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SEQUÊNCIA DIDÁTICA – MATEMÁTICA
TEMA III – NÚMEROS E OPERAÇÕES/ÁLGEBRA E FUNÇÕES
HABILIDADE D30 – Geometria -Trigonometria CONTEÚDOS Gráficos de funções trigonométricas (seno e cosseno) e propriedades. Hora de praticar um pouco! Agora, com a orientação do professor, você e seus colegas irão responder às questões abaixo. ATIVIDADE 1: Iniciando a conversa...
(Adaptado da OBMEP) – Em um programa que se chama Roda a Roda, existe uma roleta que os participantes giram para saber qual o seu prêmio, conforme a figura. A roleta deve estar posicionada sempre no PERDE TUDO antes do giro de qualquer participante e o
giro deve ser sempre no sentido horário. a) Qual o menor ângulo para que o prêmio de Felipe seja 100? b) Quais ângulos fazem com que Felipe perca a vez ou perca tudo?
O que precisamos para encontrar as respostas? Converse com seus colegas para resolver a situação proposta.
Convém ressaltar que, para essa situação, discutiremos nocões básicas de Trigonometria e ao longo desta sequência didática nos dedicaremos ao estudo de funções trigonométricas para resolver outros problemas.
Bom estudo para você!
Recordando...uma volta completa de 360º representa uma circunferência. Ao estudar funções trigonométricas (como seno, cosseno e tangente), é comum utilizarmos os ângulos em graus. Mas, usualmente, assumimos que o ângulo é dado em radianos. Observe as figuras a seguir, pois, discutiremos a ideia de um ângulo de 1 radiano. Começando...
Agora, prossiga preenchendo as lacunas.
a) Um círculo tem raio ___________.
b) A rotação é de um ____________.
c) Entornando o __________ sobre o círculo.
d) Marcando o ângulo central de 1 _____________.
e) Um radiano é a medida de um ângulo central de um arco cujo comprimento é igual ao ____________do círculo (ao qual o arco pertence). Abreviamos 1 ___________________ por 1 rad.
Secretaria de Estado da Educação Secretaria Adjunta de Gestão da Rede de Ensino e da Aprendizagem
Programa Mais IDEB
f) O comprimento da circunferência completa corresponde a r2C . Como 1r , então, _______C . Por isso
podemos dizer que 360º corresponde a ___________rad.
Fique atento para as observações relativas à atividade que acabou de realizar...
Ao estudar Trigonometria, o uso do “grau” como unidade de ângulo não é conveniente. Há outra unidade de medida de ângulos, que chama-se radiano. Ela é definida de uma maneira mais fundamental e não depende da escolha de um número arbitrário de pedaços (arcos).
Um radiano é a medida do ângulo central de um arco cujo comprimento é igual ao raio do círculo (ao qual o arco pertence). Abreviamos 1 radiano para 1 rad.
Pelo exposto, quando rad1 , temos que o Carco= 1 rad. Logo, º572
º360rad1r
º360.r2
.
Então, a medida de um arco em radiano é a razão entre o comprimento do arco e o raio da circunferência sobre o qual está determinado.
Para serem realizadas conversões entre – graus e radianos – basta utilizar uma regra de três a partir da
correspondência: º180ouº360 .
Orientações e sugestão para o professor (a):
ATIVIDADE 1:
Habilidade foco: discutir radiano como medida usual de arcos.
As habilidades relacionadas:
Entender o significado de radiano, a partir de análises gráficas e algébrica.
Transformar graus em radianos e vice-versa.
Interpretar o significado de o comprimento da circunferência de centro (0;0) e raio 1 e sua medida em radiano serem expressos pelo mesmo número 2π.
Respostas esperadas:
a) r; b) raio; c) raio; d) rad.; e) raio; radiano; f) .2
ATIVIDADE 2: Para não escapar nada...
SENO DE ALGUNS VALORES
Vamos pensar numa circunferência centrada em (0,0) e de raio 1. Dentro do círculo, consideramos o ângulo de análise partindo da parte positiva do eixo x e crescendo no sentido anti-horário, da seguinte forma:
Ressaltamos que, ao percorremos no sentido anti-horário, teremos ângulos positivos, no sentido horário, ângulos negativos. Além disso, o sentido de crescimento dos quadrantes, também será no sentido anti-horário. Daí, temos quatro quadrantes.
Continuando esse estudo... analise as figuras a seguir:
Considere o triângulo MOP, relacione o que se pede utilizando segmento de reta:
a) Qual o hipotenusa
xaopostocatetoxsen
b) Identifique o segmento que representa o sen x: _______________
c) A cada número real x corresponde um único ponto P, extremidade do arco AP de medida x. Por sua vez, corresponde
uma única ordenada chamada ___________________.
d) A função de ℝ → ℝ que a cada número real x associa a ordenada do ponto P é, por definição, a função
_____________.
e) Olhando um pouco mais de cuidado ao círculo trigonométrico, temos outros ângulos simétricos aos notáveis que podem ser determinados nesse ciclo. Uma maneira de determinar os ângulos simétricos em radianos nos outros quadrantes é cantando: “Tira um, põe um, dobra e tira um”. Veja, na figura, os simétricos a partir
de 6
.
Agora que você sabe como encontrar outros arcos simétricos,
considere sen x e, veja como os valores dos arcos x percorrem o
intervalo de [0; 2π]. Esses arcos caminham por todo o círculo
trigonométrico no sentido anti-horário (sentido positivo). Confira
isso na figura:
Consulte os valores dos senos, já definidos anteriormente e inferindo os outros valores por simetria, preencha o quadro a seguir:
x 0 6
4
3
2
3
2
4
3
6
5
6
7
4
5
3
4
2
3
3
5
4
7
6
11 2
senx
f) Considere, a figura abaixo e indique, em cada quadrante, o sinal da ordenada um arco qualquer:
.0_____xsen2
;0ouº90;º0x:quadranteº1
.0____xsen;2
ouº180;º90x:quadranteº2
.0____xsen2
3;ouº270;º180x:quadranteº3
.0____xsen2;2
3ouº360;º270x:quadranteº4
e) Antes de iniciarmos a Atividade 3, volte ao problema proposto no início da sequência didática para resolvê-lo.
Orientações para o professor (a):
ATIVIDADE 2:
Habilidade foco: compreender as relações entre elementos geométricos e trigonométricos na compreensão da função seno.
As habilidades relacionadas:
Identificar seno como ordenada de um ponto da circunferência trigonométrica no plano cartesiano.
Compreender como se marca os números simétricos, a partir dos arcos notáveis.
Descrever a constituição dos quadrantes e variação de sinal dos arcos.
Identificar as propriedades da função seno.
Construir o gráfico da função seno.
Respostas esperadas:
MP1
MP
OP
MP)a ON)b c) seno de x d) seno
e)
x 0
6
4
3
2
3
2
4
3
6
5
6
7
4
5
3
4
2
3
3
5
4
7
6
11 2
sen x 0 2
1
2
2
2
3
1 2
3
2
2
2
1 0 2
1
2
2
2
3
-1 2
3 2
2
2
1 0
f) 1º quadrante: sen > 0; 2º quadrante: sen x > 0; 3º quadrante: sen x < 0; sen x < 0.
g) a) O primeiro prêmio de 100, em relação a posição inicial, fica na terceira faixa. Assim, o menor ângulo é
º45º360.24
3 .
b) PASSA A VEZ E PERDE TUDO são as faixas múltiplas de 6, ou seja, eles aparecem (um ou outro) de
º90emº90º360.24
6 .
ATIVIDADE 3: Prosseguindo...
FUNÇÃO SENO E SUA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
Antes de partir para a atividade, é necessário ficar atento às observações contidas no boxe.
Para se ter ideia do comportamento geral da função seno, é conveniente construir seu gráfico. A princípio, seria necessário conhecer todos os pontos para obter o gráfico, entretanto, o conjunto de pontos discutidos anteriormente permite construir uma figura bastante próxima do gráfico desejado.
Utilizando os pontos (x;y) do quadro de valores, onde y = sen x, construímos o gráfico da seno de 0 a 2π. Antes, é importante atentar para as propriedades.
O domínio da função y = sen x é definido no conjunto dos números reais, isto é, D(f) = .
Para qualquer x existe sen x tal que -1 sen x 1, ou seja, [ -1;1].
É uma função periódica, de período p = 2π. Depois desse intervalo, os valores de y = sen x começam a se repetir.
Positiva no primeiro e segundo quadrantes, negativa no terceiro e quarto quadrantes.
A função seno é limitada.
Veja o gráfico considerando o sentido anti-horário de.
a) Diante do que já foi definido a respeito da função seno, esboce o
gráfico da função f: [0; 2 ] ℝ,
definida por y = sen x.
b) Esboçar o gráfico da função g(x) = 1 + sen x, no intervalo de [0; 2π], identificando a imagem e o período.
Orientações para o professor (a): ATIVIDADE 3 Habilidade foco: compreender a definição da função seno. As habilidades relacionadas:
Identificar as propriedades da função seno.
Construir gráficos da função seno. Respostas esperadas:
a) Gráfico da função y = sen x:
b) Gráfico da função g(x):
Aproveitar o momento para comparar as funções g(x) = 1 + sen x e f(x) = sen x.
Pontuar que o gráfico da função g(x) =1 + sen x se deslocou uma unidade para cima, resultando a Im [g(x)]=[0; 2]
e mantendo o P = 2π.
ATIVIDADE 4. Entendendo cosseno...
COSSENO DE UM ARCO
Analise as figuras a seguir:
Na terceira figura temos o triângulo MOP... relacione o que se pede utilizando segmento de reta:
a) Qual o hipotenusa
xaadjacentecatetoxcos
b) Identifique o segmento que representa o cos x: _______________
c) A cada número real x corresponde um único ponto P, extremidade do arco AP de medida x. Por sua vez, corresponde
uma única abscissa chamada ___________________.
d) A função de ℝ→ ℝ que a cada número real x associa a abscissa do ponto P é, por definição, a função ___________.
e) Retomando um pouco sobre o círculo trigonométrico, temos outros ângulos simétricos aos notáveis que podem ser determinados nesse ciclo. Uma maneira de determinar os ângulos simétricos em radianos nos outros quadrantes é cantando: “Tira um, põe um, dobra e tira um”.
Veja, na figura, os simétricos a partir de 6
.
Agora que você sabe como encontrar outros arcos
simétricos, considere cos x e, veja como os valores dos
arcos x percorrem o intervalo de [0; 2π]. Esses arcos
caminham por todo o círculo trigonométrico no sentido
anti-horário (sentido positivo). Confira isso na figura:
Consulte os valores dos cossenos, já definidos anteriormente e inferindo os outros valores por simetria, preencha o quadro a seguir:
x 0 6
4
3
2
3
2
4
3
6
5
6
7
4
5
3
4
2
3
3
5
4
7
6
11 2
cosx
d) Considere, a figura abaixo e indique, em cada quadrante, o sinal da ordenada um arco qualquer:
.0_____xcos2
;0ouº90;º0x:quadranteº1
.0____xcos;2
ouº180;º90x:quadranteº2
.0____xcos2
3;ouº270;º180x:quadranteº3
.0____xcos2;2
3ouº360;º270x:quadranteº4
Orientações para o professor (a) ATIVIDADE 4: Habilidade foco: compreender as relações entre elementos geométricos e trigonométricos na compreensão da
função cosseno. As habilidades relacionadas:
Identificar seno como abscissa de um ponto da circunferência trigonométrica no plano cartesiano.
Compreender como se marca os números simétricos, a partir dos arcos notáveis.
Descrever a constituição dos quadrantes e variação de sinal dos arcos.
Identificar as propriedades da função cosseno.
Construir o gráfico da função cosseno. Respostas esperadas:
OP1
OM
OP
OM)a OM)b c) cosseno de x d) cosseno
e)
x 0 6
4
3
2
3
2
4
3
6
5
6
7
4
5
3
4
2
3
3
5
4
7
6
11 2
cosx 1 2
3
2
2
2
1 0 2
1
2
2
2
3
-1 2
3
2
2
2
1 0
2
1 2
2
2
3 1
f) 1º quadrante: cos x > 0; 2º quadrante: cos x > 0; 3º quadrante: cos < 0; cos x < 0.
ATIVIDADE 5: Prosseguindo...
FUNÇÃO COSSENO E SUA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
Antes de partir para a atividade, é necessário ficar atento às observações contidas no boxe.
Para se ter ideia do comportamento geral da função seno, é conveniente construir seu gráfico. A princípio, seria necessário conhecer todos os pontos para obter o gráfico, entretanto, o conjunto de pontos discutidos anteriormente permite construir uma figura bastante próxima do gráfico desejado.
Utilizando os pontos (x;y) do quadro de valores, onde y = cos x, construímos o gráfico da seno de 0 a 2π. Antes, é importante atentar para as propriedades.
Propriedades:
O domínio da função y = cos x é definido no conjunto dos números reais, isto é, D(f) =ℝ.
Para qualquer x ℝ existe cos x tal que -1 cos x 1, ou seja, [ -1;1].
É uma função periódica, de período p=2π. Depois desse intervalo, os valores de y = cos x começam a se repetir.
Positiva no primeiro e quarto quadrantes, negativa no segundo e terceiro quadrantes.
A função seno é limitada.
Veja o gráfico considerando o sentido anti-horário de.
Agora vamos à prática...
a) Diante do que já foi definido sobre a função cosseno, esboce o
gráfico da função f: [0; 2 ] ,
definida por y = cos x.
b) Esboçar o gráfico da função g(x) = 2.cos x, no intervalo de [0; 2π], identificando a imagem e o período.
Orientações para o professor (a):
ATIVIDADE 5
Habilidade foco: compreender a definição da função cosseno.
As habilidades relacionadas:
Identificar as propriedades da função cosseno.
Construir gráficos da função cosseno. Respostas esperadas:
a) Gráfico da função y = sen x. Im(f) = [-1; 1], P= 2π.
b) Aproveitar o momento para comparar as funções g(x) = 2.cos x e f(x) = cos x. Comentar que o gráfico da cosseno abriu no sentido vertical, resultando na
resultando a Im [g(x)]=[-2; 2] e mantendo o período p = 2π.
Atividade 8. Testando conhecimentos sobre funções seno, cosseno e tangente.
(SAEB) Observe o gráfico a seguir.
Qual a função que melhor representa esse gráfico no intervalo [0, 2π] ?
A) xcosy B) 2
xcosy C) )x(seny D) x2seny E) xsen2y
Orientações para o professor (a):
Atividade 2:
Habilidade foco: identificar a função trigonométrica reconhecendo sua propriedade.
As habilidades relacionadas:
Identificar o período da função trigonométrica.
Analisar a imagem da função trigonométrica
Reconhecer o tipo de curva da função trigonométrica.
Identificar o esboço do gráfico como função em estudo.
Resposta esperada:
P= 2π; Im (f) = [-1, ]. A curva parte da origem, que caracteriza a função seno, mas com o percurso no sentido contrário ao dos arcos positivos. Logo, trata-se da função seno.
Gabarito: Alternativa C.
(SAEB) O gráfico da função y = cos x é:
Orientações para o professor (a):
Atividade 2:
Habilidade foco: identificar a função cosseno reconhecendo sua propriedade.
As habilidades relacionadas:
Identificar o período da função trigonométrica.
Localizar a imagem da função trigonométrica
Identificar o esboço do gráfico como função em estudo.
Resposta esperada:
P= π; Im (f) = [-1, 1]. A curva parte da abscissa 1, que caracteriza a função cosseno, percorrendo o sentido anti-horário. A função em análise é a cosseno.
Gabarito: Alternativa A.
