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Identificação das Matrizes de Estado
Adolfo BauchspiessENE/UnB
Identificação de Sistemas Dinâmicos – Caixa Cinza - idGrey
Consideração preliminar:
Representar as equações de Estado como x(k) = Regressores * Parâmetros
)𝐸𝑚 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑜𝑔𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑚: 𝑦 𝑘 = )𝜓(𝑘 − 1 3𝜃 + 𝑒(𝑘
𝒙 𝑘 = Φ𝒙 𝑘 − 1 + Γ𝒖 𝑘 − 1 + 𝒆(𝑘)
𝒙 𝑘 = Φ Γ𝒙(𝑘 − 1)𝒖(𝑘 − 1)
𝒙 𝑘 = Δ3𝒎(𝑘 − 1)𝑻
𝒙 𝑘 3 = 𝒎(𝑘 − 1)Δ
𝒙 𝑘 3 = 𝒙(𝑘 − 1)3 𝒖(𝑘 − 1)3 Φ3
Γ3
(𝑦 𝑘 = 𝜓(𝑘 − 1)3𝜃 + 𝑒(𝑘))
Para N instâncias desta equação:
𝒙 1 𝑻
𝒙 2 𝑻
⋮𝒙 𝑁 𝑻
=
𝒎(0)𝒎(1)⋮
𝒎(𝑁 − 1)
Δ
𝑋𝑵 = 𝑀Δ
Δ pode ser obtida resolvendo-se a pseudo-inversa: FΔGH= [𝑀𝑻𝑀]KL𝑀𝑻𝑋𝑵
Ou de forma recursiva:
𝐾N =OPQR𝒎(NKL)S
LT𝒎(NKL)OPQR𝒎(NKL)S
FΔN = FΔNKL + 𝐾N 𝒙 𝑘 3 −𝒎(𝑘 − 1)FΔNKL
𝑃N = 𝑃NKL −OPQR𝒎(NKL)S𝒎(NKL)OPQR
S
LT𝒎(NKL)OPQR𝒎(NKL)S
Identificação Caixa Cinza
Adolfo BauchspiessENE/UnB
Identificação de Sistemas Dinâmicos
Estimação Caixa Cinza
• Conhecimento à priori • estrutura, • leis físicas, • princípios fundamentais
• Informação auxiliar
Ex.1 – Processo Térmico
6500 7000 7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 11000
42
44
46
48
50
52
54
t/[seg]
ºC
Identificação Processo Térmico - Filtro de Kalman
medidoestimadosimulado
Ex.: Modelo a ParâmetrosConcentrados de climatização
Analogia: Capacitor elétrico - Capacitância TérmicaResistor – transmitância térmicaCorrente – fluxo de calor q
q = K(Tiv-To); qv = Kv(Tv - Tiv) - ”condução”
- Princípio Fundamental: fluxo de calor é proporcional à diferença de temperaturas
Forma Modal – desacoplamento entre modos
- Expanção em frações- ssest/n4sid
sys2=n4sid(ze,2,'Form','modal','InputDelay',5);
%% x(k+1)=phi*x(k)+gama*u(k)% y(k) = H*x(k) + J*u(k)
phi=[exp(-1/40) 0 0 0 0 0 00 exp(-1/270) 0 0 0 0 0 (1-exp(-1/40))*0.0364 (1-exp(-1/270))*0.0521 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0];
gama=[1 141 140 00 00 0 0 00 0];
Hr=[0 0 0 0 0 0 1];
Y(z)*z5 = G1(z)*U1(z) + G2(z)*U2(z)
u2 - Tamb
[tid uid]
u1 - PWM
simd
To WS
25
Z-5
-K-
exp(-1/40)
-K-
exp(-1/270)
14
x2x2
x1
Modelo Princípios Fundamentais
%Modelo discreto do processo térmico no espaço de estados% x(k+1)=phi*x(k)+gama*u(k)% y(k) = C*x(k) phi=[exp(-1/30) 0 0 0 0 0 0
(1-exp(-1/30))*4*0.001 1 0 0 0 0 -5*0.0010 1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0]
gama=[1 10 0.0010 00 00 0 0 00 0]
H=[0 0 0 0 0 0 1];
qp = K (TP - To)
qa = Ka (Ta - T)
Capacitancia Termica LM35
Modelo do Processo PWM
ZOH
TransportDelay
.
25
1s
1s
[tid uid]
WS
4
0.001
1/30
1/30
q fluxode calor
qa qa
qp
Tp
Ta Ta
T
T
MQR – MQ com Restrições
θc
ξξ
ξθy
SparâmetrosossobrerestriçõesnCustodeFunçãoaminimizar
r
T
=
+= ˆy
Ex. MQR – Característica Estática
Característica Estática
Identificação EE com parametrização Estruturada
u2 - Tamb
Pto Operação
Capacitancia Termica LM35
Pto Operação
Modelo do Processo PWM
Pto Operação
Caminho direto -> zero na F.T.
[tid y]
u3
[tid uid]
u1 - PWM
ysfp
To WS
q fluxos de calor
25
Z-5p(4)
p(1)
Scope2
p(5)
p(2)
um(2)
um(1)ym
p(3)
x1
x3-x7q
q_amb normalizado
q_pwmx2
Idss com parametrização Estruturada
u2 - Tamb
Pto Operação
Capacitancia Termica LM35
Pto Operação
Modelo do Processo PWM
Pto Operação
Caminho direto -> zero na F.T.
[tid y]
u3
[tid uid]
u1 - PWM
ysfp
To WS
q fluxos de calor
25
Z-5p(4)
p(1)
Scope2
p(5)
p(2)
um(2)
um(1)ym
p(3)
x1
x3-x7q
q_amb normalizado
q_pwmx2
gs.Structure.a.Free=...[1 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];
gs.Structure.b.Free=...[0 0;1 1;0 0;0 0;0 0;0 0;0 0];
gs.Structure.c.Free=[0 0 0 0 0 0 0 ];
gs.Structure.d.Free=0;
set(gs,'Ts',Ts); % modelo contínuo
gss=ssest(ze,gs);
greyest com parametrização Estruturada
u2 - Tamb
Pto Operação
Capacitancia Termica LM35
Pto Operação
Modelo do Processo PWM
Pto Operação
Caminho direto -> zero na F.T.
[tid y]
u3
[tid uid]
u1 - PWM
ysfp
To WS
q fluxos de calor
25
Z-5p(4)
p(1)
Scope2
p(5)
p(2)
um(2)
um(1)ym
p(3)
x1
x3-x7q
q_amb normalizado
q_pwmx2
function [A,B,C,D,K,x0] = myFirst_id3 (par,Ts,aux)A = [par(1) 0 0 0 0 0 0
par(2)*par(3)*par(4) 1 0 0 0 0 -(par(3)+1)*par(4)0 1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0];
B = [1 0par(3)*par(4)*par(5) par(4)
% 0 par(4)0 00 00 0 0 00 0];
C=[0 0 0 0 0 0 1];D = zeros(1,2);K = zeros(7,1);x0 =[0; 0; 0; 0; 0; 0; 0];
greyest com parametrização Estruturada
u2 - Tamb
Pto Operação
Capacitancia Termica LM35
Pto Operação
Modelo do Processo PWM
Pto Operação
Caminho direto -> zero na F.T.
[tid y]
u3
[tid uid]
u1 - PWM
ysfp
To WS
q fluxos de calor
25
Z-5p(4)
p(1)
Scope2
p(5)
p(2)
um(2)
um(1)ym
p(3)
x1
x3-x7q
q_amb normalizado
q_pwmx2par=[exp(-1/40) 0.1 2.5 .001 1]; %I.C,
gr=idgrey('myFirst_id3',par,'cd',aux,Ts);ggr=greyest(ze,gr);
% Simula sistema identificadox0=[0 0 25 25 25 25 25]'-ym;gn=ss(phi,gama,Hr,0,1);
yr=lsim(ggr,u-um,t,x0)+ym;
Greyest- First Principles
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5104
-10
0
10
20
30
40
50
60Fit Processo Termico,% GreyEst =85.6%% GreyEstZ =90.8%
2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3104
44
46
48
50
52
54
56Fit Processo Termico,% GreyEst =85.6%% GreyEstZ =90.8%
y-processyr-greyestyrZ-greyest
Greyest- First Principles
u2 - Tamb
Pto Operação
Capacitancia Termica LM35
Pto Operação
Modelo do Processo PWM
Pto Operação
Caminho direto -> zero na F.T.
[tid y]
u3
[tid uid]
u1 - PWM
ysfp
To WS
q fluxos de calor
25
Z-5p(4)
p(1)
Scope2
p(5)
p(2)
um(2)
um(1)ym
p(3)
x1
x3-x7q
q_amb normalizado
q_pwmx2
phi (inicial) =
0.9753 0 0 0 0 0 00.0001 1.0000 0 0 0 0 -0.0050
0 1.0000 0 0 0 0 00 0 1.0000 0 0 0 00 0 0 1.0000 0 0 00 0 0 0 1.0000 0 00 0 0 0 0 1.0000 0
ggr.a =
0.9763 0 0 0 0 0 0-0.0000 1.0000 0 0 0 0 -0.0029
0 1.0000 0 0 0 0 00 0 1.0000 0 0 0 00 0 0 1.0000 0 0 00 0 0 0 1.0000 0 00 0 0 0 0 1.0000 0
Gama(inicial) =
0.0714 1.00001.0000 0.1000
0 00 00 00 00 0
ggrz.b =
1.0000 00 0.00080 00 00 00 00 0
p =
-0.97430.22522.48100.00311.0000
Ex. 2 Levitação Magnética
Ex. 2 Levitação Magnética
Processo Compensador em avanço
121 s21+s
p sz+s )(
+=
+=sD
2223
2
mf1)-(K s 1)-(K ps s
z)(sK- (s)Grr
r
www
+++
+=(K=Ganho de malha)
Diagrama de blocos simplificado
Diagrama de blocos em um dos canais
Ex. 2 idss ze{i}=iddata(y-mean(y),u-mean(u),T);
gtf{i}=tfest(ze{i},3,1); % Id. Caixa Preta – estrutura: 3 pólos 1 zero
% idss (fixa pólo em comp. Avnaço em -121) - 4 par. livres.par=[-2e5;-7500;-1.3e4;-220]; % valores iniciais ~gtf
A = [0 1 0; 0 0 1; par(1) par(2) -121]; B = [0; 0; 1];C = [par(3) par(4) 0];D = zeros(1,1);gs=idss(A,B,C,D);
gs.Structure.a.Free=[0 0 0; 0 0 0;1 1 0];gs.Structure.b.Free=[0; 0; 0];gs.Structure.c.Free=[1 1 0];gs.Structure.d.Free=0;set(gs,'Ts',0); % modelo contínuo
%gss = ssest(ze,gss,ssestOptions('Display','on'));gss{i}=ssest(ze{i},gs);
Ex. 2 idgrey
par=[-2e5;-7500;-1.3e4];aux=21; % posição do zero - fixa!Ts=0; % modelo contínuogr=idgrey('myLevi',par,'c',aux,Ts)
ggr{i}=greyest(ze{i},gr)
function [A,B,C,D,K,x0] = myLevi(par,Ts,aux)A = [0 1 0; 0 0 1; par(1) par(2) -121]; B = [0; 0; 1];C = [par(3)*aux par(3) 0];D = zeros(1,1);K = zeros(3,1);x0 =[0; 0; 0];
% Forma Canonica Controlável% b1 s + b0% ----------------------------------% s^3 + a2 s^2 + a1 s + a0%%A=[0 1 0;% 0 0 1;% -a0 -a1 -a2]%B=[0;0;1];%C=[b0 b1 0]
Ex. 2 Levitação Magnética
20 20.2 20.4 20.6 20.8 21 21.2 21.4 21.6 21.8 22-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4i=3 arq.=dados\6-19+9-52-38_1 ms.txt
y adqyt tfestyg greyestu*.01
2.05e05 s 1.164e04 s 121 s21) (s 1019.6- gr(s) 23 +++
+=
1.13e05 s 8560 s 67.46 s17.11)+(s 726.9- tf(s) 23 +++
=
Ex. Predial
Climatização Híbrida - Temperatura
Forro PVC
Serpentina + VentiladorEvaporativo
Reservatório de água
Grelhas de saída de arGrelha entrada de ar externo
Damper -Misturador
de ar
Compressor(externo)
Teto
Duto
Evaporador
T & UR
idgrey
function [A,B,C,D,K,x0] = myfunc5(par,Ts,aux)
A = [par(1) par(2) par(3) par(4) par(5) par(6) par(7); 0 par(8) 0 0 0 0 0; 0 0 par(9) 0 0 0 0; 0 0 0 par(10) 0 0 0; 0 0 0 0 par(11) par(12) par(13); 0 0 0 0 0 par(14) 0; 0 0 0 0 0 0 par(15)];
B = [par(16) par(17) par(18) par(19) par(20); (1-par(8)) 0 0 0 0; 0 (1-par(9)) 0 0 0; 0 0 (1-par(10)) 0 0; 0 0 0 par(21) par(22); 0 0 0 par(23) 0; 0 0 0 0 (1-par(15))];
C = [1 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 1 0 0];D = zeros(2,5);K = zeros(7,2);
x0 =[par(24);par(25);par(26);par(27);par(28);par(29);par(30)];
Matrizes – Princípios Fundamentais
;;)(
/10000000/100000
/000/10000000/10000000/10
1511
555554535251
151511
aa
a
aaaa
uvsutcve
uv
u
s
c
v
e
sutcve
KKKKaKKKKa
aa
aKaaaaaa
aa
aKKKaKKKKKKa
A
=++-
=
úúúúúúúúúú
û
ù
êêêêêêêêêê
ë
é
--
--
--
--
=
aaa
aauvstusctusv
tusecvetus
KKaKKKKaKKKKa
KKKKaKKKKKKa
-=
-=
-=
-=
++=
555453
5251
;;
;;)(
úúúúúúúúú
û
ù
êêêêêêêêê
ë
é
=
uv
uu
c
v
e
aaK
aa
a
B
/100000/0000000000/100000/100000/100000
úû
ùêë
é=
00100000000001
C
Predial - Sinais
Umidade relativa da sala de reuniões (uo), do ambiente externo (ue), sala vizinha (uv) e pós-evaporativo (up).
Temperatura da sala de reuniões (to), do ambiente externo (te), vizinhança (tv) e pós-evaporativo (tp).
Resultado da Identificação
i u uv ue um s
ai 168,5 164,9 80,82 171,7 -
Ki 2,19 3,77 0,151 -0,003 0,029
Redução de Ordem
Utilização de Coeficientes de Agrupamento•Modelo ARMAX
Candidatos a Modelo
Considerando: pequenas períodos de amostragem
Estimação dos Parâmetros
Redução de Ordem
• Encontrar o “joelho”acréscimo de termo é irrelevante: