IDEAL
Struktur bagian dari ring disebut ideal. Ideal merupakan subring
dari R yang memiliki sifat-sifat khusus. Sifat-sifat ideal akan
digunakan pada bab-bab selanjutnya. Definisi 3.2.1 Subring N dari
ring R disebut 1) ideal kanan dari ring R jika berlaku r R, n N nr
N
2) ideal kiri dari ring R jika berlaku r R, n N rn N
3) ideal dua sisi (ideal) dari ring R jika S merupakan ideal
kanan dan sekaligus ideal kiri, berarti jika berlaku r R, n N nr,
rn N.
Jelas bahwa {0} dan R merupakan ideal dari sebarang ring R.
Selanjutnya {0} disebut ideal trivial dari ring R dan R disebut
ideal tak sejati dari ring R, sedangkan ideal yang lain disebut
ideal sejati. Ring yang tidak mempunyai ideal sejati disebut ring
sederhana (simple ring). Secara umum di dalam suatu ring, ideal
kiri dengan ideal kanan mungkin saja berbeda. Tetapi bila ring R
yang kita bicarakan adalah ring komutatif, maka ideal kiri dengan
ideal kanan tidak mempunyai perbedaan sama sekali. Dari defenisi si
atas, kita dapat menyatakan bahwa suatu subring N dari ring R
adalah ideal kiri dari R jika untuk setiap r R berlaku rN N.
sebaliknya, suatu subring N dari ring R dikatakan sebagai ideal
kanan dari R jika Nr N untuk semua r R. untuk memeriksa suatu
subring merupakan suatu ideal, kita menggunakan cara yang
dikemukakan oleh teorema berikut ini.
Teorema 3.2.2 Andaikan R suatu ring. Suatu himpunan bagian tak
kosong N dari R dikatakan ideal dari R jika N memenuhi 1) Untuk
setiap a, b N diperoleh a b N 2) Untuk setiap n N dan setiap r R,
rn dan rn berada di N.
Bukti : Andaikan N adalah himpunan bagian tak kosong dari ring R
yang memenuhi aksioma (1) dan (2). Akan diperlihatkan bahwa N
adalah suatu ideal dari R. Menurut definisi 3.2.1, cukup
memperlihatkan bahwa N adalah subring dari R. Karena N tak kosong,
maka sedikitnya terdapat satu x N. Dengan menggunakan aksioma (1),
diperoleh fakta bahwa x x = 0 N. Selanjutnya dari aksioma (2) kita
ketahui bahwa untuk setiap x, y N diperoleh xy N. Akibatnya N
adalah suatu himpunan bagian dari R yang memenuhi aksioma (1) 0 (2)
(3) N
Sehingga menurut Teorema 3.1.2, N adalah subring dari R, dan
sekarang kita dapat menyatakan bahwa N adalah suatu ideal dari R.
Teorema 3.2.2 secara umum memberikan cara bagaimana memeriksa suatu
himpunan bagian dari suatu ring merupakan ideal atau tidak. (1)
Bila kita ingin menentukan N sebagai suatu ideal kiri, maka kita
cukup mengganti aksioma (2) dari Teorema 3.2.2 menjadi (2)
Sebaliknya, untuk memeriksa N sebagai suatu ideal kanan, aksima (2)
cukup diganti dengan
Contoh : 1. Himpunan {[ adalah ideal kiri dari ring {[ ] } ]
}
Dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks. Kita
pergunakan Teorema 3.2.2 untuk memperlihatkan N adalah suatu ideal
kiri.
Karena [ diperoleh
]
Untuk sebarang unsur A1 = [
] dan A2 = [
] di N,
[ [ Karena ( ), ( ) ]
]
[
]
Selanjutnya, bila B = [ unsur di N, maka
] adalah sebarang unsur dari R, dan A = [
] adalah sebarang
[
][
]
[
]
yang tentu saja berada di N. sehingga N adalah ideal kiri dari
R. Perhatikan bahwa untuk pasangan dua unsur [ ] [ ]
diperoleh
[
][
]
[
]
sehingga N bukan ideal kanan dari R.
2. Himpunan {[ adalah ideal kanan dari ring {[ ] } ] }
Dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks. Kita
pergunakan Teorema 3.2.2 untuk memperlihatkan N adalah suatu ideal
kanan. Karena [ diperoleh ] Untuk sebarang unsur A1 = [ ] dan A2 =
[ ] di N,
[ [ Karena ( ), ( )
] ]
[
]
Selanjutnya, bila B = [ unsur di N, maka
] adalah sebarang unsur dari R, dan A = [
] adalah sebarang
[ N bukan ideal kiri dari R, [
][
]
[
]
][
]
[
]
yang tentu saja berada di N. sehingga N adalah ideal kanan dari
R.
