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IES Juan García Valdemora ÁLGEBRA. SELECTIVIDAD Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
Página 1
1. Dadas las matrices
−=
53
21A y
=
24
10B calcula:
a)
−=
+
−=+
37
31
24
10
53
21BA
b)
−−=
−
−=−
71
11
24
10
53
21BA
c)
−−=
−
−=−
166
12
612
30
106
4232 BA
d)
−−=
⋅−+⋅⋅−+⋅⋅+⋅⋅+⋅
=
⋅
−=⋅
720
58
2)5(134)5(03
22114201
24
10
53
21BA
e)
−−
=
−⋅+⋅⋅+⋅−⋅+⋅⋅+⋅
=
−⋅
=⋅
210
53
)5(2243214
)5(1203110
53
21
24
10AB
f)
−−=
⋅−+⋅⋅−+⋅⋅+⋅⋅+⋅
=
⋅
−=
⋅
−=⋅+
312
1528
2)3(134)3(03
27114701
24
10
33
71
24
10
37
31)(
t
t BBA
g)
−−=
−−=⋅
−−
11
2
11
544
5
44
7
720
58)(
1
1BA
Dada
−−=⋅
720
58)( BA sea
=⋅ −
tz
yxBA 1)(
44
5y
11
2
1720
058
11
5y
44
70720
158
10
01
720720
5858
10
01
720
58
10
01)()(
sistema elResolver
sistema elResolver
1
−== →
=−−=+
=−= →
=−−=+
⇒
=
−−−−++
⇒
=
⋅
−−⇒
=⋅⋅⋅ −
tyty
ty
zxzx
zx
tyzx
tyzx
tz
yxBABA
Por tanto,
−−=⋅ −
11
2
11
544
5
44
7
)( 1BA
IES Juan García Valdemora ÁLGEBRA. SELECTIVIDAD Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
Página 2
h)
−−−
=
−
−−
=−⋅153
234
88
24
75
208)( 2BBA t
−−
=
−−=⋅
75
208
720
58)(
t
tBA
=
⋅
=⋅=
88
24
24
10
24
102 BBB
i) 12 )( −⋅− BIA t
�
−=−⇒
−=
−
−=−
62
30)(
63
20
10
01
53
21)( 22
tIAIA
� Dada
=
24
10B sea
=−
tz
yxB 1
0y 4
1
124
0
1y 2
1024
1
10
01
242410
01
24
10
10
01
sistema elResolver
sistema elResolver
1
== →
=+=
=−= →
=+=
⇒
=
++⇒
=
⋅
⇒
=⋅ −
tyty
t
zxzx
z
tyzx
tz
tz
yxBB
Por tanto,
−=−
014
1
2
11B
�
−=
−⋅
−=⋅− −
2
17
03
014
1
2
1
62
30)( 1
2 BIA t
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2. Dadas las matrices
−=
503
120
031
A y
−=305
110
012
B calcula:
a)
=
−+
−=+
802
030
043
305
110
012
503
120
031
BA
b)
−−−
−=
−−
−=−208
210
021
503
120
031
305
110
012
AB
c)
−=
−+
−=+
14012
250
067
9015
330
036
503
120
031
3BA
d)
−
−=
−⋅
−=⋅
15319
125
342
305
110
012
503
120
031
BA
250032111 =⋅+⋅+⋅=⋅CF
400131121 =⋅+⋅+⋅=⋅CF
330)1(30131 −=⋅+−⋅+⋅=⋅CF
551022012 =⋅+⋅+⋅=⋅CF
201121022 =⋅+⋅+⋅=⋅CF
131)1(20032 =⋅+−⋅+⋅=⋅CF
1955002)3(13 =⋅+⋅+⋅−=⋅CF
305101)3(23 −=⋅+⋅+⋅−=⋅CF
1535)1(00)3(33 =⋅+−⋅+⋅−=⋅CF
e)
−−−
=
−⋅
−=⋅=9525
415
134
305
110
012
305
110
0122 BBB
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Página 4
f)
−−−−
−=
−−
−−−−
−=−
1137298
40224
242010
305
110
012
1167293
39124
242183 BA
−−−−
−=
−⋅
−−−=
−⋅
−⋅
−=
1167293
39124
24218
503
120
031
25918
743
391
503
120
031
503
120
031
503
120
0313A
g) =
−
−−−=
−−
−=
−−
−=−
ttttt
tt BA
215
113
311
305
110
012
510
023
301
305
110
012
503
120
031
)(
−−
−−=
213
111
531
h)
−−−
−=
−−−
−⋅
−=⋅ −
2110268
3149
52517
296
153
31510
305
110
0121AB
� )(11 tAAdjA
A ⋅=−
1910
503
120
031
=−=−
=A
−−−
−=⇒
−=⇒
−=
296
153
31510
)(
510
023
301
503
120
031tt AAdjAA
Por tanto,
−−−
−=
−−−
−⋅=⋅=−
296
153
31510
296
153
31510
1)(11 tAAdjA
A
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Página 5
� Otra forma de calcular 1−A es mediante el método de Gauss-Jordan
→
−−− →
→
−
+−=+=
296100
010120
001031
103590
010120
001031
100503
010120
00103123
*313
*3 923 FFFFFF
→
−−−−−−−−
→
−−−−− → −⋅
−
+−=+= )1()2(:)2(:
32 3
2
1
21*
132*2
296100
2106020
63020002
296100
2106020
001031FFF
FFFFFF
−−−
−=⇒
−−−
−→ −
296
153
31510
296100
153010
315100011A
i)
−−
−=
−−−
−
−−=
−−−
−
−
−=−⋅
6428
119
2022
9525
415
134
1513
324
1952
9525
415
134
15319
125
342
)( 2
t
t BBA
2y BBA⋅ las hemos calculado en los apartados d) y e) respectivamente.
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Página 6
3. Dadas las matrices ( )5311 −=A
−
=
1
0
5
4
B
−=1130
2104
9723
C
−
−=
22
20
11
27
D
−−=
312
403
112
E calcula:
a) ( ) 65054
1
0
5
4
5311 −=−+−=
−
⋅−=⋅ BA
b) ( )
−−−
−−
=−⋅
−
=⋅
5311
0000
251555
201244
5311
1
0
5
4
AB
c) 4341 xx CA ⋅ no se puede efectuar porque el número de columnas de A no coincide con el número de filas de
C.
d) 4143 xx AC ⋅ no se puede efectuar porque el número de columnas de C no coincide con el número de filas de
A.
e)
=
−
⋅
−=⋅14
18
13
1
0
5
4
1130
2104
9723
BC
f) 4314 xx CB ⋅ no se puede efectuar porque el número de columnas de B no coincide con el número de filas de
C.
g) ( ) ( )116
22
20
11
27
5311 −=
−
−⋅−=⋅ DA
h)
−=
−
−⋅
−=⋅35
1424
041
22
20
11
27
1130
2104
9723
DC
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Página 7
i) =
−−⋅
−−−=
−−⋅
−−⋅
−−=⋅⋅=
312
403
112
11113
9114
931
312
403
112
312
403
112
312
403
1123 EEEE
−−
−−−=
24251
17549
38829
j)
−
−−−=
−−⋅
−−−
=
−−⋅
−
−−=⋅−
519
118
715
312
403
112
112
423
110
312
403
112
200
020
002
312
403
112
)2( EIE
k)
=
−⋅
−−=⋅
19181310
3125189
191212
1130
2104
9723
312
403
112
CE
l) 1−E
� )(11 tEAdjE
E ⋅=−
1098380
312
403
112
−=+−−−=−−
=E
−−−−−
=⇒
−−=⇒
−−=
343
1181
424
)(
341
101
232
312
403
112tt EAdjEE
Por tanto,
−−
−
−
=
−−−−−
⋅−=⋅=−
10
3
5
2
10
310
11
5
4
10
15
2
5
1
5
2
343
1181
424
10
1)(
11 tEAdjE
E
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Página 8
� Otra forma de calcular 1−E es mediante el método de Gauss-Jordan
→
−−
−− →
−−−+=−+=
−+=23
*313
*3
12*2
)2(3)1()3(2
101420
0231130
001112
100312
010403
001112FFFFFF
FFF
→
−−−−−−
→
−−−
−−→ +−=+−=
+=21
*131
*1
32*2
3101110
3431000
332430300
34701020
3431000
0231130
001112FFFFFF
FFF
−−
−
−
=⇒
−−
−
−
→
−−−−
−−
103
52
103
1011
54
101
52
51
52
103
52
103
100
1011
54
101
010
52
51
52
001
3431000
332430300
24122400601)10(:
)30(:)60(:
3
2
1
EFFF
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Página 9
4. Halla la inversa de las siguientes matrices:
−−=
39
47A
−=
20
11B
=
10
21C
−=
11
23D
−−=
312
403
112
E
−−=
122
010
011
F
−−−−−−
=251
5122
261
G
−=310
213
541
H
•
−−=
39
47A
� Dada
−−=
39
47A sea
=−
tz
yxA 1
157
y 154
139
047
53
y 51
039
147
10
01
3939
4747
10
01
39
47
10
01
sistema elResolver
sistema elResolver
1
=−= →
=−−=+
=−= →
=−−=+
⇒
=
−−−−++
⇒
=
⋅
−−⇒
=⋅ −
tyty
ty
zxzx
zx
tyzx
tyzx
tz
yxAA
Por tanto,
−−=−
157
53
154
51
1A
•
−=
20
11B
� Dada
−=
20
11B sea
=−
tz
yxB 1
⇒
=
−−⇒
=
⋅
−⇒
=⋅ −
10
01
2210
01
20
11
10
011
tz
tyzx
tz
yxBB
IES Juan García Valdemora ÁLGEBRA. SELECTIVIDAD Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
Página 10
2
1y
2
112
0
0y 102
1
sistema elResolver
sistema elResolver
== →
==−
== →
==−
tyt
ty
zxz
zx
Por tanto,
=−
2
1
2
101
1B
•
=
10
21C
� Dada
−=
20
11C sea
=−
tz
yxC 1
1y 21
02
0y 10
12
10
0122
10
01
10
21
10
01
sistema elResolver
sistema elResolver
1
=−= →
==+
== →
==+
⇒
=
++⇒
=
⋅
⇒
=⋅ −
tyt
ty
zxz
zx
tz
tyzx
tz
yxCC
Por tanto,
−=−
10
211C
•
−=
11
23D
� Dada
−=
11
23D sea
=−
tz
yxD 1
⇒
=
−−++
⇒
=
⋅
−⇒
=⋅ −
10
012323
10
01
11
23
10
011
tyzx
tyzx
tz
yxDD
IES Juan García Valdemora ÁLGEBRA. SELECTIVIDAD Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
Página 11
5
3y
5
2
12
0
5
1y
5
1
0
123
sistema elResolver
sistema elResolver
−== →
==−
== →
=−=+
tyt
ty
zxzx
zx
Por tanto,
−=−
53
51
52
51
1D
•
−−=
312
403
112
E
� )(11 tEAdjE
E ⋅=−
1098380
312
403
112
−=+−−−=−−
=E
−−−−−
=⇒
−−=⇒
−−=
343
1181
424
)(
341
101
232
312
403
112tt EAdjEE
Por tanto,
−−
−
−
=
−−−−−
⋅−=⋅=−
10
3
5
2
10
310
11
5
4
10
15
2
5
1
5
2
343
1181
424
10
1)(
11 tEAdjE
E
� Otra forma de calcular 1−E es mediante el método de Gauss-Jordan
→
−−
−− →
−−−+=−=
−+=23
*313
*3
12*2
)2(3)3(2
101420
0231130
001112
100312
010403
001112FFFFFF
FFF
IES Juan García Valdemora ÁLGEBRA. SELECTIVIDAD Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
Página 12
→
−−−−−−
→
−−−
−−→ +−=+−=
+=21
*131
*1
32*2
3101110
3431000
332430300
34701020
3431000
0231130
001112FFFFFF
FFF
−−
−
−
=⇒
−−
−
−
→
−−−−
−−
103
52
103
1011
54
101
52
51
52
103
52
103
100
1011
54
101
010
52
51
52
001
3431000
332430300
24122400601)10(:
)30(:)60(:
3
2
1
EFFF
•
−−=
122
010
011
F
� )(11 tFAdjF
F ⋅=−
1)000(001
122
010
011
=++−++=−−
=F
−=⇒
−−
=⇒
−−=
102
010
011
)(
100
211
201
122
010
011tt FAdjFF
Por tanto,
−=
−⋅=⋅=−
102
010
011
102
010
011
11
)(11 tFAdjF
F
� Otra forma de calcular 1−F es mediante el método de Gauss-Jordan
⇒
− →
→
−−
−=+=
102100
010010
011001
102100
010010
001011
100122
010010
00101121
*113
*3 2 FFFFFF
−=⇒ −
102
010
0111F
IES Juan García Valdemora ÁLGEBRA. SELECTIVIDAD Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
Página 13
•
−−−−−−
=251
5122
261
G
� )(11 tGAdjG
G ⋅=−
1)242524(203024
251
5122
261
=++−++=−−−−−−
=G
−−−
=⇒
−−−
−−−=⇒
−−−−−−
=012
101
621
)(
252
5126
121
251
5122
261tt FAdjGG
Por tanto,
−−−
=
−−−
⋅=⋅=−
012
101
621
012
101
621
11
)(11 tGAdjG
G
� Otra forma de calcular 1−G es mediante el método de Gauss-Jordan
→
−−−−
−− →
−−−−−−
==
−+=−+=
2*3
3*2
13*3
12*2
101010
012100
001261
100251
0105122
001261)1()2(
FFFF
FFFFFF
→
−−−−
−− →
−−−−
−−→ +=−+= 21
*131
*1 6)2(
012100
101010
025061
012100
101010
001261FFFFFF
−−−
=⇒
−−−
→
−−−−
−−−→ −−⋅
−⋅−⋅
012
101
621
012100
101010
621001
012100
101010
6210011)1(
)1()1(
3
2
1
GFFF
IES Juan García Valdemora ÁLGEBRA. SELECTIVIDAD Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
Página 14
•
−=310
213
541
H
� )(11 tHAdjH
H ⋅=−
26)3620(1503
310
213
541
−=++−++−=−=H
−−−
−−=⇒
−=⇒
−=1313
1339
1375
)(
325
114
031
310
213
541tt HAdjHH
Por tanto,
−
−−
−
=
−−−
−−⋅
−=⋅=−
21
261
263
21
263
269
21
267
265
1313
1339
1375
261
)(11 tHAdjG
H
� Otra forma de calcular 1−H es mediante el método de Gauss-Jordan
→
−−− →
− +=−+= 23*312
*2 13)3(
100310
01313130
001541
100310
010213
001541FFFFFF
→
−−−
−− →
−−−−→ +=−+=
+=21
*131
*1
32*2
4)5(262
13132600
13390260
65541010426
13132600
01313130
001541FFFFFF
FFF
−
−−
−
=⇒
−
−−−
−
→
−−−
−→ −⋅
−
2
1
26
1
26
321
263
269
2
1
26
7
26
5
2
1
26
1
26
3100
21
263
269
010
2
1
26
7
26
5001
13132600
13390260
137500261)26(
)26(:)26(:
3
2
1
HFFF
IES Juan García Valdemora ÁLGEBRA. SELECTIVIDAD Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
Página 15
5. Resuelve la ecuación matricial PBAX +=⋅ , siendo
−=
42
11A
=
02
31B y
−−=
26
44P .
� Despejamos X
111 )()(2
−−− ⋅+=⇒⋅+=⋅⋅⇒+=⋅ APBXAPBAAXPBAXI321
�
−−=
−−+
=+
24
75
26
44
02
31PB
� Dada
−=
42
11A sea
=−
tz
yxA 1
6
1y
6
1
142
0
3
1y
3
2
042
1
10
01
424210
01
42
11
10
01
sistema el Resolver
sistema el Resolver
1
== →
=+=−
−== →
=+=−
⇒
=
++−−
⇒
=
⋅
−⇒
=⋅ −
tyty
ty
zxzx
zx
tyzx
tyzx
tz
yxAA
Por tanto,
−=−
61
31
61
32
1A
� Luego,
−−=⇒
−−=
−⋅
−−=⇒⋅+= −
12
21
12
21
61
31
61
32
24
75)( 1 XXAPBX
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Página 16
6. Resuelve la ecuación matricial PNXM =+⋅ , siendo
−=
21
12M
=
51
32N y
=
30
29P
� Despejamos X
)()( 111
2
NPMXNPMXMMNPXMPNXMI
−⋅=⇒−⋅=⋅⋅⇒−=⋅⇒=+⋅ −−−43421
�
−−−
=
−
=−
21
17
51
32
30
29NP
� Dada
−=
21
12M sea
=−
tz
yxM 1
52
y 51
12
02
51
y 52
02
12
10
01
22
22
10
01
21
12
10
01
sistema elResolver
sistema elResolver
1
=−= →
=+−=+
== →
=+−=+
⇒
=
+−+−++
⇒
=
⋅
−⇒
=⋅ −
tyty
ty
zxzx
zx
tyzx
tyzx
tz
yxMM
Por tanto,
−=−
52
51
51
52
1A
� Luego,
−=⇒
−=
−−−
⋅
−=⇒−⋅= −
11
03
11
03
21
17
52
51
51
52
)(1 XXNPMX
IES Juan García Valdemora ÁLGEBRA. SELECTIVIDAD Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
Página 17
7. Resuelve la ecuación matricial CBAX =⋅⋅ , siendo
−=
10
41A
−=
41
23B y
−−
=12
21C
� Despejamos X
BADCXBACX
ABCAAXBCAXBCBBAXCBAXII
⋅=⋅=⇒⋅⋅=⇒
⇒⋅⋅=⋅⋅⇒⋅=⋅⇒⋅=⋅⋅⋅⇒=⋅⋅
−−
−−−−−−
D siendo )( 11
111111
22
321321
�
−−
=
−⋅
−=⋅=
41
147
41
23
10
41BAD
� Dada
−−
=41
147D sea
=−
tz
yxD 1
2
1y 1
14
0147
14
1y
7
2
04
1147
10
01
44
147147
10
01
41
147
10
01
sistema elResolver
sistema elResolver
1
== →
=+−=+−
−=−= →
=+−=+−
⇒
=
+−+−+−+−
⇒
=
⋅
−−
⇒
=⋅ −
tyty
ty
zxzx
zx
tyzx
tyzx
tz
yxDD
Por tanto,
−
−=−
2
1
14
1
17
21D
� Luego,
−
−=⇒
−
−=
−
−⋅
−−
=⇒⋅= −
2
3
2
1
07
1
2
3
2
1
07
1
2
1
14
1
17
2
12
211 XXDCX
IES Juan García Valdemora ÁLGEBRA. SELECTIVIDAD Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
Página 18
8. Resuelve la ecuación matricial BXA 22 =⋅ , siendo
−=
42
11A y
−−
=130
411B
� Sea 2AD = , entonces la ecuación queda de la forma BXD 2=⋅
� Despejamos X
)2()2(2 111
2
BDXBDXDDBXDI
⋅=⇒⋅=⋅⋅⇒=⋅ −−−321
�
−−
=
−−
=260
822
130
41122B
�
−−=
−⋅
−=⋅==
1410
51
42
11
42
112 AAAD
� Dada
−−=
1410
51D sea
=−
tz
yxD 1
36
1y
36
5
11410
05
18
5y
18
7
01410
15
10
01
14101410
55
10
01
1410
51
10
01
sistema elResolver
sistema elResolver
1
−== →
=+=−−
−== →
=+=−−
⇒
=
++−−−−
⇒
=
⋅
−−⇒
=⋅ −
tyty
ty
zxzx
zx
tyzx
tyzx
tz
yxDD
Por tanto,
−−=−
36
1
18
536
5
18
71D
� Luego
−−
−=⇒
−−
−=
−−
⋅
−−=⇒⋅= −
18
41
18
13
9
518
61
18
29
9
7
18
41
18
13
9
518
61
18
29
9
7
260
822
36
1
18
536
5
18
7
)2(1 XXBDX
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Página 19
9. Sean las matrices:
−−
=23
12A ,
−−=
111
210B ,
−−
=143
521C
a) Realiza, cuando sea posible, los siguientes productos de matrices: BA ⋅ , CB ⋅ y AC ⋅
=
−−⋅
−−
=⋅812
511
111
210
23
12BA
3232 xx CB ⋅ no se puede efectuar porque el número de columnas de B no coincide con el número de filas de
C.
2232 xx AC ⋅ no se puede efectuar porque el número de columnas de B no coincide con el número de filas de
C.
b) Resuelve la ecuación matricial CBXA =+⋅
� Despejamos X
)()( 111
2
BCAXBCAXAABCXACBXAI
−⋅=⇒−⋅=⋅⋅⇒−=⋅⇒=+⋅ −−−321
�
−=
−−−
−−
=−034
311
111
210
143
521BC
� Dada
−−
=23
12A sea
=−
tz
yxA 1
2y 1123
02
3y 2023
12
10
01
2323
22
10
01
23
12
10
01
sistema elResolver
sistema elResolver
1
−=−= →
=−=−
== →
=−=−
⇒
=
−−−−
⇒
=
⋅
−−
⇒
=⋅ −
tyty
ty
zxzx
zx
tyzx
tyzx
tz
yxAA
Por tanto,
−−
=−
23
121A
� Luego,
−−−−
=⇒
−−−−
=
−⋅
−−
=⇒−⋅= −
9311
616
9311
616
034
311
23
12)(1 XXBCAX
IES Juan García Valdemora ÁLGEBRA. SELECTIVIDAD Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
Página 20
10. Sean las matrices
−−
=120
012A ,
=
22
12B ,
−
−=
02
20
21
C :
a) Calcula la matriz P que verifica tCAPB =−⋅
� )()( 111
2
ACBPACBPBBACPBCAPB tt
I
tt +⋅=⇒+⋅=⋅⋅⇒+=⋅⇒=−⋅ −−−321
�
−−−−
=
−−
+
−−
=+142
213
120
012
022
201ACt
� Dada
=
22
12B sea
=−
tz
yxB 1
1y 2
1
122
02
1y 1022
12
10
01
2222
22
10
01
22
12
10
01
sistema elResolver
sistema elResolver
1
=−= →
=+=+
−== →
=+=+
⇒
=
++++
⇒
=
⋅
⇒
=⋅ −
tyty
ty
zxzx
zx
tyzx
tyzx
tz
yxBB
Por tanto,
−
−=−
112
111B
� Luego,
−
−−=
−−−−
⋅
−
−=+⋅= −
1552
334
142
213
112
11)(1 ACBP t
b) Determina la dimensión de la matriz M para que pueda efectuarse el producto CMA ⋅⋅
Para poder efectuar el producto de dos matrices el número de columnas de la primera debe ser igual al
número de filas de la segunda, por tanto, para poder efectuar el producto CMA ⋅⋅ la matriz M tiene que
tener dimensión 33x .
332332 xxmxnx MCMA ⇒⋅⋅
c) Determina la dimensión de la matriz N para que NC t ⋅ sea una matriz cuadrada.
1º) Como C tiene dimensión tCx ⇒23 tiene dimensión 32x .
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Página 21
2º) Para poder efectuar el producto de dos matrices el número de columnas de la primera debe ser igual al
número de filas de la segunda, por tanto, para poder efectuar el producto NC t ⋅ la matriz N tiene que tener
dimensión Npxp ∈con 3 .
3º) La matriz producto, P , tendrá dimensión Npxp ∈con 2 ( NpPNC xpxptx ∈=⋅ con 2332 ) y, por
tanto, P será cuadrada si 2=p .
Por tanto, la matriz N tiene que tener dimensión 23x para que NC t ⋅ sea una matriz cuadrada.
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Página 22
11. Sean las matrices
−=
22
01A ,
−−
=011
210B ,
−−−
=110
121C :
a) Calcule BIA ⋅− )( 2 , siendo 2I la matriz identidad de orden 2
−−
=
−−
⋅
−=
−−
⋅
−
−=⋅−
431
420
011
210
12
02
011
210
10
01
22
01)( 2 BIA
b) Obtén la matriz tB y calcula, si es posible, ABt ⋅
−−=02
11
10tB y
−−−=
−⋅
−−=⋅02
21
22
22
01
02
11
10
ABt
c) Calcula la matriz X que verifica CBXA =+⋅
� Despejamos X
)()( 111
2
BCAXBCAXAABCXACBXAI
−⋅=⇒−⋅=⋅⋅⇒−=⋅⇒=+⋅ −−−321
�
−−−−
=
−−
−
−−−
=−121
331
011
210
110
121BC
� Dada
−=
22
01A sea
=−
tz
yxA 1
2
1y 0
122
0
1y 1022
1
10
01
222210
01
22
01
10
01
sistema elResolver
sistema elResolver
1
== →
=+=−
=−= →
=+=−
⇒
=
++−−
⇒
=
⋅
−⇒
=⋅ −
tyty
y
zxzx
x
tyzx
yx
tz
yxAA
Por tanto,
−=−
2
11
011A
� Luego,
−−−
=⇒
−−−
=
−−−−
⋅
−=⇒−⋅= −
2
74
2
3331
2
74
2
3331
121
331
2
11
01)(1 XXBCAX
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Página 23
12. Dada la matriz
−=
31
21A , determina una matriz B tal que BABA ⋅=+
Sea
=
tz
yxB
1y 132
22
33
22
2
1y 2
12
12
31
21
33
22
31
21
31
21
31
21
sistema elResolver
sistema elResolver
=−= →
−=−−=−
⇒
+−=++=+
== →
=−−=−
⇒
+−=+−+=+
⇒
+−+−++
=
++−++
⇒
⋅
−=
+
−⇒⋅=+
tyty
t
tyt
tyy
zxzx
z
zxz
zxx
tyzx
tyzx
tz
yx
tz
yx
tz
yxBABA
Luego,
−= 1
2
112
B
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Página 24
13. Dada la matriz
−−
=12
213A , calcula una matriz triangular superior B tal que tBBA ⋅= . La matriz B, ¿es
única?
� B matriz triangular superior tal que ℜ∈
=⇒⋅= cba
c
baBBBA t ,,con
0
⇒ℜ∈
⋅⋅+
=
−−
⇒
⋅
=
−−
⇒⋅= cbaccb
cbba
cb
a
c
baBBA t ,,con
12
213
0
012
2132
22
1 1
1
2
13
3E de
2
22
−== →
=−=⋅
=+⇒ còc
c
cb
ba
3 391342
13
1 1 CASO
2222
−==⇒=⇒=+⇒
−==+
=
aòaaab
ba
c
−=⇒=−==∗
10
231 ,2 ,3 1Bcba
−−=⇒=−=−=∗
10
231 ,2 ,3 2Bcba
3 391342
13
1 2 CASO
2222
−==⇒=⇒=+⇒
==+
−=
aòaaab
ba
c
−=⇒−===∗
10
231 ,2 ,3 1Bcba
−−
=⇒−==−=∗10
231 ,2 ,3 2Bcba
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Página 25
14. Sean las matrices
=01
31
13
A ,
=
y
xB ,
=0
1
1
C ,
=z
z
z
D . Calcula x, y, z, sabiendo que DCBA −=⋅ 2
=++=++
=+⇒
=+=++=++
⇒
−=−=+−=+
⇒
⇒
−−−
=
++
⇒
−
=
++
⇒
−
=
⋅
⇒−=⋅
23
23
0
0
23
23
23
23
2
2
3
3
0
2
2
3
3
0
1
1
2
01
31
13
2
zyx
zyx
zx
zx
zyx
zyx
zx
zyx
zyx
z
z
z
x
yx
yx
z
z
z
x
yx
yx
z
z
z
y
xDCBA
Tenemos que resolver el sistema de ecuaciones lineales
=++=++
=+
23
23
0
zyx
zyx
zx
Aplicamos el método de Gauss:
→−+
− →==
− →
−+
−
2E)3(3E
2030
2210
01012E*
3E 3E*2E
2210
2030
0101)3( 13
1E2E
2113
2131
0101EE
−−→
4600
2210
0101
Una vez escalonado el sistema queda:
−==−
=+
46
22
0
z
zy
zx
• De 3E tenemos que 3
2
6
4 −=⇒−= zz
• Sustituyendo en 2E tenemos que 3
2
3
422
3
42
3
22 =⇒−=⇒=+⇒=
−⋅− yyyy
• Sustituyendo en 1E tenemos que 3
20
3
20
3
2 =⇒=−⇒=
−+ xxx
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Página 26
Luego, 3
2=x , 3
2=y , 3
2−=z
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Página 27
15. Calcula las potencias n-ésimas de las siguientes matrices:
=
a
aA
0
1
=100
010
111
B
=
22
22C
=100
010
101
D
Calcula, utilizando la fórmula general,5A , 40B , 9C y 25D .
I)
=
a
aA
0
1
=
a
aA
0
11
=
⋅
=⋅=
2
22
0
2
0
1
0
1
a
aa
a
a
a
aAAA
=
⋅
=⋅=
3
23
2
223
0
3
0
1
0
2
a
aa
a
a
a
aaAAA
=
⋅
=⋅=
4
34
3
2334
0
4
0
1
0
3
a
aa
a
a
a
aaAAA
……………………………..
Luego,
⋅=
−
n
nnn
a
anaA
0
1
Demostraremos la ley de formación por inducción.
•
=⇒
⋅=⇒=
a
aA
a
aaAn
0
1
0
11
1
011
• Supongamos que la ley de formación es válida para “n”, es decir
⋅=
−
n
nnn
a
anaA
0
1
, y veamos que
entonces también lo es para “n+1”
⋅+=
⋅+=
⋅
⋅=⋅= +
+
+
+−+
1
1
1
111
0
)1(
00
1
0 n
nn
n
nn
n
nnnn
a
ana
a
anaa
a
a
a
anaAAA
Por tanto, Nna
anaA
n
nnn ∈∀
⋅=
−
0
1
IES Juan García Valdemora ÁLGEBRA. SELECTIVIDAD Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
Página 28
II)
=100
010
111
B
=100
010
1111B
=
⋅
=⋅=100
010
221
100
010
111
100
010
1112 BBB
=
⋅
=⋅=100
010
331
100
010
111
100
010
22123 BBB
=
⋅
=⋅=100
010
441
100
010
111
100
010
33134 BBB
……………………………..
Luego,
=100
010
1 nn
Bn
Demostraremos la ley de formación por inducción.
•
=⇒=100
010
111
1 1Bn
• Supongamos que la ley de formación es válida para “n”, es decir
=100
010
1 nn
Bn , y veamos que
entonces también lo es para “n+1”
++=
⋅
=⋅=+
100
010
111
100
010
111
100
010
11
nnnn
BBB nn
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Página 29
Por tanto, Nn
nn
Bn ∈∀
=
100
010
1
III)
=
22
22C
=
=
11
111
22
22
22
22C
=
=
⋅
=⋅=
33
332
22
22
88
88
22
22
22
22CCC
=
=
⋅
=⋅=
55
5523
22
22
3232
3232
22
22
88
88CCC
=
=
⋅
=⋅=
77
7744
22
22
128128
128128
22
22
3232
3232CCC
……………………………..
Luego,
= −−
−−
1212
1212
22
22nn
nnnC
Demostraremos la ley de formación por inducción.
•
=⇒
=⇒=
22
22
22
221
11
111 CCn
• Supongamos que la ley de formación es válida para “n”, es decir
= −−
−−
1212
1212
22
22nn
nnnC , y veamos que
entonces también lo es para “n+1”
=
=
⋅⋅⋅⋅
=
=
++++
=
⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅
=
⋅
=⋅=
−+−+
−+−+
++
++
−−−−
−−−−
−−
−−+
1)1(21)1(2
1)1(21)1(2
1212
1212
22
22
2222
2222
12121212
12121212
1212
12121
22
22
22
22
2222
2222
2222
2222
22222222
22222222
22
22
22
22
nn
nn
nn
nn
nn
nn
nnnn
nnnn
nnnn
nnnn
nn
nnnn CCC
Por tanto, NnCnn
nnn ∈∀
= −−
−−
22
221212
1212
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Página 30
IV)
=100
010
101
D
=100
010
1011D
=
⋅
=⋅=100
010
201
100
010
101
100
010
1012 DDD
=
⋅
=⋅=100
010
301
100
010
101
100
010
20123 DDD
=
⋅
=⋅=100
010
401
100
010
101
100
010
30134 DDD
……………………………..
=100
010
01 n
Dn
Demostraremos la ley de formación por inducción.
•
=⇒=100
010
101
1 1Dn
• Supongamos que la ley de formación es válida para “n”, es decir
=100
010
01 n
Dn , y veamos que
entonces también lo es para “n+1”
+=
⋅
==⋅=+
100
010
101
100
010
101
100
010
011
nn
DDDD nnn
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Página 31
Por tanto, Nn
n
Dn ∈∀
=
100
010
01
Utilizando la fórmula general tenemos
⋅=⇒
⋅=
−
5
455
1
0
5
0 a
aaA
a
anaA
n
nnn
=⇒
=100
010
40401
100
010
140B
nn
Bn
=⇒
= −−
−−
1717
17179
1212
1212
22
22
22
22CC
nn
nnn
=⇒
=100
010
2501
100
010
0125D
n
D n
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Página 32
16. Calcula los valores de t, para que el rango de la matriz
−−−
=t
A
42
242
121
a) sea 1 b) sea 2 c) sea 3
En primer lugar escalonamos la matriz A:
ℜ∈∀≤⇒
+−
→
+
− →
−−−
= +−+
tARangot
tt
A EEEE
2)(200
121
200
000
121
42
242
12113
122
)2(
a) Si 1)(022 =⇒=+⇒−= ARangott
b) Si 2)(022 =⇒≠+⇒−≠ ARangott
c) Independientemente del valor del parámetro t el rango de la matriz A nunca será 3.
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Página 33
17. Calcula el rango de las siguientes matrices:
3)(
800
000
270
321
670
270
270
321
032
270
151
321
14
23
14
12
)2( =⇒
→
−
→
−
−−= +
−
−+
+
ARangoA EE
EE
EE
EE
Observaciones
� 3F es combinación lineal de 1F y 2F ( )213 FFF += , por eso al escalonar la matriz se elimina.
� 1F , 2F y 4F son linealmente independientes, por eso el rango de la matriz A es 3.
� En cualquier matriz “Nº filas linealmente independientes = Nº de columnas linealmente independientes”,
por tanto, las tres columnas de A también son linealmente independientes.
3)(
8400
4310
0112
4530
4310
0112
4530
2211
01122312 32 =⇒
−−
→
−−−
− →
−−−−
−= ++ BRangoB EEEE
Observaciones
� Las tres filas de la matriz son linealmente independientes, es decir, ninguna de ellas se puede expresar como
combinación lineal de las otras.
� De las cuatro columnas de la matriz, tres son linealmente independientes (en concreto 1C , 2C y 3C ) y la
( 4C ) otra depende linealmente de ellas, es decir, se puede expresar como combinación lineal de ellas.
)220( 3214 CCCC ++⋅=
2)(
0000
182370
6154
182370
182370
6154
12785
0523
61542313
125434
=⇒
−−
→
−−−
− →
−
−= ++−
+−
CRangoC EEEEEE
Observaciones
� 3F es combinación lineal de 1F y 2F ( )2 213 FFF −= , por eso al escalonar la matriz se elimina.
� 1F y 2F son linealmente independientes, por eso el rango de la matriz C es 2.
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Página 34
� En cualquier matriz “Nº filas linealmente independientes = Nº de columnas linealmente independientes”,
por tanto, de las cuatro columnas de la matriz dos son linealmente independientes y las otras dos depende
linealmente de ellas, es decir, se puede expresar como combinación lineal de ellas aunque no se vea a
simple vista la combinación. En concreto 1C y 2C son linealmente independientes y 213 723
727
CCC −= y
214 7
18
7
12CCC +−=
2)(
0000
1510
5111
1510
1510
5111
16243
1510
51112313 3 =⇒
−−
→
−−
− →
−−−
−= −+ DRangoD EEEE
3)(
85000
68120
1241
1310
68140
1241
1310
68140
0000
1241
1310
2024
36123
1241
2313
1214)4(
)3(
=⇒
−−−
−−→
→
−−−
→
−
−−
→
−−−−−
= +−−+−+
ERango
E EEEEEE
4)(
1200
1100
1210
1001
0100
1100
1210
1001
1110
1100
1210
1001
0111
1100
1210
1001
342414
=⇒
⇒
−−
− →
−
− →
−
− →
−= −−−
FRango
F EEEEEE
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Página 35
18. Dada la matriz
=
21
32A halla la matriz X tal que
=⋅
11
23XA
� Sea
=
11
23C
Tenemos que resolver la ecuación matricial: CXA =⋅
CAXCAXAACXAI
⋅=⇒⋅=⋅⋅⇒=⋅ −−− 111
2
321
� Dada
=
21
32A sea
=−
tz
yxA 1
2y 312
032
1y 202
132
10
01
22
3232
10
01
21
32
10
01
sistema elResolver
sistema elResolver
1
=−= →
=+=+
−== →
=+=+
⇒
=
++++
⇒
=
⋅
⇒
=⋅ −
tyty
ty
zxzx
zx
tyzx
tyzx
tz
yxAA
Por tanto,
−−
=−
21
321A
� Luego,
−=⇒
−=
⋅
−−
=⋅= −
01
13
01
13
11
23
21
321 XCAX
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Página 36
19. Dada la matriz
−
−=
m
mA
14
30
101
averigua los valores del parámetro m para que exista 1−A . Calcula 1−A
para 4=m .
1º) Valores del parámetro m para que exista 1−A
� Sabemos que: 0 1 ≠⇔∃ − AA
� 34)034(00
14
30
10122 −+−=++−−++−=
−
−= mmmm
m
mA
Luego,
≠≠
⇔≠−+−⇔≠3
10340 2
m
mmmA
� Por tanto, { }3,10 1 −ℜ∈⇔≠⇔∃ − mAA
2º) Calcular 1−A para 4=m .
�
−
−=⇒=
414
340
101
4 Am
Como { }3,14 −ℜ∈=m , por el apartado anterior, sabemos que 1 −∃ A .
� )(11 tAAdjA
A ⋅=−
34
342
−=⇒
=−+−=
Am
mmA
−−−
−−=⇒
−−=⇒
−
−=
4116
3012
4119
)(
431
140
401
414
340
101tt AAdjAA
Por tanto,
−−
−
=
−−−
−−−=⋅=−
34
31
316
10434
31
319
4116
3012
4119
31
)(11 tAAdjA
A
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Página 37
20. Dada la matriz
−−−
=m
mA
11
60
101
averigua los valores del parámetro m para que exista 1−A . Calcula 1−A
para 2=m .
1º) Valores del parámetro m para que exista 1−A
� Sabemos que: 0 1 ≠⇔∃ − AA
� 6)06(00
11
60
10122 ++−=+−−−++−=
−−−
= mmmm
m
mA
Luego,
≠−≠
⇔≠++−⇔≠3
2060 2
m
mmmA
� Por tanto, { }3,20 1 −−ℜ∈⇔≠⇔∃ − mAA
2º) Calcular 1−A para 2=m .
�
−−−
=⇒=211
620
101
2 Am
Como { }3,22 −−ℜ∈=m , por el apartado anterior, sabemos que 1 −∃ A .
� )(11 tAAdjA
A ⋅=−
42
62
=⇒
=++−=
Am
mmA
−−−−−
=⇒
−−−=⇒
−−−
=212
616
212
)(
261
120
101
211
620
101tt AAdjAA
Por tanto,
−−
−−
−
=
−−−−−
=⋅=−
21
41
21
23
41
23
21
41
21
212
616
212
41
)(11 tAAdjA
A
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Página 38
21. Sean las matrices
=
01
32A y
−=
22
31B . Halla la matriz X que verifica la igualdad 22 ABAX =⋅−
� [ ]BAAXBAAXABAX ⋅+=⇒⋅+=⇒=⋅− 222
21
22
�
=
⋅
=⋅=
32
67
01
32
01
322 AAA
�
−=
−+
=+
23
63
22
31
01
32BA
�
=⇒
=
=
−+
=
21
25
67
21
25
65
15
1210
21
23
63
32
67
21
XX
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Página 39
22. Determina una matriz X que verifique la relación
=⋅
100
010
001
1711
017
001
X
� Sean
=1711
017
001
A y
=100
010
001
3I .
Tenemos que resolver la ecuación: 3IXA =⋅
13
−=⇒=⋅ AXIXA
� )(11 tAAdjA
A ⋅=−
1=A
−−=⇒
=⇒
=1738
017
001
)(
100
710
1171
1711
017
001tt AAdjAA
Por tanto,
−−=
−−⋅=⋅=−
1738
017
001
1738
017
001
1)(11 tAAdjA
A
� Luego,
−−== −
1738
017
0011AX
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Página 40
23. Dada la matriz
+−
−=
021
360
112
m
mA
a) Halla los valores de m para los cuales A es regular.
� A es regular (es decir 1 −∃ A ) 0≠⇔ A
� 15212663312)1)(6()1(3
021
360
11222 −−=−−−+++=−+−++=
+−
−= mmmmmmmmm
m
mA
Luego,
−≠≠
⇔≠−−⇔≠3
501520 2
m
mmmA
� Por tanto, { }5,30 1 −−ℜ∈⇔≠⇔∃ − mAA
b) Para 4=m resuelve la ecuación matricial ( )113=⋅ AX
� Tenemos que resolver la ecuación matricial BAX =⋅ con
−−
=025
320
112
A y ( )113=B
� Despejamos X :
111 −−− ⋅=⇒⋅=⋅⋅⇒=⋅ ABXABAAXBAX
� )(11 tAAdjA
A ⋅=−
7121015 −=−−=A
−−
−−=⇒
−−=⇒
−−
=4110
6515
126
)(
031
221
502
025
320
112tt AAdjAA
Por tanto,
−−
−−
−
=
−−
−−⋅−=⋅=−
7
4
7
1
7
107
6
7
5
7
157
1
7
2
7
6
4110
6515
126
7
1)(
11 tAAdjA
A
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Página 41
� Luego, ( ) ( )101
74
71
710
76
75
715
71
72
76
1131 −=
−−
−−
−
⋅=⋅= −ABX
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Página 42
24. Dada la matriz
−−−=
016
10
11
m
m
A
a) Halla los valores de m para los cuales A es singular.
� A es singular (es decir 1 −∃/ A ) 0=⇔ A
� 516
016
10
1122 +−=−−=
−−−= mmm
m
A
Luego,
=
−=⇔=+−⇔=
5
5050 2
m
mmA
� Por tanto, 50 1 ±=⇔=⇔∃/ − mAA
b) Para 2=m , obtén, si existe, la matriz X que cumple ( )101 −=⋅ AX
� Tenemos que resolver la ecuación matricial BAX =⋅ con
−−−=
016
102
211
A y ( )101 −=B
� Despejamos X :
111 −−− ⋅=⇒⋅=⋅⋅⇒=⋅ ABXABAAXBAX
� )(11 tAAdjA
A ⋅=−
1146 =−−=A
−−−
−−−=⇒
−−−
=⇒
−−−=
252
5126
121
)(
012
101
621
016
102
211tt AAdjAA
Por tanto,
−−−
−−−=
−−−
−−−⋅=⋅=−
252
5126
121
252
5126
121
1)(11 tAAdjA
A
� Luego, ( ) ( )131
252
5126
121
1011 =
−−−
−−−⋅−=⋅= −ABX
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Página 43
25. Calcula la matriz X talque ABXA =+⋅ siendo
=
10
21A y
−=
11
10B
� Despejamos X
)()( 111 BAAXBAAXAABAXAABXA −⋅=⇒−⋅=⋅⋅⇒−=⋅⇒=+⋅ −−−
�
−=
−−
=−
21
11
11
10
10
21BA
�
� Dada
=
10
21A sea
=−
tz
yxA 1
1y 21
02
0y 10
12
10
0122
10
01
10
21
10
01
sistema elResolver
sistema elResolver
1
=−= →
==+
== →
==+
⇒
=
++⇒
=
⋅
⇒
=⋅ −
tyt
ty
zxz
zx
tz
tyzx
tz
yxAA
Por tanto,
−=−
10
211A
� Luego,
−−
=⇒
−−
=
−⋅
−=−⋅= −
21
33
21
33
21
11
10
21)(1 XBAAX
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Página 44
26. Dada la matriz
=
21
32A halla la matriz X tal que
=⋅⋅
32
11AXA
� Sea
=
32
11B
Tenemos que resolver la ecuación BAXA =⋅⋅
� Despejamos X
111111
22
−−−−−− ⋅⋅=⇒⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⇒=⋅⋅ ABAXABAAAXAABAXAII321321
� Dada
=
21
32A sea
=−
tz
yxA 1
2y 312
032
1y 202
132
10
01
22
3232
10
01
21
32
10
01
sistema elResolver
sistema elResolver
1
=−= →
=+=+
−== →
=+=+
⇒
=
++++
⇒
=
⋅
⇒
=⋅ −
tyty
ty
zxzx
zx
tyzx
tyzx
tz
yxAA
Por tanto,
−−
=−
21
321A
� Luego
−−=⇒
−−=
−−
⋅
−−=
−−
⋅
⋅
−−
=⋅⋅= −−
11
21
11
21
21
32
53
74
21
32
32
11
21
3211 XABAX
IES Juan García Valdemora ÁLGEBRA. SELECTIVIDAD Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
Página 45
27. Halla la matriz X que verifica la siguiente ecuación matricial:
=⋅
−+
−−
⋅101112
15120
31
21
101
1123 X
� Sean
−−
=101
112A ,
−=
31
21B y
=
101112
15120C
Tenemos que resolver la ecuación CXBA =⋅+3
� Despejamos X
)3()3(33 111 ACBXACBXBBACXBCXBA −⋅=⇒−⋅=⋅⋅⇒−=⋅⇒=⋅+ −−−
=
−−
−
=
−−
−
=−
13119
1296
303
336
101112
15120
101
1123
101112
151203AC
� Dada
−=
31
21B sea
=−
tz
yxB 1
5
1y
5
2
13
02
5
1y
5
3
03
12
10
01
33
22
10
01
31
21
10
01
sistema elResolver
sistema elResolver
1
=−= →
=+−=+
== →
=+−=+
⇒
=
+−+−++
⇒
=
⋅
−⇒
=⋅ −
tyty
ty
zxzx
zx
tyzx
tyzx
tz
yxBB
Por tanto,
−=−
51
51
52
53
1B
� Luego,
=⇒
=
⋅
−=−⋅= −
543
210
543
210
13119
1296
5
1
5
15
2
5
3
)3(1 XACBX
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Página 46
28. Determina aquellos valores de “y” para los que la matriz
=
20
0yZ verifica la ecuación matricial:
OIZZ =+−2
52
siendo I la matriz identidad de orden 2 y O la matriz nula de orden 2.
Expresa 1−Z en función de Z.
� ⇒
=
+
−
⋅
⇒=+−
00
00
10
01
20
0
25
20
0
20
0
252 yyy
OIZZ
⇒=+−⇒
=
+−⇒⇒
=
+
−
⇒ 01
25
00
00
00
012
5
00
00
10
01
50
02
5
40
0 222 y
yy
yyy
=
==±=−±=⇒=+−⇒
21
2
435
416255
0252 2
x
xyyy
� 1−Z en función de Z
ZIZIZIZIZZIZZOIZZ −=⇒=
−⋅⇒=−=+−⇒=+− −
25
25
25
25
25 1222
IES Juan García Valdemora ÁLGEBRA. SELECTIVIDAD Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
Página 47
29. Una empresa fabrica tres tipos de artículos: A, B y C. Los precios de coste de cada unidad son 6 €, 9´20 €
y 14´30 € respectivamente. Los correspondientes precios de venta de una unidad de cada artículo son 18 €,
28 € y 40 €. El número de unidades vendidas anualmente es de 2240, 1625 y 842, respectivamente.
Sabiendo que las matrices de costes e ingresos, C e I, son diagonales y que la matriz de ventas, V, es una
matriz fila:
a) Determina las matrices C, I y V.
MATRIZ DE COSTES POR UNIDAD
=→30´1400
0209́0
006
C
MATRIZ DE INGRESOS POR UNIDAD
=→4000
0280
0018
I
MATRIZ DE VENTAS ( )84216252240=→V
b) Obtén, a partir de las matrices anteriores, la matriz de ingresos anuales correspondientes a los tres
artículos, la matriz de gastos anuales y la matriz de beneficios anuales.
MATRIZ DE INGRESOS ANUALES
( ) ( )336804550040320
4000
0280
0018
84216252240 =
⋅=⋅= IVA
MATRIZ DE GASTOS ANUALES
( ) ( )60´120401495013440
30´1400
0209́0
006
84216252240 =
⋅=⋅= CVB
MATRIZ DE BENEFICIOS ANUALES
( ) ( ) ( )40´21639305502688060´120401495013440336804550040320 =−=− BA
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Página 48
30. Tres escritores presentan a un editor, al acabar una enciclopedia, la minuta siguiente:
Horas de trabajo Conferencias dadas Viajes
Escritor A 40 10 5
Escritor B 80 15 8
Escritor C 100 25 10
El editor paga la hora de trabajo a 30 €, la conferencia a 75 € y el viaje a 50 €. Si sólo piensa pagar,
respectivamente el 75 %, el 80 % y el 60 % de lo que corresponda a cada escritor, ¿qué gasto tendría el
editor?
MATRIZ DE MINUTA POR ESCRITOR
=1025100
81580
51040
D (“Escritor x horas realizadas en cada actividad”)
MATRIZ DE INGRESOS (SIN REBAJAR) POR CADA HORA DE ACTIVIDAD REALIZADA
=50
75
30
E (“Actividad x ingresos por hora en €”)
MATRIZ DE INGRESOS (SIN REBAJAR) POR ESCRITOR
5375
3925
2200
50
75
30
1025100
81580
51040
=
⋅
=⋅= EDI (“Escritor x ingresos totales sin rebajar en €”)
Es decir, el escritor A ingresaría 2200 €, el escritor B ingresaría 3925 € y el escritor C ingresaría 5375 €.
MATRIZ DE LO QUE PAGARÁ FINALMENTE EL EDITOR A CADA ESCRITOR (en tanto por uno)
( )60,080,075,0=F
GASTO TOTAL FINAL DEL EDITOR
( ) €75,8565537560,0392580,0220075,0
5375
3925
2200
60,080,075,0 =⋅+⋅+⋅=
⋅=⋅ IF
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Página 49
31. Tres supermercados A, B y C, se disputan los clientes de una ciudad. Inicialmente cada uno tiene una cuota
de mercado igual a la tercera parte de los consumidores. Como consecuencia de una campaña publicitaria,
un mes después se constata que:
• A conserva el 80 % de sus clientes, gana el 10 % de los de B y el 2 % de los de C.
• B conserva el 70 % de sus clientes, gana el 14 % de los de A y el 8 % de los de C.
• C conserva el 90 % de sus clientes, gana el 6 % de los de A y el 20 % de los de B.
A partir de estos datos:
a) Escribe, matricialmente, los cambios producidos en los porcentajes.
MATRIZ DE CAMBIOS TRAS LA CAMPAÑA PUBLICITARIA
=→90,020,006,0
08,070,014,0
02,010,080,0
P (en tanto
por uno)
b) Usar la matriz anterior para calcular la cuota de mercado que tiene cada supermercado después de la
campaña.
MATRIZ DE CUOTA DE MERCADO INICIAL
=
=→%3,33
%3,33
%3,33
313131
)
)
)
I
MATRIZ DE CAMBIOS TRAS LA CAMPAÑA PUBLICITARIA
=→90,020,006,0
08,070,014,0
02,010,080,0
P (en tanto
por uno)
MATRIZ DE CUOTA DE MERCADO FINAL
=
=
⋅
=⋅→%6,38
%6,30
%6,30
75
2975
2375
23
3
13
13
1
90,020,006,0
08,070,014,0
02,010,080,0
)
)
)
IP
Es decir, la cuota de mercado de cada uno de los supermercados A, B y C es, respectivamente, del %6,30)
,
%6,30)
y %6,38)
de los consumidores.
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Página 50
32. De una matriz A se sabe que su segunda fila es ( )21− y su segunda columna es
− 3
2
1
. Halla los restantes
elementos de A sabiendo que
−=⋅
10
00
102
111A .
� Para poder efectuar el producto
−=⋅
10
00
102
111A la matriz A tiene que tener dimensión 3x2.
� A tiene dimensión 3x2, su segunda fila es ( )21− y su segunda columna es
− 3
2
1
−−=⇒
3
21
1
y
x
A
�
=−=
⇒
=+=+
⇒
=+=+−
⇒
−=
−++−
⇒
−=
−−⋅
2
1
02
1
02
01
10
00
12
01
10
00
3
21
1
102
111
y
x
yx
yx
yx
yx
yx
yx
y
x
� Luego,
−−−
=32
21
11
A
IES Juan García Valdemora ÁLGEBRA. SELECTIVIDAD Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
Página 51
33. Hallar todas las matrices ℜ∈
= cba
cb
aX ,,
0 que satisfacen la ecuación matricial XX 22 = .
=−=+=−
⇒
==+
=⇒
=
+⇒
=
⋅
⇒=
02
2
02
2
2
2
22
02002
002
2
2
2
2
2
22
cc
bbcab
aa
cc
bbcab
aa
cb
a
cbcab
a
cb
a
cb
a
cb
aXX
Tenemos que resolver el sistema de ecuaciones
=−=+=−
02
2
02
2
2
cc
bbcab
aa
De la primera ecuación:
==
⇒=−⇒=−2
00)2(022
a
aaaaa
0 1 CASO =a
=−=−
⇒
=−=
02
02
02
222 cc
bbc
cc
bbc
De la 2ª ecuación:
ℜ∈⇒=− →=
=⇒=− →=⇒=−⇒=−
bbbc
bbccccc
0222
00200)2(02
1
1
Een doSustituyen
Een doSustituyen2
Luego,
0=a , 0=b , 0=c
=⇒
00
00X 0=a , ℜ∈b , 2=c ℜ∈
=⇒ b
bX
2
00
2 2 CASO =a
=−=
⇒
=−=+
02
0
02
2222 cc
bc
cc
bbcb
De la 2ª ecuación:
=⇒= →=
ℜ∈⇒=⋅ →=⇒=−⇒=−
0022
0000)2(02
1
1
Een doSustituyen
Een doSustituyen2
bbc
bbccccc
Luego,
2=a , ℜ∈b , 0=c ℜ∈
=⇒ b
bX
0
02 2=a , 0=b , 2=c
20
02
=⇒ X
IES Juan García Valdemora ÁLGEBRA. SELECTIVIDAD Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
Página 52
34.
a) Determine los valores de x e y que hacen cierta la siguiente igualdad:
⋅
−=
⋅
−2
3
1
1
23
11
y
x
y
x
47
e 45
23
3
2323
23
23
23
232
3
1
1
23
11 sistemaResolver
−=−=
→
−=−−=+
⇒
−=++=−
⇒
−+
=
+−
⇒
⋅
−=
⋅
−
yx
yx
yx
yyx
xyx
y
x
yx
yx
y
x
y
x
b) Determina la matriz X de dimensión 2 x 2 tal que:
−−
=
−
⋅
13
01
11
102
52
31X
� Sean
=
52
31A ,
=
11
10B y
−−
=13
01C
Tenemos que resolver la ecuación CBAX =−⋅ 2
� Despejamos X
111 )2()2(222
−−− ⋅+=⇒⋅+=⋅⋅⇒+=⋅⇒=−⋅ ABCXABCAAXBCAXCBAXI321
�
−=
+
−−
=
+
−−
=+15
21
22
20
13
01
11
102
13
012BC
� Dada
=
52
31A sea
=−
tz
yxA 1
1y 3152
03
2y 5052
13
10
01
5252
33
10
01
52
31
10
01
sistema elResolver
sistema elResolver
1
−== →
=+=+
=−= →
=+=+
⇒
=
++++
⇒
=
⋅
⇒
=⋅ −
tyty
ty
zxzx
zx
tyzx
tyzx
tz
yxAA
IES Juan García Valdemora ÁLGEBRA. SELECTIVIDAD Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
Página 53
Por tanto,
−−
=−
12
351A
� Luego,
−−
=⇒
−−
=
−−
⋅
−=⋅+= −
1423
59
1423
59
12
35
15
21)2( 1 XABCX
IES Juan García Valdemora ÁLGEBRA. SELECTIVIDAD Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
Página 54
35. Determina una matriz A simétrica sabiendo que:
−−=
−−⋅−=
31
124
31
62y 7 AA
� A es una matriz simétrica de orden 2 (es de orden 2 para poder realizar el producto que aparece en las
condiciones del enunciado) ℜ∈
=⇒ cba
cb
baA ,,con
� 777 2 −=−⋅⇒−=⇒−= bcacb
baA
� ⇒
−−=
−−−−
⇒
−−=
−−⋅
⇒
−−=
−−⋅
31
124
362
362
31
124
31
62
31
124
31
62
cbcb
baba
cb
baA
=−−=−
→
=−=−
−=−−=−
⇒ ==
12
42
336
12
1236
42
34
1233
cb
ba
cb
cb
ba
ba
EEEE
� Luego, tenemos que resolver el sistema de ecuaciones:
=−−=−
−=−⋅
12
42
72
cb
ba
bca
Despejando en 2E y en 1E tenemos: 2
4−= ba y 12 −= bc .
Sustituyendo en la 1ª ecuación:
218914248272
)12)(4(7)12(
2
)4( 2222 =⇒−=−⇒−=−+−−⇒−=−−−⇒−=−−⋅−
bbbbbbbbb
bbb
Entonces,
12
24
−=⇒
=
−=a
b
ba
32
12=⇒
=−=
cb
bc
Por tanto 32
21
−=A
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Página 55
36. Determina la matriz X que verifica la ecuación BXXA −=⋅ siendo
001
000
100
−=A y
−−=
110
110
101
B .
� Despejamos X
31
113
siendo )(
)()( 3
IACBCX
BCXCCBXCBXIABXXABXXA IAC
−=−⋅=⇒
⇒−⋅=⋅⋅⇒−=⋅ →−=⋅−⇒−=−⋅⇒−=⋅−
−−−=
�
−−−
−=
−
−=−=
101
010
101
100
010
001
001
000
100
IAC
�
−−−
−=
101
010
101
C
� )(11 tCAdjC
C ⋅=−
211
101
010
101
−=−−=−−
−−
=C
−=⇒
−−
−−=⇒
−−−
−=
101
020
101
)(
101
010
101
101
010
101tt CAdjCC
Por tanto,
−−
−−
=
−⋅−=⋅=−
21
021
01021
021
101
020
101
21
)(11 tCAdjC
C
� Otra forma de calcular 1−C es mediante el método de Gauss-Jordan
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Página 56
→
−−−
− →
−−−
−+=−= 31
*113
*3 2
101200
010010
001101
100101
010010
001101FFFFFF
−−
−−
=⇒
−−
−−
→
−−−
−→ −−
−⋅−
21
021
01021
021
21
021
100
01001021
021
001
101200
010010
1010021)2(:
)1()2(:
3
2
1
CFFF
� Luego,
−−−
−
=⇒
−−−
−
=
−−−−
⋅
−−
−−
=−⋅= −
121
21
110
021
21
121
21
110
021
21
110
110
101
21
021
01021
021
)(1 XBCX
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Página 57
37. Determinar las matrices X que verifican la ecuación XAXB 2=−⋅ siendo
−=
13
77A y
30
12
−=B .
� Despejamos X :
2 siendo
)2(22
21
1122
2
IBCACX
ACXCCAXCAXIBAXXBXAXB IBC
−=⋅=⇒
⇒⋅=⋅⋅⇒=⋅ →=⋅−⇒=−⋅⇒=−⋅−
−−−=
� 10
14
20
02
30
122 2
−=
−
−=−= IBC
� Dada 10
14
−=C sea 1
=−
tz
yxC
1y 41
1
04
0y 41
0
14
10
0144
10
01
10
14
10
01
sistema elResolver
sistema elResolver
1
== →
==+−
=−= →
==+−
⇒
=
+−+−⇒
=
⋅
−⇒
=⋅ −
tyt
ty
zxz
zx
tz
tyzx
tz
yxCC
Por tanto,
−=−
1041
41
1C
� Luego,
−=⇒
−=
−⋅
−=⋅= −
13
21
13
21
13
77
1041
41
1 XACX
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Página 58
38. Resuelve la siguiente ecuación matricial CBXA =−⋅ 2 siendo
−=
011
101
210
A ,
−=4
2
1
B ,
=1
3
5
C .
� Despejamos X :
)2()2(22 111 CBAXCBAXAACBXACBXA +⋅=⇒+⋅=⋅⋅⇒+=⋅⇒=−⋅ −−−
�
−=
+
−=+9
1
7
1
3
5
8
4
2
2 CB
�
−=
011
101
210
A
� )(11 tAAdjA
A ⋅=−
121
011
101
210
=+−=−
=A
−−
−−=⇒
−=⇒
−=
111
221
121
)(
012
101
110
011
101
210tt AAdjAA
Por tanto,
−−
−−=
−−
−−⋅=⋅=−
111
221
121
111
221
121
1
1)(
11 tAAdjA
A
� Luego,
−=
−⋅
−−
−−=+⋅= −
17
27
18
9
1
7
111
221
121
)2(1 CBAX
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Página 59
39. a) Resuelve la ecuación matricial XBAXA t ⋅=+⋅ , siendo tA la matriz traspuesta de A.
siendo
)(1111 ABCACXXACXCCAC
XCAXABAXAXBAXBAXAttt
tABCttt
−=⋅=⇒=⋅⇒⋅⋅=⋅⇒
⇒⋅= →⋅−=⇒⋅−⋅=⇒⋅=+⋅−−−−
−=
b) Halla la matriz X sabiendo que
−−=
101
110
001
A y
−−
−=
1123
1121
1023
B
�
−
−=
110
010
101tA
�
−
−=
−−−
−−
−=−=
0121
0021
1021
101
110
001
1123
1121
1023
ABC
�
−
−=
0121
0021
1021
C
� )(11 tCAdjC
C ⋅=−
2
1
0121
0021
1021
−=−
−=C
−−−
−=⇒
−
−=⇒
−
−=
02121
21210
010
)(
001
100
212121
0121
0021
1021tt CAdjCC
Por tanto,
−=
−−−
−⋅−=
−−−
−⋅
−=⋅=−
011
110
020
02121
21210
010
2
02121
21210
010
21
1)(
11 tCAdjC
C
� Luego,
−−=⇒
−−=
−
−⋅
−=⋅= −
111
120
020
111
120
020
110
010
101
011
110
0201 XACX t
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Página 60
40. Sea ℜ∈
= dcba
dc
baA ,,, y suponemos que la matriz A cumple las propiedades IAA =⋅ y 1=A ,
siendo I la matriz identidad. Calcular los coeficientes de la matriz A.
�
=+
=+=+=+
⇒
=
++++
⇒
=
⋅
⇒=⋅
1
0
0
1
10
01
10
01
2
2
2
2
dbc
cdac
bdab
bca
dbccdac
bdabbca
dc
ba
dc
baIAA
� 11 =−⇒= bcadA
� Tenemos que resolver el sistema:
=−=+=+=+=+
→
=−=+=+=+=+
→
=−=+=+=+=+
+→
1
1
0
0)(
2)(
1
1
0
0
2
1
1
0
0
1
22
2
2
2
511
bcad
dbc
cdac
dab
daa
bcad
dbc
cdac
bdab
ada
bcad
dbc
cdac
bdab
bca
EEE
00 ò 00)(E De
0y 002)(E De
2
1 =⇒
=+=⇒=+→≠+≠⇒≠=+→
bdabdab
daadaa y el sistema queda de la forma:
==
=+=+
1
1
0
2)(
2
ad
d
cdac
daa
1 1E De 4 −==→ dòd
1 I CASO =→ d
0020
1
0
2)1(
=→=→=+→
==+
=+cccc
a
cac
aa
Luego, 10
011 ,0 ,0 ,1
=⇒==== Adcba
1 II CASO −=→ d
0020
1
0
2)1(
=→=−→=−−→
−==−
=−cccc
a
cac
aa
Luego, 10
011 ,0 ,0 ,1
−−
=⇒−===−= Adcba
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Página 61
41. Dadas las matrices
−−−=
215
113
001
A y
−=000
010
001
B se pide:
a) Hallar 1−A .
� )(11 tAAdjA
A ⋅=−
112
215
113
001
=−=−
−−=A
−=⇒
−−
−=⇒
−−−=
112
121
001
)(
210
110
531
215
113
001tt AAdjAA
Por tanto,
−=
−⋅=⋅=−
112
121
001
112
121
001
1
1)(
11 tAAdjA
A
b) Hallar la matriz X, tal que: BAXA t =⋅⋅ � Despejamos la matriz X :
tttttt ABAXABAXABAAAXAABAXA )()()()( 11111111 −−−−−−−− ⋅⋅=⇒⋅⋅=⇒⋅⋅=⋅⋅⇒=⋅⋅
� Luego,
−−−−−
=⇒
−−−−−
=
=
−⋅
−−−=
−⋅
−⋅
−=⋅⋅= −−
342
431
211
342
431
211
110
120
211
012
021
001
110
120
211
000
010
001
112
121
001
)( 11
X
ABAX t
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Página 62
42. Dadas las matrices
−=01
12
201
x
xA ,
=00
10
01
C y
=
10
01D
a) ¿Para qué valores de x la matriz A tiene inversa?
0 1 ≠⇔∃ − AA
2424
01
12
20122 −−−=−−−=−= xxxx
x
xA
22y 2222
2
224
2
84
2
81640240240 22
−−≠+−≠⇔±−≠
⇔±−≠⇔±−≠⇔−±−≠⇔≠++⇔≠−−−⇔≠
xxx
xxxxxxxA
Por tanto, 22y 22 1 −−≠+−≠⇔∃ − xxA
b) Calcular la inversa de A para 1−=x .
1−=x
−−−=⇒
011
112
201
A
� )(11 tAAdjA
A ⋅=−
12411
242
=−+−=⇒
−=−−−=
Ax
xxA
−−−−−−
=⇒
−−
−=⇒
−−−=
111
321
221
)(
012
110
121
011
112
201tt AAdjAA
Por tanto,
−−−−−−
=⇒
−−−−−−
=
−−−−−−
⋅=⋅= −−
111
321
221
111
321
221
111
321
221
11
)(1 11 AAAdjA
A t
c) ¿Qué dimensión debe tener una matriz B para que la ecuación matricial DCBA ⋅=⋅ tenga sentido? Calcula B para 1−=x .
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Página 63
� 2y 3222333 ==⇒⋅=⋅ nmDCBA xxmxnx , es decir, B debe tener dimensión 23x .
� CABCABAACBADCBA ID ⋅=⇒⋅=⋅⋅⇒=⋅ →⋅=⋅ −−−= 1112
�
−−−−
=⇒
−−−−
=
⋅
−−−−−−
=⋅= −
11
21
21
11
21
21
00
10
01
111
321
2211 BCAB
IES Juan García Valdemora ÁLGEBRA. SELECTIVIDAD Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
Página 64
43. Resuelve la ecuación matricial BAXAIAB +⋅⋅=+⋅ )2( , siendo
−−−−−
=102
114
123
A y
−−−
−=
110
101
211
B .
� ⇒⋅⋅=⇒⋅⋅=−+⋅⇒⋅⋅=−+⋅⇒+⋅⋅=+⋅ AXABAAXABBABAXABIABBAXAIAB 2)2()2()2(
BAXXBAXAABAXABAAXAABA 111111 22)2(22 −−−−−− =⇒=⇒⋅⋅=⋅⇒⋅=⇒⋅⋅⋅=⋅⇒
� )(11 tAAdjA
A ⋅=−
118243
102
114
123
−=−−−=−
−−−−
=A
−=⇒
−−−
−−=⇒
−−−−−
=542
716
321
)(
111
012
243
102
114
123tt AAdjAA
Por tanto,
−−
−−−
−−−
=⇒
−−
−−−
−−−
=
−⋅
−=⋅= −−
115
114
112
117
111
116
113
112
111
115
114
112
117
111
116
113
112
111
542
716
321
111
)(1 11 AAAdjA
A t
� =
−−−
−⋅
−−
−−−
−−−
=
−−−
−⋅
−−
−−−
−−−
⋅== −
110
101
211
1110
118
114
1114
112
1112
116
114
112
110
101
211
115
114
112
117
111
116
113
112
111
22 1BAX
−
−−
−
=⇒
−
−−
−
=
1110
116
114
1136
1126
1110
116
118
112
1110
116
114
1136
1126
1110
116
118
112
X
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Página 65
44. Sea
−=
y
xA
1
1
a) Calcula 2A .
−+−−−
=
−⋅
−=⋅=
1
1
1
1
1
12
22
yyx
yxx
y
x
y
xAAA
b) Calcula todos los valores de x e y para los que se verifica
−−+
=12
212 xA .
==+
=−− →
−=−
=+−=−−+=−
⇔
−−+
=
−+−−−
⇔
−−+
= −=
0
2
02
11
2
2
11
12
21
1
1
12
21
2
2
2
2
2
22 32
y
yx
xx
y
yx
yx
xx
x
yyx
yxxxA EE
� De 03 =→ yE
� Sustituyendo en 2202 =→=+→ xxE
� Comprobamos que 2=x verifica 022422)2( 21 =−−=−−→E
Por tanto, 2=x e 0=y
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Página 66
45. Hallar la matriz X que cumple BAAXA 2= , siendo
=
23
12A y
=
32
01B .
� Despejamos X :
)2()2(222 11111 BAXBAAXABAXBAAAXAABAAXA −−−−− =⇒=⇒=⇒=⇒=
� )(11 tAAdjA
A ⋅=−
13423
12=−==A
−−
=⇒
=⇒
=
23
12)(
21
32
23
12 tt AAdjAA
−−
=⇒
−−
⋅=⋅= −−
23
12
23
12
1
1)(
1 11 AAAdjA
A t
�
−=
⋅
−−
== −
122
60
64
02
23
12)2(1 BAX
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Página 67
46. Para cada “a” se considera la matriz )(aA dada por
=100
10
11
)( a
a
aA .
Encontrar el rango de la matriz )()(2 aAaA t− en función del valor de a.
� Sea )()()( 2 aAaAaB t−=
−−−
+=
−
+=
−
⋅
=01
20
220
11
01
001
100
210
221
11
01
001
100
10
11
100
10
11
)(
22
a
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
a
a
a
aB
� ¿ ))(( aBRango ?
� 24242222
2
224)2(4
01
20
220
)( aaaaaaaa
a
aa
aa
aB −=++−=++−=−−
−+
=
±=→=−
=→=⇔=−⇔=−⇔=
202
000)2(020)(
2
22224
aa
aaaaaaaB
� DISCUSIÓN
� Si { } 3))((0)(2,2,0 =⇒≠⇒−−ℜ∈ aBRangoaBa
� Si 2))((
001
000
200
)(0 =⇒
−=⇒= aBRangoaBa
� Si
−−−=⇒=
021
2202
4220
)(2 aBa
2))((
0)(
2)((0402
220
=⇒
=
≥⇒≠=−aBRango
aB
aBRango
IES Juan García Valdemora ÁLGEBRA. SELECTIVIDAD Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
Página 68
� Si
−−
−=⇒−=
021
2202
4220
)(2 aBa
2))((
0)(
2)((0402
220
=⇒
=
≥⇒≠=− aBRango
aB
aBRango
Por tanto,
Si { } 3))((2,2,0 =⇒−−ℜ∈ aBRangoa
Si 2))((2 2 ,0 =⇒−=== aBRangoaòaa
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Página 69
47. Se consideran las matrices
−=12
13
10
A y
−=
410
231B :
a) Calcula BA ⋅ y AB ⋅ .
−−−−
=
−⋅
−=⋅072
1083
410
410
231
12
13
10
BA
−−−
=
−⋅
−=⋅
311
65
12
13
10
410
231AB
b) Discutir si existe solución del sistema
=
⋅⋅0
5
2
z
y
x
BA .
=+=−−−
=−⇒
=
⋅
−−−−
⇒
=
⋅⋅072
51083
24
0
5
2
072
1083
410
0
5
2
yx
zyx
zy
z
y
x
z
y
x
BA
DISCUSIÓN
...incógnitas de nº 2)()(
0000
214230
24012)2(33
142820
214230
2401
1)7(3
1)8(2E
0027
51038
2401matriz la de columnas las Ordenamos
0072
51083
2410
* ICSARangoARango
EE
EE
E
zxyzxy
zxyzyx
⇒<==⇒
⇒
−−−
→+
−−−
−→
→−+
+
−−−−
→
−−−−
En caso afirmativo, resolverlo utilizando el método de Gauss. RESOLUCIÓN
−−=+=
→
−=+=−
→
=−−=− =−
λλλ
147
42
714
24
21423
24 )3(:3
x
y
zx
zy
zx
zy zE
Por tanto, es un S.C.I. con solución ℜ∈+−− λλλλ ),42,147(
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Página 70
48. Sabiendo que
=−
724
71252 BA y
=+
351020
0251123 BA
a) ¿Cuáles son las dimensiones de A y B? Las matrices A y B tienen dimensión 32x
b) Calcula las matrices A y B.
Sean
=
724
7125C y
=
351020
02511D
� )2(7
127
23
224
23
22111 2 DCADCA
DBA
CBA
DBA
CBA EEEE +=⇒+= →
=+=−
→
=+=− +→
� )32(7
1327
246
336
23
22122
2123
CDBCDBDBA
CBA
DBA
CBA EEEEEE
−=⇒−= →
=+−=+−
→
=+=− +→
−→
Luego,
=⇒
⋅=
+
=+=
724
273
491428
144921
7
1
351020
02511
1448
142410
7
1)2(
7
1ADCA
−−=⇒
−−⋅=
−
=−=
724
321
491428
21147
7
1
21612
213615
702040
05022
7
1)32(
7
1BCDB
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Página 71
49. Halla la inversa de la matriz
=012
110
121
A
� )(11 tAAdjA
A ⋅=−
1124
012
110
121
=−−==A
−−−
−=⇒
=⇒
=132
122
111
)(
011
112
201
012
110
121tt AAdjAA
Por tanto,
−−−
−=⇒
−−−
−=
−−−
−⋅=⋅= −−
132
122
111
132
122
111
132
122
111
1
1)(
1 11 AAAdjA
A t
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Página 72
50. Dadas las matrices
−=
11
04A
−=
02
21B y
−=
21
02C calcula la matriz X que verifica
CBXA 2=⋅⋅ . � Despejamos X:
111111 )2(22 −−−−−− ⋅⋅=⇒⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⇒=⋅⋅ BCAXBCABBXAACBXA
� )(11 tAAdjA
A ⋅=−
411
04−=
−=A
−−=⇒
−=⇒
−=
41
01)(
10
14
11
04 tt AAdjAA
−=⇒
−−⋅
−=⋅= −−
141
041
41
01
41
)(1 11 AAAdjA
A t
� )(11 tBAdjB
B ⋅=−
402
21−=
−=B
−−−
=⇒
−=⇒
−=
12
20)(
02
21
02
21 tt BAdjBB
=⇒
−−−
⋅−
=⋅= −−
41
21
21
0
12
20
41
)(1 11 BBAdjB
B t
�
−=⇒
−=
⋅
−−
=
⋅
−⋅
−=⋅⋅= −−
21
2
21
0
21
2
21
0
41
21
21
0
41
01
41
21
21
0
42
04
141
041
)2( 11 XBCAX
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Página 73
51. Determinar el valor real de “x” para el que se cumple la siguiente propiedad:
El determinante de la matriz 2B es 160, siendo
−+=
12
241
13
2xx
x
x
B .
)1)(1(8)1(0
2)1(8
010
021
13
8
12
241
13
882 22
22
2(*)
133
122
+−=+−−−−
⋅=−−−−⋅==
−+=⋅=
−→−→
xxx
x
x
x
x
xx
x
x
BBFFF
FFF
ℜ∈⋅=⋅ knAAkAk n y orden de cuadrada matriz con (*)
)(
232322 02120120)1)(1(160)1)(1(81602Ruffini
xxxxxxxxxxB ⇔=−+−⇔=−+−⇔=+−⇔=+−⇔=
∃/→=++=→=−
⇔=++−⇔realsolución 072
3030)72)(3(
2
2
xx
xxxxx
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Página 74
52. Determinar la matriz X que verifica XABX 2=− siendo:
−=
13
77A y
−=
30
12B
Justifica la respuesta.
� ⇒−==⇒=−⇒=−⇒=− )2(con )2(22 IBCACXAXIBAXBXXABX
)2(con 1 IBCACX −=⋅=⇒ −
�
−=
−
−=−=
10
14
20
02
30
122IBC
� )(11 tCAdjC
C ⋅=−
410
14−=
−=C
−−
=⇒
−=⇒
−=
40
11)(
11
04
10
14 tt CAdjCC
−=⇒
−−
⋅−
=⋅= −−
1041
41
40
11
41
)(1 11 CCAdjC
C t
�
−=⇒
−=
−⋅
−=⋅= −
13
21
13
21
13
77
104
1
4
11 XACX
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53. Determina todas las matrices X tales que AXXA ⋅=⋅ , donde
=
11
11A .
Buscamos todas las matrices
=
dc
baX que conmutan con A
⇒
+=++=++=++=+
⇒
++++
=
++++
⇒
⋅
=
⋅
⇒⋅=⋅
dcdb
dcca
badb
baca
dcdc
baba
dbca
dbca
dc
ba
dc
baAXXA
11
11
11
11
ℜ∈
=⇒
==
⇒
=−=−
⇒
=−=−=−=−
⇒ baab
baX
ad
bc
da
cb
cb
da
da
cb
,con 0
0
0
0
0
0
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54. Hallar una matriz con tres filas y tres columnas que tenga tres elementos nulos y tal que ninguno de sus menores de orden 2 sea nulo.
Por ejemplo la matriz
=011
101
110
A
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55. Considera la matriz
−−=
aa
a
aa
A
0
00
20
donde a es distinto de cero.
a) Calcula 2A .
−
−=
−−⋅
−−=⋅=
2
2
2
2
00
00
00
0
00
20
0
00
20
a
a
a
aa
a
aa
aa
a
aa
AAA
b) Calcula 1−A .
� )(11 tAAdjA
A ⋅=−
� 333 2
0
00
20
aaa
aa
a
aa
A =+−=−−
=
Luego 000 31 ≠⇔≠⇔≠⇔∃ − aaAA
�
−−=⇒
−
−=⇒
−−=
22
2
22
0
00
20
)(
02
00
0
0
00
20
aa
a
aa
AAdj
aa
a
aa
A
aa
a
aa
A tt
Por tanto,
−−
=⇒
−−
=
−−⋅=⋅= −−
aa
a
aa
A
aa
a
aa
aa
a
aa
aAAdj
AA t
10
1
01
0
20
1
10
1
01
0
20
1
0
00
201
)(1 1
22
2
22
31
c) Calcula, razonadamente, 20A
−−=
aa
a
aa
A
0
00
20
−
−=
−
−=
−−⋅
−−=⋅=
100
010
001
00
00
00
0
00
20
0
00
202
2
2
2
2 a
a
a
a
aa
a
aa
aa
a
aa
AAA
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−−=
−−=
−−⋅
−
−=⋅=
101
010
201
0
00
20
0
00
20
00
00
003
33
3
33
2
2
2
23 a
aa
a
aa
aa
a
aa
a
a
a
AAA
344
4
4
4
2
2
2
2
2
2
224
100
010
001
00
00
00
00
00
00
00
00
00
Iaa
a
a
a
a
a
a
a
a
a
AAA =
=
=
−
−⋅
−
−=⋅=
Entonces,
===== ⋅
20
20
20
3205
34545420
00
00
00
)()(
a
a
a
IaIaAAA
d) Calcula, razonadamente, )( 19ADet .
−−=
−−⋅==⋅=⋅=⋅== +⋅
101
010
201
101
010
201
)()( 1931631633
16343
434434419 aaaAaAIaAIaAAAA
5757319
(*)
19 )21(
101
010
201
)( aaaA =+−⋅=−−
=
ℜ∈⋅=⋅ knAAkAk n y orden de cuadrada matriz con (*)
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56. Determinar todas las matrices A que conmutan con
=
01
11B , es decir, verifican ABBA ⋅=⋅ .
De estas matrices determina las que tienen la suma de todos sus elementos igual a 0.
Sea
=
dc
baA
⇒
==++=
+=+
⇒
++=
++
⇒
⋅
=
⋅
⇒⋅=⋅
bc
adc
dba
caba
ba
dbca
cdc
aba
dc
ba
dc
baABBA
01
11
01
11
=++−=−−
=−⇒
=−=++−
=−−=−
⇒
0
0
0
0
0
0
0
dca
dba
cb
cb
dca
dba
cb
De 1E tenemos cb =
Sustituyendo en el sistema: dcadca
dca+=⇒
=++−=−−
0
0
Por tanto, ℜ∈
+= dc
dc
cdcA ,con
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Página 80
57.
a) Discutir para qué valores de m tiene inversa la matriz
−−=101
21
01
m
m
A .
0 1 ≠⇔∃ − AA
222 )1(1221
101
21
01
+−=−−−=−−−=−−= mmmmmm
m
A
10)1(0120 22 −=⇔=+−⇔=−−−⇔= mmmmA
Por tanto, { }10 1 −−ℜ∈⇔≠⇔∃ − mAA
b) Calcular la inversa para ese valor de m.
� )(11 tAAdjA
A ⋅=−
� 222 )1(1221
101
21
01
+−=−−−=−−−=−−= mmmmmm
m
A
�
−−−−
−−−=⇒
−−=⇒
−−=211
212
21
)(
120
01
11
101
21
01
mm
m
mm
AAdjm
m
Am
m
A tt
Por tanto,
++
+−
+−
+−
+−
++
+++
=
⇒
++
+−
+−
+−
+−
++
+++
=
−−−−
−−−⋅
+−=⋅=
−
−
2
2
22
222
222
1
2
2
22
222
222
22
1
)1(1
)1()1(1
)1(2
)1(1
)1(2
)1(2
)1()1(1
)1(1
)1()1(1
)1(2
)1(1
)1(2
)1(2
)1()1(1
11
212
21
)1(1
)(1
m
m
m
m
m
mmm
mm
m
m
m
m
A
m
m
m
m
m
mmm
mm
m
m
m
m
mm
m
mm
mAAdj
AA t