III BIM - 5to. Año - Guía 7 - Matrices y Determinantes

8/17/2019 III BIM - 5to. Año - Guía 7 - Matrices y Determinantes

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MATRICES Y DETERMINANTESMATRICES Y DETERMINANTES

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” III BIM – ÁLGEBRA – 5TO. AÑO

“SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” 157

NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 7 QUINTO AÑO

M!"#$ C%&"&. Cuando el númerode filas es igual al número de

columnas.E'()*+,-: ; de orden 2 x 2

Arreglo rectangular de elementos onúmeros, que consta de m filas por ncolumnas.

Se dice que es de orden m x n.

Matrices y DeterminantesMatrices y Determinantes

M!"#$

E'()*+,:

Fila 1

Fila 2

Columna 1

Columna 2Columna

Columna !

"atri# de$rden 2 x !

%s el &alor que adopta una matri#.

E'()*+,:

"atri#

'eterminante

(A( ) 5*2+ !*+ ) -2

alor del 'eterminante

N,!: %l determinante de A o (A(tam/i0n se denota con ∆.

D(!(")#!(




Determinantes de Segundo Orden

ara su clculo efectuamos las operaciones del recuadro indicadas por las flec3as 4

a /

) ) ad /cc d

Ejemplos: allar el determinante de las siguientes matrices

1. 5 2. 2 . x-1 x

) 6 ) )

7 2 -7 2 2 x81

Solución:

Apliquemos la %S9A '% $':C9$S C:A'$S en cada e<emplo 4

1. (7)(5)(2)(3)27

53ΔP −== ∆ ) = 5 ∆ ) -2> pta.

2. 7)((3)2x227

32Q −−=

−

=Δ ∆6 ) 2 8 21 ∆6 ) 2 pta.

. (2)(x)1)(x1)(x1x2

x1xΔR −+−=

+

−

= ∆ ) x2 1 2x pta.

Determinantes de Tercer Orden

%n este curso, s?lo emplearemos para el clculo de estos determinantes la %@A '% SA:S, cuBo

procedimiento es el siguiente4

“SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” 15




Se repite las dos primeras filas *o las dos primeras columnas+ a continuaci?n de las existentes, despu0s de lo cual 4

Se suman los resultados de multiplicar los elementos de la diagonal principal B las dos paralelas a ellas que tengan

elementos, o/teniendo S1.

Se suman los resultados de multiplicar los elementos de la diagonal secundaria B las dos paralelas a ellas que tengan elementos, o/teniendo S2.

/ %l &alor del determinante estar dado por 4 ∆ ) S1 S2

AsD 4 Si el determinante a calcular fuera 4

tsrpnm

c/a

Método 1

∗ or la %@A '% SA:S 3ori#ontal, &ol&emos a escri/ir las dos primeras columnas en el lado

derec3o 4

a / c a /

m n p m n

r s t r s

Método 2

∗ or la %@A '% SA:S &ertical, &ol&emos a escri/ir las dos primeras filas en la parteinferior 4

a / c

m n p

r s t

a / c

m n p

Ejemplos:

allar el determinante ∆ 4 1 2

∆ ) ! 5 =

“SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” 15>

'S '

) *ant 8 /pr 8 cms+ *cnr 8 aps 8 /mt+

' 'S

''S

) *ant 8 msc 8 r/p+ *cnr 8 psa 8 t/m+

' 'S




7 >

Solución:∗ or la %@A '% SA:S 3ori#ontal 4

1 2 1 2

∆

) ! 5 = ! 5 7 > 7

∆ ) E 1 x 5 x > 8 2 x = x 7 8 x ! x E x 5 x 7 8 1 x = x 8 2 x ! x > ∆ ) E !5 8 ! 8 >= E 1G5 8 ! 8 72 ∆ ) 225 225 ⇒ ∆ ) G espuesta

Compro/emos4∗ or la %@A '% SA:S &ertical4

1 2

∆ ) ! 5 =7 >

1 2

! 5 =

Aplicando4 ∆ ) '.. '.S. ∆ ) E 1 x 5 x > 8 ! x x 8 7 x 2 x = E x 5 x 7 8 = x x 1 8 > x 2 x ! ∆ ) E !5 8 >= 8 ! E 1G5 8 ! 8 72 ∆ ) 225 225 ⇒ ∆ ) G

1. Sea A una matri#4

=

GG

GA

'eterminar4 (A(

a+ 1 /+ -1 c+ G

d+ 5 e+ -2

2. Sea H una matri# triangular superior4

=

G21H

'eterminar4 (H(

. Sea4

1G!

212

1G

A

=

5!

7G5

21!

H

Indicar4 A 8 H

a+

=!7

>17

117

d+

=!7

>17

21

/+

=!2>57

117

e+

7=5

!1

21G

c+

=!2

>17

117

!. Si4

=

1!

2

A

=

12

!H

“SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” 1=G

E0ERCICIOS DE APLICACI1NE0ERCICIOS DE APLICACI1N

'S '

'.S. '..




=

12

!5C

Indicar el &alor de (A( 8 (H( 8 (C(

a+ 1G /+ 15 c+ -15d+ 7 e+ -7

5. 'ados4

=

5!

m2mA

=

/a

pH

Indicar el &alor de4 % ) a 8 / 8 p 8 mSiendo4 A ) H

a+ = /+ 1G c+ 12d+ 1= e+ 1

=. Si4

1n1n2

nmA

=

/a2>H

Indicar4 a 8 /

a+ 2 /+ ! c+ =d+ e+ 2G

7. Sea4

=

121m

!12

!5

A2

=

12

qJ

pnm

H

'onde4 A ) HIndicar4 KA 8 HL

a+

2!

!1!

=

/+

!C=

72!

=C1G

c+

2!=

!2!

=1G

d+

212

2=

2!5

e+

2!

!1!

=

Calcular los siguientes determinantes4

.71

G7

a+ 1 /+ = c+ 5d+ ! e+ 7

>.21

=

a+ /+ 2 c+ 1d+ = e+ G

1G. esol&er4

!!2

2x=

a+ 1 /+ 2 c+ d+ ! e+ 5

11. Calcular4

=

=

2x27

2

272x2(A(

a+ x /+ !x c+ x2

d+ !x2

e+ M.A.

12. Calcular4

12

!5

125

(H(

=

a+ 57> /+ 57> c+

51!1C

d+ 51!1C

e+ M.A.

1. Calcular4

/a/a

/a/a(%(

=

a+ 2a/ /+ 2*a2 8 /

2+ c+ a

2 8 /

2

d+ !a/ e+ M.A.

1!. Simplificar4

xB#

B#G

Gx B

xG#

% =

a+ 1 /+ 2 c+

d+ ! e+ M.A.

15. Indicar el &alor de4

“SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” 1=1




22

22

22

a/a/2

a/2a/

/a/2a% =

a+ a /

/+ a

2 8 /

2c+ a/

2

d+ a 8 / e+ M.A.

Indicar4 Kx 8 BL

a+ 1 /+ -1 c+ G

d+ -2 e+ 2

1. Calcular el &alor de4

acc//a

c//aac

/aacc/

%

=

a+ / /+ a c+ 1

d+ G e+ M.A.

2. Calcular el determinante de4

G21

nG21

nG1

n21

(A(

=

pta.4 nN

. Simplificar4

222

222

222

+# Bx*

+ Bx*##

B+#x* B

xx+# B*

=

a+ xB# /+ 2xB# c+ xB#

d+ !xB# e+ =xB#

!. 'emostrar4

+a/+*ac+*/c*

c/a

c/a

111

222

5. Calcular4

c2c/ca

c//2/a

ca/aa2

%

=

a+ 2*/ 8 c+ *a 8 c+ *a 8 /+

/+ !*/ 8 c+ *a 8 c+ *a 8 /+

c+ *a 8 /+ *a 8 c+ */ 8 c+

d+ a 8 /

8 c

e+ a 8 /

8 c

a/c

TAREA DOMICILIARIA Nº 7

1. Si4

=

=

!2A

=

G2

1H

Indicar4 A 8 H

a+

G

55/+

G

55c+

55

d+

CC

e+

5

5

2. Si4

=

=!

1A

Indicar4 2A

a+

1C

=2/+

12C

=2c+

1GC

=2

d+

=

!2e+

C=

122

. Si4 A ) HSiendo4

“SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” 1=2




=

2m

/5!

21

A

=

21

!5!

2a

H

Indicar4 m

/a

a+ /+ = c+ 5d+ 1G e+

!. esol&er4 *siendo x O G+

5x2

2x=

a+ /+ ! c+ 5d+ -2 e+ -

I. Calcular los siguientes determinantes4

5. 2

21

a+ ! /+ -! c+ 2d+ 1G e+ 1!

=. 21

=

a+ -1 /+ G c+ 1d+ 2 e+ -2

7. 2

2

a2a

+!a2a*a

a+ 2 /+ ! c+ a

d+ a

e+

.1G

21GG1

a+ /+ = c+ >d+ 12 e+ 15

>. 1257

7125

a+ 1 /+ 2 c+ d+ ! e+ 5

1G. Calcular4

Bx2

+ Bx* B Bx%

=

a+ 1 /+ *x 8 B+2

c+ *x - B+2

d+ -2 e+ G

11. esol&er en KxL

5212x2

1!2

=

a+ -1 /+ -2 c+ -

d+ -! e+ -5

12. Calcular4

nmnm

nmnm

a+ !m /+ *m 8 n+2

c+ !mn

d+ mn e+ *m - n+

2

1. Calcular el determinante de KAL si4 A ) H 8 C

Siendo4

=

!2

75H

=

G1

21C

a+ -1 /+ -2 c+ -d+ G e+ 1

1!. Sean las matrices4

=

!

21A

=

2

!1H

'eterminar4 (A(2 8 (H(

2

a+ 1GG /+ 1G1 c+ 1G2d+ 1G e+ 1G!

15. Sean las matrices4

1!

52A

=

!7

>5H

=

1G

G1C

allar4I. A 8 HII. A 2H

III. A 8 2H 8 C

“SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” 1=

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