予定 （川口担当分）

（１）４月１３日 量子力学・固体の性質の復習

（２）４月２０日 自由電子モデル

（３）４月２７日 結晶中の電子

（４）５月１１日 半導体

（５）５月１８日 輸送現象・金属絶縁体転移

（６）５月２５日 磁性の基礎

（７）６月１日 物性におけるトポロジー

今日（５/１８）の内容輸送現象

• ボルツマン方程式

• 電流磁気効果

• 熱電効果

• 電子散乱

金属・絶縁体転移

• バンド交差・不純物伝導

• アンダーソン局在

• 電荷密度波

• モット絶縁体来週

ボルツマン方程式

電子の分布 の時間変化

ボルツマン方程式

電子の分布 の時間変化

ドリフト項 拡散項 衝突項

電子がいろいろな散乱体またはほかの電子と衝突することによって kが変化

に従って k が変化 に従って ｒが変化

ボルツマン方程式：ドリフト項・拡散項

ドリフト項

拡散項で

ボルツマン方程式：衝突項

外力ゼロ の一様系

散乱により熱平衡分布 に向かう

緩和時間

ボルツマン方程式

まとめると、電磁場中で

直流電気伝導度

一様な静電場下の一様系、定常状態

とおいて電場の１次の項までを取ると

電流：

直流電気伝導度

伝導度テンソル

直流電気伝導度

金属（縮退電子）

：フェルミ分布→

等方的な場合

直流電気伝導度

半導体（非縮退） ：ボルツマン分布

電流磁気効果

一様な電場と磁場があるとき

とおいて

等方な場合：

電流磁気効果

の場合

の場合

電場のみの場合と同じ（バンドが等方的ならば）縦磁気抵抗は現れない

電流磁気効果

電流

電流磁気効果

金属（縮退電子）

：フェルミ分布→

電流磁気効果

半導体（非縮退電子）

：ボルツマン分布

熱電効果

ゼーベック係数電流

ペルチェ係数

熱伝導度熱流

熱電効果：熱起電力（ゼーベック効果）

起電力は２種の金属のゼーベック係数の差と２接点間の温度差に比例する

熱電対金属１

金属２

BA

CD

V

温度TA温度TB

熱電効果：ペルチェ効果

発熱・吸熱を電流の向きで制御

↔ ジュール熱（発熱のみ）

熱

V

電子散乱散乱時間τ：電子散乱により決まる

等方、かつ弾性散乱が支配的である場合

状態 から への遷移確率

前方散乱 はあまり効かない

電子散乱静的要因：不純物・格子欠陥・転位・結晶表面・結晶粒界動的要因：格子の熱振動（フォノン）

イオン化不純物散乱：電子とクーロン相互作用（長距離）

中性不純物散乱：電子のエネルギーには依存しない一定の値

フォノン散乱：・極性散乱 正負のイオンが逆位相で振動

→分極電場と電子の結合・変形ポテンシャル散乱 正負のイオンが同位相で振動

→格子の変形による電子エネルギーが変化

電気伝導度の温度依存性

金属： n 一定。温度依存性は τ からくる。半導体： n, τともに温度変化。

1/τ～ [散乱体の密度] x [散乱断面積] x [電子の速度]

（Drude則）

不純物・欠陥：温度によらないフォノン：温度に依存音響フォノン（縦波）

光学フォノン（横波）

電子のエネルギーに依存半導体（非縮退）：温度変化金属（縮退）：温度によらない

金属・絶縁体転移

金属・絶縁体転移

金属・絶縁体転移の機構

•バンド交差

•不純物伝導

• アンダーソン局在

•電荷密度波

• モット絶縁体

絶対零度で伝導体であるためには、・準位のところに有限の電子状態密度を持ち、・しかもそれらが広がった状態である必要がある。

バンド交差による金属・絶縁体転移

•半導体に圧力をかけていくとバンド幅が広がりバンドギャップが小さくなっていく。

• GeやSiなどが高圧下で金属になる。

半導体 半金属

圧力

不純物伝導

状態密度

伝導帯

不純物準位

エネルギー

不純物濃度 大

浅い不純物準位を形成するようなドナー不純物を添加

不純物束縛状態の波動関数が互いに重なり合ってバンドが形成

不純物バンドは伝導体の底とつながり系は金属的な伝導を示す

不純物伝導

いろいろな不純物濃度をもつ半導体の電気抵抗の温度依存性

不純物濃度の変化による金属・絶縁体転移

家泰弘『物性物理』（産業図書）

アンダーソン局在

•周期ポテンシャル中の伝導電子はブロッホ状態として結晶全体に広がる。

• しかし不純物や欠陥が導入されることで、ランダムポテンシャルを強くしていくと、電子状態は局在の方向に向かう。

• ランダムポテンシャルによって電子が局在することをアンダーソン局在という。

電気伝導度のスケーリング理論

大きさ の 次元立方体試料

次元解析より、伝導度は

無次元のコンダクタンス

と書ける

スケーリング仮説

の値が同じであればを変えた時の の相対変化量も同じである

： のみの関数

スケーリング関数

・金属伝導の極限 ：

電気伝導度はサイズによらない

・局在電子の極限 ：

波動関数が指数関数的に減衰

では

絶対零度では必ず局在金属ではありえない

家泰弘『物性物理』（産業図書）

スケーリング関数

• 有限温度：電子は非弾性散乱によって固有状態を移りうる

• 固有状態の乗り換えを次々に行うことによって伝導を担うことが可能となる

非弾性散乱時間拡散定数

• 電子は 進むごとに非弾性散乱を受け別の固有状態に移る

• 伝導度～大きさ の系の絶対零度における伝導度

スケーリング関数

乱れが小さく金属的なふるまいをするような系では

（ポテンシャル散乱）

２次元の場合

とすると

量子補正：物質によらない

量子補正の起源

電子波の干渉効果

異なる経路をたどってＡ点にもどる電子波の位相はランダム。

統計平均をとると干渉効果は消える。

同一経路を逆向きたどってＡ点にもどる電子波は同位相。互いに強め合うよう干渉→局在

家泰弘『物性物理』（産業図書）

量子補正の起源

時間反転の関係にある電子波同士の干渉

時間反転を破る摂動は局在を破壊

磁場

磁束

磁束 → 位相差

統計平均により消える

磁場をかけることにより伝導度が増加：負の磁気抵抗

家泰弘『物性物理』（産業図書）

局在状態での伝導機構• ポテンシャルの乱れ→強 ⇒ 局在→強

• バンドの端に行くほど同じエネルギーを持つ状態の数が少なくなるので、系の端から端までつながるのが難しくなる。

• 状態密度は局在状態と非局在状態に分かれる。その境目を移動度端という。

家泰弘『物性物理』（産業図書）

局在状態での伝導機構

フェルミ準位が局在側にある場合を考える。

伝導機構

・非局所状態への熱励起

・隣接する局所状態へのホッピング

（フォノンからエネルギーをもらって移る）

・広域ホッピング（variable range hopping)

熱活性型

広域ホッピングの回りの幅 に含まれる状態の数：

これらの状態の間の平均距離

波動関数伝導度∝（波動関数の重なり）ｘ（熱活性因子）

この式を最大にする は

ホッピング先までの距離とエネルギー差との兼ね合いを最適化

レポート問題７

1. 1次元電子系、2次元電子系、3次元電子系に対

して、広域ホッピング伝導機構による伝導メカニズムを調べて、電気伝導度の温度依存性を明らかにせよ。

2. 広域ホッピング伝導機構に従う物質の例（もし自分が体験した実験の例などあれば更によい）を挙げなさい。