacuten de la recta dados dos puntos 119
Forma simeacutetrica de la ecuacioacuten de la recta 127
Ecuacioacuten de la recta dadas sus intersecciones con los ejes 128
Forma general y normal de la ecuacioacutende la recta 134
Forma normal de la ecuacioacuten de la recta 141
Conversioacuten de la forma general a la forma normal 143
Distancia dirigida de una rectaa un punto 148
Distancia no dirigida entre un punto y una recta 152
Distancia entre dos rectas paralelas 155
Lectura Liacutenea recta y funciones 158
Evaluacioacuten formativa por proyectos 161
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 162
Mi competencia 1047297nal 163
Lista de cotejo 164
Bloque 5
Aplicas los elementos y las ecuacionesde una circunferencia 166
Evaluacioacuten diagnoacutestica 168
Circunferencia 172De1047297nicioacuten y elementos 172
Rectas y segmentos 173
Ecuaciones de la circunferencia 176
Ecuacioacuten canoacutenica de la circunferencia 176
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Ecuacioacuten ordinaria de la circunferencia 181
Obtencioacuten de la ecuacioacuten a partir del centro y el radio 181
Radio y centro de una circunferencia con centro fuera del origen 182
Forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia 189De la forma general a la ordinaria 195
Ecuacioacuten de la circunferencia que pasapor tres puntos 200
Lectura El ciacuterculo en la naturaleza 210
Evaluacioacuten formativa por proyectos 211
Guiacutea de autoevaluacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 212Mi competencia 1047297nal 213
Lista de cotejo 216
Bloque VI
Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola 218
Evaluacioacuten diagnoacutestica 220
Paraacutebola 221
Elementos asociados con la paraacutebola 222
Ecuacioacuten ordinaria de paraacutebolas verticalesy horizontales con veacutertice en el origen 227
La paraacutebola a partir de su ecuacioacuten 232
Ecuacioacuten de una paraacutebola a partir de sus elementos 236
Ecuacioacuten ordinaria de paraacutebolas verticalesy horizontales con veacutertice fuera del origen 241
Los elementos a partir de la ecuacioacuten 241
La ecuacioacuten a partir de los elementos 246
Forma general de la ecuacioacuten de la paraacutebola 248
Conversioacuten de la forma ordinaria a la general 249
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Conversioacuten de la forma general a la ordinaria 254
Lectura Formas paraboacutelicas 261
Evaluacioacuten formativa por proyectos 263
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 264
Mi competencia 1047297nal 265
Lista de cotejo 268
Bloque VII
Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse 270
Evaluacioacuten diagnoacutestica 272
Elipse 273
Elementos asociados con la elipse 274
Ecuacioacuten ordinaria de elipses horizontalesy verticales con centro en el origen yejes paralelos a los ejes cartesianos 276
Elipse horizontal 276
Elipse vertical 276Lado recto de la elipse 277
Ecuacioacuten ordinaria de elipses horizontalesy verticales con centro fuera del origen yejes paralelos a los ejes 283
Forma general de la ecuacioacuten de la elipse 289Lectura Propiedades de la elipse 294
Evaluacioacuten formativa por proyectos 297
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 298
Mi competencia 1047297nal 299
Lista de cotejo 302
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Reconoces
lugaresgeomeacutetricos
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan
reconocer las caracteriacutesticas matemaacuteticas que de1047297nen un lugar
geomeacutetrico
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Identi1047297ca las caracteriacutesticas de un sistema de coordenadas
rectangulares
bull Interpreta la informacioacuten a partir de la nocioacuten de parejas
ordenadas
bull Reconoce las relaciones entre variables que conforman las parejas
ordenadas para determinar un lugar geomeacutetrico
Bloque I
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copy z e n t i l i a S h u t t e r S t o c k
Objetos de aprendizaje
bull Geometriacutea analiacutetica introductoria
bull Sistema de coordenadas rectangulares
bull Parejas ordenadas 991252Igualdad de parejas
bull Lugares geomeacutetricos
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas y graacute1047297cas asimismo interpreta tablas mapas
diagramas y textos con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exiva
comprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis disentildea y aplica modelos para probar suvalidez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un
proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten con pasos
especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otraspersonas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicasdel campo de matemaacuteticas
bull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisisde situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales mediante el
lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea de la
informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental o
matemaacuteticamente las magnitudes del espacio y de las
propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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Completa los siguientes enunciados
1 El sistema de coordenadas estaacute compuesto por
2 iquestCuaacutentos cuadrantes tiene el sistema de coordenadas cartesianas
3 La combinacioacuten de todas las combinaciones de los elementos de dos conjuntos se denomina
4 En una pareja de elementos en la que si se cambia el orden se cambia el sentido
5 La coordenada x se denomina
6 La coordenada y se denomina
7 Conjunto de puntos que cumplen una relacioacuten matemaacutetica
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 5
La geometriacutea analiacutetica se ha desarrollado desde tiempos remotos Podemos con-siderar la obra de Fibonacci Practica Geometriae como el punto de arranquede la geometriacutea renacentista aunque uacutenicamente se ocupe de la medida de aacutereas de
poliacutegonos y voluacutemenes de cuerposDebemos a Jordanus Nemorarius la primera formulacioacuten correcta del problema
del plano inclinadoEn Pariacutes el profesor Nicole Oresme utilizoacute coordenadas rectangulares en una
de sus obras de forma primitiva y rudimentaria para la representacioacuten graacute1047297ca deciertos fenoacutemenos fiacutesicos
Sin duda uno de los grandes en esta materia fue Reneacute Descartes con su famo-sa obra el Discurso del Meacutetodo en cuyo apeacutendice llamado ldquoGeacuteometrierdquo detalla lasinstrucciones geomeacutetricas para resolver ecuaciones cuadraacuteticas despueacutes describe
la aplicacioacuten del aacutelgebra a ciertos problemas geomeacutetricos Casi toda la ldquoGeacuteometrierdquoestaacute dedicada a la interrelacioacuten del aacutelgebra y la geometriacutea con ayuda del sistema de
coordenadas justo lo que actualmente denominamos geometriacutea analiacutetica
Reneacute Descartes
Geometriacutea analiacuteticaintroductoria
Objeto de aprendizaje
Actividad de investigacioacuten 1
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas como actividad extraclase investiguen en fuentes impresas yelectroacutenicas (Internet) los antecedentes de la geometriacutea analiacutetica y disentildeen una liacutenea de tiempo en la que se desta-que a los principales precursores su aportacioacuten y el antildeo correspondiente Elaboren una presentacioacuten electroacutenica y
expoacutenganla ante el grupo para su realimentacioacuten Despueacutes evaluacuteen su desempentildeo con la guiacutea de autoobservacioacuten
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6 Matemaacuteticas III
Guiacutea de autoobservacioacuten
Un arreglo de dos rectas numeacutericas (una en posicioacuten horizontal y otra en posicioacuten vertical) unidas en sus ceros (origen) se denomina sistema de coordenadas rec-
tangulares o plano cartesiano en honor a Reneacute Descartes
La recta horizontal se llama eje X y la recta vertical eje Y Observa que el siste-ma de coordenadas divide al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
Negativos
Positivos
Cuadrante I ()
Cuadrante IV ()
Cuadrante II ()
Cuadrante III ()
Origen
Sistema de coordenadasrectangulares Es un arreglo de dosrectas numeacutericas una horizontal y laotra vertical que se unen en el cero(origen)
Eje X Es la recta horizontaldel sistema de coordenadasrectangulares
Eje Y Es la recta vertical del sistemade coordenadas rectangulares
Cuadrantes Son las cuatroregiones en las que se divide al planoen el sistema de coordenadas
G L O S A R I O
Coordenada (2 3)
Objeto de aprendizaje Sistema de coordenadasrectangulares
Y
X
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Empleamos las TIC para presentar nuestra informacioacuten
2 Empleamos fuentes de informacioacuten confiable y relevante tanto en formaelectroacutenica como impresa
3 Elaboramos una liacutenea de tiempo que destaca precursores antildeo y aportaciones
4 Manejamos de manera fluida la informacioacuten que expusimos al grupo
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia la realimentacioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 7
El primer cuadrante tiene la parte positiva del eje X y del eje Y el segundo
cuadrante tiene la parte negativa del eje X y la parte positiva del eje Y el tercer cua-drante tiene la parte negativa del eje X y del eje Y y el cuarto cuadrante tiene la partepositiva del eje X y la parte negativa del eje Y
Pareja ordenada Es una parejade nuacutemeros ( x y ) escritos en unorden particular
Para iniciar el tema analicemos el siguiente ejemplo Mariacutea tiene blusas de color
blanco y rosa y faldas de color cafeacute azul y negro Quiere saber cuaacutentos posiblesatuendos puede tener Aquiacute estaacute la lista que obtuvo
bull Blusa blanca con falda cafeacutebull Blusa blanca con falda azulbull Blusa blanca con falda negrabull Blusa rosa con falda cafeacutebull Blusa rosa con falda azulbull Blusa rosa con falda negra
Ademaacutes tiene la idea de darle un nuacutemero a
cada blusa y a cada falda para que sea maacutes faacutecilescoger el atuendo
bull Blusas
1 blanca
2 rosa
bull Faldas
1 cafeacute
2 azul
3 negra
Haciendo la ldquotraduccioacutenrdquo obtuvo la siguiente lista
1 1
1 21 3
2 12 2
2 3
En donde el primer nuacutemero pertenece a la blusa y el segundo a la falda Observaque no tendriacutea ninguacuten signi1047297cado pedir (3 2) ya que no hay ninguna blusa 3 En-
tonces el orden en estas parejas es importante lo mismo sucederaacute con las parejasde nuacutemeros que veremos a continuacioacuten
Las parejas ordenadas tienen dos elementos uno de ellos ocupa el primer lugary otro el segundo y si se cambian de lugar el sentido variacutea Se representan encerran-
do sus elementos entre pareacutentesis Por ejemplo (3 4) (6 8) (9 1) (4 3) etceacutetera
Objeto de aprendizaje Parejas ordenadas
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8 Matemaacuteticas III
Actividad 1
Igualdad de parejasObserva que si cambias los nuacutemeros de lugar no quieren decir lo mismo es decir3 y 4 es una pareja ordenada pero 4 y 3 hace referencia a un arreglo distinto En
general las parejas ordenadas cumplen que
(a b) (b a)y
(a b) (b a) si y solo si a b
Esto quiere decir que para considerar iguales a dos parejas estas deben tenerlos mismos elementos en el mismo orden Por ejemplo (5 5)
Organiacutezate con tus compantildeeros formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnos yresuelvan los siguientes ejercicios con una actitud de respeto y tolerancia Al final reflexionen con los integrantesde otro equipo sus procedimientos y resultados
1 La fonda de Chonita tiene tortas de jamoacuten y tacos de pollo para comer y agua de jamaica refresco y jugo parabeber Formen todos los posibles menuacutes que Chonita puede tener
2 La floreriacutea ldquoMil hojasrdquo tiene rosas tulipanes y orquiacutedeas como flores y helecho y dracaena como follaje Cons-truyan los posibles arreglos que puede hacer de un tipo de flor con un tipo de follaje
3 En la fiesta de Luis su mamaacute quiere servir algunas ensaladas que contengan un tipo de fruta y un tipo desemilla Cuenta con frutas como naranjas uvas papayas y mangos en cuanto a las semillas tiene nuecesalmendras avellanas y pistaches Describan las ensaladas que puede haber en la fiesta de Luis
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 9
Ejemplo
Una forma de encontrar todas las posibles parejas ordenadas de nuacutemeros entre dos
conjuntos es por medio del producto cartesiano que se representa como A B Producto cartesiano Es lacoleccioacuten de todas las relaciones(combinaciones) de los elementosde A con los elementos de B
Desarrolla el producto cartesiano A B y B A dados A 1 2 3 y B 1 2 3 4
Solucioacuten
A B
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
Ahora
B A
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
(4 1) (4 2) (4 3) (4 4)
Observa que las parejas (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3) (3 1) (3 2) y (3 3) son iguales en ambos pro-ductos
El producto cartesiano de dos conjuntos de nuacutemeros es un nuevo conjunto de pa-
rejas ordenadas en el que todas estas son distintas El primer elemento correspondeal conjunto A y el segundo elemento corresponde al conjunto B
Observa que si el conjunto A tiene tres elementos y el conjunto B tiene cuatroentonces el conjunto A B tiene 3 4 12 elementos (parejas ordenadas) de
ahiacute la razoacuten de llamarlo producto (multiplicacioacuten) y se le llama cartesiano porque sepuede representar graacute1047297camente en un plano cartesiano como el siguiente
Una aplicacioacuten de las parejas ordenadas es la localizacioacuten de puntos en el sistema
de coordenadas rectangulares
1 2 3 A
(1 4)
(1 3)
(1 2)
(1 1)
(2 4)
(2 3)
(2 2)
(2 1)
(3 4)
(3 3)
(3 2)
(3 1)
B
4
3
2
1
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10 Matemaacuteticas III
Actividad 2
Organiacutezate con tus compantildeeros y reuacutenanse en parejas conformadas por una alumna y un alumno realicen demanera colaborativa los siguientes ejercicios Recuerden mantener siempre una actitud de respeto y responsa-bilidad Compartan en plenaria sus procedimientos y resultados Al final califiquen su desempentildeo con la guiacutea deautoobservacioacuten
1 Respondan las siguientes preguntas respecto a las caracteriacutesticas del sistema de coordenadas
a ) iquestCuaacutentas rectas numeacutericas conforman el sistema de coordenadas rectangulares
b ) iquestCuaacutel es la posicioacuten de cada una de estas rectas
Traza un cuadrado y un triaacutengulo en el siguiente sistema de coordenadas rectangulares luego descriacutebelos indican-do las coordenadas (x y ) que representan a sus veacutertices
Solucioacuten
Cada uno de los puntos que se acaban de localizar tiene dos elementos o referenciasuna estaacute sobre el eje X denominada abscisa y la otra sobre el eje Y denominadaordenada Por tanto las parejas ordenadas tienen la siguiente forma
(abscisa ordenada)
La abscisa siempre se localiza sobre el eje X (tambieacuten se le llama eje de las abscisas)y la ordenada sobre el eje Y (conocido como eje de las ordenadas)
Las coordenadas del cuadro son
(3 3) (3 3) (3 3) y (3 3)
Las coordenadas del triaacutengulo son
(0 4) (0 6) y (4 4)
Ejemplo
Abscisa Es la coordenada x de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
Ordenada Es la coordenada y de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
G L O S A R I O
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 11
c ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta horizontal
d ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta vertical
e ) iquestCoacutemo se llama al punto donde se cruzan los ejes
f ) iquestCoacutemo se llaman las regiones en las que se divide al plano y cuaacutentas son
g ) iquestCuaacuteles son los signos de cada cuadrante
2 Dados los siguientes conjuntos calculen los productos cartesianos y represeacutentenlos en un plano Ademaacutesrodeen las parejas ordenadas iguales
A a b c d B 1 3 5 C 2 4 6 8 D x y z
a ) A B f ) B D
b ) C D g ) B A
c ) A C h ) D C
d ) C B i ) B C
e ) D A j ) A D
3 Localicen en un mismo sistema de coordenadas rectangulares los siguientes puntos e identifiquen a queacute cua-drante pertenecen
a ) A (4 2) h ) H (8 3)
b ) B (3 5) i ) I 64
125
c ) C 12
14
j ) J (6 2)
d ) D (2 7) k ) K 83
3
e ) E (7 3) l ) L(0 0)
f ) F
2
3
4
5 m ) M (
1
2)
g ) G (24) n ) N ( 5 8)
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12 Matemaacuteticas III
4 Escriban las coordenadas de los puntos que se muestran en el siguiente plano cartesiano
a ) A ( ) f ) F ( )
b ) B ( ) g ) G ( )
c ) C ( ) h ) H ( )
d ) D ( ) i ) I ( )
e ) E ( ) j ) J ( )
5 Representen en un sistema de coordenadas rectangula-res los poliacutegonos con los siguientes veacutertices e incluacuteyan-los en su portafolio de evidencias
a ) A (3 4) B (2 1) C (51)
b ) A (9 3) B (5 1) C (4 0)
c ) A (4 2) B (2 3) C (16) D (0 4)
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
G
F
E
A
C
B
D
J
I
H
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como pareja
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Trazamos correctamente el sistema de coordenadas identificando los ejes
2 Ubicamos los puntos en el cuadrante correcto
3 Unimos correctamente los puntos formando la figura geomeacutetrica
4 Identificamos la figura correctamente de acuerdo con el nuacutemero y posicioacutende los veacutertices
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia el desarrollo de lasolucioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 13
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas de preferencia alumno y alumna Realicen los siguientes ejerci-cios de manera colaborativa
1 Tracen las liacuteneas rectas siguientes una de ellas pasa por A (0 6) y B (6 0) la otra pasa por C (6 6) y D (0 0)comprueben que estas liacuteneas rectas se cruzan en el punto (3 3)
2 Dibujen en un sistema coordenado un triaacutengulo isoacutesceles (de cualquier medida) Luego indiquen las coorde-nadas de sus tres veacutertices tambieacuten marquen dos puntos que esteacuten dentro y dos puntos que esteacuten afuera deltriaacutengulo e indiquen sus coordenadas
3 Grafiquen en un mismo sistema de referencia cada uno de los siguientes grupos de coordenadas uacutenanlos yescriban el tipo de figura geomeacutetrica
a ) A(2 4) B (2 1) C (2 1) D (2 4)
b ) E (2 5) F (5 2) G (04)
c ) H (3 5) I (3 9) J (3 5)
d ) K (42) L(44) M (24) N (2 2)
e ) O (5 2) P (1 2) Q (1 4) R (5 4)
4 Resuelvan los siguientes problemas
a ) Mariacutea tiene una casa con una puerta al sur sale de ella ycamina 4 cuadras luego decide caminar 3 cuadras al estedespueacutes gira hacia el sur y avanza otras 5 cuadras final-mente da vuelta al norte y avanza 8 cuadras Si se coloca lacasa de Mariacutea en el origen de un sistema de coordenadasrectangulares y se sigue su trayectoria iquesten queacute punto seencontraraacute al final de su camino Elaboren una hipoacutetesis ycomprueacutebenla en un sistema de coordenadas
b ) El terreno de Feacutelix tiene coordenadas (5 2) (10 2) (5 10)y (10 10)
i Ubiquen el terreno en un sistema de coordenadas rec-
tangulares ii iquestQueacute forma tiene el terreno iii Calculen su aacuterea
Actividad 3
copy E l z b i e t a S e k o w s k a S h u t t e r s t o c k
copy G o D u n k 1 3 S h u t t e r s t o c k
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14 Matemaacuteticas III
c ) En la clase de Biologiacutea Pati realizoacute un experimento paraobservar el crecimiento de una colonia de bacilos Seregistraron los siguientes datos anotando el tiempo quetranscurrioacute y el nuacutemero de bacilos presentes en el ex-perimento
bull 200 bacilos en 6 minutosbull 300 bacilos en 12 minutosbull 500 bacilos en 18 minutosbull 1000 bacilos en 24 minutosbull 1800 bacilos en 30 minutos
Representen los pares de valores que Pati recaboacute en un sistema de coordenadas rectangulares en el que el ejehorizontal sea el tiempo y el eje vertical el nuacutemero de bacilos
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M a t e j K a s t e l i c S h u t t e r s t o c k
En geometriacutea analiacutetica pueden presentarse dos problemas fundamentales relacio-nados con los lugares geomeacutetricos
1 Dada una ecuacioacuten encuentra el lugar geomeacutetrico que la representa2 Dado un lugar geomeacutetrico encuentra la ecuacioacuten que lo representa
Con esto en mente podemos hablar de un meacutetodo general para resolver proble-mas de geometriacutea analiacutetica que consta de tres secciones bien de1047297nidas
1 Geomeacutetrica En esta expondraacutes todo lo que sabes respecto al lugar geomeacutetricoque se propone antes de iniciar con el anaacutelisis
2 Analiacutetica Aquiacute efectuaraacutes el anaacutelisis de las ecuaciones dadas para ello usaraacutesaacutelgebra y aritmeacutetica
3 Conclusioacuten Esta parte es importantiacutesima ya que aquiacute redactaraacutes lo que hayas
encontrado a lo largo de todo el proceso
Encontraraacutes problemas en los que es preciso efectuar primero la parte analiacutetica y
despueacutes la geomeacutetrica sin embargo habraacute otros en los que tanto la parte analiacuteticacomo la geomeacutetrica deberaacuten desarrollarse al mismo tiempo pero en cualquiera delos casos ambas estaacuten presentes
Cuando queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con una expresioacutenalgebraica sugerimos realizar los siguientes pasos
1 Haz una tabulacioacuten en donde se asignen valores a x
2 Calcula los valores de y sustituyendo en la ecuacioacuten original
Objeto de aprendizaje Lugares geomeacutetricos
Lugar geomeacutetrico Es un conjuntode puntos que cumplen una
propiedad geomeacutetrica en particular G L O
S A R I O
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 15
3 Calcula las intersecciones con los ejes
a) Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y
b) Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
4 Por uacuteltimo elabora la graacute1047297ca colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten
con los ejes
Ejemplos
1 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Si observas la ecuacioacuten te daraacutes cuenta de que es una ecuacioacuten lineal por lo que se representa como unarecta pero iquestcuaacuteles son las caracteriacutesticas de esta recta en particular Sigamos los pasos propuestos re-cuerda que para graficar una liacutenea recta son suficientes dos puntos
x 2 1
y 4 5
(x y ) (2 4) (1 5)
Para las intersecciones con los ejes
Con el eje Y x
0 y 3x 2
y 3(0) 2
y 0 2
y 2
La interseccioacuten con el eje Y es el punto (0 2)Con el eje X y 0
y 3x 2
0 3x 2
0 2 3x
23
x
x 23
La interseccioacuten con el eje X es el punto 23
0
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16 Matemaacuteticas III
bull Parte geomeacutetrica
Haciendo la graacutefica tenemos que el lugar geomeacutetrico y 3x 2 es
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
y 3 x 2
X
Y
bull Conclusioacuten
El lugar geomeacutetrico es una liacutenea recta que interseca al eje Y en y 2 y al eje X en x 23
Por otro lado si queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con un conjunto de pares ordenadoste sugerimos seguir los siguientes pasos
a ) Hacer una tabulacioacuten con los valores de x y y
b ) Calcular la relacioacuten que se presenta entre los datos
c ) Calcular las intersecciones con los ejes
i Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y ii Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
d ) Por uacuteltimo hacer la graacutefica colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten con los ejes
2 iquestQueacute ecuacioacuten representaraacute el lugar geomeacutetrico que contiene a las siguientes parejas ordenadas (5 25)(4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4) (3 9) (4 16) (5 25)
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero colocamos las parejas ordenadas en una tabla para visualizar la relacioacuten entre las abscisas y lasordenadas
x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
y iquest 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 17
Para encontrar la relacioacuten debemos preguntarnos iquestqueacute le hacemos a5 para que sea 25 iquesta4 para quesea 16 iquesta 3 para que sea 9 etceacutetera
Si pensamos un poco la respuesta es evidentehellip iexclClaro Lo elevamos al cuadrado o sea
25
(
5)
2
16
(
4)
2
9
(
3)
2
etceacutetera
Por tanto la relacioacuten es y x 2
Recordemos que las ecuaciones de este tipo por lo general representan una paraacutebola con veacutertice enel origen que es la uacutenica interseccioacuten con el eje X o Y para verificar lo anterior desarrollemos la partegeomeacutetrica
bull Parte geomeacutetrica
Si graficamos los puntos que tenemos y los
unimos con una curva suave entonces seforma la paraacutebola coacutencava hacia arriba consu veacutertice en el origen
5
10
15
20
25
55 X
Y
bull Conclusioacuten
Entonces tenemos que los puntos (5 25) (4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4)(3 9) (4 16) (5 25) representan el lugar geomeacutetrico denominado paraacutebola con veacutertice en el origen cuya
ecuacioacuten es y x 2
3 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y x 2 4
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero tabulemos la ecuacioacutenComo vimos las liacuteneas rectas soacutelo necesitan 2 puntos en la tabulacioacuten pero en este caso no hablamos
de una ecuacioacuten lineal asiacute que en todas las ecuaciones diferentes de las lineales se tendraacuten que tabular
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Utilizas
distintasformas dela ecuacioacutende una recta
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan realizar
un estudio de las propiedades geomeacutetricas de la recta y de sus
posibilidades analiacuteticas
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta
bull Transforma ecuaciones de una forma a otra
bull Utiliza distintas formas de la ecuacioacuten de la recta para solucionar
problemas yo ejercicios de la vida cotidiana
Bloque IV
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copy P h o t o r e d a k t o r D r e a m s t i m e
Objetos de aprendizaje
bull Ecuaciones de la recta
991252Pendiente y ordenada al origen
991252Punto-pendiente 991252Dos puntos
991252Simeacutetrica
bull Ecuacioacuten general y normal de la ecuacioacuten de la recta
bull Distancia de la recta a un punto
bull Distancia entre dos rectas paralelas
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas o graacute1047297cas
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exivacomprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis y disentildea y aplica modelos para probar
su validez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla
un proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten
con pasos especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras
personas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicas
del campo de matemaacuteticasbull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisis
de situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales medianteel lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea
de la informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental
o matemaacuteticamente las magnitudes del espacio
y de las propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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108
Responde correctamente las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es la distancia maacutes corta entre dos puntos
2 iquestCuaacuteles son las referencias miacutenimas para definir una recta en el plano
3 iquestCoacutemo se llama al punto de interseccioacuten de una recta con el eje Y
4 iquestCoacutemo se denomina a la interseccioacuten de la recta con el eje X
5 iquestEn queacute forma de la ecuacioacuten de la recta se puede identificar de inmediato su ldquoinclinacioacutenrdquo y la interseccioacuten de
esta con el eje Y
6 iquestCoacutemo se conoce a la forma de la ecuacioacuten de una recta que contiene como elementos su abscisa y su orde-nada al origen
7 iquestCoacutemo se escribe la expresioacuten para la forma general de la ecuacioacuten de la recta
8 iquestCuaacuteles son las referencias que necesitamos para emplear la forma normal de la ecuacioacuten de la recta
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 109
Para determinar una recta siempre se necesitan dos referencias como miacutenimo y
esto nos permite usar una forma de la ecuacioacuten de acuerdo con los datos que seproporcionan
1 La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos2 La forma punto-punto que requiere dos puntos pertenecientes a la recta
3 La forma simeacutetrica usa las intersecciones con los ejes
4 La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores
5 La forma normal emplea la distancia al origen y el aacutengulo de inclinacioacuten de la
recta que representa dicha distancia
Estudiaremos todas a lo largo del bloque
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendientey ordenada en el origeniquestCoacutemo se puede trazar la graacute1047297ca de una recta de manera raacutepida y sin la ayudade una tabulacioacuten Necesitamos dos referencias una de ellas puede ser un punto
ldquoespecialrdquo que obtenemos de la interseccioacuten con el eje Y al que se designa con laletra b por tanto sus coordenadas son (0 b) y se le llama ordenada en el origen
la otra referencia es m la pendiente iquestCoacutemo identi1047297carla en la ecuacioacuten de unarecta iexclEs muy faacutecil
A partir de la de1047297nicioacuten del punto al cual corresponde la ordenada en el origen
(0 b) y la pendiente de una recta (m) podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuacioacuten de la recta veamos
y = mx + b
expresioacuten que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquierpunto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y su-
mada a la interseccioacuten con el eje Y
Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta
9 iquestCuaacuteles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta
10 iquestCuaacuteles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas
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110 Matemaacuteticas III
Ejemplos
1 Grafica la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen
y mx b
y 3x 2
Entonces la ecuacioacuten tiene como ordenada en el origen b 2 estosignifica que en ese lugar la recta interseca al eje Y ademaacutes es faacutecilobservar que la pendiente es m 3 Graacuteficamente
Si deseas trazar la recta puedes graficarla pendiente a partir de la ordenada enel origen tal como vimos en el bloqueanterior
2 Grafica la ecuacioacuten y 3
2
x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Toma la ecuacioacuten y compaacuterala con la forma pendiente-ordenada en el origen
y 32
x 2
y mx b
A esta forma de la recta se le denomina forma comuacuten o pendiente-ordenada
en el origen y es muy uacutetil ya que mediante ella es posible identi1047297car de inmediatola pendiente y la ordenada en el origen
X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
b Ordenada en el origen
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
Portal de Conocimiento
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Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
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SOLUCIONES PARA LA INVESTIGACIOacuteN Y LA BIBLIOTECA
CIENCIAS E INGENIERIacuteA MULTIDISCIPLINAR
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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Ecuacioacuten ordinaria de la circunferencia 181
Obtencioacuten de la ecuacioacuten a partir del centro y el radio 181
Radio y centro de una circunferencia con centro fuera del origen 182
Forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia 189De la forma general a la ordinaria 195
Ecuacioacuten de la circunferencia que pasapor tres puntos 200
Lectura El ciacuterculo en la naturaleza 210
Evaluacioacuten formativa por proyectos 211
Guiacutea de autoevaluacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 212Mi competencia 1047297nal 213
Lista de cotejo 216
Bloque VI
Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola 218
Evaluacioacuten diagnoacutestica 220
Paraacutebola 221
Elementos asociados con la paraacutebola 222
Ecuacioacuten ordinaria de paraacutebolas verticalesy horizontales con veacutertice en el origen 227
La paraacutebola a partir de su ecuacioacuten 232
Ecuacioacuten de una paraacutebola a partir de sus elementos 236
Ecuacioacuten ordinaria de paraacutebolas verticalesy horizontales con veacutertice fuera del origen 241
Los elementos a partir de la ecuacioacuten 241
La ecuacioacuten a partir de los elementos 246
Forma general de la ecuacioacuten de la paraacutebola 248
Conversioacuten de la forma ordinaria a la general 249
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Conversioacuten de la forma general a la ordinaria 254
Lectura Formas paraboacutelicas 261
Evaluacioacuten formativa por proyectos 263
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 264
Mi competencia 1047297nal 265
Lista de cotejo 268
Bloque VII
Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse 270
Evaluacioacuten diagnoacutestica 272
Elipse 273
Elementos asociados con la elipse 274
Ecuacioacuten ordinaria de elipses horizontalesy verticales con centro en el origen yejes paralelos a los ejes cartesianos 276
Elipse horizontal 276
Elipse vertical 276Lado recto de la elipse 277
Ecuacioacuten ordinaria de elipses horizontalesy verticales con centro fuera del origen yejes paralelos a los ejes 283
Forma general de la ecuacioacuten de la elipse 289Lectura Propiedades de la elipse 294
Evaluacioacuten formativa por proyectos 297
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 298
Mi competencia 1047297nal 299
Lista de cotejo 302
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Reconoces
lugaresgeomeacutetricos
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan
reconocer las caracteriacutesticas matemaacuteticas que de1047297nen un lugar
geomeacutetrico
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Identi1047297ca las caracteriacutesticas de un sistema de coordenadas
rectangulares
bull Interpreta la informacioacuten a partir de la nocioacuten de parejas
ordenadas
bull Reconoce las relaciones entre variables que conforman las parejas
ordenadas para determinar un lugar geomeacutetrico
Bloque I
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copy z e n t i l i a S h u t t e r S t o c k
Objetos de aprendizaje
bull Geometriacutea analiacutetica introductoria
bull Sistema de coordenadas rectangulares
bull Parejas ordenadas 991252Igualdad de parejas
bull Lugares geomeacutetricos
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas y graacute1047297cas asimismo interpreta tablas mapas
diagramas y textos con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exiva
comprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis disentildea y aplica modelos para probar suvalidez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un
proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten con pasos
especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otraspersonas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicasdel campo de matemaacuteticas
bull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisisde situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales mediante el
lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea de la
informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental o
matemaacuteticamente las magnitudes del espacio y de las
propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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Completa los siguientes enunciados
1 El sistema de coordenadas estaacute compuesto por
2 iquestCuaacutentos cuadrantes tiene el sistema de coordenadas cartesianas
3 La combinacioacuten de todas las combinaciones de los elementos de dos conjuntos se denomina
4 En una pareja de elementos en la que si se cambia el orden se cambia el sentido
5 La coordenada x se denomina
6 La coordenada y se denomina
7 Conjunto de puntos que cumplen una relacioacuten matemaacutetica
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 5
La geometriacutea analiacutetica se ha desarrollado desde tiempos remotos Podemos con-siderar la obra de Fibonacci Practica Geometriae como el punto de arranquede la geometriacutea renacentista aunque uacutenicamente se ocupe de la medida de aacutereas de
poliacutegonos y voluacutemenes de cuerposDebemos a Jordanus Nemorarius la primera formulacioacuten correcta del problema
del plano inclinadoEn Pariacutes el profesor Nicole Oresme utilizoacute coordenadas rectangulares en una
de sus obras de forma primitiva y rudimentaria para la representacioacuten graacute1047297ca deciertos fenoacutemenos fiacutesicos
Sin duda uno de los grandes en esta materia fue Reneacute Descartes con su famo-sa obra el Discurso del Meacutetodo en cuyo apeacutendice llamado ldquoGeacuteometrierdquo detalla lasinstrucciones geomeacutetricas para resolver ecuaciones cuadraacuteticas despueacutes describe
la aplicacioacuten del aacutelgebra a ciertos problemas geomeacutetricos Casi toda la ldquoGeacuteometrierdquoestaacute dedicada a la interrelacioacuten del aacutelgebra y la geometriacutea con ayuda del sistema de
coordenadas justo lo que actualmente denominamos geometriacutea analiacutetica
Reneacute Descartes
Geometriacutea analiacuteticaintroductoria
Objeto de aprendizaje
Actividad de investigacioacuten 1
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas como actividad extraclase investiguen en fuentes impresas yelectroacutenicas (Internet) los antecedentes de la geometriacutea analiacutetica y disentildeen una liacutenea de tiempo en la que se desta-que a los principales precursores su aportacioacuten y el antildeo correspondiente Elaboren una presentacioacuten electroacutenica y
expoacutenganla ante el grupo para su realimentacioacuten Despueacutes evaluacuteen su desempentildeo con la guiacutea de autoobservacioacuten
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6 Matemaacuteticas III
Guiacutea de autoobservacioacuten
Un arreglo de dos rectas numeacutericas (una en posicioacuten horizontal y otra en posicioacuten vertical) unidas en sus ceros (origen) se denomina sistema de coordenadas rec-
tangulares o plano cartesiano en honor a Reneacute Descartes
La recta horizontal se llama eje X y la recta vertical eje Y Observa que el siste-ma de coordenadas divide al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
Negativos
Positivos
Cuadrante I ()
Cuadrante IV ()
Cuadrante II ()
Cuadrante III ()
Origen
Sistema de coordenadasrectangulares Es un arreglo de dosrectas numeacutericas una horizontal y laotra vertical que se unen en el cero(origen)
Eje X Es la recta horizontaldel sistema de coordenadasrectangulares
Eje Y Es la recta vertical del sistemade coordenadas rectangulares
Cuadrantes Son las cuatroregiones en las que se divide al planoen el sistema de coordenadas
G L O S A R I O
Coordenada (2 3)
Objeto de aprendizaje Sistema de coordenadasrectangulares
Y
X
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Empleamos las TIC para presentar nuestra informacioacuten
2 Empleamos fuentes de informacioacuten confiable y relevante tanto en formaelectroacutenica como impresa
3 Elaboramos una liacutenea de tiempo que destaca precursores antildeo y aportaciones
4 Manejamos de manera fluida la informacioacuten que expusimos al grupo
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia la realimentacioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 7
El primer cuadrante tiene la parte positiva del eje X y del eje Y el segundo
cuadrante tiene la parte negativa del eje X y la parte positiva del eje Y el tercer cua-drante tiene la parte negativa del eje X y del eje Y y el cuarto cuadrante tiene la partepositiva del eje X y la parte negativa del eje Y
Pareja ordenada Es una parejade nuacutemeros ( x y ) escritos en unorden particular
Para iniciar el tema analicemos el siguiente ejemplo Mariacutea tiene blusas de color
blanco y rosa y faldas de color cafeacute azul y negro Quiere saber cuaacutentos posiblesatuendos puede tener Aquiacute estaacute la lista que obtuvo
bull Blusa blanca con falda cafeacutebull Blusa blanca con falda azulbull Blusa blanca con falda negrabull Blusa rosa con falda cafeacutebull Blusa rosa con falda azulbull Blusa rosa con falda negra
Ademaacutes tiene la idea de darle un nuacutemero a
cada blusa y a cada falda para que sea maacutes faacutecilescoger el atuendo
bull Blusas
1 blanca
2 rosa
bull Faldas
1 cafeacute
2 azul
3 negra
Haciendo la ldquotraduccioacutenrdquo obtuvo la siguiente lista
1 1
1 21 3
2 12 2
2 3
En donde el primer nuacutemero pertenece a la blusa y el segundo a la falda Observaque no tendriacutea ninguacuten signi1047297cado pedir (3 2) ya que no hay ninguna blusa 3 En-
tonces el orden en estas parejas es importante lo mismo sucederaacute con las parejasde nuacutemeros que veremos a continuacioacuten
Las parejas ordenadas tienen dos elementos uno de ellos ocupa el primer lugary otro el segundo y si se cambian de lugar el sentido variacutea Se representan encerran-
do sus elementos entre pareacutentesis Por ejemplo (3 4) (6 8) (9 1) (4 3) etceacutetera
Objeto de aprendizaje Parejas ordenadas
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8 Matemaacuteticas III
Actividad 1
Igualdad de parejasObserva que si cambias los nuacutemeros de lugar no quieren decir lo mismo es decir3 y 4 es una pareja ordenada pero 4 y 3 hace referencia a un arreglo distinto En
general las parejas ordenadas cumplen que
(a b) (b a)y
(a b) (b a) si y solo si a b
Esto quiere decir que para considerar iguales a dos parejas estas deben tenerlos mismos elementos en el mismo orden Por ejemplo (5 5)
Organiacutezate con tus compantildeeros formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnos yresuelvan los siguientes ejercicios con una actitud de respeto y tolerancia Al final reflexionen con los integrantesde otro equipo sus procedimientos y resultados
1 La fonda de Chonita tiene tortas de jamoacuten y tacos de pollo para comer y agua de jamaica refresco y jugo parabeber Formen todos los posibles menuacutes que Chonita puede tener
2 La floreriacutea ldquoMil hojasrdquo tiene rosas tulipanes y orquiacutedeas como flores y helecho y dracaena como follaje Cons-truyan los posibles arreglos que puede hacer de un tipo de flor con un tipo de follaje
3 En la fiesta de Luis su mamaacute quiere servir algunas ensaladas que contengan un tipo de fruta y un tipo desemilla Cuenta con frutas como naranjas uvas papayas y mangos en cuanto a las semillas tiene nuecesalmendras avellanas y pistaches Describan las ensaladas que puede haber en la fiesta de Luis
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 9
Ejemplo
Una forma de encontrar todas las posibles parejas ordenadas de nuacutemeros entre dos
conjuntos es por medio del producto cartesiano que se representa como A B Producto cartesiano Es lacoleccioacuten de todas las relaciones(combinaciones) de los elementosde A con los elementos de B
Desarrolla el producto cartesiano A B y B A dados A 1 2 3 y B 1 2 3 4
Solucioacuten
A B
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
Ahora
B A
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
(4 1) (4 2) (4 3) (4 4)
Observa que las parejas (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3) (3 1) (3 2) y (3 3) son iguales en ambos pro-ductos
El producto cartesiano de dos conjuntos de nuacutemeros es un nuevo conjunto de pa-
rejas ordenadas en el que todas estas son distintas El primer elemento correspondeal conjunto A y el segundo elemento corresponde al conjunto B
Observa que si el conjunto A tiene tres elementos y el conjunto B tiene cuatroentonces el conjunto A B tiene 3 4 12 elementos (parejas ordenadas) de
ahiacute la razoacuten de llamarlo producto (multiplicacioacuten) y se le llama cartesiano porque sepuede representar graacute1047297camente en un plano cartesiano como el siguiente
Una aplicacioacuten de las parejas ordenadas es la localizacioacuten de puntos en el sistema
de coordenadas rectangulares
1 2 3 A
(1 4)
(1 3)
(1 2)
(1 1)
(2 4)
(2 3)
(2 2)
(2 1)
(3 4)
(3 3)
(3 2)
(3 1)
B
4
3
2
1
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10 Matemaacuteticas III
Actividad 2
Organiacutezate con tus compantildeeros y reuacutenanse en parejas conformadas por una alumna y un alumno realicen demanera colaborativa los siguientes ejercicios Recuerden mantener siempre una actitud de respeto y responsa-bilidad Compartan en plenaria sus procedimientos y resultados Al final califiquen su desempentildeo con la guiacutea deautoobservacioacuten
1 Respondan las siguientes preguntas respecto a las caracteriacutesticas del sistema de coordenadas
a ) iquestCuaacutentas rectas numeacutericas conforman el sistema de coordenadas rectangulares
b ) iquestCuaacutel es la posicioacuten de cada una de estas rectas
Traza un cuadrado y un triaacutengulo en el siguiente sistema de coordenadas rectangulares luego descriacutebelos indican-do las coordenadas (x y ) que representan a sus veacutertices
Solucioacuten
Cada uno de los puntos que se acaban de localizar tiene dos elementos o referenciasuna estaacute sobre el eje X denominada abscisa y la otra sobre el eje Y denominadaordenada Por tanto las parejas ordenadas tienen la siguiente forma
(abscisa ordenada)
La abscisa siempre se localiza sobre el eje X (tambieacuten se le llama eje de las abscisas)y la ordenada sobre el eje Y (conocido como eje de las ordenadas)
Las coordenadas del cuadro son
(3 3) (3 3) (3 3) y (3 3)
Las coordenadas del triaacutengulo son
(0 4) (0 6) y (4 4)
Ejemplo
Abscisa Es la coordenada x de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
Ordenada Es la coordenada y de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
G L O S A R I O
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 11
c ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta horizontal
d ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta vertical
e ) iquestCoacutemo se llama al punto donde se cruzan los ejes
f ) iquestCoacutemo se llaman las regiones en las que se divide al plano y cuaacutentas son
g ) iquestCuaacuteles son los signos de cada cuadrante
2 Dados los siguientes conjuntos calculen los productos cartesianos y represeacutentenlos en un plano Ademaacutesrodeen las parejas ordenadas iguales
A a b c d B 1 3 5 C 2 4 6 8 D x y z
a ) A B f ) B D
b ) C D g ) B A
c ) A C h ) D C
d ) C B i ) B C
e ) D A j ) A D
3 Localicen en un mismo sistema de coordenadas rectangulares los siguientes puntos e identifiquen a queacute cua-drante pertenecen
a ) A (4 2) h ) H (8 3)
b ) B (3 5) i ) I 64
125
c ) C 12
14
j ) J (6 2)
d ) D (2 7) k ) K 83
3
e ) E (7 3) l ) L(0 0)
f ) F
2
3
4
5 m ) M (
1
2)
g ) G (24) n ) N ( 5 8)
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12 Matemaacuteticas III
4 Escriban las coordenadas de los puntos que se muestran en el siguiente plano cartesiano
a ) A ( ) f ) F ( )
b ) B ( ) g ) G ( )
c ) C ( ) h ) H ( )
d ) D ( ) i ) I ( )
e ) E ( ) j ) J ( )
5 Representen en un sistema de coordenadas rectangula-res los poliacutegonos con los siguientes veacutertices e incluacuteyan-los en su portafolio de evidencias
a ) A (3 4) B (2 1) C (51)
b ) A (9 3) B (5 1) C (4 0)
c ) A (4 2) B (2 3) C (16) D (0 4)
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
G
F
E
A
C
B
D
J
I
H
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como pareja
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Trazamos correctamente el sistema de coordenadas identificando los ejes
2 Ubicamos los puntos en el cuadrante correcto
3 Unimos correctamente los puntos formando la figura geomeacutetrica
4 Identificamos la figura correctamente de acuerdo con el nuacutemero y posicioacutende los veacutertices
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia el desarrollo de lasolucioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 13
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas de preferencia alumno y alumna Realicen los siguientes ejerci-cios de manera colaborativa
1 Tracen las liacuteneas rectas siguientes una de ellas pasa por A (0 6) y B (6 0) la otra pasa por C (6 6) y D (0 0)comprueben que estas liacuteneas rectas se cruzan en el punto (3 3)
2 Dibujen en un sistema coordenado un triaacutengulo isoacutesceles (de cualquier medida) Luego indiquen las coorde-nadas de sus tres veacutertices tambieacuten marquen dos puntos que esteacuten dentro y dos puntos que esteacuten afuera deltriaacutengulo e indiquen sus coordenadas
3 Grafiquen en un mismo sistema de referencia cada uno de los siguientes grupos de coordenadas uacutenanlos yescriban el tipo de figura geomeacutetrica
a ) A(2 4) B (2 1) C (2 1) D (2 4)
b ) E (2 5) F (5 2) G (04)
c ) H (3 5) I (3 9) J (3 5)
d ) K (42) L(44) M (24) N (2 2)
e ) O (5 2) P (1 2) Q (1 4) R (5 4)
4 Resuelvan los siguientes problemas
a ) Mariacutea tiene una casa con una puerta al sur sale de ella ycamina 4 cuadras luego decide caminar 3 cuadras al estedespueacutes gira hacia el sur y avanza otras 5 cuadras final-mente da vuelta al norte y avanza 8 cuadras Si se coloca lacasa de Mariacutea en el origen de un sistema de coordenadasrectangulares y se sigue su trayectoria iquesten queacute punto seencontraraacute al final de su camino Elaboren una hipoacutetesis ycomprueacutebenla en un sistema de coordenadas
b ) El terreno de Feacutelix tiene coordenadas (5 2) (10 2) (5 10)y (10 10)
i Ubiquen el terreno en un sistema de coordenadas rec-
tangulares ii iquestQueacute forma tiene el terreno iii Calculen su aacuterea
Actividad 3
copy E l z b i e t a S e k o w s k a S h u t t e r s t o c k
copy G o D u n k 1 3 S h u t t e r s t o c k
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14 Matemaacuteticas III
c ) En la clase de Biologiacutea Pati realizoacute un experimento paraobservar el crecimiento de una colonia de bacilos Seregistraron los siguientes datos anotando el tiempo quetranscurrioacute y el nuacutemero de bacilos presentes en el ex-perimento
bull 200 bacilos en 6 minutosbull 300 bacilos en 12 minutosbull 500 bacilos en 18 minutosbull 1000 bacilos en 24 minutosbull 1800 bacilos en 30 minutos
Representen los pares de valores que Pati recaboacute en un sistema de coordenadas rectangulares en el que el ejehorizontal sea el tiempo y el eje vertical el nuacutemero de bacilos
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M a t e j K a s t e l i c S h u t t e r s t o c k
En geometriacutea analiacutetica pueden presentarse dos problemas fundamentales relacio-nados con los lugares geomeacutetricos
1 Dada una ecuacioacuten encuentra el lugar geomeacutetrico que la representa2 Dado un lugar geomeacutetrico encuentra la ecuacioacuten que lo representa
Con esto en mente podemos hablar de un meacutetodo general para resolver proble-mas de geometriacutea analiacutetica que consta de tres secciones bien de1047297nidas
1 Geomeacutetrica En esta expondraacutes todo lo que sabes respecto al lugar geomeacutetricoque se propone antes de iniciar con el anaacutelisis
2 Analiacutetica Aquiacute efectuaraacutes el anaacutelisis de las ecuaciones dadas para ello usaraacutesaacutelgebra y aritmeacutetica
3 Conclusioacuten Esta parte es importantiacutesima ya que aquiacute redactaraacutes lo que hayas
encontrado a lo largo de todo el proceso
Encontraraacutes problemas en los que es preciso efectuar primero la parte analiacutetica y
despueacutes la geomeacutetrica sin embargo habraacute otros en los que tanto la parte analiacuteticacomo la geomeacutetrica deberaacuten desarrollarse al mismo tiempo pero en cualquiera delos casos ambas estaacuten presentes
Cuando queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con una expresioacutenalgebraica sugerimos realizar los siguientes pasos
1 Haz una tabulacioacuten en donde se asignen valores a x
2 Calcula los valores de y sustituyendo en la ecuacioacuten original
Objeto de aprendizaje Lugares geomeacutetricos
Lugar geomeacutetrico Es un conjuntode puntos que cumplen una
propiedad geomeacutetrica en particular G L O
S A R I O
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 15
3 Calcula las intersecciones con los ejes
a) Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y
b) Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
4 Por uacuteltimo elabora la graacute1047297ca colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten
con los ejes
Ejemplos
1 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Si observas la ecuacioacuten te daraacutes cuenta de que es una ecuacioacuten lineal por lo que se representa como unarecta pero iquestcuaacuteles son las caracteriacutesticas de esta recta en particular Sigamos los pasos propuestos re-cuerda que para graficar una liacutenea recta son suficientes dos puntos
x 2 1
y 4 5
(x y ) (2 4) (1 5)
Para las intersecciones con los ejes
Con el eje Y x
0 y 3x 2
y 3(0) 2
y 0 2
y 2
La interseccioacuten con el eje Y es el punto (0 2)Con el eje X y 0
y 3x 2
0 3x 2
0 2 3x
23
x
x 23
La interseccioacuten con el eje X es el punto 23
0
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16 Matemaacuteticas III
bull Parte geomeacutetrica
Haciendo la graacutefica tenemos que el lugar geomeacutetrico y 3x 2 es
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
y 3 x 2
X
Y
bull Conclusioacuten
El lugar geomeacutetrico es una liacutenea recta que interseca al eje Y en y 2 y al eje X en x 23
Por otro lado si queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con un conjunto de pares ordenadoste sugerimos seguir los siguientes pasos
a ) Hacer una tabulacioacuten con los valores de x y y
b ) Calcular la relacioacuten que se presenta entre los datos
c ) Calcular las intersecciones con los ejes
i Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y ii Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
d ) Por uacuteltimo hacer la graacutefica colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten con los ejes
2 iquestQueacute ecuacioacuten representaraacute el lugar geomeacutetrico que contiene a las siguientes parejas ordenadas (5 25)(4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4) (3 9) (4 16) (5 25)
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero colocamos las parejas ordenadas en una tabla para visualizar la relacioacuten entre las abscisas y lasordenadas
x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
y iquest 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 17
Para encontrar la relacioacuten debemos preguntarnos iquestqueacute le hacemos a5 para que sea 25 iquesta4 para quesea 16 iquesta 3 para que sea 9 etceacutetera
Si pensamos un poco la respuesta es evidentehellip iexclClaro Lo elevamos al cuadrado o sea
25
(
5)
2
16
(
4)
2
9
(
3)
2
etceacutetera
Por tanto la relacioacuten es y x 2
Recordemos que las ecuaciones de este tipo por lo general representan una paraacutebola con veacutertice enel origen que es la uacutenica interseccioacuten con el eje X o Y para verificar lo anterior desarrollemos la partegeomeacutetrica
bull Parte geomeacutetrica
Si graficamos los puntos que tenemos y los
unimos con una curva suave entonces seforma la paraacutebola coacutencava hacia arriba consu veacutertice en el origen
5
10
15
20
25
55 X
Y
bull Conclusioacuten
Entonces tenemos que los puntos (5 25) (4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4)(3 9) (4 16) (5 25) representan el lugar geomeacutetrico denominado paraacutebola con veacutertice en el origen cuya
ecuacioacuten es y x 2
3 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y x 2 4
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero tabulemos la ecuacioacutenComo vimos las liacuteneas rectas soacutelo necesitan 2 puntos en la tabulacioacuten pero en este caso no hablamos
de una ecuacioacuten lineal asiacute que en todas las ecuaciones diferentes de las lineales se tendraacuten que tabular
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Utilizas
distintasformas dela ecuacioacutende una recta
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan realizar
un estudio de las propiedades geomeacutetricas de la recta y de sus
posibilidades analiacuteticas
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta
bull Transforma ecuaciones de una forma a otra
bull Utiliza distintas formas de la ecuacioacuten de la recta para solucionar
problemas yo ejercicios de la vida cotidiana
Bloque IV
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copy P h o t o r e d a k t o r D r e a m s t i m e
Objetos de aprendizaje
bull Ecuaciones de la recta
991252Pendiente y ordenada al origen
991252Punto-pendiente 991252Dos puntos
991252Simeacutetrica
bull Ecuacioacuten general y normal de la ecuacioacuten de la recta
bull Distancia de la recta a un punto
bull Distancia entre dos rectas paralelas
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas o graacute1047297cas
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exivacomprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis y disentildea y aplica modelos para probar
su validez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla
un proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten
con pasos especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras
personas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicas
del campo de matemaacuteticasbull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisis
de situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales medianteel lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea
de la informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental
o matemaacuteticamente las magnitudes del espacio
y de las propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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108
Responde correctamente las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es la distancia maacutes corta entre dos puntos
2 iquestCuaacuteles son las referencias miacutenimas para definir una recta en el plano
3 iquestCoacutemo se llama al punto de interseccioacuten de una recta con el eje Y
4 iquestCoacutemo se denomina a la interseccioacuten de la recta con el eje X
5 iquestEn queacute forma de la ecuacioacuten de la recta se puede identificar de inmediato su ldquoinclinacioacutenrdquo y la interseccioacuten de
esta con el eje Y
6 iquestCoacutemo se conoce a la forma de la ecuacioacuten de una recta que contiene como elementos su abscisa y su orde-nada al origen
7 iquestCoacutemo se escribe la expresioacuten para la forma general de la ecuacioacuten de la recta
8 iquestCuaacuteles son las referencias que necesitamos para emplear la forma normal de la ecuacioacuten de la recta
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 109
Para determinar una recta siempre se necesitan dos referencias como miacutenimo y
esto nos permite usar una forma de la ecuacioacuten de acuerdo con los datos que seproporcionan
1 La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos2 La forma punto-punto que requiere dos puntos pertenecientes a la recta
3 La forma simeacutetrica usa las intersecciones con los ejes
4 La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores
5 La forma normal emplea la distancia al origen y el aacutengulo de inclinacioacuten de la
recta que representa dicha distancia
Estudiaremos todas a lo largo del bloque
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendientey ordenada en el origeniquestCoacutemo se puede trazar la graacute1047297ca de una recta de manera raacutepida y sin la ayudade una tabulacioacuten Necesitamos dos referencias una de ellas puede ser un punto
ldquoespecialrdquo que obtenemos de la interseccioacuten con el eje Y al que se designa con laletra b por tanto sus coordenadas son (0 b) y se le llama ordenada en el origen
la otra referencia es m la pendiente iquestCoacutemo identi1047297carla en la ecuacioacuten de unarecta iexclEs muy faacutecil
A partir de la de1047297nicioacuten del punto al cual corresponde la ordenada en el origen
(0 b) y la pendiente de una recta (m) podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuacioacuten de la recta veamos
y = mx + b
expresioacuten que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquierpunto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y su-
mada a la interseccioacuten con el eje Y
Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta
9 iquestCuaacuteles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta
10 iquestCuaacuteles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas
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110 Matemaacuteticas III
Ejemplos
1 Grafica la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen
y mx b
y 3x 2
Entonces la ecuacioacuten tiene como ordenada en el origen b 2 estosignifica que en ese lugar la recta interseca al eje Y ademaacutes es faacutecilobservar que la pendiente es m 3 Graacuteficamente
Si deseas trazar la recta puedes graficarla pendiente a partir de la ordenada enel origen tal como vimos en el bloqueanterior
2 Grafica la ecuacioacuten y 3
2
x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Toma la ecuacioacuten y compaacuterala con la forma pendiente-ordenada en el origen
y 32
x 2
y mx b
A esta forma de la recta se le denomina forma comuacuten o pendiente-ordenada
en el origen y es muy uacutetil ya que mediante ella es posible identi1047297car de inmediatola pendiente y la ordenada en el origen
X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
b Ordenada en el origen
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
Portal de Conocimiento
DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
Student ResourcIn Conte
Portal de Conocimie
SOLUCIONES PARA LA INVESTIGACIOacuteN Y LA BIBLIOTECA
CIENCIAS E INGENIERIacuteA MULTIDISCIPLINAR
Accesa con esta direccioacuten a tus soluciones de investigacioacuten
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TIPOS DE CONTENIDOPublicaciones acadeacutemicas revistas noticias podcasts
imaacutegenes videos y ligas a sitios web
wwwcengagecom
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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Conversioacuten de la forma general a la ordinaria 254
Lectura Formas paraboacutelicas 261
Evaluacioacuten formativa por proyectos 263
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 264
Mi competencia 1047297nal 265
Lista de cotejo 268
Bloque VII
Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse 270
Evaluacioacuten diagnoacutestica 272
Elipse 273
Elementos asociados con la elipse 274
Ecuacioacuten ordinaria de elipses horizontalesy verticales con centro en el origen yejes paralelos a los ejes cartesianos 276
Elipse horizontal 276
Elipse vertical 276Lado recto de la elipse 277
Ecuacioacuten ordinaria de elipses horizontalesy verticales con centro fuera del origen yejes paralelos a los ejes 283
Forma general de la ecuacioacuten de la elipse 289Lectura Propiedades de la elipse 294
Evaluacioacuten formativa por proyectos 297
Guiacutea de autoobservacioacuten de la evaluacioacuten formativa por proyectos 298
Mi competencia 1047297nal 299
Lista de cotejo 302
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Reconoces
lugaresgeomeacutetricos
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan
reconocer las caracteriacutesticas matemaacuteticas que de1047297nen un lugar
geomeacutetrico
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Identi1047297ca las caracteriacutesticas de un sistema de coordenadas
rectangulares
bull Interpreta la informacioacuten a partir de la nocioacuten de parejas
ordenadas
bull Reconoce las relaciones entre variables que conforman las parejas
ordenadas para determinar un lugar geomeacutetrico
Bloque I
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copy z e n t i l i a S h u t t e r S t o c k
Objetos de aprendizaje
bull Geometriacutea analiacutetica introductoria
bull Sistema de coordenadas rectangulares
bull Parejas ordenadas 991252Igualdad de parejas
bull Lugares geomeacutetricos
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas y graacute1047297cas asimismo interpreta tablas mapas
diagramas y textos con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exiva
comprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis disentildea y aplica modelos para probar suvalidez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un
proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten con pasos
especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otraspersonas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicasdel campo de matemaacuteticas
bull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisisde situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales mediante el
lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea de la
informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental o
matemaacuteticamente las magnitudes del espacio y de las
propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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Completa los siguientes enunciados
1 El sistema de coordenadas estaacute compuesto por
2 iquestCuaacutentos cuadrantes tiene el sistema de coordenadas cartesianas
3 La combinacioacuten de todas las combinaciones de los elementos de dos conjuntos se denomina
4 En una pareja de elementos en la que si se cambia el orden se cambia el sentido
5 La coordenada x se denomina
6 La coordenada y se denomina
7 Conjunto de puntos que cumplen una relacioacuten matemaacutetica
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 5
La geometriacutea analiacutetica se ha desarrollado desde tiempos remotos Podemos con-siderar la obra de Fibonacci Practica Geometriae como el punto de arranquede la geometriacutea renacentista aunque uacutenicamente se ocupe de la medida de aacutereas de
poliacutegonos y voluacutemenes de cuerposDebemos a Jordanus Nemorarius la primera formulacioacuten correcta del problema
del plano inclinadoEn Pariacutes el profesor Nicole Oresme utilizoacute coordenadas rectangulares en una
de sus obras de forma primitiva y rudimentaria para la representacioacuten graacute1047297ca deciertos fenoacutemenos fiacutesicos
Sin duda uno de los grandes en esta materia fue Reneacute Descartes con su famo-sa obra el Discurso del Meacutetodo en cuyo apeacutendice llamado ldquoGeacuteometrierdquo detalla lasinstrucciones geomeacutetricas para resolver ecuaciones cuadraacuteticas despueacutes describe
la aplicacioacuten del aacutelgebra a ciertos problemas geomeacutetricos Casi toda la ldquoGeacuteometrierdquoestaacute dedicada a la interrelacioacuten del aacutelgebra y la geometriacutea con ayuda del sistema de
coordenadas justo lo que actualmente denominamos geometriacutea analiacutetica
Reneacute Descartes
Geometriacutea analiacuteticaintroductoria
Objeto de aprendizaje
Actividad de investigacioacuten 1
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas como actividad extraclase investiguen en fuentes impresas yelectroacutenicas (Internet) los antecedentes de la geometriacutea analiacutetica y disentildeen una liacutenea de tiempo en la que se desta-que a los principales precursores su aportacioacuten y el antildeo correspondiente Elaboren una presentacioacuten electroacutenica y
expoacutenganla ante el grupo para su realimentacioacuten Despueacutes evaluacuteen su desempentildeo con la guiacutea de autoobservacioacuten
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6 Matemaacuteticas III
Guiacutea de autoobservacioacuten
Un arreglo de dos rectas numeacutericas (una en posicioacuten horizontal y otra en posicioacuten vertical) unidas en sus ceros (origen) se denomina sistema de coordenadas rec-
tangulares o plano cartesiano en honor a Reneacute Descartes
La recta horizontal se llama eje X y la recta vertical eje Y Observa que el siste-ma de coordenadas divide al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
Negativos
Positivos
Cuadrante I ()
Cuadrante IV ()
Cuadrante II ()
Cuadrante III ()
Origen
Sistema de coordenadasrectangulares Es un arreglo de dosrectas numeacutericas una horizontal y laotra vertical que se unen en el cero(origen)
Eje X Es la recta horizontaldel sistema de coordenadasrectangulares
Eje Y Es la recta vertical del sistemade coordenadas rectangulares
Cuadrantes Son las cuatroregiones en las que se divide al planoen el sistema de coordenadas
G L O S A R I O
Coordenada (2 3)
Objeto de aprendizaje Sistema de coordenadasrectangulares
Y
X
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Empleamos las TIC para presentar nuestra informacioacuten
2 Empleamos fuentes de informacioacuten confiable y relevante tanto en formaelectroacutenica como impresa
3 Elaboramos una liacutenea de tiempo que destaca precursores antildeo y aportaciones
4 Manejamos de manera fluida la informacioacuten que expusimos al grupo
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia la realimentacioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 7
El primer cuadrante tiene la parte positiva del eje X y del eje Y el segundo
cuadrante tiene la parte negativa del eje X y la parte positiva del eje Y el tercer cua-drante tiene la parte negativa del eje X y del eje Y y el cuarto cuadrante tiene la partepositiva del eje X y la parte negativa del eje Y
Pareja ordenada Es una parejade nuacutemeros ( x y ) escritos en unorden particular
Para iniciar el tema analicemos el siguiente ejemplo Mariacutea tiene blusas de color
blanco y rosa y faldas de color cafeacute azul y negro Quiere saber cuaacutentos posiblesatuendos puede tener Aquiacute estaacute la lista que obtuvo
bull Blusa blanca con falda cafeacutebull Blusa blanca con falda azulbull Blusa blanca con falda negrabull Blusa rosa con falda cafeacutebull Blusa rosa con falda azulbull Blusa rosa con falda negra
Ademaacutes tiene la idea de darle un nuacutemero a
cada blusa y a cada falda para que sea maacutes faacutecilescoger el atuendo
bull Blusas
1 blanca
2 rosa
bull Faldas
1 cafeacute
2 azul
3 negra
Haciendo la ldquotraduccioacutenrdquo obtuvo la siguiente lista
1 1
1 21 3
2 12 2
2 3
En donde el primer nuacutemero pertenece a la blusa y el segundo a la falda Observaque no tendriacutea ninguacuten signi1047297cado pedir (3 2) ya que no hay ninguna blusa 3 En-
tonces el orden en estas parejas es importante lo mismo sucederaacute con las parejasde nuacutemeros que veremos a continuacioacuten
Las parejas ordenadas tienen dos elementos uno de ellos ocupa el primer lugary otro el segundo y si se cambian de lugar el sentido variacutea Se representan encerran-
do sus elementos entre pareacutentesis Por ejemplo (3 4) (6 8) (9 1) (4 3) etceacutetera
Objeto de aprendizaje Parejas ordenadas
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8 Matemaacuteticas III
Actividad 1
Igualdad de parejasObserva que si cambias los nuacutemeros de lugar no quieren decir lo mismo es decir3 y 4 es una pareja ordenada pero 4 y 3 hace referencia a un arreglo distinto En
general las parejas ordenadas cumplen que
(a b) (b a)y
(a b) (b a) si y solo si a b
Esto quiere decir que para considerar iguales a dos parejas estas deben tenerlos mismos elementos en el mismo orden Por ejemplo (5 5)
Organiacutezate con tus compantildeeros formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnos yresuelvan los siguientes ejercicios con una actitud de respeto y tolerancia Al final reflexionen con los integrantesde otro equipo sus procedimientos y resultados
1 La fonda de Chonita tiene tortas de jamoacuten y tacos de pollo para comer y agua de jamaica refresco y jugo parabeber Formen todos los posibles menuacutes que Chonita puede tener
2 La floreriacutea ldquoMil hojasrdquo tiene rosas tulipanes y orquiacutedeas como flores y helecho y dracaena como follaje Cons-truyan los posibles arreglos que puede hacer de un tipo de flor con un tipo de follaje
3 En la fiesta de Luis su mamaacute quiere servir algunas ensaladas que contengan un tipo de fruta y un tipo desemilla Cuenta con frutas como naranjas uvas papayas y mangos en cuanto a las semillas tiene nuecesalmendras avellanas y pistaches Describan las ensaladas que puede haber en la fiesta de Luis
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 9
Ejemplo
Una forma de encontrar todas las posibles parejas ordenadas de nuacutemeros entre dos
conjuntos es por medio del producto cartesiano que se representa como A B Producto cartesiano Es lacoleccioacuten de todas las relaciones(combinaciones) de los elementosde A con los elementos de B
Desarrolla el producto cartesiano A B y B A dados A 1 2 3 y B 1 2 3 4
Solucioacuten
A B
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
Ahora
B A
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
(4 1) (4 2) (4 3) (4 4)
Observa que las parejas (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3) (3 1) (3 2) y (3 3) son iguales en ambos pro-ductos
El producto cartesiano de dos conjuntos de nuacutemeros es un nuevo conjunto de pa-
rejas ordenadas en el que todas estas son distintas El primer elemento correspondeal conjunto A y el segundo elemento corresponde al conjunto B
Observa que si el conjunto A tiene tres elementos y el conjunto B tiene cuatroentonces el conjunto A B tiene 3 4 12 elementos (parejas ordenadas) de
ahiacute la razoacuten de llamarlo producto (multiplicacioacuten) y se le llama cartesiano porque sepuede representar graacute1047297camente en un plano cartesiano como el siguiente
Una aplicacioacuten de las parejas ordenadas es la localizacioacuten de puntos en el sistema
de coordenadas rectangulares
1 2 3 A
(1 4)
(1 3)
(1 2)
(1 1)
(2 4)
(2 3)
(2 2)
(2 1)
(3 4)
(3 3)
(3 2)
(3 1)
B
4
3
2
1
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10 Matemaacuteticas III
Actividad 2
Organiacutezate con tus compantildeeros y reuacutenanse en parejas conformadas por una alumna y un alumno realicen demanera colaborativa los siguientes ejercicios Recuerden mantener siempre una actitud de respeto y responsa-bilidad Compartan en plenaria sus procedimientos y resultados Al final califiquen su desempentildeo con la guiacutea deautoobservacioacuten
1 Respondan las siguientes preguntas respecto a las caracteriacutesticas del sistema de coordenadas
a ) iquestCuaacutentas rectas numeacutericas conforman el sistema de coordenadas rectangulares
b ) iquestCuaacutel es la posicioacuten de cada una de estas rectas
Traza un cuadrado y un triaacutengulo en el siguiente sistema de coordenadas rectangulares luego descriacutebelos indican-do las coordenadas (x y ) que representan a sus veacutertices
Solucioacuten
Cada uno de los puntos que se acaban de localizar tiene dos elementos o referenciasuna estaacute sobre el eje X denominada abscisa y la otra sobre el eje Y denominadaordenada Por tanto las parejas ordenadas tienen la siguiente forma
(abscisa ordenada)
La abscisa siempre se localiza sobre el eje X (tambieacuten se le llama eje de las abscisas)y la ordenada sobre el eje Y (conocido como eje de las ordenadas)
Las coordenadas del cuadro son
(3 3) (3 3) (3 3) y (3 3)
Las coordenadas del triaacutengulo son
(0 4) (0 6) y (4 4)
Ejemplo
Abscisa Es la coordenada x de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
Ordenada Es la coordenada y de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
G L O S A R I O
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 11
c ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta horizontal
d ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta vertical
e ) iquestCoacutemo se llama al punto donde se cruzan los ejes
f ) iquestCoacutemo se llaman las regiones en las que se divide al plano y cuaacutentas son
g ) iquestCuaacuteles son los signos de cada cuadrante
2 Dados los siguientes conjuntos calculen los productos cartesianos y represeacutentenlos en un plano Ademaacutesrodeen las parejas ordenadas iguales
A a b c d B 1 3 5 C 2 4 6 8 D x y z
a ) A B f ) B D
b ) C D g ) B A
c ) A C h ) D C
d ) C B i ) B C
e ) D A j ) A D
3 Localicen en un mismo sistema de coordenadas rectangulares los siguientes puntos e identifiquen a queacute cua-drante pertenecen
a ) A (4 2) h ) H (8 3)
b ) B (3 5) i ) I 64
125
c ) C 12
14
j ) J (6 2)
d ) D (2 7) k ) K 83
3
e ) E (7 3) l ) L(0 0)
f ) F
2
3
4
5 m ) M (
1
2)
g ) G (24) n ) N ( 5 8)
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12 Matemaacuteticas III
4 Escriban las coordenadas de los puntos que se muestran en el siguiente plano cartesiano
a ) A ( ) f ) F ( )
b ) B ( ) g ) G ( )
c ) C ( ) h ) H ( )
d ) D ( ) i ) I ( )
e ) E ( ) j ) J ( )
5 Representen en un sistema de coordenadas rectangula-res los poliacutegonos con los siguientes veacutertices e incluacuteyan-los en su portafolio de evidencias
a ) A (3 4) B (2 1) C (51)
b ) A (9 3) B (5 1) C (4 0)
c ) A (4 2) B (2 3) C (16) D (0 4)
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
G
F
E
A
C
B
D
J
I
H
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como pareja
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Trazamos correctamente el sistema de coordenadas identificando los ejes
2 Ubicamos los puntos en el cuadrante correcto
3 Unimos correctamente los puntos formando la figura geomeacutetrica
4 Identificamos la figura correctamente de acuerdo con el nuacutemero y posicioacutende los veacutertices
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia el desarrollo de lasolucioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 13
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas de preferencia alumno y alumna Realicen los siguientes ejerci-cios de manera colaborativa
1 Tracen las liacuteneas rectas siguientes una de ellas pasa por A (0 6) y B (6 0) la otra pasa por C (6 6) y D (0 0)comprueben que estas liacuteneas rectas se cruzan en el punto (3 3)
2 Dibujen en un sistema coordenado un triaacutengulo isoacutesceles (de cualquier medida) Luego indiquen las coorde-nadas de sus tres veacutertices tambieacuten marquen dos puntos que esteacuten dentro y dos puntos que esteacuten afuera deltriaacutengulo e indiquen sus coordenadas
3 Grafiquen en un mismo sistema de referencia cada uno de los siguientes grupos de coordenadas uacutenanlos yescriban el tipo de figura geomeacutetrica
a ) A(2 4) B (2 1) C (2 1) D (2 4)
b ) E (2 5) F (5 2) G (04)
c ) H (3 5) I (3 9) J (3 5)
d ) K (42) L(44) M (24) N (2 2)
e ) O (5 2) P (1 2) Q (1 4) R (5 4)
4 Resuelvan los siguientes problemas
a ) Mariacutea tiene una casa con una puerta al sur sale de ella ycamina 4 cuadras luego decide caminar 3 cuadras al estedespueacutes gira hacia el sur y avanza otras 5 cuadras final-mente da vuelta al norte y avanza 8 cuadras Si se coloca lacasa de Mariacutea en el origen de un sistema de coordenadasrectangulares y se sigue su trayectoria iquesten queacute punto seencontraraacute al final de su camino Elaboren una hipoacutetesis ycomprueacutebenla en un sistema de coordenadas
b ) El terreno de Feacutelix tiene coordenadas (5 2) (10 2) (5 10)y (10 10)
i Ubiquen el terreno en un sistema de coordenadas rec-
tangulares ii iquestQueacute forma tiene el terreno iii Calculen su aacuterea
Actividad 3
copy E l z b i e t a S e k o w s k a S h u t t e r s t o c k
copy G o D u n k 1 3 S h u t t e r s t o c k
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14 Matemaacuteticas III
c ) En la clase de Biologiacutea Pati realizoacute un experimento paraobservar el crecimiento de una colonia de bacilos Seregistraron los siguientes datos anotando el tiempo quetranscurrioacute y el nuacutemero de bacilos presentes en el ex-perimento
bull 200 bacilos en 6 minutosbull 300 bacilos en 12 minutosbull 500 bacilos en 18 minutosbull 1000 bacilos en 24 minutosbull 1800 bacilos en 30 minutos
Representen los pares de valores que Pati recaboacute en un sistema de coordenadas rectangulares en el que el ejehorizontal sea el tiempo y el eje vertical el nuacutemero de bacilos
copy
M a t e j K a s t e l i c S h u t t e r s t o c k
En geometriacutea analiacutetica pueden presentarse dos problemas fundamentales relacio-nados con los lugares geomeacutetricos
1 Dada una ecuacioacuten encuentra el lugar geomeacutetrico que la representa2 Dado un lugar geomeacutetrico encuentra la ecuacioacuten que lo representa
Con esto en mente podemos hablar de un meacutetodo general para resolver proble-mas de geometriacutea analiacutetica que consta de tres secciones bien de1047297nidas
1 Geomeacutetrica En esta expondraacutes todo lo que sabes respecto al lugar geomeacutetricoque se propone antes de iniciar con el anaacutelisis
2 Analiacutetica Aquiacute efectuaraacutes el anaacutelisis de las ecuaciones dadas para ello usaraacutesaacutelgebra y aritmeacutetica
3 Conclusioacuten Esta parte es importantiacutesima ya que aquiacute redactaraacutes lo que hayas
encontrado a lo largo de todo el proceso
Encontraraacutes problemas en los que es preciso efectuar primero la parte analiacutetica y
despueacutes la geomeacutetrica sin embargo habraacute otros en los que tanto la parte analiacuteticacomo la geomeacutetrica deberaacuten desarrollarse al mismo tiempo pero en cualquiera delos casos ambas estaacuten presentes
Cuando queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con una expresioacutenalgebraica sugerimos realizar los siguientes pasos
1 Haz una tabulacioacuten en donde se asignen valores a x
2 Calcula los valores de y sustituyendo en la ecuacioacuten original
Objeto de aprendizaje Lugares geomeacutetricos
Lugar geomeacutetrico Es un conjuntode puntos que cumplen una
propiedad geomeacutetrica en particular G L O
S A R I O
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 15
3 Calcula las intersecciones con los ejes
a) Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y
b) Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
4 Por uacuteltimo elabora la graacute1047297ca colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten
con los ejes
Ejemplos
1 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Si observas la ecuacioacuten te daraacutes cuenta de que es una ecuacioacuten lineal por lo que se representa como unarecta pero iquestcuaacuteles son las caracteriacutesticas de esta recta en particular Sigamos los pasos propuestos re-cuerda que para graficar una liacutenea recta son suficientes dos puntos
x 2 1
y 4 5
(x y ) (2 4) (1 5)
Para las intersecciones con los ejes
Con el eje Y x
0 y 3x 2
y 3(0) 2
y 0 2
y 2
La interseccioacuten con el eje Y es el punto (0 2)Con el eje X y 0
y 3x 2
0 3x 2
0 2 3x
23
x
x 23
La interseccioacuten con el eje X es el punto 23
0
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16 Matemaacuteticas III
bull Parte geomeacutetrica
Haciendo la graacutefica tenemos que el lugar geomeacutetrico y 3x 2 es
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
y 3 x 2
X
Y
bull Conclusioacuten
El lugar geomeacutetrico es una liacutenea recta que interseca al eje Y en y 2 y al eje X en x 23
Por otro lado si queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con un conjunto de pares ordenadoste sugerimos seguir los siguientes pasos
a ) Hacer una tabulacioacuten con los valores de x y y
b ) Calcular la relacioacuten que se presenta entre los datos
c ) Calcular las intersecciones con los ejes
i Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y ii Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
d ) Por uacuteltimo hacer la graacutefica colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten con los ejes
2 iquestQueacute ecuacioacuten representaraacute el lugar geomeacutetrico que contiene a las siguientes parejas ordenadas (5 25)(4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4) (3 9) (4 16) (5 25)
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero colocamos las parejas ordenadas en una tabla para visualizar la relacioacuten entre las abscisas y lasordenadas
x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
y iquest 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 17
Para encontrar la relacioacuten debemos preguntarnos iquestqueacute le hacemos a5 para que sea 25 iquesta4 para quesea 16 iquesta 3 para que sea 9 etceacutetera
Si pensamos un poco la respuesta es evidentehellip iexclClaro Lo elevamos al cuadrado o sea
25
(
5)
2
16
(
4)
2
9
(
3)
2
etceacutetera
Por tanto la relacioacuten es y x 2
Recordemos que las ecuaciones de este tipo por lo general representan una paraacutebola con veacutertice enel origen que es la uacutenica interseccioacuten con el eje X o Y para verificar lo anterior desarrollemos la partegeomeacutetrica
bull Parte geomeacutetrica
Si graficamos los puntos que tenemos y los
unimos con una curva suave entonces seforma la paraacutebola coacutencava hacia arriba consu veacutertice en el origen
5
10
15
20
25
55 X
Y
bull Conclusioacuten
Entonces tenemos que los puntos (5 25) (4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4)(3 9) (4 16) (5 25) representan el lugar geomeacutetrico denominado paraacutebola con veacutertice en el origen cuya
ecuacioacuten es y x 2
3 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y x 2 4
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero tabulemos la ecuacioacutenComo vimos las liacuteneas rectas soacutelo necesitan 2 puntos en la tabulacioacuten pero en este caso no hablamos
de una ecuacioacuten lineal asiacute que en todas las ecuaciones diferentes de las lineales se tendraacuten que tabular
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Utilizas
distintasformas dela ecuacioacutende una recta
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan realizar
un estudio de las propiedades geomeacutetricas de la recta y de sus
posibilidades analiacuteticas
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta
bull Transforma ecuaciones de una forma a otra
bull Utiliza distintas formas de la ecuacioacuten de la recta para solucionar
problemas yo ejercicios de la vida cotidiana
Bloque IV
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copy P h o t o r e d a k t o r D r e a m s t i m e
Objetos de aprendizaje
bull Ecuaciones de la recta
991252Pendiente y ordenada al origen
991252Punto-pendiente 991252Dos puntos
991252Simeacutetrica
bull Ecuacioacuten general y normal de la ecuacioacuten de la recta
bull Distancia de la recta a un punto
bull Distancia entre dos rectas paralelas
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas o graacute1047297cas
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exivacomprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis y disentildea y aplica modelos para probar
su validez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla
un proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten
con pasos especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras
personas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicas
del campo de matemaacuteticasbull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisis
de situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales medianteel lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea
de la informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental
o matemaacuteticamente las magnitudes del espacio
y de las propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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108
Responde correctamente las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es la distancia maacutes corta entre dos puntos
2 iquestCuaacuteles son las referencias miacutenimas para definir una recta en el plano
3 iquestCoacutemo se llama al punto de interseccioacuten de una recta con el eje Y
4 iquestCoacutemo se denomina a la interseccioacuten de la recta con el eje X
5 iquestEn queacute forma de la ecuacioacuten de la recta se puede identificar de inmediato su ldquoinclinacioacutenrdquo y la interseccioacuten de
esta con el eje Y
6 iquestCoacutemo se conoce a la forma de la ecuacioacuten de una recta que contiene como elementos su abscisa y su orde-nada al origen
7 iquestCoacutemo se escribe la expresioacuten para la forma general de la ecuacioacuten de la recta
8 iquestCuaacuteles son las referencias que necesitamos para emplear la forma normal de la ecuacioacuten de la recta
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 109
Para determinar una recta siempre se necesitan dos referencias como miacutenimo y
esto nos permite usar una forma de la ecuacioacuten de acuerdo con los datos que seproporcionan
1 La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos2 La forma punto-punto que requiere dos puntos pertenecientes a la recta
3 La forma simeacutetrica usa las intersecciones con los ejes
4 La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores
5 La forma normal emplea la distancia al origen y el aacutengulo de inclinacioacuten de la
recta que representa dicha distancia
Estudiaremos todas a lo largo del bloque
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendientey ordenada en el origeniquestCoacutemo se puede trazar la graacute1047297ca de una recta de manera raacutepida y sin la ayudade una tabulacioacuten Necesitamos dos referencias una de ellas puede ser un punto
ldquoespecialrdquo que obtenemos de la interseccioacuten con el eje Y al que se designa con laletra b por tanto sus coordenadas son (0 b) y se le llama ordenada en el origen
la otra referencia es m la pendiente iquestCoacutemo identi1047297carla en la ecuacioacuten de unarecta iexclEs muy faacutecil
A partir de la de1047297nicioacuten del punto al cual corresponde la ordenada en el origen
(0 b) y la pendiente de una recta (m) podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuacioacuten de la recta veamos
y = mx + b
expresioacuten que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquierpunto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y su-
mada a la interseccioacuten con el eje Y
Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta
9 iquestCuaacuteles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta
10 iquestCuaacuteles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas
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110 Matemaacuteticas III
Ejemplos
1 Grafica la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen
y mx b
y 3x 2
Entonces la ecuacioacuten tiene como ordenada en el origen b 2 estosignifica que en ese lugar la recta interseca al eje Y ademaacutes es faacutecilobservar que la pendiente es m 3 Graacuteficamente
Si deseas trazar la recta puedes graficarla pendiente a partir de la ordenada enel origen tal como vimos en el bloqueanterior
2 Grafica la ecuacioacuten y 3
2
x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Toma la ecuacioacuten y compaacuterala con la forma pendiente-ordenada en el origen
y 32
x 2
y mx b
A esta forma de la recta se le denomina forma comuacuten o pendiente-ordenada
en el origen y es muy uacutetil ya que mediante ella es posible identi1047297car de inmediatola pendiente y la ordenada en el origen
X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
b Ordenada en el origen
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
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des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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Reconoces
lugaresgeomeacutetricos
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan
reconocer las caracteriacutesticas matemaacuteticas que de1047297nen un lugar
geomeacutetrico
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Identi1047297ca las caracteriacutesticas de un sistema de coordenadas
rectangulares
bull Interpreta la informacioacuten a partir de la nocioacuten de parejas
ordenadas
bull Reconoce las relaciones entre variables que conforman las parejas
ordenadas para determinar un lugar geomeacutetrico
Bloque I
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copy z e n t i l i a S h u t t e r S t o c k
Objetos de aprendizaje
bull Geometriacutea analiacutetica introductoria
bull Sistema de coordenadas rectangulares
bull Parejas ordenadas 991252Igualdad de parejas
bull Lugares geomeacutetricos
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas y graacute1047297cas asimismo interpreta tablas mapas
diagramas y textos con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exiva
comprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis disentildea y aplica modelos para probar suvalidez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un
proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten con pasos
especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otraspersonas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicasdel campo de matemaacuteticas
bull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisisde situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales mediante el
lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea de la
informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental o
matemaacuteticamente las magnitudes del espacio y de las
propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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Completa los siguientes enunciados
1 El sistema de coordenadas estaacute compuesto por
2 iquestCuaacutentos cuadrantes tiene el sistema de coordenadas cartesianas
3 La combinacioacuten de todas las combinaciones de los elementos de dos conjuntos se denomina
4 En una pareja de elementos en la que si se cambia el orden se cambia el sentido
5 La coordenada x se denomina
6 La coordenada y se denomina
7 Conjunto de puntos que cumplen una relacioacuten matemaacutetica
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 5
La geometriacutea analiacutetica se ha desarrollado desde tiempos remotos Podemos con-siderar la obra de Fibonacci Practica Geometriae como el punto de arranquede la geometriacutea renacentista aunque uacutenicamente se ocupe de la medida de aacutereas de
poliacutegonos y voluacutemenes de cuerposDebemos a Jordanus Nemorarius la primera formulacioacuten correcta del problema
del plano inclinadoEn Pariacutes el profesor Nicole Oresme utilizoacute coordenadas rectangulares en una
de sus obras de forma primitiva y rudimentaria para la representacioacuten graacute1047297ca deciertos fenoacutemenos fiacutesicos
Sin duda uno de los grandes en esta materia fue Reneacute Descartes con su famo-sa obra el Discurso del Meacutetodo en cuyo apeacutendice llamado ldquoGeacuteometrierdquo detalla lasinstrucciones geomeacutetricas para resolver ecuaciones cuadraacuteticas despueacutes describe
la aplicacioacuten del aacutelgebra a ciertos problemas geomeacutetricos Casi toda la ldquoGeacuteometrierdquoestaacute dedicada a la interrelacioacuten del aacutelgebra y la geometriacutea con ayuda del sistema de
coordenadas justo lo que actualmente denominamos geometriacutea analiacutetica
Reneacute Descartes
Geometriacutea analiacuteticaintroductoria
Objeto de aprendizaje
Actividad de investigacioacuten 1
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas como actividad extraclase investiguen en fuentes impresas yelectroacutenicas (Internet) los antecedentes de la geometriacutea analiacutetica y disentildeen una liacutenea de tiempo en la que se desta-que a los principales precursores su aportacioacuten y el antildeo correspondiente Elaboren una presentacioacuten electroacutenica y
expoacutenganla ante el grupo para su realimentacioacuten Despueacutes evaluacuteen su desempentildeo con la guiacutea de autoobservacioacuten
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6 Matemaacuteticas III
Guiacutea de autoobservacioacuten
Un arreglo de dos rectas numeacutericas (una en posicioacuten horizontal y otra en posicioacuten vertical) unidas en sus ceros (origen) se denomina sistema de coordenadas rec-
tangulares o plano cartesiano en honor a Reneacute Descartes
La recta horizontal se llama eje X y la recta vertical eje Y Observa que el siste-ma de coordenadas divide al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
Negativos
Positivos
Cuadrante I ()
Cuadrante IV ()
Cuadrante II ()
Cuadrante III ()
Origen
Sistema de coordenadasrectangulares Es un arreglo de dosrectas numeacutericas una horizontal y laotra vertical que se unen en el cero(origen)
Eje X Es la recta horizontaldel sistema de coordenadasrectangulares
Eje Y Es la recta vertical del sistemade coordenadas rectangulares
Cuadrantes Son las cuatroregiones en las que se divide al planoen el sistema de coordenadas
G L O S A R I O
Coordenada (2 3)
Objeto de aprendizaje Sistema de coordenadasrectangulares
Y
X
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Empleamos las TIC para presentar nuestra informacioacuten
2 Empleamos fuentes de informacioacuten confiable y relevante tanto en formaelectroacutenica como impresa
3 Elaboramos una liacutenea de tiempo que destaca precursores antildeo y aportaciones
4 Manejamos de manera fluida la informacioacuten que expusimos al grupo
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia la realimentacioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 7
El primer cuadrante tiene la parte positiva del eje X y del eje Y el segundo
cuadrante tiene la parte negativa del eje X y la parte positiva del eje Y el tercer cua-drante tiene la parte negativa del eje X y del eje Y y el cuarto cuadrante tiene la partepositiva del eje X y la parte negativa del eje Y
Pareja ordenada Es una parejade nuacutemeros ( x y ) escritos en unorden particular
Para iniciar el tema analicemos el siguiente ejemplo Mariacutea tiene blusas de color
blanco y rosa y faldas de color cafeacute azul y negro Quiere saber cuaacutentos posiblesatuendos puede tener Aquiacute estaacute la lista que obtuvo
bull Blusa blanca con falda cafeacutebull Blusa blanca con falda azulbull Blusa blanca con falda negrabull Blusa rosa con falda cafeacutebull Blusa rosa con falda azulbull Blusa rosa con falda negra
Ademaacutes tiene la idea de darle un nuacutemero a
cada blusa y a cada falda para que sea maacutes faacutecilescoger el atuendo
bull Blusas
1 blanca
2 rosa
bull Faldas
1 cafeacute
2 azul
3 negra
Haciendo la ldquotraduccioacutenrdquo obtuvo la siguiente lista
1 1
1 21 3
2 12 2
2 3
En donde el primer nuacutemero pertenece a la blusa y el segundo a la falda Observaque no tendriacutea ninguacuten signi1047297cado pedir (3 2) ya que no hay ninguna blusa 3 En-
tonces el orden en estas parejas es importante lo mismo sucederaacute con las parejasde nuacutemeros que veremos a continuacioacuten
Las parejas ordenadas tienen dos elementos uno de ellos ocupa el primer lugary otro el segundo y si se cambian de lugar el sentido variacutea Se representan encerran-
do sus elementos entre pareacutentesis Por ejemplo (3 4) (6 8) (9 1) (4 3) etceacutetera
Objeto de aprendizaje Parejas ordenadas
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8 Matemaacuteticas III
Actividad 1
Igualdad de parejasObserva que si cambias los nuacutemeros de lugar no quieren decir lo mismo es decir3 y 4 es una pareja ordenada pero 4 y 3 hace referencia a un arreglo distinto En
general las parejas ordenadas cumplen que
(a b) (b a)y
(a b) (b a) si y solo si a b
Esto quiere decir que para considerar iguales a dos parejas estas deben tenerlos mismos elementos en el mismo orden Por ejemplo (5 5)
Organiacutezate con tus compantildeeros formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnos yresuelvan los siguientes ejercicios con una actitud de respeto y tolerancia Al final reflexionen con los integrantesde otro equipo sus procedimientos y resultados
1 La fonda de Chonita tiene tortas de jamoacuten y tacos de pollo para comer y agua de jamaica refresco y jugo parabeber Formen todos los posibles menuacutes que Chonita puede tener
2 La floreriacutea ldquoMil hojasrdquo tiene rosas tulipanes y orquiacutedeas como flores y helecho y dracaena como follaje Cons-truyan los posibles arreglos que puede hacer de un tipo de flor con un tipo de follaje
3 En la fiesta de Luis su mamaacute quiere servir algunas ensaladas que contengan un tipo de fruta y un tipo desemilla Cuenta con frutas como naranjas uvas papayas y mangos en cuanto a las semillas tiene nuecesalmendras avellanas y pistaches Describan las ensaladas que puede haber en la fiesta de Luis
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 9
Ejemplo
Una forma de encontrar todas las posibles parejas ordenadas de nuacutemeros entre dos
conjuntos es por medio del producto cartesiano que se representa como A B Producto cartesiano Es lacoleccioacuten de todas las relaciones(combinaciones) de los elementosde A con los elementos de B
Desarrolla el producto cartesiano A B y B A dados A 1 2 3 y B 1 2 3 4
Solucioacuten
A B
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
Ahora
B A
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
(4 1) (4 2) (4 3) (4 4)
Observa que las parejas (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3) (3 1) (3 2) y (3 3) son iguales en ambos pro-ductos
El producto cartesiano de dos conjuntos de nuacutemeros es un nuevo conjunto de pa-
rejas ordenadas en el que todas estas son distintas El primer elemento correspondeal conjunto A y el segundo elemento corresponde al conjunto B
Observa que si el conjunto A tiene tres elementos y el conjunto B tiene cuatroentonces el conjunto A B tiene 3 4 12 elementos (parejas ordenadas) de
ahiacute la razoacuten de llamarlo producto (multiplicacioacuten) y se le llama cartesiano porque sepuede representar graacute1047297camente en un plano cartesiano como el siguiente
Una aplicacioacuten de las parejas ordenadas es la localizacioacuten de puntos en el sistema
de coordenadas rectangulares
1 2 3 A
(1 4)
(1 3)
(1 2)
(1 1)
(2 4)
(2 3)
(2 2)
(2 1)
(3 4)
(3 3)
(3 2)
(3 1)
B
4
3
2
1
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10 Matemaacuteticas III
Actividad 2
Organiacutezate con tus compantildeeros y reuacutenanse en parejas conformadas por una alumna y un alumno realicen demanera colaborativa los siguientes ejercicios Recuerden mantener siempre una actitud de respeto y responsa-bilidad Compartan en plenaria sus procedimientos y resultados Al final califiquen su desempentildeo con la guiacutea deautoobservacioacuten
1 Respondan las siguientes preguntas respecto a las caracteriacutesticas del sistema de coordenadas
a ) iquestCuaacutentas rectas numeacutericas conforman el sistema de coordenadas rectangulares
b ) iquestCuaacutel es la posicioacuten de cada una de estas rectas
Traza un cuadrado y un triaacutengulo en el siguiente sistema de coordenadas rectangulares luego descriacutebelos indican-do las coordenadas (x y ) que representan a sus veacutertices
Solucioacuten
Cada uno de los puntos que se acaban de localizar tiene dos elementos o referenciasuna estaacute sobre el eje X denominada abscisa y la otra sobre el eje Y denominadaordenada Por tanto las parejas ordenadas tienen la siguiente forma
(abscisa ordenada)
La abscisa siempre se localiza sobre el eje X (tambieacuten se le llama eje de las abscisas)y la ordenada sobre el eje Y (conocido como eje de las ordenadas)
Las coordenadas del cuadro son
(3 3) (3 3) (3 3) y (3 3)
Las coordenadas del triaacutengulo son
(0 4) (0 6) y (4 4)
Ejemplo
Abscisa Es la coordenada x de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
Ordenada Es la coordenada y de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
G L O S A R I O
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 11
c ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta horizontal
d ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta vertical
e ) iquestCoacutemo se llama al punto donde se cruzan los ejes
f ) iquestCoacutemo se llaman las regiones en las que se divide al plano y cuaacutentas son
g ) iquestCuaacuteles son los signos de cada cuadrante
2 Dados los siguientes conjuntos calculen los productos cartesianos y represeacutentenlos en un plano Ademaacutesrodeen las parejas ordenadas iguales
A a b c d B 1 3 5 C 2 4 6 8 D x y z
a ) A B f ) B D
b ) C D g ) B A
c ) A C h ) D C
d ) C B i ) B C
e ) D A j ) A D
3 Localicen en un mismo sistema de coordenadas rectangulares los siguientes puntos e identifiquen a queacute cua-drante pertenecen
a ) A (4 2) h ) H (8 3)
b ) B (3 5) i ) I 64
125
c ) C 12
14
j ) J (6 2)
d ) D (2 7) k ) K 83
3
e ) E (7 3) l ) L(0 0)
f ) F
2
3
4
5 m ) M (
1
2)
g ) G (24) n ) N ( 5 8)
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12 Matemaacuteticas III
4 Escriban las coordenadas de los puntos que se muestran en el siguiente plano cartesiano
a ) A ( ) f ) F ( )
b ) B ( ) g ) G ( )
c ) C ( ) h ) H ( )
d ) D ( ) i ) I ( )
e ) E ( ) j ) J ( )
5 Representen en un sistema de coordenadas rectangula-res los poliacutegonos con los siguientes veacutertices e incluacuteyan-los en su portafolio de evidencias
a ) A (3 4) B (2 1) C (51)
b ) A (9 3) B (5 1) C (4 0)
c ) A (4 2) B (2 3) C (16) D (0 4)
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
G
F
E
A
C
B
D
J
I
H
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como pareja
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Trazamos correctamente el sistema de coordenadas identificando los ejes
2 Ubicamos los puntos en el cuadrante correcto
3 Unimos correctamente los puntos formando la figura geomeacutetrica
4 Identificamos la figura correctamente de acuerdo con el nuacutemero y posicioacutende los veacutertices
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia el desarrollo de lasolucioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 13
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas de preferencia alumno y alumna Realicen los siguientes ejerci-cios de manera colaborativa
1 Tracen las liacuteneas rectas siguientes una de ellas pasa por A (0 6) y B (6 0) la otra pasa por C (6 6) y D (0 0)comprueben que estas liacuteneas rectas se cruzan en el punto (3 3)
2 Dibujen en un sistema coordenado un triaacutengulo isoacutesceles (de cualquier medida) Luego indiquen las coorde-nadas de sus tres veacutertices tambieacuten marquen dos puntos que esteacuten dentro y dos puntos que esteacuten afuera deltriaacutengulo e indiquen sus coordenadas
3 Grafiquen en un mismo sistema de referencia cada uno de los siguientes grupos de coordenadas uacutenanlos yescriban el tipo de figura geomeacutetrica
a ) A(2 4) B (2 1) C (2 1) D (2 4)
b ) E (2 5) F (5 2) G (04)
c ) H (3 5) I (3 9) J (3 5)
d ) K (42) L(44) M (24) N (2 2)
e ) O (5 2) P (1 2) Q (1 4) R (5 4)
4 Resuelvan los siguientes problemas
a ) Mariacutea tiene una casa con una puerta al sur sale de ella ycamina 4 cuadras luego decide caminar 3 cuadras al estedespueacutes gira hacia el sur y avanza otras 5 cuadras final-mente da vuelta al norte y avanza 8 cuadras Si se coloca lacasa de Mariacutea en el origen de un sistema de coordenadasrectangulares y se sigue su trayectoria iquesten queacute punto seencontraraacute al final de su camino Elaboren una hipoacutetesis ycomprueacutebenla en un sistema de coordenadas
b ) El terreno de Feacutelix tiene coordenadas (5 2) (10 2) (5 10)y (10 10)
i Ubiquen el terreno en un sistema de coordenadas rec-
tangulares ii iquestQueacute forma tiene el terreno iii Calculen su aacuterea
Actividad 3
copy E l z b i e t a S e k o w s k a S h u t t e r s t o c k
copy G o D u n k 1 3 S h u t t e r s t o c k
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14 Matemaacuteticas III
c ) En la clase de Biologiacutea Pati realizoacute un experimento paraobservar el crecimiento de una colonia de bacilos Seregistraron los siguientes datos anotando el tiempo quetranscurrioacute y el nuacutemero de bacilos presentes en el ex-perimento
bull 200 bacilos en 6 minutosbull 300 bacilos en 12 minutosbull 500 bacilos en 18 minutosbull 1000 bacilos en 24 minutosbull 1800 bacilos en 30 minutos
Representen los pares de valores que Pati recaboacute en un sistema de coordenadas rectangulares en el que el ejehorizontal sea el tiempo y el eje vertical el nuacutemero de bacilos
copy
M a t e j K a s t e l i c S h u t t e r s t o c k
En geometriacutea analiacutetica pueden presentarse dos problemas fundamentales relacio-nados con los lugares geomeacutetricos
1 Dada una ecuacioacuten encuentra el lugar geomeacutetrico que la representa2 Dado un lugar geomeacutetrico encuentra la ecuacioacuten que lo representa
Con esto en mente podemos hablar de un meacutetodo general para resolver proble-mas de geometriacutea analiacutetica que consta de tres secciones bien de1047297nidas
1 Geomeacutetrica En esta expondraacutes todo lo que sabes respecto al lugar geomeacutetricoque se propone antes de iniciar con el anaacutelisis
2 Analiacutetica Aquiacute efectuaraacutes el anaacutelisis de las ecuaciones dadas para ello usaraacutesaacutelgebra y aritmeacutetica
3 Conclusioacuten Esta parte es importantiacutesima ya que aquiacute redactaraacutes lo que hayas
encontrado a lo largo de todo el proceso
Encontraraacutes problemas en los que es preciso efectuar primero la parte analiacutetica y
despueacutes la geomeacutetrica sin embargo habraacute otros en los que tanto la parte analiacuteticacomo la geomeacutetrica deberaacuten desarrollarse al mismo tiempo pero en cualquiera delos casos ambas estaacuten presentes
Cuando queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con una expresioacutenalgebraica sugerimos realizar los siguientes pasos
1 Haz una tabulacioacuten en donde se asignen valores a x
2 Calcula los valores de y sustituyendo en la ecuacioacuten original
Objeto de aprendizaje Lugares geomeacutetricos
Lugar geomeacutetrico Es un conjuntode puntos que cumplen una
propiedad geomeacutetrica en particular G L O
S A R I O
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 15
3 Calcula las intersecciones con los ejes
a) Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y
b) Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
4 Por uacuteltimo elabora la graacute1047297ca colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten
con los ejes
Ejemplos
1 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Si observas la ecuacioacuten te daraacutes cuenta de que es una ecuacioacuten lineal por lo que se representa como unarecta pero iquestcuaacuteles son las caracteriacutesticas de esta recta en particular Sigamos los pasos propuestos re-cuerda que para graficar una liacutenea recta son suficientes dos puntos
x 2 1
y 4 5
(x y ) (2 4) (1 5)
Para las intersecciones con los ejes
Con el eje Y x
0 y 3x 2
y 3(0) 2
y 0 2
y 2
La interseccioacuten con el eje Y es el punto (0 2)Con el eje X y 0
y 3x 2
0 3x 2
0 2 3x
23
x
x 23
La interseccioacuten con el eje X es el punto 23
0
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16 Matemaacuteticas III
bull Parte geomeacutetrica
Haciendo la graacutefica tenemos que el lugar geomeacutetrico y 3x 2 es
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
y 3 x 2
X
Y
bull Conclusioacuten
El lugar geomeacutetrico es una liacutenea recta que interseca al eje Y en y 2 y al eje X en x 23
Por otro lado si queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con un conjunto de pares ordenadoste sugerimos seguir los siguientes pasos
a ) Hacer una tabulacioacuten con los valores de x y y
b ) Calcular la relacioacuten que se presenta entre los datos
c ) Calcular las intersecciones con los ejes
i Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y ii Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
d ) Por uacuteltimo hacer la graacutefica colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten con los ejes
2 iquestQueacute ecuacioacuten representaraacute el lugar geomeacutetrico que contiene a las siguientes parejas ordenadas (5 25)(4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4) (3 9) (4 16) (5 25)
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero colocamos las parejas ordenadas en una tabla para visualizar la relacioacuten entre las abscisas y lasordenadas
x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
y iquest 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 17
Para encontrar la relacioacuten debemos preguntarnos iquestqueacute le hacemos a5 para que sea 25 iquesta4 para quesea 16 iquesta 3 para que sea 9 etceacutetera
Si pensamos un poco la respuesta es evidentehellip iexclClaro Lo elevamos al cuadrado o sea
25
(
5)
2
16
(
4)
2
9
(
3)
2
etceacutetera
Por tanto la relacioacuten es y x 2
Recordemos que las ecuaciones de este tipo por lo general representan una paraacutebola con veacutertice enel origen que es la uacutenica interseccioacuten con el eje X o Y para verificar lo anterior desarrollemos la partegeomeacutetrica
bull Parte geomeacutetrica
Si graficamos los puntos que tenemos y los
unimos con una curva suave entonces seforma la paraacutebola coacutencava hacia arriba consu veacutertice en el origen
5
10
15
20
25
55 X
Y
bull Conclusioacuten
Entonces tenemos que los puntos (5 25) (4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4)(3 9) (4 16) (5 25) representan el lugar geomeacutetrico denominado paraacutebola con veacutertice en el origen cuya
ecuacioacuten es y x 2
3 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y x 2 4
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero tabulemos la ecuacioacutenComo vimos las liacuteneas rectas soacutelo necesitan 2 puntos en la tabulacioacuten pero en este caso no hablamos
de una ecuacioacuten lineal asiacute que en todas las ecuaciones diferentes de las lineales se tendraacuten que tabular
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Utilizas
distintasformas dela ecuacioacutende una recta
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan realizar
un estudio de las propiedades geomeacutetricas de la recta y de sus
posibilidades analiacuteticas
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta
bull Transforma ecuaciones de una forma a otra
bull Utiliza distintas formas de la ecuacioacuten de la recta para solucionar
problemas yo ejercicios de la vida cotidiana
Bloque IV
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copy P h o t o r e d a k t o r D r e a m s t i m e
Objetos de aprendizaje
bull Ecuaciones de la recta
991252Pendiente y ordenada al origen
991252Punto-pendiente 991252Dos puntos
991252Simeacutetrica
bull Ecuacioacuten general y normal de la ecuacioacuten de la recta
bull Distancia de la recta a un punto
bull Distancia entre dos rectas paralelas
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas o graacute1047297cas
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exivacomprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis y disentildea y aplica modelos para probar
su validez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla
un proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten
con pasos especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras
personas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicas
del campo de matemaacuteticasbull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisis
de situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales medianteel lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea
de la informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental
o matemaacuteticamente las magnitudes del espacio
y de las propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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108
Responde correctamente las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es la distancia maacutes corta entre dos puntos
2 iquestCuaacuteles son las referencias miacutenimas para definir una recta en el plano
3 iquestCoacutemo se llama al punto de interseccioacuten de una recta con el eje Y
4 iquestCoacutemo se denomina a la interseccioacuten de la recta con el eje X
5 iquestEn queacute forma de la ecuacioacuten de la recta se puede identificar de inmediato su ldquoinclinacioacutenrdquo y la interseccioacuten de
esta con el eje Y
6 iquestCoacutemo se conoce a la forma de la ecuacioacuten de una recta que contiene como elementos su abscisa y su orde-nada al origen
7 iquestCoacutemo se escribe la expresioacuten para la forma general de la ecuacioacuten de la recta
8 iquestCuaacuteles son las referencias que necesitamos para emplear la forma normal de la ecuacioacuten de la recta
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 109
Para determinar una recta siempre se necesitan dos referencias como miacutenimo y
esto nos permite usar una forma de la ecuacioacuten de acuerdo con los datos que seproporcionan
1 La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos2 La forma punto-punto que requiere dos puntos pertenecientes a la recta
3 La forma simeacutetrica usa las intersecciones con los ejes
4 La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores
5 La forma normal emplea la distancia al origen y el aacutengulo de inclinacioacuten de la
recta que representa dicha distancia
Estudiaremos todas a lo largo del bloque
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendientey ordenada en el origeniquestCoacutemo se puede trazar la graacute1047297ca de una recta de manera raacutepida y sin la ayudade una tabulacioacuten Necesitamos dos referencias una de ellas puede ser un punto
ldquoespecialrdquo que obtenemos de la interseccioacuten con el eje Y al que se designa con laletra b por tanto sus coordenadas son (0 b) y se le llama ordenada en el origen
la otra referencia es m la pendiente iquestCoacutemo identi1047297carla en la ecuacioacuten de unarecta iexclEs muy faacutecil
A partir de la de1047297nicioacuten del punto al cual corresponde la ordenada en el origen
(0 b) y la pendiente de una recta (m) podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuacioacuten de la recta veamos
y = mx + b
expresioacuten que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquierpunto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y su-
mada a la interseccioacuten con el eje Y
Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta
9 iquestCuaacuteles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta
10 iquestCuaacuteles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas
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110 Matemaacuteticas III
Ejemplos
1 Grafica la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen
y mx b
y 3x 2
Entonces la ecuacioacuten tiene como ordenada en el origen b 2 estosignifica que en ese lugar la recta interseca al eje Y ademaacutes es faacutecilobservar que la pendiente es m 3 Graacuteficamente
Si deseas trazar la recta puedes graficarla pendiente a partir de la ordenada enel origen tal como vimos en el bloqueanterior
2 Grafica la ecuacioacuten y 3
2
x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Toma la ecuacioacuten y compaacuterala con la forma pendiente-ordenada en el origen
y 32
x 2
y mx b
A esta forma de la recta se le denomina forma comuacuten o pendiente-ordenada
en el origen y es muy uacutetil ya que mediante ella es posible identi1047297car de inmediatola pendiente y la ordenada en el origen
X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
b Ordenada en el origen
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
Portal de Conocimiento
DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
Student ResourcIn Conte
Portal de Conocimie
SOLUCIONES PARA LA INVESTIGACIOacuteN Y LA BIBLIOTECA
CIENCIAS E INGENIERIacuteA MULTIDISCIPLINAR
Accesa con esta direccioacuten a tus soluciones de investigacioacuten
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TIPOS DE CONTENIDOPublicaciones acadeacutemicas revistas noticias podcasts
imaacutegenes videos y ligas a sitios web
wwwcengagecom
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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Objetos de aprendizaje
bull Geometriacutea analiacutetica introductoria
bull Sistema de coordenadas rectangulares
bull Parejas ordenadas 991252Igualdad de parejas
bull Lugares geomeacutetricos
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas y graacute1047297cas asimismo interpreta tablas mapas
diagramas y textos con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exiva
comprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis disentildea y aplica modelos para probar suvalidez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un
proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten con pasos
especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otraspersonas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicasdel campo de matemaacuteticas
bull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisisde situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales mediante el
lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea de la
informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental o
matemaacuteticamente las magnitudes del espacio y de las
propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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Completa los siguientes enunciados
1 El sistema de coordenadas estaacute compuesto por
2 iquestCuaacutentos cuadrantes tiene el sistema de coordenadas cartesianas
3 La combinacioacuten de todas las combinaciones de los elementos de dos conjuntos se denomina
4 En una pareja de elementos en la que si se cambia el orden se cambia el sentido
5 La coordenada x se denomina
6 La coordenada y se denomina
7 Conjunto de puntos que cumplen una relacioacuten matemaacutetica
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 5
La geometriacutea analiacutetica se ha desarrollado desde tiempos remotos Podemos con-siderar la obra de Fibonacci Practica Geometriae como el punto de arranquede la geometriacutea renacentista aunque uacutenicamente se ocupe de la medida de aacutereas de
poliacutegonos y voluacutemenes de cuerposDebemos a Jordanus Nemorarius la primera formulacioacuten correcta del problema
del plano inclinadoEn Pariacutes el profesor Nicole Oresme utilizoacute coordenadas rectangulares en una
de sus obras de forma primitiva y rudimentaria para la representacioacuten graacute1047297ca deciertos fenoacutemenos fiacutesicos
Sin duda uno de los grandes en esta materia fue Reneacute Descartes con su famo-sa obra el Discurso del Meacutetodo en cuyo apeacutendice llamado ldquoGeacuteometrierdquo detalla lasinstrucciones geomeacutetricas para resolver ecuaciones cuadraacuteticas despueacutes describe
la aplicacioacuten del aacutelgebra a ciertos problemas geomeacutetricos Casi toda la ldquoGeacuteometrierdquoestaacute dedicada a la interrelacioacuten del aacutelgebra y la geometriacutea con ayuda del sistema de
coordenadas justo lo que actualmente denominamos geometriacutea analiacutetica
Reneacute Descartes
Geometriacutea analiacuteticaintroductoria
Objeto de aprendizaje
Actividad de investigacioacuten 1
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas como actividad extraclase investiguen en fuentes impresas yelectroacutenicas (Internet) los antecedentes de la geometriacutea analiacutetica y disentildeen una liacutenea de tiempo en la que se desta-que a los principales precursores su aportacioacuten y el antildeo correspondiente Elaboren una presentacioacuten electroacutenica y
expoacutenganla ante el grupo para su realimentacioacuten Despueacutes evaluacuteen su desempentildeo con la guiacutea de autoobservacioacuten
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6 Matemaacuteticas III
Guiacutea de autoobservacioacuten
Un arreglo de dos rectas numeacutericas (una en posicioacuten horizontal y otra en posicioacuten vertical) unidas en sus ceros (origen) se denomina sistema de coordenadas rec-
tangulares o plano cartesiano en honor a Reneacute Descartes
La recta horizontal se llama eje X y la recta vertical eje Y Observa que el siste-ma de coordenadas divide al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
Negativos
Positivos
Cuadrante I ()
Cuadrante IV ()
Cuadrante II ()
Cuadrante III ()
Origen
Sistema de coordenadasrectangulares Es un arreglo de dosrectas numeacutericas una horizontal y laotra vertical que se unen en el cero(origen)
Eje X Es la recta horizontaldel sistema de coordenadasrectangulares
Eje Y Es la recta vertical del sistemade coordenadas rectangulares
Cuadrantes Son las cuatroregiones en las que se divide al planoen el sistema de coordenadas
G L O S A R I O
Coordenada (2 3)
Objeto de aprendizaje Sistema de coordenadasrectangulares
Y
X
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Empleamos las TIC para presentar nuestra informacioacuten
2 Empleamos fuentes de informacioacuten confiable y relevante tanto en formaelectroacutenica como impresa
3 Elaboramos una liacutenea de tiempo que destaca precursores antildeo y aportaciones
4 Manejamos de manera fluida la informacioacuten que expusimos al grupo
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia la realimentacioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 7
El primer cuadrante tiene la parte positiva del eje X y del eje Y el segundo
cuadrante tiene la parte negativa del eje X y la parte positiva del eje Y el tercer cua-drante tiene la parte negativa del eje X y del eje Y y el cuarto cuadrante tiene la partepositiva del eje X y la parte negativa del eje Y
Pareja ordenada Es una parejade nuacutemeros ( x y ) escritos en unorden particular
Para iniciar el tema analicemos el siguiente ejemplo Mariacutea tiene blusas de color
blanco y rosa y faldas de color cafeacute azul y negro Quiere saber cuaacutentos posiblesatuendos puede tener Aquiacute estaacute la lista que obtuvo
bull Blusa blanca con falda cafeacutebull Blusa blanca con falda azulbull Blusa blanca con falda negrabull Blusa rosa con falda cafeacutebull Blusa rosa con falda azulbull Blusa rosa con falda negra
Ademaacutes tiene la idea de darle un nuacutemero a
cada blusa y a cada falda para que sea maacutes faacutecilescoger el atuendo
bull Blusas
1 blanca
2 rosa
bull Faldas
1 cafeacute
2 azul
3 negra
Haciendo la ldquotraduccioacutenrdquo obtuvo la siguiente lista
1 1
1 21 3
2 12 2
2 3
En donde el primer nuacutemero pertenece a la blusa y el segundo a la falda Observaque no tendriacutea ninguacuten signi1047297cado pedir (3 2) ya que no hay ninguna blusa 3 En-
tonces el orden en estas parejas es importante lo mismo sucederaacute con las parejasde nuacutemeros que veremos a continuacioacuten
Las parejas ordenadas tienen dos elementos uno de ellos ocupa el primer lugary otro el segundo y si se cambian de lugar el sentido variacutea Se representan encerran-
do sus elementos entre pareacutentesis Por ejemplo (3 4) (6 8) (9 1) (4 3) etceacutetera
Objeto de aprendizaje Parejas ordenadas
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8 Matemaacuteticas III
Actividad 1
Igualdad de parejasObserva que si cambias los nuacutemeros de lugar no quieren decir lo mismo es decir3 y 4 es una pareja ordenada pero 4 y 3 hace referencia a un arreglo distinto En
general las parejas ordenadas cumplen que
(a b) (b a)y
(a b) (b a) si y solo si a b
Esto quiere decir que para considerar iguales a dos parejas estas deben tenerlos mismos elementos en el mismo orden Por ejemplo (5 5)
Organiacutezate con tus compantildeeros formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnos yresuelvan los siguientes ejercicios con una actitud de respeto y tolerancia Al final reflexionen con los integrantesde otro equipo sus procedimientos y resultados
1 La fonda de Chonita tiene tortas de jamoacuten y tacos de pollo para comer y agua de jamaica refresco y jugo parabeber Formen todos los posibles menuacutes que Chonita puede tener
2 La floreriacutea ldquoMil hojasrdquo tiene rosas tulipanes y orquiacutedeas como flores y helecho y dracaena como follaje Cons-truyan los posibles arreglos que puede hacer de un tipo de flor con un tipo de follaje
3 En la fiesta de Luis su mamaacute quiere servir algunas ensaladas que contengan un tipo de fruta y un tipo desemilla Cuenta con frutas como naranjas uvas papayas y mangos en cuanto a las semillas tiene nuecesalmendras avellanas y pistaches Describan las ensaladas que puede haber en la fiesta de Luis
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 9
Ejemplo
Una forma de encontrar todas las posibles parejas ordenadas de nuacutemeros entre dos
conjuntos es por medio del producto cartesiano que se representa como A B Producto cartesiano Es lacoleccioacuten de todas las relaciones(combinaciones) de los elementosde A con los elementos de B
Desarrolla el producto cartesiano A B y B A dados A 1 2 3 y B 1 2 3 4
Solucioacuten
A B
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
Ahora
B A
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
(4 1) (4 2) (4 3) (4 4)
Observa que las parejas (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3) (3 1) (3 2) y (3 3) son iguales en ambos pro-ductos
El producto cartesiano de dos conjuntos de nuacutemeros es un nuevo conjunto de pa-
rejas ordenadas en el que todas estas son distintas El primer elemento correspondeal conjunto A y el segundo elemento corresponde al conjunto B
Observa que si el conjunto A tiene tres elementos y el conjunto B tiene cuatroentonces el conjunto A B tiene 3 4 12 elementos (parejas ordenadas) de
ahiacute la razoacuten de llamarlo producto (multiplicacioacuten) y se le llama cartesiano porque sepuede representar graacute1047297camente en un plano cartesiano como el siguiente
Una aplicacioacuten de las parejas ordenadas es la localizacioacuten de puntos en el sistema
de coordenadas rectangulares
1 2 3 A
(1 4)
(1 3)
(1 2)
(1 1)
(2 4)
(2 3)
(2 2)
(2 1)
(3 4)
(3 3)
(3 2)
(3 1)
B
4
3
2
1
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10 Matemaacuteticas III
Actividad 2
Organiacutezate con tus compantildeeros y reuacutenanse en parejas conformadas por una alumna y un alumno realicen demanera colaborativa los siguientes ejercicios Recuerden mantener siempre una actitud de respeto y responsa-bilidad Compartan en plenaria sus procedimientos y resultados Al final califiquen su desempentildeo con la guiacutea deautoobservacioacuten
1 Respondan las siguientes preguntas respecto a las caracteriacutesticas del sistema de coordenadas
a ) iquestCuaacutentas rectas numeacutericas conforman el sistema de coordenadas rectangulares
b ) iquestCuaacutel es la posicioacuten de cada una de estas rectas
Traza un cuadrado y un triaacutengulo en el siguiente sistema de coordenadas rectangulares luego descriacutebelos indican-do las coordenadas (x y ) que representan a sus veacutertices
Solucioacuten
Cada uno de los puntos que se acaban de localizar tiene dos elementos o referenciasuna estaacute sobre el eje X denominada abscisa y la otra sobre el eje Y denominadaordenada Por tanto las parejas ordenadas tienen la siguiente forma
(abscisa ordenada)
La abscisa siempre se localiza sobre el eje X (tambieacuten se le llama eje de las abscisas)y la ordenada sobre el eje Y (conocido como eje de las ordenadas)
Las coordenadas del cuadro son
(3 3) (3 3) (3 3) y (3 3)
Las coordenadas del triaacutengulo son
(0 4) (0 6) y (4 4)
Ejemplo
Abscisa Es la coordenada x de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
Ordenada Es la coordenada y de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
G L O S A R I O
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 11
c ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta horizontal
d ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta vertical
e ) iquestCoacutemo se llama al punto donde se cruzan los ejes
f ) iquestCoacutemo se llaman las regiones en las que se divide al plano y cuaacutentas son
g ) iquestCuaacuteles son los signos de cada cuadrante
2 Dados los siguientes conjuntos calculen los productos cartesianos y represeacutentenlos en un plano Ademaacutesrodeen las parejas ordenadas iguales
A a b c d B 1 3 5 C 2 4 6 8 D x y z
a ) A B f ) B D
b ) C D g ) B A
c ) A C h ) D C
d ) C B i ) B C
e ) D A j ) A D
3 Localicen en un mismo sistema de coordenadas rectangulares los siguientes puntos e identifiquen a queacute cua-drante pertenecen
a ) A (4 2) h ) H (8 3)
b ) B (3 5) i ) I 64
125
c ) C 12
14
j ) J (6 2)
d ) D (2 7) k ) K 83
3
e ) E (7 3) l ) L(0 0)
f ) F
2
3
4
5 m ) M (
1
2)
g ) G (24) n ) N ( 5 8)
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12 Matemaacuteticas III
4 Escriban las coordenadas de los puntos que se muestran en el siguiente plano cartesiano
a ) A ( ) f ) F ( )
b ) B ( ) g ) G ( )
c ) C ( ) h ) H ( )
d ) D ( ) i ) I ( )
e ) E ( ) j ) J ( )
5 Representen en un sistema de coordenadas rectangula-res los poliacutegonos con los siguientes veacutertices e incluacuteyan-los en su portafolio de evidencias
a ) A (3 4) B (2 1) C (51)
b ) A (9 3) B (5 1) C (4 0)
c ) A (4 2) B (2 3) C (16) D (0 4)
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
G
F
E
A
C
B
D
J
I
H
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como pareja
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Trazamos correctamente el sistema de coordenadas identificando los ejes
2 Ubicamos los puntos en el cuadrante correcto
3 Unimos correctamente los puntos formando la figura geomeacutetrica
4 Identificamos la figura correctamente de acuerdo con el nuacutemero y posicioacutende los veacutertices
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia el desarrollo de lasolucioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 13
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas de preferencia alumno y alumna Realicen los siguientes ejerci-cios de manera colaborativa
1 Tracen las liacuteneas rectas siguientes una de ellas pasa por A (0 6) y B (6 0) la otra pasa por C (6 6) y D (0 0)comprueben que estas liacuteneas rectas se cruzan en el punto (3 3)
2 Dibujen en un sistema coordenado un triaacutengulo isoacutesceles (de cualquier medida) Luego indiquen las coorde-nadas de sus tres veacutertices tambieacuten marquen dos puntos que esteacuten dentro y dos puntos que esteacuten afuera deltriaacutengulo e indiquen sus coordenadas
3 Grafiquen en un mismo sistema de referencia cada uno de los siguientes grupos de coordenadas uacutenanlos yescriban el tipo de figura geomeacutetrica
a ) A(2 4) B (2 1) C (2 1) D (2 4)
b ) E (2 5) F (5 2) G (04)
c ) H (3 5) I (3 9) J (3 5)
d ) K (42) L(44) M (24) N (2 2)
e ) O (5 2) P (1 2) Q (1 4) R (5 4)
4 Resuelvan los siguientes problemas
a ) Mariacutea tiene una casa con una puerta al sur sale de ella ycamina 4 cuadras luego decide caminar 3 cuadras al estedespueacutes gira hacia el sur y avanza otras 5 cuadras final-mente da vuelta al norte y avanza 8 cuadras Si se coloca lacasa de Mariacutea en el origen de un sistema de coordenadasrectangulares y se sigue su trayectoria iquesten queacute punto seencontraraacute al final de su camino Elaboren una hipoacutetesis ycomprueacutebenla en un sistema de coordenadas
b ) El terreno de Feacutelix tiene coordenadas (5 2) (10 2) (5 10)y (10 10)
i Ubiquen el terreno en un sistema de coordenadas rec-
tangulares ii iquestQueacute forma tiene el terreno iii Calculen su aacuterea
Actividad 3
copy E l z b i e t a S e k o w s k a S h u t t e r s t o c k
copy G o D u n k 1 3 S h u t t e r s t o c k
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14 Matemaacuteticas III
c ) En la clase de Biologiacutea Pati realizoacute un experimento paraobservar el crecimiento de una colonia de bacilos Seregistraron los siguientes datos anotando el tiempo quetranscurrioacute y el nuacutemero de bacilos presentes en el ex-perimento
bull 200 bacilos en 6 minutosbull 300 bacilos en 12 minutosbull 500 bacilos en 18 minutosbull 1000 bacilos en 24 minutosbull 1800 bacilos en 30 minutos
Representen los pares de valores que Pati recaboacute en un sistema de coordenadas rectangulares en el que el ejehorizontal sea el tiempo y el eje vertical el nuacutemero de bacilos
copy
M a t e j K a s t e l i c S h u t t e r s t o c k
En geometriacutea analiacutetica pueden presentarse dos problemas fundamentales relacio-nados con los lugares geomeacutetricos
1 Dada una ecuacioacuten encuentra el lugar geomeacutetrico que la representa2 Dado un lugar geomeacutetrico encuentra la ecuacioacuten que lo representa
Con esto en mente podemos hablar de un meacutetodo general para resolver proble-mas de geometriacutea analiacutetica que consta de tres secciones bien de1047297nidas
1 Geomeacutetrica En esta expondraacutes todo lo que sabes respecto al lugar geomeacutetricoque se propone antes de iniciar con el anaacutelisis
2 Analiacutetica Aquiacute efectuaraacutes el anaacutelisis de las ecuaciones dadas para ello usaraacutesaacutelgebra y aritmeacutetica
3 Conclusioacuten Esta parte es importantiacutesima ya que aquiacute redactaraacutes lo que hayas
encontrado a lo largo de todo el proceso
Encontraraacutes problemas en los que es preciso efectuar primero la parte analiacutetica y
despueacutes la geomeacutetrica sin embargo habraacute otros en los que tanto la parte analiacuteticacomo la geomeacutetrica deberaacuten desarrollarse al mismo tiempo pero en cualquiera delos casos ambas estaacuten presentes
Cuando queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con una expresioacutenalgebraica sugerimos realizar los siguientes pasos
1 Haz una tabulacioacuten en donde se asignen valores a x
2 Calcula los valores de y sustituyendo en la ecuacioacuten original
Objeto de aprendizaje Lugares geomeacutetricos
Lugar geomeacutetrico Es un conjuntode puntos que cumplen una
propiedad geomeacutetrica en particular G L O
S A R I O
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 15
3 Calcula las intersecciones con los ejes
a) Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y
b) Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
4 Por uacuteltimo elabora la graacute1047297ca colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten
con los ejes
Ejemplos
1 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Si observas la ecuacioacuten te daraacutes cuenta de que es una ecuacioacuten lineal por lo que se representa como unarecta pero iquestcuaacuteles son las caracteriacutesticas de esta recta en particular Sigamos los pasos propuestos re-cuerda que para graficar una liacutenea recta son suficientes dos puntos
x 2 1
y 4 5
(x y ) (2 4) (1 5)
Para las intersecciones con los ejes
Con el eje Y x
0 y 3x 2
y 3(0) 2
y 0 2
y 2
La interseccioacuten con el eje Y es el punto (0 2)Con el eje X y 0
y 3x 2
0 3x 2
0 2 3x
23
x
x 23
La interseccioacuten con el eje X es el punto 23
0
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16 Matemaacuteticas III
bull Parte geomeacutetrica
Haciendo la graacutefica tenemos que el lugar geomeacutetrico y 3x 2 es
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
y 3 x 2
X
Y
bull Conclusioacuten
El lugar geomeacutetrico es una liacutenea recta que interseca al eje Y en y 2 y al eje X en x 23
Por otro lado si queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con un conjunto de pares ordenadoste sugerimos seguir los siguientes pasos
a ) Hacer una tabulacioacuten con los valores de x y y
b ) Calcular la relacioacuten que se presenta entre los datos
c ) Calcular las intersecciones con los ejes
i Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y ii Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
d ) Por uacuteltimo hacer la graacutefica colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten con los ejes
2 iquestQueacute ecuacioacuten representaraacute el lugar geomeacutetrico que contiene a las siguientes parejas ordenadas (5 25)(4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4) (3 9) (4 16) (5 25)
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero colocamos las parejas ordenadas en una tabla para visualizar la relacioacuten entre las abscisas y lasordenadas
x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
y iquest 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 17
Para encontrar la relacioacuten debemos preguntarnos iquestqueacute le hacemos a5 para que sea 25 iquesta4 para quesea 16 iquesta 3 para que sea 9 etceacutetera
Si pensamos un poco la respuesta es evidentehellip iexclClaro Lo elevamos al cuadrado o sea
25
(
5)
2
16
(
4)
2
9
(
3)
2
etceacutetera
Por tanto la relacioacuten es y x 2
Recordemos que las ecuaciones de este tipo por lo general representan una paraacutebola con veacutertice enel origen que es la uacutenica interseccioacuten con el eje X o Y para verificar lo anterior desarrollemos la partegeomeacutetrica
bull Parte geomeacutetrica
Si graficamos los puntos que tenemos y los
unimos con una curva suave entonces seforma la paraacutebola coacutencava hacia arriba consu veacutertice en el origen
5
10
15
20
25
55 X
Y
bull Conclusioacuten
Entonces tenemos que los puntos (5 25) (4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4)(3 9) (4 16) (5 25) representan el lugar geomeacutetrico denominado paraacutebola con veacutertice en el origen cuya
ecuacioacuten es y x 2
3 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y x 2 4
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero tabulemos la ecuacioacutenComo vimos las liacuteneas rectas soacutelo necesitan 2 puntos en la tabulacioacuten pero en este caso no hablamos
de una ecuacioacuten lineal asiacute que en todas las ecuaciones diferentes de las lineales se tendraacuten que tabular
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Utilizas
distintasformas dela ecuacioacutende una recta
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan realizar
un estudio de las propiedades geomeacutetricas de la recta y de sus
posibilidades analiacuteticas
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta
bull Transforma ecuaciones de una forma a otra
bull Utiliza distintas formas de la ecuacioacuten de la recta para solucionar
problemas yo ejercicios de la vida cotidiana
Bloque IV
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copy P h o t o r e d a k t o r D r e a m s t i m e
Objetos de aprendizaje
bull Ecuaciones de la recta
991252Pendiente y ordenada al origen
991252Punto-pendiente 991252Dos puntos
991252Simeacutetrica
bull Ecuacioacuten general y normal de la ecuacioacuten de la recta
bull Distancia de la recta a un punto
bull Distancia entre dos rectas paralelas
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas o graacute1047297cas
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exivacomprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis y disentildea y aplica modelos para probar
su validez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla
un proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten
con pasos especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras
personas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicas
del campo de matemaacuteticasbull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisis
de situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales medianteel lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea
de la informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental
o matemaacuteticamente las magnitudes del espacio
y de las propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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108
Responde correctamente las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es la distancia maacutes corta entre dos puntos
2 iquestCuaacuteles son las referencias miacutenimas para definir una recta en el plano
3 iquestCoacutemo se llama al punto de interseccioacuten de una recta con el eje Y
4 iquestCoacutemo se denomina a la interseccioacuten de la recta con el eje X
5 iquestEn queacute forma de la ecuacioacuten de la recta se puede identificar de inmediato su ldquoinclinacioacutenrdquo y la interseccioacuten de
esta con el eje Y
6 iquestCoacutemo se conoce a la forma de la ecuacioacuten de una recta que contiene como elementos su abscisa y su orde-nada al origen
7 iquestCoacutemo se escribe la expresioacuten para la forma general de la ecuacioacuten de la recta
8 iquestCuaacuteles son las referencias que necesitamos para emplear la forma normal de la ecuacioacuten de la recta
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 109
Para determinar una recta siempre se necesitan dos referencias como miacutenimo y
esto nos permite usar una forma de la ecuacioacuten de acuerdo con los datos que seproporcionan
1 La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos2 La forma punto-punto que requiere dos puntos pertenecientes a la recta
3 La forma simeacutetrica usa las intersecciones con los ejes
4 La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores
5 La forma normal emplea la distancia al origen y el aacutengulo de inclinacioacuten de la
recta que representa dicha distancia
Estudiaremos todas a lo largo del bloque
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendientey ordenada en el origeniquestCoacutemo se puede trazar la graacute1047297ca de una recta de manera raacutepida y sin la ayudade una tabulacioacuten Necesitamos dos referencias una de ellas puede ser un punto
ldquoespecialrdquo que obtenemos de la interseccioacuten con el eje Y al que se designa con laletra b por tanto sus coordenadas son (0 b) y se le llama ordenada en el origen
la otra referencia es m la pendiente iquestCoacutemo identi1047297carla en la ecuacioacuten de unarecta iexclEs muy faacutecil
A partir de la de1047297nicioacuten del punto al cual corresponde la ordenada en el origen
(0 b) y la pendiente de una recta (m) podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuacioacuten de la recta veamos
y = mx + b
expresioacuten que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquierpunto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y su-
mada a la interseccioacuten con el eje Y
Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta
9 iquestCuaacuteles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta
10 iquestCuaacuteles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas
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110 Matemaacuteticas III
Ejemplos
1 Grafica la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen
y mx b
y 3x 2
Entonces la ecuacioacuten tiene como ordenada en el origen b 2 estosignifica que en ese lugar la recta interseca al eje Y ademaacutes es faacutecilobservar que la pendiente es m 3 Graacuteficamente
Si deseas trazar la recta puedes graficarla pendiente a partir de la ordenada enel origen tal como vimos en el bloqueanterior
2 Grafica la ecuacioacuten y 3
2
x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Toma la ecuacioacuten y compaacuterala con la forma pendiente-ordenada en el origen
y 32
x 2
y mx b
A esta forma de la recta se le denomina forma comuacuten o pendiente-ordenada
en el origen y es muy uacutetil ya que mediante ella es posible identi1047297car de inmediatola pendiente y la ordenada en el origen
X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
b Ordenada en el origen
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
6
5
4
3
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1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
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4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
Portal de Conocimiento
DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
Student ResourcIn Conte
Portal de Conocimie
SOLUCIONES PARA LA INVESTIGACIOacuteN Y LA BIBLIOTECA
CIENCIAS E INGENIERIacuteA MULTIDISCIPLINAR
Accesa con esta direccioacuten a tus soluciones de investigacioacuten
httpwwwcengagecommxportaldelconocimiento
TIPOS DE CONTENIDOPublicaciones acadeacutemicas revistas noticias podcasts
imaacutegenes videos y ligas a sitios web
wwwcengagecom
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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Completa los siguientes enunciados
1 El sistema de coordenadas estaacute compuesto por
2 iquestCuaacutentos cuadrantes tiene el sistema de coordenadas cartesianas
3 La combinacioacuten de todas las combinaciones de los elementos de dos conjuntos se denomina
4 En una pareja de elementos en la que si se cambia el orden se cambia el sentido
5 La coordenada x se denomina
6 La coordenada y se denomina
7 Conjunto de puntos que cumplen una relacioacuten matemaacutetica
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 5
La geometriacutea analiacutetica se ha desarrollado desde tiempos remotos Podemos con-siderar la obra de Fibonacci Practica Geometriae como el punto de arranquede la geometriacutea renacentista aunque uacutenicamente se ocupe de la medida de aacutereas de
poliacutegonos y voluacutemenes de cuerposDebemos a Jordanus Nemorarius la primera formulacioacuten correcta del problema
del plano inclinadoEn Pariacutes el profesor Nicole Oresme utilizoacute coordenadas rectangulares en una
de sus obras de forma primitiva y rudimentaria para la representacioacuten graacute1047297ca deciertos fenoacutemenos fiacutesicos
Sin duda uno de los grandes en esta materia fue Reneacute Descartes con su famo-sa obra el Discurso del Meacutetodo en cuyo apeacutendice llamado ldquoGeacuteometrierdquo detalla lasinstrucciones geomeacutetricas para resolver ecuaciones cuadraacuteticas despueacutes describe
la aplicacioacuten del aacutelgebra a ciertos problemas geomeacutetricos Casi toda la ldquoGeacuteometrierdquoestaacute dedicada a la interrelacioacuten del aacutelgebra y la geometriacutea con ayuda del sistema de
coordenadas justo lo que actualmente denominamos geometriacutea analiacutetica
Reneacute Descartes
Geometriacutea analiacuteticaintroductoria
Objeto de aprendizaje
Actividad de investigacioacuten 1
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas como actividad extraclase investiguen en fuentes impresas yelectroacutenicas (Internet) los antecedentes de la geometriacutea analiacutetica y disentildeen una liacutenea de tiempo en la que se desta-que a los principales precursores su aportacioacuten y el antildeo correspondiente Elaboren una presentacioacuten electroacutenica y
expoacutenganla ante el grupo para su realimentacioacuten Despueacutes evaluacuteen su desempentildeo con la guiacutea de autoobservacioacuten
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6 Matemaacuteticas III
Guiacutea de autoobservacioacuten
Un arreglo de dos rectas numeacutericas (una en posicioacuten horizontal y otra en posicioacuten vertical) unidas en sus ceros (origen) se denomina sistema de coordenadas rec-
tangulares o plano cartesiano en honor a Reneacute Descartes
La recta horizontal se llama eje X y la recta vertical eje Y Observa que el siste-ma de coordenadas divide al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
Negativos
Positivos
Cuadrante I ()
Cuadrante IV ()
Cuadrante II ()
Cuadrante III ()
Origen
Sistema de coordenadasrectangulares Es un arreglo de dosrectas numeacutericas una horizontal y laotra vertical que se unen en el cero(origen)
Eje X Es la recta horizontaldel sistema de coordenadasrectangulares
Eje Y Es la recta vertical del sistemade coordenadas rectangulares
Cuadrantes Son las cuatroregiones en las que se divide al planoen el sistema de coordenadas
G L O S A R I O
Coordenada (2 3)
Objeto de aprendizaje Sistema de coordenadasrectangulares
Y
X
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Empleamos las TIC para presentar nuestra informacioacuten
2 Empleamos fuentes de informacioacuten confiable y relevante tanto en formaelectroacutenica como impresa
3 Elaboramos una liacutenea de tiempo que destaca precursores antildeo y aportaciones
4 Manejamos de manera fluida la informacioacuten que expusimos al grupo
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia la realimentacioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 7
El primer cuadrante tiene la parte positiva del eje X y del eje Y el segundo
cuadrante tiene la parte negativa del eje X y la parte positiva del eje Y el tercer cua-drante tiene la parte negativa del eje X y del eje Y y el cuarto cuadrante tiene la partepositiva del eje X y la parte negativa del eje Y
Pareja ordenada Es una parejade nuacutemeros ( x y ) escritos en unorden particular
Para iniciar el tema analicemos el siguiente ejemplo Mariacutea tiene blusas de color
blanco y rosa y faldas de color cafeacute azul y negro Quiere saber cuaacutentos posiblesatuendos puede tener Aquiacute estaacute la lista que obtuvo
bull Blusa blanca con falda cafeacutebull Blusa blanca con falda azulbull Blusa blanca con falda negrabull Blusa rosa con falda cafeacutebull Blusa rosa con falda azulbull Blusa rosa con falda negra
Ademaacutes tiene la idea de darle un nuacutemero a
cada blusa y a cada falda para que sea maacutes faacutecilescoger el atuendo
bull Blusas
1 blanca
2 rosa
bull Faldas
1 cafeacute
2 azul
3 negra
Haciendo la ldquotraduccioacutenrdquo obtuvo la siguiente lista
1 1
1 21 3
2 12 2
2 3
En donde el primer nuacutemero pertenece a la blusa y el segundo a la falda Observaque no tendriacutea ninguacuten signi1047297cado pedir (3 2) ya que no hay ninguna blusa 3 En-
tonces el orden en estas parejas es importante lo mismo sucederaacute con las parejasde nuacutemeros que veremos a continuacioacuten
Las parejas ordenadas tienen dos elementos uno de ellos ocupa el primer lugary otro el segundo y si se cambian de lugar el sentido variacutea Se representan encerran-
do sus elementos entre pareacutentesis Por ejemplo (3 4) (6 8) (9 1) (4 3) etceacutetera
Objeto de aprendizaje Parejas ordenadas
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8 Matemaacuteticas III
Actividad 1
Igualdad de parejasObserva que si cambias los nuacutemeros de lugar no quieren decir lo mismo es decir3 y 4 es una pareja ordenada pero 4 y 3 hace referencia a un arreglo distinto En
general las parejas ordenadas cumplen que
(a b) (b a)y
(a b) (b a) si y solo si a b
Esto quiere decir que para considerar iguales a dos parejas estas deben tenerlos mismos elementos en el mismo orden Por ejemplo (5 5)
Organiacutezate con tus compantildeeros formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnos yresuelvan los siguientes ejercicios con una actitud de respeto y tolerancia Al final reflexionen con los integrantesde otro equipo sus procedimientos y resultados
1 La fonda de Chonita tiene tortas de jamoacuten y tacos de pollo para comer y agua de jamaica refresco y jugo parabeber Formen todos los posibles menuacutes que Chonita puede tener
2 La floreriacutea ldquoMil hojasrdquo tiene rosas tulipanes y orquiacutedeas como flores y helecho y dracaena como follaje Cons-truyan los posibles arreglos que puede hacer de un tipo de flor con un tipo de follaje
3 En la fiesta de Luis su mamaacute quiere servir algunas ensaladas que contengan un tipo de fruta y un tipo desemilla Cuenta con frutas como naranjas uvas papayas y mangos en cuanto a las semillas tiene nuecesalmendras avellanas y pistaches Describan las ensaladas que puede haber en la fiesta de Luis
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 9
Ejemplo
Una forma de encontrar todas las posibles parejas ordenadas de nuacutemeros entre dos
conjuntos es por medio del producto cartesiano que se representa como A B Producto cartesiano Es lacoleccioacuten de todas las relaciones(combinaciones) de los elementosde A con los elementos de B
Desarrolla el producto cartesiano A B y B A dados A 1 2 3 y B 1 2 3 4
Solucioacuten
A B
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
Ahora
B A
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
(4 1) (4 2) (4 3) (4 4)
Observa que las parejas (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3) (3 1) (3 2) y (3 3) son iguales en ambos pro-ductos
El producto cartesiano de dos conjuntos de nuacutemeros es un nuevo conjunto de pa-
rejas ordenadas en el que todas estas son distintas El primer elemento correspondeal conjunto A y el segundo elemento corresponde al conjunto B
Observa que si el conjunto A tiene tres elementos y el conjunto B tiene cuatroentonces el conjunto A B tiene 3 4 12 elementos (parejas ordenadas) de
ahiacute la razoacuten de llamarlo producto (multiplicacioacuten) y se le llama cartesiano porque sepuede representar graacute1047297camente en un plano cartesiano como el siguiente
Una aplicacioacuten de las parejas ordenadas es la localizacioacuten de puntos en el sistema
de coordenadas rectangulares
1 2 3 A
(1 4)
(1 3)
(1 2)
(1 1)
(2 4)
(2 3)
(2 2)
(2 1)
(3 4)
(3 3)
(3 2)
(3 1)
B
4
3
2
1
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10 Matemaacuteticas III
Actividad 2
Organiacutezate con tus compantildeeros y reuacutenanse en parejas conformadas por una alumna y un alumno realicen demanera colaborativa los siguientes ejercicios Recuerden mantener siempre una actitud de respeto y responsa-bilidad Compartan en plenaria sus procedimientos y resultados Al final califiquen su desempentildeo con la guiacutea deautoobservacioacuten
1 Respondan las siguientes preguntas respecto a las caracteriacutesticas del sistema de coordenadas
a ) iquestCuaacutentas rectas numeacutericas conforman el sistema de coordenadas rectangulares
b ) iquestCuaacutel es la posicioacuten de cada una de estas rectas
Traza un cuadrado y un triaacutengulo en el siguiente sistema de coordenadas rectangulares luego descriacutebelos indican-do las coordenadas (x y ) que representan a sus veacutertices
Solucioacuten
Cada uno de los puntos que se acaban de localizar tiene dos elementos o referenciasuna estaacute sobre el eje X denominada abscisa y la otra sobre el eje Y denominadaordenada Por tanto las parejas ordenadas tienen la siguiente forma
(abscisa ordenada)
La abscisa siempre se localiza sobre el eje X (tambieacuten se le llama eje de las abscisas)y la ordenada sobre el eje Y (conocido como eje de las ordenadas)
Las coordenadas del cuadro son
(3 3) (3 3) (3 3) y (3 3)
Las coordenadas del triaacutengulo son
(0 4) (0 6) y (4 4)
Ejemplo
Abscisa Es la coordenada x de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
Ordenada Es la coordenada y de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
G L O S A R I O
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 11
c ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta horizontal
d ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta vertical
e ) iquestCoacutemo se llama al punto donde se cruzan los ejes
f ) iquestCoacutemo se llaman las regiones en las que se divide al plano y cuaacutentas son
g ) iquestCuaacuteles son los signos de cada cuadrante
2 Dados los siguientes conjuntos calculen los productos cartesianos y represeacutentenlos en un plano Ademaacutesrodeen las parejas ordenadas iguales
A a b c d B 1 3 5 C 2 4 6 8 D x y z
a ) A B f ) B D
b ) C D g ) B A
c ) A C h ) D C
d ) C B i ) B C
e ) D A j ) A D
3 Localicen en un mismo sistema de coordenadas rectangulares los siguientes puntos e identifiquen a queacute cua-drante pertenecen
a ) A (4 2) h ) H (8 3)
b ) B (3 5) i ) I 64
125
c ) C 12
14
j ) J (6 2)
d ) D (2 7) k ) K 83
3
e ) E (7 3) l ) L(0 0)
f ) F
2
3
4
5 m ) M (
1
2)
g ) G (24) n ) N ( 5 8)
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12 Matemaacuteticas III
4 Escriban las coordenadas de los puntos que se muestran en el siguiente plano cartesiano
a ) A ( ) f ) F ( )
b ) B ( ) g ) G ( )
c ) C ( ) h ) H ( )
d ) D ( ) i ) I ( )
e ) E ( ) j ) J ( )
5 Representen en un sistema de coordenadas rectangula-res los poliacutegonos con los siguientes veacutertices e incluacuteyan-los en su portafolio de evidencias
a ) A (3 4) B (2 1) C (51)
b ) A (9 3) B (5 1) C (4 0)
c ) A (4 2) B (2 3) C (16) D (0 4)
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
G
F
E
A
C
B
D
J
I
H
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como pareja
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Trazamos correctamente el sistema de coordenadas identificando los ejes
2 Ubicamos los puntos en el cuadrante correcto
3 Unimos correctamente los puntos formando la figura geomeacutetrica
4 Identificamos la figura correctamente de acuerdo con el nuacutemero y posicioacutende los veacutertices
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia el desarrollo de lasolucioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 13
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas de preferencia alumno y alumna Realicen los siguientes ejerci-cios de manera colaborativa
1 Tracen las liacuteneas rectas siguientes una de ellas pasa por A (0 6) y B (6 0) la otra pasa por C (6 6) y D (0 0)comprueben que estas liacuteneas rectas se cruzan en el punto (3 3)
2 Dibujen en un sistema coordenado un triaacutengulo isoacutesceles (de cualquier medida) Luego indiquen las coorde-nadas de sus tres veacutertices tambieacuten marquen dos puntos que esteacuten dentro y dos puntos que esteacuten afuera deltriaacutengulo e indiquen sus coordenadas
3 Grafiquen en un mismo sistema de referencia cada uno de los siguientes grupos de coordenadas uacutenanlos yescriban el tipo de figura geomeacutetrica
a ) A(2 4) B (2 1) C (2 1) D (2 4)
b ) E (2 5) F (5 2) G (04)
c ) H (3 5) I (3 9) J (3 5)
d ) K (42) L(44) M (24) N (2 2)
e ) O (5 2) P (1 2) Q (1 4) R (5 4)
4 Resuelvan los siguientes problemas
a ) Mariacutea tiene una casa con una puerta al sur sale de ella ycamina 4 cuadras luego decide caminar 3 cuadras al estedespueacutes gira hacia el sur y avanza otras 5 cuadras final-mente da vuelta al norte y avanza 8 cuadras Si se coloca lacasa de Mariacutea en el origen de un sistema de coordenadasrectangulares y se sigue su trayectoria iquesten queacute punto seencontraraacute al final de su camino Elaboren una hipoacutetesis ycomprueacutebenla en un sistema de coordenadas
b ) El terreno de Feacutelix tiene coordenadas (5 2) (10 2) (5 10)y (10 10)
i Ubiquen el terreno en un sistema de coordenadas rec-
tangulares ii iquestQueacute forma tiene el terreno iii Calculen su aacuterea
Actividad 3
copy E l z b i e t a S e k o w s k a S h u t t e r s t o c k
copy G o D u n k 1 3 S h u t t e r s t o c k
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14 Matemaacuteticas III
c ) En la clase de Biologiacutea Pati realizoacute un experimento paraobservar el crecimiento de una colonia de bacilos Seregistraron los siguientes datos anotando el tiempo quetranscurrioacute y el nuacutemero de bacilos presentes en el ex-perimento
bull 200 bacilos en 6 minutosbull 300 bacilos en 12 minutosbull 500 bacilos en 18 minutosbull 1000 bacilos en 24 minutosbull 1800 bacilos en 30 minutos
Representen los pares de valores que Pati recaboacute en un sistema de coordenadas rectangulares en el que el ejehorizontal sea el tiempo y el eje vertical el nuacutemero de bacilos
copy
M a t e j K a s t e l i c S h u t t e r s t o c k
En geometriacutea analiacutetica pueden presentarse dos problemas fundamentales relacio-nados con los lugares geomeacutetricos
1 Dada una ecuacioacuten encuentra el lugar geomeacutetrico que la representa2 Dado un lugar geomeacutetrico encuentra la ecuacioacuten que lo representa
Con esto en mente podemos hablar de un meacutetodo general para resolver proble-mas de geometriacutea analiacutetica que consta de tres secciones bien de1047297nidas
1 Geomeacutetrica En esta expondraacutes todo lo que sabes respecto al lugar geomeacutetricoque se propone antes de iniciar con el anaacutelisis
2 Analiacutetica Aquiacute efectuaraacutes el anaacutelisis de las ecuaciones dadas para ello usaraacutesaacutelgebra y aritmeacutetica
3 Conclusioacuten Esta parte es importantiacutesima ya que aquiacute redactaraacutes lo que hayas
encontrado a lo largo de todo el proceso
Encontraraacutes problemas en los que es preciso efectuar primero la parte analiacutetica y
despueacutes la geomeacutetrica sin embargo habraacute otros en los que tanto la parte analiacuteticacomo la geomeacutetrica deberaacuten desarrollarse al mismo tiempo pero en cualquiera delos casos ambas estaacuten presentes
Cuando queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con una expresioacutenalgebraica sugerimos realizar los siguientes pasos
1 Haz una tabulacioacuten en donde se asignen valores a x
2 Calcula los valores de y sustituyendo en la ecuacioacuten original
Objeto de aprendizaje Lugares geomeacutetricos
Lugar geomeacutetrico Es un conjuntode puntos que cumplen una
propiedad geomeacutetrica en particular G L O
S A R I O
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 15
3 Calcula las intersecciones con los ejes
a) Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y
b) Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
4 Por uacuteltimo elabora la graacute1047297ca colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten
con los ejes
Ejemplos
1 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Si observas la ecuacioacuten te daraacutes cuenta de que es una ecuacioacuten lineal por lo que se representa como unarecta pero iquestcuaacuteles son las caracteriacutesticas de esta recta en particular Sigamos los pasos propuestos re-cuerda que para graficar una liacutenea recta son suficientes dos puntos
x 2 1
y 4 5
(x y ) (2 4) (1 5)
Para las intersecciones con los ejes
Con el eje Y x
0 y 3x 2
y 3(0) 2
y 0 2
y 2
La interseccioacuten con el eje Y es el punto (0 2)Con el eje X y 0
y 3x 2
0 3x 2
0 2 3x
23
x
x 23
La interseccioacuten con el eje X es el punto 23
0
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16 Matemaacuteticas III
bull Parte geomeacutetrica
Haciendo la graacutefica tenemos que el lugar geomeacutetrico y 3x 2 es
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
y 3 x 2
X
Y
bull Conclusioacuten
El lugar geomeacutetrico es una liacutenea recta que interseca al eje Y en y 2 y al eje X en x 23
Por otro lado si queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con un conjunto de pares ordenadoste sugerimos seguir los siguientes pasos
a ) Hacer una tabulacioacuten con los valores de x y y
b ) Calcular la relacioacuten que se presenta entre los datos
c ) Calcular las intersecciones con los ejes
i Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y ii Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
d ) Por uacuteltimo hacer la graacutefica colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten con los ejes
2 iquestQueacute ecuacioacuten representaraacute el lugar geomeacutetrico que contiene a las siguientes parejas ordenadas (5 25)(4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4) (3 9) (4 16) (5 25)
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero colocamos las parejas ordenadas en una tabla para visualizar la relacioacuten entre las abscisas y lasordenadas
x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
y iquest 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 17
Para encontrar la relacioacuten debemos preguntarnos iquestqueacute le hacemos a5 para que sea 25 iquesta4 para quesea 16 iquesta 3 para que sea 9 etceacutetera
Si pensamos un poco la respuesta es evidentehellip iexclClaro Lo elevamos al cuadrado o sea
25
(
5)
2
16
(
4)
2
9
(
3)
2
etceacutetera
Por tanto la relacioacuten es y x 2
Recordemos que las ecuaciones de este tipo por lo general representan una paraacutebola con veacutertice enel origen que es la uacutenica interseccioacuten con el eje X o Y para verificar lo anterior desarrollemos la partegeomeacutetrica
bull Parte geomeacutetrica
Si graficamos los puntos que tenemos y los
unimos con una curva suave entonces seforma la paraacutebola coacutencava hacia arriba consu veacutertice en el origen
5
10
15
20
25
55 X
Y
bull Conclusioacuten
Entonces tenemos que los puntos (5 25) (4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4)(3 9) (4 16) (5 25) representan el lugar geomeacutetrico denominado paraacutebola con veacutertice en el origen cuya
ecuacioacuten es y x 2
3 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y x 2 4
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero tabulemos la ecuacioacutenComo vimos las liacuteneas rectas soacutelo necesitan 2 puntos en la tabulacioacuten pero en este caso no hablamos
de una ecuacioacuten lineal asiacute que en todas las ecuaciones diferentes de las lineales se tendraacuten que tabular
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Utilizas
distintasformas dela ecuacioacutende una recta
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan realizar
un estudio de las propiedades geomeacutetricas de la recta y de sus
posibilidades analiacuteticas
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta
bull Transforma ecuaciones de una forma a otra
bull Utiliza distintas formas de la ecuacioacuten de la recta para solucionar
problemas yo ejercicios de la vida cotidiana
Bloque IV
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copy P h o t o r e d a k t o r D r e a m s t i m e
Objetos de aprendizaje
bull Ecuaciones de la recta
991252Pendiente y ordenada al origen
991252Punto-pendiente 991252Dos puntos
991252Simeacutetrica
bull Ecuacioacuten general y normal de la ecuacioacuten de la recta
bull Distancia de la recta a un punto
bull Distancia entre dos rectas paralelas
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas o graacute1047297cas
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exivacomprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis y disentildea y aplica modelos para probar
su validez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla
un proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten
con pasos especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras
personas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicas
del campo de matemaacuteticasbull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisis
de situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales medianteel lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea
de la informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental
o matemaacuteticamente las magnitudes del espacio
y de las propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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108
Responde correctamente las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es la distancia maacutes corta entre dos puntos
2 iquestCuaacuteles son las referencias miacutenimas para definir una recta en el plano
3 iquestCoacutemo se llama al punto de interseccioacuten de una recta con el eje Y
4 iquestCoacutemo se denomina a la interseccioacuten de la recta con el eje X
5 iquestEn queacute forma de la ecuacioacuten de la recta se puede identificar de inmediato su ldquoinclinacioacutenrdquo y la interseccioacuten de
esta con el eje Y
6 iquestCoacutemo se conoce a la forma de la ecuacioacuten de una recta que contiene como elementos su abscisa y su orde-nada al origen
7 iquestCoacutemo se escribe la expresioacuten para la forma general de la ecuacioacuten de la recta
8 iquestCuaacuteles son las referencias que necesitamos para emplear la forma normal de la ecuacioacuten de la recta
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 109
Para determinar una recta siempre se necesitan dos referencias como miacutenimo y
esto nos permite usar una forma de la ecuacioacuten de acuerdo con los datos que seproporcionan
1 La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos2 La forma punto-punto que requiere dos puntos pertenecientes a la recta
3 La forma simeacutetrica usa las intersecciones con los ejes
4 La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores
5 La forma normal emplea la distancia al origen y el aacutengulo de inclinacioacuten de la
recta que representa dicha distancia
Estudiaremos todas a lo largo del bloque
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendientey ordenada en el origeniquestCoacutemo se puede trazar la graacute1047297ca de una recta de manera raacutepida y sin la ayudade una tabulacioacuten Necesitamos dos referencias una de ellas puede ser un punto
ldquoespecialrdquo que obtenemos de la interseccioacuten con el eje Y al que se designa con laletra b por tanto sus coordenadas son (0 b) y se le llama ordenada en el origen
la otra referencia es m la pendiente iquestCoacutemo identi1047297carla en la ecuacioacuten de unarecta iexclEs muy faacutecil
A partir de la de1047297nicioacuten del punto al cual corresponde la ordenada en el origen
(0 b) y la pendiente de una recta (m) podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuacioacuten de la recta veamos
y = mx + b
expresioacuten que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquierpunto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y su-
mada a la interseccioacuten con el eje Y
Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta
9 iquestCuaacuteles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta
10 iquestCuaacuteles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas
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110 Matemaacuteticas III
Ejemplos
1 Grafica la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen
y mx b
y 3x 2
Entonces la ecuacioacuten tiene como ordenada en el origen b 2 estosignifica que en ese lugar la recta interseca al eje Y ademaacutes es faacutecilobservar que la pendiente es m 3 Graacuteficamente
Si deseas trazar la recta puedes graficarla pendiente a partir de la ordenada enel origen tal como vimos en el bloqueanterior
2 Grafica la ecuacioacuten y 3
2
x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Toma la ecuacioacuten y compaacuterala con la forma pendiente-ordenada en el origen
y 32
x 2
y mx b
A esta forma de la recta se le denomina forma comuacuten o pendiente-ordenada
en el origen y es muy uacutetil ya que mediante ella es posible identi1047297car de inmediatola pendiente y la ordenada en el origen
X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
b Ordenada en el origen
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
Portal de Conocimiento
DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 5
La geometriacutea analiacutetica se ha desarrollado desde tiempos remotos Podemos con-siderar la obra de Fibonacci Practica Geometriae como el punto de arranquede la geometriacutea renacentista aunque uacutenicamente se ocupe de la medida de aacutereas de
poliacutegonos y voluacutemenes de cuerposDebemos a Jordanus Nemorarius la primera formulacioacuten correcta del problema
del plano inclinadoEn Pariacutes el profesor Nicole Oresme utilizoacute coordenadas rectangulares en una
de sus obras de forma primitiva y rudimentaria para la representacioacuten graacute1047297ca deciertos fenoacutemenos fiacutesicos
Sin duda uno de los grandes en esta materia fue Reneacute Descartes con su famo-sa obra el Discurso del Meacutetodo en cuyo apeacutendice llamado ldquoGeacuteometrierdquo detalla lasinstrucciones geomeacutetricas para resolver ecuaciones cuadraacuteticas despueacutes describe
la aplicacioacuten del aacutelgebra a ciertos problemas geomeacutetricos Casi toda la ldquoGeacuteometrierdquoestaacute dedicada a la interrelacioacuten del aacutelgebra y la geometriacutea con ayuda del sistema de
coordenadas justo lo que actualmente denominamos geometriacutea analiacutetica
Reneacute Descartes
Geometriacutea analiacuteticaintroductoria
Objeto de aprendizaje
Actividad de investigacioacuten 1
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas como actividad extraclase investiguen en fuentes impresas yelectroacutenicas (Internet) los antecedentes de la geometriacutea analiacutetica y disentildeen una liacutenea de tiempo en la que se desta-que a los principales precursores su aportacioacuten y el antildeo correspondiente Elaboren una presentacioacuten electroacutenica y
expoacutenganla ante el grupo para su realimentacioacuten Despueacutes evaluacuteen su desempentildeo con la guiacutea de autoobservacioacuten
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6 Matemaacuteticas III
Guiacutea de autoobservacioacuten
Un arreglo de dos rectas numeacutericas (una en posicioacuten horizontal y otra en posicioacuten vertical) unidas en sus ceros (origen) se denomina sistema de coordenadas rec-
tangulares o plano cartesiano en honor a Reneacute Descartes
La recta horizontal se llama eje X y la recta vertical eje Y Observa que el siste-ma de coordenadas divide al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
Negativos
Positivos
Cuadrante I ()
Cuadrante IV ()
Cuadrante II ()
Cuadrante III ()
Origen
Sistema de coordenadasrectangulares Es un arreglo de dosrectas numeacutericas una horizontal y laotra vertical que se unen en el cero(origen)
Eje X Es la recta horizontaldel sistema de coordenadasrectangulares
Eje Y Es la recta vertical del sistemade coordenadas rectangulares
Cuadrantes Son las cuatroregiones en las que se divide al planoen el sistema de coordenadas
G L O S A R I O
Coordenada (2 3)
Objeto de aprendizaje Sistema de coordenadasrectangulares
Y
X
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Empleamos las TIC para presentar nuestra informacioacuten
2 Empleamos fuentes de informacioacuten confiable y relevante tanto en formaelectroacutenica como impresa
3 Elaboramos una liacutenea de tiempo que destaca precursores antildeo y aportaciones
4 Manejamos de manera fluida la informacioacuten que expusimos al grupo
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia la realimentacioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 7
El primer cuadrante tiene la parte positiva del eje X y del eje Y el segundo
cuadrante tiene la parte negativa del eje X y la parte positiva del eje Y el tercer cua-drante tiene la parte negativa del eje X y del eje Y y el cuarto cuadrante tiene la partepositiva del eje X y la parte negativa del eje Y
Pareja ordenada Es una parejade nuacutemeros ( x y ) escritos en unorden particular
Para iniciar el tema analicemos el siguiente ejemplo Mariacutea tiene blusas de color
blanco y rosa y faldas de color cafeacute azul y negro Quiere saber cuaacutentos posiblesatuendos puede tener Aquiacute estaacute la lista que obtuvo
bull Blusa blanca con falda cafeacutebull Blusa blanca con falda azulbull Blusa blanca con falda negrabull Blusa rosa con falda cafeacutebull Blusa rosa con falda azulbull Blusa rosa con falda negra
Ademaacutes tiene la idea de darle un nuacutemero a
cada blusa y a cada falda para que sea maacutes faacutecilescoger el atuendo
bull Blusas
1 blanca
2 rosa
bull Faldas
1 cafeacute
2 azul
3 negra
Haciendo la ldquotraduccioacutenrdquo obtuvo la siguiente lista
1 1
1 21 3
2 12 2
2 3
En donde el primer nuacutemero pertenece a la blusa y el segundo a la falda Observaque no tendriacutea ninguacuten signi1047297cado pedir (3 2) ya que no hay ninguna blusa 3 En-
tonces el orden en estas parejas es importante lo mismo sucederaacute con las parejasde nuacutemeros que veremos a continuacioacuten
Las parejas ordenadas tienen dos elementos uno de ellos ocupa el primer lugary otro el segundo y si se cambian de lugar el sentido variacutea Se representan encerran-
do sus elementos entre pareacutentesis Por ejemplo (3 4) (6 8) (9 1) (4 3) etceacutetera
Objeto de aprendizaje Parejas ordenadas
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8 Matemaacuteticas III
Actividad 1
Igualdad de parejasObserva que si cambias los nuacutemeros de lugar no quieren decir lo mismo es decir3 y 4 es una pareja ordenada pero 4 y 3 hace referencia a un arreglo distinto En
general las parejas ordenadas cumplen que
(a b) (b a)y
(a b) (b a) si y solo si a b
Esto quiere decir que para considerar iguales a dos parejas estas deben tenerlos mismos elementos en el mismo orden Por ejemplo (5 5)
Organiacutezate con tus compantildeeros formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnos yresuelvan los siguientes ejercicios con una actitud de respeto y tolerancia Al final reflexionen con los integrantesde otro equipo sus procedimientos y resultados
1 La fonda de Chonita tiene tortas de jamoacuten y tacos de pollo para comer y agua de jamaica refresco y jugo parabeber Formen todos los posibles menuacutes que Chonita puede tener
2 La floreriacutea ldquoMil hojasrdquo tiene rosas tulipanes y orquiacutedeas como flores y helecho y dracaena como follaje Cons-truyan los posibles arreglos que puede hacer de un tipo de flor con un tipo de follaje
3 En la fiesta de Luis su mamaacute quiere servir algunas ensaladas que contengan un tipo de fruta y un tipo desemilla Cuenta con frutas como naranjas uvas papayas y mangos en cuanto a las semillas tiene nuecesalmendras avellanas y pistaches Describan las ensaladas que puede haber en la fiesta de Luis
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 9
Ejemplo
Una forma de encontrar todas las posibles parejas ordenadas de nuacutemeros entre dos
conjuntos es por medio del producto cartesiano que se representa como A B Producto cartesiano Es lacoleccioacuten de todas las relaciones(combinaciones) de los elementosde A con los elementos de B
Desarrolla el producto cartesiano A B y B A dados A 1 2 3 y B 1 2 3 4
Solucioacuten
A B
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
Ahora
B A
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
(4 1) (4 2) (4 3) (4 4)
Observa que las parejas (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3) (3 1) (3 2) y (3 3) son iguales en ambos pro-ductos
El producto cartesiano de dos conjuntos de nuacutemeros es un nuevo conjunto de pa-
rejas ordenadas en el que todas estas son distintas El primer elemento correspondeal conjunto A y el segundo elemento corresponde al conjunto B
Observa que si el conjunto A tiene tres elementos y el conjunto B tiene cuatroentonces el conjunto A B tiene 3 4 12 elementos (parejas ordenadas) de
ahiacute la razoacuten de llamarlo producto (multiplicacioacuten) y se le llama cartesiano porque sepuede representar graacute1047297camente en un plano cartesiano como el siguiente
Una aplicacioacuten de las parejas ordenadas es la localizacioacuten de puntos en el sistema
de coordenadas rectangulares
1 2 3 A
(1 4)
(1 3)
(1 2)
(1 1)
(2 4)
(2 3)
(2 2)
(2 1)
(3 4)
(3 3)
(3 2)
(3 1)
B
4
3
2
1
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10 Matemaacuteticas III
Actividad 2
Organiacutezate con tus compantildeeros y reuacutenanse en parejas conformadas por una alumna y un alumno realicen demanera colaborativa los siguientes ejercicios Recuerden mantener siempre una actitud de respeto y responsa-bilidad Compartan en plenaria sus procedimientos y resultados Al final califiquen su desempentildeo con la guiacutea deautoobservacioacuten
1 Respondan las siguientes preguntas respecto a las caracteriacutesticas del sistema de coordenadas
a ) iquestCuaacutentas rectas numeacutericas conforman el sistema de coordenadas rectangulares
b ) iquestCuaacutel es la posicioacuten de cada una de estas rectas
Traza un cuadrado y un triaacutengulo en el siguiente sistema de coordenadas rectangulares luego descriacutebelos indican-do las coordenadas (x y ) que representan a sus veacutertices
Solucioacuten
Cada uno de los puntos que se acaban de localizar tiene dos elementos o referenciasuna estaacute sobre el eje X denominada abscisa y la otra sobre el eje Y denominadaordenada Por tanto las parejas ordenadas tienen la siguiente forma
(abscisa ordenada)
La abscisa siempre se localiza sobre el eje X (tambieacuten se le llama eje de las abscisas)y la ordenada sobre el eje Y (conocido como eje de las ordenadas)
Las coordenadas del cuadro son
(3 3) (3 3) (3 3) y (3 3)
Las coordenadas del triaacutengulo son
(0 4) (0 6) y (4 4)
Ejemplo
Abscisa Es la coordenada x de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
Ordenada Es la coordenada y de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
G L O S A R I O
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 11
c ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta horizontal
d ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta vertical
e ) iquestCoacutemo se llama al punto donde se cruzan los ejes
f ) iquestCoacutemo se llaman las regiones en las que se divide al plano y cuaacutentas son
g ) iquestCuaacuteles son los signos de cada cuadrante
2 Dados los siguientes conjuntos calculen los productos cartesianos y represeacutentenlos en un plano Ademaacutesrodeen las parejas ordenadas iguales
A a b c d B 1 3 5 C 2 4 6 8 D x y z
a ) A B f ) B D
b ) C D g ) B A
c ) A C h ) D C
d ) C B i ) B C
e ) D A j ) A D
3 Localicen en un mismo sistema de coordenadas rectangulares los siguientes puntos e identifiquen a queacute cua-drante pertenecen
a ) A (4 2) h ) H (8 3)
b ) B (3 5) i ) I 64
125
c ) C 12
14
j ) J (6 2)
d ) D (2 7) k ) K 83
3
e ) E (7 3) l ) L(0 0)
f ) F
2
3
4
5 m ) M (
1
2)
g ) G (24) n ) N ( 5 8)
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12 Matemaacuteticas III
4 Escriban las coordenadas de los puntos que se muestran en el siguiente plano cartesiano
a ) A ( ) f ) F ( )
b ) B ( ) g ) G ( )
c ) C ( ) h ) H ( )
d ) D ( ) i ) I ( )
e ) E ( ) j ) J ( )
5 Representen en un sistema de coordenadas rectangula-res los poliacutegonos con los siguientes veacutertices e incluacuteyan-los en su portafolio de evidencias
a ) A (3 4) B (2 1) C (51)
b ) A (9 3) B (5 1) C (4 0)
c ) A (4 2) B (2 3) C (16) D (0 4)
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
G
F
E
A
C
B
D
J
I
H
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como pareja
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Trazamos correctamente el sistema de coordenadas identificando los ejes
2 Ubicamos los puntos en el cuadrante correcto
3 Unimos correctamente los puntos formando la figura geomeacutetrica
4 Identificamos la figura correctamente de acuerdo con el nuacutemero y posicioacutende los veacutertices
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia el desarrollo de lasolucioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 13
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas de preferencia alumno y alumna Realicen los siguientes ejerci-cios de manera colaborativa
1 Tracen las liacuteneas rectas siguientes una de ellas pasa por A (0 6) y B (6 0) la otra pasa por C (6 6) y D (0 0)comprueben que estas liacuteneas rectas se cruzan en el punto (3 3)
2 Dibujen en un sistema coordenado un triaacutengulo isoacutesceles (de cualquier medida) Luego indiquen las coorde-nadas de sus tres veacutertices tambieacuten marquen dos puntos que esteacuten dentro y dos puntos que esteacuten afuera deltriaacutengulo e indiquen sus coordenadas
3 Grafiquen en un mismo sistema de referencia cada uno de los siguientes grupos de coordenadas uacutenanlos yescriban el tipo de figura geomeacutetrica
a ) A(2 4) B (2 1) C (2 1) D (2 4)
b ) E (2 5) F (5 2) G (04)
c ) H (3 5) I (3 9) J (3 5)
d ) K (42) L(44) M (24) N (2 2)
e ) O (5 2) P (1 2) Q (1 4) R (5 4)
4 Resuelvan los siguientes problemas
a ) Mariacutea tiene una casa con una puerta al sur sale de ella ycamina 4 cuadras luego decide caminar 3 cuadras al estedespueacutes gira hacia el sur y avanza otras 5 cuadras final-mente da vuelta al norte y avanza 8 cuadras Si se coloca lacasa de Mariacutea en el origen de un sistema de coordenadasrectangulares y se sigue su trayectoria iquesten queacute punto seencontraraacute al final de su camino Elaboren una hipoacutetesis ycomprueacutebenla en un sistema de coordenadas
b ) El terreno de Feacutelix tiene coordenadas (5 2) (10 2) (5 10)y (10 10)
i Ubiquen el terreno en un sistema de coordenadas rec-
tangulares ii iquestQueacute forma tiene el terreno iii Calculen su aacuterea
Actividad 3
copy E l z b i e t a S e k o w s k a S h u t t e r s t o c k
copy G o D u n k 1 3 S h u t t e r s t o c k
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14 Matemaacuteticas III
c ) En la clase de Biologiacutea Pati realizoacute un experimento paraobservar el crecimiento de una colonia de bacilos Seregistraron los siguientes datos anotando el tiempo quetranscurrioacute y el nuacutemero de bacilos presentes en el ex-perimento
bull 200 bacilos en 6 minutosbull 300 bacilos en 12 minutosbull 500 bacilos en 18 minutosbull 1000 bacilos en 24 minutosbull 1800 bacilos en 30 minutos
Representen los pares de valores que Pati recaboacute en un sistema de coordenadas rectangulares en el que el ejehorizontal sea el tiempo y el eje vertical el nuacutemero de bacilos
copy
M a t e j K a s t e l i c S h u t t e r s t o c k
En geometriacutea analiacutetica pueden presentarse dos problemas fundamentales relacio-nados con los lugares geomeacutetricos
1 Dada una ecuacioacuten encuentra el lugar geomeacutetrico que la representa2 Dado un lugar geomeacutetrico encuentra la ecuacioacuten que lo representa
Con esto en mente podemos hablar de un meacutetodo general para resolver proble-mas de geometriacutea analiacutetica que consta de tres secciones bien de1047297nidas
1 Geomeacutetrica En esta expondraacutes todo lo que sabes respecto al lugar geomeacutetricoque se propone antes de iniciar con el anaacutelisis
2 Analiacutetica Aquiacute efectuaraacutes el anaacutelisis de las ecuaciones dadas para ello usaraacutesaacutelgebra y aritmeacutetica
3 Conclusioacuten Esta parte es importantiacutesima ya que aquiacute redactaraacutes lo que hayas
encontrado a lo largo de todo el proceso
Encontraraacutes problemas en los que es preciso efectuar primero la parte analiacutetica y
despueacutes la geomeacutetrica sin embargo habraacute otros en los que tanto la parte analiacuteticacomo la geomeacutetrica deberaacuten desarrollarse al mismo tiempo pero en cualquiera delos casos ambas estaacuten presentes
Cuando queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con una expresioacutenalgebraica sugerimos realizar los siguientes pasos
1 Haz una tabulacioacuten en donde se asignen valores a x
2 Calcula los valores de y sustituyendo en la ecuacioacuten original
Objeto de aprendizaje Lugares geomeacutetricos
Lugar geomeacutetrico Es un conjuntode puntos que cumplen una
propiedad geomeacutetrica en particular G L O
S A R I O
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 15
3 Calcula las intersecciones con los ejes
a) Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y
b) Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
4 Por uacuteltimo elabora la graacute1047297ca colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten
con los ejes
Ejemplos
1 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Si observas la ecuacioacuten te daraacutes cuenta de que es una ecuacioacuten lineal por lo que se representa como unarecta pero iquestcuaacuteles son las caracteriacutesticas de esta recta en particular Sigamos los pasos propuestos re-cuerda que para graficar una liacutenea recta son suficientes dos puntos
x 2 1
y 4 5
(x y ) (2 4) (1 5)
Para las intersecciones con los ejes
Con el eje Y x
0 y 3x 2
y 3(0) 2
y 0 2
y 2
La interseccioacuten con el eje Y es el punto (0 2)Con el eje X y 0
y 3x 2
0 3x 2
0 2 3x
23
x
x 23
La interseccioacuten con el eje X es el punto 23
0
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16 Matemaacuteticas III
bull Parte geomeacutetrica
Haciendo la graacutefica tenemos que el lugar geomeacutetrico y 3x 2 es
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
y 3 x 2
X
Y
bull Conclusioacuten
El lugar geomeacutetrico es una liacutenea recta que interseca al eje Y en y 2 y al eje X en x 23
Por otro lado si queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con un conjunto de pares ordenadoste sugerimos seguir los siguientes pasos
a ) Hacer una tabulacioacuten con los valores de x y y
b ) Calcular la relacioacuten que se presenta entre los datos
c ) Calcular las intersecciones con los ejes
i Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y ii Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
d ) Por uacuteltimo hacer la graacutefica colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten con los ejes
2 iquestQueacute ecuacioacuten representaraacute el lugar geomeacutetrico que contiene a las siguientes parejas ordenadas (5 25)(4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4) (3 9) (4 16) (5 25)
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero colocamos las parejas ordenadas en una tabla para visualizar la relacioacuten entre las abscisas y lasordenadas
x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
y iquest 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 17
Para encontrar la relacioacuten debemos preguntarnos iquestqueacute le hacemos a5 para que sea 25 iquesta4 para quesea 16 iquesta 3 para que sea 9 etceacutetera
Si pensamos un poco la respuesta es evidentehellip iexclClaro Lo elevamos al cuadrado o sea
25
(
5)
2
16
(
4)
2
9
(
3)
2
etceacutetera
Por tanto la relacioacuten es y x 2
Recordemos que las ecuaciones de este tipo por lo general representan una paraacutebola con veacutertice enel origen que es la uacutenica interseccioacuten con el eje X o Y para verificar lo anterior desarrollemos la partegeomeacutetrica
bull Parte geomeacutetrica
Si graficamos los puntos que tenemos y los
unimos con una curva suave entonces seforma la paraacutebola coacutencava hacia arriba consu veacutertice en el origen
5
10
15
20
25
55 X
Y
bull Conclusioacuten
Entonces tenemos que los puntos (5 25) (4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4)(3 9) (4 16) (5 25) representan el lugar geomeacutetrico denominado paraacutebola con veacutertice en el origen cuya
ecuacioacuten es y x 2
3 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y x 2 4
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero tabulemos la ecuacioacutenComo vimos las liacuteneas rectas soacutelo necesitan 2 puntos en la tabulacioacuten pero en este caso no hablamos
de una ecuacioacuten lineal asiacute que en todas las ecuaciones diferentes de las lineales se tendraacuten que tabular
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Utilizas
distintasformas dela ecuacioacutende una recta
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan realizar
un estudio de las propiedades geomeacutetricas de la recta y de sus
posibilidades analiacuteticas
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta
bull Transforma ecuaciones de una forma a otra
bull Utiliza distintas formas de la ecuacioacuten de la recta para solucionar
problemas yo ejercicios de la vida cotidiana
Bloque IV
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copy P h o t o r e d a k t o r D r e a m s t i m e
Objetos de aprendizaje
bull Ecuaciones de la recta
991252Pendiente y ordenada al origen
991252Punto-pendiente 991252Dos puntos
991252Simeacutetrica
bull Ecuacioacuten general y normal de la ecuacioacuten de la recta
bull Distancia de la recta a un punto
bull Distancia entre dos rectas paralelas
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas o graacute1047297cas
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exivacomprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis y disentildea y aplica modelos para probar
su validez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla
un proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten
con pasos especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras
personas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicas
del campo de matemaacuteticasbull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisis
de situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales medianteel lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea
de la informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental
o matemaacuteticamente las magnitudes del espacio
y de las propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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108
Responde correctamente las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es la distancia maacutes corta entre dos puntos
2 iquestCuaacuteles son las referencias miacutenimas para definir una recta en el plano
3 iquestCoacutemo se llama al punto de interseccioacuten de una recta con el eje Y
4 iquestCoacutemo se denomina a la interseccioacuten de la recta con el eje X
5 iquestEn queacute forma de la ecuacioacuten de la recta se puede identificar de inmediato su ldquoinclinacioacutenrdquo y la interseccioacuten de
esta con el eje Y
6 iquestCoacutemo se conoce a la forma de la ecuacioacuten de una recta que contiene como elementos su abscisa y su orde-nada al origen
7 iquestCoacutemo se escribe la expresioacuten para la forma general de la ecuacioacuten de la recta
8 iquestCuaacuteles son las referencias que necesitamos para emplear la forma normal de la ecuacioacuten de la recta
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 109
Para determinar una recta siempre se necesitan dos referencias como miacutenimo y
esto nos permite usar una forma de la ecuacioacuten de acuerdo con los datos que seproporcionan
1 La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos2 La forma punto-punto que requiere dos puntos pertenecientes a la recta
3 La forma simeacutetrica usa las intersecciones con los ejes
4 La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores
5 La forma normal emplea la distancia al origen y el aacutengulo de inclinacioacuten de la
recta que representa dicha distancia
Estudiaremos todas a lo largo del bloque
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendientey ordenada en el origeniquestCoacutemo se puede trazar la graacute1047297ca de una recta de manera raacutepida y sin la ayudade una tabulacioacuten Necesitamos dos referencias una de ellas puede ser un punto
ldquoespecialrdquo que obtenemos de la interseccioacuten con el eje Y al que se designa con laletra b por tanto sus coordenadas son (0 b) y se le llama ordenada en el origen
la otra referencia es m la pendiente iquestCoacutemo identi1047297carla en la ecuacioacuten de unarecta iexclEs muy faacutecil
A partir de la de1047297nicioacuten del punto al cual corresponde la ordenada en el origen
(0 b) y la pendiente de una recta (m) podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuacioacuten de la recta veamos
y = mx + b
expresioacuten que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquierpunto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y su-
mada a la interseccioacuten con el eje Y
Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta
9 iquestCuaacuteles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta
10 iquestCuaacuteles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas
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110 Matemaacuteticas III
Ejemplos
1 Grafica la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen
y mx b
y 3x 2
Entonces la ecuacioacuten tiene como ordenada en el origen b 2 estosignifica que en ese lugar la recta interseca al eje Y ademaacutes es faacutecilobservar que la pendiente es m 3 Graacuteficamente
Si deseas trazar la recta puedes graficarla pendiente a partir de la ordenada enel origen tal como vimos en el bloqueanterior
2 Grafica la ecuacioacuten y 3
2
x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Toma la ecuacioacuten y compaacuterala con la forma pendiente-ordenada en el origen
y 32
x 2
y mx b
A esta forma de la recta se le denomina forma comuacuten o pendiente-ordenada
en el origen y es muy uacutetil ya que mediante ella es posible identi1047297car de inmediatola pendiente y la ordenada en el origen
X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
b Ordenada en el origen
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
Portal de Conocimiento
DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
Student ResourcIn Conte
Portal de Conocimie
SOLUCIONES PARA LA INVESTIGACIOacuteN Y LA BIBLIOTECA
CIENCIAS E INGENIERIacuteA MULTIDISCIPLINAR
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TIPOS DE CONTENIDOPublicaciones acadeacutemicas revistas noticias podcasts
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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6 Matemaacuteticas III
Guiacutea de autoobservacioacuten
Un arreglo de dos rectas numeacutericas (una en posicioacuten horizontal y otra en posicioacuten vertical) unidas en sus ceros (origen) se denomina sistema de coordenadas rec-
tangulares o plano cartesiano en honor a Reneacute Descartes
La recta horizontal se llama eje X y la recta vertical eje Y Observa que el siste-ma de coordenadas divide al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
Negativos
Positivos
Cuadrante I ()
Cuadrante IV ()
Cuadrante II ()
Cuadrante III ()
Origen
Sistema de coordenadasrectangulares Es un arreglo de dosrectas numeacutericas una horizontal y laotra vertical que se unen en el cero(origen)
Eje X Es la recta horizontaldel sistema de coordenadasrectangulares
Eje Y Es la recta vertical del sistemade coordenadas rectangulares
Cuadrantes Son las cuatroregiones en las que se divide al planoen el sistema de coordenadas
G L O S A R I O
Coordenada (2 3)
Objeto de aprendizaje Sistema de coordenadasrectangulares
Y
X
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Empleamos las TIC para presentar nuestra informacioacuten
2 Empleamos fuentes de informacioacuten confiable y relevante tanto en formaelectroacutenica como impresa
3 Elaboramos una liacutenea de tiempo que destaca precursores antildeo y aportaciones
4 Manejamos de manera fluida la informacioacuten que expusimos al grupo
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia la realimentacioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 7
El primer cuadrante tiene la parte positiva del eje X y del eje Y el segundo
cuadrante tiene la parte negativa del eje X y la parte positiva del eje Y el tercer cua-drante tiene la parte negativa del eje X y del eje Y y el cuarto cuadrante tiene la partepositiva del eje X y la parte negativa del eje Y
Pareja ordenada Es una parejade nuacutemeros ( x y ) escritos en unorden particular
Para iniciar el tema analicemos el siguiente ejemplo Mariacutea tiene blusas de color
blanco y rosa y faldas de color cafeacute azul y negro Quiere saber cuaacutentos posiblesatuendos puede tener Aquiacute estaacute la lista que obtuvo
bull Blusa blanca con falda cafeacutebull Blusa blanca con falda azulbull Blusa blanca con falda negrabull Blusa rosa con falda cafeacutebull Blusa rosa con falda azulbull Blusa rosa con falda negra
Ademaacutes tiene la idea de darle un nuacutemero a
cada blusa y a cada falda para que sea maacutes faacutecilescoger el atuendo
bull Blusas
1 blanca
2 rosa
bull Faldas
1 cafeacute
2 azul
3 negra
Haciendo la ldquotraduccioacutenrdquo obtuvo la siguiente lista
1 1
1 21 3
2 12 2
2 3
En donde el primer nuacutemero pertenece a la blusa y el segundo a la falda Observaque no tendriacutea ninguacuten signi1047297cado pedir (3 2) ya que no hay ninguna blusa 3 En-
tonces el orden en estas parejas es importante lo mismo sucederaacute con las parejasde nuacutemeros que veremos a continuacioacuten
Las parejas ordenadas tienen dos elementos uno de ellos ocupa el primer lugary otro el segundo y si se cambian de lugar el sentido variacutea Se representan encerran-
do sus elementos entre pareacutentesis Por ejemplo (3 4) (6 8) (9 1) (4 3) etceacutetera
Objeto de aprendizaje Parejas ordenadas
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8 Matemaacuteticas III
Actividad 1
Igualdad de parejasObserva que si cambias los nuacutemeros de lugar no quieren decir lo mismo es decir3 y 4 es una pareja ordenada pero 4 y 3 hace referencia a un arreglo distinto En
general las parejas ordenadas cumplen que
(a b) (b a)y
(a b) (b a) si y solo si a b
Esto quiere decir que para considerar iguales a dos parejas estas deben tenerlos mismos elementos en el mismo orden Por ejemplo (5 5)
Organiacutezate con tus compantildeeros formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnos yresuelvan los siguientes ejercicios con una actitud de respeto y tolerancia Al final reflexionen con los integrantesde otro equipo sus procedimientos y resultados
1 La fonda de Chonita tiene tortas de jamoacuten y tacos de pollo para comer y agua de jamaica refresco y jugo parabeber Formen todos los posibles menuacutes que Chonita puede tener
2 La floreriacutea ldquoMil hojasrdquo tiene rosas tulipanes y orquiacutedeas como flores y helecho y dracaena como follaje Cons-truyan los posibles arreglos que puede hacer de un tipo de flor con un tipo de follaje
3 En la fiesta de Luis su mamaacute quiere servir algunas ensaladas que contengan un tipo de fruta y un tipo desemilla Cuenta con frutas como naranjas uvas papayas y mangos en cuanto a las semillas tiene nuecesalmendras avellanas y pistaches Describan las ensaladas que puede haber en la fiesta de Luis
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 9
Ejemplo
Una forma de encontrar todas las posibles parejas ordenadas de nuacutemeros entre dos
conjuntos es por medio del producto cartesiano que se representa como A B Producto cartesiano Es lacoleccioacuten de todas las relaciones(combinaciones) de los elementosde A con los elementos de B
Desarrolla el producto cartesiano A B y B A dados A 1 2 3 y B 1 2 3 4
Solucioacuten
A B
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
Ahora
B A
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
(4 1) (4 2) (4 3) (4 4)
Observa que las parejas (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3) (3 1) (3 2) y (3 3) son iguales en ambos pro-ductos
El producto cartesiano de dos conjuntos de nuacutemeros es un nuevo conjunto de pa-
rejas ordenadas en el que todas estas son distintas El primer elemento correspondeal conjunto A y el segundo elemento corresponde al conjunto B
Observa que si el conjunto A tiene tres elementos y el conjunto B tiene cuatroentonces el conjunto A B tiene 3 4 12 elementos (parejas ordenadas) de
ahiacute la razoacuten de llamarlo producto (multiplicacioacuten) y se le llama cartesiano porque sepuede representar graacute1047297camente en un plano cartesiano como el siguiente
Una aplicacioacuten de las parejas ordenadas es la localizacioacuten de puntos en el sistema
de coordenadas rectangulares
1 2 3 A
(1 4)
(1 3)
(1 2)
(1 1)
(2 4)
(2 3)
(2 2)
(2 1)
(3 4)
(3 3)
(3 2)
(3 1)
B
4
3
2
1
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10 Matemaacuteticas III
Actividad 2
Organiacutezate con tus compantildeeros y reuacutenanse en parejas conformadas por una alumna y un alumno realicen demanera colaborativa los siguientes ejercicios Recuerden mantener siempre una actitud de respeto y responsa-bilidad Compartan en plenaria sus procedimientos y resultados Al final califiquen su desempentildeo con la guiacutea deautoobservacioacuten
1 Respondan las siguientes preguntas respecto a las caracteriacutesticas del sistema de coordenadas
a ) iquestCuaacutentas rectas numeacutericas conforman el sistema de coordenadas rectangulares
b ) iquestCuaacutel es la posicioacuten de cada una de estas rectas
Traza un cuadrado y un triaacutengulo en el siguiente sistema de coordenadas rectangulares luego descriacutebelos indican-do las coordenadas (x y ) que representan a sus veacutertices
Solucioacuten
Cada uno de los puntos que se acaban de localizar tiene dos elementos o referenciasuna estaacute sobre el eje X denominada abscisa y la otra sobre el eje Y denominadaordenada Por tanto las parejas ordenadas tienen la siguiente forma
(abscisa ordenada)
La abscisa siempre se localiza sobre el eje X (tambieacuten se le llama eje de las abscisas)y la ordenada sobre el eje Y (conocido como eje de las ordenadas)
Las coordenadas del cuadro son
(3 3) (3 3) (3 3) y (3 3)
Las coordenadas del triaacutengulo son
(0 4) (0 6) y (4 4)
Ejemplo
Abscisa Es la coordenada x de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
Ordenada Es la coordenada y de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
G L O S A R I O
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 11
c ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta horizontal
d ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta vertical
e ) iquestCoacutemo se llama al punto donde se cruzan los ejes
f ) iquestCoacutemo se llaman las regiones en las que se divide al plano y cuaacutentas son
g ) iquestCuaacuteles son los signos de cada cuadrante
2 Dados los siguientes conjuntos calculen los productos cartesianos y represeacutentenlos en un plano Ademaacutesrodeen las parejas ordenadas iguales
A a b c d B 1 3 5 C 2 4 6 8 D x y z
a ) A B f ) B D
b ) C D g ) B A
c ) A C h ) D C
d ) C B i ) B C
e ) D A j ) A D
3 Localicen en un mismo sistema de coordenadas rectangulares los siguientes puntos e identifiquen a queacute cua-drante pertenecen
a ) A (4 2) h ) H (8 3)
b ) B (3 5) i ) I 64
125
c ) C 12
14
j ) J (6 2)
d ) D (2 7) k ) K 83
3
e ) E (7 3) l ) L(0 0)
f ) F
2
3
4
5 m ) M (
1
2)
g ) G (24) n ) N ( 5 8)
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12 Matemaacuteticas III
4 Escriban las coordenadas de los puntos que se muestran en el siguiente plano cartesiano
a ) A ( ) f ) F ( )
b ) B ( ) g ) G ( )
c ) C ( ) h ) H ( )
d ) D ( ) i ) I ( )
e ) E ( ) j ) J ( )
5 Representen en un sistema de coordenadas rectangula-res los poliacutegonos con los siguientes veacutertices e incluacuteyan-los en su portafolio de evidencias
a ) A (3 4) B (2 1) C (51)
b ) A (9 3) B (5 1) C (4 0)
c ) A (4 2) B (2 3) C (16) D (0 4)
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
G
F
E
A
C
B
D
J
I
H
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como pareja
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Trazamos correctamente el sistema de coordenadas identificando los ejes
2 Ubicamos los puntos en el cuadrante correcto
3 Unimos correctamente los puntos formando la figura geomeacutetrica
4 Identificamos la figura correctamente de acuerdo con el nuacutemero y posicioacutende los veacutertices
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia el desarrollo de lasolucioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 13
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas de preferencia alumno y alumna Realicen los siguientes ejerci-cios de manera colaborativa
1 Tracen las liacuteneas rectas siguientes una de ellas pasa por A (0 6) y B (6 0) la otra pasa por C (6 6) y D (0 0)comprueben que estas liacuteneas rectas se cruzan en el punto (3 3)
2 Dibujen en un sistema coordenado un triaacutengulo isoacutesceles (de cualquier medida) Luego indiquen las coorde-nadas de sus tres veacutertices tambieacuten marquen dos puntos que esteacuten dentro y dos puntos que esteacuten afuera deltriaacutengulo e indiquen sus coordenadas
3 Grafiquen en un mismo sistema de referencia cada uno de los siguientes grupos de coordenadas uacutenanlos yescriban el tipo de figura geomeacutetrica
a ) A(2 4) B (2 1) C (2 1) D (2 4)
b ) E (2 5) F (5 2) G (04)
c ) H (3 5) I (3 9) J (3 5)
d ) K (42) L(44) M (24) N (2 2)
e ) O (5 2) P (1 2) Q (1 4) R (5 4)
4 Resuelvan los siguientes problemas
a ) Mariacutea tiene una casa con una puerta al sur sale de ella ycamina 4 cuadras luego decide caminar 3 cuadras al estedespueacutes gira hacia el sur y avanza otras 5 cuadras final-mente da vuelta al norte y avanza 8 cuadras Si se coloca lacasa de Mariacutea en el origen de un sistema de coordenadasrectangulares y se sigue su trayectoria iquesten queacute punto seencontraraacute al final de su camino Elaboren una hipoacutetesis ycomprueacutebenla en un sistema de coordenadas
b ) El terreno de Feacutelix tiene coordenadas (5 2) (10 2) (5 10)y (10 10)
i Ubiquen el terreno en un sistema de coordenadas rec-
tangulares ii iquestQueacute forma tiene el terreno iii Calculen su aacuterea
Actividad 3
copy E l z b i e t a S e k o w s k a S h u t t e r s t o c k
copy G o D u n k 1 3 S h u t t e r s t o c k
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14 Matemaacuteticas III
c ) En la clase de Biologiacutea Pati realizoacute un experimento paraobservar el crecimiento de una colonia de bacilos Seregistraron los siguientes datos anotando el tiempo quetranscurrioacute y el nuacutemero de bacilos presentes en el ex-perimento
bull 200 bacilos en 6 minutosbull 300 bacilos en 12 minutosbull 500 bacilos en 18 minutosbull 1000 bacilos en 24 minutosbull 1800 bacilos en 30 minutos
Representen los pares de valores que Pati recaboacute en un sistema de coordenadas rectangulares en el que el ejehorizontal sea el tiempo y el eje vertical el nuacutemero de bacilos
copy
M a t e j K a s t e l i c S h u t t e r s t o c k
En geometriacutea analiacutetica pueden presentarse dos problemas fundamentales relacio-nados con los lugares geomeacutetricos
1 Dada una ecuacioacuten encuentra el lugar geomeacutetrico que la representa2 Dado un lugar geomeacutetrico encuentra la ecuacioacuten que lo representa
Con esto en mente podemos hablar de un meacutetodo general para resolver proble-mas de geometriacutea analiacutetica que consta de tres secciones bien de1047297nidas
1 Geomeacutetrica En esta expondraacutes todo lo que sabes respecto al lugar geomeacutetricoque se propone antes de iniciar con el anaacutelisis
2 Analiacutetica Aquiacute efectuaraacutes el anaacutelisis de las ecuaciones dadas para ello usaraacutesaacutelgebra y aritmeacutetica
3 Conclusioacuten Esta parte es importantiacutesima ya que aquiacute redactaraacutes lo que hayas
encontrado a lo largo de todo el proceso
Encontraraacutes problemas en los que es preciso efectuar primero la parte analiacutetica y
despueacutes la geomeacutetrica sin embargo habraacute otros en los que tanto la parte analiacuteticacomo la geomeacutetrica deberaacuten desarrollarse al mismo tiempo pero en cualquiera delos casos ambas estaacuten presentes
Cuando queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con una expresioacutenalgebraica sugerimos realizar los siguientes pasos
1 Haz una tabulacioacuten en donde se asignen valores a x
2 Calcula los valores de y sustituyendo en la ecuacioacuten original
Objeto de aprendizaje Lugares geomeacutetricos
Lugar geomeacutetrico Es un conjuntode puntos que cumplen una
propiedad geomeacutetrica en particular G L O
S A R I O
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 15
3 Calcula las intersecciones con los ejes
a) Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y
b) Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
4 Por uacuteltimo elabora la graacute1047297ca colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten
con los ejes
Ejemplos
1 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Si observas la ecuacioacuten te daraacutes cuenta de que es una ecuacioacuten lineal por lo que se representa como unarecta pero iquestcuaacuteles son las caracteriacutesticas de esta recta en particular Sigamos los pasos propuestos re-cuerda que para graficar una liacutenea recta son suficientes dos puntos
x 2 1
y 4 5
(x y ) (2 4) (1 5)
Para las intersecciones con los ejes
Con el eje Y x
0 y 3x 2
y 3(0) 2
y 0 2
y 2
La interseccioacuten con el eje Y es el punto (0 2)Con el eje X y 0
y 3x 2
0 3x 2
0 2 3x
23
x
x 23
La interseccioacuten con el eje X es el punto 23
0
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16 Matemaacuteticas III
bull Parte geomeacutetrica
Haciendo la graacutefica tenemos que el lugar geomeacutetrico y 3x 2 es
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
y 3 x 2
X
Y
bull Conclusioacuten
El lugar geomeacutetrico es una liacutenea recta que interseca al eje Y en y 2 y al eje X en x 23
Por otro lado si queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con un conjunto de pares ordenadoste sugerimos seguir los siguientes pasos
a ) Hacer una tabulacioacuten con los valores de x y y
b ) Calcular la relacioacuten que se presenta entre los datos
c ) Calcular las intersecciones con los ejes
i Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y ii Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
d ) Por uacuteltimo hacer la graacutefica colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten con los ejes
2 iquestQueacute ecuacioacuten representaraacute el lugar geomeacutetrico que contiene a las siguientes parejas ordenadas (5 25)(4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4) (3 9) (4 16) (5 25)
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero colocamos las parejas ordenadas en una tabla para visualizar la relacioacuten entre las abscisas y lasordenadas
x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
y iquest 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 17
Para encontrar la relacioacuten debemos preguntarnos iquestqueacute le hacemos a5 para que sea 25 iquesta4 para quesea 16 iquesta 3 para que sea 9 etceacutetera
Si pensamos un poco la respuesta es evidentehellip iexclClaro Lo elevamos al cuadrado o sea
25
(
5)
2
16
(
4)
2
9
(
3)
2
etceacutetera
Por tanto la relacioacuten es y x 2
Recordemos que las ecuaciones de este tipo por lo general representan una paraacutebola con veacutertice enel origen que es la uacutenica interseccioacuten con el eje X o Y para verificar lo anterior desarrollemos la partegeomeacutetrica
bull Parte geomeacutetrica
Si graficamos los puntos que tenemos y los
unimos con una curva suave entonces seforma la paraacutebola coacutencava hacia arriba consu veacutertice en el origen
5
10
15
20
25
55 X
Y
bull Conclusioacuten
Entonces tenemos que los puntos (5 25) (4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4)(3 9) (4 16) (5 25) representan el lugar geomeacutetrico denominado paraacutebola con veacutertice en el origen cuya
ecuacioacuten es y x 2
3 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y x 2 4
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero tabulemos la ecuacioacutenComo vimos las liacuteneas rectas soacutelo necesitan 2 puntos en la tabulacioacuten pero en este caso no hablamos
de una ecuacioacuten lineal asiacute que en todas las ecuaciones diferentes de las lineales se tendraacuten que tabular
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Utilizas
distintasformas dela ecuacioacutende una recta
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan realizar
un estudio de las propiedades geomeacutetricas de la recta y de sus
posibilidades analiacuteticas
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta
bull Transforma ecuaciones de una forma a otra
bull Utiliza distintas formas de la ecuacioacuten de la recta para solucionar
problemas yo ejercicios de la vida cotidiana
Bloque IV
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copy P h o t o r e d a k t o r D r e a m s t i m e
Objetos de aprendizaje
bull Ecuaciones de la recta
991252Pendiente y ordenada al origen
991252Punto-pendiente 991252Dos puntos
991252Simeacutetrica
bull Ecuacioacuten general y normal de la ecuacioacuten de la recta
bull Distancia de la recta a un punto
bull Distancia entre dos rectas paralelas
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas o graacute1047297cas
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exivacomprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis y disentildea y aplica modelos para probar
su validez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla
un proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten
con pasos especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras
personas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicas
del campo de matemaacuteticasbull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisis
de situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales medianteel lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea
de la informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental
o matemaacuteticamente las magnitudes del espacio
y de las propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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108
Responde correctamente las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es la distancia maacutes corta entre dos puntos
2 iquestCuaacuteles son las referencias miacutenimas para definir una recta en el plano
3 iquestCoacutemo se llama al punto de interseccioacuten de una recta con el eje Y
4 iquestCoacutemo se denomina a la interseccioacuten de la recta con el eje X
5 iquestEn queacute forma de la ecuacioacuten de la recta se puede identificar de inmediato su ldquoinclinacioacutenrdquo y la interseccioacuten de
esta con el eje Y
6 iquestCoacutemo se conoce a la forma de la ecuacioacuten de una recta que contiene como elementos su abscisa y su orde-nada al origen
7 iquestCoacutemo se escribe la expresioacuten para la forma general de la ecuacioacuten de la recta
8 iquestCuaacuteles son las referencias que necesitamos para emplear la forma normal de la ecuacioacuten de la recta
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 109
Para determinar una recta siempre se necesitan dos referencias como miacutenimo y
esto nos permite usar una forma de la ecuacioacuten de acuerdo con los datos que seproporcionan
1 La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos2 La forma punto-punto que requiere dos puntos pertenecientes a la recta
3 La forma simeacutetrica usa las intersecciones con los ejes
4 La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores
5 La forma normal emplea la distancia al origen y el aacutengulo de inclinacioacuten de la
recta que representa dicha distancia
Estudiaremos todas a lo largo del bloque
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendientey ordenada en el origeniquestCoacutemo se puede trazar la graacute1047297ca de una recta de manera raacutepida y sin la ayudade una tabulacioacuten Necesitamos dos referencias una de ellas puede ser un punto
ldquoespecialrdquo que obtenemos de la interseccioacuten con el eje Y al que se designa con laletra b por tanto sus coordenadas son (0 b) y se le llama ordenada en el origen
la otra referencia es m la pendiente iquestCoacutemo identi1047297carla en la ecuacioacuten de unarecta iexclEs muy faacutecil
A partir de la de1047297nicioacuten del punto al cual corresponde la ordenada en el origen
(0 b) y la pendiente de una recta (m) podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuacioacuten de la recta veamos
y = mx + b
expresioacuten que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquierpunto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y su-
mada a la interseccioacuten con el eje Y
Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta
9 iquestCuaacuteles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta
10 iquestCuaacuteles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas
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110 Matemaacuteticas III
Ejemplos
1 Grafica la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen
y mx b
y 3x 2
Entonces la ecuacioacuten tiene como ordenada en el origen b 2 estosignifica que en ese lugar la recta interseca al eje Y ademaacutes es faacutecilobservar que la pendiente es m 3 Graacuteficamente
Si deseas trazar la recta puedes graficarla pendiente a partir de la ordenada enel origen tal como vimos en el bloqueanterior
2 Grafica la ecuacioacuten y 3
2
x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Toma la ecuacioacuten y compaacuterala con la forma pendiente-ordenada en el origen
y 32
x 2
y mx b
A esta forma de la recta se le denomina forma comuacuten o pendiente-ordenada
en el origen y es muy uacutetil ya que mediante ella es posible identi1047297car de inmediatola pendiente y la ordenada en el origen
X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
b Ordenada en el origen
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
Portal de Conocimiento
DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
Student ResourcIn Conte
Portal de Conocimie
SOLUCIONES PARA LA INVESTIGACIOacuteN Y LA BIBLIOTECA
CIENCIAS E INGENIERIacuteA MULTIDISCIPLINAR
Accesa con esta direccioacuten a tus soluciones de investigacioacuten
httpwwwcengagecommxportaldelconocimiento
TIPOS DE CONTENIDOPublicaciones acadeacutemicas revistas noticias podcasts
imaacutegenes videos y ligas a sitios web
wwwcengagecom
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 7
El primer cuadrante tiene la parte positiva del eje X y del eje Y el segundo
cuadrante tiene la parte negativa del eje X y la parte positiva del eje Y el tercer cua-drante tiene la parte negativa del eje X y del eje Y y el cuarto cuadrante tiene la partepositiva del eje X y la parte negativa del eje Y
Pareja ordenada Es una parejade nuacutemeros ( x y ) escritos en unorden particular
Para iniciar el tema analicemos el siguiente ejemplo Mariacutea tiene blusas de color
blanco y rosa y faldas de color cafeacute azul y negro Quiere saber cuaacutentos posiblesatuendos puede tener Aquiacute estaacute la lista que obtuvo
bull Blusa blanca con falda cafeacutebull Blusa blanca con falda azulbull Blusa blanca con falda negrabull Blusa rosa con falda cafeacutebull Blusa rosa con falda azulbull Blusa rosa con falda negra
Ademaacutes tiene la idea de darle un nuacutemero a
cada blusa y a cada falda para que sea maacutes faacutecilescoger el atuendo
bull Blusas
1 blanca
2 rosa
bull Faldas
1 cafeacute
2 azul
3 negra
Haciendo la ldquotraduccioacutenrdquo obtuvo la siguiente lista
1 1
1 21 3
2 12 2
2 3
En donde el primer nuacutemero pertenece a la blusa y el segundo a la falda Observaque no tendriacutea ninguacuten signi1047297cado pedir (3 2) ya que no hay ninguna blusa 3 En-
tonces el orden en estas parejas es importante lo mismo sucederaacute con las parejasde nuacutemeros que veremos a continuacioacuten
Las parejas ordenadas tienen dos elementos uno de ellos ocupa el primer lugary otro el segundo y si se cambian de lugar el sentido variacutea Se representan encerran-
do sus elementos entre pareacutentesis Por ejemplo (3 4) (6 8) (9 1) (4 3) etceacutetera
Objeto de aprendizaje Parejas ordenadas
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8 Matemaacuteticas III
Actividad 1
Igualdad de parejasObserva que si cambias los nuacutemeros de lugar no quieren decir lo mismo es decir3 y 4 es una pareja ordenada pero 4 y 3 hace referencia a un arreglo distinto En
general las parejas ordenadas cumplen que
(a b) (b a)y
(a b) (b a) si y solo si a b
Esto quiere decir que para considerar iguales a dos parejas estas deben tenerlos mismos elementos en el mismo orden Por ejemplo (5 5)
Organiacutezate con tus compantildeeros formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnos yresuelvan los siguientes ejercicios con una actitud de respeto y tolerancia Al final reflexionen con los integrantesde otro equipo sus procedimientos y resultados
1 La fonda de Chonita tiene tortas de jamoacuten y tacos de pollo para comer y agua de jamaica refresco y jugo parabeber Formen todos los posibles menuacutes que Chonita puede tener
2 La floreriacutea ldquoMil hojasrdquo tiene rosas tulipanes y orquiacutedeas como flores y helecho y dracaena como follaje Cons-truyan los posibles arreglos que puede hacer de un tipo de flor con un tipo de follaje
3 En la fiesta de Luis su mamaacute quiere servir algunas ensaladas que contengan un tipo de fruta y un tipo desemilla Cuenta con frutas como naranjas uvas papayas y mangos en cuanto a las semillas tiene nuecesalmendras avellanas y pistaches Describan las ensaladas que puede haber en la fiesta de Luis
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 9
Ejemplo
Una forma de encontrar todas las posibles parejas ordenadas de nuacutemeros entre dos
conjuntos es por medio del producto cartesiano que se representa como A B Producto cartesiano Es lacoleccioacuten de todas las relaciones(combinaciones) de los elementosde A con los elementos de B
Desarrolla el producto cartesiano A B y B A dados A 1 2 3 y B 1 2 3 4
Solucioacuten
A B
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
Ahora
B A
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
(4 1) (4 2) (4 3) (4 4)
Observa que las parejas (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3) (3 1) (3 2) y (3 3) son iguales en ambos pro-ductos
El producto cartesiano de dos conjuntos de nuacutemeros es un nuevo conjunto de pa-
rejas ordenadas en el que todas estas son distintas El primer elemento correspondeal conjunto A y el segundo elemento corresponde al conjunto B
Observa que si el conjunto A tiene tres elementos y el conjunto B tiene cuatroentonces el conjunto A B tiene 3 4 12 elementos (parejas ordenadas) de
ahiacute la razoacuten de llamarlo producto (multiplicacioacuten) y se le llama cartesiano porque sepuede representar graacute1047297camente en un plano cartesiano como el siguiente
Una aplicacioacuten de las parejas ordenadas es la localizacioacuten de puntos en el sistema
de coordenadas rectangulares
1 2 3 A
(1 4)
(1 3)
(1 2)
(1 1)
(2 4)
(2 3)
(2 2)
(2 1)
(3 4)
(3 3)
(3 2)
(3 1)
B
4
3
2
1
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10 Matemaacuteticas III
Actividad 2
Organiacutezate con tus compantildeeros y reuacutenanse en parejas conformadas por una alumna y un alumno realicen demanera colaborativa los siguientes ejercicios Recuerden mantener siempre una actitud de respeto y responsa-bilidad Compartan en plenaria sus procedimientos y resultados Al final califiquen su desempentildeo con la guiacutea deautoobservacioacuten
1 Respondan las siguientes preguntas respecto a las caracteriacutesticas del sistema de coordenadas
a ) iquestCuaacutentas rectas numeacutericas conforman el sistema de coordenadas rectangulares
b ) iquestCuaacutel es la posicioacuten de cada una de estas rectas
Traza un cuadrado y un triaacutengulo en el siguiente sistema de coordenadas rectangulares luego descriacutebelos indican-do las coordenadas (x y ) que representan a sus veacutertices
Solucioacuten
Cada uno de los puntos que se acaban de localizar tiene dos elementos o referenciasuna estaacute sobre el eje X denominada abscisa y la otra sobre el eje Y denominadaordenada Por tanto las parejas ordenadas tienen la siguiente forma
(abscisa ordenada)
La abscisa siempre se localiza sobre el eje X (tambieacuten se le llama eje de las abscisas)y la ordenada sobre el eje Y (conocido como eje de las ordenadas)
Las coordenadas del cuadro son
(3 3) (3 3) (3 3) y (3 3)
Las coordenadas del triaacutengulo son
(0 4) (0 6) y (4 4)
Ejemplo
Abscisa Es la coordenada x de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
Ordenada Es la coordenada y de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
G L O S A R I O
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 11
c ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta horizontal
d ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta vertical
e ) iquestCoacutemo se llama al punto donde se cruzan los ejes
f ) iquestCoacutemo se llaman las regiones en las que se divide al plano y cuaacutentas son
g ) iquestCuaacuteles son los signos de cada cuadrante
2 Dados los siguientes conjuntos calculen los productos cartesianos y represeacutentenlos en un plano Ademaacutesrodeen las parejas ordenadas iguales
A a b c d B 1 3 5 C 2 4 6 8 D x y z
a ) A B f ) B D
b ) C D g ) B A
c ) A C h ) D C
d ) C B i ) B C
e ) D A j ) A D
3 Localicen en un mismo sistema de coordenadas rectangulares los siguientes puntos e identifiquen a queacute cua-drante pertenecen
a ) A (4 2) h ) H (8 3)
b ) B (3 5) i ) I 64
125
c ) C 12
14
j ) J (6 2)
d ) D (2 7) k ) K 83
3
e ) E (7 3) l ) L(0 0)
f ) F
2
3
4
5 m ) M (
1
2)
g ) G (24) n ) N ( 5 8)
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12 Matemaacuteticas III
4 Escriban las coordenadas de los puntos que se muestran en el siguiente plano cartesiano
a ) A ( ) f ) F ( )
b ) B ( ) g ) G ( )
c ) C ( ) h ) H ( )
d ) D ( ) i ) I ( )
e ) E ( ) j ) J ( )
5 Representen en un sistema de coordenadas rectangula-res los poliacutegonos con los siguientes veacutertices e incluacuteyan-los en su portafolio de evidencias
a ) A (3 4) B (2 1) C (51)
b ) A (9 3) B (5 1) C (4 0)
c ) A (4 2) B (2 3) C (16) D (0 4)
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
G
F
E
A
C
B
D
J
I
H
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como pareja
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Trazamos correctamente el sistema de coordenadas identificando los ejes
2 Ubicamos los puntos en el cuadrante correcto
3 Unimos correctamente los puntos formando la figura geomeacutetrica
4 Identificamos la figura correctamente de acuerdo con el nuacutemero y posicioacutende los veacutertices
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia el desarrollo de lasolucioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 13
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas de preferencia alumno y alumna Realicen los siguientes ejerci-cios de manera colaborativa
1 Tracen las liacuteneas rectas siguientes una de ellas pasa por A (0 6) y B (6 0) la otra pasa por C (6 6) y D (0 0)comprueben que estas liacuteneas rectas se cruzan en el punto (3 3)
2 Dibujen en un sistema coordenado un triaacutengulo isoacutesceles (de cualquier medida) Luego indiquen las coorde-nadas de sus tres veacutertices tambieacuten marquen dos puntos que esteacuten dentro y dos puntos que esteacuten afuera deltriaacutengulo e indiquen sus coordenadas
3 Grafiquen en un mismo sistema de referencia cada uno de los siguientes grupos de coordenadas uacutenanlos yescriban el tipo de figura geomeacutetrica
a ) A(2 4) B (2 1) C (2 1) D (2 4)
b ) E (2 5) F (5 2) G (04)
c ) H (3 5) I (3 9) J (3 5)
d ) K (42) L(44) M (24) N (2 2)
e ) O (5 2) P (1 2) Q (1 4) R (5 4)
4 Resuelvan los siguientes problemas
a ) Mariacutea tiene una casa con una puerta al sur sale de ella ycamina 4 cuadras luego decide caminar 3 cuadras al estedespueacutes gira hacia el sur y avanza otras 5 cuadras final-mente da vuelta al norte y avanza 8 cuadras Si se coloca lacasa de Mariacutea en el origen de un sistema de coordenadasrectangulares y se sigue su trayectoria iquesten queacute punto seencontraraacute al final de su camino Elaboren una hipoacutetesis ycomprueacutebenla en un sistema de coordenadas
b ) El terreno de Feacutelix tiene coordenadas (5 2) (10 2) (5 10)y (10 10)
i Ubiquen el terreno en un sistema de coordenadas rec-
tangulares ii iquestQueacute forma tiene el terreno iii Calculen su aacuterea
Actividad 3
copy E l z b i e t a S e k o w s k a S h u t t e r s t o c k
copy G o D u n k 1 3 S h u t t e r s t o c k
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14 Matemaacuteticas III
c ) En la clase de Biologiacutea Pati realizoacute un experimento paraobservar el crecimiento de una colonia de bacilos Seregistraron los siguientes datos anotando el tiempo quetranscurrioacute y el nuacutemero de bacilos presentes en el ex-perimento
bull 200 bacilos en 6 minutosbull 300 bacilos en 12 minutosbull 500 bacilos en 18 minutosbull 1000 bacilos en 24 minutosbull 1800 bacilos en 30 minutos
Representen los pares de valores que Pati recaboacute en un sistema de coordenadas rectangulares en el que el ejehorizontal sea el tiempo y el eje vertical el nuacutemero de bacilos
copy
M a t e j K a s t e l i c S h u t t e r s t o c k
En geometriacutea analiacutetica pueden presentarse dos problemas fundamentales relacio-nados con los lugares geomeacutetricos
1 Dada una ecuacioacuten encuentra el lugar geomeacutetrico que la representa2 Dado un lugar geomeacutetrico encuentra la ecuacioacuten que lo representa
Con esto en mente podemos hablar de un meacutetodo general para resolver proble-mas de geometriacutea analiacutetica que consta de tres secciones bien de1047297nidas
1 Geomeacutetrica En esta expondraacutes todo lo que sabes respecto al lugar geomeacutetricoque se propone antes de iniciar con el anaacutelisis
2 Analiacutetica Aquiacute efectuaraacutes el anaacutelisis de las ecuaciones dadas para ello usaraacutesaacutelgebra y aritmeacutetica
3 Conclusioacuten Esta parte es importantiacutesima ya que aquiacute redactaraacutes lo que hayas
encontrado a lo largo de todo el proceso
Encontraraacutes problemas en los que es preciso efectuar primero la parte analiacutetica y
despueacutes la geomeacutetrica sin embargo habraacute otros en los que tanto la parte analiacuteticacomo la geomeacutetrica deberaacuten desarrollarse al mismo tiempo pero en cualquiera delos casos ambas estaacuten presentes
Cuando queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con una expresioacutenalgebraica sugerimos realizar los siguientes pasos
1 Haz una tabulacioacuten en donde se asignen valores a x
2 Calcula los valores de y sustituyendo en la ecuacioacuten original
Objeto de aprendizaje Lugares geomeacutetricos
Lugar geomeacutetrico Es un conjuntode puntos que cumplen una
propiedad geomeacutetrica en particular G L O
S A R I O
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 15
3 Calcula las intersecciones con los ejes
a) Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y
b) Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
4 Por uacuteltimo elabora la graacute1047297ca colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten
con los ejes
Ejemplos
1 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Si observas la ecuacioacuten te daraacutes cuenta de que es una ecuacioacuten lineal por lo que se representa como unarecta pero iquestcuaacuteles son las caracteriacutesticas de esta recta en particular Sigamos los pasos propuestos re-cuerda que para graficar una liacutenea recta son suficientes dos puntos
x 2 1
y 4 5
(x y ) (2 4) (1 5)
Para las intersecciones con los ejes
Con el eje Y x
0 y 3x 2
y 3(0) 2
y 0 2
y 2
La interseccioacuten con el eje Y es el punto (0 2)Con el eje X y 0
y 3x 2
0 3x 2
0 2 3x
23
x
x 23
La interseccioacuten con el eje X es el punto 23
0
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16 Matemaacuteticas III
bull Parte geomeacutetrica
Haciendo la graacutefica tenemos que el lugar geomeacutetrico y 3x 2 es
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
y 3 x 2
X
Y
bull Conclusioacuten
El lugar geomeacutetrico es una liacutenea recta que interseca al eje Y en y 2 y al eje X en x 23
Por otro lado si queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con un conjunto de pares ordenadoste sugerimos seguir los siguientes pasos
a ) Hacer una tabulacioacuten con los valores de x y y
b ) Calcular la relacioacuten que se presenta entre los datos
c ) Calcular las intersecciones con los ejes
i Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y ii Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
d ) Por uacuteltimo hacer la graacutefica colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten con los ejes
2 iquestQueacute ecuacioacuten representaraacute el lugar geomeacutetrico que contiene a las siguientes parejas ordenadas (5 25)(4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4) (3 9) (4 16) (5 25)
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero colocamos las parejas ordenadas en una tabla para visualizar la relacioacuten entre las abscisas y lasordenadas
x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
y iquest 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 17
Para encontrar la relacioacuten debemos preguntarnos iquestqueacute le hacemos a5 para que sea 25 iquesta4 para quesea 16 iquesta 3 para que sea 9 etceacutetera
Si pensamos un poco la respuesta es evidentehellip iexclClaro Lo elevamos al cuadrado o sea
25
(
5)
2
16
(
4)
2
9
(
3)
2
etceacutetera
Por tanto la relacioacuten es y x 2
Recordemos que las ecuaciones de este tipo por lo general representan una paraacutebola con veacutertice enel origen que es la uacutenica interseccioacuten con el eje X o Y para verificar lo anterior desarrollemos la partegeomeacutetrica
bull Parte geomeacutetrica
Si graficamos los puntos que tenemos y los
unimos con una curva suave entonces seforma la paraacutebola coacutencava hacia arriba consu veacutertice en el origen
5
10
15
20
25
55 X
Y
bull Conclusioacuten
Entonces tenemos que los puntos (5 25) (4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4)(3 9) (4 16) (5 25) representan el lugar geomeacutetrico denominado paraacutebola con veacutertice en el origen cuya
ecuacioacuten es y x 2
3 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y x 2 4
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero tabulemos la ecuacioacutenComo vimos las liacuteneas rectas soacutelo necesitan 2 puntos en la tabulacioacuten pero en este caso no hablamos
de una ecuacioacuten lineal asiacute que en todas las ecuaciones diferentes de las lineales se tendraacuten que tabular
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Utilizas
distintasformas dela ecuacioacutende una recta
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan realizar
un estudio de las propiedades geomeacutetricas de la recta y de sus
posibilidades analiacuteticas
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta
bull Transforma ecuaciones de una forma a otra
bull Utiliza distintas formas de la ecuacioacuten de la recta para solucionar
problemas yo ejercicios de la vida cotidiana
Bloque IV
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copy P h o t o r e d a k t o r D r e a m s t i m e
Objetos de aprendizaje
bull Ecuaciones de la recta
991252Pendiente y ordenada al origen
991252Punto-pendiente 991252Dos puntos
991252Simeacutetrica
bull Ecuacioacuten general y normal de la ecuacioacuten de la recta
bull Distancia de la recta a un punto
bull Distancia entre dos rectas paralelas
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas o graacute1047297cas
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exivacomprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis y disentildea y aplica modelos para probar
su validez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla
un proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten
con pasos especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras
personas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicas
del campo de matemaacuteticasbull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisis
de situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales medianteel lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea
de la informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental
o matemaacuteticamente las magnitudes del espacio
y de las propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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108
Responde correctamente las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es la distancia maacutes corta entre dos puntos
2 iquestCuaacuteles son las referencias miacutenimas para definir una recta en el plano
3 iquestCoacutemo se llama al punto de interseccioacuten de una recta con el eje Y
4 iquestCoacutemo se denomina a la interseccioacuten de la recta con el eje X
5 iquestEn queacute forma de la ecuacioacuten de la recta se puede identificar de inmediato su ldquoinclinacioacutenrdquo y la interseccioacuten de
esta con el eje Y
6 iquestCoacutemo se conoce a la forma de la ecuacioacuten de una recta que contiene como elementos su abscisa y su orde-nada al origen
7 iquestCoacutemo se escribe la expresioacuten para la forma general de la ecuacioacuten de la recta
8 iquestCuaacuteles son las referencias que necesitamos para emplear la forma normal de la ecuacioacuten de la recta
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 109
Para determinar una recta siempre se necesitan dos referencias como miacutenimo y
esto nos permite usar una forma de la ecuacioacuten de acuerdo con los datos que seproporcionan
1 La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos2 La forma punto-punto que requiere dos puntos pertenecientes a la recta
3 La forma simeacutetrica usa las intersecciones con los ejes
4 La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores
5 La forma normal emplea la distancia al origen y el aacutengulo de inclinacioacuten de la
recta que representa dicha distancia
Estudiaremos todas a lo largo del bloque
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendientey ordenada en el origeniquestCoacutemo se puede trazar la graacute1047297ca de una recta de manera raacutepida y sin la ayudade una tabulacioacuten Necesitamos dos referencias una de ellas puede ser un punto
ldquoespecialrdquo que obtenemos de la interseccioacuten con el eje Y al que se designa con laletra b por tanto sus coordenadas son (0 b) y se le llama ordenada en el origen
la otra referencia es m la pendiente iquestCoacutemo identi1047297carla en la ecuacioacuten de unarecta iexclEs muy faacutecil
A partir de la de1047297nicioacuten del punto al cual corresponde la ordenada en el origen
(0 b) y la pendiente de una recta (m) podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuacioacuten de la recta veamos
y = mx + b
expresioacuten que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquierpunto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y su-
mada a la interseccioacuten con el eje Y
Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta
9 iquestCuaacuteles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta
10 iquestCuaacuteles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas
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110 Matemaacuteticas III
Ejemplos
1 Grafica la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen
y mx b
y 3x 2
Entonces la ecuacioacuten tiene como ordenada en el origen b 2 estosignifica que en ese lugar la recta interseca al eje Y ademaacutes es faacutecilobservar que la pendiente es m 3 Graacuteficamente
Si deseas trazar la recta puedes graficarla pendiente a partir de la ordenada enel origen tal como vimos en el bloqueanterior
2 Grafica la ecuacioacuten y 3
2
x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Toma la ecuacioacuten y compaacuterala con la forma pendiente-ordenada en el origen
y 32
x 2
y mx b
A esta forma de la recta se le denomina forma comuacuten o pendiente-ordenada
en el origen y es muy uacutetil ya que mediante ella es posible identi1047297car de inmediatola pendiente y la ordenada en el origen
X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
b Ordenada en el origen
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
Portal de Conocimiento
DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
Student ResourcIn Conte
Portal de Conocimie
SOLUCIONES PARA LA INVESTIGACIOacuteN Y LA BIBLIOTECA
CIENCIAS E INGENIERIacuteA MULTIDISCIPLINAR
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TIPOS DE CONTENIDOPublicaciones acadeacutemicas revistas noticias podcasts
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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8 Matemaacuteticas III
Actividad 1
Igualdad de parejasObserva que si cambias los nuacutemeros de lugar no quieren decir lo mismo es decir3 y 4 es una pareja ordenada pero 4 y 3 hace referencia a un arreglo distinto En
general las parejas ordenadas cumplen que
(a b) (b a)y
(a b) (b a) si y solo si a b
Esto quiere decir que para considerar iguales a dos parejas estas deben tenerlos mismos elementos en el mismo orden Por ejemplo (5 5)
Organiacutezate con tus compantildeeros formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnos yresuelvan los siguientes ejercicios con una actitud de respeto y tolerancia Al final reflexionen con los integrantesde otro equipo sus procedimientos y resultados
1 La fonda de Chonita tiene tortas de jamoacuten y tacos de pollo para comer y agua de jamaica refresco y jugo parabeber Formen todos los posibles menuacutes que Chonita puede tener
2 La floreriacutea ldquoMil hojasrdquo tiene rosas tulipanes y orquiacutedeas como flores y helecho y dracaena como follaje Cons-truyan los posibles arreglos que puede hacer de un tipo de flor con un tipo de follaje
3 En la fiesta de Luis su mamaacute quiere servir algunas ensaladas que contengan un tipo de fruta y un tipo desemilla Cuenta con frutas como naranjas uvas papayas y mangos en cuanto a las semillas tiene nuecesalmendras avellanas y pistaches Describan las ensaladas que puede haber en la fiesta de Luis
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 9
Ejemplo
Una forma de encontrar todas las posibles parejas ordenadas de nuacutemeros entre dos
conjuntos es por medio del producto cartesiano que se representa como A B Producto cartesiano Es lacoleccioacuten de todas las relaciones(combinaciones) de los elementosde A con los elementos de B
Desarrolla el producto cartesiano A B y B A dados A 1 2 3 y B 1 2 3 4
Solucioacuten
A B
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
Ahora
B A
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
(4 1) (4 2) (4 3) (4 4)
Observa que las parejas (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3) (3 1) (3 2) y (3 3) son iguales en ambos pro-ductos
El producto cartesiano de dos conjuntos de nuacutemeros es un nuevo conjunto de pa-
rejas ordenadas en el que todas estas son distintas El primer elemento correspondeal conjunto A y el segundo elemento corresponde al conjunto B
Observa que si el conjunto A tiene tres elementos y el conjunto B tiene cuatroentonces el conjunto A B tiene 3 4 12 elementos (parejas ordenadas) de
ahiacute la razoacuten de llamarlo producto (multiplicacioacuten) y se le llama cartesiano porque sepuede representar graacute1047297camente en un plano cartesiano como el siguiente
Una aplicacioacuten de las parejas ordenadas es la localizacioacuten de puntos en el sistema
de coordenadas rectangulares
1 2 3 A
(1 4)
(1 3)
(1 2)
(1 1)
(2 4)
(2 3)
(2 2)
(2 1)
(3 4)
(3 3)
(3 2)
(3 1)
B
4
3
2
1
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10 Matemaacuteticas III
Actividad 2
Organiacutezate con tus compantildeeros y reuacutenanse en parejas conformadas por una alumna y un alumno realicen demanera colaborativa los siguientes ejercicios Recuerden mantener siempre una actitud de respeto y responsa-bilidad Compartan en plenaria sus procedimientos y resultados Al final califiquen su desempentildeo con la guiacutea deautoobservacioacuten
1 Respondan las siguientes preguntas respecto a las caracteriacutesticas del sistema de coordenadas
a ) iquestCuaacutentas rectas numeacutericas conforman el sistema de coordenadas rectangulares
b ) iquestCuaacutel es la posicioacuten de cada una de estas rectas
Traza un cuadrado y un triaacutengulo en el siguiente sistema de coordenadas rectangulares luego descriacutebelos indican-do las coordenadas (x y ) que representan a sus veacutertices
Solucioacuten
Cada uno de los puntos que se acaban de localizar tiene dos elementos o referenciasuna estaacute sobre el eje X denominada abscisa y la otra sobre el eje Y denominadaordenada Por tanto las parejas ordenadas tienen la siguiente forma
(abscisa ordenada)
La abscisa siempre se localiza sobre el eje X (tambieacuten se le llama eje de las abscisas)y la ordenada sobre el eje Y (conocido como eje de las ordenadas)
Las coordenadas del cuadro son
(3 3) (3 3) (3 3) y (3 3)
Las coordenadas del triaacutengulo son
(0 4) (0 6) y (4 4)
Ejemplo
Abscisa Es la coordenada x de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
Ordenada Es la coordenada y de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
G L O S A R I O
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 11
c ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta horizontal
d ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta vertical
e ) iquestCoacutemo se llama al punto donde se cruzan los ejes
f ) iquestCoacutemo se llaman las regiones en las que se divide al plano y cuaacutentas son
g ) iquestCuaacuteles son los signos de cada cuadrante
2 Dados los siguientes conjuntos calculen los productos cartesianos y represeacutentenlos en un plano Ademaacutesrodeen las parejas ordenadas iguales
A a b c d B 1 3 5 C 2 4 6 8 D x y z
a ) A B f ) B D
b ) C D g ) B A
c ) A C h ) D C
d ) C B i ) B C
e ) D A j ) A D
3 Localicen en un mismo sistema de coordenadas rectangulares los siguientes puntos e identifiquen a queacute cua-drante pertenecen
a ) A (4 2) h ) H (8 3)
b ) B (3 5) i ) I 64
125
c ) C 12
14
j ) J (6 2)
d ) D (2 7) k ) K 83
3
e ) E (7 3) l ) L(0 0)
f ) F
2
3
4
5 m ) M (
1
2)
g ) G (24) n ) N ( 5 8)
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12 Matemaacuteticas III
4 Escriban las coordenadas de los puntos que se muestran en el siguiente plano cartesiano
a ) A ( ) f ) F ( )
b ) B ( ) g ) G ( )
c ) C ( ) h ) H ( )
d ) D ( ) i ) I ( )
e ) E ( ) j ) J ( )
5 Representen en un sistema de coordenadas rectangula-res los poliacutegonos con los siguientes veacutertices e incluacuteyan-los en su portafolio de evidencias
a ) A (3 4) B (2 1) C (51)
b ) A (9 3) B (5 1) C (4 0)
c ) A (4 2) B (2 3) C (16) D (0 4)
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
G
F
E
A
C
B
D
J
I
H
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como pareja
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Trazamos correctamente el sistema de coordenadas identificando los ejes
2 Ubicamos los puntos en el cuadrante correcto
3 Unimos correctamente los puntos formando la figura geomeacutetrica
4 Identificamos la figura correctamente de acuerdo con el nuacutemero y posicioacutende los veacutertices
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia el desarrollo de lasolucioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 13
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas de preferencia alumno y alumna Realicen los siguientes ejerci-cios de manera colaborativa
1 Tracen las liacuteneas rectas siguientes una de ellas pasa por A (0 6) y B (6 0) la otra pasa por C (6 6) y D (0 0)comprueben que estas liacuteneas rectas se cruzan en el punto (3 3)
2 Dibujen en un sistema coordenado un triaacutengulo isoacutesceles (de cualquier medida) Luego indiquen las coorde-nadas de sus tres veacutertices tambieacuten marquen dos puntos que esteacuten dentro y dos puntos que esteacuten afuera deltriaacutengulo e indiquen sus coordenadas
3 Grafiquen en un mismo sistema de referencia cada uno de los siguientes grupos de coordenadas uacutenanlos yescriban el tipo de figura geomeacutetrica
a ) A(2 4) B (2 1) C (2 1) D (2 4)
b ) E (2 5) F (5 2) G (04)
c ) H (3 5) I (3 9) J (3 5)
d ) K (42) L(44) M (24) N (2 2)
e ) O (5 2) P (1 2) Q (1 4) R (5 4)
4 Resuelvan los siguientes problemas
a ) Mariacutea tiene una casa con una puerta al sur sale de ella ycamina 4 cuadras luego decide caminar 3 cuadras al estedespueacutes gira hacia el sur y avanza otras 5 cuadras final-mente da vuelta al norte y avanza 8 cuadras Si se coloca lacasa de Mariacutea en el origen de un sistema de coordenadasrectangulares y se sigue su trayectoria iquesten queacute punto seencontraraacute al final de su camino Elaboren una hipoacutetesis ycomprueacutebenla en un sistema de coordenadas
b ) El terreno de Feacutelix tiene coordenadas (5 2) (10 2) (5 10)y (10 10)
i Ubiquen el terreno en un sistema de coordenadas rec-
tangulares ii iquestQueacute forma tiene el terreno iii Calculen su aacuterea
Actividad 3
copy E l z b i e t a S e k o w s k a S h u t t e r s t o c k
copy G o D u n k 1 3 S h u t t e r s t o c k
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14 Matemaacuteticas III
c ) En la clase de Biologiacutea Pati realizoacute un experimento paraobservar el crecimiento de una colonia de bacilos Seregistraron los siguientes datos anotando el tiempo quetranscurrioacute y el nuacutemero de bacilos presentes en el ex-perimento
bull 200 bacilos en 6 minutosbull 300 bacilos en 12 minutosbull 500 bacilos en 18 minutosbull 1000 bacilos en 24 minutosbull 1800 bacilos en 30 minutos
Representen los pares de valores que Pati recaboacute en un sistema de coordenadas rectangulares en el que el ejehorizontal sea el tiempo y el eje vertical el nuacutemero de bacilos
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M a t e j K a s t e l i c S h u t t e r s t o c k
En geometriacutea analiacutetica pueden presentarse dos problemas fundamentales relacio-nados con los lugares geomeacutetricos
1 Dada una ecuacioacuten encuentra el lugar geomeacutetrico que la representa2 Dado un lugar geomeacutetrico encuentra la ecuacioacuten que lo representa
Con esto en mente podemos hablar de un meacutetodo general para resolver proble-mas de geometriacutea analiacutetica que consta de tres secciones bien de1047297nidas
1 Geomeacutetrica En esta expondraacutes todo lo que sabes respecto al lugar geomeacutetricoque se propone antes de iniciar con el anaacutelisis
2 Analiacutetica Aquiacute efectuaraacutes el anaacutelisis de las ecuaciones dadas para ello usaraacutesaacutelgebra y aritmeacutetica
3 Conclusioacuten Esta parte es importantiacutesima ya que aquiacute redactaraacutes lo que hayas
encontrado a lo largo de todo el proceso
Encontraraacutes problemas en los que es preciso efectuar primero la parte analiacutetica y
despueacutes la geomeacutetrica sin embargo habraacute otros en los que tanto la parte analiacuteticacomo la geomeacutetrica deberaacuten desarrollarse al mismo tiempo pero en cualquiera delos casos ambas estaacuten presentes
Cuando queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con una expresioacutenalgebraica sugerimos realizar los siguientes pasos
1 Haz una tabulacioacuten en donde se asignen valores a x
2 Calcula los valores de y sustituyendo en la ecuacioacuten original
Objeto de aprendizaje Lugares geomeacutetricos
Lugar geomeacutetrico Es un conjuntode puntos que cumplen una
propiedad geomeacutetrica en particular G L O
S A R I O
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 15
3 Calcula las intersecciones con los ejes
a) Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y
b) Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
4 Por uacuteltimo elabora la graacute1047297ca colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten
con los ejes
Ejemplos
1 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Si observas la ecuacioacuten te daraacutes cuenta de que es una ecuacioacuten lineal por lo que se representa como unarecta pero iquestcuaacuteles son las caracteriacutesticas de esta recta en particular Sigamos los pasos propuestos re-cuerda que para graficar una liacutenea recta son suficientes dos puntos
x 2 1
y 4 5
(x y ) (2 4) (1 5)
Para las intersecciones con los ejes
Con el eje Y x
0 y 3x 2
y 3(0) 2
y 0 2
y 2
La interseccioacuten con el eje Y es el punto (0 2)Con el eje X y 0
y 3x 2
0 3x 2
0 2 3x
23
x
x 23
La interseccioacuten con el eje X es el punto 23
0
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16 Matemaacuteticas III
bull Parte geomeacutetrica
Haciendo la graacutefica tenemos que el lugar geomeacutetrico y 3x 2 es
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
y 3 x 2
X
Y
bull Conclusioacuten
El lugar geomeacutetrico es una liacutenea recta que interseca al eje Y en y 2 y al eje X en x 23
Por otro lado si queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con un conjunto de pares ordenadoste sugerimos seguir los siguientes pasos
a ) Hacer una tabulacioacuten con los valores de x y y
b ) Calcular la relacioacuten que se presenta entre los datos
c ) Calcular las intersecciones con los ejes
i Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y ii Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
d ) Por uacuteltimo hacer la graacutefica colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten con los ejes
2 iquestQueacute ecuacioacuten representaraacute el lugar geomeacutetrico que contiene a las siguientes parejas ordenadas (5 25)(4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4) (3 9) (4 16) (5 25)
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero colocamos las parejas ordenadas en una tabla para visualizar la relacioacuten entre las abscisas y lasordenadas
x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
y iquest 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 17
Para encontrar la relacioacuten debemos preguntarnos iquestqueacute le hacemos a5 para que sea 25 iquesta4 para quesea 16 iquesta 3 para que sea 9 etceacutetera
Si pensamos un poco la respuesta es evidentehellip iexclClaro Lo elevamos al cuadrado o sea
25
(
5)
2
16
(
4)
2
9
(
3)
2
etceacutetera
Por tanto la relacioacuten es y x 2
Recordemos que las ecuaciones de este tipo por lo general representan una paraacutebola con veacutertice enel origen que es la uacutenica interseccioacuten con el eje X o Y para verificar lo anterior desarrollemos la partegeomeacutetrica
bull Parte geomeacutetrica
Si graficamos los puntos que tenemos y los
unimos con una curva suave entonces seforma la paraacutebola coacutencava hacia arriba consu veacutertice en el origen
5
10
15
20
25
55 X
Y
bull Conclusioacuten
Entonces tenemos que los puntos (5 25) (4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4)(3 9) (4 16) (5 25) representan el lugar geomeacutetrico denominado paraacutebola con veacutertice en el origen cuya
ecuacioacuten es y x 2
3 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y x 2 4
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero tabulemos la ecuacioacutenComo vimos las liacuteneas rectas soacutelo necesitan 2 puntos en la tabulacioacuten pero en este caso no hablamos
de una ecuacioacuten lineal asiacute que en todas las ecuaciones diferentes de las lineales se tendraacuten que tabular
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Utilizas
distintasformas dela ecuacioacutende una recta
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan realizar
un estudio de las propiedades geomeacutetricas de la recta y de sus
posibilidades analiacuteticas
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta
bull Transforma ecuaciones de una forma a otra
bull Utiliza distintas formas de la ecuacioacuten de la recta para solucionar
problemas yo ejercicios de la vida cotidiana
Bloque IV
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copy P h o t o r e d a k t o r D r e a m s t i m e
Objetos de aprendizaje
bull Ecuaciones de la recta
991252Pendiente y ordenada al origen
991252Punto-pendiente 991252Dos puntos
991252Simeacutetrica
bull Ecuacioacuten general y normal de la ecuacioacuten de la recta
bull Distancia de la recta a un punto
bull Distancia entre dos rectas paralelas
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas o graacute1047297cas
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exivacomprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis y disentildea y aplica modelos para probar
su validez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla
un proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten
con pasos especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras
personas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicas
del campo de matemaacuteticasbull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisis
de situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales medianteel lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea
de la informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental
o matemaacuteticamente las magnitudes del espacio
y de las propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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108
Responde correctamente las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es la distancia maacutes corta entre dos puntos
2 iquestCuaacuteles son las referencias miacutenimas para definir una recta en el plano
3 iquestCoacutemo se llama al punto de interseccioacuten de una recta con el eje Y
4 iquestCoacutemo se denomina a la interseccioacuten de la recta con el eje X
5 iquestEn queacute forma de la ecuacioacuten de la recta se puede identificar de inmediato su ldquoinclinacioacutenrdquo y la interseccioacuten de
esta con el eje Y
6 iquestCoacutemo se conoce a la forma de la ecuacioacuten de una recta que contiene como elementos su abscisa y su orde-nada al origen
7 iquestCoacutemo se escribe la expresioacuten para la forma general de la ecuacioacuten de la recta
8 iquestCuaacuteles son las referencias que necesitamos para emplear la forma normal de la ecuacioacuten de la recta
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 109
Para determinar una recta siempre se necesitan dos referencias como miacutenimo y
esto nos permite usar una forma de la ecuacioacuten de acuerdo con los datos que seproporcionan
1 La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos2 La forma punto-punto que requiere dos puntos pertenecientes a la recta
3 La forma simeacutetrica usa las intersecciones con los ejes
4 La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores
5 La forma normal emplea la distancia al origen y el aacutengulo de inclinacioacuten de la
recta que representa dicha distancia
Estudiaremos todas a lo largo del bloque
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendientey ordenada en el origeniquestCoacutemo se puede trazar la graacute1047297ca de una recta de manera raacutepida y sin la ayudade una tabulacioacuten Necesitamos dos referencias una de ellas puede ser un punto
ldquoespecialrdquo que obtenemos de la interseccioacuten con el eje Y al que se designa con laletra b por tanto sus coordenadas son (0 b) y se le llama ordenada en el origen
la otra referencia es m la pendiente iquestCoacutemo identi1047297carla en la ecuacioacuten de unarecta iexclEs muy faacutecil
A partir de la de1047297nicioacuten del punto al cual corresponde la ordenada en el origen
(0 b) y la pendiente de una recta (m) podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuacioacuten de la recta veamos
y = mx + b
expresioacuten que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquierpunto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y su-
mada a la interseccioacuten con el eje Y
Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta
9 iquestCuaacuteles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta
10 iquestCuaacuteles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas
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110 Matemaacuteticas III
Ejemplos
1 Grafica la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen
y mx b
y 3x 2
Entonces la ecuacioacuten tiene como ordenada en el origen b 2 estosignifica que en ese lugar la recta interseca al eje Y ademaacutes es faacutecilobservar que la pendiente es m 3 Graacuteficamente
Si deseas trazar la recta puedes graficarla pendiente a partir de la ordenada enel origen tal como vimos en el bloqueanterior
2 Grafica la ecuacioacuten y 3
2
x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Toma la ecuacioacuten y compaacuterala con la forma pendiente-ordenada en el origen
y 32
x 2
y mx b
A esta forma de la recta se le denomina forma comuacuten o pendiente-ordenada
en el origen y es muy uacutetil ya que mediante ella es posible identi1047297car de inmediatola pendiente y la ordenada en el origen
X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
b Ordenada en el origen
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 9
Ejemplo
Una forma de encontrar todas las posibles parejas ordenadas de nuacutemeros entre dos
conjuntos es por medio del producto cartesiano que se representa como A B Producto cartesiano Es lacoleccioacuten de todas las relaciones(combinaciones) de los elementosde A con los elementos de B
Desarrolla el producto cartesiano A B y B A dados A 1 2 3 y B 1 2 3 4
Solucioacuten
A B
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
Ahora
B A
(1 1) (1 2) (1 3) (1 4)
(2 1) (2 2) (2 3) (2 4)
(3 1) (3 2) (3 3) (3 4)
(4 1) (4 2) (4 3) (4 4)
Observa que las parejas (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3) (3 1) (3 2) y (3 3) son iguales en ambos pro-ductos
El producto cartesiano de dos conjuntos de nuacutemeros es un nuevo conjunto de pa-
rejas ordenadas en el que todas estas son distintas El primer elemento correspondeal conjunto A y el segundo elemento corresponde al conjunto B
Observa que si el conjunto A tiene tres elementos y el conjunto B tiene cuatroentonces el conjunto A B tiene 3 4 12 elementos (parejas ordenadas) de
ahiacute la razoacuten de llamarlo producto (multiplicacioacuten) y se le llama cartesiano porque sepuede representar graacute1047297camente en un plano cartesiano como el siguiente
Una aplicacioacuten de las parejas ordenadas es la localizacioacuten de puntos en el sistema
de coordenadas rectangulares
1 2 3 A
(1 4)
(1 3)
(1 2)
(1 1)
(2 4)
(2 3)
(2 2)
(2 1)
(3 4)
(3 3)
(3 2)
(3 1)
B
4
3
2
1
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10 Matemaacuteticas III
Actividad 2
Organiacutezate con tus compantildeeros y reuacutenanse en parejas conformadas por una alumna y un alumno realicen demanera colaborativa los siguientes ejercicios Recuerden mantener siempre una actitud de respeto y responsa-bilidad Compartan en plenaria sus procedimientos y resultados Al final califiquen su desempentildeo con la guiacutea deautoobservacioacuten
1 Respondan las siguientes preguntas respecto a las caracteriacutesticas del sistema de coordenadas
a ) iquestCuaacutentas rectas numeacutericas conforman el sistema de coordenadas rectangulares
b ) iquestCuaacutel es la posicioacuten de cada una de estas rectas
Traza un cuadrado y un triaacutengulo en el siguiente sistema de coordenadas rectangulares luego descriacutebelos indican-do las coordenadas (x y ) que representan a sus veacutertices
Solucioacuten
Cada uno de los puntos que se acaban de localizar tiene dos elementos o referenciasuna estaacute sobre el eje X denominada abscisa y la otra sobre el eje Y denominadaordenada Por tanto las parejas ordenadas tienen la siguiente forma
(abscisa ordenada)
La abscisa siempre se localiza sobre el eje X (tambieacuten se le llama eje de las abscisas)y la ordenada sobre el eje Y (conocido como eje de las ordenadas)
Las coordenadas del cuadro son
(3 3) (3 3) (3 3) y (3 3)
Las coordenadas del triaacutengulo son
(0 4) (0 6) y (4 4)
Ejemplo
Abscisa Es la coordenada x de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
Ordenada Es la coordenada y de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
G L O S A R I O
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 11
c ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta horizontal
d ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta vertical
e ) iquestCoacutemo se llama al punto donde se cruzan los ejes
f ) iquestCoacutemo se llaman las regiones en las que se divide al plano y cuaacutentas son
g ) iquestCuaacuteles son los signos de cada cuadrante
2 Dados los siguientes conjuntos calculen los productos cartesianos y represeacutentenlos en un plano Ademaacutesrodeen las parejas ordenadas iguales
A a b c d B 1 3 5 C 2 4 6 8 D x y z
a ) A B f ) B D
b ) C D g ) B A
c ) A C h ) D C
d ) C B i ) B C
e ) D A j ) A D
3 Localicen en un mismo sistema de coordenadas rectangulares los siguientes puntos e identifiquen a queacute cua-drante pertenecen
a ) A (4 2) h ) H (8 3)
b ) B (3 5) i ) I 64
125
c ) C 12
14
j ) J (6 2)
d ) D (2 7) k ) K 83
3
e ) E (7 3) l ) L(0 0)
f ) F
2
3
4
5 m ) M (
1
2)
g ) G (24) n ) N ( 5 8)
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12 Matemaacuteticas III
4 Escriban las coordenadas de los puntos que se muestran en el siguiente plano cartesiano
a ) A ( ) f ) F ( )
b ) B ( ) g ) G ( )
c ) C ( ) h ) H ( )
d ) D ( ) i ) I ( )
e ) E ( ) j ) J ( )
5 Representen en un sistema de coordenadas rectangula-res los poliacutegonos con los siguientes veacutertices e incluacuteyan-los en su portafolio de evidencias
a ) A (3 4) B (2 1) C (51)
b ) A (9 3) B (5 1) C (4 0)
c ) A (4 2) B (2 3) C (16) D (0 4)
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
G
F
E
A
C
B
D
J
I
H
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como pareja
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Trazamos correctamente el sistema de coordenadas identificando los ejes
2 Ubicamos los puntos en el cuadrante correcto
3 Unimos correctamente los puntos formando la figura geomeacutetrica
4 Identificamos la figura correctamente de acuerdo con el nuacutemero y posicioacutende los veacutertices
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia el desarrollo de lasolucioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 13
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas de preferencia alumno y alumna Realicen los siguientes ejerci-cios de manera colaborativa
1 Tracen las liacuteneas rectas siguientes una de ellas pasa por A (0 6) y B (6 0) la otra pasa por C (6 6) y D (0 0)comprueben que estas liacuteneas rectas se cruzan en el punto (3 3)
2 Dibujen en un sistema coordenado un triaacutengulo isoacutesceles (de cualquier medida) Luego indiquen las coorde-nadas de sus tres veacutertices tambieacuten marquen dos puntos que esteacuten dentro y dos puntos que esteacuten afuera deltriaacutengulo e indiquen sus coordenadas
3 Grafiquen en un mismo sistema de referencia cada uno de los siguientes grupos de coordenadas uacutenanlos yescriban el tipo de figura geomeacutetrica
a ) A(2 4) B (2 1) C (2 1) D (2 4)
b ) E (2 5) F (5 2) G (04)
c ) H (3 5) I (3 9) J (3 5)
d ) K (42) L(44) M (24) N (2 2)
e ) O (5 2) P (1 2) Q (1 4) R (5 4)
4 Resuelvan los siguientes problemas
a ) Mariacutea tiene una casa con una puerta al sur sale de ella ycamina 4 cuadras luego decide caminar 3 cuadras al estedespueacutes gira hacia el sur y avanza otras 5 cuadras final-mente da vuelta al norte y avanza 8 cuadras Si se coloca lacasa de Mariacutea en el origen de un sistema de coordenadasrectangulares y se sigue su trayectoria iquesten queacute punto seencontraraacute al final de su camino Elaboren una hipoacutetesis ycomprueacutebenla en un sistema de coordenadas
b ) El terreno de Feacutelix tiene coordenadas (5 2) (10 2) (5 10)y (10 10)
i Ubiquen el terreno en un sistema de coordenadas rec-
tangulares ii iquestQueacute forma tiene el terreno iii Calculen su aacuterea
Actividad 3
copy E l z b i e t a S e k o w s k a S h u t t e r s t o c k
copy G o D u n k 1 3 S h u t t e r s t o c k
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14 Matemaacuteticas III
c ) En la clase de Biologiacutea Pati realizoacute un experimento paraobservar el crecimiento de una colonia de bacilos Seregistraron los siguientes datos anotando el tiempo quetranscurrioacute y el nuacutemero de bacilos presentes en el ex-perimento
bull 200 bacilos en 6 minutosbull 300 bacilos en 12 minutosbull 500 bacilos en 18 minutosbull 1000 bacilos en 24 minutosbull 1800 bacilos en 30 minutos
Representen los pares de valores que Pati recaboacute en un sistema de coordenadas rectangulares en el que el ejehorizontal sea el tiempo y el eje vertical el nuacutemero de bacilos
copy
M a t e j K a s t e l i c S h u t t e r s t o c k
En geometriacutea analiacutetica pueden presentarse dos problemas fundamentales relacio-nados con los lugares geomeacutetricos
1 Dada una ecuacioacuten encuentra el lugar geomeacutetrico que la representa2 Dado un lugar geomeacutetrico encuentra la ecuacioacuten que lo representa
Con esto en mente podemos hablar de un meacutetodo general para resolver proble-mas de geometriacutea analiacutetica que consta de tres secciones bien de1047297nidas
1 Geomeacutetrica En esta expondraacutes todo lo que sabes respecto al lugar geomeacutetricoque se propone antes de iniciar con el anaacutelisis
2 Analiacutetica Aquiacute efectuaraacutes el anaacutelisis de las ecuaciones dadas para ello usaraacutesaacutelgebra y aritmeacutetica
3 Conclusioacuten Esta parte es importantiacutesima ya que aquiacute redactaraacutes lo que hayas
encontrado a lo largo de todo el proceso
Encontraraacutes problemas en los que es preciso efectuar primero la parte analiacutetica y
despueacutes la geomeacutetrica sin embargo habraacute otros en los que tanto la parte analiacuteticacomo la geomeacutetrica deberaacuten desarrollarse al mismo tiempo pero en cualquiera delos casos ambas estaacuten presentes
Cuando queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con una expresioacutenalgebraica sugerimos realizar los siguientes pasos
1 Haz una tabulacioacuten en donde se asignen valores a x
2 Calcula los valores de y sustituyendo en la ecuacioacuten original
Objeto de aprendizaje Lugares geomeacutetricos
Lugar geomeacutetrico Es un conjuntode puntos que cumplen una
propiedad geomeacutetrica en particular G L O
S A R I O
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 15
3 Calcula las intersecciones con los ejes
a) Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y
b) Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
4 Por uacuteltimo elabora la graacute1047297ca colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten
con los ejes
Ejemplos
1 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Si observas la ecuacioacuten te daraacutes cuenta de que es una ecuacioacuten lineal por lo que se representa como unarecta pero iquestcuaacuteles son las caracteriacutesticas de esta recta en particular Sigamos los pasos propuestos re-cuerda que para graficar una liacutenea recta son suficientes dos puntos
x 2 1
y 4 5
(x y ) (2 4) (1 5)
Para las intersecciones con los ejes
Con el eje Y x
0 y 3x 2
y 3(0) 2
y 0 2
y 2
La interseccioacuten con el eje Y es el punto (0 2)Con el eje X y 0
y 3x 2
0 3x 2
0 2 3x
23
x
x 23
La interseccioacuten con el eje X es el punto 23
0
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16 Matemaacuteticas III
bull Parte geomeacutetrica
Haciendo la graacutefica tenemos que el lugar geomeacutetrico y 3x 2 es
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
y 3 x 2
X
Y
bull Conclusioacuten
El lugar geomeacutetrico es una liacutenea recta que interseca al eje Y en y 2 y al eje X en x 23
Por otro lado si queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con un conjunto de pares ordenadoste sugerimos seguir los siguientes pasos
a ) Hacer una tabulacioacuten con los valores de x y y
b ) Calcular la relacioacuten que se presenta entre los datos
c ) Calcular las intersecciones con los ejes
i Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y ii Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
d ) Por uacuteltimo hacer la graacutefica colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten con los ejes
2 iquestQueacute ecuacioacuten representaraacute el lugar geomeacutetrico que contiene a las siguientes parejas ordenadas (5 25)(4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4) (3 9) (4 16) (5 25)
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero colocamos las parejas ordenadas en una tabla para visualizar la relacioacuten entre las abscisas y lasordenadas
x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
y iquest 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 17
Para encontrar la relacioacuten debemos preguntarnos iquestqueacute le hacemos a5 para que sea 25 iquesta4 para quesea 16 iquesta 3 para que sea 9 etceacutetera
Si pensamos un poco la respuesta es evidentehellip iexclClaro Lo elevamos al cuadrado o sea
25
(
5)
2
16
(
4)
2
9
(
3)
2
etceacutetera
Por tanto la relacioacuten es y x 2
Recordemos que las ecuaciones de este tipo por lo general representan una paraacutebola con veacutertice enel origen que es la uacutenica interseccioacuten con el eje X o Y para verificar lo anterior desarrollemos la partegeomeacutetrica
bull Parte geomeacutetrica
Si graficamos los puntos que tenemos y los
unimos con una curva suave entonces seforma la paraacutebola coacutencava hacia arriba consu veacutertice en el origen
5
10
15
20
25
55 X
Y
bull Conclusioacuten
Entonces tenemos que los puntos (5 25) (4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4)(3 9) (4 16) (5 25) representan el lugar geomeacutetrico denominado paraacutebola con veacutertice en el origen cuya
ecuacioacuten es y x 2
3 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y x 2 4
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero tabulemos la ecuacioacutenComo vimos las liacuteneas rectas soacutelo necesitan 2 puntos en la tabulacioacuten pero en este caso no hablamos
de una ecuacioacuten lineal asiacute que en todas las ecuaciones diferentes de las lineales se tendraacuten que tabular
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Utilizas
distintasformas dela ecuacioacutende una recta
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan realizar
un estudio de las propiedades geomeacutetricas de la recta y de sus
posibilidades analiacuteticas
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta
bull Transforma ecuaciones de una forma a otra
bull Utiliza distintas formas de la ecuacioacuten de la recta para solucionar
problemas yo ejercicios de la vida cotidiana
Bloque IV
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copy P h o t o r e d a k t o r D r e a m s t i m e
Objetos de aprendizaje
bull Ecuaciones de la recta
991252Pendiente y ordenada al origen
991252Punto-pendiente 991252Dos puntos
991252Simeacutetrica
bull Ecuacioacuten general y normal de la ecuacioacuten de la recta
bull Distancia de la recta a un punto
bull Distancia entre dos rectas paralelas
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas o graacute1047297cas
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exivacomprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis y disentildea y aplica modelos para probar
su validez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla
un proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten
con pasos especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras
personas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicas
del campo de matemaacuteticasbull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisis
de situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales medianteel lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea
de la informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental
o matemaacuteticamente las magnitudes del espacio
y de las propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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108
Responde correctamente las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es la distancia maacutes corta entre dos puntos
2 iquestCuaacuteles son las referencias miacutenimas para definir una recta en el plano
3 iquestCoacutemo se llama al punto de interseccioacuten de una recta con el eje Y
4 iquestCoacutemo se denomina a la interseccioacuten de la recta con el eje X
5 iquestEn queacute forma de la ecuacioacuten de la recta se puede identificar de inmediato su ldquoinclinacioacutenrdquo y la interseccioacuten de
esta con el eje Y
6 iquestCoacutemo se conoce a la forma de la ecuacioacuten de una recta que contiene como elementos su abscisa y su orde-nada al origen
7 iquestCoacutemo se escribe la expresioacuten para la forma general de la ecuacioacuten de la recta
8 iquestCuaacuteles son las referencias que necesitamos para emplear la forma normal de la ecuacioacuten de la recta
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 109
Para determinar una recta siempre se necesitan dos referencias como miacutenimo y
esto nos permite usar una forma de la ecuacioacuten de acuerdo con los datos que seproporcionan
1 La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos2 La forma punto-punto que requiere dos puntos pertenecientes a la recta
3 La forma simeacutetrica usa las intersecciones con los ejes
4 La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores
5 La forma normal emplea la distancia al origen y el aacutengulo de inclinacioacuten de la
recta que representa dicha distancia
Estudiaremos todas a lo largo del bloque
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendientey ordenada en el origeniquestCoacutemo se puede trazar la graacute1047297ca de una recta de manera raacutepida y sin la ayudade una tabulacioacuten Necesitamos dos referencias una de ellas puede ser un punto
ldquoespecialrdquo que obtenemos de la interseccioacuten con el eje Y al que se designa con laletra b por tanto sus coordenadas son (0 b) y se le llama ordenada en el origen
la otra referencia es m la pendiente iquestCoacutemo identi1047297carla en la ecuacioacuten de unarecta iexclEs muy faacutecil
A partir de la de1047297nicioacuten del punto al cual corresponde la ordenada en el origen
(0 b) y la pendiente de una recta (m) podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuacioacuten de la recta veamos
y = mx + b
expresioacuten que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquierpunto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y su-
mada a la interseccioacuten con el eje Y
Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta
9 iquestCuaacuteles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta
10 iquestCuaacuteles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas
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110 Matemaacuteticas III
Ejemplos
1 Grafica la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen
y mx b
y 3x 2
Entonces la ecuacioacuten tiene como ordenada en el origen b 2 estosignifica que en ese lugar la recta interseca al eje Y ademaacutes es faacutecilobservar que la pendiente es m 3 Graacuteficamente
Si deseas trazar la recta puedes graficarla pendiente a partir de la ordenada enel origen tal como vimos en el bloqueanterior
2 Grafica la ecuacioacuten y 3
2
x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Toma la ecuacioacuten y compaacuterala con la forma pendiente-ordenada en el origen
y 32
x 2
y mx b
A esta forma de la recta se le denomina forma comuacuten o pendiente-ordenada
en el origen y es muy uacutetil ya que mediante ella es posible identi1047297car de inmediatola pendiente y la ordenada en el origen
X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
b Ordenada en el origen
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
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7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
Portal de Conocimiento
DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
Student ResourcIn Conte
Portal de Conocimie
SOLUCIONES PARA LA INVESTIGACIOacuteN Y LA BIBLIOTECA
CIENCIAS E INGENIERIacuteA MULTIDISCIPLINAR
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TIPOS DE CONTENIDOPublicaciones acadeacutemicas revistas noticias podcasts
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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10 Matemaacuteticas III
Actividad 2
Organiacutezate con tus compantildeeros y reuacutenanse en parejas conformadas por una alumna y un alumno realicen demanera colaborativa los siguientes ejercicios Recuerden mantener siempre una actitud de respeto y responsa-bilidad Compartan en plenaria sus procedimientos y resultados Al final califiquen su desempentildeo con la guiacutea deautoobservacioacuten
1 Respondan las siguientes preguntas respecto a las caracteriacutesticas del sistema de coordenadas
a ) iquestCuaacutentas rectas numeacutericas conforman el sistema de coordenadas rectangulares
b ) iquestCuaacutel es la posicioacuten de cada una de estas rectas
Traza un cuadrado y un triaacutengulo en el siguiente sistema de coordenadas rectangulares luego descriacutebelos indican-do las coordenadas (x y ) que representan a sus veacutertices
Solucioacuten
Cada uno de los puntos que se acaban de localizar tiene dos elementos o referenciasuna estaacute sobre el eje X denominada abscisa y la otra sobre el eje Y denominadaordenada Por tanto las parejas ordenadas tienen la siguiente forma
(abscisa ordenada)
La abscisa siempre se localiza sobre el eje X (tambieacuten se le llama eje de las abscisas)y la ordenada sobre el eje Y (conocido como eje de las ordenadas)
Las coordenadas del cuadro son
(3 3) (3 3) (3 3) y (3 3)
Las coordenadas del triaacutengulo son
(0 4) (0 6) y (4 4)
Ejemplo
Abscisa Es la coordenada x de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
Ordenada Es la coordenada y de unpunto en un sistema de coordenadascartesianas
G L O S A R I O
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 11
c ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta horizontal
d ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta vertical
e ) iquestCoacutemo se llama al punto donde se cruzan los ejes
f ) iquestCoacutemo se llaman las regiones en las que se divide al plano y cuaacutentas son
g ) iquestCuaacuteles son los signos de cada cuadrante
2 Dados los siguientes conjuntos calculen los productos cartesianos y represeacutentenlos en un plano Ademaacutesrodeen las parejas ordenadas iguales
A a b c d B 1 3 5 C 2 4 6 8 D x y z
a ) A B f ) B D
b ) C D g ) B A
c ) A C h ) D C
d ) C B i ) B C
e ) D A j ) A D
3 Localicen en un mismo sistema de coordenadas rectangulares los siguientes puntos e identifiquen a queacute cua-drante pertenecen
a ) A (4 2) h ) H (8 3)
b ) B (3 5) i ) I 64
125
c ) C 12
14
j ) J (6 2)
d ) D (2 7) k ) K 83
3
e ) E (7 3) l ) L(0 0)
f ) F
2
3
4
5 m ) M (
1
2)
g ) G (24) n ) N ( 5 8)
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12 Matemaacuteticas III
4 Escriban las coordenadas de los puntos que se muestran en el siguiente plano cartesiano
a ) A ( ) f ) F ( )
b ) B ( ) g ) G ( )
c ) C ( ) h ) H ( )
d ) D ( ) i ) I ( )
e ) E ( ) j ) J ( )
5 Representen en un sistema de coordenadas rectangula-res los poliacutegonos con los siguientes veacutertices e incluacuteyan-los en su portafolio de evidencias
a ) A (3 4) B (2 1) C (51)
b ) A (9 3) B (5 1) C (4 0)
c ) A (4 2) B (2 3) C (16) D (0 4)
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
G
F
E
A
C
B
D
J
I
H
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como pareja
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Trazamos correctamente el sistema de coordenadas identificando los ejes
2 Ubicamos los puntos en el cuadrante correcto
3 Unimos correctamente los puntos formando la figura geomeacutetrica
4 Identificamos la figura correctamente de acuerdo con el nuacutemero y posicioacutende los veacutertices
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia el desarrollo de lasolucioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 13
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas de preferencia alumno y alumna Realicen los siguientes ejerci-cios de manera colaborativa
1 Tracen las liacuteneas rectas siguientes una de ellas pasa por A (0 6) y B (6 0) la otra pasa por C (6 6) y D (0 0)comprueben que estas liacuteneas rectas se cruzan en el punto (3 3)
2 Dibujen en un sistema coordenado un triaacutengulo isoacutesceles (de cualquier medida) Luego indiquen las coorde-nadas de sus tres veacutertices tambieacuten marquen dos puntos que esteacuten dentro y dos puntos que esteacuten afuera deltriaacutengulo e indiquen sus coordenadas
3 Grafiquen en un mismo sistema de referencia cada uno de los siguientes grupos de coordenadas uacutenanlos yescriban el tipo de figura geomeacutetrica
a ) A(2 4) B (2 1) C (2 1) D (2 4)
b ) E (2 5) F (5 2) G (04)
c ) H (3 5) I (3 9) J (3 5)
d ) K (42) L(44) M (24) N (2 2)
e ) O (5 2) P (1 2) Q (1 4) R (5 4)
4 Resuelvan los siguientes problemas
a ) Mariacutea tiene una casa con una puerta al sur sale de ella ycamina 4 cuadras luego decide caminar 3 cuadras al estedespueacutes gira hacia el sur y avanza otras 5 cuadras final-mente da vuelta al norte y avanza 8 cuadras Si se coloca lacasa de Mariacutea en el origen de un sistema de coordenadasrectangulares y se sigue su trayectoria iquesten queacute punto seencontraraacute al final de su camino Elaboren una hipoacutetesis ycomprueacutebenla en un sistema de coordenadas
b ) El terreno de Feacutelix tiene coordenadas (5 2) (10 2) (5 10)y (10 10)
i Ubiquen el terreno en un sistema de coordenadas rec-
tangulares ii iquestQueacute forma tiene el terreno iii Calculen su aacuterea
Actividad 3
copy E l z b i e t a S e k o w s k a S h u t t e r s t o c k
copy G o D u n k 1 3 S h u t t e r s t o c k
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14 Matemaacuteticas III
c ) En la clase de Biologiacutea Pati realizoacute un experimento paraobservar el crecimiento de una colonia de bacilos Seregistraron los siguientes datos anotando el tiempo quetranscurrioacute y el nuacutemero de bacilos presentes en el ex-perimento
bull 200 bacilos en 6 minutosbull 300 bacilos en 12 minutosbull 500 bacilos en 18 minutosbull 1000 bacilos en 24 minutosbull 1800 bacilos en 30 minutos
Representen los pares de valores que Pati recaboacute en un sistema de coordenadas rectangulares en el que el ejehorizontal sea el tiempo y el eje vertical el nuacutemero de bacilos
copy
M a t e j K a s t e l i c S h u t t e r s t o c k
En geometriacutea analiacutetica pueden presentarse dos problemas fundamentales relacio-nados con los lugares geomeacutetricos
1 Dada una ecuacioacuten encuentra el lugar geomeacutetrico que la representa2 Dado un lugar geomeacutetrico encuentra la ecuacioacuten que lo representa
Con esto en mente podemos hablar de un meacutetodo general para resolver proble-mas de geometriacutea analiacutetica que consta de tres secciones bien de1047297nidas
1 Geomeacutetrica En esta expondraacutes todo lo que sabes respecto al lugar geomeacutetricoque se propone antes de iniciar con el anaacutelisis
2 Analiacutetica Aquiacute efectuaraacutes el anaacutelisis de las ecuaciones dadas para ello usaraacutesaacutelgebra y aritmeacutetica
3 Conclusioacuten Esta parte es importantiacutesima ya que aquiacute redactaraacutes lo que hayas
encontrado a lo largo de todo el proceso
Encontraraacutes problemas en los que es preciso efectuar primero la parte analiacutetica y
despueacutes la geomeacutetrica sin embargo habraacute otros en los que tanto la parte analiacuteticacomo la geomeacutetrica deberaacuten desarrollarse al mismo tiempo pero en cualquiera delos casos ambas estaacuten presentes
Cuando queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con una expresioacutenalgebraica sugerimos realizar los siguientes pasos
1 Haz una tabulacioacuten en donde se asignen valores a x
2 Calcula los valores de y sustituyendo en la ecuacioacuten original
Objeto de aprendizaje Lugares geomeacutetricos
Lugar geomeacutetrico Es un conjuntode puntos que cumplen una
propiedad geomeacutetrica en particular G L O
S A R I O
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 15
3 Calcula las intersecciones con los ejes
a) Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y
b) Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
4 Por uacuteltimo elabora la graacute1047297ca colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten
con los ejes
Ejemplos
1 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Si observas la ecuacioacuten te daraacutes cuenta de que es una ecuacioacuten lineal por lo que se representa como unarecta pero iquestcuaacuteles son las caracteriacutesticas de esta recta en particular Sigamos los pasos propuestos re-cuerda que para graficar una liacutenea recta son suficientes dos puntos
x 2 1
y 4 5
(x y ) (2 4) (1 5)
Para las intersecciones con los ejes
Con el eje Y x
0 y 3x 2
y 3(0) 2
y 0 2
y 2
La interseccioacuten con el eje Y es el punto (0 2)Con el eje X y 0
y 3x 2
0 3x 2
0 2 3x
23
x
x 23
La interseccioacuten con el eje X es el punto 23
0
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16 Matemaacuteticas III
bull Parte geomeacutetrica
Haciendo la graacutefica tenemos que el lugar geomeacutetrico y 3x 2 es
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
y 3 x 2
X
Y
bull Conclusioacuten
El lugar geomeacutetrico es una liacutenea recta que interseca al eje Y en y 2 y al eje X en x 23
Por otro lado si queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con un conjunto de pares ordenadoste sugerimos seguir los siguientes pasos
a ) Hacer una tabulacioacuten con los valores de x y y
b ) Calcular la relacioacuten que se presenta entre los datos
c ) Calcular las intersecciones con los ejes
i Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y ii Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
d ) Por uacuteltimo hacer la graacutefica colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten con los ejes
2 iquestQueacute ecuacioacuten representaraacute el lugar geomeacutetrico que contiene a las siguientes parejas ordenadas (5 25)(4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4) (3 9) (4 16) (5 25)
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero colocamos las parejas ordenadas en una tabla para visualizar la relacioacuten entre las abscisas y lasordenadas
x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
y iquest 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 17
Para encontrar la relacioacuten debemos preguntarnos iquestqueacute le hacemos a5 para que sea 25 iquesta4 para quesea 16 iquesta 3 para que sea 9 etceacutetera
Si pensamos un poco la respuesta es evidentehellip iexclClaro Lo elevamos al cuadrado o sea
25
(
5)
2
16
(
4)
2
9
(
3)
2
etceacutetera
Por tanto la relacioacuten es y x 2
Recordemos que las ecuaciones de este tipo por lo general representan una paraacutebola con veacutertice enel origen que es la uacutenica interseccioacuten con el eje X o Y para verificar lo anterior desarrollemos la partegeomeacutetrica
bull Parte geomeacutetrica
Si graficamos los puntos que tenemos y los
unimos con una curva suave entonces seforma la paraacutebola coacutencava hacia arriba consu veacutertice en el origen
5
10
15
20
25
55 X
Y
bull Conclusioacuten
Entonces tenemos que los puntos (5 25) (4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4)(3 9) (4 16) (5 25) representan el lugar geomeacutetrico denominado paraacutebola con veacutertice en el origen cuya
ecuacioacuten es y x 2
3 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y x 2 4
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero tabulemos la ecuacioacutenComo vimos las liacuteneas rectas soacutelo necesitan 2 puntos en la tabulacioacuten pero en este caso no hablamos
de una ecuacioacuten lineal asiacute que en todas las ecuaciones diferentes de las lineales se tendraacuten que tabular
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Utilizas
distintasformas dela ecuacioacutende una recta
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan realizar
un estudio de las propiedades geomeacutetricas de la recta y de sus
posibilidades analiacuteticas
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta
bull Transforma ecuaciones de una forma a otra
bull Utiliza distintas formas de la ecuacioacuten de la recta para solucionar
problemas yo ejercicios de la vida cotidiana
Bloque IV
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copy P h o t o r e d a k t o r D r e a m s t i m e
Objetos de aprendizaje
bull Ecuaciones de la recta
991252Pendiente y ordenada al origen
991252Punto-pendiente 991252Dos puntos
991252Simeacutetrica
bull Ecuacioacuten general y normal de la ecuacioacuten de la recta
bull Distancia de la recta a un punto
bull Distancia entre dos rectas paralelas
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas o graacute1047297cas
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exivacomprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis y disentildea y aplica modelos para probar
su validez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla
un proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten
con pasos especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras
personas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicas
del campo de matemaacuteticasbull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisis
de situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales medianteel lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea
de la informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental
o matemaacuteticamente las magnitudes del espacio
y de las propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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108
Responde correctamente las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es la distancia maacutes corta entre dos puntos
2 iquestCuaacuteles son las referencias miacutenimas para definir una recta en el plano
3 iquestCoacutemo se llama al punto de interseccioacuten de una recta con el eje Y
4 iquestCoacutemo se denomina a la interseccioacuten de la recta con el eje X
5 iquestEn queacute forma de la ecuacioacuten de la recta se puede identificar de inmediato su ldquoinclinacioacutenrdquo y la interseccioacuten de
esta con el eje Y
6 iquestCoacutemo se conoce a la forma de la ecuacioacuten de una recta que contiene como elementos su abscisa y su orde-nada al origen
7 iquestCoacutemo se escribe la expresioacuten para la forma general de la ecuacioacuten de la recta
8 iquestCuaacuteles son las referencias que necesitamos para emplear la forma normal de la ecuacioacuten de la recta
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 109
Para determinar una recta siempre se necesitan dos referencias como miacutenimo y
esto nos permite usar una forma de la ecuacioacuten de acuerdo con los datos que seproporcionan
1 La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos2 La forma punto-punto que requiere dos puntos pertenecientes a la recta
3 La forma simeacutetrica usa las intersecciones con los ejes
4 La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores
5 La forma normal emplea la distancia al origen y el aacutengulo de inclinacioacuten de la
recta que representa dicha distancia
Estudiaremos todas a lo largo del bloque
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendientey ordenada en el origeniquestCoacutemo se puede trazar la graacute1047297ca de una recta de manera raacutepida y sin la ayudade una tabulacioacuten Necesitamos dos referencias una de ellas puede ser un punto
ldquoespecialrdquo que obtenemos de la interseccioacuten con el eje Y al que se designa con laletra b por tanto sus coordenadas son (0 b) y se le llama ordenada en el origen
la otra referencia es m la pendiente iquestCoacutemo identi1047297carla en la ecuacioacuten de unarecta iexclEs muy faacutecil
A partir de la de1047297nicioacuten del punto al cual corresponde la ordenada en el origen
(0 b) y la pendiente de una recta (m) podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuacioacuten de la recta veamos
y = mx + b
expresioacuten que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquierpunto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y su-
mada a la interseccioacuten con el eje Y
Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta
9 iquestCuaacuteles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta
10 iquestCuaacuteles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas
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110 Matemaacuteticas III
Ejemplos
1 Grafica la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen
y mx b
y 3x 2
Entonces la ecuacioacuten tiene como ordenada en el origen b 2 estosignifica que en ese lugar la recta interseca al eje Y ademaacutes es faacutecilobservar que la pendiente es m 3 Graacuteficamente
Si deseas trazar la recta puedes graficarla pendiente a partir de la ordenada enel origen tal como vimos en el bloqueanterior
2 Grafica la ecuacioacuten y 3
2
x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Toma la ecuacioacuten y compaacuterala con la forma pendiente-ordenada en el origen
y 32
x 2
y mx b
A esta forma de la recta se le denomina forma comuacuten o pendiente-ordenada
en el origen y es muy uacutetil ya que mediante ella es posible identi1047297car de inmediatola pendiente y la ordenada en el origen
X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
b Ordenada en el origen
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
Portal de Conocimiento
DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
Student ResourcIn Conte
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SOLUCIONES PARA LA INVESTIGACIOacuteN Y LA BIBLIOTECA
CIENCIAS E INGENIERIacuteA MULTIDISCIPLINAR
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imaacutegenes videos y ligas a sitios web
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 11
c ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta horizontal
d ) iquestCuaacutel es el nombre de la recta vertical
e ) iquestCoacutemo se llama al punto donde se cruzan los ejes
f ) iquestCoacutemo se llaman las regiones en las que se divide al plano y cuaacutentas son
g ) iquestCuaacuteles son los signos de cada cuadrante
2 Dados los siguientes conjuntos calculen los productos cartesianos y represeacutentenlos en un plano Ademaacutesrodeen las parejas ordenadas iguales
A a b c d B 1 3 5 C 2 4 6 8 D x y z
a ) A B f ) B D
b ) C D g ) B A
c ) A C h ) D C
d ) C B i ) B C
e ) D A j ) A D
3 Localicen en un mismo sistema de coordenadas rectangulares los siguientes puntos e identifiquen a queacute cua-drante pertenecen
a ) A (4 2) h ) H (8 3)
b ) B (3 5) i ) I 64
125
c ) C 12
14
j ) J (6 2)
d ) D (2 7) k ) K 83
3
e ) E (7 3) l ) L(0 0)
f ) F
2
3
4
5 m ) M (
1
2)
g ) G (24) n ) N ( 5 8)
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12 Matemaacuteticas III
4 Escriban las coordenadas de los puntos que se muestran en el siguiente plano cartesiano
a ) A ( ) f ) F ( )
b ) B ( ) g ) G ( )
c ) C ( ) h ) H ( )
d ) D ( ) i ) I ( )
e ) E ( ) j ) J ( )
5 Representen en un sistema de coordenadas rectangula-res los poliacutegonos con los siguientes veacutertices e incluacuteyan-los en su portafolio de evidencias
a ) A (3 4) B (2 1) C (51)
b ) A (9 3) B (5 1) C (4 0)
c ) A (4 2) B (2 3) C (16) D (0 4)
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
G
F
E
A
C
B
D
J
I
H
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como pareja
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Trazamos correctamente el sistema de coordenadas identificando los ejes
2 Ubicamos los puntos en el cuadrante correcto
3 Unimos correctamente los puntos formando la figura geomeacutetrica
4 Identificamos la figura correctamente de acuerdo con el nuacutemero y posicioacutende los veacutertices
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia el desarrollo de lasolucioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 13
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas de preferencia alumno y alumna Realicen los siguientes ejerci-cios de manera colaborativa
1 Tracen las liacuteneas rectas siguientes una de ellas pasa por A (0 6) y B (6 0) la otra pasa por C (6 6) y D (0 0)comprueben que estas liacuteneas rectas se cruzan en el punto (3 3)
2 Dibujen en un sistema coordenado un triaacutengulo isoacutesceles (de cualquier medida) Luego indiquen las coorde-nadas de sus tres veacutertices tambieacuten marquen dos puntos que esteacuten dentro y dos puntos que esteacuten afuera deltriaacutengulo e indiquen sus coordenadas
3 Grafiquen en un mismo sistema de referencia cada uno de los siguientes grupos de coordenadas uacutenanlos yescriban el tipo de figura geomeacutetrica
a ) A(2 4) B (2 1) C (2 1) D (2 4)
b ) E (2 5) F (5 2) G (04)
c ) H (3 5) I (3 9) J (3 5)
d ) K (42) L(44) M (24) N (2 2)
e ) O (5 2) P (1 2) Q (1 4) R (5 4)
4 Resuelvan los siguientes problemas
a ) Mariacutea tiene una casa con una puerta al sur sale de ella ycamina 4 cuadras luego decide caminar 3 cuadras al estedespueacutes gira hacia el sur y avanza otras 5 cuadras final-mente da vuelta al norte y avanza 8 cuadras Si se coloca lacasa de Mariacutea en el origen de un sistema de coordenadasrectangulares y se sigue su trayectoria iquesten queacute punto seencontraraacute al final de su camino Elaboren una hipoacutetesis ycomprueacutebenla en un sistema de coordenadas
b ) El terreno de Feacutelix tiene coordenadas (5 2) (10 2) (5 10)y (10 10)
i Ubiquen el terreno en un sistema de coordenadas rec-
tangulares ii iquestQueacute forma tiene el terreno iii Calculen su aacuterea
Actividad 3
copy E l z b i e t a S e k o w s k a S h u t t e r s t o c k
copy G o D u n k 1 3 S h u t t e r s t o c k
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14 Matemaacuteticas III
c ) En la clase de Biologiacutea Pati realizoacute un experimento paraobservar el crecimiento de una colonia de bacilos Seregistraron los siguientes datos anotando el tiempo quetranscurrioacute y el nuacutemero de bacilos presentes en el ex-perimento
bull 200 bacilos en 6 minutosbull 300 bacilos en 12 minutosbull 500 bacilos en 18 minutosbull 1000 bacilos en 24 minutosbull 1800 bacilos en 30 minutos
Representen los pares de valores que Pati recaboacute en un sistema de coordenadas rectangulares en el que el ejehorizontal sea el tiempo y el eje vertical el nuacutemero de bacilos
copy
M a t e j K a s t e l i c S h u t t e r s t o c k
En geometriacutea analiacutetica pueden presentarse dos problemas fundamentales relacio-nados con los lugares geomeacutetricos
1 Dada una ecuacioacuten encuentra el lugar geomeacutetrico que la representa2 Dado un lugar geomeacutetrico encuentra la ecuacioacuten que lo representa
Con esto en mente podemos hablar de un meacutetodo general para resolver proble-mas de geometriacutea analiacutetica que consta de tres secciones bien de1047297nidas
1 Geomeacutetrica En esta expondraacutes todo lo que sabes respecto al lugar geomeacutetricoque se propone antes de iniciar con el anaacutelisis
2 Analiacutetica Aquiacute efectuaraacutes el anaacutelisis de las ecuaciones dadas para ello usaraacutesaacutelgebra y aritmeacutetica
3 Conclusioacuten Esta parte es importantiacutesima ya que aquiacute redactaraacutes lo que hayas
encontrado a lo largo de todo el proceso
Encontraraacutes problemas en los que es preciso efectuar primero la parte analiacutetica y
despueacutes la geomeacutetrica sin embargo habraacute otros en los que tanto la parte analiacuteticacomo la geomeacutetrica deberaacuten desarrollarse al mismo tiempo pero en cualquiera delos casos ambas estaacuten presentes
Cuando queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con una expresioacutenalgebraica sugerimos realizar los siguientes pasos
1 Haz una tabulacioacuten en donde se asignen valores a x
2 Calcula los valores de y sustituyendo en la ecuacioacuten original
Objeto de aprendizaje Lugares geomeacutetricos
Lugar geomeacutetrico Es un conjuntode puntos que cumplen una
propiedad geomeacutetrica en particular G L O
S A R I O
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 15
3 Calcula las intersecciones con los ejes
a) Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y
b) Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
4 Por uacuteltimo elabora la graacute1047297ca colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten
con los ejes
Ejemplos
1 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Si observas la ecuacioacuten te daraacutes cuenta de que es una ecuacioacuten lineal por lo que se representa como unarecta pero iquestcuaacuteles son las caracteriacutesticas de esta recta en particular Sigamos los pasos propuestos re-cuerda que para graficar una liacutenea recta son suficientes dos puntos
x 2 1
y 4 5
(x y ) (2 4) (1 5)
Para las intersecciones con los ejes
Con el eje Y x
0 y 3x 2
y 3(0) 2
y 0 2
y 2
La interseccioacuten con el eje Y es el punto (0 2)Con el eje X y 0
y 3x 2
0 3x 2
0 2 3x
23
x
x 23
La interseccioacuten con el eje X es el punto 23
0
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16 Matemaacuteticas III
bull Parte geomeacutetrica
Haciendo la graacutefica tenemos que el lugar geomeacutetrico y 3x 2 es
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
y 3 x 2
X
Y
bull Conclusioacuten
El lugar geomeacutetrico es una liacutenea recta que interseca al eje Y en y 2 y al eje X en x 23
Por otro lado si queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con un conjunto de pares ordenadoste sugerimos seguir los siguientes pasos
a ) Hacer una tabulacioacuten con los valores de x y y
b ) Calcular la relacioacuten que se presenta entre los datos
c ) Calcular las intersecciones con los ejes
i Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y ii Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
d ) Por uacuteltimo hacer la graacutefica colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten con los ejes
2 iquestQueacute ecuacioacuten representaraacute el lugar geomeacutetrico que contiene a las siguientes parejas ordenadas (5 25)(4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4) (3 9) (4 16) (5 25)
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero colocamos las parejas ordenadas en una tabla para visualizar la relacioacuten entre las abscisas y lasordenadas
x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
y iquest 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 17
Para encontrar la relacioacuten debemos preguntarnos iquestqueacute le hacemos a5 para que sea 25 iquesta4 para quesea 16 iquesta 3 para que sea 9 etceacutetera
Si pensamos un poco la respuesta es evidentehellip iexclClaro Lo elevamos al cuadrado o sea
25
(
5)
2
16
(
4)
2
9
(
3)
2
etceacutetera
Por tanto la relacioacuten es y x 2
Recordemos que las ecuaciones de este tipo por lo general representan una paraacutebola con veacutertice enel origen que es la uacutenica interseccioacuten con el eje X o Y para verificar lo anterior desarrollemos la partegeomeacutetrica
bull Parte geomeacutetrica
Si graficamos los puntos que tenemos y los
unimos con una curva suave entonces seforma la paraacutebola coacutencava hacia arriba consu veacutertice en el origen
5
10
15
20
25
55 X
Y
bull Conclusioacuten
Entonces tenemos que los puntos (5 25) (4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4)(3 9) (4 16) (5 25) representan el lugar geomeacutetrico denominado paraacutebola con veacutertice en el origen cuya
ecuacioacuten es y x 2
3 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y x 2 4
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero tabulemos la ecuacioacutenComo vimos las liacuteneas rectas soacutelo necesitan 2 puntos en la tabulacioacuten pero en este caso no hablamos
de una ecuacioacuten lineal asiacute que en todas las ecuaciones diferentes de las lineales se tendraacuten que tabular
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Utilizas
distintasformas dela ecuacioacutende una recta
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan realizar
un estudio de las propiedades geomeacutetricas de la recta y de sus
posibilidades analiacuteticas
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta
bull Transforma ecuaciones de una forma a otra
bull Utiliza distintas formas de la ecuacioacuten de la recta para solucionar
problemas yo ejercicios de la vida cotidiana
Bloque IV
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copy P h o t o r e d a k t o r D r e a m s t i m e
Objetos de aprendizaje
bull Ecuaciones de la recta
991252Pendiente y ordenada al origen
991252Punto-pendiente 991252Dos puntos
991252Simeacutetrica
bull Ecuacioacuten general y normal de la ecuacioacuten de la recta
bull Distancia de la recta a un punto
bull Distancia entre dos rectas paralelas
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas o graacute1047297cas
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exivacomprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis y disentildea y aplica modelos para probar
su validez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla
un proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten
con pasos especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras
personas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicas
del campo de matemaacuteticasbull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisis
de situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales medianteel lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea
de la informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental
o matemaacuteticamente las magnitudes del espacio
y de las propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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108
Responde correctamente las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es la distancia maacutes corta entre dos puntos
2 iquestCuaacuteles son las referencias miacutenimas para definir una recta en el plano
3 iquestCoacutemo se llama al punto de interseccioacuten de una recta con el eje Y
4 iquestCoacutemo se denomina a la interseccioacuten de la recta con el eje X
5 iquestEn queacute forma de la ecuacioacuten de la recta se puede identificar de inmediato su ldquoinclinacioacutenrdquo y la interseccioacuten de
esta con el eje Y
6 iquestCoacutemo se conoce a la forma de la ecuacioacuten de una recta que contiene como elementos su abscisa y su orde-nada al origen
7 iquestCoacutemo se escribe la expresioacuten para la forma general de la ecuacioacuten de la recta
8 iquestCuaacuteles son las referencias que necesitamos para emplear la forma normal de la ecuacioacuten de la recta
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 109
Para determinar una recta siempre se necesitan dos referencias como miacutenimo y
esto nos permite usar una forma de la ecuacioacuten de acuerdo con los datos que seproporcionan
1 La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos2 La forma punto-punto que requiere dos puntos pertenecientes a la recta
3 La forma simeacutetrica usa las intersecciones con los ejes
4 La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores
5 La forma normal emplea la distancia al origen y el aacutengulo de inclinacioacuten de la
recta que representa dicha distancia
Estudiaremos todas a lo largo del bloque
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendientey ordenada en el origeniquestCoacutemo se puede trazar la graacute1047297ca de una recta de manera raacutepida y sin la ayudade una tabulacioacuten Necesitamos dos referencias una de ellas puede ser un punto
ldquoespecialrdquo que obtenemos de la interseccioacuten con el eje Y al que se designa con laletra b por tanto sus coordenadas son (0 b) y se le llama ordenada en el origen
la otra referencia es m la pendiente iquestCoacutemo identi1047297carla en la ecuacioacuten de unarecta iexclEs muy faacutecil
A partir de la de1047297nicioacuten del punto al cual corresponde la ordenada en el origen
(0 b) y la pendiente de una recta (m) podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuacioacuten de la recta veamos
y = mx + b
expresioacuten que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquierpunto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y su-
mada a la interseccioacuten con el eje Y
Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta
9 iquestCuaacuteles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta
10 iquestCuaacuteles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas
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110 Matemaacuteticas III
Ejemplos
1 Grafica la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen
y mx b
y 3x 2
Entonces la ecuacioacuten tiene como ordenada en el origen b 2 estosignifica que en ese lugar la recta interseca al eje Y ademaacutes es faacutecilobservar que la pendiente es m 3 Graacuteficamente
Si deseas trazar la recta puedes graficarla pendiente a partir de la ordenada enel origen tal como vimos en el bloqueanterior
2 Grafica la ecuacioacuten y 3
2
x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Toma la ecuacioacuten y compaacuterala con la forma pendiente-ordenada en el origen
y 32
x 2
y mx b
A esta forma de la recta se le denomina forma comuacuten o pendiente-ordenada
en el origen y es muy uacutetil ya que mediante ella es posible identi1047297car de inmediatola pendiente y la ordenada en el origen
X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
b Ordenada en el origen
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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Y
Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
Portal de Conocimiento
DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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12 Matemaacuteticas III
4 Escriban las coordenadas de los puntos que se muestran en el siguiente plano cartesiano
a ) A ( ) f ) F ( )
b ) B ( ) g ) G ( )
c ) C ( ) h ) H ( )
d ) D ( ) i ) I ( )
e ) E ( ) j ) J ( )
5 Representen en un sistema de coordenadas rectangula-res los poliacutegonos con los siguientes veacutertices e incluacuteyan-los en su portafolio de evidencias
a ) A (3 4) B (2 1) C (51)
b ) A (9 3) B (5 1) C (4 0)
c ) A (4 2) B (2 3) C (16) D (0 4)
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
G
F
E
A
C
B
D
J
I
H
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como pareja
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Trazamos correctamente el sistema de coordenadas identificando los ejes
2 Ubicamos los puntos en el cuadrante correcto
3 Unimos correctamente los puntos formando la figura geomeacutetrica
4 Identificamos la figura correctamente de acuerdo con el nuacutemero y posicioacutende los veacutertices
5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia el desarrollo de lasolucioacuten
Calificacioacuten
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 13
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas de preferencia alumno y alumna Realicen los siguientes ejerci-cios de manera colaborativa
1 Tracen las liacuteneas rectas siguientes una de ellas pasa por A (0 6) y B (6 0) la otra pasa por C (6 6) y D (0 0)comprueben que estas liacuteneas rectas se cruzan en el punto (3 3)
2 Dibujen en un sistema coordenado un triaacutengulo isoacutesceles (de cualquier medida) Luego indiquen las coorde-nadas de sus tres veacutertices tambieacuten marquen dos puntos que esteacuten dentro y dos puntos que esteacuten afuera deltriaacutengulo e indiquen sus coordenadas
3 Grafiquen en un mismo sistema de referencia cada uno de los siguientes grupos de coordenadas uacutenanlos yescriban el tipo de figura geomeacutetrica
a ) A(2 4) B (2 1) C (2 1) D (2 4)
b ) E (2 5) F (5 2) G (04)
c ) H (3 5) I (3 9) J (3 5)
d ) K (42) L(44) M (24) N (2 2)
e ) O (5 2) P (1 2) Q (1 4) R (5 4)
4 Resuelvan los siguientes problemas
a ) Mariacutea tiene una casa con una puerta al sur sale de ella ycamina 4 cuadras luego decide caminar 3 cuadras al estedespueacutes gira hacia el sur y avanza otras 5 cuadras final-mente da vuelta al norte y avanza 8 cuadras Si se coloca lacasa de Mariacutea en el origen de un sistema de coordenadasrectangulares y se sigue su trayectoria iquesten queacute punto seencontraraacute al final de su camino Elaboren una hipoacutetesis ycomprueacutebenla en un sistema de coordenadas
b ) El terreno de Feacutelix tiene coordenadas (5 2) (10 2) (5 10)y (10 10)
i Ubiquen el terreno en un sistema de coordenadas rec-
tangulares ii iquestQueacute forma tiene el terreno iii Calculen su aacuterea
Actividad 3
copy E l z b i e t a S e k o w s k a S h u t t e r s t o c k
copy G o D u n k 1 3 S h u t t e r s t o c k
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14 Matemaacuteticas III
c ) En la clase de Biologiacutea Pati realizoacute un experimento paraobservar el crecimiento de una colonia de bacilos Seregistraron los siguientes datos anotando el tiempo quetranscurrioacute y el nuacutemero de bacilos presentes en el ex-perimento
bull 200 bacilos en 6 minutosbull 300 bacilos en 12 minutosbull 500 bacilos en 18 minutosbull 1000 bacilos en 24 minutosbull 1800 bacilos en 30 minutos
Representen los pares de valores que Pati recaboacute en un sistema de coordenadas rectangulares en el que el ejehorizontal sea el tiempo y el eje vertical el nuacutemero de bacilos
copy
M a t e j K a s t e l i c S h u t t e r s t o c k
En geometriacutea analiacutetica pueden presentarse dos problemas fundamentales relacio-nados con los lugares geomeacutetricos
1 Dada una ecuacioacuten encuentra el lugar geomeacutetrico que la representa2 Dado un lugar geomeacutetrico encuentra la ecuacioacuten que lo representa
Con esto en mente podemos hablar de un meacutetodo general para resolver proble-mas de geometriacutea analiacutetica que consta de tres secciones bien de1047297nidas
1 Geomeacutetrica En esta expondraacutes todo lo que sabes respecto al lugar geomeacutetricoque se propone antes de iniciar con el anaacutelisis
2 Analiacutetica Aquiacute efectuaraacutes el anaacutelisis de las ecuaciones dadas para ello usaraacutesaacutelgebra y aritmeacutetica
3 Conclusioacuten Esta parte es importantiacutesima ya que aquiacute redactaraacutes lo que hayas
encontrado a lo largo de todo el proceso
Encontraraacutes problemas en los que es preciso efectuar primero la parte analiacutetica y
despueacutes la geomeacutetrica sin embargo habraacute otros en los que tanto la parte analiacuteticacomo la geomeacutetrica deberaacuten desarrollarse al mismo tiempo pero en cualquiera delos casos ambas estaacuten presentes
Cuando queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con una expresioacutenalgebraica sugerimos realizar los siguientes pasos
1 Haz una tabulacioacuten en donde se asignen valores a x
2 Calcula los valores de y sustituyendo en la ecuacioacuten original
Objeto de aprendizaje Lugares geomeacutetricos
Lugar geomeacutetrico Es un conjuntode puntos que cumplen una
propiedad geomeacutetrica en particular G L O
S A R I O
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 15
3 Calcula las intersecciones con los ejes
a) Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y
b) Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
4 Por uacuteltimo elabora la graacute1047297ca colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten
con los ejes
Ejemplos
1 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Si observas la ecuacioacuten te daraacutes cuenta de que es una ecuacioacuten lineal por lo que se representa como unarecta pero iquestcuaacuteles son las caracteriacutesticas de esta recta en particular Sigamos los pasos propuestos re-cuerda que para graficar una liacutenea recta son suficientes dos puntos
x 2 1
y 4 5
(x y ) (2 4) (1 5)
Para las intersecciones con los ejes
Con el eje Y x
0 y 3x 2
y 3(0) 2
y 0 2
y 2
La interseccioacuten con el eje Y es el punto (0 2)Con el eje X y 0
y 3x 2
0 3x 2
0 2 3x
23
x
x 23
La interseccioacuten con el eje X es el punto 23
0
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16 Matemaacuteticas III
bull Parte geomeacutetrica
Haciendo la graacutefica tenemos que el lugar geomeacutetrico y 3x 2 es
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
y 3 x 2
X
Y
bull Conclusioacuten
El lugar geomeacutetrico es una liacutenea recta que interseca al eje Y en y 2 y al eje X en x 23
Por otro lado si queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con un conjunto de pares ordenadoste sugerimos seguir los siguientes pasos
a ) Hacer una tabulacioacuten con los valores de x y y
b ) Calcular la relacioacuten que se presenta entre los datos
c ) Calcular las intersecciones con los ejes
i Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y ii Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
d ) Por uacuteltimo hacer la graacutefica colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten con los ejes
2 iquestQueacute ecuacioacuten representaraacute el lugar geomeacutetrico que contiene a las siguientes parejas ordenadas (5 25)(4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4) (3 9) (4 16) (5 25)
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero colocamos las parejas ordenadas en una tabla para visualizar la relacioacuten entre las abscisas y lasordenadas
x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
y iquest 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 17
Para encontrar la relacioacuten debemos preguntarnos iquestqueacute le hacemos a5 para que sea 25 iquesta4 para quesea 16 iquesta 3 para que sea 9 etceacutetera
Si pensamos un poco la respuesta es evidentehellip iexclClaro Lo elevamos al cuadrado o sea
25
(
5)
2
16
(
4)
2
9
(
3)
2
etceacutetera
Por tanto la relacioacuten es y x 2
Recordemos que las ecuaciones de este tipo por lo general representan una paraacutebola con veacutertice enel origen que es la uacutenica interseccioacuten con el eje X o Y para verificar lo anterior desarrollemos la partegeomeacutetrica
bull Parte geomeacutetrica
Si graficamos los puntos que tenemos y los
unimos con una curva suave entonces seforma la paraacutebola coacutencava hacia arriba consu veacutertice en el origen
5
10
15
20
25
55 X
Y
bull Conclusioacuten
Entonces tenemos que los puntos (5 25) (4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4)(3 9) (4 16) (5 25) representan el lugar geomeacutetrico denominado paraacutebola con veacutertice en el origen cuya
ecuacioacuten es y x 2
3 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y x 2 4
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero tabulemos la ecuacioacutenComo vimos las liacuteneas rectas soacutelo necesitan 2 puntos en la tabulacioacuten pero en este caso no hablamos
de una ecuacioacuten lineal asiacute que en todas las ecuaciones diferentes de las lineales se tendraacuten que tabular
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Utilizas
distintasformas dela ecuacioacutende una recta
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan realizar
un estudio de las propiedades geomeacutetricas de la recta y de sus
posibilidades analiacuteticas
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta
bull Transforma ecuaciones de una forma a otra
bull Utiliza distintas formas de la ecuacioacuten de la recta para solucionar
problemas yo ejercicios de la vida cotidiana
Bloque IV
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copy P h o t o r e d a k t o r D r e a m s t i m e
Objetos de aprendizaje
bull Ecuaciones de la recta
991252Pendiente y ordenada al origen
991252Punto-pendiente 991252Dos puntos
991252Simeacutetrica
bull Ecuacioacuten general y normal de la ecuacioacuten de la recta
bull Distancia de la recta a un punto
bull Distancia entre dos rectas paralelas
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas o graacute1047297cas
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exivacomprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis y disentildea y aplica modelos para probar
su validez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla
un proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten
con pasos especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras
personas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicas
del campo de matemaacuteticasbull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisis
de situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales medianteel lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea
de la informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental
o matemaacuteticamente las magnitudes del espacio
y de las propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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108
Responde correctamente las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es la distancia maacutes corta entre dos puntos
2 iquestCuaacuteles son las referencias miacutenimas para definir una recta en el plano
3 iquestCoacutemo se llama al punto de interseccioacuten de una recta con el eje Y
4 iquestCoacutemo se denomina a la interseccioacuten de la recta con el eje X
5 iquestEn queacute forma de la ecuacioacuten de la recta se puede identificar de inmediato su ldquoinclinacioacutenrdquo y la interseccioacuten de
esta con el eje Y
6 iquestCoacutemo se conoce a la forma de la ecuacioacuten de una recta que contiene como elementos su abscisa y su orde-nada al origen
7 iquestCoacutemo se escribe la expresioacuten para la forma general de la ecuacioacuten de la recta
8 iquestCuaacuteles son las referencias que necesitamos para emplear la forma normal de la ecuacioacuten de la recta
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 109
Para determinar una recta siempre se necesitan dos referencias como miacutenimo y
esto nos permite usar una forma de la ecuacioacuten de acuerdo con los datos que seproporcionan
1 La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos2 La forma punto-punto que requiere dos puntos pertenecientes a la recta
3 La forma simeacutetrica usa las intersecciones con los ejes
4 La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores
5 La forma normal emplea la distancia al origen y el aacutengulo de inclinacioacuten de la
recta que representa dicha distancia
Estudiaremos todas a lo largo del bloque
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendientey ordenada en el origeniquestCoacutemo se puede trazar la graacute1047297ca de una recta de manera raacutepida y sin la ayudade una tabulacioacuten Necesitamos dos referencias una de ellas puede ser un punto
ldquoespecialrdquo que obtenemos de la interseccioacuten con el eje Y al que se designa con laletra b por tanto sus coordenadas son (0 b) y se le llama ordenada en el origen
la otra referencia es m la pendiente iquestCoacutemo identi1047297carla en la ecuacioacuten de unarecta iexclEs muy faacutecil
A partir de la de1047297nicioacuten del punto al cual corresponde la ordenada en el origen
(0 b) y la pendiente de una recta (m) podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuacioacuten de la recta veamos
y = mx + b
expresioacuten que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquierpunto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y su-
mada a la interseccioacuten con el eje Y
Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta
9 iquestCuaacuteles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta
10 iquestCuaacuteles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas
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110 Matemaacuteticas III
Ejemplos
1 Grafica la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen
y mx b
y 3x 2
Entonces la ecuacioacuten tiene como ordenada en el origen b 2 estosignifica que en ese lugar la recta interseca al eje Y ademaacutes es faacutecilobservar que la pendiente es m 3 Graacuteficamente
Si deseas trazar la recta puedes graficarla pendiente a partir de la ordenada enel origen tal como vimos en el bloqueanterior
2 Grafica la ecuacioacuten y 3
2
x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Toma la ecuacioacuten y compaacuterala con la forma pendiente-ordenada en el origen
y 32
x 2
y mx b
A esta forma de la recta se le denomina forma comuacuten o pendiente-ordenada
en el origen y es muy uacutetil ya que mediante ella es posible identi1047297car de inmediatola pendiente y la ordenada en el origen
X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
b Ordenada en el origen
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
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5
6
7
8
9
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10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
6
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3
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7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
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1
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3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
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7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
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5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
Portal de Conocimiento
DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
Student ResourcIn Conte
Portal de Conocimie
SOLUCIONES PARA LA INVESTIGACIOacuteN Y LA BIBLIOTECA
CIENCIAS E INGENIERIacuteA MULTIDISCIPLINAR
Accesa con esta direccioacuten a tus soluciones de investigacioacuten
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TIPOS DE CONTENIDOPublicaciones acadeacutemicas revistas noticias podcasts
imaacutegenes videos y ligas a sitios web
wwwcengagecom
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 13
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen parejas de preferencia alumno y alumna Realicen los siguientes ejerci-cios de manera colaborativa
1 Tracen las liacuteneas rectas siguientes una de ellas pasa por A (0 6) y B (6 0) la otra pasa por C (6 6) y D (0 0)comprueben que estas liacuteneas rectas se cruzan en el punto (3 3)
2 Dibujen en un sistema coordenado un triaacutengulo isoacutesceles (de cualquier medida) Luego indiquen las coorde-nadas de sus tres veacutertices tambieacuten marquen dos puntos que esteacuten dentro y dos puntos que esteacuten afuera deltriaacutengulo e indiquen sus coordenadas
3 Grafiquen en un mismo sistema de referencia cada uno de los siguientes grupos de coordenadas uacutenanlos yescriban el tipo de figura geomeacutetrica
a ) A(2 4) B (2 1) C (2 1) D (2 4)
b ) E (2 5) F (5 2) G (04)
c ) H (3 5) I (3 9) J (3 5)
d ) K (42) L(44) M (24) N (2 2)
e ) O (5 2) P (1 2) Q (1 4) R (5 4)
4 Resuelvan los siguientes problemas
a ) Mariacutea tiene una casa con una puerta al sur sale de ella ycamina 4 cuadras luego decide caminar 3 cuadras al estedespueacutes gira hacia el sur y avanza otras 5 cuadras final-mente da vuelta al norte y avanza 8 cuadras Si se coloca lacasa de Mariacutea en el origen de un sistema de coordenadasrectangulares y se sigue su trayectoria iquesten queacute punto seencontraraacute al final de su camino Elaboren una hipoacutetesis ycomprueacutebenla en un sistema de coordenadas
b ) El terreno de Feacutelix tiene coordenadas (5 2) (10 2) (5 10)y (10 10)
i Ubiquen el terreno en un sistema de coordenadas rec-
tangulares ii iquestQueacute forma tiene el terreno iii Calculen su aacuterea
Actividad 3
copy E l z b i e t a S e k o w s k a S h u t t e r s t o c k
copy G o D u n k 1 3 S h u t t e r s t o c k
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14 Matemaacuteticas III
c ) En la clase de Biologiacutea Pati realizoacute un experimento paraobservar el crecimiento de una colonia de bacilos Seregistraron los siguientes datos anotando el tiempo quetranscurrioacute y el nuacutemero de bacilos presentes en el ex-perimento
bull 200 bacilos en 6 minutosbull 300 bacilos en 12 minutosbull 500 bacilos en 18 minutosbull 1000 bacilos en 24 minutosbull 1800 bacilos en 30 minutos
Representen los pares de valores que Pati recaboacute en un sistema de coordenadas rectangulares en el que el ejehorizontal sea el tiempo y el eje vertical el nuacutemero de bacilos
copy
M a t e j K a s t e l i c S h u t t e r s t o c k
En geometriacutea analiacutetica pueden presentarse dos problemas fundamentales relacio-nados con los lugares geomeacutetricos
1 Dada una ecuacioacuten encuentra el lugar geomeacutetrico que la representa2 Dado un lugar geomeacutetrico encuentra la ecuacioacuten que lo representa
Con esto en mente podemos hablar de un meacutetodo general para resolver proble-mas de geometriacutea analiacutetica que consta de tres secciones bien de1047297nidas
1 Geomeacutetrica En esta expondraacutes todo lo que sabes respecto al lugar geomeacutetricoque se propone antes de iniciar con el anaacutelisis
2 Analiacutetica Aquiacute efectuaraacutes el anaacutelisis de las ecuaciones dadas para ello usaraacutesaacutelgebra y aritmeacutetica
3 Conclusioacuten Esta parte es importantiacutesima ya que aquiacute redactaraacutes lo que hayas
encontrado a lo largo de todo el proceso
Encontraraacutes problemas en los que es preciso efectuar primero la parte analiacutetica y
despueacutes la geomeacutetrica sin embargo habraacute otros en los que tanto la parte analiacuteticacomo la geomeacutetrica deberaacuten desarrollarse al mismo tiempo pero en cualquiera delos casos ambas estaacuten presentes
Cuando queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con una expresioacutenalgebraica sugerimos realizar los siguientes pasos
1 Haz una tabulacioacuten en donde se asignen valores a x
2 Calcula los valores de y sustituyendo en la ecuacioacuten original
Objeto de aprendizaje Lugares geomeacutetricos
Lugar geomeacutetrico Es un conjuntode puntos que cumplen una
propiedad geomeacutetrica en particular G L O
S A R I O
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 15
3 Calcula las intersecciones con los ejes
a) Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y
b) Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
4 Por uacuteltimo elabora la graacute1047297ca colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten
con los ejes
Ejemplos
1 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Si observas la ecuacioacuten te daraacutes cuenta de que es una ecuacioacuten lineal por lo que se representa como unarecta pero iquestcuaacuteles son las caracteriacutesticas de esta recta en particular Sigamos los pasos propuestos re-cuerda que para graficar una liacutenea recta son suficientes dos puntos
x 2 1
y 4 5
(x y ) (2 4) (1 5)
Para las intersecciones con los ejes
Con el eje Y x
0 y 3x 2
y 3(0) 2
y 0 2
y 2
La interseccioacuten con el eje Y es el punto (0 2)Con el eje X y 0
y 3x 2
0 3x 2
0 2 3x
23
x
x 23
La interseccioacuten con el eje X es el punto 23
0
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16 Matemaacuteticas III
bull Parte geomeacutetrica
Haciendo la graacutefica tenemos que el lugar geomeacutetrico y 3x 2 es
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
y 3 x 2
X
Y
bull Conclusioacuten
El lugar geomeacutetrico es una liacutenea recta que interseca al eje Y en y 2 y al eje X en x 23
Por otro lado si queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con un conjunto de pares ordenadoste sugerimos seguir los siguientes pasos
a ) Hacer una tabulacioacuten con los valores de x y y
b ) Calcular la relacioacuten que se presenta entre los datos
c ) Calcular las intersecciones con los ejes
i Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y ii Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
d ) Por uacuteltimo hacer la graacutefica colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten con los ejes
2 iquestQueacute ecuacioacuten representaraacute el lugar geomeacutetrico que contiene a las siguientes parejas ordenadas (5 25)(4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4) (3 9) (4 16) (5 25)
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero colocamos las parejas ordenadas en una tabla para visualizar la relacioacuten entre las abscisas y lasordenadas
x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
y iquest 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 17
Para encontrar la relacioacuten debemos preguntarnos iquestqueacute le hacemos a5 para que sea 25 iquesta4 para quesea 16 iquesta 3 para que sea 9 etceacutetera
Si pensamos un poco la respuesta es evidentehellip iexclClaro Lo elevamos al cuadrado o sea
25
(
5)
2
16
(
4)
2
9
(
3)
2
etceacutetera
Por tanto la relacioacuten es y x 2
Recordemos que las ecuaciones de este tipo por lo general representan una paraacutebola con veacutertice enel origen que es la uacutenica interseccioacuten con el eje X o Y para verificar lo anterior desarrollemos la partegeomeacutetrica
bull Parte geomeacutetrica
Si graficamos los puntos que tenemos y los
unimos con una curva suave entonces seforma la paraacutebola coacutencava hacia arriba consu veacutertice en el origen
5
10
15
20
25
55 X
Y
bull Conclusioacuten
Entonces tenemos que los puntos (5 25) (4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4)(3 9) (4 16) (5 25) representan el lugar geomeacutetrico denominado paraacutebola con veacutertice en el origen cuya
ecuacioacuten es y x 2
3 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y x 2 4
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero tabulemos la ecuacioacutenComo vimos las liacuteneas rectas soacutelo necesitan 2 puntos en la tabulacioacuten pero en este caso no hablamos
de una ecuacioacuten lineal asiacute que en todas las ecuaciones diferentes de las lineales se tendraacuten que tabular
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Utilizas
distintasformas dela ecuacioacutende una recta
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan realizar
un estudio de las propiedades geomeacutetricas de la recta y de sus
posibilidades analiacuteticas
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta
bull Transforma ecuaciones de una forma a otra
bull Utiliza distintas formas de la ecuacioacuten de la recta para solucionar
problemas yo ejercicios de la vida cotidiana
Bloque IV
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copy P h o t o r e d a k t o r D r e a m s t i m e
Objetos de aprendizaje
bull Ecuaciones de la recta
991252Pendiente y ordenada al origen
991252Punto-pendiente 991252Dos puntos
991252Simeacutetrica
bull Ecuacioacuten general y normal de la ecuacioacuten de la recta
bull Distancia de la recta a un punto
bull Distancia entre dos rectas paralelas
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas o graacute1047297cas
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exivacomprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis y disentildea y aplica modelos para probar
su validez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla
un proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten
con pasos especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras
personas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicas
del campo de matemaacuteticasbull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisis
de situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales medianteel lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea
de la informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental
o matemaacuteticamente las magnitudes del espacio
y de las propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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108
Responde correctamente las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es la distancia maacutes corta entre dos puntos
2 iquestCuaacuteles son las referencias miacutenimas para definir una recta en el plano
3 iquestCoacutemo se llama al punto de interseccioacuten de una recta con el eje Y
4 iquestCoacutemo se denomina a la interseccioacuten de la recta con el eje X
5 iquestEn queacute forma de la ecuacioacuten de la recta se puede identificar de inmediato su ldquoinclinacioacutenrdquo y la interseccioacuten de
esta con el eje Y
6 iquestCoacutemo se conoce a la forma de la ecuacioacuten de una recta que contiene como elementos su abscisa y su orde-nada al origen
7 iquestCoacutemo se escribe la expresioacuten para la forma general de la ecuacioacuten de la recta
8 iquestCuaacuteles son las referencias que necesitamos para emplear la forma normal de la ecuacioacuten de la recta
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 109
Para determinar una recta siempre se necesitan dos referencias como miacutenimo y
esto nos permite usar una forma de la ecuacioacuten de acuerdo con los datos que seproporcionan
1 La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos2 La forma punto-punto que requiere dos puntos pertenecientes a la recta
3 La forma simeacutetrica usa las intersecciones con los ejes
4 La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores
5 La forma normal emplea la distancia al origen y el aacutengulo de inclinacioacuten de la
recta que representa dicha distancia
Estudiaremos todas a lo largo del bloque
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendientey ordenada en el origeniquestCoacutemo se puede trazar la graacute1047297ca de una recta de manera raacutepida y sin la ayudade una tabulacioacuten Necesitamos dos referencias una de ellas puede ser un punto
ldquoespecialrdquo que obtenemos de la interseccioacuten con el eje Y al que se designa con laletra b por tanto sus coordenadas son (0 b) y se le llama ordenada en el origen
la otra referencia es m la pendiente iquestCoacutemo identi1047297carla en la ecuacioacuten de unarecta iexclEs muy faacutecil
A partir de la de1047297nicioacuten del punto al cual corresponde la ordenada en el origen
(0 b) y la pendiente de una recta (m) podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuacioacuten de la recta veamos
y = mx + b
expresioacuten que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquierpunto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y su-
mada a la interseccioacuten con el eje Y
Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta
9 iquestCuaacuteles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta
10 iquestCuaacuteles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas
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110 Matemaacuteticas III
Ejemplos
1 Grafica la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen
y mx b
y 3x 2
Entonces la ecuacioacuten tiene como ordenada en el origen b 2 estosignifica que en ese lugar la recta interseca al eje Y ademaacutes es faacutecilobservar que la pendiente es m 3 Graacuteficamente
Si deseas trazar la recta puedes graficarla pendiente a partir de la ordenada enel origen tal como vimos en el bloqueanterior
2 Grafica la ecuacioacuten y 3
2
x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Toma la ecuacioacuten y compaacuterala con la forma pendiente-ordenada en el origen
y 32
x 2
y mx b
A esta forma de la recta se le denomina forma comuacuten o pendiente-ordenada
en el origen y es muy uacutetil ya que mediante ella es posible identi1047297car de inmediatola pendiente y la ordenada en el origen
X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
b Ordenada en el origen
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
Portal de Conocimiento
DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
Student ResourcIn Conte
Portal de Conocimie
SOLUCIONES PARA LA INVESTIGACIOacuteN Y LA BIBLIOTECA
CIENCIAS E INGENIERIacuteA MULTIDISCIPLINAR
Accesa con esta direccioacuten a tus soluciones de investigacioacuten
httpwwwcengagecommxportaldelconocimiento
TIPOS DE CONTENIDOPublicaciones acadeacutemicas revistas noticias podcasts
imaacutegenes videos y ligas a sitios web
wwwcengagecom
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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14 Matemaacuteticas III
c ) En la clase de Biologiacutea Pati realizoacute un experimento paraobservar el crecimiento de una colonia de bacilos Seregistraron los siguientes datos anotando el tiempo quetranscurrioacute y el nuacutemero de bacilos presentes en el ex-perimento
bull 200 bacilos en 6 minutosbull 300 bacilos en 12 minutosbull 500 bacilos en 18 minutosbull 1000 bacilos en 24 minutosbull 1800 bacilos en 30 minutos
Representen los pares de valores que Pati recaboacute en un sistema de coordenadas rectangulares en el que el ejehorizontal sea el tiempo y el eje vertical el nuacutemero de bacilos
copy
M a t e j K a s t e l i c S h u t t e r s t o c k
En geometriacutea analiacutetica pueden presentarse dos problemas fundamentales relacio-nados con los lugares geomeacutetricos
1 Dada una ecuacioacuten encuentra el lugar geomeacutetrico que la representa2 Dado un lugar geomeacutetrico encuentra la ecuacioacuten que lo representa
Con esto en mente podemos hablar de un meacutetodo general para resolver proble-mas de geometriacutea analiacutetica que consta de tres secciones bien de1047297nidas
1 Geomeacutetrica En esta expondraacutes todo lo que sabes respecto al lugar geomeacutetricoque se propone antes de iniciar con el anaacutelisis
2 Analiacutetica Aquiacute efectuaraacutes el anaacutelisis de las ecuaciones dadas para ello usaraacutesaacutelgebra y aritmeacutetica
3 Conclusioacuten Esta parte es importantiacutesima ya que aquiacute redactaraacutes lo que hayas
encontrado a lo largo de todo el proceso
Encontraraacutes problemas en los que es preciso efectuar primero la parte analiacutetica y
despueacutes la geomeacutetrica sin embargo habraacute otros en los que tanto la parte analiacuteticacomo la geomeacutetrica deberaacuten desarrollarse al mismo tiempo pero en cualquiera delos casos ambas estaacuten presentes
Cuando queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con una expresioacutenalgebraica sugerimos realizar los siguientes pasos
1 Haz una tabulacioacuten en donde se asignen valores a x
2 Calcula los valores de y sustituyendo en la ecuacioacuten original
Objeto de aprendizaje Lugares geomeacutetricos
Lugar geomeacutetrico Es un conjuntode puntos que cumplen una
propiedad geomeacutetrica en particular G L O
S A R I O
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 15
3 Calcula las intersecciones con los ejes
a) Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y
b) Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
4 Por uacuteltimo elabora la graacute1047297ca colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten
con los ejes
Ejemplos
1 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Si observas la ecuacioacuten te daraacutes cuenta de que es una ecuacioacuten lineal por lo que se representa como unarecta pero iquestcuaacuteles son las caracteriacutesticas de esta recta en particular Sigamos los pasos propuestos re-cuerda que para graficar una liacutenea recta son suficientes dos puntos
x 2 1
y 4 5
(x y ) (2 4) (1 5)
Para las intersecciones con los ejes
Con el eje Y x
0 y 3x 2
y 3(0) 2
y 0 2
y 2
La interseccioacuten con el eje Y es el punto (0 2)Con el eje X y 0
y 3x 2
0 3x 2
0 2 3x
23
x
x 23
La interseccioacuten con el eje X es el punto 23
0
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16 Matemaacuteticas III
bull Parte geomeacutetrica
Haciendo la graacutefica tenemos que el lugar geomeacutetrico y 3x 2 es
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
y 3 x 2
X
Y
bull Conclusioacuten
El lugar geomeacutetrico es una liacutenea recta que interseca al eje Y en y 2 y al eje X en x 23
Por otro lado si queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con un conjunto de pares ordenadoste sugerimos seguir los siguientes pasos
a ) Hacer una tabulacioacuten con los valores de x y y
b ) Calcular la relacioacuten que se presenta entre los datos
c ) Calcular las intersecciones con los ejes
i Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y ii Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
d ) Por uacuteltimo hacer la graacutefica colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten con los ejes
2 iquestQueacute ecuacioacuten representaraacute el lugar geomeacutetrico que contiene a las siguientes parejas ordenadas (5 25)(4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4) (3 9) (4 16) (5 25)
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero colocamos las parejas ordenadas en una tabla para visualizar la relacioacuten entre las abscisas y lasordenadas
x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
y iquest 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 17
Para encontrar la relacioacuten debemos preguntarnos iquestqueacute le hacemos a5 para que sea 25 iquesta4 para quesea 16 iquesta 3 para que sea 9 etceacutetera
Si pensamos un poco la respuesta es evidentehellip iexclClaro Lo elevamos al cuadrado o sea
25
(
5)
2
16
(
4)
2
9
(
3)
2
etceacutetera
Por tanto la relacioacuten es y x 2
Recordemos que las ecuaciones de este tipo por lo general representan una paraacutebola con veacutertice enel origen que es la uacutenica interseccioacuten con el eje X o Y para verificar lo anterior desarrollemos la partegeomeacutetrica
bull Parte geomeacutetrica
Si graficamos los puntos que tenemos y los
unimos con una curva suave entonces seforma la paraacutebola coacutencava hacia arriba consu veacutertice en el origen
5
10
15
20
25
55 X
Y
bull Conclusioacuten
Entonces tenemos que los puntos (5 25) (4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4)(3 9) (4 16) (5 25) representan el lugar geomeacutetrico denominado paraacutebola con veacutertice en el origen cuya
ecuacioacuten es y x 2
3 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y x 2 4
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero tabulemos la ecuacioacutenComo vimos las liacuteneas rectas soacutelo necesitan 2 puntos en la tabulacioacuten pero en este caso no hablamos
de una ecuacioacuten lineal asiacute que en todas las ecuaciones diferentes de las lineales se tendraacuten que tabular
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Utilizas
distintasformas dela ecuacioacutende una recta
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan realizar
un estudio de las propiedades geomeacutetricas de la recta y de sus
posibilidades analiacuteticas
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta
bull Transforma ecuaciones de una forma a otra
bull Utiliza distintas formas de la ecuacioacuten de la recta para solucionar
problemas yo ejercicios de la vida cotidiana
Bloque IV
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copy P h o t o r e d a k t o r D r e a m s t i m e
Objetos de aprendizaje
bull Ecuaciones de la recta
991252Pendiente y ordenada al origen
991252Punto-pendiente 991252Dos puntos
991252Simeacutetrica
bull Ecuacioacuten general y normal de la ecuacioacuten de la recta
bull Distancia de la recta a un punto
bull Distancia entre dos rectas paralelas
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas o graacute1047297cas
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exivacomprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis y disentildea y aplica modelos para probar
su validez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla
un proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten
con pasos especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras
personas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicas
del campo de matemaacuteticasbull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisis
de situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales medianteel lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea
de la informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental
o matemaacuteticamente las magnitudes del espacio
y de las propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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108
Responde correctamente las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es la distancia maacutes corta entre dos puntos
2 iquestCuaacuteles son las referencias miacutenimas para definir una recta en el plano
3 iquestCoacutemo se llama al punto de interseccioacuten de una recta con el eje Y
4 iquestCoacutemo se denomina a la interseccioacuten de la recta con el eje X
5 iquestEn queacute forma de la ecuacioacuten de la recta se puede identificar de inmediato su ldquoinclinacioacutenrdquo y la interseccioacuten de
esta con el eje Y
6 iquestCoacutemo se conoce a la forma de la ecuacioacuten de una recta que contiene como elementos su abscisa y su orde-nada al origen
7 iquestCoacutemo se escribe la expresioacuten para la forma general de la ecuacioacuten de la recta
8 iquestCuaacuteles son las referencias que necesitamos para emplear la forma normal de la ecuacioacuten de la recta
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 109
Para determinar una recta siempre se necesitan dos referencias como miacutenimo y
esto nos permite usar una forma de la ecuacioacuten de acuerdo con los datos que seproporcionan
1 La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos2 La forma punto-punto que requiere dos puntos pertenecientes a la recta
3 La forma simeacutetrica usa las intersecciones con los ejes
4 La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores
5 La forma normal emplea la distancia al origen y el aacutengulo de inclinacioacuten de la
recta que representa dicha distancia
Estudiaremos todas a lo largo del bloque
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendientey ordenada en el origeniquestCoacutemo se puede trazar la graacute1047297ca de una recta de manera raacutepida y sin la ayudade una tabulacioacuten Necesitamos dos referencias una de ellas puede ser un punto
ldquoespecialrdquo que obtenemos de la interseccioacuten con el eje Y al que se designa con laletra b por tanto sus coordenadas son (0 b) y se le llama ordenada en el origen
la otra referencia es m la pendiente iquestCoacutemo identi1047297carla en la ecuacioacuten de unarecta iexclEs muy faacutecil
A partir de la de1047297nicioacuten del punto al cual corresponde la ordenada en el origen
(0 b) y la pendiente de una recta (m) podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuacioacuten de la recta veamos
y = mx + b
expresioacuten que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquierpunto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y su-
mada a la interseccioacuten con el eje Y
Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta
9 iquestCuaacuteles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta
10 iquestCuaacuteles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas
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110 Matemaacuteticas III
Ejemplos
1 Grafica la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen
y mx b
y 3x 2
Entonces la ecuacioacuten tiene como ordenada en el origen b 2 estosignifica que en ese lugar la recta interseca al eje Y ademaacutes es faacutecilobservar que la pendiente es m 3 Graacuteficamente
Si deseas trazar la recta puedes graficarla pendiente a partir de la ordenada enel origen tal como vimos en el bloqueanterior
2 Grafica la ecuacioacuten y 3
2
x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Toma la ecuacioacuten y compaacuterala con la forma pendiente-ordenada en el origen
y 32
x 2
y mx b
A esta forma de la recta se le denomina forma comuacuten o pendiente-ordenada
en el origen y es muy uacutetil ya que mediante ella es posible identi1047297car de inmediatola pendiente y la ordenada en el origen
X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
b Ordenada en el origen
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
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7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
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1
1
2
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7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
Portal de Conocimiento
DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
Student ResourcIn Conte
Portal de Conocimie
SOLUCIONES PARA LA INVESTIGACIOacuteN Y LA BIBLIOTECA
CIENCIAS E INGENIERIacuteA MULTIDISCIPLINAR
Accesa con esta direccioacuten a tus soluciones de investigacioacuten
httpwwwcengagecommxportaldelconocimiento
TIPOS DE CONTENIDOPublicaciones acadeacutemicas revistas noticias podcasts
imaacutegenes videos y ligas a sitios web
wwwcengagecom
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 15
3 Calcula las intersecciones con los ejes
a) Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y
b) Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
4 Por uacuteltimo elabora la graacute1047297ca colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten
con los ejes
Ejemplos
1 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Si observas la ecuacioacuten te daraacutes cuenta de que es una ecuacioacuten lineal por lo que se representa como unarecta pero iquestcuaacuteles son las caracteriacutesticas de esta recta en particular Sigamos los pasos propuestos re-cuerda que para graficar una liacutenea recta son suficientes dos puntos
x 2 1
y 4 5
(x y ) (2 4) (1 5)
Para las intersecciones con los ejes
Con el eje Y x
0 y 3x 2
y 3(0) 2
y 0 2
y 2
La interseccioacuten con el eje Y es el punto (0 2)Con el eje X y 0
y 3x 2
0 3x 2
0 2 3x
23
x
x 23
La interseccioacuten con el eje X es el punto 23
0
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16 Matemaacuteticas III
bull Parte geomeacutetrica
Haciendo la graacutefica tenemos que el lugar geomeacutetrico y 3x 2 es
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
y 3 x 2
X
Y
bull Conclusioacuten
El lugar geomeacutetrico es una liacutenea recta que interseca al eje Y en y 2 y al eje X en x 23
Por otro lado si queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con un conjunto de pares ordenadoste sugerimos seguir los siguientes pasos
a ) Hacer una tabulacioacuten con los valores de x y y
b ) Calcular la relacioacuten que se presenta entre los datos
c ) Calcular las intersecciones con los ejes
i Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y ii Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
d ) Por uacuteltimo hacer la graacutefica colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten con los ejes
2 iquestQueacute ecuacioacuten representaraacute el lugar geomeacutetrico que contiene a las siguientes parejas ordenadas (5 25)(4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4) (3 9) (4 16) (5 25)
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero colocamos las parejas ordenadas en una tabla para visualizar la relacioacuten entre las abscisas y lasordenadas
x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
y iquest 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 17
Para encontrar la relacioacuten debemos preguntarnos iquestqueacute le hacemos a5 para que sea 25 iquesta4 para quesea 16 iquesta 3 para que sea 9 etceacutetera
Si pensamos un poco la respuesta es evidentehellip iexclClaro Lo elevamos al cuadrado o sea
25
(
5)
2
16
(
4)
2
9
(
3)
2
etceacutetera
Por tanto la relacioacuten es y x 2
Recordemos que las ecuaciones de este tipo por lo general representan una paraacutebola con veacutertice enel origen que es la uacutenica interseccioacuten con el eje X o Y para verificar lo anterior desarrollemos la partegeomeacutetrica
bull Parte geomeacutetrica
Si graficamos los puntos que tenemos y los
unimos con una curva suave entonces seforma la paraacutebola coacutencava hacia arriba consu veacutertice en el origen
5
10
15
20
25
55 X
Y
bull Conclusioacuten
Entonces tenemos que los puntos (5 25) (4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4)(3 9) (4 16) (5 25) representan el lugar geomeacutetrico denominado paraacutebola con veacutertice en el origen cuya
ecuacioacuten es y x 2
3 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y x 2 4
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero tabulemos la ecuacioacutenComo vimos las liacuteneas rectas soacutelo necesitan 2 puntos en la tabulacioacuten pero en este caso no hablamos
de una ecuacioacuten lineal asiacute que en todas las ecuaciones diferentes de las lineales se tendraacuten que tabular
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Utilizas
distintasformas dela ecuacioacutende una recta
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan realizar
un estudio de las propiedades geomeacutetricas de la recta y de sus
posibilidades analiacuteticas
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta
bull Transforma ecuaciones de una forma a otra
bull Utiliza distintas formas de la ecuacioacuten de la recta para solucionar
problemas yo ejercicios de la vida cotidiana
Bloque IV
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copy P h o t o r e d a k t o r D r e a m s t i m e
Objetos de aprendizaje
bull Ecuaciones de la recta
991252Pendiente y ordenada al origen
991252Punto-pendiente 991252Dos puntos
991252Simeacutetrica
bull Ecuacioacuten general y normal de la ecuacioacuten de la recta
bull Distancia de la recta a un punto
bull Distancia entre dos rectas paralelas
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas o graacute1047297cas
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exivacomprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis y disentildea y aplica modelos para probar
su validez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla
un proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten
con pasos especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras
personas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicas
del campo de matemaacuteticasbull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisis
de situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales medianteel lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea
de la informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental
o matemaacuteticamente las magnitudes del espacio
y de las propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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108
Responde correctamente las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es la distancia maacutes corta entre dos puntos
2 iquestCuaacuteles son las referencias miacutenimas para definir una recta en el plano
3 iquestCoacutemo se llama al punto de interseccioacuten de una recta con el eje Y
4 iquestCoacutemo se denomina a la interseccioacuten de la recta con el eje X
5 iquestEn queacute forma de la ecuacioacuten de la recta se puede identificar de inmediato su ldquoinclinacioacutenrdquo y la interseccioacuten de
esta con el eje Y
6 iquestCoacutemo se conoce a la forma de la ecuacioacuten de una recta que contiene como elementos su abscisa y su orde-nada al origen
7 iquestCoacutemo se escribe la expresioacuten para la forma general de la ecuacioacuten de la recta
8 iquestCuaacuteles son las referencias que necesitamos para emplear la forma normal de la ecuacioacuten de la recta
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 109
Para determinar una recta siempre se necesitan dos referencias como miacutenimo y
esto nos permite usar una forma de la ecuacioacuten de acuerdo con los datos que seproporcionan
1 La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos2 La forma punto-punto que requiere dos puntos pertenecientes a la recta
3 La forma simeacutetrica usa las intersecciones con los ejes
4 La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores
5 La forma normal emplea la distancia al origen y el aacutengulo de inclinacioacuten de la
recta que representa dicha distancia
Estudiaremos todas a lo largo del bloque
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendientey ordenada en el origeniquestCoacutemo se puede trazar la graacute1047297ca de una recta de manera raacutepida y sin la ayudade una tabulacioacuten Necesitamos dos referencias una de ellas puede ser un punto
ldquoespecialrdquo que obtenemos de la interseccioacuten con el eje Y al que se designa con laletra b por tanto sus coordenadas son (0 b) y se le llama ordenada en el origen
la otra referencia es m la pendiente iquestCoacutemo identi1047297carla en la ecuacioacuten de unarecta iexclEs muy faacutecil
A partir de la de1047297nicioacuten del punto al cual corresponde la ordenada en el origen
(0 b) y la pendiente de una recta (m) podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuacioacuten de la recta veamos
y = mx + b
expresioacuten que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquierpunto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y su-
mada a la interseccioacuten con el eje Y
Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta
9 iquestCuaacuteles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta
10 iquestCuaacuteles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas
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110 Matemaacuteticas III
Ejemplos
1 Grafica la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen
y mx b
y 3x 2
Entonces la ecuacioacuten tiene como ordenada en el origen b 2 estosignifica que en ese lugar la recta interseca al eje Y ademaacutes es faacutecilobservar que la pendiente es m 3 Graacuteficamente
Si deseas trazar la recta puedes graficarla pendiente a partir de la ordenada enel origen tal como vimos en el bloqueanterior
2 Grafica la ecuacioacuten y 3
2
x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Toma la ecuacioacuten y compaacuterala con la forma pendiente-ordenada en el origen
y 32
x 2
y mx b
A esta forma de la recta se le denomina forma comuacuten o pendiente-ordenada
en el origen y es muy uacutetil ya que mediante ella es posible identi1047297car de inmediatola pendiente y la ordenada en el origen
X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
b Ordenada en el origen
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
Portal de Conocimiento
DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
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SOLUCIONES PARA LA INVESTIGACIOacuteN Y LA BIBLIOTECA
CIENCIAS E INGENIERIacuteA MULTIDISCIPLINAR
Accesa con esta direccioacuten a tus soluciones de investigacioacuten
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TIPOS DE CONTENIDOPublicaciones acadeacutemicas revistas noticias podcasts
imaacutegenes videos y ligas a sitios web
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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16 Matemaacuteticas III
bull Parte geomeacutetrica
Haciendo la graacutefica tenemos que el lugar geomeacutetrico y 3x 2 es
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7
y 3 x 2
X
Y
bull Conclusioacuten
El lugar geomeacutetrico es una liacutenea recta que interseca al eje Y en y 2 y al eje X en x 23
Por otro lado si queremos saber cuaacutel es el lugar geomeacutetrico asociado con un conjunto de pares ordenadoste sugerimos seguir los siguientes pasos
a ) Hacer una tabulacioacuten con los valores de x y y
b ) Calcular la relacioacuten que se presenta entre los datos
c ) Calcular las intersecciones con los ejes
i Para el corte en el eje Y toma x 0 y calcula el valor de y ii Para el corte en el eje X toma y 0 y calcula el valor de x
d ) Por uacuteltimo hacer la graacutefica colocando los puntos tabulados y la interseccioacuten con los ejes
2 iquestQueacute ecuacioacuten representaraacute el lugar geomeacutetrico que contiene a las siguientes parejas ordenadas (5 25)(4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4) (3 9) (4 16) (5 25)
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero colocamos las parejas ordenadas en una tabla para visualizar la relacioacuten entre las abscisas y lasordenadas
x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
y iquest 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 17
Para encontrar la relacioacuten debemos preguntarnos iquestqueacute le hacemos a5 para que sea 25 iquesta4 para quesea 16 iquesta 3 para que sea 9 etceacutetera
Si pensamos un poco la respuesta es evidentehellip iexclClaro Lo elevamos al cuadrado o sea
25
(
5)
2
16
(
4)
2
9
(
3)
2
etceacutetera
Por tanto la relacioacuten es y x 2
Recordemos que las ecuaciones de este tipo por lo general representan una paraacutebola con veacutertice enel origen que es la uacutenica interseccioacuten con el eje X o Y para verificar lo anterior desarrollemos la partegeomeacutetrica
bull Parte geomeacutetrica
Si graficamos los puntos que tenemos y los
unimos con una curva suave entonces seforma la paraacutebola coacutencava hacia arriba consu veacutertice en el origen
5
10
15
20
25
55 X
Y
bull Conclusioacuten
Entonces tenemos que los puntos (5 25) (4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4)(3 9) (4 16) (5 25) representan el lugar geomeacutetrico denominado paraacutebola con veacutertice en el origen cuya
ecuacioacuten es y x 2
3 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y x 2 4
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero tabulemos la ecuacioacutenComo vimos las liacuteneas rectas soacutelo necesitan 2 puntos en la tabulacioacuten pero en este caso no hablamos
de una ecuacioacuten lineal asiacute que en todas las ecuaciones diferentes de las lineales se tendraacuten que tabular
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Utilizas
distintasformas dela ecuacioacutende una recta
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan realizar
un estudio de las propiedades geomeacutetricas de la recta y de sus
posibilidades analiacuteticas
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta
bull Transforma ecuaciones de una forma a otra
bull Utiliza distintas formas de la ecuacioacuten de la recta para solucionar
problemas yo ejercicios de la vida cotidiana
Bloque IV
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copy P h o t o r e d a k t o r D r e a m s t i m e
Objetos de aprendizaje
bull Ecuaciones de la recta
991252Pendiente y ordenada al origen
991252Punto-pendiente 991252Dos puntos
991252Simeacutetrica
bull Ecuacioacuten general y normal de la ecuacioacuten de la recta
bull Distancia de la recta a un punto
bull Distancia entre dos rectas paralelas
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas o graacute1047297cas
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exivacomprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis y disentildea y aplica modelos para probar
su validez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla
un proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten
con pasos especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras
personas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicas
del campo de matemaacuteticasbull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisis
de situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales medianteel lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea
de la informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental
o matemaacuteticamente las magnitudes del espacio
y de las propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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108
Responde correctamente las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es la distancia maacutes corta entre dos puntos
2 iquestCuaacuteles son las referencias miacutenimas para definir una recta en el plano
3 iquestCoacutemo se llama al punto de interseccioacuten de una recta con el eje Y
4 iquestCoacutemo se denomina a la interseccioacuten de la recta con el eje X
5 iquestEn queacute forma de la ecuacioacuten de la recta se puede identificar de inmediato su ldquoinclinacioacutenrdquo y la interseccioacuten de
esta con el eje Y
6 iquestCoacutemo se conoce a la forma de la ecuacioacuten de una recta que contiene como elementos su abscisa y su orde-nada al origen
7 iquestCoacutemo se escribe la expresioacuten para la forma general de la ecuacioacuten de la recta
8 iquestCuaacuteles son las referencias que necesitamos para emplear la forma normal de la ecuacioacuten de la recta
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 109
Para determinar una recta siempre se necesitan dos referencias como miacutenimo y
esto nos permite usar una forma de la ecuacioacuten de acuerdo con los datos que seproporcionan
1 La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos2 La forma punto-punto que requiere dos puntos pertenecientes a la recta
3 La forma simeacutetrica usa las intersecciones con los ejes
4 La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores
5 La forma normal emplea la distancia al origen y el aacutengulo de inclinacioacuten de la
recta que representa dicha distancia
Estudiaremos todas a lo largo del bloque
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendientey ordenada en el origeniquestCoacutemo se puede trazar la graacute1047297ca de una recta de manera raacutepida y sin la ayudade una tabulacioacuten Necesitamos dos referencias una de ellas puede ser un punto
ldquoespecialrdquo que obtenemos de la interseccioacuten con el eje Y al que se designa con laletra b por tanto sus coordenadas son (0 b) y se le llama ordenada en el origen
la otra referencia es m la pendiente iquestCoacutemo identi1047297carla en la ecuacioacuten de unarecta iexclEs muy faacutecil
A partir de la de1047297nicioacuten del punto al cual corresponde la ordenada en el origen
(0 b) y la pendiente de una recta (m) podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuacioacuten de la recta veamos
y = mx + b
expresioacuten que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquierpunto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y su-
mada a la interseccioacuten con el eje Y
Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta
9 iquestCuaacuteles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta
10 iquestCuaacuteles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas
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110 Matemaacuteticas III
Ejemplos
1 Grafica la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen
y mx b
y 3x 2
Entonces la ecuacioacuten tiene como ordenada en el origen b 2 estosignifica que en ese lugar la recta interseca al eje Y ademaacutes es faacutecilobservar que la pendiente es m 3 Graacuteficamente
Si deseas trazar la recta puedes graficarla pendiente a partir de la ordenada enel origen tal como vimos en el bloqueanterior
2 Grafica la ecuacioacuten y 3
2
x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Toma la ecuacioacuten y compaacuterala con la forma pendiente-ordenada en el origen
y 32
x 2
y mx b
A esta forma de la recta se le denomina forma comuacuten o pendiente-ordenada
en el origen y es muy uacutetil ya que mediante ella es posible identi1047297car de inmediatola pendiente y la ordenada en el origen
X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
b Ordenada en el origen
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
6
5
4
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2
1
1
2
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4
5
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Y
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1
1
2
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Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
6
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4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
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Y
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Y
Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
Portal de Conocimiento
DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
Student ResourcIn Conte
Portal de Conocimie
SOLUCIONES PARA LA INVESTIGACIOacuteN Y LA BIBLIOTECA
CIENCIAS E INGENIERIacuteA MULTIDISCIPLINAR
Accesa con esta direccioacuten a tus soluciones de investigacioacuten
httpwwwcengagecommxportaldelconocimiento
TIPOS DE CONTENIDOPublicaciones acadeacutemicas revistas noticias podcasts
imaacutegenes videos y ligas a sitios web
wwwcengagecom
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos 17
Para encontrar la relacioacuten debemos preguntarnos iquestqueacute le hacemos a5 para que sea 25 iquesta4 para quesea 16 iquesta 3 para que sea 9 etceacutetera
Si pensamos un poco la respuesta es evidentehellip iexclClaro Lo elevamos al cuadrado o sea
25
(
5)
2
16
(
4)
2
9
(
3)
2
etceacutetera
Por tanto la relacioacuten es y x 2
Recordemos que las ecuaciones de este tipo por lo general representan una paraacutebola con veacutertice enel origen que es la uacutenica interseccioacuten con el eje X o Y para verificar lo anterior desarrollemos la partegeomeacutetrica
bull Parte geomeacutetrica
Si graficamos los puntos que tenemos y los
unimos con una curva suave entonces seforma la paraacutebola coacutencava hacia arriba consu veacutertice en el origen
5
10
15
20
25
55 X
Y
bull Conclusioacuten
Entonces tenemos que los puntos (5 25) (4 16) (3 9) (2 4) (1 1) (0 0) (1 1) (2 4)(3 9) (4 16) (5 25) representan el lugar geomeacutetrico denominado paraacutebola con veacutertice en el origen cuya
ecuacioacuten es y x 2
3 iquestQueacute lugar geomeacutetrico representa la ecuacioacuten y x 2 4
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Primero tabulemos la ecuacioacutenComo vimos las liacuteneas rectas soacutelo necesitan 2 puntos en la tabulacioacuten pero en este caso no hablamos
de una ecuacioacuten lineal asiacute que en todas las ecuaciones diferentes de las lineales se tendraacuten que tabular
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Utilizas
distintasformas dela ecuacioacutende una recta
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan realizar
un estudio de las propiedades geomeacutetricas de la recta y de sus
posibilidades analiacuteticas
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta
bull Transforma ecuaciones de una forma a otra
bull Utiliza distintas formas de la ecuacioacuten de la recta para solucionar
problemas yo ejercicios de la vida cotidiana
Bloque IV
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copy P h o t o r e d a k t o r D r e a m s t i m e
Objetos de aprendizaje
bull Ecuaciones de la recta
991252Pendiente y ordenada al origen
991252Punto-pendiente 991252Dos puntos
991252Simeacutetrica
bull Ecuacioacuten general y normal de la ecuacioacuten de la recta
bull Distancia de la recta a un punto
bull Distancia entre dos rectas paralelas
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas o graacute1047297cas
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exivacomprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis y disentildea y aplica modelos para probar
su validez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla
un proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten
con pasos especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras
personas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicas
del campo de matemaacuteticasbull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisis
de situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales medianteel lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea
de la informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental
o matemaacuteticamente las magnitudes del espacio
y de las propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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108
Responde correctamente las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es la distancia maacutes corta entre dos puntos
2 iquestCuaacuteles son las referencias miacutenimas para definir una recta en el plano
3 iquestCoacutemo se llama al punto de interseccioacuten de una recta con el eje Y
4 iquestCoacutemo se denomina a la interseccioacuten de la recta con el eje X
5 iquestEn queacute forma de la ecuacioacuten de la recta se puede identificar de inmediato su ldquoinclinacioacutenrdquo y la interseccioacuten de
esta con el eje Y
6 iquestCoacutemo se conoce a la forma de la ecuacioacuten de una recta que contiene como elementos su abscisa y su orde-nada al origen
7 iquestCoacutemo se escribe la expresioacuten para la forma general de la ecuacioacuten de la recta
8 iquestCuaacuteles son las referencias que necesitamos para emplear la forma normal de la ecuacioacuten de la recta
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 109
Para determinar una recta siempre se necesitan dos referencias como miacutenimo y
esto nos permite usar una forma de la ecuacioacuten de acuerdo con los datos que seproporcionan
1 La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos2 La forma punto-punto que requiere dos puntos pertenecientes a la recta
3 La forma simeacutetrica usa las intersecciones con los ejes
4 La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores
5 La forma normal emplea la distancia al origen y el aacutengulo de inclinacioacuten de la
recta que representa dicha distancia
Estudiaremos todas a lo largo del bloque
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendientey ordenada en el origeniquestCoacutemo se puede trazar la graacute1047297ca de una recta de manera raacutepida y sin la ayudade una tabulacioacuten Necesitamos dos referencias una de ellas puede ser un punto
ldquoespecialrdquo que obtenemos de la interseccioacuten con el eje Y al que se designa con laletra b por tanto sus coordenadas son (0 b) y se le llama ordenada en el origen
la otra referencia es m la pendiente iquestCoacutemo identi1047297carla en la ecuacioacuten de unarecta iexclEs muy faacutecil
A partir de la de1047297nicioacuten del punto al cual corresponde la ordenada en el origen
(0 b) y la pendiente de una recta (m) podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuacioacuten de la recta veamos
y = mx + b
expresioacuten que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquierpunto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y su-
mada a la interseccioacuten con el eje Y
Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta
9 iquestCuaacuteles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta
10 iquestCuaacuteles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas
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110 Matemaacuteticas III
Ejemplos
1 Grafica la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen
y mx b
y 3x 2
Entonces la ecuacioacuten tiene como ordenada en el origen b 2 estosignifica que en ese lugar la recta interseca al eje Y ademaacutes es faacutecilobservar que la pendiente es m 3 Graacuteficamente
Si deseas trazar la recta puedes graficarla pendiente a partir de la ordenada enel origen tal como vimos en el bloqueanterior
2 Grafica la ecuacioacuten y 3
2
x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Toma la ecuacioacuten y compaacuterala con la forma pendiente-ordenada en el origen
y 32
x 2
y mx b
A esta forma de la recta se le denomina forma comuacuten o pendiente-ordenada
en el origen y es muy uacutetil ya que mediante ella es posible identi1047297car de inmediatola pendiente y la ordenada en el origen
X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
b Ordenada en el origen
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
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8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
6
5
4
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2
1
1
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Y
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Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
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Y
3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
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Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
Portal de Conocimiento
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
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novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
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Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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Utilizas
distintasformas dela ecuacioacutende una recta
Propoacutesito
bull Que el(la) alumno(a) alcance desempentildeos que le permitan realizar
un estudio de las propiedades geomeacutetricas de la recta y de sus
posibilidades analiacuteticas
Desempentildeos del estudiante al concluirel bloque
bull Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta
bull Transforma ecuaciones de una forma a otra
bull Utiliza distintas formas de la ecuacioacuten de la recta para solucionar
problemas yo ejercicios de la vida cotidiana
Bloque IV
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copy P h o t o r e d a k t o r D r e a m s t i m e
Objetos de aprendizaje
bull Ecuaciones de la recta
991252Pendiente y ordenada al origen
991252Punto-pendiente 991252Dos puntos
991252Simeacutetrica
bull Ecuacioacuten general y normal de la ecuacioacuten de la recta
bull Distancia de la recta a un punto
bull Distancia entre dos rectas paralelas
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas o graacute1047297cas
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exivacomprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis y disentildea y aplica modelos para probar
su validez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla
un proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten
con pasos especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras
personas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicas
del campo de matemaacuteticasbull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisis
de situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales medianteel lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea
de la informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental
o matemaacuteticamente las magnitudes del espacio
y de las propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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108
Responde correctamente las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es la distancia maacutes corta entre dos puntos
2 iquestCuaacuteles son las referencias miacutenimas para definir una recta en el plano
3 iquestCoacutemo se llama al punto de interseccioacuten de una recta con el eje Y
4 iquestCoacutemo se denomina a la interseccioacuten de la recta con el eje X
5 iquestEn queacute forma de la ecuacioacuten de la recta se puede identificar de inmediato su ldquoinclinacioacutenrdquo y la interseccioacuten de
esta con el eje Y
6 iquestCoacutemo se conoce a la forma de la ecuacioacuten de una recta que contiene como elementos su abscisa y su orde-nada al origen
7 iquestCoacutemo se escribe la expresioacuten para la forma general de la ecuacioacuten de la recta
8 iquestCuaacuteles son las referencias que necesitamos para emplear la forma normal de la ecuacioacuten de la recta
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 109
Para determinar una recta siempre se necesitan dos referencias como miacutenimo y
esto nos permite usar una forma de la ecuacioacuten de acuerdo con los datos que seproporcionan
1 La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos2 La forma punto-punto que requiere dos puntos pertenecientes a la recta
3 La forma simeacutetrica usa las intersecciones con los ejes
4 La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores
5 La forma normal emplea la distancia al origen y el aacutengulo de inclinacioacuten de la
recta que representa dicha distancia
Estudiaremos todas a lo largo del bloque
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendientey ordenada en el origeniquestCoacutemo se puede trazar la graacute1047297ca de una recta de manera raacutepida y sin la ayudade una tabulacioacuten Necesitamos dos referencias una de ellas puede ser un punto
ldquoespecialrdquo que obtenemos de la interseccioacuten con el eje Y al que se designa con laletra b por tanto sus coordenadas son (0 b) y se le llama ordenada en el origen
la otra referencia es m la pendiente iquestCoacutemo identi1047297carla en la ecuacioacuten de unarecta iexclEs muy faacutecil
A partir de la de1047297nicioacuten del punto al cual corresponde la ordenada en el origen
(0 b) y la pendiente de una recta (m) podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuacioacuten de la recta veamos
y = mx + b
expresioacuten que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquierpunto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y su-
mada a la interseccioacuten con el eje Y
Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta
9 iquestCuaacuteles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta
10 iquestCuaacuteles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas
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110 Matemaacuteticas III
Ejemplos
1 Grafica la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen
y mx b
y 3x 2
Entonces la ecuacioacuten tiene como ordenada en el origen b 2 estosignifica que en ese lugar la recta interseca al eje Y ademaacutes es faacutecilobservar que la pendiente es m 3 Graacuteficamente
Si deseas trazar la recta puedes graficarla pendiente a partir de la ordenada enel origen tal como vimos en el bloqueanterior
2 Grafica la ecuacioacuten y 3
2
x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Toma la ecuacioacuten y compaacuterala con la forma pendiente-ordenada en el origen
y 32
x 2
y mx b
A esta forma de la recta se le denomina forma comuacuten o pendiente-ordenada
en el origen y es muy uacutetil ya que mediante ella es posible identi1047297car de inmediatola pendiente y la ordenada en el origen
X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
b Ordenada en el origen
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
6
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1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
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2
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1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
32
1
1
2
3
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5
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7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
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5
4
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1
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5
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Y
7
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5
4
3
2
1
1
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5
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Y
Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
Portal de Conocimiento
DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
Student ResourcIn Conte
Portal de Conocimie
SOLUCIONES PARA LA INVESTIGACIOacuteN Y LA BIBLIOTECA
CIENCIAS E INGENIERIacuteA MULTIDISCIPLINAR
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TIPOS DE CONTENIDOPublicaciones acadeacutemicas revistas noticias podcasts
imaacutegenes videos y ligas a sitios web
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
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Objetos de aprendizaje
bull Ecuaciones de la recta
991252Pendiente y ordenada al origen
991252Punto-pendiente 991252Dos puntos
991252Simeacutetrica
bull Ecuacioacuten general y normal de la ecuacioacuten de la recta
bull Distancia de la recta a un punto
bull Distancia entre dos rectas paralelas
Competencias a desarrollar
bull Expresa ideas y conceptos mediante representaciones linguumliacutesticas
matemaacuteticas o graacute1047297cas
bull Sigue instrucciones y procedimientos de manera re1047298exivacomprendiendo coacutemo cada uno de sus pasos contribuye al alcance
de un objetivo
bull Construye hipoacutetesis y disentildea y aplica modelos para probar
su validez
bull Utiliza las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten para
procesar e interpretar informacioacuten
bull Elige las fuentes de informacioacuten maacutes relevantes para un propoacutesito
especiacute1047297co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia
y con1047297abilidad
bull De1047297ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccioacuten
de conocimientos
bull Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla
un proyecto en equipo de1047297niendo un curso de accioacuten
con pasos especiacute1047297cos
bull Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras
personas de manera re1047298exiva
bull Asume una actitud constructiva congruente con los conocimientos
y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos
de trabajo
Competencias disciplinares baacutesicas
del campo de matemaacuteticasbull Construye e interpreta modelos matemaacuteticos mediante
la aplicacioacuten de procedimientos aritmeacuteticos algebraicos
geomeacutetricos y variacionales para la comprensioacuten y anaacutelisis
de situaciones reales hipoteacuteticas o formales
bull Formula y resuelve problemas matemaacuteticos aplicando diferentes
enfoques
bull Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales
bull Argumenta la solucioacuten obtenida de un problema con meacutetodos
numeacutericos graacute1047297cos analiacuteticos o variacionales medianteel lenguaje verbal matemaacutetico y el uso de la tecnologiacutea
de la informacioacuten y la comunicacioacuten
bull Cuanti1047297ca representa y contrasta experimental
o matemaacuteticamente las magnitudes del espacio
y de las propiedades fiacutesicas de los objetos que los rodean
bull Interpreta tablas graacute1047297cas mapas diagramas y textos
con siacutembolos matemaacuteticos y cientiacute1047297cos
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Responde correctamente las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es la distancia maacutes corta entre dos puntos
2 iquestCuaacuteles son las referencias miacutenimas para definir una recta en el plano
3 iquestCoacutemo se llama al punto de interseccioacuten de una recta con el eje Y
4 iquestCoacutemo se denomina a la interseccioacuten de la recta con el eje X
5 iquestEn queacute forma de la ecuacioacuten de la recta se puede identificar de inmediato su ldquoinclinacioacutenrdquo y la interseccioacuten de
esta con el eje Y
6 iquestCoacutemo se conoce a la forma de la ecuacioacuten de una recta que contiene como elementos su abscisa y su orde-nada al origen
7 iquestCoacutemo se escribe la expresioacuten para la forma general de la ecuacioacuten de la recta
8 iquestCuaacuteles son las referencias que necesitamos para emplear la forma normal de la ecuacioacuten de la recta
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 109
Para determinar una recta siempre se necesitan dos referencias como miacutenimo y
esto nos permite usar una forma de la ecuacioacuten de acuerdo con los datos que seproporcionan
1 La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos2 La forma punto-punto que requiere dos puntos pertenecientes a la recta
3 La forma simeacutetrica usa las intersecciones con los ejes
4 La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores
5 La forma normal emplea la distancia al origen y el aacutengulo de inclinacioacuten de la
recta que representa dicha distancia
Estudiaremos todas a lo largo del bloque
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendientey ordenada en el origeniquestCoacutemo se puede trazar la graacute1047297ca de una recta de manera raacutepida y sin la ayudade una tabulacioacuten Necesitamos dos referencias una de ellas puede ser un punto
ldquoespecialrdquo que obtenemos de la interseccioacuten con el eje Y al que se designa con laletra b por tanto sus coordenadas son (0 b) y se le llama ordenada en el origen
la otra referencia es m la pendiente iquestCoacutemo identi1047297carla en la ecuacioacuten de unarecta iexclEs muy faacutecil
A partir de la de1047297nicioacuten del punto al cual corresponde la ordenada en el origen
(0 b) y la pendiente de una recta (m) podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuacioacuten de la recta veamos
y = mx + b
expresioacuten que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquierpunto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y su-
mada a la interseccioacuten con el eje Y
Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta
9 iquestCuaacuteles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta
10 iquestCuaacuteles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas
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110 Matemaacuteticas III
Ejemplos
1 Grafica la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen
y mx b
y 3x 2
Entonces la ecuacioacuten tiene como ordenada en el origen b 2 estosignifica que en ese lugar la recta interseca al eje Y ademaacutes es faacutecilobservar que la pendiente es m 3 Graacuteficamente
Si deseas trazar la recta puedes graficarla pendiente a partir de la ordenada enel origen tal como vimos en el bloqueanterior
2 Grafica la ecuacioacuten y 3
2
x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Toma la ecuacioacuten y compaacuterala con la forma pendiente-ordenada en el origen
y 32
x 2
y mx b
A esta forma de la recta se le denomina forma comuacuten o pendiente-ordenada
en el origen y es muy uacutetil ya que mediante ella es posible identi1047297car de inmediatola pendiente y la ordenada en el origen
X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
b Ordenada en el origen
10
9
8
7
6
5
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1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
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5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
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1
1
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6
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7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
6
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7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
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5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
32
1
1
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7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
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5
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7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
Portal de Conocimiento
DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
Student ResourcIn Conte
Portal de Conocimie
SOLUCIONES PARA LA INVESTIGACIOacuteN Y LA BIBLIOTECA
CIENCIAS E INGENIERIacuteA MULTIDISCIPLINAR
Accesa con esta direccioacuten a tus soluciones de investigacioacuten
httpwwwcengagecommxportaldelconocimiento
TIPOS DE CONTENIDOPublicaciones acadeacutemicas revistas noticias podcasts
imaacutegenes videos y ligas a sitios web
wwwcengagecom
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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108
Responde correctamente las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es la distancia maacutes corta entre dos puntos
2 iquestCuaacuteles son las referencias miacutenimas para definir una recta en el plano
3 iquestCoacutemo se llama al punto de interseccioacuten de una recta con el eje Y
4 iquestCoacutemo se denomina a la interseccioacuten de la recta con el eje X
5 iquestEn queacute forma de la ecuacioacuten de la recta se puede identificar de inmediato su ldquoinclinacioacutenrdquo y la interseccioacuten de
esta con el eje Y
6 iquestCoacutemo se conoce a la forma de la ecuacioacuten de una recta que contiene como elementos su abscisa y su orde-nada al origen
7 iquestCoacutemo se escribe la expresioacuten para la forma general de la ecuacioacuten de la recta
8 iquestCuaacuteles son las referencias que necesitamos para emplear la forma normal de la ecuacioacuten de la recta
Evaluacioacuten diagnoacutestica
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 109
Para determinar una recta siempre se necesitan dos referencias como miacutenimo y
esto nos permite usar una forma de la ecuacioacuten de acuerdo con los datos que seproporcionan
1 La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos2 La forma punto-punto que requiere dos puntos pertenecientes a la recta
3 La forma simeacutetrica usa las intersecciones con los ejes
4 La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores
5 La forma normal emplea la distancia al origen y el aacutengulo de inclinacioacuten de la
recta que representa dicha distancia
Estudiaremos todas a lo largo del bloque
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendientey ordenada en el origeniquestCoacutemo se puede trazar la graacute1047297ca de una recta de manera raacutepida y sin la ayudade una tabulacioacuten Necesitamos dos referencias una de ellas puede ser un punto
ldquoespecialrdquo que obtenemos de la interseccioacuten con el eje Y al que se designa con laletra b por tanto sus coordenadas son (0 b) y se le llama ordenada en el origen
la otra referencia es m la pendiente iquestCoacutemo identi1047297carla en la ecuacioacuten de unarecta iexclEs muy faacutecil
A partir de la de1047297nicioacuten del punto al cual corresponde la ordenada en el origen
(0 b) y la pendiente de una recta (m) podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuacioacuten de la recta veamos
y = mx + b
expresioacuten que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquierpunto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y su-
mada a la interseccioacuten con el eje Y
Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta
9 iquestCuaacuteles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta
10 iquestCuaacuteles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas
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110 Matemaacuteticas III
Ejemplos
1 Grafica la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen
y mx b
y 3x 2
Entonces la ecuacioacuten tiene como ordenada en el origen b 2 estosignifica que en ese lugar la recta interseca al eje Y ademaacutes es faacutecilobservar que la pendiente es m 3 Graacuteficamente
Si deseas trazar la recta puedes graficarla pendiente a partir de la ordenada enel origen tal como vimos en el bloqueanterior
2 Grafica la ecuacioacuten y 3
2
x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Toma la ecuacioacuten y compaacuterala con la forma pendiente-ordenada en el origen
y 32
x 2
y mx b
A esta forma de la recta se le denomina forma comuacuten o pendiente-ordenada
en el origen y es muy uacutetil ya que mediante ella es posible identi1047297car de inmediatola pendiente y la ordenada en el origen
X
Y
7
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1 2 3 4 5 6 7
b Ordenada en el origen
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
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1
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
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1
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Y
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Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
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Y
7
6
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4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
6
5
4
32
1
1
2
3
4
5
6
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7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
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5
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32
1
1
2
3
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5
6
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7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
6
5
4
3
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1
1
2
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7
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4
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1
1
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6
7
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Y
Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
Portal de Conocimiento
DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
Student ResourcIn Conte
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SOLUCIONES PARA LA INVESTIGACIOacuteN Y LA BIBLIOTECA
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TIPOS DE CONTENIDOPublicaciones acadeacutemicas revistas noticias podcasts
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 109
Para determinar una recta siempre se necesitan dos referencias como miacutenimo y
esto nos permite usar una forma de la ecuacioacuten de acuerdo con los datos que seproporcionan
1 La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos2 La forma punto-punto que requiere dos puntos pertenecientes a la recta
3 La forma simeacutetrica usa las intersecciones con los ejes
4 La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores
5 La forma normal emplea la distancia al origen y el aacutengulo de inclinacioacuten de la
recta que representa dicha distancia
Estudiaremos todas a lo largo del bloque
Ecuacioacuten de la recta dadas su pendientey ordenada en el origeniquestCoacutemo se puede trazar la graacute1047297ca de una recta de manera raacutepida y sin la ayudade una tabulacioacuten Necesitamos dos referencias una de ellas puede ser un punto
ldquoespecialrdquo que obtenemos de la interseccioacuten con el eje Y al que se designa con laletra b por tanto sus coordenadas son (0 b) y se le llama ordenada en el origen
la otra referencia es m la pendiente iquestCoacutemo identi1047297carla en la ecuacioacuten de unarecta iexclEs muy faacutecil
A partir de la de1047297nicioacuten del punto al cual corresponde la ordenada en el origen
(0 b) y la pendiente de una recta (m) podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuacioacuten de la recta veamos
y = mx + b
expresioacuten que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquierpunto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y su-
mada a la interseccioacuten con el eje Y
Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta
9 iquestCuaacuteles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta
10 iquestCuaacuteles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas
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110 Matemaacuteticas III
Ejemplos
1 Grafica la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen
y mx b
y 3x 2
Entonces la ecuacioacuten tiene como ordenada en el origen b 2 estosignifica que en ese lugar la recta interseca al eje Y ademaacutes es faacutecilobservar que la pendiente es m 3 Graacuteficamente
Si deseas trazar la recta puedes graficarla pendiente a partir de la ordenada enel origen tal como vimos en el bloqueanterior
2 Grafica la ecuacioacuten y 3
2
x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Toma la ecuacioacuten y compaacuterala con la forma pendiente-ordenada en el origen
y 32
x 2
y mx b
A esta forma de la recta se le denomina forma comuacuten o pendiente-ordenada
en el origen y es muy uacutetil ya que mediante ella es posible identi1047297car de inmediatola pendiente y la ordenada en el origen
X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
b Ordenada en el origen
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
6
5
4
3
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1
1
2
3
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6
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7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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1
1
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Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
7
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1
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7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
8122019 Ibantildeez Mate Issuu
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
6
5
4
32
1
1
2
3
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5
6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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Y
Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
Portal de Conocimiento
DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
Student ResourcIn Conte
Portal de Conocimie
SOLUCIONES PARA LA INVESTIGACIOacuteN Y LA BIBLIOTECA
CIENCIAS E INGENIERIacuteA MULTIDISCIPLINAR
Accesa con esta direccioacuten a tus soluciones de investigacioacuten
httpwwwcengagecommxportaldelconocimiento
TIPOS DE CONTENIDOPublicaciones acadeacutemicas revistas noticias podcasts
imaacutegenes videos y ligas a sitios web
wwwcengagecom
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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110 Matemaacuteticas III
Ejemplos
1 Grafica la ecuacioacuten y 3x 2
Solucioacuten
Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen
y mx b
y 3x 2
Entonces la ecuacioacuten tiene como ordenada en el origen b 2 estosignifica que en ese lugar la recta interseca al eje Y ademaacutes es faacutecilobservar que la pendiente es m 3 Graacuteficamente
Si deseas trazar la recta puedes graficarla pendiente a partir de la ordenada enel origen tal como vimos en el bloqueanterior
2 Grafica la ecuacioacuten y 3
2
x 2
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Toma la ecuacioacuten y compaacuterala con la forma pendiente-ordenada en el origen
y 32
x 2
y mx b
A esta forma de la recta se le denomina forma comuacuten o pendiente-ordenada
en el origen y es muy uacutetil ya que mediante ella es posible identi1047297car de inmediatola pendiente y la ordenada en el origen
X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
b Ordenada en el origen
10
9
8
7
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1
1
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3
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9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
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5
6
7
8
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10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
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10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
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7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
6
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Y
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6
7
7654321 1 2 3 4 5 6 7 X
Y
3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
8122019 Ibantildeez Mate Issuu
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
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5
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Y
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Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
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CIENCIAS E INGENIERIacuteA MULTIDISCIPLINAR
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 111
De donde
m 32
b 2
bull
Parte geomeacutetrica Localizando el punto (0 b ) que en este caso es (0 2) y graficando los avances vertical y horizontal quenos deacute la pendiente obtenemos la siguiente recta
Pero iquestqueacute pasariacutea si la pendiente es negativa
3 Grafica la ecuacioacuten y
4x
5
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
De la ecuacioacuten se obtiene
m 41
b 5
bull Parte geomeacutetrica Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-tenidos anteriormente
y 3
2 x 2
3
Ordenada en
el origen b
m 3
2
Pendiente
2
4 x y 5 0
Recuerda que si el
numerador es negativo
entonces debemos
recorrernos hacia abajo
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
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3
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1
2
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10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
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10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
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y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
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3
2
1
1
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Y
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Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
6
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3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
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5
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Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
Portal de Conocimiento
DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
Student ResourcIn Conte
Portal de Conocimie
SOLUCIONES PARA LA INVESTIGACIOacuteN Y LA BIBLIOTECA
CIENCIAS E INGENIERIacuteA MULTIDISCIPLINAR
Accesa con esta direccioacuten a tus soluciones de investigacioacuten
httpwwwcengagecommxportaldelconocimiento
TIPOS DE CONTENIDOPublicaciones acadeacutemicas revistas noticias podcasts
imaacutegenes videos y ligas a sitios web
wwwcengagecom
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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112 Matemaacuteticas III
4 Grafica la ecuacioacuten y 2x 3
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
m 21
b 3
bull Parte geomeacutetrica
Localicemos en el sistema de coordenadas los datosobtenidos anteriormente
Tambieacuten se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para
que encontremos la ecuacioacuten de una recta
1 Determina la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 2 y ordenada en el origen b 6
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica
Ya sabemos graficar raacutepidamente unarecta dada su ordenada en el origen ysu pendiente
bull Parte analiacutetica
Para determinar esta ecuacioacuten lo uacuteni-co que debemos hacer es sustituir losdatos que nos proporcionan en la for-ma comuacuten de la recta
y mx b
y 2x 6
2 x y 3 0
Ejemplos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
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3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
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5
4
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1
1
2
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Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
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DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
Student ResourcIn Conte
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CIENCIAS E INGENIERIacuteA MULTIDISCIPLINAR
Accesa con esta direccioacuten a tus soluciones de investigacioacuten
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imaacutegenes videos y ligas a sitios web
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 113
Si deseas escribir esta ecuacioacuten de otra forma lo maacutes conveniente es que la iguales a cero observa
2x y 6 0
Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta Por tanto la ecuacioacuten buscada es
2x y 6 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacuteficade la recta son 10
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10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y 2 x y 6 0
2 Calcula la ecuacioacuten de la recta que tiene pendiente m 12
y su interseccioacuten con el eje Y es 012
Solucioacuten
bull Parte geomeacutetrica Tomaremos m
12
y b 12
bull Parte analiacutetica
Sustituimos los datos que se propor-cionan en la forma comuacuten
y mx b
y 12
x 12
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
2
12
y
x 1
2
2 y x 1
Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
7
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
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3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
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Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
Portal de Conocimiento
DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
Student ResourcIn Conte
Portal de Conocimie
SOLUCIONES PARA LA INVESTIGACIOacuteN Y LA BIBLIOTECA
CIENCIAS E INGENIERIacuteA MULTIDISCIPLINAR
Accesa con esta direccioacuten a tus soluciones de investigacioacuten
httpwwwcengagecommxportaldelconocimiento
TIPOS DE CONTENIDOPublicaciones acadeacutemicas revistas noticias podcasts
imaacutegenes videos y ligas a sitios web
wwwcengagecom
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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114 Matemaacuteticas III
Ahora podemos expresarla de manera general
y x
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Asiacute que la ecuacioacuten que buscamos es
x 2 y 1 0
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten y la graacutefica que nos piden son
x 2 y 1 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia
1 Determinen la ecuacioacuten de la recta que corresponda a la pendiente e interseccioacuten con el eje Y que se indica
a ) m 3 b 7 e ) m 6
3
b 6
b ) m 6 b 4 f ) m 34
b 5
c ) m 12
b 2 g ) m 5 b 8
d ) m 53
b 15
h ) m 16
b 5
2 Determinen la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma comuacuten
a ) b )
Actividad 1
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
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3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
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Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
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Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
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Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
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SOLUCIONES PARA LA INVESTIGACIOacuteN Y LA BIBLIOTECA
CIENCIAS E INGENIERIacuteA MULTIDISCIPLINAR
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 115
c ) d )7
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3 De acuerdo con una investigacioacuten del perioacutedico La verdad
al diacutea las ecuaciones y 180x 170 y 180x 180y y 140x 150 representan lo que cuesta un viaje entaxi en el DF Guadalajara y Puebla respectivamente Lapendiente es el costo por kiloacutemetro y la ordenada en el ori-gen es la tarifa inicial Grafiquen las ecuaciones en el mis-mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomarun taxi en las tres ciudades
4 Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y comproacute un auto en 1986 equiparlo completamente le costoacutecerca de $250 00000 Investigoacute en revistas especializadas y concluyoacute que los costos de equipamiento aumen-tan $25 00000 por antildeo Escriban la ecuacioacuten lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representael costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986 Consideren que la tasa de incremento permanececonstante
copy C h a m e l e o n s E y e S h u t t e r s t o c k
Actividad de investigacioacuten 1
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen corroboren la forma de solucioacuten que se pre-sentoacute en el saloacuten y elaboren una presentacioacuten electroacutenica en la que se plasmen sus resultados y su conclusioacutenincluyan las fuentes y expoacutenganla ante el grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta actividad con la guiacuteade autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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116 Matemaacuteticas III
Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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118 Matemaacuteticas III
7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
6
5
4
32
1
1
2
3
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Actividad de investigacioacuten 2
Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
Portal de Conocimiento
DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
Student ResourcIn Conte
Portal de Conocimie
SOLUCIONES PARA LA INVESTIGACIOacuteN Y LA BIBLIOTECA
CIENCIAS E INGENIERIacuteA MULTIDISCIPLINAR
Accesa con esta direccioacuten a tus soluciones de investigacioacuten
httpwwwcengagecommxportaldelconocimiento
TIPOS DE CONTENIDOPublicaciones acadeacutemicas revistas noticias podcasts
imaacutegenes videos y ligas a sitios web
wwwcengagecom
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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Ecuacioacuten de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuacioacuten de una recta es una generalizacioacuten del casoanterior ya que se puede proporcionar un punto A(x 1 y 1) que pertenece a esta y su
pendiente m para calcular
y y 1 m (x x 1)
Guiacutea de autoobservacioacuten
Primero obteacuten tu calificacioacuten de manera individual coloca una en la puntuacioacuten que refleja tu desempentildeo en cadaindicador y suacutemalas para conocer el total Despueacutes reuacutenete con tus compantildeeros para realizar un promedio y obtenersu calificacioacuten como equipo
Desempentildeo
Nuacutemero Indicador Bueno
(2)
Regular
(1)
Malo
(0)
1 Utilizamos las TIC para obtener la informacioacuten y presentarla de maneracreativa
2 Corroboramos las formas de solucioacuten presentadas
3 Todo el equipo participoacute de manera responsable y colaborativa
4 Elegimos por lo menos tres fuentes de informacioacuten confiables y de acuerdocon el tema
5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestroscompantildeeros de manera reflexiva
Calificacioacuten
Ejemplo
Determina la ecuacioacuten de la recta que pasa por A(3 1) y tiene pendiente m 23
Grafica la recta
Solucioacuten
bull Parte analiacutetica
Sustituyendo el punto A(3 1) y m 23
en la forma punto-pendiente tenemos
y y 1 m (x x 1)
y 1 23
[x (3)]
3 ( y 1) 2(x 3)
3 y 3 2x 6
2x 3 y 3 6 0
2x 3 y 3 0
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
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Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
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Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
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Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
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Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta 117
bull Parte geomeacutetrica
Debemos ubicar el punto A(3 1) y despueacutes graficarla pendiente
bull Conclusioacuten
La ecuacioacuten de la recta que pasa por A(31) y tiene
pendiente m 23
es 2x 3 y 3 0
Organiacutezate con tus compantildeeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnosResuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes
1 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el aacutengulo de inclinacioacuten que
se indica (sugerencia recuerden que a partir del aacutengulo pueden obtener la pendiente)
a ) P (35) y 45deg d ) P (5 8) y m 23
b ) P (34) y m 45
e ) P (6 3) y m 47
c ) P (24) y 135deg
2 Determinen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (5 8) y que es perpendicular a la recta 2x y 5 0
3 Establezcan la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto P (8 9) y que es paralela a la recta 2x 3 y 24 0
4 Una recta pasa por el punto A(3 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (ndash2 2) y C (3 ndash4) Deter-minen su ecuacioacuten
5 Hallen la ecuacioacuten de la recta que tiene una pendiente de 4 y que pasa por el punto de interseccioacuten de lasrectas 3x y 7 0 y 4x 5 y 2 0
6 Calculen la ecuacioacuten de la recta que pasa por el punto de interseccioacuten de las rectas x 3 y 7 02x y 7 0 y es paralela a la recta 4x y 7 0
Actividad 2
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7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
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Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliograacuteficas oelectroacutenicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solucioacuten que se presentoacute en el saloacutenElaboren un documento de al menos una cuartilla en el que se plasmen sus resultados y su conclusioacuten incluyanal menos dos imaacutegenes y las fuentes Expoacutenganlo frente al grupo Por uacuteltimo evaluacuteen su desempentildeo en esta acti-vidad con la guiacutea de autoobservacioacuten que se presenta a continuacioacuten
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Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
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7 Escriban la ecuacioacuten que representa la graacutefica de cada figura en su forma punto-pendiente
a ) b )
c ) d )
7
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DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
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Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
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aprovechamiento escolar en el nivel medio superiorMatemaacuteticas III con enfoque por
competencias segunda edicioacuten surge de la necesidad de contar con un texto aacutegil
novedoso y actual que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias
que establece la Direccioacuten General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor
docente El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos
por la DGB
Bloque I Reconoces lugares geomeacutetricos
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectiliacuteneos y poliacutegonos
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomeacutetrico
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuacioacuten de una recta
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la paraacutebola
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Ademaacutes cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-
tas ruacutebricas listas de cotejo y guiacuteas de autoobservacioacuten que conforman las evaluacio-
nes diagnoacutestica formativa y sumativa con lo cual se subsana la necesidad de que eacutestas
sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
I SB N 1 0 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1
I SB N 1 3 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8
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Science In Context
DESCRIPCIOacuteNEste portal reuacutene contenido multimedia actual y relevante centra-do en conceptos cientiacuteficos clave tales como la eacutetica en la cienciaingenieriacutea cuaacutentica mecaacutenica y geneacutetica el monitoreo del medioambiente y maacutes El contenido de este portal enriquece y comple-menta los libros de texto y lleva eventos actuales y de gran intereacuteshasta el aulaAlgunas de las referencias que incluye son Gale Encyclopedia of Science World of Genetics History of Modern Science and Mathematics Macmillan Science Library
Portal de Conocimiento
DESCRIPCIOacuteNEste atractivo portal multidisciplinario provee informacioacuten sotodas las materias baacutesicas desde ciencia hasta historia o literatuLa informacioacuten aquiacute contenida es de gran utilidad para la realizacde trabajos investigaciones y proyectos
Ademaacutes de fomentar el desarrollo de la competencia investigat Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habili
des como el pensamiento criacutetico la solucioacuten de problemas la municacioacuten la colaboracioacuten la creatividad y la innovacioacuten
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CIENCIAS E INGENIERIacuteA MULTIDISCIPLINAR
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TERCER
SEMESTRE
Las matemaacuteticas se han convertido en un paraacutemetro internacional de medicioacuten del
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sean transparentes para el alumno y uacutetiles para el docente
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