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IDENTIFICACIÓN Y MODELAMIENTO DE SISTEMAS DE AUDIO API
(AUTOMATED PROCESSES, INC) MEDIANTE FILTROS ADAPTATIVOS
LUIS FERNANDO GULFO HERNÁNDEZ
JUAN FELIPE VALENCIA PALACIO
UNIVERSIDAD DE SAN BUENAVENTURA SECCIONAL MEDELLÍN
FACULTAD DE INGENIERÍAS
INGENIERÍA DE SONIDO
MEDELLIN
2012
2
IDENTIFICACIÓN Y MODELAMIENTO DE SISTEMAS DE AUDIO API
(AUTOMATED PROCESSES, INC) MEDIANTE FILTROS ADAPTATIVOS
LUIS FERNANDO GULFO HERNÁNDEZ
JUAN FELIPE VALENCIA PALACIO
Proyecto presentado para optar al título de Ingeniero de Sonido
Asesor
Juan Diego Correa Blair, Ingeniero Electrónico
UNIVERSIDAD DE SAN BUENAVENTURA SECCIONAL MEDELLÍN
FACULTAD DE INGENIERÍAS
INGENIERÍA DE SONIDO
MEDELLIN
2012
3
CONTENIDO
1. JUSTIFICACIÓN .......................................................................................................................5
2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ....................................................................................6
3. ANTECEDENTES .....................................................................................................................7
4. OBJETIVO GENERAL ........................................................................................................... 10
5. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ................................................................................................ 10
6. CRONOGRAMA ..................................................................................................................... 12
7. PROCESO DE IDENTIFICACIÓN ....................................................................................... 13
7.1 CONCEPTOS BÁSICOS DE IDENTIFICACIÓN ....................................................... 13
7.2 ETAPAS DEL PROCESO DE IDENTIFICACIÓN ...................................................... 14
7.2.1 RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN SOBRE EL SISTEMA .......................... 15
7.2.2 Selección de una estructura modelo ................................................................... 16
7.2.3 Ajustar la estructura del modelo .......................................................................... 17
7.2.4 Validación del modelo seleccionado ................................................................... 17
8. DEFINICIÓN DEL SISTEMA A IDENTIFICAR .................................................................. 19
8.1 DESCRIPCIÓN GENERAL DE SISTEMA .................................................................. 19
8.2 SUPOSICIONES INICIALES DEL SISTEMA ............................................................. 20
9. RECOLECCIÓN DE DATOS DEL SISTEMA .................................................................... 21
9.1 DISEÑO METODOLÓGICO PRELIMINAR ................................................................ 21
9.2 PRÁCTICAS DE LABORATORIO PROPUESTAS ................................................... 21
10. DEFINICIÓN DE LA ESTRUCTURA DE MODELO PROPUESTO ........................... 24
10.1 NATURALEZA DEL MODELO ..................................................................................... 24
10.2 ESTRUCTURAS DE MODELO LINEAL ..................................................................... 25
10.3 ESTRUCTURAS DE MODELO NO-LINEAL .............................................................. 25
10.3.1 Entradas del modelo .............................................................................................. 26
10.3.2 Arquitectura del modelo ........................................................................................ 26
10.3.3 Orden del modelo ................................................................................................... 27
10.3.4 Parámetros del modelo ......................................................................................... 27
10.4 CONJUNTO DE ESTRUCTURAS DE MODELO NO-LINEAL ................................. 27
10.4.2 Estructuras de Volterra .......................................................................................... 29
10.4.3 Interpretación práctica del Modelo de Volterra .................................................. 31
11. CRITERIO DE AJUSTE Y OPTIMIZACIÓN ................................................................... 33
11.1 CARACTERIZACIÓN DE PROCESOS ESTOCÁSTICOS ...................................... 33
11.2 ANÁLISIS MULTIVARIANTE ........................................................................................ 33
4
11.3 OPTIMIZACIÓN .............................................................................................................. 35
11.3.1 Error y proceso adaptativo .................................................................................... 35
11.3.2 Función objetivo ..................................................................................................... 36
11.3.3 Método de descenso de Cauchy ......................................................................... 38
11.3.4 Algoritmo LMS ........................................................................................................ 38
12. PRUEBAS PRELIMINARES DEL MODELO ................................................................. 41
13. MODELO IDENTIFICADO ................................................................................................ 44
14. CONCLUSIONES ............................................................................................................... 48
15. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................ 49
LISTA DE TABLAS ........................................................................................................................ 50
LISTA DE FIGURAS ...................................................................................................................... 51
LISTA DE ANEXOS ....................................................................................................................... 52
GLOSARIO ...................................................................................................................................... 53
5
1. JUSTIFICACIÓN
La ingeniería de sonido se ha caracterizado por estudiar y resolver los problemas
del audio en distintos contextos. Sin embargo, se debe tener presente que las
dificultades para la identificación y modelamiento de sistemas de audio radican en
parte que las empresas protegen sus diseños y patentes, y otras veces dejan de
fabricarse para adaptarse a un nuevo mercado, por lo que resulta complicado
obtener información técnica de los sistemas de interés. Con esta finalidad, hay una
necesidad interdisciplinaria de investigar y desarrollar conocimientos en el área de
modelamiento como sub-rama de la teoría de control de sistemas. Esta sub-rama
aplicada al audio utiliza conocimientos de sistemas y señales, procesamiento
digital de señales, electroacústica, electrónica para audio y diseño de sistemas de
audio. Con esta nueva perspectiva el análisis adaptativo aplicado al modelamiento
de sistemas de audio se separa en dos componentes claves:
1. Manipulación, estructura de ganancia y fidelidad de sistemas de audio.
2. Análisis e implementación de algoritmos adaptativos o de aprendizaje.
La primera componente se estudia desde el punto de la electroacústica y
electrónica para audio, mientras la segunda se enfoca en el procesamiento digital
de señales y la teoría de modelamiento de sistemas. Cabe resaltar que la teoría
de análisis adaptativo tiene diversas aplicaciones en audio: Identificación y
modelamiento de sistemas de audio, supresión adaptable de feedbacks en
sistemas de refuerzo sonoro, restauración de audio, cancelación de ruido local y
global, difusores acústicos activos, entre otros (Tichener, 1992). Con esto queda
claro que la teoría de análisis adaptativo abarca muchas áreas de la ingeniería de
sonido, motivando así a estudiarse de forma independiente desde la investigación
y en conjunto con otras ramas de la ingeniería como la electrónica, control de
sistemas y procesamiento digital. Esto contribuye a la evolución de la ingeniería de
sonido como una rama del conocimiento integrado.
6
2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
En las últimas décadas, el audio digital y la industria relacionada han evolucionado
de ser una tecnología en desarrollo que únicamente estaba disponible para unos
pocos estudios profesionales y ha pasado a ser la principal herramienta para todas
las industrias de hoy en día relacionadas a la producción, entretenimiento y
comunicación (Miles, Modern Recording Techniques, 2001, p. 215). Dicho cambio
se facilitó ya que las nuevas tecnologías digitales empezaron a integrar todos los
procesos de producción en una sola máquina (por ejemplo las DAW -Digital Audio
Workstation- que permiten captura, edición, mezcla, masterización,
procesamiento, efectos, entre otros). Lo anterior permitió que durante esta
transición entre la era análoga y la digital muchos nuevos usuarios empezaran a
interesarse en la industria del audio, por ejemplo músicos, ingenieros, productores,
y personas relacionadas de alguna forma con el audio mediante la multimedia, la
electrónica, acústica, entre otros. Este nuevo mercado provocó el paso paulatino
de los grandes estudios convencionales a estudios portátiles, caseros y de
proyectos (Miles, Modern Recording Techniques, 2001, p. 1).
Por otra parte, lo que no se tuvo en cuenta en dicha transición es que muchos
equipos análogos clásicos, que marcaron las producciones más famosas de la
historia de la música, fueron dejados de usar poco a poco. Sin embargo, en la
última década algunas empresas, como Waves y Native Instruments, han tratado
de rescatar la calidad y los procesos que eran logrados con equipos análogos,
mediante el desarrollo de modelos y plugins. Finalmente, el problema de
investigación se centra en aplicar métodos alternativos para la identificación y el
modelamiento de sistemas de audio y reconocer la fidelidad que se pueda
obtener, de forma que se puedan traer las ventajas de los equipos análogos a las
aplicaciones actuales del mundo digital.
7
3. ANTECEDENTES
Casi todos los sistemas DAW hardware, superficies de control, interfaces y otros
sistemas de audio de hoy en día integran varios procesos (pre-amplificación,
procesos dinámicos, efectos, conversión análogo/digital y digital/análogo, entre
otros) en un sólo equipo y por esto la calidad de los circuitos no es tan alta como
la de equipos discretos especializados. Estas unidades discretas suenan mejor, ya
que el mayor costo viene de la mano de diseños superiores, mejores
componentes, y mano de obra especializada (Owsinski, 2004, p. 45). Por lo
anterior, los equipos actuales son hechos obedeciendo a la industria masiva y los
resultados son muy diferentes a los tradicionales, de forma que hay un sonido en
los equipos clásicos que no ha sido replicado con equipos modernos, salvo
algunos casos (Owsinski, 2004, p. 46).
En particular, las diferencias técnicas entre los equipos de audio actuales y los
clásicos están en los componentes utilizados. En este sentido, los equipos
actuales utilizan circuitos integrados mientras que los equipos clásicos utilizan
circuitos discretos (ya sea de estado sólido y/o de tubos de vacío) y componentes
de mejor calidad como inductores y transformados no comerciales (hechos a la
medida y especificaciones de cada equipo que buscan aumentar la calidad).
Desde lo subjetivo, expertos señalan que estas diferencias son las que distinguen
la alta calidad sonora de los equipos clásicos sobre los actuales (Owsinski, 2004,
p. 46).
Dado los cambios de las industrias de diseño de audio, los equipos clásicos cada
vez son más escasos y difíciles de conseguir, y como alternativa se busca
aprovechar las capacidades de procesamiento de los computadores modernos
para modelar los equipos clásicos y recuperar la calidad y las características
sonoras que estos tenían. Con esta finalidad, el aumento del interés por
simulación y predicción para aplicaciones de audio han llevado a buscar métodos
8
de modelamiento, tanto analíticos como experimentales. Sin embargo, en muchos
problemas físicos se dificulta obtener una solución analítica, por lo que es
necesario recurrir a otros métodos. Dicha dificultad usualmente radica por algunas
de las siguientes razones (Arenas, 2004, pp. 2-4):
● Desconocimiento de algunos componentes físicos del sistema.
● Carencia de modelos analíticos simples para aproximar su comportamiento.
● Conocimiento limitado de parámetros.
● El problema involucra gran número de variables.
Por lo anterior, la solución de los problemas que tengan algunas de las dificultades
citadas puede llevar a buscar métodos de ingeniería inversa y experimental, donde
se conoce cierta información de entrada y/o salida y se busca aproximar con un
modelo matemático que lo satisfaga. En resumen, el enfoque de la investigación
es cómo solucionar problemas físicos donde no se conoce el funcionamiento de
sistema (en este caso sistemas de audio API).
En los últimos años se ha encontrado que el análisis adaptativo es una útil
alternativa para la solución de problemas relacionados con audio, acústica y
vibraciones. Actualmente se ha determinado que para sistemas desconocidos que
tienen la propiedad de ser invariantes en el tiempo y cuyo modelo no es necesario
usarlo instantáneamente se recomienda usar técnicas “off-line” para calcular los
coeficientes del modelo en vez de técnicas adaptativas. Esto se debe a que dada
una señal, los métodos off-online permiten calcular una solución óptima para el
modelo del sistema. Sin embargo, los métodos adaptativos permiten disminuir la
cantidad de procesamiento requerida para obtener un modelo, la cual
originalmente dificulta a los métodos con soluciones óptimas por cálculos de
correlación cruzada y auto correlación de grandes señales. Además, permiten la
implementación en DSPs para diferentes aplicaciones que también pueden
requerir trabajar en tiempo real.
9
Ante ésta necesidad muchas universidades han iniciado estudios e
investigaciones en el tema. Entre ellas se encuentran algunas instituciones
prestigiosas y pioneras en materia de sonido y acústica: Universidad de
Southampton y Universidad Salford, en Inglaterra; Politécnica de Valencia y
Politécnica de Madrid, España; En Estados Unidos la Universidad de Texas y la
Universidad de Pennsylvania, entre otras. Lo anterior demuestra la importancia de
introducir el estudio del análisis adaptativo desde el pregrado, con el fin de enfocar
a los estudiantes en temas vigentes de investigación a nivel mundial en el área de
audio.
10
4. OBJETIVO GENERAL
Implementar filtros adaptativos con algoritmo LMS para modelamiento e
identificación de sistemas de audio API.
5. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
● Reconocer las principales características de los sistemas de audio API:
Tipo de sistema –causalidad, linealidad-, parámetros ajustables de
operación, modos de operación y nivel nominal/punto de trabajo
recomendado.
● Identificar el tipo de análisis adaptativo que se ajuste a las características
del sistema: Seleccionar tipo de filtro, longitud del filtro, seleccionar el
algoritmo de adaptación (LMS o variantes de él).
● Identificar los parámetros que afectan el algoritmo adaptativo seleccionado
y las limitaciones que éste presenta: Parámetro de convergencia, criterios
de selección del parámetro convergencia, coeficientes de inicialización del
filtro.
● Programar el algoritmo adaptativo en el software Matlab.
● Seleccionar preset (configuración de los parámetros del sistema API) con
base a usos comunes en aplicaciones de audio.
11
● Implementar el algoritmo adaptativo diseñado para identificar el sistema
API.
● Analizar el modelo obtenido del sistema.
12
6. CRONOGRAMA
Tabla 1. Distribución semanal de actividades
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1234567891011
Distribución Semanal/Mensual
Luis Gulfo - Felipe Valencia
Luis Gulfo - Felipe Valencia
Luis Gulfo - Felipe Valencia
Luis Gulfo - Felipe Valencia
Luis Gulfo - Felipe Valencia
Luis Gulfo - Felipe Valencia
Luis Gulfo - Felipe Valencia
Responsable(s) Actividad Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4
Luis Gulfo - Felipe Valencia
Luis Gulfo - Felipe Valencia
Luis Gulfo - Felipe Valencia
Luis Gulfo - Felipe Valencia
Tabla 2. Actividades planteadas
No. Actividad
FASE 1: Levantamiento de Requerimientos. (5 Semanas)
1. Reconocer las principales características de los sistemas de audio API
2. Levantamiento de requerimientos y marco teórico conceptual sobre algoritmos de
adaptación.
3. Identificar el tipo de análisis adaptativo que se ajuste a las características del sistema
4. Identificar los parámetros que afectan el algoritmo adaptativo seleccionado
FASE 2: Diseño del algoritmo de adaptación (5 semanas)
5. Programar el algoritmo adaptativo en el software Matlab.
6. Seleccionar preset (configuración de los parámetros del sistema API) con base a usos
comunes.
7. Pruebas preliminares del algoritmo y el preset
FASE 3: implementación del algoritmo para obtención del modelo. (4 semanas)
8. Implementar el algoritmo adaptativo diseñado para identificar el sistema API.
9. Analizar el modelo obtenido del sistema
10. Análisis de resultados
FASE 4: Documentación total del proceso. (3 semanas)
11. Gestión y documentación final del proceso.
13
7. PROCESO DE IDENTIFICACIÓN
7.1 CONCEPTOS BÁSICOS DE IDENTIFICACIÓN
Sistema:
Es un objeto, real o conceptual, en la que interactúan diferentes partes para
producir señales observables. Las señales observables de interés son llamadas
salidas del sistema. Adicionalmente, un sistema puede relacionarse con el
exterior, el cuál en dicho caso se denomina alrededores del sistema y las señales
provenientes del exterior se denominan entradas del sistema. El resto de señales
son denominadas perturbaciones y son clasificadas en dos tipos: Señales de
medición directa y señales observables únicamente a la salida del sistema.
Modelo:
Un modelo de un sistema es una réplica del sistema, física o matemática, que
posee propiedades y funciones del sistema. En ocasiones, el modelo de un
sistema puede ser dividido en bloques, que a su vez son sistemas completos, sin
embargo dichos bloques deben tener conexión relevante con el sistema principal.
La independencia de bloques es un factor de interés ya que permite realizar
pruebas independientes y precisas de cada uno, de forma que posteriormente
todos los bloques sean integrados.
Modelo matemático:
Modelo definido a partir de ecuaciones matemáticas. Dichas ecuaciones pueden
ser de varios tipos, por ejemplo ecuaciones algebraicas, ecuaciones diferenciales
ordinarias, ecuaciones diferenciales parciales, ecuaciones integrales, entre otras.
Para los modelos matemáticos existen usualmente resultados triviales que
permiten verificar el modelo.
14
Modelo físico:
Modelo a escala que replica fenómenos físicos del sistema original. En ciertos
casos son conocidos como modelos materiales.
Identificación:
La identificación de sistemas es un proceso en el que se busca hallar un modelo
cuya respuesta sea una estimación de una respuesta deseada. En pocas
palabras, la identificación de sistemas propone encontrar un estimador del sistema
desconocido.
7.2 ETAPAS DEL PROCESO DE IDENTIFICACIÓN
Cada sesión de identificación consiste en una serie de pasos básicos. En cada
sesión se deben considerar las siguientes etapas:
1. Recolección de información sobre el sistema.
2. Selección de una estructura modelo para representación del sistema.
3. Selección del criterio de ajuste: Ajustar la estructura modelo a los datos.
4. Validación del modelo seleccionado.
15
El esquema a continuación ilustra las etapas mencionadas.
Figura 1. Proceso de identificación
7.2.1 RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN SOBRE EL SISTEMA
Para construir un modelo de un sistema es necesario obtener información
sobre él. Por lo general, esto lleva a experimentos dedicados de forma que
el sistema sea excitado de formas especiales para reconocer sus
propiedades. En particular, es necesario realizar una elección adecuada
sobre las señales de excitación, ya que la información obtenida dependerá
de dichas señales.
16
7.2.2 Selección de una estructura modelo
Se debe seleccionar un conjunto de estructuras de modelos, es decir, elegir
los posibles modelos matemáticos que puedan ser usados para representar
el sistema. Dependiendo del conocimiento preliminar del sistema existe
varios tipos de estructuras modelo:
Modelo mecanístico: Son derivados de los fenómenos o mecánica (en
el sentido general) del sistema. Dichos fenómenos provienen
normalmente de la aplicación de principios y leyes físicas. La
construcción del modelo depende de la disponibilidad y aplicabilidad
de dichos fenómenos. También son conocidos como modelos
fenomenológicos o modelos de caja blanca.
Modelo empírico: Son derivados mediante experimentación y
observación de datos de entrada-salida, comúnmente sin
conocimiento de los principios y mecanismos presentes en el sistema.
En esencia trabajan por un ajuste de ecuaciones a los datos extraídos
de forma que se obtenga una descripción suficiente para cualquier
entrada y salida. Debido a este proceso los parámetros del modelo
pueden tener poco o ningún significado físico. También son conocidos
como modelos de caja negra o experimentales.
Modelo de caja gris: Son derivados como una combinación de partes
mecanísticas y partes empíricas.
En la práctica los modelos empíricos son muy utilizados cuando los
fenómenos internos son desconocidos o poco entendidos. Adicionalmente,
se pueden clasificar los diferentes tipos de modelos con base a su
naturaleza:
17
Modelo estocástico: Contiene elementos con naturaleza probabilística.
Modelo determinístico: Basado en análisis causa-efecto.
Modelo lineal: Cumple el principio de superposición.
Modelo no lineal: No cumple el principio de superposición.
Modelo discreto: Definido para valores discretos de tiempo y/o
espacio.
Modelo continuo: Definido continuamente sobre el espacio/tiempo.
Modelo de parámetros distribuidos: Las variables dependientes del
sistema dependen de la posición espacial.
Modelo de parámetros concentrados: Las variables dependientes no
son función de la posición espacial.
Modelo estático: Tiene estructura invariante en el tiempo.
Modelo dinámico: Tiene estructura variante en el tiempo.
7.2.3 Ajustar la estructura del modelo
La estructura de modelo seleccionada del conjunto de modelos debe ser
ajustada lo mejor posible a la información disponible sobre el sistema.
Primariamente, esto se logra mediante la elección de un criterio de ajuste
que define un problema optimización.
7.2.4 Validación del modelo seleccionado
El modelo resultante del ajuste debe ser puesto a prueba. Varias preguntas
para la validación del modelo son: ¿El modelo describe los datos de forma
apropiada? ¿Existen datos que no son bien modelados? En la práctica es
posible establecer un criterio de validación donde el diseñador establece
cierto margen de error. En estos casos, se deben separar los diferentes
18
errores según su importancia. Dicha situación ocurre comúnmente cuando
ciertas dinámicas lineales o distorsión no lineal no son modeladas. En
particular, dentro de los test de validación se debe incluir la aplicación final
del modelo, debido a que la aplicación determina las propiedades
relevantes. Por otra parte, un modelo puede resultar inválido o deficiente
por una falla en alguna de las etapas de identificación o combinación de
errores en éstas:
Mal diseño experimental.
Los datos obtenidos no son informativos respecto a las propiedades
que se desean modelar del sistema original.
El conjunto de estructuras de modelo no fue escogido
apropiadamente.
El criterio de ajuste no fue escogido apropiadamente.
El procedimiento numérico es incapaz de encontrar el mejor ajuste de
la estructura del modelo.
19
8. DEFINICIÓN DEL SISTEMA A IDENTIFICAR
El interés de la industria actual por recuperar y brindar la calidad de procesadores
análogos tiene como resultado el problema de identificación de sistemas. En este
caso se define el ecualizador API 550-B como sistema de estudio. Para este
sistema las entradas son definidas como señales de audio definidas por el usuario
y la salida del sistema como dicha señal procesada. Todas las señales adicionales
son consideradas perturbaciones. En particular, en las perturbaciones debe
tenerse en cuenta el ruido eléctrico de las instalaciones eléctricas.
8.1 DESCRIPCIÓN GENERAL DE SISTEMA
El API 550-B está basado en el API original 550 de los años sesenta. Es un
ecualizador análogo de cuatro bandas con diseño interno completamente discreto.
Cada banda ofrece siete frecuencias centrales predeterminadas, y las bandas
extremas ofrecen dos tipos de filtro: Shelving y Peak. Adicionalmente, los filtros
tienen ancho de banda proporcional (variable).
Figura 2. API 550-B
20
Las especificaciones técnicas se pueden encontrar en el Anexo 01 – Informe
Laboratorio 1, Propiedades Generales del API 550-B.
8.2 SUPOSICIONES INICIALES DEL SISTEMA
El API 550-B, por ser un ecualizador, en primera instancia se asume como filtro
lineal, sin embargo esta suposición debe verificarse experimentalmente ya que de
esto depende el conjunto propuesto de estructuras de modelo para la
identificación. Esta suposición se debe a que el desarrollo de modelos lineales es
recomendado como primera opción. Si el modelo lineal no tiene un desempeño
satisfactorio puede ser origen de no-linealidades. En dicho caso se debe
considerar realizar un test de no-linealidad para proponer una estructura de
modelo no-lineal.
21
9. RECOLECCIÓN DE DATOS DEL SISTEMA
9.1 DISEÑO METODOLÓGICO PRELIMINAR
Tipo de estudio:
El estudio es exploratorio ya que se busca encontrar métodos y algoritmos que
permitan identificar y modelar el sistema API 550-B.
Fuentes de datos:
Son de tipo experimental porque es realizado en un ambiente controlado de
laboratorio y el estudio se basa en las mediciones de las respuestas del sistema
para diferentes señales de excitación.
Herramientas e instrumental de medición:
La medida y captura será realizada directamente con un DAW, en este caso Pro
Tools HD 10, mediante una interfaz de audio (192 Digidesign). Adicionalmente se
usará el plugin Blue Cat’s FreqAnalyst Pro de la empresa Blue Cat Audio. La
elección de realizar medidas con estos equipos radica en la disponibilidad actual
del laboratorio, donde los osciloscopios con módulos de FFT no bridan la
resolución y versatilidad suficiente para la medición.
9.2 PRÁCTICAS DE LABORATORIO PROPUESTAS
Se proponen cuatro prácticas de laboratorio, cada una en relación a una etapa del
proceso de identificación. A continuación se explica el objetivo e importancia de
cada una de las prácticas. El marco teórico, el procedimiento, los resultados y las
22
conclusiones de cada una de las prácticas de laboratorio es presentada en los
anexos. Dichos resultados serán utilizados en el resto del documento.
Laboratorio 1: Propiedades Generales del API 550-B
Objetivo: Determinar las propiedades generales del API 550-B, con enfoque
principal hacia la no-linealidad.
Importancia: Las propiedades básicas del sistema se convierten en
requerimientos que debe cumplir el modelo, y por tanto de ahí depende la
estructura de modelo propuesto.
Laboratorio 2: Pruebas de ajuste del API 550-B
Objetivo: Determinar la relación entre los ajustes posibles de la estructura
modelo y del sistema original.
Importancia: La flexibilidad de la estructura de modelo debe compararse
con el sistema, de forma que se determine la extensión de modelamiento
que permite la estructura. Es decir, observar la capacidad que tiene el
modelo de describir una amplia clase de estructuras diferentes.
Laboratorio 3: Preset del API 550-B
Objetivo: Determinar el preset del API 550-B que será considerado el
modelo deseado.
23
Importancia: El cálculo y ajuste de los valores que determina la estructura
de modelo propuesto depende de la configuración del sistema que sea
considerada como sistema específico de interés.
Laboratorio 4: Pruebas preliminares del Modelo de Volterra
Objetivo: Realizar pruebas triviales de la estructura de modelo propuesta.
Importancia: Verificar que la estructura de modelo propuesto logre modelar
las propiedades mínimas esperadas.
24
10. DEFINICIÓN DE LA ESTRUCTURA DE MODELO PROPUESTO
A partir del laboratorio 1 (Anexo 01) se concluyó que la estructura de modelo debe
cumplir con las siguientes propiedades del sistema API 550-B:
Causalidad.
Estabilidad.
Invariancia en el tiempo.
Memoria
No-linealidad.
De estas propiedades la de mayor consideración es la no-linealidad. En dicho
laboratorio también se pudo observar lo siguiente:
El orden de no-linealidad depende de la frecuencia y el orden superior para
diferentes frecuencias se encuentra en general en el rango 2-14.
Los órdenes de no-linealidad para frecuencias de interés están en el rango
3-11.
10.1 NATURALEZA DEL MODELO
El modelo propuesto debe cumplir las propiedades básicas ya mencionadas y un
orden de no-linealidad establecido. En lo posible, se debe buscar flexibilidad para
brindar varias opciones respecto al orden de no-linealidad. Adicionalmente, por la
carencia de información de la estructura y componentes internos del API 550-B se
dificulta desarrollar un modelo matemático mecanístico. Por tanto, se propone un
modelo matemático empírico. Los parámetros de dicho modelo dependerán de la
estructura propuesta.
25
10.2 ESTRUCTURAS DE MODELO LINEAL
Debido a la naturaleza no-lineal del modelo requerido se descarta el uso exclusivo
de filtros lineales con estructuras tipo FIR e IRR, ya que el principal objetivo es
modelar las no-linealidades. Únicamente es posible utilizar una estructura lineal
para modelar sistemas no-lineales si las características no-lineales son débiles o
no tienen interés para el usuario. Por lo anterior, estas estructuras no serán
discutidas en este documento.
10.3 ESTRUCTURAS DE MODELO NO-LINEAL
A continuación se muestra las principales etapas para la selección de una
estructura de modelo no-lineal:
Figura 3. Etapas de definición de estructuras no-lineales.
Entradas del modelo
Arquitectura del modelo
Orden del modelo
Parámetros del modelo
26
10.3.1 Entradas del modelo
Se utilizarán diferentes tipos de entrada, tanto en la parte de recolección de
información como en las pruebas preliminares de la estructura de modelo.
Con este fin se trabajará con señales sinusoidales puras, compuestas,
varios tipos de ruido y señales de audio con el principio de aplicación en
mente. Se debe tener especial cuidado con el nivel de la señal de entrada
ya que los sistemas no-lineales son sensibles a éstos.
10.3.2 Arquitectura del modelo
Criterios para la elección de la arquitectura del modelo:
Tipo de problema: Modelamiento estático o dinámico.
Uso propuesto: Simulación, control, optimización, detección de fallas,
entre otros.
Dimensión: Número relevante de entradas y salidas. También aquí se
puede incluir el tamaño de datos requeridos de entrada, que a su vez
tiene implicaciones en restricciones de memoria.
Aprendizaje Offline/Online: Modo de aprendizaje, dependiendo si es
tiempo real.
Experiencia de usuario: Extensión de aplicaciones y versatilidad.
Aceptación de usuario: Capacidad de ser interpretado.
En este caso particular, se establecen las siguientes elecciones:
Tipo de problema: Estático.
Uso propuesto: Simulación.
27
Dimensión: Sistema SISO (Single Input-Single-Output). El número de
valores de entrada requeridos para procesamiento será un parámetro
del modelo.
Aprendizaje Offline/Online: Aprendizaje Offline.
Experiencia de usuario: El modelo se plantea para modelar diferentes
tipos de sistemas no-lineales que cumplan ciertas características.
Aceptación de usuario: La interpretación y flexibilidad para el usuario se
establecerá con los parámetros y ajustes.
10.3.3 Orden del modelo
Esta etapa se basa típicamente en el conocimiento previo del sistema y los
datos obtenidos experimentalmente. Se trabajará un orden en el rango de
3-7. El orden del modelo se definirá posteriormente teniendo en cuenta la
demanda de procesamiento y criterios psicoacústicos, ya que la aplicación
final está destinada a la industria del audio.
10.3.4 Parámetros del modelo
Los parámetros del modelo quedarán definidos en su mayoría por el
método de optimización. Estos se dividen en dos categorías: Parámetros de
la estructura del modelo y parámetros de adaptación/ajuste.
10.4 CONJUNTO DE ESTRUCTURAS DE MODELO NO-LINEAL
A continuación se estudian algunos tipos de estructuras clásicas de modelos no-
lineal, en particular se enfatiza en estructuras polinómicas. Estas estructuras
polinómicas forman el conjunto de estructuras de modelo posibles, del cual será
extraída la estructura que representará el sistema.
28
Estructuras polinómicas:
Dentro de las estructuras polinómicas se pueden diferenciar entre las que poseen
la propiedad de ortogonalidad (vectorial o estadística) y aquellas que no.
Adicionalmente, se deben distinguir entre estructuras recursivas y no recursivas.
En particular, es de nuestro interés las estructuras no-recursivas.
10.4.1 Estructuras en series de potencias
Es posible reconocer dos estructuras típicas:
Modelo de Maclaurin o serie con centro cero:
( ( ∑
(
(1)
Modelo de Taylor o serie con centro:
( ( ∑
(
(2)
Los modelos de series de potencias no son adecuados por las siguientes
razones: El modelo en serie con centro en cero no permite modelar la
memoria y el modelo en serie con centro está restringido en la relación
orden-memoria, por lo que es poco flexible. En particular, el modelo de
Taylor está limitado a que la memoria del sistema sólo debe afectar
armónicos superiores, o dicho de otra forma, el resto de posibilidades de
memoria no se tienen en cuenta. Adicionalmente, tienen poca flexibilidad
para trabajar en bloques independientes las componentes lineales.
29
10.4.2 Estructuras de Volterra
Es posible reconocer dos estructuras típicas dependiendo de la propiedad
de ortogonalidad (de tipo estadístico). La discusión a continuación se centra
en el modelo de Volterra de orden superior ya que es un modelo capaz de
caracterizar todas las propiedades requeridas, por lo que éste será el
modelo propuesto.
Serie de Volterra:
Expansión no lineal en series de Volterra:
La versión causal y truncada de tiempo-discreto del filtro de Volterra está
dada por la siguiente expresión:
( ∑ [ ]
( ∑ ∑ [ ] ( (
∑ ∑ ∑ [ ] ( (
(
∑ ∑ ∑ [ ] (
(
(3)
Donde el conjunto { } son denominados núcleos de Volterra.
30
Propiedades de la Serie de Volterra:
La serie de Volterra tiene las siguientes propiedades:
Linealidad respecto a los núcleos: A pesar de la no-linealidad
respecto a la entrada, la propiedad de linealidad respecto a los
núcleos permite aplicar métodos de la teoría de filtros lineales.
Convolución multidimensional: El modelo de Volterra puede ser
escrito como convolución multidimensional. El enfoque
multidimensional aplica tanto a los núcleos como a cada orden, en
particular cada término superior puede considerarse un sistema
multidimensional lineal con entrada separable simétrica.
No caracterización por respuestas al impulso: Las respuestas al
impulso no son suficientes para identificar todos los núcleos del
modelo.
Modelo funcional de Volterra:
Es posible descomponer los núcleos en una base ortonormal y definir los
funcionales de Volterra, por tanto la serie puede considerarse como una
combinación de varios funcionales:
( [ ( ] [ ( ] [ ( ] ∑ [ ( ]
(4)
Donde se define el funcional homogéneo de orden
[ ( ] ∑ ∑ ∑ [ ] (
(
(5)
31
A su vez cada núcleo de Volterra se expresa en una base ortonormal:
[ ] ∑ ∑ ∑ ( ) (
( )
(6)
10.4.3 Interpretación práctica del Modelo de Volterra
A continuación se ilustra la interpretación en bloques del modelo de
Volterra: La interpretación por bloques facilitará posteriormente realizar el
proceso ajuste del modelo a partir de los bloques de forma independiente.
Figura 4. Interpretación en bloques del Modelo de Volterra.
Parámetros del Modelo de Volterra:
En la práctica, la serie necesita ser truncada de dos formas para lograr
implementación digital: En orden y en iteración dentro de los funcionales.
Ambos truncamientos se convierten en parámetros.
El número de iteraciones dentro de los funcionales está determinado
por , que a su vez representa el número de muestras de la señal de
entrada utilizadas para el proceso de identificación. El filtro de
32
Volterra en general necesita combinaciones de las muestras de
entrada para los términos de orden superior.
El orden de truncamiento determina el orden de no-linealidad
máximo que puede representar la estructura del modelo.
33
11. CRITERIO DE AJUSTE Y OPTIMIZACIÓN
A continuación se explica la teoría necesaria para establecer el criterio de ajuste y
optimización.
11.1 CARACTERIZACIÓN DE PROCESOS ESTOCÁSTICOS
En general las entradas y salidas del sistema desconocido son de naturaleza
aleatoria. Por esta razón, no es posible caracterizarlas por métodos clásicos.
Como alternativa hay dos enfoques importantes para la caracterización de señales
aleatorias: Enfoque probabilístico y enfoque estadístico.
El enfoque probabilístico es de poco interés práctico ya que requiere el
conocimiento previo de la distribución de probabilidad (función de masa de
probabilidad o función de densidad de probabilidad, según sea el caso discreto o
continuo respectivamente). La tarea de definir distribuciones de probabilidad se
dificulta aún más en aplicaciones de audio ya que la variedad de señales que
pueden usarse en el sistema es muy amplia. Por esta razón se pasa de un
enfoque probabilístico a un enfoque estadístico.
11.2 ANÁLISIS MULTIVARIANTE
Al tratar con señales aleatorias los conceptos de estadística univariable no son
suficientes. Para esto se requieren métodos de análisis multivariante.
34
Vector aleatorio:
Se define un vector aleatorio como
[
]
(7)
Vector de esperanza poblacional:
El vector de media poblacional o vector de valor esperado se define
( [
] [
(
(
(
] [
]
(8)
Propiedades:
Linealidad: ( ( (
Proporcionalidad: Para matrices y constantes y suponiendo todos los
productos definidos, entonces ( ( .
Matriz de covarianza:
La matriz de covarianza poblacional se define
( [( ( ] [
] [ ]
(9)
[
[( ] [( ( ] [( ( ]
[( ( ] [( ] [( ( ]
[( ( ] [( ( ] [(
] ]
(10)
35
Propiedades:
Matriz cuadrada: Por definición.
(
11.3 OPTIMIZACIÓN
A continuación se establece el criterio de ajuste para la identificación del sistema.
11.3.1 Error y proceso adaptativo
Para definir una función objetivo se debe establecer un “criterio de
error”, el cuál será optimizado posteriormente. Dicho criterio se
establece a continuación.
Figura 5. Definición de la función objetivo
Debido a que los parámetros del modelo son desconocidos, dicho
modelo debe ir ajustándose dependiendo del error obtenido hasta lograr
disminuirlo. La señal ( es la respuesta deseada y ( es la
respuesta estimada. Por tanto, cada nuevo ajuste de los parámetros del
36
modelo es hecho a partir del error. Este proceso se conoce como
adaptación.
Figura 6. Configuración y proceso de adaptación
Desde este punto de vista el filtro que corresponde al modelo propuesto
se convierte en un filtro adaptativo, cuyos parámetros (coeficientes) se
van modificando hasta identificar el sistema desconocido. El método de
optimización determinará el proceso iterativo utilizado en la adaptación.
Con base a lo anterior se da la siguiente definición para filtro adaptativo:
Filtro adaptativo:
Se conoce como filtro adaptativo todo filtro que es capaz de redefinir sus
coeficientes.
11.3.2 Función objetivo
A partir del error definido en la sección anterior (error lineal), se
establece el error-medio cuadrático, el cual permite formular mejor el
problema de optimización. Por tanto, el error medio-cuadrático se
obtiene calculando la media poblacional del error cuadrático:
37
{ ( } {[ ( ( ] }
En particular ( es la salida del modelo de Volterra, que bajo ciertas
condiciones y sin incluir el DC se puede expresar como un producto
vectorial, por tanto:
{ ( } {[ ( ( ] } (11)
{ ( } { ( ( ( ( ( }
{ ( } { ( } { ( ( } { ( ( }
El vector no es la señal de entrada, sino un vector obtenido a partir de
la señal de entrada que contiene varias combinaciones de sus muestras
y representa el total de muestras necesitadas por el modelo de Volterra,
y es el vector total de coeficientes del modelo de Volterra. Por otra
parte, si se considera un proceso estacionario con esperanza cero y
adicionalmente ergódico, se puede definir
( (12)
Donde es la varianza de la señal deseada, es el vector de
correlación cruzada y la matriz de auto-correlación. Adicionalmente
se supone que la matriz de auto-correlación es una matriz positiva-
definida. La función ( es la función objetivo y establece la relación
entre error y coeficientes del filtro. Para minimizar el error se debe
optimizar la función objetivo. En general, dicha función representa un
problema de optimización no lineal multidimensional sin restricciones.
38
11.3.3 Método de descenso de Cauchy
La dirección del vector gradiente representa la dirección de máximo
ascenso. Por tanto, la dirección opuesta al gradiente representa la
dirección de máximo descenso. Además, dicha es una propiedad local.
Con base a lo anterior, el método de optimización se define
( ( (13)
El gradiente se calcula de la función objetivo respecto a
(14)
La dificultad de aplicar el método de descenso de Cauchy es que el
gradiente depende de y , que en la práctica se dificulta su obtención.
11.3.4 Algoritmo LMS
Con el fin de resolver el inconveniente estadístico en el gradiente, se
establecen los siguientes estimadores,
( (
( (
Ambos son estimadores instantáneos. Aprovechando esto, se produce
una estimación el método del descenso gradiente,
( ( [ ( ( ( ( ( ]
39
( ( ( [ ( ( ( ]
( ( ( ( (15)
En vez de definir un sólo parámetro de convergencia se recomienda
utilizar sub-grupos de parámetros de convergencia para términos de
distinto orden, debido al gran número de ecuaciones simultáneas que
puede tener el proceso iterativo en la optimización. Con este fin se
define la matriz de convergencia como una matriz diagonal con
diferentes parámetros individuales de convergencia. Dicha matriz
siempre será cuadrada y con diagonal de igual tamaño a . La
ecuación (15) define el algoritmo LMS. Para iniciar el proceso iterativo
es necesario establecer una inicialización, la cuál puede ser cualquiera,
sin embargo usualmente es a cero.
Al juntar el método de optimización con la estructura de Volterra se
define la estructura del algoritmo. A continuación se ilustra el diagrama
de bloques del algoritmo LMS con Modelo de Volterra. En dicho
diagrama, los dos primeros procesos pueden ser considerados como
una etapa de pre-procesamiento, ya que en este caso sólo se ejecutan
una vez, y antes de iniciar el proceso adaptativo.
40
Figura 7. Diagrama de bloques del Algoritmo para implementación del Modelo de Volterra con
LMS
41
12. PRUEBAS PRELIMINARES DEL MODELO
Las pruebas preliminares se realizan en el software Matlab. Las pruebas
preliminares son las siguientes:
Pruebas con Waves API:
1. Variación de orden:
Señal de referencia: 2.5 khz a -6 dBFS (pico).
Señal deseada: API waves en modo FLAT.
Señales estimada: Utilizando Modelo de Volterra de orden-1, Modelo de
Volterra de orden-2 y Modelo de Volterra de orden-3. Se mantiene
constante p=6 y mu1=0.01, mu2=0.02, mu3=0.03.
Medición: Blue Cat en precisión 6.
2. Variación de longitud:
Señal de referencia: 2.5 Khz a -6 dBFS (pico).
Señal deseada: API waves en modo FLAT.
Señales estimada: Modelo de Volterra de orden-3. Utilizando p=3, p=6. Se
mantiene constante mu1=0.01, mu2=0.02, mu3=0.03.
Medición: Blue Cat en precisión 6.
3. Variación de parámetro de convergencia:
Señal de referencia: 2.5 Khz a -6 dBFS (pico).
Señal deseada: API waves en modo FLAT.
42
Señales estimada: Modelo de Volterra de orden-3. Se mantiene constante
p=6. Se utilizan todos los parámetros de convergencia en 0.01, y luego en
0.5.
Medición: Blue Cat en precisión 6.
4. Señal compuesta:
Señal de referencia: Señal compuesta por 100 Hz, 240 Hz, 800 Hz y 2500
Hz.
Señal deseada: API waves en modo FLAT.
Señales estimadas: Modelo Volterra de orden-3 con p=6 y parámetros
mu1=0.01,mu2=0.02,mu3=0.03.
Medición: Blue Cat en precisión 6.
Opción de ajuste de coeficientes: Con ajuste a=1/50 para el bloque de
tercer orden.
5. Ruido blanco:
Señal de referencia: Ruido blanco a -6dB pico.
Señal deseada: API waves preset 2 (definido en el laboratorio 2).
Señales estimadas: Modelo de Volterra de orden-3 con p=6 y paràmetros
0.01,0.02,0.03.
Medición: Blue Cat en precisión 6.
Opción de ajuste de coeficientes: Con ajuste a=1/1000 para la estructura de
tercer orden.
43
6. Senoidal pura:
Señal de referencia: 2,5 a -6dB pico.
Señal deseada: 2.5 khz API 550-B con x-noise.
Señales estimadas: Modelo de Volterra de orden-3 con p=6 y parámetros
0.01,0.02,0.03.
Medición: Blue Cat en precisión 6.
7. Señal compuesta:
Señal de referencia: Señales -6dB.
Señal deseada: Seña compuesta API 550-B con x-noise.
Señales estimadas: Volt 3p6. Parámetros 0.01,0.02,0.03.
Medición: Blue Cat en precisión 6.
Los detalles se presentan en el Anexo 04 – Informe Laboratorio 4, Pruebas
Preliminares del Modelo de Volterra. Los resultados y conclusiones forman parte
integra de este documento.
44
13. MODELO IDENTIFICADO
Basado en los resultados del Laboratorio 4 (ver Anexo 04), se diseña el proceso
de aprendizaje para obtener el modelo del preset 2 (ver Anexo 03). El diseño
consta de lo siguiente:
Señal de referencia: Audio de Guitarra preseleccionado normalizado
a -6dBFS (pico).
Señal deseada: Señal procesada con API 550-B configurado en
preset 2.
Señales estimadas: Modelo de Volterra de orden-3 con p=6 y
parámetros de convergencia mu1=0.01, mu2=0.02, mu3=0.03.
Medición: Blue Cat en precisión 6.
A continuación se resumen los resultados para el preset propuesto.
45
Figura 8. Proceso de aprendizaje del Preset: Curva de aprendizaje (error cuadrático) en escala lineal y
logarítmica, y coeficientes identificados.
Como se puede observar en las curvas de aprendizaje, el algoritmo logra aprender
rápidamente, sin embargo como la guitarra es rítmica y la interpretación tiene
silencios, entonces el proceso de aprendizaje reinicia nuevamente cuando la
guitarra toca. Aun así, luego de las primeras iteraciones el aprendizaje es más
rápido. Por otra parte, la gráfica de coeficientes muestra que los coeficientes más
significativos son los de los bloques de primer y segundo orden, y los coeficientes
del bloque de tercer orden tienden a cero, lo que significa que éstos realizan
46
pequeños ajustes para introducir armónicos intermodulantes pero con baja
amplitud.
Figura 9. Efecto del proceso de aprendizaje en la señal durante la adaptación
También se presenta los espectros de la señal de referencia, señal deseada y
señal procesada por el modelo identificado.
Figura 10. Señal de referencia (Guitarra).
47
Figura 11. Señal deseada (procesada por el API 550-B).
Figura 12. Señal procesada por el modelo identificado.
48
14. CONCLUSIONES
El proceso de identificación es sumamente sensible a los parámetros. El
parámetro que mostró ser más crítico es p, ya que un aumento produce un
reajuste significativo en el nivel de los armónicos. Por otro lado, los
parámetros de convergencia modifican la velocidad de adaptación pero los
resultados a gran escala no son significativos. Por último, el orden del
modelo aumenta la demanda de procesamiento pero no siempre brinda
más precisión.
El proceso de adaptación es muy sensible a las diferencias entre la entrada
real del sistema y la entrada diseñada, donde las perturbaciones (en este
caso ruido eléctrico) dificulta la adaptación ya que los sistemas no lineales
son muy influenciados por entradas compuestas por la aparición de
armónicos intermodulantes principalmente.
El modelo tiene capacidad de ajustarse fácilmente a señales con un
reducido número de componentes espectrales, es decir, señales con
espectro angosto. Sin embargo, para otras señales más complejas, como
ruido blanco, se dificulta el aprendizaje por el gran número de armónicos
introducidos.
El proceso de aprendizaje para el caso particular de la guitarra tuvo un
resultado positivo al comparar el contenido espectral de la señal procesada
con el modelo obtenido y el sistema original. En este caso se debe tener en
cuenta que por ser una guitarra rítmica cuya interpretación contiene silencio
se puede observar que el algoritmo debe retomar el aprendizaje por etapas.
49
15. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Nelles, O. (2001). Nonlinear System Identification, From Classical Approaches to
Neuronal Networks and Fuzzy Models. Springer.
Pintelon, R. (2001). System Identification, A Frequency Domain Approach.IEEE
Press.
Ogunfunmi, T. (2007). Adaptive Nonlinear System Identification, Volterra and
Wiener Model Approaches. Springer.
Zaknich, A. (2005). Principles of Adaptive Filters and Self-learning Systems.
Springer
Rao, S. (2009).Engineering Optimization. Wiley.
Ravindran, A. (2006). Engineering Optimization, Methods and Applications. Wiley.
Rencher, A. (2002). Methods of Multivariate Analysis. Wiley.
Bilodeau, M. (1961). Theory of Mutivariate Statistics. Springer.
Diniz, P. (2008). Adaptative Filtering. Kluwer Academic Publishers.
Ljung, L. (1987). System Identification, Theory for the User. Prentice Hall.
Singh, V. (2009). System Modeling and Simulation. New Age.
Hangos, K. (2001). Process Modelling and Model Analysis Signal Processing
Signals, systems and filters. Academic Press.
Haykin, S. (1996). Adaptive Filter Theory. Prentice Hall.
Paularikas, A., & Ramadan, Z. (2006). Adaptative Filtering Primer with matlab.
Taylos & Francis.
Tan, L. (2008). Digital Signal Processing, Fundamentals and Applications. Elsevier.
50
LISTA DE TABLAS
Tabla 1. Distribución semanal de actividades……………………………………..….12
Tabla 2. Actividades planteadas…………………………………………………….....12
51
LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Proceso de identificación………………………………………………...….15
Figura 2. API 550-B………………………………………………………………...……19
Figura 3. Etapas de definición de estructuras no-lineales………………..…………25
Figura 4. Interpretación en bloques del Modelo de Volterra…………………….…..31
Figura 5. Definición de función objetivo……………………………………………….35
Figura 6. Configuración y proceso de adaptación…………………………………....36
Figura 7. Diagrama de bloques del Algoritmo para implementación del Modelo de
Volterra con LMS………………………………………………………………………...40
Figura 8. Proceso de aprendizaje del Preset…………………………………………45
Figura 9. Efecto del proceso de aprendizaje en la señal durante la adaptación….46
Figura 10. Señal de referencia (guitarra)……………………………………………...46
Figura 11. Señal deseada (procesada por el API 550-B)……………………………47
Figura 12. Señal procesada por el modelo identificado……………………………..47
52
LISTA DE ANEXOS
Los siguientes anexos referenciados en el presente documento se encuentran en
archivos adjuntos a este documento, en formato PDF.
Anexo 01 – Informe Laboratorio 1, Propiedades Generales del API 550-B.
Anexo 02 – Informe Laboratorio 2, Pruebas de ajuste del API 550-B.
Anexo 03 – Informe Laboratorio 3, Preset del API 550-B.
Anexo 04 – Informe Laboratorio 4, Pruebas preliminares del Modelo de
Volterra
53
GLOSARIO
Sistema: Es un objeto, real o conceptual, en la que interactúan diferentes partes
para producir señales observables.
Modelo: Es una réplica de un sistema, físico o matemático, que posee
propiedades y funciones del sistema.
Modelo matemático: Modelo definido a partir de ecuaciones matemáticas. Dichas
ecuaciones puede ser de varios tipos, ya sea ecuaciones algebraicas,
diferenciales, integrales, entre otras.
Modelo físico: Modelo a escala que sirve para replicar fenómenos físicos del
sistema original.
Identificación: Proceso en el que se busca hallar un modelo cuya respuesta sea
una estimación de una respuesta deseada. El objetivo de la identificación es
encontrar un estimador del sistema desconocido.
Modelo mecanístico: Modelo derivado de los fenómenos o mecánica del sistema.
Dichos fenómenos provienen de la aplicación de principios y leyes físicas.
Modelo empírico: Modelo derivado mediante experimentación y observación de
datos de entrada-salida.
Modelo de caja gris: Modelo derivado como una combinación de partes
mecanísticas y partes empíricas.
Modelo estocástico: Modelo que contiene elementos con naturaleza probabilística.
Modelo determinístico: Modelo basado en análisis causa-efecto.
Modelo lineal: Modelo que cumple el principio de superposición.
Modelo no lineal: Modelo que no cumple el principio de superposición.
54
Modelo discreto: Modelo definido para valores discretos de tiempo y/o espacio.
Modelo continuo: Modelo definido continuamente sobre el espacio/tiempo.
Modelo de parámetros distribuidos: Modelo cuyas variables son dependientes de
la posición espacial.
Modelo de parámetros concentrados: Modelo cuyas variables no son
dependientes de la posición espacial.
Modelo estático: Modelo con estructura invariante en el tiempo.
Modelo dinámico: Modelo con estructura variante en el tiempo.
Filtro adaptativo: Filtro con capacidad de redefinir sus coeficientes en el tiempo. Es
decir, es un filtro variante en el tiempo.
