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流力2! 1!
専門科目(TG010001)
流体力学II Fluid Mechanics II �
劉 浩
太田匡則
流力2! 2!
レイノルズ数による相似性� (Reynolds Number-based Similarity) n 粘性流体の特徴を表すレイノルズ数:
Re=慣性力/粘性力
n レイノルズ数の相似性: 同じReをもつ流体現象は似た性質を有する
n 無次元化された支配方程式:
Re = (ρU2 / L)L3
(µU / L2 )L3=ρULµ
=ULν,ν = µ
ρ
∂u∂x
+∂v∂y
= 0
∂u∂t+∂u∂xu + ∂u
∂yv = − ∂p
∂x+1Re(∂
2u∂x2
+∂ 2u∂y2
)
∂v∂t+∂v∂xu +
∂v∂yv = −
∂p∂y
+1Re(∂
2v∂x 2
+∂ 2v∂y2
)
流力2! 3!
相似性と無次元化� (Similarity and Nondimensionalization) n 代表的物理量:
代表長さ=L 代表速度=U 代表時間=T=L/U
n 無次元化: (u,v,w) = U(u*,v*,w*), (x,y,z) = L(x*,y*,z*), t=t*L/U
∂u∂t+∂u∂xu +
∂u∂yv = −
1ρ∂p∂x
+ν(∂2u∂x 2
+∂ 2u∂y2
)
UL /U
∂u *
∂t*+U 2
L(∂u
*
∂x*u* +
∂u*
∂y*v* ) = − 1
ρL∂p∂x*
+ νUL2(∂
2u*
∂x*2 +
∂ 2u*
∂y*2 )
∂u*
∂t*+∂u*
∂x*u* +
∂u*
∂y*v* = −
∂p*
∂x*+
1UL /ν
(∂2u*
∂x*2 +
∂ 2u*
∂y*2 )⇐ p* =
pρU2L
Re = ULν
流力2! 4!
境界層方程式� (Boundary Layer Equation)
n 流体支配方程式:�
n 境界層近似: @物体から離れた所
@物体近傍�
流力2! 5!
n 境界層近似:� @境界層は薄い、δ/L=小さい�� @境界層を横切る方向の速度成分v〜δ�� @圧力は境界層内(y方向)で一定��� @粘性項のうち、x方向の2回微分は省略できる
境界層近似� (Boundary layer Approximation)
δ / l ≈ O(0)→ x ∝ l, y ∝δ
v /U ≈ O(0)→ v ∝δ ⇒ u∝ l,v ∝δ
∂p∂y
≈O(0)
∂u∂x/∂u∂y
≈ O(0)→ ∂ 2u∂x2
≈O(0)
流力2! 6!
境界層方程式の導出� (Formation of Boundary Layer Equation)
n 境界層方程式とその特徴: 有次元化 (u,v,w) = U(u*,v*,w*), (x,y,z) = L(x*,y*,z*), t=t*L/U
∂u*
∂x*u* +
∂u *
∂y*v* = −
∂p*
∂x*+1Re(∂
2u*
∂y*2)→ ∂u
∂xu +
∂u∂yv = −
1ρ∂p∂x
+ν∂ 2u∂y2
p + ρU2
2= Const⇒ dp
dx+ ρU dU
dx= 0
∂u∂xu +
∂u∂yv =U
dUdx
+ν∂ 2u∂y2
∂p∂y
= 0
Re = ULν
x,u = O(l), y,v =O(δ ), 1Re
= O(δ 2 )
流力2! 7!
n 平板に沿う境界層1:� @境界層内部速度分布の相似���� @座標変換(写像):��� @ブラジウスの微分方程式:������ @境界条件:�
境界層の解析例1�Boundary layer problems
uU∝ f ( y
δ)
δ(x)∝ x / Re x , Re x = Ux /ν
x' = x,η = y Re x / x f (η) =Ψ Re x /Ux→Ψ :StreamFunction
€
u =∂Ψ∂y
=Udfdη
, v = −∂Ψ∂x
= −∂Ψ∂x'
−∂η∂x
∂f∂η
=12
URex
(η dfdη
− f )
∂u∂xu +
∂u∂yv =U
dUdx
+ν∂ 2u∂y2
⇒d3 fdη3
+f2d 2 fdη2
= 0
Non − slip :η = 0→ f = 0, fη = 0Outside :η >>1→ fη = 1
流力2! 8!
n 平板に沿う境界層2:� @ブラジウスの微分方程式の解� 数値積分解は実験値とよく合致� 展開近似:�� 壁面摩擦抵抗係数:������ @例題6.3: U=20m/s, x=30cmのとき、境界層と壁面せん断応力を求めなさい。
境界層の解析例1�Boundary layer problems
fηη = 0.332→τ w = µ∂u /∂y
τw = µ Re xUfηη / x = 0.332ρU2 / Re x
Cf = τ w /(0.5ρU2) = 0.664 / Re x
Re x =Ux /ν = 3.9x105
δ = 5.48x / Re x = 2.63mm,τ w = 0.332ρU 2 / Re x = 248g/ ms2
u /U = C0 + C1η + C2η2 ⇒δ = 5.48x / Re x
流力2! 9!
n 円柱と球のまわりの境界層1:� @円柱まわりの境界層:� 平板境界層近似を適用���� � @円柱まわりの境界層の微分方程式:曲線座標系� 一般座標系における境界層方程式と同型�
境界層の解析例2�Boundary layer problems
Δp/ Δy = ρU 2 / a⇒ Δp = ρU2δ /a→ 0,Whenδ <<1
∂u∂xu +
∂u∂yv =U
dUdx
+ν∂ 2u∂y2
∂p∂y
= 0
流力2! 10!
n 円柱と球のまわりの境界層2:� @円柱まわりの境界層方程式の解:� 外縁でポテンシャル流れ��� 円柱表面で境界層方程式����� @流れの剥離:� 境界層は上流側で薄く、下流側で厚く� 角度=108.8(実験では80)になると、� 剥離が発生
境界層の解析例2�Boundary layer problems
U(x) =Usin( xa) = 2U0(
xa) − 2U0
13!( xa)3 + ...
f (η, xa) = f1(η,
xa) + f3(η,
xa)3 + ...⇒ fi(i =1,3, 5...)
uU(x)
⇔ya
Uaν,φ(0→π )
u = 0, ∂u∂y
< 0
流力2! 11!
n 円柱と球のまわりの境界層:� @球まわりの境界層方程式の解:� 外縁でポテンシャル流れ��� 円柱表面で境界層方程式����� � @流れの剥離と伴流: � 境界層は上流側で薄く、下流側で厚く� 角度=109.6(実験では84)になると、� 剥離が発生 ��
境界層の解析例3�Boundary layer problems
U(φ) = 3U sin(φ2) = 6U0 (
φ2) − 6U0
13!(φ2)3 + ...
f (η, φ2) = f1(η,
φ2) + f3(η,
φ2)3 + ...⇒ fi(i =1,3, 5...)
uU(x)
⇔ya
Uaν,φ(0→π )
u = 0, ∂u∂y
< 0
流力2! 12!
n 境界層、剥離、後流:� @ポテンシャル流れでは� エネルギー保存により� 前後縁では圧力対称、� 剥離無し�� @粘性があると、摩擦による� エネルギー損失が生じ� 後縁付近では逆流が発生� � � � � @剥離点: �
境界層に伴う剥離�Boundary layer problems
u = 0, ∂u∂y
< 0
p +ρ2U 2 = C→ µ
d2udy2
=dpdx
流力2! 13!
n 境界層、剥離、後流:� @理想流体では抗力はゼロ:� ダランベールのパラドックス������ @解決方法:粘性を考慮する� 1)境界層近似解� 2)ナビエーストークス方程式の数値解�
境界層に伴う剥離�Boundary layer problems