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Universidade Federal da Bahia
INSTITUTO DE HUMANIDADES, ARTES & CINCIAS MILTON
SANTOS
Marcio Luis Ferreira Nascimento
HACA82: Arte & Matemtica: Aula 10 Equaes do
Segundo e Terceiro Graus
Universidade Federal da Bahia
Tpicos da Apresentao
Equao do 2o Grau Contribuio dos Egpcios / Babilnios Bhaskara II (Bhaskaracharya)
Aplicao de um problema Al-Kharismi (ou Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi)
Interpretao com o uso de lenos e oraes Um problema clssico de equao do 2 grau Importncia dos coeficientes Artigos de Luiz Barco
Equao do 3 Grau Niccolo Tartaglia A Grande Arte de Girolamo Cardano Ilustrao de soluo de um tipo particular de equao de 3
grau Artigo de Luiz Barco
Lista de exerccios! Um tesouro escondido por sculos...
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Equao do Segundo Grau Contribuies
Povos Antigos
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Contribuio Egpcia1
Detalhe papiro Livro dos Mortos (c. 1550 a. C.)
Os problemas chamados de quadrado (envolvendo a equao do segundo grau) compreendiam por exemplo inventrios: heranas de terra e metais preciosos
Detalhe Livro de Exerccios Babilnio (c. 1700 a. C.) Museu Britnico
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Contribuio Egpcia2
Cpia papiro Livro dos Mortos de Hunefer (c. 1300 a. C.)
O Escriba: Museu do Louvre
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Contribuio Babilnios
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Equao do Segundo Grau Equao de
Bhaskara
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Aplicao1
Considere o seguinte problema inscrito num tablete de barro babilnico: um campo retangular com rea de 60 unidades tem um lado 7 unidades maior do que o outro. Qual o tamanho dos lados deste campo?
x(x + 7) = 60 x2+ 7x = 60
x + 7
60 x
Tablete cuneiforme babilnio Plimpton 322 (1900 1700 a.C.)
x = 5 ou x = 12
verso reverso
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O quadrado da oitava parte de um bando de macacos saltitavam em um bosque, enquanto os doze restantes tagarelavam no alto de um outeiro. Oh, meu querido e inteligente pai: quantos macacos constituram o bando?
Lilavati (Bonita, Bela)
1114 - 1185 Bhaskara II (Bhaskaracharya)
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Bhaskara II Outra pgina do Lilavati
A raiz quadrada da metade do nmero de abelhas de um apirio voou para uma florada de jasmim, 8/9 de todo o enxame permaneceu atrs. Uma das fmeas voou em volta do zango que zumbindo pousou no centro de uma flor-de-ltus, seduzido na noite pelo suave aroma desta planta. Entorpecido pelo perfume, o macho foi aprisionado pela flor. Diga-me o nmero de abelhas
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Equao do Segundo Grau: Al-Kharismi
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Mtodo Al-Kharismi
x
x
x2
5
5
x+5
5x
5x
39
x + 5 = 8 Al-Kharismi
Al-Kitb al-mukhtaar f isb al-jabr wa-l-muqbala (rabe:
Equao 2o Grau (circa 830)
x2 + 10x = 39
x2 + 5x + 5x = 39
x2 + 5x + 5x + 25 = 39 + 25
x2 + 25x + 55 = 64 = 88
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livro no site do curso: www.moodle.ufba.br Al-Kharismi (outra concepo artstica)
Oxford University
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RPM 43 (2000)
43
Disc. Scientia: Cin. Nat. Tec. 6 (2005) 79
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Outra Maneira de Completar o Quadrado
Certa quantidade de vasos dgua pela mesma certa quantidade mais dez vezes esta mesma certa quantidade igual a 39 vasos de gua. Qual deve ser esta certa quantidade de vasos de gua?
x
x x2
Passo 1
5x/2
x2
5x/2
5x 2
5x 2
Passo 2
39
25/4 25/4
25/4 25/4
Passo 3
Universidade Federal da Bahia Equao 2o Grau
02 =++ cbxax
2
222
+=
+
+
ab
ac
abx
abx
02 =++acx
abx
acx
abx =+2
222
22
+=
++
ab
ac
abx
abx
22
22
+=
+
ab
ac
abx
2
2
2
2
22
+=
+
ab
ac
abx
2
22
+=+
ab
ac
abx
2
2
2 444
2 ab
aac
abx ++=
aacb
abx
24
2
2 =
x
x
x2
abx2
+
ab2
abx2
abx2
2
2
ab
ab
2
Parte de um maniscrito rabe citando Scrates (Soqrt) e seus pupilos
Universidade Federal da Bahia x
x
x2
4
4
x+4
4x
4x
65
Aplicao2
Resolver a seguinte equao:
x2 + 8x = 65
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Aplicao3: Pontes e Viadutos
Embora os modernos arcos de pontes seja construdos seguindo uma curva particular denominada catenria, algumas pontes foram elaboradas seguindo simples formas parablicas:
Viaduto Langwies, Graubnden (Canto dos Grises), Sua (1912) 9
222xy =
Ponte das Cataratas Victoria, fronteira entre Zambia e Zimbabwe, frica (1905)
12021116 2xy =
Construo da Ponte das Cataratas Victoria (1905)
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Equao do Segundo Grau: Um Problema
Clssico
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Um Problema Clssico1
As equaes do segundo grau so a chave para a soluo de um problema clssico da matemtica: encontrar dois nmeros, x e y, conhecendo-se sua soma S e seu produto P.
x + y = S xy = P
y = S x xy = P
ou
Logo, x(S x) = P ou x2 Sx + P = 0, e portanto:
24
2
2 PSSx =2
42
2 PSSxSy ==
Um minuto, Professora! Ontem voc disse que x valia 2
ou
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i) Equaes acima do 1 grau podem ter mais de uma soluo (e elas podem ser iguais...);
Um Problema Clssico2
Pelo menos duas constataes importantes decorrem da frmula de Al-Kharismi / Bhaskara:
ii) Em alguns casos, a aplicao da frmula conduz a um resultado misterioso: a raiz quadrada de um numero negativo:
aacb
abx
24
2
2 =0
2 =++ cbxax
1=x012 =+x Por exemplo: ou seja
Pensei ter a resposta para o sentido da vida, mas tudo foi cancelado
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Importante notar que1: Dada uma equao do 2 grau:
b b2 4ac 2a
= x1,2 a
c b
ax2 + bx + c = 0 Com coeficientes a, b e c a soluo se d
por:
Envolvendo duas razes, x1 e x2, de tal forma que:
(x x1)(x x2) = 0
x 1 +
x2 =
S
x 1x
2 = P
Le
mbr
ando
aind
a que
:
e
Bhaskaracharya
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Importante notar que2: Sendo as duas razes, x1 e x2, solues:
(x x1)(x x2) = 0 Desenvolvendo o produto acima:
x2 (x1 + x2)x + x1x2 = 0 Comparando com: ax2 + bx + c = 0 Ou mais precisamente: b a x
2 + x + = 0 c a Percebe-se claramente que:
b a x1+x2 = = S x1x2 = = P
c a
x 1 +
x2 =
S
x 1x
2 = P
Le
mbr
ando
aind
a que
:
e
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Para Casa
Notar que a equao de Baskhara (ou de Al-Kharismi) pode ser re-escrita como:
x1+ x2 x1+ x2 2 4x1x2 2
= x 1
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Para Casa: Lista de Exerccios Construir o grfico da funo y = x .
x y 2 4 1 1 0 0 1 1 2 4 3 9
2 4 2 1 3 3 0 1
2
4
6
8
1) Para auxiliar, construa uma tabela de valores de x e y.
2) Com dados de x e y, distribua os pares de pontos nas coordenadas carte-sianas. Perceba que, quanto mais pontos, melhor fica a definio do grfico
Construir o grfico da funo y = x + 5x + 6. Determine as razes (ou zeros) da equao de Al-Kharismi: x + 5x + 6 = 0.
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Super 32 (1990) 39 Super 43 (1991) 47
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Resoluo de um Tipo Particular de Equao
do Terceiro Grau: Disputa Entre um
Matemtico Gago e um Mdico
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Nic
col
Fon
tana
T
arta
glia
(1
499-
1557
)
Novos Problemas e Invenes (1546)
Juro a voc pelo Sagrado Evangelho e por meu credo de cavalheiro, no apenas nunca publicar suas descobertas, se me forem reveladas por voc, mas tambm prometo e penhoro minha f como cristo verdadeiro de colocar em escritas cifradas para que, depois de minha morte, ningum seja capaz de as compreender 25 de maro de 1539 Juramento de Cardano, de acordo com Tartaglia neste livro
Universidade Federal da Bahia Girolamo Cardano (1501-1576)
A G
rand
e Arte
As
Reg
ras d
a lg
ebra
(15
45)
Arit
mt
ica P
ratic
a (1
539)
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A Grande Arte1
Pois eu tinha sido iludido pelas palavras de Luca Pacioli, que negou que qualquer regra mais geral que a sua pudesse ser descoberta. Em que pesem as muitas coisas que j descobri, como bem sabido, eu tenha me desesperado e no tinha tentado estudar em maior profundidade. Depois, porem, tendo recebido a soluo de Tartaglia e procurando pela demonstrao dela, vim a compreender que havia muitssimas outras coisas que ainda poderiam ser conseguidas. Seguindo este pensamento e mais confiante, descobri estas outras, em parte sozinho e em parte atravs de Ludovico Ferrari, meu ex-aluno.
Em nosso prprio tempo, Scipione dal Ferro de Bolonha resolveu o caso do cubo e da primeira potencia igual a uma constante, uma proeza bem elegante e admirvel. J que esta arte ultrapassa toda a astucia humana e a lucidez do talento mortal, e j que um talento verdadeiramente celestial e um teste bem claro da capacidade das mentes dos homens, quem quer que se dedique a esta arte acreditar que no existe nada que no seja capaz de entender. Em emulao a ele, meu amigo Niccol Tartaglia de Brscia, no querendo ser superado, resolveu o mesmo caso quando entrou em uma competio com seu [de Scipione] pupilo, Antonio Maria Fiore, e, comovido pelas minhas muitas suplicas, deu-a a mim.
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A Grande Arte2
Scipione Ferro de Bolonha, quase trinta anos atrs, descobriu esta regra e a entregou a Antonio Marie Fiore de Veneza, cuja competio com Niccol Tartaglia de Brscia deu a Niccol a oportunidade de descobri-la. Ele [Tartaglia] a deu a mim em resposta as minhas splicas, embora recusando mostrar a demonstrao. Armado com esta ajuda, procurei sua demonstrao de [vrias] formas. Isto foi bem difcil. Segue a minha verso dela.
Universidade Federal da Bahia Equao 3o Grau (circa 1510)
Considere x = y + m.
023 =+++ dcxbxax
( ) ( ) ( ) 023 =++++++ dmycmybmya
( ) ( ) ( ) 0233 223223 =+++++++++ dmycmymybmymmyya( ) ( ) ( ) 0233 23223 =+++++++++ dcmbmamcbmamyambyay
ou:
Fazendo b + 3am = 0 , tem-se: m = b/3a .
03 =++ qpyy
03333
23
33
3232
23 =
+
+
+
+
+
+ d
abc
abba
abc
abb
abay
ababyay
Obtm-se nova equao em y:
Niccol Fontana Tartaglia (1499-1557)
Universidade Federal da Bahia
A nova equao do 3 grau pode ser resolvida em y, e desta forma possvel encontrar x = y + m.
Equao 3o Grau (Tartaglia)1 03 =++ qpyy
Tal estratgia, elaborada por Tartaglia, representa uma resposta geral e no apenas particular, ao problema de resoluo da equao de 3 grau.
No entanto, falta encontrar uma expresso em y. A descoberta de Tartaglia passou pela suposio que a tal soluo seria composta de duas parcelas. Assim:
y = A + B
Desta forma: y3 = (A + B)3 = A3 + 3AB(A + B) + B3
A rig
or, a
solu
o
de Ta
rtagl
ia b
em m
ais g
eral
que e
sta a
pres
enta
da
cubos e incgnitas (ou primeira potncia) iguais a nmeros
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y = A + B como: y3 = A3 + B3 + 3AB(A + B)
y3 = A3 + B3 + 3ABy
ou: y3 3ABy (A3 + B3) = 0
lembrando ainda : y3 + py + q = 0
portanto: p = 3AB e q = (A3 + B3)
ou ainda: A3B3 = p3/27 e A3 + B3 = q
Assim, A3 e B3 so dois nmeros dos quais conhece-se a soma e o produto, problema conhecido desde o sculo VIII e revisto recentemente (Equao do 2 Grau)...
Equao 3o Grau (Tartaglia)2
Niccol Fontana Tartaglia
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Equao 3o Grau (Tartaglia)3
323
322
+
=
pqqA32
3
322
+
=
pqqB
03 =++ qpyy
y = A + B Lembrando que:
3
32
3
32
322322
+
+
+
+=
pqqpqqy
Frmula de Cardano (Tartaglia) que resolve apenas um tipo particular de equao do terceiro grau
Girolamo (ou Gerolamo ou Gernimo) Cardano (1501-1576)
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Super 28 (1990) 53
Mark Kac (1914-1984), matemtico polons-americano)
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Aplicao em Sala Resolver a seguinte equao pelo mtodo de
Tartaglia / Cardano: x3 6x 9 = 0 p = 6 q = 9 Sendo: e
Aplicando a frmula:
3
32
3
32
36
29
29
36
29
29
+
+
+
+=x
33
449
29
449
29
++=x 332
792
79 +
+=
31218 33 =+=+=x
Universidade Federal da Bahia Mais uma Lista de Exerccios!
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Importante notar que: Dada uma equao do 3 grau:
= f(a,b,c,d) x1,2,3
ax3 + bx2 + cx + d = 0 Com coeficientes a, b , c e d a soluo se
d por:
Envolvendo trs razes, x1, x2 e x3, de tal forma que:
(x x1)(x x2)(x x3) = 0
d
a c b
NOTA: Embora valida, a soluo de Tartaglia / Cardano resulta em apenas uma das trs solues (ou razes) esperadas... Voc consegue descobrir por que?
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Um Tesouro Escondido1... A aplicao da expresso de Tartaglia (percebida
por Cardano) pode resolver a simples equao: x3 15x 4 = 0
No entanto, espera-se trs solues (ou razes) para tal equao, uma delas bastante bvia corresponde a x = 4 (verifique).
33 12121212 ++=x Que certamente uma soluo, mas com
significado (na poca da descoberta esta sim por Cardano) difcil de compreender a princpio: pois envolvem nmeros complexos!
Girolamo Cardano
Capitulo 37 de A Grande Arte (1545)
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Mesmo considerando apenas equaes de segundo grau, tal tesouro pode ser vislumbrado.
Para Casa: Um Tesouro Escondido2...
De acordo com Cardano em seu livro, ao se procurar dividir 10 em duas partes tais que o produto final de ambas 40, quais seriam estes valores?
x + y = 10 xy = 40
Encontro tais nmeros x e y, verifique que sua soma resulta 10 e que o produto resulta 40.
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Referncias
The Algebra of Mohammed Ben Musa Frederic Rosen
Latin Translation of the Algebra of Al-Khowarizmi Robert of Chesters
Uma Historia da Matemtica Florian Cajori A Source Book in Mathematics David E. Smith History of Mathematics: from Mesopotamy to
Modernity Luke Hodgkin History of Mathematics: An Introduction David
M. Burton A Grande Arte Girolamo Cardano (1545)
Slide Number 1Tpicos da ApresentaoSlide Number 3Contribuio Egpcia1Contribuio Egpcia2Contribuio BabilniosSlide Number 7Aplicao1Bhaskara IIBhaskara IISlide Number 11Equao 2o Grau (circa 830)Slide Number 13Slide Number 14Outra Maneira de Completar o QuadradoEquao 2o GrauAplicao2Aplicao3: Pontes e ViadutosSlide Number 19Um Problema Clssico1Um Problema Clssico2Importante notar que1:Importante notar que2:Para CasaPara Casa: Lista de Exerccios Slide Number 26Slide Number 27Niccol Fontana Tartaglia (1499-1557)Girolamo Cardano (1501-1576)A Grande Arte1A Grande Arte2Equao 3o Grau (circa 1510)Slide Number 33Slide Number 34Slide Number 35Slide Number 36Aplicao em SalaMais uma Lista de Exerccios!Importante notar que:Um Tesouro Escondido1...Slide Number 41Referncias