IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

IDENTIDADES COCIENTES IDENTIDADES RECIPROCAS IDENTIDADES PITAGORICAS IDENTIDADES PARES O

IMPARES DEMOSTRACION DE

IDENTIDAD TRIGONOMETRICA

IDENTIDADES DE SUMA Y DIFERENCIA DE MEDIDA DE ANGULOS.

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICASUna identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).

Para verificar este tipo de ejercicios, la condición es trabajar con un solo miembro de la identidad, transformándolo hasta lograr la identidad con el otro miembro.

EJEMPLO:

IDENTIDADES COCIENTES

Las identidades trigonométricas por cociente que se utilizan en la resoluciónde problemas de trigonometría son:

Ejemplo: Demostrar que Resolución:Al sustituir la identidad trigonométrica por cociente (1) se tiene que

Por tanto

IDENTIDADES RECIPROCASFÓRMULAS DE LOS INVERSOS O DE LOS RECÍPROCOS

Un número es el inverso de otro, respecto de cierta operación, si al operar ambos entre sí dan como resultado el elemento neutro de esa operación.Por ejemplo: en la suma el elemento neutro es el cero, ya que el cero no altera o deja inalterado a todo número. De manera que el inverso del número + 14 es el - 14, ya que al operar ambos dan como resultado el cero (el elemento neutro de la suma). Por eso se le llama inverso aditivo. En la multiplicación, el elemento neutro es el uno, ya que el uno deja inalterado en la multiplicación resultado el uno (el elemento neutro de la multiplicación). Por eso se le llama inverso multiplicativo.Un sinónimo de inverso multiplicativo es recíproco .De tal manera que el significado que a las siguientes seis fórmulas se le va a dar al término inverso es el de inverso multiplicativo, o sea que multiplicadas entre sí dan el elemento neutro de la multiplicación: el uno. Por otra parte, cabe recordar que si un número n es el inverso multiplicativo de otro número m, lo que significa que nm = 1, entonces puede escribirse por simple despeje

Puede verse en las relaciones trigonométricas de la página 40 que la función seno y la función cosecante son recíprocos o inversos multiplicativos, ya que de su multiplicación se

obtiene igualmente el coseno con la secante son inversos multiplicativos, ya que

de su multiplicación se obtiene x r 1 y de la misma forma la tangente con la

cotangente también lo son, ya que de su multiplicación se obtiene 1 . De manera que las primeras seis fórmulas trigonométricas, llamadas por eso de los inversos o recíprocos , son:

IDENTIDADES PITAGÓRICAS

Son relaciones de igualdad entre funciones trigonométricas que se verifican para todo valor de la variable angular, siempre y cuando, la función trigonométrica este definida en dicho valor angular.

PROPIEDADES PARES E IMPARES

El seno, la cosecante, la tangente y la cotangente son funciones impares, el coseno y la secante son funciones pares.

sen(-t)= -sen t

cos(-t)= cos t

tan(-t)= -tan t

csc(-t)= -csc t

sec(-t)= sec t

cot(-t)= -cot t

DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Dada una proposición trigonométrica, demostrarla consiste en transformarla hasta convertirla en una igualdad que sea cierta sin lugar a dudas.

Para que una igualdad trigonométrica quede demostrada se debe llegar a:

1) una identidad, es decir, a algo igual a sí mismo; o bien

2) a una cualquiera de las fórmulas trigonométricas.

Recuerda que para demostrar identidades, no sólo debo contar con los conocimientos básicos de trigonometría, sino también con el conocimiento de operaciones con expresiones algebraicas, factorización productos notables, operaciones con fracciones, entre otros.

Debes agregarle otros ingredientes muy valiosos: mucha astucia, un poco de ingenio y bastante razonamiento lógico.

SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS

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Funciones Trigonométricas en Triángulos Rectángulos

Teorema de Pitágoras:

Si tenemos un triángulo

rectángulo (uno de sus ángulos es

de 90∘ como el que se muestra)

entonces: x2+ y2=z2

El valor de las identidades trigonométricas del ángulo mostrado θ son:

sin θ= yz

cosθ= xz

tanθ= yx

csc θ=zy

secθ=zx

cotθ=xy

Identidades de Ángulos Generales

En este caso r=√x2+ y2 y las identidades son:

sin θ= yr

cosθ= xr

tanθ= yx

csc θ=ry

secθ=rx

cotθ=xy

(Recuerde que si se utiliza el círculo unitario r =1)

Identidades Trigonométricas Fundamentales

1. csc θ= 1

sin θ 5. cot θ=cosθ

sin θ

2. secθ= 1

cos θ 6. cos2 θ+sin2θ=1

3. cot θ= 1

tan θ 7. 1+ tan2 θ=sec2θ

4. tanθ=sin θ

cosθ 8. 1+cot2θ=csc2 θ

Identidades Pares e Impares

1. sin(−θ )=−sin θ 2. cos (−θ )=cosθ 3. tan(−θ )=−tan θ

4. csc (−θ)=−cscθ 5. sec (−θ)=secθ 6. cot (−θ )=−cot θ

Formulas de Adición y Substracción de Ángulos

1. sin( α±β )=sin α cos β±sin β cosα

2. cos(α±β )=cosα cos β∓sin α cos β

3. tan(α±β )= tan α±tan β

1∓tan α tan β

BIBLIOGRAFÍA

http://indentimartha.blogspot.com/2007/09/identidades-trigonometricas.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Identidades_trigonométricas

http://dcb.fi-c.unam.mx/cerafin/bancorec/capsulasmatematicas/Identidades_trigonometricas_pitagoricas.pdf

http://www.fic.umich.mx/~lcastro/identidades%20trigonometricas.pdf

http://matematicamenteactivo.blogspot.com/2010/06/identidades-pitagoricas.html

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Funciones_Trigonom%C3%A9tricas_y_sus_inversas

http://mentes-matematicas.blogspot.com/2012/06/demostracion-de-identidades.html

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