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II - 9
Torsion
[email protected] 15 juillet 2011
II - 9 - 2Torsion
II – 9 - Torsion uniforme
Définition
Arbre cylindrique - hyp. de Saint-Venant
Essai de torsion
Sécurité structurale des pièces tordues
Autres sections - analogie de
l’hydrodynamique
Parois minces (fermées ou ouvertes)
– [Frey, T. II, Chap. 8, 133-146]
II - 9 - 3Torsion
Torsion uniforme
définition
– torsion uniforme (pure, de Saint-Venant)
• Mx = constante
– gauchissement libre (non entravé)
– seules contraintes τxy, τxz
– arbre cylindrique : symétrie de révolution
• les sections planes restent planes et normales à l’axe
• les angles au centre sont conservés
II - 9 - 4Torsion
Torsion libre vs. entravée
Mx
Mx
Mx
II - 9 - 5Torsion
Mx
Mx
Torsion d’un arbre cylindrique
0
0
dxcos
dx'dx
1cos
...2
1cos
x
x
2
≈
≈
≈=
≈
+−=
σ
ε
α
α
αα
les génératrices
deviennent hélicoïdales
centre de torsion
[Frey, 2000, Vol. 2]
II - 9 - 6Torsion
Torsion d’un arbre cylindrique
cinématique
dx
dr
dxddcc
rdddccx
x
x
x θγ
γ
θθ
θ
=⇒
==
==
''
''
abcd devient a ’b ’c ’d ’
= abc ’d ’
[Frey, 2000, Vol. 2]
II - 9 - 7Torsion
Loi constitutive
état de cisaillement pur
– τxθ = G γxθ (loi de Hooke)
⇒ loi constitutive en torsion
généralisation dx
dGr x
x
θτ θ =
dx
dGJM x
x
θ= J = constante de torsion (m4)
II - 9 - 8Torsion
Poutres à section circulaire
px
A
x
Axx
xx
Idx
dG
dArdx
dG
rdAM
dx
dGr
θ
θ
τ
θτ
θ
θ
=
=
=
=
∫
∫2
inertie polaire
πR4/2
répartition linéaire
p
xmax
I
RM=τ
[Frey, 2000, Vol. 2]
***
II - 9 - 9Torsion
Poutres à section circulaire
applicable aux sections circulaires
– pleines ou creuses
Reproduit dans [Frey, 2000, Vol. 2]
II - 9 - 10Torsion
Exemple de rupture
Credits : un étudiant
II - 9 - 11Torsion
Essai de torsion
angle de torsion total
essai de torsion
coefficient de Poisson
4xxx
xGR
LM2
GJ
LML
dx
d
π
θθ ===
4x
x
R
LM2G
πθ=
( )υ
υ⇒
+=
12
EG
II - 9 - 12Torsion
Sécurité des pièces tordues
matériaux ductiles
– critère déterministe
– E.L.U.
3
ee
στ =
3
admadm
σττ =≤
(cf. Von Mises)
, ,dimx d xM M≤
II - 9 - 13Torsion
Sécurité des pièces tordues
matériaux fragiles
– critère déterministe
– E.L.U.γ
τττ u
adm =≤
, ,dimx d xM M≤
II - 9 - 14Torsion
Autres sections
pas de solution analytique ⇒ solution
approchée
sections elliptiques
– solution de Saint-Venant
analogie hydrodynamique
analogie de la membrane (Prandtl)
p
4
I40
AJ ≈ avec ( )
4
AbaI
22p += abA π=et
II - 9 - 15Torsion
Sections massives
section rectangulaire
2x
Amaxbc
M
αττ ==
2x
Bbc
M
βτ =
3bcJ γ= ( )c
bfct,, =γβα
[Frey, 2000, Vol. 2]
II - 9 - 16Torsion
Section ouverte à parois minces
2x
max
3x
x
bt
M3
3
bt
dx
dGM
=
=
τ
θ
[Frey, 2000, Vol. 2]
II - 9 - 17Torsion
Section ouverte à parois minces
remarques
– id. solution section massive avec b/c → ∞
– bonne approximation lorsque b/t ≥ 10
– concentration de contraintes dans les angles rentrants
• ⇒ congés de raccordement
• ⇒ J augmente
II - 9 - 18Torsion
Section fermée à parois minces
analogie de l’hydrodynamique
MxMx
ouvertx
ferméx MM >>
J
tMxmax =τ
t2
Mx
Ωτ =
[Frey, 2000, Vol. 2]
II - 9 - 19Torsion
Forme rationnelle des sections droites
sections fermées
augmenter l’aire sectorielle
risque d’instabilités
– prévoir des diaphragmes ou des raidisseurs
[Frey, 2000, Vol. 2]