Introduction à la quantification« avec les mains »

Premières raies de la série de Balmer

Niveau d'énergie haut Niveau d'énergie bas Notation Longueur d'onde (nm)3 2 Hα 656,34 2 Hβ 486,15 2 Hγ 434,06 2 Hδ 410,17 2 Hε 397,0Limite 364,6

Par décharge électrique dans un tube contenant de l’Hydrogène à basse pression, unesérie de 4 raies dans le visible est observée par Balmer fin 19ème siècle.

II. Équipement - Tube à gaz à hydrogène; - réseau de 600 lignes/mm; - spectromètre. III. Théorie Les électrons sous agitation thermique dans une source de lumière incandescente émettent une radiation électromagnétique (lumière) composée de différentes longueurs d'onde, produisant ainsi un spectre continu. En analysant la lumière émise d'un gaz excité, d'un liquide vaporisé ou d'un solide, des lignes spectrales, comme celles de la figure 1, sont observées.

La physique moderne explique ces spectres en termes de photons de lumière de longueurs d'onde discrètes émis lors de transitions entre deux niveaux d'énergie. Chaque substance possède un ensemble de raies spectrales de longueurs d'onde bien déterminées.

La couleur de la lumière émise par un gaz inséré dans un tube à décharge est souvent une indication de la raie spectrale la plus intense dans la région visible. Par exemple, la lumière émanant d'un tube à gaz à hydrogène est rosée résultat de la raie spectrale très intense de longueur d'onde ! = 656,1 nm. L'espacement entre les raies dans le spectre de l'hydrogène diminue de façon régulière. En effet, en 1885, J.J. Balmer (1825- 1898) montra que les quatre raies visibles dans le spectre de l'hydrogène (dont les longueurs d'onde sont, expérimentalement, de 656 nm, 486 nm, 434 nm et 410 nm) obéissaient à la formule empirique suivante :

1

! = R

1

22 -

1

n2

"#$

%&' avec n = 3, 4, 5,...

où R est la constante de Rydberg, avec une valeur de 1,097 x 107 m-1. Le spectre de l'hydrogène possède une caractéristique théorique intéressante, n'ayant qu'un seul proton et qu'un seul électron, il est l'atome le plus simple. Neils Bohr (1885-1962) a développé une théorie atomique pour l'hydrogène invoquant que les raies spectrales résultaient d'une transition de l'électron d'un niveau d'énergie supérieur vers un niveau d'énergie inférieur. La longueur d'onde des raies spectrales pouvait être donnée par la relation théorique :

E

ch

!="

ou

eV n

E 6,13 1 - 2

122 !!"

#$$%

&='

1 Spectre visible de l'hydrogène.

Protubérance solaire observée avec un filtre Hα (656.3 nm, rouge/orange) . Transition électronique entre niveaux p=3->n=2

En 1855 Balmer propose une expression empirique simple qui explique sa sérieen accord avec les raies trouvées dans le visible

1λn,p

= RH1p2 −

1n2

"

#$

%

&' (p=1,2..., n > p)

D’autres séries de raies ont été aussi découvertes plus tard avec le développementinstrumental:

2-UV ( Lyman, 1906)3-IR (Paschen, 1909)4-IR (Brackett, 1922)5-IR (Pfund, 1924)

Série Lyman Balmer Paschen

Brackett Pfund

p 1 2 3 4 5

1λn

= RH122 −

1n2

"

#$%

&' (p=2, n > 2, RH =109737 cm−1)

Formule généralisée

Remarque: chaque série a une limite n->∞

hν = hcλ

A peu près à la même époque, on sait grâce aux travaux de M.Planck/A. Enstein que l’énergie du photon est donnée par l’expression

hcλn,p

= hνn,p = hcRH1p2 −

1n2

"

#$

%

&' =

hcRH

p2 −hcRH

n2

Vitesse de la lumière

Longueur d’onde de la lumière Fréquence de la lumière

Constante Planck

Multiplions alors l’expression de Balmer par hc

On voit à travers cette expression que l’énergie du photon (apporté ou émis) est égale à la différence de 2 expressions similaires qui ont alors la dimension d’une énergie.

0

EHydrogènep = − hcRH

p2 = −13.6p2 (eV )

Postulat de Bohr: les niveaux d’énergie de l’atome sont des états liés (-), sont quantifiés (p ou n sont des entiers) et ont pour expression

Or on sait aussi que si le photon a suffisamment d’énergie il peut conduire à l’ionisation de l’atome: effet photoelectrique

n=2

Ep→∞ = −hcRH

∞2 +Cte = 0

⇒Cte = 0

Pour p=∞ Enn=∞

n=3n=4n=5

n=1

Ep = −hcRH

p2+Cte

Reste à montrer théoriquement l’effet de la quantification…

Modèle de Bohr(1913)

Modèle de BohrModèle planétaire: l’électron décrit une trajectoire (orbite) circulaire

autour du noyau de charge Z

Z é

orbiteIngrédients

Modèle de Bohr

é

Z

r

γ =

dvdtT + v

2

rN

r est la distance Noyau-électron

Equation fondamentale de la dynamique:

N

F∑ =me

γ

T

Modèle de Bohr

Mouvement circulaire uniforme :

Forces en présence: 1-Attraction d’origine électrostatique é-Noyau

2-Attraction gravitationnelle é-Noyau

dvdt= 0⇒ γ = v

2

rN

FG =G

meMN

r2N

FCoulomb >>

FG ⇒ me

γ ≈

Z e 2

4πεorN =me

v2

r

N

14πεo

= 8.99 109Nm2 /C2

FCoulomb ≈

1.602 10−19 2

10−20 8.99109 = 2.310−8Newton

FGrav. ≈ 6.674210−11

1.673x10−27 9.1110−31 10−20 ≈10−47Newton

G = 6,6742.10-11 N·m2·kg-2 .

AN:

FCoulomb =

Z e 2

4πεor2

N

r2

Modèle de Bohr

Hypothèse fondamentale de Bohr: .La quantification des niveaux d’énergie découle de la quantification du moment cinétiqueSeules certaines orbites pour l ’électron dans l’atome sont possibles

r ⊥ v⇒ r ∧ v= r v

Z e 2

4πεor2 =me

v2

r avec J=merv=n

Pour une trajectoire circulaire,

J = r ∧ p =me

r ∧ v = n = n h2π

[h]=Js=KL2T-2.T [J]=L KLT-1=[h]

Modèle de Bohrv = n

mer ⇒

e 2 Z4πεor

2 =men22

me2r3

⇒1r=e 2 Z me

4πεon22

Etotale = Eéc +Ep =

12mev

2 +Ep(?)

Expression de l’énergie totale du système électron-Noyau (fixe)

Modèle de Bohr

Def :ΔEp = Ep(∞)−Ep(r) = − δWextr

∞

∫ = − Fext

r

∞

∫ . dr

Z

N

Fext = Fcoulomb =

Z e 2

4πεor2 N

, dr= −Ndr

⇒ΔEp = Ep(∞)−Ep(r) =Z e 2

4πεor

⇒ Ep(r) = −Z e 2

4πεor

∞r

δWextr

∞

∫ = Fext

r

∞

∫ . dr= −

Z e 2

4πεor2 dr =

Z e 2

4πεo1r$

%&'

()r

∞

∫r

∞

= −Z e 2

4πεor

Modèle de Bohr

Etotale = Ec +Ep =12mev

2 −1

4πεoZe2

r

or mv2

r=

Ze2

4πεor2 ⇒ Ec =

12mv2 =

12

Ze2

4πεor= −

Ep

2

Modèle de Bohr

Etotale = Ec +Ep =Ep

2= −

14πεo

Ze2

2r= −

Ze2

2e 2 Z me

(4πεo )2 n22 = −

12

Z 2 e 4 me

(4πεo )22

"

#$$

%

&''

1n2

Etotale = −12

me e4

(4πεo )22

"

#$$

%

&''

Z 2

n2

Les niveaux d’énergie sont quantifiés (nombre quantique principal n)L’atome peut passer d’un état d’énergie Ei à un état d’énergie Ef par absorption ou emissiond’un photon:

Ef −Ei = hν

En=f(1/n2)

[] => Dimension ’ENERGIE ’

me e4

(4πεo )22

!

"##

$

%&&=

KC4

J 2T 2 (C2N −1L−2 )2 =KN 2L4

J 2T 2

Ec =12mv2!

"#$

%&= J[ ] = KL2T −2

W⇔ J[ ] = F.L[ ] = N L⇒ N =KL2T −2

L= KLT −2

⇒KN 2L4

J 2T 2 =K(K 2L2T −4 )L4

(K 2L4T −4 )T 2 = KL2T −2 = J

Dimension Termes entre crochets:

14πεo

= 8.99 109Nm2 /C2

L2

[h]=J.T

Etotale = −12

me e4

(4πεo )22

"

#$$

%

&''

Z 2

n2 = −12e '2

ao

Z 2

n2

(avec e '2 =e 2

4πεo et (4πεo )

2

me e2

"

#$$

%

&''= ao (rayon de Bohr)

Dimension de

Expression de Etotale en fonction du rayon de Bohr

me e2

(4πεo )2

!

"##

$

%&&=

KC2

J 2T 2 (C2N −1L−2 )=KNL2

J 2T 2

N = KLT −2

⇒KNL2

J 2T 2 =K(KLT −2 )L2

(K 2L4T −4 )T 2 = L−1

(4πεo )2

me e2

!

"##

$

%&&= L = ao(rayon de Bohr)

(4πεo )2

me e2

!

"##

$

%&&

Etotale = −12

me e4

(4πεo )22

"

#$$

%

&''

Z 2

n2??

0.529 Å

Etotale = −12

me e4

(4πεo )22

"

#$$

%

&''

Z 2

n2= −

12e '2

ao

Z 2

n2e '2

ao= 27.2 eV

1r=e 2 Z me

4πεon22

Si Z=1 (atome H)

E1 = −12

* e '2

ao= -13.6 eV

E2 = −12

* e '2

4ao= -3.4 eV

E3 = −12

* e '2

9ao= -1.51 eV... etc

⇒ r = 4πεon22

e 2 Z me

= n2 aoZ= f (n2 )

Les trajectoires (orbites) de l’électron sont quantifiées

1 unité Hartree

(4πεo )2

me e2

!

"##

$

%&&= L = ao(rayon de Bohr)

Résumé

- Spectre du corps noir-Quantification de l’énergie (Planck, E=hv)

h=> constante de Planck (6.62 10-34 J.s)

-Quantification des niveaux d’énergie (Modèle de Bohr)et des orbites de Bohr

Etotale = −12

me e4

(4πεo )22

"

#$$

%

&''

Z 2

n2= −

12e '2

ao

Z 2

n2

⇒ r = n2

Z4πεo

2

e 2 me

= n2

Zao

(4πεo )2

me e2

!

"##

$

%&&= ao

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Corps noir - 3Plate-forme TTE – C.E.S.I.R.E. – Université Joseph Fourier - Grenoble

0

5 1012

1 1013

1,5 1013

2 1013

2,5 1013

3 1013

3,5 1013

0 0,5 1 1,5 2

(1) 6000 K(2) 5000 K(3) 4000 K(4) 3000 K

Lum

inan

ce (W

m-2

m-1

)

longueur d'onde λ (µm)

(1)

(2)

(4)

(3)

Un corps noir vérifiant par définition la loi de Lambert, son émittance monochromatique (ouspectrale) vaut

€

Mλ0 T( ) = π L λ

0 T( ) .

b - Loi de Stefan - Emittance totale du corps noirLe calcul donne, après intégration sur λ, l'émittance totale, c'est-à-dire la puissance totale

rayonnée dans le demi espace supérieur par unité de surface du corps noir

€

M0 = σ T 4 avec σ =2 π 5 k 4

15c 2 h 3

C'est la loi de Stefan où σ est la constante de Stefan : σ =5,67 10-8 W m-2 K-4.Par exemple, le soleil peut être assimilé à un corps noir de température 5800K et d'émittance

6 107 W m-2.• Si l’on désire connaître le flux rayonné entre 2 longueurs d’onde ( dans le visible par exemple),

on doit calculer la quantité

€

Mλ0 T( )

λ1

λ2

∫ dλ . Afin d’avoir une fonction utilisable quelque soit la

température T, on calcule plutôt la fonction f(λT) définie par

€

f λT( ) =

Mλ0 T( ) dλ

0

λ

∫

Mλ0 T( ) dλ

0

∞

∫=

Mλ0 T( ) dλ

0

λ

∫

σ T 4

Cette fonction est normalisée (elle varie de 0 à 1) et la valeur de f(λT) représente donc leporcentage de puissance émise dans le demi-espace supérieur entre 0 et λ. Cette fonction est tabulée(voir plus loin).

𝝀maxT=Cte (loi de Wien)

Rayon de Bohr