145 Colegio TRILCE

TRILCECOLEGIOIdentidades trigonométricas de

la variable doble

Capítulo V

Objetivo

• Reconocer y aplicar convenientemente las fórmulas parael cálculo de las razones trigonométricas del doble deun ángulo.

• Aplicar las fórmulas en la simplificaciones deexpresiones.

• Adaptar las fórmulas a situaciones geométricas que loameriten.

Fórmulas básicas (x → 2x)

I. sen2x = 2senx.cosx

Por ejemplo:

• sen2α = 2senα.cosα• sen40° = 2sen20°.cos20°• sen80° = 2sen cos• sen4β = 2sen cos• senθ = 2sen cos• 2senθ.cosθ = sen2θ• 2sen4°.cos4° = sen8°• 2sen3β.cos3β =

II. cos2x = cos2x - sen2x

→ cos2x = 1 - 2sen2xcos2x = 2cos2x - 1

Por ejemplo:

• cos2φ = cos2φ - sen2φ• cos2β = cos2β - sen2β = 1 - 2sen2β

= 2cos2β - 1• cos40° = cos220° - sen220°

= 1 - 2sen220°= 2cos220° - 1

• cos4x = cos2 - sen2 =• cos20° = =

III. tan2x =xtan-1

xtan22

Por ejemplo:

• tan2β = ____________

• tan40° = ____________

Propiedades

I. (senx + cosx)2 = 1 + sen2x

Por ejemplo:

• (senβ + cosβ)2 = 1 + sen2β• (sen10° + cos10°)2 = 1 + sen20°• (sen3x + cos3x)2 =• (sen2β + cos2β)2 =

II. (senx - cosx)2 = 1 - sen2x

Por ejemplo:

• (sen4° - cos4°)2 = 1 - sen8°• (sen2x - cos2x)2 = 1 - sen4x• (sen10° - cos10°)2 =• (sen5β - cos5β)2 =

III. tanx + cotx = 2csc2x

Por ejemplo:

• tan20° + cot20° = 2csc40°• tan4x + cot4x =• tan3x + cot3x =

IV. cotx - tanx = 2cot2x

Por ejemplo:

• cot10° - tan10° = 2cot20°• cot2β - tan2β =• cot3β - tan3β =

Problemas resueltos

1. Reducir:

K =22

senxx2sen

xcosx2sen

+

a) 1 b) 4 c) 5d) 6 e) 8

Solución:Sabemos:

sen2x = 2senx.cosx

146Colegio TRILCE

Trigonometría

Luego:

→ K =22

senxxcos.senx2

xcosxcos.senx2

+

K = 4sen2x + 4cos2x

K = 4 )1

xcosxsen( 22 +

∴ K = 4

2. Simplificar:

K =senx1

xcos2x2sen+

+

a) 2senx b) 2tanx c) 2cosxd) 2 e) 2sen2x

Solución:sen2x = 2senx.cosx

en:

K =senx1

xcos2x2sen+

+

K =senx1

xcos2xcos.senx2+

+

Factorizando lo común:

K = )senx1()1senx(xcos2

++

K = 2cosx

3. Reducir:K = 8senx.cosx.cos2x.cos4x

a) sen4x b) sen16x c) sen64xd) sen8x e) senx

Solución:Ordenando:

K = 4. x2sen

xcos.senx2 .cos2x.cos4x

K = 2. x4sen

x2cos.x2sen2 .cos4x

K = 2sen4x.cos4x∴ K = sen8x

4. Simplificar:K = 4senx.cos3x - 4sen3x.cosx

a) senx b) sen2x c) sen4x

d) sen8x e) sen4x

Solución:En la expresión:

K = 4senx.cos3x - 4sen3x.cosxFactorizamos lo común:

K = 4senx.cosx.( x2cos

xsen-xcos 22 )

K = 2. x2sen

xcos.senx2 .cos2x

K = 2.sen2x.cos2x ∴ K = sen4x

5. Calcular un valor agudo para “x” que satisface:

senx.cosx.cos2x =83

a) 10° b) 15° c) 20°d) 30° e) 60°

Solución:Multiplicando por 2 a cada miembro:

2(senx.cosx.cos2x) =83

.2

x2sen

xcos.senx.2 .cos2x =

83

2

x4sen

x2cos.x2sen.2 =23

sen4x =23

sen4x = 60°→ 4x = 60° ∴ x = 15°

6. Siendo “θ” un ángulo agudo, tal que:

senθ =52

calcular “tan2θ”

a) 2 3 b) 3 c) 2 6d) 6 e) 2

Solución:Como:

senθ =52

→2

3

5

θ

Identidades trigonométricas de la variable doble

147Cuarto año de secundaria

Piden, calcular:

tan2θ =θ

θ2tan-1

tan2 = 2

3

2-1

3

2.2

tan2θ =

313

22

=3

3.22 = 2 6

∴ tan2θ = 2 6

7. Si: tanα =41

; “α” agudo, calcular “sen2α”

a)175

b)178

c)87

d)1715

e)41

Solución:Del dato:

tanα =41

→1

4

17

θ

Piden:sen2α = 2senα.cosα

sen2α = 217

1 .17

4 =178

∴ sen2α =178

8. Siendo:

senx + cosx =31

calcular “sen2x”

a) -31

b)31

c)32

d) -32

e) -52

Solución:De la condición:

senx + cosx =31

elevando al cuadrado:

(senx + cosx)2 =

2

31

1 + sen2x =31

→ sen2x =31

- 1

∴ sen2x = -32

9. Calcular:K = cotx + tanx

para: x = 15°

a) 4 b) 8 c) 2d) 12 e) 16

Solución:Pasando a senos y cosenos:

K =senxcosx

+cosxsenx

K =xcos.senx

)

1

xsenxcos( 22

+

K =xcos.senx.2

2→ K = 2cscx

Para: x = 15°K = 2csc30° = 2(2) = 4

10.Del gráfico, calcular “cosθ”

AB

C

a b

2θ θ

a)ab

b)a4

bc)

a2b

d)ba

e)b2a

Solución:En el gráfico, trazamos CH ⊥ BA

AB

C

a b

2θ θH

BHC: aCH

= sen2θ → CH = asen2θ ...(1)

148Colegio TRILCE

Trigonometría

AHC: bCH

= senθ → CH = bsenθ ...(2)

(1) = (2):a.sen2θ = b.senθ

a.2.senθ.cosθ = b.senθ

∴ cosθ =a2b

Problemas para la clase

Bloque I

1. Demostrar que:(senx + cosx)2 = 1 + sen2x

2. Demostrar que:tanx + cotx = 2csc2x

3. Demostrar que:cos4x - sen4x = cos2x

4. Demostrar que:1 - cos2x = 2sen2x

5. Demostrar que:cotx - tanx = 2cot2x

6. Siendo “θ” un ángulo agudo tal que: tanθ =32

.

Calcular: sen2θ

a)1312

b)136

c)131

d)133

e)135

7. Siendo “θ” un ángulo agudo tal que: tanθ =6

1.

Calcular: cos2θ

a)71

b)32

c)73

d)74

e)75

8. Simplificar:C = 8senθ.cosθ.cos2θ.cos4θ

a) sen4θ b) 2sen4θ c) sen8θ

d) 2sen8θ e)21

sen8θ

9. Simplificar:C = senx.cos3x - sen3x.cosx

a) sen2x b)21

sen2x c) sen4x

d)21

sen4x e)41

sen4x

10.Reducir:

C =x2cos1x2cos-1

+

a) tanx b) tan2x c) cotxd) cot2x e) 2tan2x

11.Siendo:tanx + cotx = 4

calcular: sen2x

a)41

b)21

c)81

d)22

e)42

12.Siendo:

senx - cosx =21

calcular: sen2x

a)21

b)41

c)23

d)43

e) 1

Bloque II

13.Demostrar que:(senx - cosx)2 = 1 - sen2x

14.Demostrar que:sen2x.cotx + cos2x.tanx = sen2x

15.Demostrar que:cos2x.cotx - sen2x.tanx = 2cot2x

16.Demostrar que:1 + cos2x = 2cos2x

17.Demostrar que:

secx - cscx =x2sen

)xcos-senx(2

Identidades trigonométricas de la variable doble

149Cuarto año de secundaria

18.Siendo “α” un ángulo agudo, tal que: tanα =41

;

calcular: sen2α

a)154

b)158

c)174

d)178

e)1716

19.Siendo “α” un ángulo agudo, tal que: tanα =7

2;

calcular: cos2α

a)112

b)113

c)114

d)115

e)116

20.Simplificar:C = 4senx.cosx.cos2x

a) sen2x b) sen4x c) 2sen4x

d) 4sen4x e)21

sen4x

21.Reducir:C = senx.cos5x - sen5x.cosx

a) sen2x b) sen4x c)41

sen2x

d)41

sen4x e)21

sen4x

22.Reducir:

C =x2sen

x2cos-1

a) senx b) tanx c) cotxd) tan2x e) cot2x

23.Siendo:tanx + cotx = 6

calcular: sen2x

a)61

b)31

c)32

d)121

e)91

24.Siendo:

senx + cosx =167

calcular: sen2x

a)61

b)31

c)21

d)121

e)6

1

Bloque III

25.Demostrar que:cotx - tanx - 2tan2x = 4cot4x

26.Simplificar:C = sec2x + csc2x + 4sec22x

a) 16csc22x b) 16csc24x c) 4csc24xd) 8csc22x e) 16sec24x

27.Simplificar:

C =x2cosx2sen1x2cos-x2sen1

+++

a) tanx b) cotx c) tan2xd) cot2x e) 1

28.Señale el equivalente de:

C = 22

2

)xtan1(

xtan)xtan-1(

+

a) sen2x b) 4sen2x c) sen4x

d) 2sen4x e)41

sen4x

29.Si:tanx + tan2x + tan3x = 1

calcular:C = cos2x + cos22x + cos32x

a) 1 b) 2 c) 0d) -1 e) -2