III Workshop de Álgebra da UFG – CAC Sobre homomorfismos de aneis

Fabíola Ribeiro Borges - fabiolaerogerio@hotmail.com

Wagner Santana dos Santos- wagner-go@hotmail.com

Igor dos Santos Lima (Orientador) - igor.matematico@gmail.com

Resumo

O presente trabalho visa discutir alguns conceitos sobre

homomorfismos de aneis, demonstrar algumas de suas propriedades e

dar uma demonstração do Primeiro Teorema do Isomorfismo para

aneis. Tais conceitos são considerados fundamentais no estudo da

Teoria de Galois. Este trabalho é parte do estudo de teoria de aneis na

disciplina de Álgebra II cursada este semestre.

Preliminares

Definição: Sejam (A, +, • ) e (B , +, •) aneis. A função f : A → B é um homomorfismo de aneis se, e somente se:

∀ a, b ∈ A f ( a + b ) = f( a ) + f ( b );

∀ a, b ∈ A f ( ab ) = f (a) f (b).

Exemplos: Para quaisquer aneis (A, +, • ) e (B , +, • ), a aplicação, f : A

→ B, f (x) = 0b ∈ A é um homomorfismo de aneis, visto que:

f (a + b) = 0B = 0B + 0B = f(a) + f(b);

f (ab) = 0B = 0B0B = f(a)f(b).

Proposições:

1) Sejam dois aneis A e B, e f : A → B um homomorfismo de aneis,

então temos que:

f (0A) = 0B

f (- a) = - f (a)

f (a - b) = f (a) – f(b)

Essas propriedades são válidas pelo fato de que f é um homomorfismo

do grupo aditivo A no grupo aditivo B.

2) Se f : A → B é homomorfismo sobrejetivo de aneis e supondo que A

possua unidade, tem-se que:

f (1A) é a unidade de B.

Demonstração

∀ b ∈ B, como f é sobrejetora, tem-se que b = f (a), para algum a ∈ A.

Logo:

b · f (1A) = f (a)f(1A) = f (a ·1A) = f(a) = b.

De maneira análoga temos que f (1A) · b = b, portanto f (1A) é unidade

de B.

Se a ∈ A é inversível, então f (a) também o é com (f (a))-1 = f (a-1).

Demonstração

f (a)f(a-1) = f(a · a-1) = f(1A) = 1B

f (a-1)f(a) = f(a-1 · a) = f(1A) = 1B

Logo, f (a-1) = (f(a))-1

Núcleo de um homomorfismo de aneis

Definição: Seja f : A → B um homomorfismo de aneis. Núcleo de f ou

Ker(f) é dado pelo subconjunto de A:

Ker(f) = {x ∈ A| f(x) = 0B}.

Proposição: Seja f : A → B um homomorfismo de aneis, então Ker(f) é

um subanel de A.

Demonstração

Se a,b ∈ Ker(f), então f(a) = f(b) = 0B e f(a - b) = f(a) – f(b) = 0B e como

f(ab) = f(a) f(b) = 0B0B = 0B, logo a – b e ab ∈ Ker (f) e que mostra que

Ker(f) é subanel de A.

Observação: Ker(f) é um ideal de A.

Isomorfismos de aneis

Um homomorfismo de aneis f : A → B é um isomorfismo, se ele é

bijetivo.

Note que a aplicação inversa também é um isomorfismo, conforme

enunciaremos na Proposição abaixo.

Proposição: Seja f : A → B um homomorfismo de aneis.

Então f -1 : A → B também é um homomorfismo de aneis.

Demonstração

Sabemos que A e B são também grupos aditivos. Logo f : A → B

isomorfismo implica que f -1 : A → B é isomorfismo de grupo aditivo.

Resta verificar que f- -1 preserva produto, isto é,

f- -1 (cd) = f --1 (c) f- -1 (d), ∀ c, d ∈ B.

Sejam c e d ∈ B. Como é sobrejetora, existem a e b ∈ A tais que:

c = f(a) e d = f(b). Isto é, a = f -1 (c) e b = f -1(d).

Portanto,

f -1(cd) = f -1 (f(a)f(b)) = f -1(f(ab)) = ab = f-1(c) f-1(d).

Quando existe um isomorfismo entre dois aneis A e B, dizemos que eles

são isomorfos.

Notação: A ≈ B.

Um isomorfismo f : A → A é dito um automorfismo do anel A.

Proposição 3: (1º Teorema dos Isomorfismos de aneis)

Se f : A → B é um homomorfismo sobrejetivo de aneis e I = Ker(f),

então os aneis A/I e B são isomorfos. A aplicação g : A/I → B dada por

g(a + I) = f(a) é um isomorfismo.

Demonstração:

Primeiramente observarmos que se a ≡ b (mod I), ou seja, se a + I = b

+ I então a – b ∈ I e f(a - b) = 0, assim temos que f (a) = f (b). Como,

g((a + I) + (b + I)) = g((a + b) + I) = f (a + b) = f(a) + f(b) = g(a + I) +

g(b + I) e

g((a + I)(b + I)) = g( ab + I ) = f( ab ) = f( a ) f( b ) = g(a + I) g(b + I),

assim, g é um homomorfismo.

Concluindo temos, a + I ∈ Ker (g) ⇔ g(a+I) = 0 ⇔ f(a) = 0 ⇔ a ∈

I=Ker(f), assim, g é injetiva. Como Im(g) = Im(f) temos que: g: A/I →

B é um isomorfismo de aneis.

Referências

ANDRADE, José Fernandes Silva. Tópicos Especiais em Álgebra. Rio de Janeiro:

SBM, 2013.

GARCIA, Arnaldo; LEQUAIN, Yves. Elementos de álgebra. 6.ed. Rio

de Janeiro: IMPA, 2012.

DANTAS, Natanael Oliveira. Estruturas Algébricas. São Cristovão:

Universidade Federal de Sergipe, CESAD, 2009.

DOMINGUES, Hygino H; IEZZI, Gelson. Álgebra moderna. 4.ed.

Reform, São Paulo: Atual, 2003.