III. Kontaktusok tulajdonságai és számítógépes modellezés

4. el4. előőadadáás:s:HertzHertz--kontaktus; kontaktus; üütktköözzééss

Budapest, 2006. szeptember 28.

Rugalmasságtan emlékeztető

n Deformációs energia, energiasűrűség:

n Feszültségtenzor, deformációtenzor:

n Hooke-törvény:

n Köbös szimmetriájú anyagban:

n Amorf anyagban(folytonos forgásszimmetria):

ijiju

ϕσ

∂=

∂

dVϕΦ = ∫

ij ijkl klC uσ =

1122 1212 1111C C C

1122 1212 1111 2C C Cλ µ λ µ= = = +

( ) ( )1 2 1Eσ

λσ σ

=− +

( )2 1E

µσ

=+

Lamé-féleállandók

Young-modulus

Poisson-szám

Hertz-kontaktus

ξ

1 1

2 2

z x xz x x

αβ α β

αβ α β

χχ

= =

koordinátaválasztás

kényszerfeltétel:

( ) ( )1 1 2 2z zz u z u ξ+ + + =

2 21 2z zAx By u u ξ+ + + =

( )2 22 21 2

1 2

', '1 11 ' 'zP x ydx dy Ax By

E E rσ σ

ξπ

− −+ = − −

∫∫

( ) ( ) ( )1 1 12 1 1 22z z x yu F xF yF

E r rσ

σ σπ+ = ⋅ ⋅ − + − +

( )21

11

', '1 ' 'zz

P x yu dx dy

E rσ

π−

= ∫∫( )2

22

2

', '1 ' 'zz

P x yu dx dy

E rσ

π−

= ∫∫

( )( )2 2 2 2

2 2 2 2 2 20

1 ' '1 ' ' 12

x y ab x y dsdx dyr a b a s b s a s b s

π ∞ − − = − + + + + +

∫∫ ∫

( )2 22 21 2

1 2

', '1 11 ' 'zP x ydx dy Ax By

E E rσ σ

ξπ

− −+ = − −

∫∫

( ) ( ) ( )1 1 12 1 1 22z z x yu F xF yF

E r rσ

σ σπ+ = ⋅ ⋅ − + − +

( )21

11

', '1 ' 'zz

P x yu dx dy

E rσ

π−

= ∫∫( )2

22

2

', '1 ' 'zz

P x yu dx dy

E rσ

π−

= ∫∫

( )( )2 2 2 2

2 2 2 2 2 20

1 ' '1 ' ' 12

x y ab x y dsdx dyr a b a s b s a s b s

π ∞ − − = − + + + + +

∫∫ ∫

Következtetés: az érintkezési felület ellipszis:2 2

2 2 1x ya b

+ =

( )2 2

2 2, konstans 1zx yP x ya b

= ⋅ − −

1 2

1 2

1 134

DE Eσ σ − −

= +

( )( )2 20

FD ds

a s b s sξ

π

∞

=+ +

∫

( ) ( )( )2 2 20

FD dsAa s a s b s sπ

∞

=+ + +

∫

( ) ( )( )2 2 20

FD dsBb s a s b s sπ

∞

=+ + +

∫

( )2 2

2 2

3, 12z

F x yP x yab a bπ

= ⋅ − −

Következtetés: az érintkezési felület ellipszis:2 2

2 2 1x ya b

+ =

1 2

1 2

1 134

DE Eσ σ − −

= +

( )( )2 20

FD ds

a s b s sξ

π

∞

=+ +

∫

( ) ( )( )2 2 20

FD dsAa s a s b s sπ

∞

=+ + +

∫

( ) ( )( )2 2 20

FD dsBb s a s b s sπ

∞

=+ + +

∫

Eredmények alkalmazása két gömbre

1 2

1 1 12

A BR R

= = +

( )1/31/3a b F Dρ= =

1/322/3 DFξ

ρ

=

1/ 23/ 2

2FDρ

ξ =

1/ 25/ 2

2

25

UDρ

ξ =

1 2

1 1 1R Rρ

= +1 2

1 1 1m mµ

= +

Dinamika: centrális ütközés(rugalmas eset)

n Ütközési paraméter:n Erőtörvény → mozgásegyenlet:

( )N N Ne′ = −g g

23/ 2

2

5 04

d kdt

ξµ ξ+ =

1/ 2

2

45

kDρ =

Kiterjesztés disszipatív ütközésre

( ) ( )el disP P P= +

( ) ( )', '' ' 'disP x yD dx dyr

ξπ

= ∫∫&

( ) ( )2 2

2, 1disx yP x y

aα

+= −

( ) ( ) ( ) ( )2', ' ' ' =

2dis

dis dis

FF P x y dx dy

aα

π= ⇒∫∫

„Disszipatív Hooke-törvény”:( ) ( )dis disij ijkl klC uσ = &

( ) ( )2 2 2 2

2

' '1 ' ' ...2 2' '1

dis disF D F Ddx dy

a ax yra

ξπ

= = =+−

∫∫&

( )1/ 25 '

2disF k ξ ξ= &

n A mozgásegyenlet:

1/ 2 3/ 25 5' 02 4

k kµξ ξ ξ ξ+ + =&& &

Dimenziótlanítás

n Új, dimenziótlan paraméterek:

n Ezekkel a mozgásegyenlet:

ahol γ anyagi állandó:

és x τ

max xξ ξ= max

0

tv

ξτ=

1/ 2 3/ 25 04

x x x xγ+ + =&& &

1/53/ 5 3/5

2

524 '

D vD

γ ρµ

=

Ütközési paraméter a modell alapján

Közelítés e ≈ 1-rePerturbációszámítás: a mozgás súrlódással ≈ rugalmas ütközés

( ) ( )( )1 1/ 22 5/ 2

0

1 1 2 12

u x x dxγ− = − −∫

1 1.009e u γ= ≈ −

( )

( ) ( )

( ) ( )

21/ 2 3/ 2

2 25/ 2 1/ 2

1/ 22 5/ 2 5/ 2

0 0

5 04

1 12 2

1 1 12 2

c c

xx x x x x

d x x x xd

d x x d x x dd

τ τ

γ

γτ

τ γ ττ

+ + =

+ = −

+ = − − ∫ ∫

&&& & &

& &

&

határozott integrál kiszámítása közelítés + változócsere

Beta-függvény → 0.5045

( ) 1/51 e v− :

Eredmények kísérleti ellenőrzése

Nemcentrális ütközés

n Ütközési számok

n Relatív sebesség:

n Mozgásegyenlet:

( )( )

0 1

1 1

N N N N

T T T T

e e

e e

′ = − ≤ ≤

′ = − ≤ ≤

g g

g g

( ) ( )12 1 1 1 2 2 2R R= − × − − ×g r ω n r ω n& &

2ˆ

mRΘ

Θ =( )1212 12

1 1 2 2

1 1ˆ ˆm mµ

= + + × ×

Θ Θ

Fg n F n&

ahol:

n Komponensenként:

n Energiaveszteség:

NN

µ=

Fg&

1T T

µκ=g F&

( )1 1 2 2

1 2 1 2

ˆ ˆ1 1 ˆ ˆm m

m mκΘ + Θ

= +Θ Θ +

ahol

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1

2 20 1 és 1

N N T T

N T

Q e e

Q e e

µ µκ ∆ = − + −

∆ = ⇔ = = ±

g g

Normál irányú mozgás

n Mozgásegyenlet:

n Hertz-elmélet → erőtörvény:

( ) ( ) ( )1 2 1 2t R R t tξ = + − −r r

( ) ( )( )1 Nt tξ ξµ

= F&&

( )

( )

1/ 23/ 2

2

1/ 25 '2

Nel

Ndis

FD

F k

ρξ

ξ ξ

=

= &→ megoldás →

( )( )0

cN te

ξξ

=&&

Eredmény kísérleti ellenőrzése

Tangenciális irány

n Modell:H. Czichos, Tribology, Elsevier, (Amsterdam, 1978.)szerint

n Megoldandó, dimenziótlanított egyenlet:

n Megoldás után:

( )*

0 0

0T T

tφ σ ζ ζζ ξ

κ ζ ζ

− − =

&& &&

( )( )0

cT te

ζζ

=&&

Szimulációs eredmények (a)

Szimulációs eredmények (b)

Szimulációs eredmények (c)

Összefoglalás• Lineáris anyag + geometria =

= erőtörvény

• Disszipáció bevezetése

• Centrális ütközés:

mérhető paraméterek számolása

• Nemcentrális ütközés:

szimuláció

Köszönöm a figyelmet!

Irodalom (a szemináriumi irodalomjegyzéken kívül):

• Keszthelyi Tamás: Jegyzet a mechanika tantárgyhoz

• Wikipediahttp://en.wikipedia.org/wiki/Hertz_contact_stress