Upload
others
View
7
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------
1
فصل پنجم
سری و انتگرال فوریهFourier series and integrals
periodic functions: توابع متناوب: 1- 5
trigonometric series: سری مثلثاتی
:بشکلی وجود داشته باشد کهT یک تابع متناوب است اگر یک عدد مثبت f(x)تابع )()( xFTxf =+
. تابع می نامند(period) را تناوبTدر اینصورت عدد
بهترین مثال توابع .د تکرار کنT که خود را بعد از هر تناوب استبه این ترتيب تابعی تناوبی==هم چنين تابع ثابت . تناوبی همان توابع سينوسی و کسينوسی هستند cfیک تابع يز ن
. مثبت ميتواند باشدهر مقدار برای آن Tتناوبی است و
داراي نوسی که آنها نيز ي را بر حسب توابع سينوسی یا کسπ2 تابع با تناوب هرميتوان
.اين نوع بسط را بسط مثلثاتي نيز مي گويند. هستند بسط دادπ2تناوب
سي يا بطور آلي عمل بسط يك تابع بر حسب توابع معلوم و مشخص مانند توابع سينو
تناوبي در مسائل مهندسي تابع . ه تر با مسائل مهندسي استآسينوسي براي برخورد ساد
تناوبي پيچيده بر حسب توابع تناوبي ساده تري اي هستند و لذا بايد اين توابع توابع پيچيده
نوشته شوند تا تحليل و آناليز آنها ميسر شود در غير اين صورت رفتار توابع پيچيده مهندسي
.اري دشوار خواهد بودآ
:تمرينات
: را براي توابع زير پيدا آنيدTآمترين تناوب مثبت ) 1
. خواهد بودf(x) نيز تناوب nT(…,n=2,3) باشد نشان دهيد f(x) تناوب تابع Tاگر ) 2
b,a آه در آن h(x)=af(x)+bg(x) باشند نشان دهيد T داراي تناوب g(x) و f(x)اگر ) 3
. خواهد بودTد هم داراي تناوب ثابت هستن
پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------
2
اين بخش مورد لزوم ساين انتگرالها جهت ادامه درو. د انتگرالهاي زير را پيدا آني)4
.هستند
dxnxe
dxnxedxnxxdxnxx
dxnxxdxnxdxnx
x
x
sin
cos,cos,sin
cos,sin,cos
0
00
22
2
2
20
2
0
∫
∫∫∫
∫∫∫
−
−
−
π
πππ
π
π
π
ππ
سری فوریه :2 ـ5
فرمولهای اولر
: توسط سري مثلثاتي زير بسط داده شودπ2 با تناوب f(x)فرض آنيدآه تابع
F(x) = a0 + nxbnxa nnn
sincos(1
+∑∞
=
(A)
بر f(x) ، آنگاه bn و anبديهي است با پيدا آردن . را پيدا آنيمbn و anحال مي خواهيم
براي پيدا . حسب توابع متناوب سينوسي و آسينوسي بطور آامل نشان داده شده است
: انتگرال گيري مي آنيم يعني π تا -π در محدوده آردن ضرايب از طرفين رابطه باال
( ) dxxbxaadxxf nnn
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++= ∑∫∫
∞
=−−
sincos)(1
0
π
π
π
π
:به عبارت انتگرال گيري آنيم خواهيم داشتعبارت اگر طرف دوم را
02)( 0 += ∫∫ −−adxxf π
ππ
ππ
: به اين ترتيب
dxxfa )(21
0 ∫−=πππ
ضرب sin mxر و نيز دبار و يكCos mx را يكبار در (A)ت بهمين ترتيب اگر طرف اول عبار
:نمائيم و انتگرالها را عبارت به عبارت حساب آنيم داريم
,...2,1sin)(1
,...2,1cos)(1
==
==
∫
∫
−
−
mdxmxxfb
mdxmxxfa
m
m
π
π
π
π
π
π
.د توابع سينوسي و آسينوسي استفاده آرديممآه در محاسبه آنها از شرط تعا
.قبلي نيز آمده استی اين مطالب در گذشته و در بخش ها
را بدست ضرائب خود انتگرالها را حساب آرده و ممارستيان گرامي بايد براي دانشجو
.آورند
.يه مي نامندفور ضرائب را bm و am ضرائب
:مثال
:موج مربعي
: موج مربعي زير را در نظر بگيريد
پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------
3
:فرم رياضي اين موج عبارت است از
هاي نيروي مكانيكي يا هاي خارجي به سيستم هانيروتوابعي از اين نوع در اعمال
.الكتروموتيو در مدارات الكتريكي ديده مي شوند
بسط ضرائب را برحسب توابع سينوسي و آسينوسي بسط داده و f(x)حال مي خواهيم
:را پيدا آنيم پس
( )
0sinsin1
coscos1cos)(1
0)(21
0
0
0
0
0
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−==
==
−
−−
−
∫∫∫
∫
π
π
π
π
π
π
π
π
π
ππ
π
nnxk
nnxk
dxnxkdxnxkdxnxxfa
dxxfa
n
( )πππ
πππ
π
π
π
π
π
nn
knnxk
nnxk
dxnxkdxnxkdxnxxfbn
cos12coscos1
sinsin)(1sin)(1
0
0
0
0
−=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−==
−
−− ∫∫∫
: پس
054
034
04
65
43
21
==
==
==
b؛kb
b؛kb
b؛kb
π
π
π
:پس
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++= ...5sin
513sin3
1sin4)( xxxkxfπ
when
when
پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------
4
. نيز صفر در آمدan ضرائبو البته همانطور آه ديده شد
. درك آنيمبهتر را f(x)خوب حاال دقت آنيد منظور از بسط
xkاگر شما فقط جمله اول بسط را يعني عبارت sin4π
. خواهد بودf(x) را بكار گيريد شكل
بخوبي حاصل نخواهد شد f(x) آه با بكارگيري جمله اول بسط شكلمالحظه مي شود
. يعني موج مربعي داردf(x)گرچه شباهتي ولو اندك با شكل
:حال اگر جمله دوم بسط را نيز اضافه آنيم داريم
دارد به تدریج آه با بكارگيري جمله دوم بسط شكل سري بسط می شوداين بار مالحظه
:در نظر بگيريم داريم مي رود بطوريكه اگر جمله سوم را نيز f(x)به سمت شكل
در حال بدست آمدن f(x) آه با بكارگيري جمله سوم تقريبا شكل آلي می شودمالحظه
بسط در حقيقت پي بردن به رفتار توابع به شکلپس انجام بسط و نوشتن توابع تناوبي . است
مع چه جمالت بيشتري از بسط را در نظر بگيريد جهردر اينجا . پيچيده در مهندسي است
چيزي نيست f(x)يعني . نزديك مي شودf(x)جمالت بسط بيشتر و بيشتر به شكل اصلي
.تا آخر sin 7xهبه عالو sin 5x به عالوه sin 3x به عالوهsin xمگر جمع جمالتي مانند
پس اگر ما از رفتار تابع مربعي در ابتدا اطالع درستي نداشتيم حال مي توانيم بگوئيم آه SinxxSinxSinxSinر توابع با دانستن رفتا را شناخت و f(x) تا آخر بخوبي مي توان تابع 3,5,7,
.تحليل آرد
پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------
5
:تمرينات
زير را پيدا آنيد و منحني جمع سه جمله از بسط را نيز رسم f(x)سري فوريه توابع ) 1
:آنيد
e) f(x) = ⎩⎨⎧
<<−<<−
23
2
22
ππ
ππ
π xifxxifx
توابع با تناوب دلخواه :3 ـ5
آرد معرفی x باشد آنگاه مي توان متغير جديدي به نام T داراي تناوب f(t)اگر تابع
باشد در دست π2 آه تناوب حالتیچون روابط براي . باشدπ2 داراي تناوب f(t(x))بطوريكه
.باشد تعميم داد T تناوبحتي ميتوان موضوع را به حالتيكه است پس برا
tT
xxTftf ππ
2)2
()( =⇒=
2 متناظر با π±=xبه عبارت ديگر Tt به عنوان fاين بدان معنا است آه تابع . است=±
. استπ2تناوب داراي xتابعي از
dxnxxTfb
dxnxxTfa
dxxTfa
nxbnxaaxTftf
n
n
nnn
sin)2
(1
cos)2
(1
)2
(21
)sincos()2
()(
0
10
∫
∫
∫
∑
−
−
−
∞
=
=
=
++==
π
π
π
π
π
π
ππ
ππ
ππ
π
پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------
6
:با توجه به روابط باال خواهيم داشت
dtT
tntfb
n
dtT
tntfa
dttfa
T
Tn
T
Tn
T
T
ππ
ππ
π
2sin)(2...,2,1
2cos)(2
)(1
2
2
2
2
2
20
∫
∫
∫
−
−
−
=
=
=
=
:و به اين ترتيب سري فوريه عبارت است از
∑∞
=
++=1
0 )2sin2cos()(n
nn tTnbt
Tnaatf ππ
:مثال
موج مربعي متناوب) 1
: را در نظر بگيريد و ضرائب بسط را پيدا آنيدf(t)تابع
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<=<<−
−<<−=
210411
120)(
twhenTtwhenk
twhentf
241)(
41)(1 1
1
2
2
2
20
kdtkdxtfdxtfT
aT
T==== ∫∫∫ −−−
2sin2
2sin
21
2cos)(
21
2cos)(2
1
1
2
2
2
2
ππ
ππ
π
nn
k
dttnkdttntf
dtT
tntfT
aT
Tn
=
==
=
∫∫
∫
−−
−
:پس
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=−
==
,...11,7,32
,...9,5,12
0
nn
k
nnk
an
π
π
برايn زوج
پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------
7
...2
5cos51
23cos
31
2(cos2
2)(
,...2,1
02sin)(2 2
2
tttkktf
n
dtT
tntfT
bT
Tn
ππππ
π
+−+=⇒
=
== ∫−
Half-Wave Rectifierيكسو آننده نيمه موج
درك بيشتر مفهوم بسط فوريه يك يكسو آننده نيمه موج مورد بررسي قرار ایدر اينجا بر
.مي گيرد
tEيك ولتاژ سينوسي به شكل : سئوال ωsin از يك يكسو آننده نيمه موج عبور مي آند
. سري فوريه تابع تناوبي يكسو شده را پيدا آنيد. منفي ولتاژ مزبور حذف مي شودو قسمت
)شكل زير(
∫
∫ ∫ ∫
==
+==
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
<<
=
<<−
=
− −
w
T
T T
T
EdttE
dttUT
dttUT
dttUT
a
TtwhentE
T
tTwhen
tU
π
πω
πω
ωωπ
0
2
2
0
2
2
00
sin2
)(1)(1)(1
20sin
2
02
0
)(
dttntUT
dtT
tntUT
aT
T
T
Tn ωπ cos)(22cos)(2 2
2
2
2∫∫ −−
==
ωπچون =
T2
( ) ( )[ ]∫ ∫ −++==⇒ ωπ
ωπ
ωωπ
ωωωπω
0 01sin1sin
2cossin dttntnEdttntEan
:يم دار…,n=2,3 باشد جواب انتگرال طرف راست صفر خواهد بود و براي n=1وقتي
( ) ( )
( ) ( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−+−−
=+
++−=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−+−−
++
++−=
nn
nnE
nn
nnEan
111cos
111cos
2
111cos
111cos
2 0
πππ
πππ
ω ωπ
: زوج باشد داريمn فرد باشد عبارت باال صفر است و وقتي nوقتي
پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------
8
,...6,4,2)1)(1(
21
21
22
=+−
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
+=
nnnE
nnEan π
: داريمbnبهمين ترتيب براي ضرائب
,...3,2021 === nforb؛Eb n
:پس
...)4cos53
12cos31
1(2sin2
)( +×
+×
−+= ttEtEEtU ωωπ
ωπ
:تمرينات
از يك يكسو U(t) = 2 Cos 100 πtي آه توسط عبور يك ولتاژ تناوب سري فوريه يك تابع )1
.آننده نيمه موج حاصل شده است را پيدا آنيد
را بدست آورده و حاصل سه جمله از مجموعه Tتناوب با f(t)سري فوريه تابع تناوبي ) 2
.جمع را نيز رسم آنيد
a)⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<=
<<−=
2014
020)(
tT
ttf
b)⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<=
<<−=
3104
111)(
tT
ttf
c)⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<−=
<<−=
1012
011)(
tT
ttf
توابع زوج و فرد4 ـ5
تناوبي آه مي خواهيم سري فوريه آنها را بدست آوريم زوج يا فرد باشند آار چنانچه توابع
.آسانتر خواهد بود و بدون انجام محاسبات اضافي ضرائب بسط بدست مي آيند
:توابع زوج
.ج مي نامند در عبارت زير صدق آند آنرا زوy=g(x)اگر تابع
g(-x) = g(x) ها xبراي همه
:داي از يك تابع زوج را نشان مي دهشكل زير نمونه
پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------
9
توابع فرد
. در عبارت زير صدق آند آنرا فرد مي نامندg = h(x)اگر تابع
h(-x)=-h(x) ها xبراي همه
:شكل زير نمونه اي از يك تابع فرد را نشان مي دهد
. يك تابع فرد استsin nxتابع يك تابع زوج وCos nxبه عنوان مثال تابع
: يك تابع زوج باشد مي توان نوشتg(x)اگر
∫ ∫−=2
2
2
0)(2)(
T
T
Tdxxgdxxg
: يك تابع فرد باشد خواهيم داشتh(x)و اگر تابع
∫− =2
20)(
T
Tdxxh
ضرب ند حاصلو ديگري فرد باشد در يكديگر ضرب ش و آه يكي زوجh(x) و g(x)اگر دو تابع
. خواهد بود فرد استq(x)=h(x)g(x)آه يك تابع
:پس به اين ترتيب
زوج باشد عبارت f(t)اگر T
tntf π2sin)( فرد خواهد بود و لذا bn=0 . بهمين ترتيب اگرf(t)
فرد باشد عبارت T
tntf π2cos)( فرد بوده و an=0خواهد بود .
سري فوريه توابع زوج و فرد
. يك سري آسينوسي فوريه خواهد بودT با تناوب f(t)ي فوريه يك تابع زوج سر )1
,...2,1
2cos)(4)(2
2cos)(
2
0
2
00
10
=
==
+=
∫∫
∑∞
=
nT
tntfT
a؛dttfT
a
Ttnaatf
T
n
T
nn
π
π)زوج(
پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------
10
. يك سري سينوسي فوريه مي باشدT با متناوب f(t)سري فوريه يك تابع فرد ) 2
dt
Ttntf
Tb
tTnbtf
T
nn
π
π
2sin)(4
2sin)(
2
00
1
∫
∑
=
=∞
=
: باشد داريمπ2تناوب زوج با f(x) چنانچه تابع در حالت خاص
,...2,1
cos)(2)(1...3cos2coscos)(
000
3210
=
==
++++=
∫∫n
dxnxxfa؛dxxfa
xaxaxaatf
n
ππ
ππ
: باشد خواهيم داشتπ2تناوب با فرد f(t)و در حالت خاص چنانچه تابع
,...2,1sin)(2
...3sin2sinsin)(
0
321
==
+++=
∫ ndxnxxfb
xbxbxbxf
n
π
π
:مثال
اگر به مثال موج مربعي به فرم ) 1⎩⎨⎧
<<<<−−
=π
πxwhenkxwhenk
xf0
0 برگرديم مالحظه )(
:سري فوريه عبارت بود ازهد شد آه حاصل اخو
......5sin513sin3
1(sin4)( +++= xxxkxfπ
: جمع آنيم حاصل عبارت است ازg(x)=kحال اگر اين تابع را با عبارت
....5sin513sin
31(sin4)()()( ++++=+= xxxkkxfxgxF
π
: را نشان مي دهيدF(x)شكل زير تابع
عبارت است از سري فوريه F(x)=g(x)+f(x)اين مثال نشان مي دهد آه سري فوريه تابع
.f(x) به عالوه سري فوريه تابع g(x)تابع
آه از حاصل جمع سري فوريه دو تابع به دست آمده است پالس مستطيلي F(x)به شكل
.مي گويند
)فرد(
)زوج(
)فرد(
پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------
11
etoothed Wav-Saw موج دندان اره اي )2
:سري فوريه تابع زير را حساب مي آنيم
ت و ميتوان آنرا به شكلاين تابع به موج دندان اره اي موسوم اس
ππππ 2)( =<<−+= Txwhenxxf
:ميتوان نوشت. نشان دادπ==+= 2121 fandxf؛fff
π=0a صفر هستند بجز f2ضرائب فوريه
) تابعي فرد است پس f1چون ) 0,...2,1 == nan و براي bnداريم :
∫ ∫==π π
ππ 0 01 sin2sin)(2 dxnxxdxnxxfbn
: انتگرال بگيريم داريمز به جزشكل جبه چنانچه از عبارت باال
πππ
ππndxnx
nnnxxbn cos2cos1cos2
00−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−
= ∫
:بنابراين
...,42
32
222 4321
−==−== b؛b؛b؛b
: عبارت است ازf(x)و لذا نمايش سري فوريه
:تمرينات
ممكن است توابع نه فرد باشند . فرد بودن و زوج بودن را در مورد توابع زير تحقيق آنيد)1
.نه زوج
ππ
ππ
ππ
<<−=⎩⎨⎧
<<<<−−
=⎩⎨⎧
<<<<−
=
+
xifxxf
xifxxifx
xfxifxxif
xf
xxxxxxxx
sin)(
00
)(0
00)(
;ln;sin;;
2
2
2
)(2نشان دهيد آه تابع) 2 xxf ) درباره = )ππ ≤<− x با π2=T داراي سري فوريه زير
:است
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−= ...........3cos
912cos
41cos4
3)(
2
xxxf π
را بدست آمده است ر قبل جواب معروف زير آه توسط اول در مسألهπ=x با گذاشتن )3
.تحقيق آنيد
......)3sin312sin
21(sin2)( xxxxf +−+= π
∑∞
=
=++++=1
2
2 6....
161
91
4111
n nπ
پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------
12
: استفاده آنيد نشان دهيد2 از مسأله )4( )
12....
161
91
4111 2
2
1
1
π=+−+−=
− +∞
=∑ n
n
n
Range Expansions-Half بسط نيم بازه 5 ـ 5
توابعي داشته فنیدر بعضي از مسائل فيزيكي و مهندسي الزم مي شود آه به لحاظ
.باشيم آه فقط روي يك بازه محدود تعريف شده اند
lt روي بازه f(x)نوان مثال فرض آنيد تابع به ع تعريف شده باشد و ما مي خواهيم 0≥≥
f(x)را با يك بسط فوريه نمايش دهيم . ltبراي اينكار فرض مي آنيم آه بازه 20 متناظر بازه انتگرال گيري 0≥≥ Tt به . باشد≥≥
lTعبارت ديگر lT يا 2= lTبه اين ترتيب با اختيار آردن عبارت . =2 مشاهده مي شود =2
−≥≥0آه ما تابع را به قسمت tlع حال ميتوانيم تابع بعد از اين موضو. نيز گسترش داده ايم
.يه آسينوسي يا بسط فوريه سينوسي نشان دهيمتناوب باال بشكل بسط فورامزبور را ب
:مثال
. در شكل زير دقت آنيدf(t)به عنوان مثال به تابع )1
ltاين تابع در محدوده براي نمايش اين تابع بشكل بسط فوريه . تعريف شده است0≥≥
ltlآسينوسي الزم است تابع بشكل زير در محدوده )شكل زير(گسترش يابد −≥≥
و يا اينكه بخواهيم نمايش تابع را بشكل بسط فوريه سينوسي بدهيم آه در آن شرايط تابع
: بايد شكل زير را بخود بگيرد
پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------
13
از ) آسينوسي يا سينوسي(بعد از انتخاب چگونگي نمايش بسط فوريه تابع داده شده
:يعني. روابط قبلي داده شده براي محاسبه ضرائب بسط استفاده مي آنيم
,...2,1
cos)(2;)(1
cos)(
0 00
10
=
==
+=
∫ ∫
∑∞
=
n
dtltntf
ladttf
la
tl
naatf
l l
n
nn
π
π
يا
,...2,1sin)(2
sin)(
0
1
==
=
∫
∑∞
=
ndttl
ntfl
b
tL
nbtf
l
n
nn
π
π
:پالس مثلثي )2
.ا آنيدبسط نيم بازه تابع زير موسوم به پالس مثلثي را پيد
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+=
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+=
∫∫
∫∫
dttl
ntllkdtt
lnt
lk
la
kdttll
dttlk
la
l
l
l
n
l
l
L
ππ cos)(2cos222
)(221
2
2
0
2
2
00
:با انتگرال گيري جزرا به جزرا داريم
∫
∫
−−−=−
−+=
l
l
l
nnn
lnnldtt
lntl
nn
lnnldtt
Lnt
222
22
22
222
0
)2
cos(cos2
sin2
cos)(
)12
cos(2
sin2
cos
πππ
ππ
π
ππ
ππ
π
:آه در نهايت خواهيم داشت
2210226222
22
1016....;
616;
216
)1cos2
cos2(4
πππ
πππ
kakaka
nnn
kan
−=
−=
−=
−−=
n≠14,10,6,2...., وقتي آه na=0و
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<−
<<=
ltliftllk
ltiftlk
tf
2)(2
202
)(
پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------
14
:شكل زير است در حالت آسينوسي بf(t)بنابراين بسط نيم بازه تابع
:بهمين ترتيب بسط نيم بازه سينوسي نيز مي تواند مورد استفاده قرار گيرد يعني
2sin8
22
ππ
nn
kbn =
:و نهايتا مي توان بسط آسينوسي و يا سينوسي نيم بازه تابع مذآور ار بصورت زير نوشت
آسينوسي نيم بازهبسط ...)6cos622cos
21(16
2)( 222 ++−= t
lt
lkktf ππ
π
نوسي نيم بازهبسط سي ...)5sin513sin
31sin
11(8)( 2222 −+−= t
lt
lt
lktf πππ
π
:تمرينات
توابع زير را با سري آسينوسي فوريه بسط دهيد)1
. توابع زير را با سري سينوسي فوريه بسط دهيد)2
ltttfltttf
ltttflttf
<<=
<<=
<<=<<=
0)(0)(
0)(01)(
3
2
lttl
tf
ltetfltttf
ltttflttf
t
<<=
<<=
<<=
<<=<<=
02
sin)(
0)(0)(
0)(01)(
2
π
پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------
15
Forced Oscillations نوسانات زوري : 5 ـ 6
.يفرانسيل استدمي در رابطه با معادالت مهسري فوريه داراي آاربردهاي
نسيل معمولي مطرح است را مورد در اينجا يك مسأله عملي آه در آن حل يك معادله ديفرا
.بررسي قرار مي دهيم
.به شكل زير دقت آنيد
به جسم r(t) متصل شده است و نيروي خارجي k به فنري با ثابت mدر اين شكل جرم
m باشد معادله ديفرانسيل حاآم بر نوسان جرمC ثابت استهكاك چنانچه. وارد مي شود
:عبارت است از)(trkyycym =++ &&&
. انحراف جسم از وضعيت تعادل استyآه در آن
: مطالب زير قابل بحث و بررسي استدر مسأله باال
با شكل رياضي سينوسي يا آسينوسي باشد و ی نيرويr(t) اگر نيروي خارجي )الف
معادله باال يك حرآت (Steady – State) یستاك نيز صفر نباشد آنگاه جواب اابت استهكاث
. تغييرات همان نيروي خارجي وارد شده به جسمکانسنوساني هماهنگ خواهد بود با فر
يك تابع خالص سينوسي يا آسينوسي نباشد ولي بهرحال يك تابع تناوبي r(t) اگر )ب
اين . مايش دهنده بر هم نهش نوسانات هماهنگ خواهد بود نیستاباشد، آنگاه جواب ا
. انجام شودr(t) از فرآانس مضاربی و يا باr(t)نوسانات هماهنگ مي تواند با فرآانس
در اين حالت به فرآانس تشديد يا رزونانس mاگر يكي از فرآانسهاي نوساني جرم
آانس پاسخ بارز و غالب سيستم با آن فرارتعاش نزديك باشد، آنگاه ارتعاشی سيستم
.سيستم به نيروي خارجي است
:حال به طرح همين مسأله با مثال عددي مي پردازيم
:مثال عددي
: آه فرض آنيدارتعاشی مذکور ديفرانسيل حاآم بر سيستم معادلهدر
2sec25,sec02.0;1 gmkgmcgmm ===
2502.0)(بطوريكه معادله ديفرانسيل بشكل tryyy =++ . در مي آيد&&&
r(t) 2 بر حسبseccmgm −
مطابق شكل زير به r(t)حال فرض آنيد . اندازه گيري ميشود
: سيستم وارد شود
پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------
16
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<<+−=
<<−+
=ππ
π
ππ
tiftT
tift
tr02
2
02
)(
: را پيدا مي آنيمy(t)حال جواب اسيتاي
: را برحسب سري فوريه نشان دهيم بشكل زير در مي آيدr(t)اگر
...)5cos513cos
31cos(4)( 22 +++= ttttr
π
:پس ميتوان معادله ديفرانسيل را بشكل زير نوشت
,...3,1
cos42502.0 2
=
=++
n
ntn
yyyπ
&&&
:از مطالب گذشته در مورد نوسانات زوري ميتوان نوشتntBntAy nnn sincos +=
:حال اگر جواب باال را در معادله ديفرانسيل قرار دهيم و دو طرف را معادل بگيريم داريم
222: ارت است از مخرج عبDدر روابط باال مقدار )02.0()25( nnD +−=
خطي است پس انتظار داريم آه جواب آلي برهم نهش ما چون معادله ديفرانسيل،
:جوابهاي تكي باشد يعني...531 +++= yyyy
:زير توصيف مي آنيمبگونه را Cnدر اينجا عبارت 22
nnn BAC +=
ntBntAyاين عبارت از جواب معادله بشكل nnn sincos : بديهي است پس=+
DnBAC nnn π2
22 4=+=
: عبارت است ازCn هاي مختلف مقادير عددي nبا در نظر گرفتن
DnB
DnnA nn ππ
08.0;)25(42
2
=−
=
پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------
17
0003.00011.05100.00088.00530.0
9
7
5
3
1
=====
CCCCC
C5 بسيار آوچك مي شود و بهمين ترتيب D مقدار n=5از روابط مالحظه ميشود آه براي
عبارت غالب در ) C5جواب متناظر با (y5 است اين مطلب نشان دهنده آن. خيلي بزرگ ميشود531... رابط +++= yyyyخواهد بود اين موضوع تلويحا مي گويد آه:
بطوريكه فرآانس آن پنج برابر فرآانس ،قريبا يك حرآت نوساني خواهد بود تیستاحرآت ا
.تغييرات نيروي خارجي است
:به شكل زير در اين رابطه دقت فرمائيد
:تمرينات2)( جواب عمومي معادله ديفرانسيل )1 tryy =+ω&& آه در آن
0.10,0.2,5.1,1.1,9.0,7.0,5.0;sin)( == ωttr باشد را پيدا آنيد.
. مسأله باال را براي حالتهاي زير حل آنيد)2
tLintLintintr 52513
91)( ++=
8,6,1.5,9.4,4,1.3,9.2,2,1.1,9.0,5.0=ω
ntbtr
ttrtktr
tifttr
N
nn sin)(
3sin)(sin)(
,...4,2,0
sin4
)(
1∑=
=
==
≠
<<−=
ω
πππ
زير را در حالتي آهRLCر در مدا(I(t)) یستاجريان ا)3 Ω=== − 10,10,10 2 RHenryLfaradCپيدا آنيد است .
ππππ
2)(100)( 22
=<<−−=
TtwhentttE
پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------
18
. مطابق مراحل زير مسأله را حل آنيد:راهنمائي
بر حسب سري مثلثاتي ظاهر خواهد I(t). را بر حسب سري فوريه بنويسيدE(t)ابتدا
. پيدا آنيديك فرمول عمومي براي ضرائب اين سري. شد
.مقادير عددي چند تا از اين ضرائب را حساب آنيد
.سپس جمع چند عبارت سري را رسم آنيد
: مسأله باال را براي حالت زير نيز حل آنيد)4
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<−=
<<−+=
πππ
ππ
tifttT
tiftttE
0)(1002
0)(001)(
2
2
انتگرال فوريه7 ـ 5
. مي باشندتناوبيرسي مسائل است آه در آنها توابع سري فوريه ابزاري قوي براي بر
ستند و لذا بايد روش سري نيتناوبي عملي و آاربردي، توابع ولي در بسياري از مسائل
.فوريه را براي اينكه توابع غير تناوبي را نيز شامل شود تعميم داد
را به سمت بي نهايت T را در نظر بگيريم و سپس T با تناوب fT(x)ميتوان گفت آه اگر تابع
اين موضوع را با مثال . خواهد بود آه ديگر تناوبي نيستf(x) مانند ميل دهيم حاصل تابعي
:هاي زير نشان مي دهيم
:مثال
تابع زير را آه در شكل نيز نشان داده شده است )1
:در نظر بگيريد
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<<<−−<<−
=
210111
120)(
TxwhenxwhenxTwhen
xfT
پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------
19
: آنگاه داريمT→∞اگر
⎪⎩
⎪⎨
⎧ <<−==
∞→0
111)(lim)(
xwhenxfxf
TT
:يعني
)(11 تابع )2 x
T exf 22 را در بازه =−TxT )()( بطوريكه −>> xfTxf TT را در نظر +=
:بگيريد و سپس
T با تناوب fT(x)حال براي ادامه بحث و معرفي انتگرالهاي فوريه از يك تابع تناوبي به نام
.شروع مي آنيم آه ميتواند بشكل زير بسط داده شود
∑∞
=
++=1
0 )2sin2cos()(n
nnT xTnbx
Tnaaxf ππ
بقيه جاها
xT exfxf −== )(lim)(
پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------
20
ا يك تغيير متغير محاسبات را قدري آسانتر مي آنيم يعني بTnWnπ2
ز را اbn و an حال اگر =
نشان دهيم v قرار دهيم و متغير انتگرال گيري را نيز به الروابط درسهاي قبلي در عبارت با
:سري باال بشكل زير نوشته ميشود
∫ ∑ ∫∫−
∞
=−− ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ++
=
2
2 1
2
2
2
2sin)(sincos)(cos2)(1
)(T
Tn
T
T nTn
T
T nTnT
T
dWfxWdWfxWT
dfT
xf
νννννννν
TTn
TnWW nn
πππ 22)1(21 =−
+=−+
پسT
WWW nnπ2
1 =−=∆ + πW
T∆
=⇒2
:به اين ترتيب مي توان سري فوريه را بصورت زير نوشت
∫ ∫∫∑− −−
∞
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ∆+∆+
=
2
2
2
2
2
21sin)()sin(cos)()(cos1)(1
)(T
T
T
T nTnnnT
T
Tnn
T
T
dwfwxwdwfwxwdfT
xf
ννννννπ
νν
را به سمت بي Tحال . خيلي بزرگ ولي محدود صحيح استلو وT هر مقدارعبارت اخير براي
ها انتگرال x حاصل روي محور f(x)ع غير تناوبي نهايت ميل مي دهيم و فرض مي آنيم آه تاب
:پذير باشد يعني
dxxf) وجود داشته باشد( )(∫∞
∞−)(lim)( و xfxf TT ∞→=
01 به سمت بي نهايت خواهيم داشت Tبه اين ترتيب با ميل آردن →
T همچنين
02→=∆
TW π
يعني جمله اي آه با fT(x)پس به اين ترتيب جمله اول تابع T1
د به سمت نشو شروع مي
:صفر ميل مي آند و بقيه جمالت به انتگرالهاي از صفر تا بي نهايت تبديل شدند يعني
dwdwfwxdCoswfWxxf ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ += ∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞νννννν
πsin)(sin)(cos1)(
0
: را بشكل زير تعريف مي آنيمB(w) و A(w)حال
ννν
ννν
dwfwB
dwfwA
sin)()(
cos)()(
∫∫∞
∞−
∞
∞−
=
=
:پس
[ ]dwwxwBwxwAxf sin)(cos)(1)(0
+= ∫∞
π
. است آه بشكل انتگرال فوريه نوشته شده استf(x)عبارت باال نمايش
پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------
21
:مثال
تك پالس، انتگرال سينوسي) 1
نمايش انتگرال فوريه تابع ⎩⎨⎧
><
=11101111
)(xifxif
xfرا بدست آوريد .
dww
wwxxf
dwwB
ww
wwudwdwfwA
sincos2)(
0sin)(
sin2sincoscos)()(
0
1
1
1
1
1
1
∫
∫
∫∫
∞
−
−−
∞
∞−
=
==
====
π
νν
ννννν
تعريف شده است شامل نقاط f(x)يم آه بازه اي آه در آن با آمي دقت متوجه ميشو
x=1 و x=-1قضيه اي وجود دارد آه . نيست به عبارت ديگر تابع در نقاط مزبور پيوسته نيست
منفصل است مقدار تابع در آن نقاط عبارت است از متوسط حد f(x)مي گويد در نقاطي آه
.چپ و حد راست آن تابع در آن نقطه
:ز اين قضيه استفاده مي آنيم پسما نيز ا
2 عبارت است از x=1 در f(x)متوسط حد چپ و حد راست 1
201=
+
پس
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>=
<≤
=∫∞
1014
102sincos0
xwhenxwhen
xwhen
dww
wwx π
π
. مي گويند(Dirichlet s discontinous factor)انتگرال باال را عامل غير پيوسته در يچلت
: با اهميت ويژه مي پردازيم به عنوان نقطه ايx=0حال به بررسي نقطه
: است داريمx=0وقتي
2sin
0π=∫
∞dw
ww
.مالحظه ميشود آه انتگرال باال حد انتگرالي است آه به آن انتگرال سينوس مي گويند
:انتگرال سينوس به شكل زير نوشته مي شود
dww
wtSisin)(
7
0∫=
2 سمت و انتگرال باال بهt→∞با πميل خواهد آرد .
در بحث سري فوريه جمع جمالت سري تقريبي از تابع تناوبي بود آه سري اش را مي
بدست مي آيند آه حد باالي مانیجا نيز تقريبهاي انتگرال فوريه زدر اين. خواستيم بنويسيم
. دهيم قرارa عدد ∞انتگرال گيري را بجاي
پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------
22
dwبه اين ترتيب w
wwxa sincosdw انتگرال ∫0
wwwxxf sincos2)(
0∫∞
=π
. را تقريب مي زند
: را نشان ميدهدx=0شكل زير نوسانات حول نقطه
dwاين شكل ها مقدار انتگرال w
wwxa sincos . نشان ميدهندa=8,16,32 را براي ∫0
: و داريمB(w)=0 يك تابع زوج باشد آنگاه f(x)اگر
ννν dwfwA cos)(2)(0∫∞
=
f ( dwwxwAxfزوج ( cos)(1)(0∫∞
=π
و
: و داريمA(w)=0 يك تابع فرد باشد آنگاه f(x)اگر
ννν dwfwA sin)(2)(0∫∞
=
f ( dwwxwBxfفرد ( sin)(1)(0∫∞
=π
و
اي الپالسانتگراله : مثال بعدي
بشكل انتگرال فوريه در حقيقت ما به عبارتي مي f(x)بعضي اوقات با نمايش يك تابع مانند
.رسيم آه بعدا براي انتگرال هاي معمولي بسيار الزم هستند
:براي درك اين موضوع به مثال زير توجه آنيد)(0مي خواهيم انتگرال فوريه تابع >= − xwhenexf kxاين تابع زوج . م را بدست آوري
0,)()(است يعني xfxfk : زوج است پس داريمf(x) چون <−=
ννν dwewA k cos2)(0
−∞
∫=
:حاصل عبارت باال ميشودجز به جز با انتگرال گيري
)cossin(cos 22 νννν νν wwkwe
wkkdwe kk +
−+
−= −−∫
پنجم فصل ریاضيات مهندسی ----------------------- ---------------
23
22مقدار عبارت سمت راست برابر است با ) حد پائيني انتگرال (v=0وقتي wkk+−
و وقتي
∞=ν) مقدار عبارت سمت راست صفر ميشود پس) حد باالي انتگرال:
22
2)(wk
kwA+
=
:و به اين ترتيب
00cos2)( 220 >
>
+== ∫
∞−
kx
dwwkwxkexf kx
π
kxexfبهمين ترتيب چنانچه : بوده و فرد باشد داريم)(=−
dwwkwxwexf kx
220
sin2)(+
== ∫∞−
π
گرچه براي . در قرار گرفته اند به انتگرالهاي الپالس موسومندکادر داخل انتگرالهايي آه
بدست آوردن آنها از انتگرال فوريه استفاده شد ولي عبارتي بدست آمد آه براي محاسبه
.انتگرالهاي پيچيده بسيار مفيد هستند
:تمرينات
: از نمايش انتگرال فوريه استفاده آرده و نشان دهيد)1
a) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
=<
=++
−
∞
∫002
00
1sincos20
xifexifxif
dww
xwwwx
xπ
π
b) ⎪⎩
⎪⎨⎧
><<=
−∫∞
ππππ
xifxifdwxw
ww
002sincos1
0
c)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>=
<≤
=∫∞
1014
102cossin0
xifxif
xif
dww
xww π
π