Le Système BinaireI. IntroductionII. Les bases à connaitreIII. Conversions

1. Décimal vers binaire2. Binaire vers décimal

IV. Les opérations en binaire 1. L'addition des nombres binaires2. La soustraction des nombres binaires3. La multiplication des nombres binaires

V. Bibliographie

Piat Elodie Gavin Rémi

2nde 1

I. Introduction

Le système binaire est très ancien qui connaît son apogée avec

l’apparition de l’électronique et de l'informatique.

Vers 1930 Claude Shannon démontre qu'il est possible

d’effectuer des opérations de logique en associant le chiffre 1

pour vrai et le chiffre 0 pour faux : c'est la base du système binaire. Ce système est utilisé

dans les systèmes informatiques.

II. Les bases à connaître

La base que nous utilisons actuellement est le décimal : 10 chiffres (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ), la valeur la plus haute est 9 et quand on veut plus grand que 9 on ajoute un rang en mettant les unités à 0.

Pour le binaire on utilise que deux chiffres 0 et 1. En binaire, les « rangs » sont appelés « bit ».

Par exemple arrivé a 29 le rang des unités est plein. On ajoute une dizaine et on met les unités à 0, on obtient 30.

Exemple le nombre 10011 comporte 5 bits.

III. Conversions1. Décimal vers binaire

Méthode :

1. On a notre nombre en décimal.

2. On le décompose en valeurs de puissances de 2

3. Si certaines puissances manquent, on les rajoute en mettant 0 devant.

4. On lit les coefficients devant les puissances de 2, ce sera notre nombre en binaire !

5. Par commodité, d'écriture, on regroupe les chiffres par 4.

Méthode 1: les puissances de 2.

26= 16 + 8 + 226= 1×16 + 1×8 + 1×226= 1×24 + 1×23 + 1×21 (on écrit les coefficients sous forme de puissances de 2)26= 1×24 + 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 (on ajoute les puissances de 2 qui manquent)26= 1×24 + 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 (voyez les puissances de 2 qui sont toutes là)26= 1×24 + 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 (en orange : notre nombre en binaire !)

On écrit : (26) dec = (11 010) bin

Exemple: Le nombre 26

On obtient la décomposition suivante : 26 = 16 + 8 + 2. Il suffit ensuite de remplacer ces nombres par les puissances :

Méthode 2: les divisions euclidiennes par 2.

Voilà comment on fait :1. On a notre nombre en décimal.

2. On le divise par 2 et on note le reste de la division (c'est soit un 1 soit un 0).

3. On refait la même chose avec le quotient précédent, et on met de nouveau le reste de coté.

4. On continu la division, et ce jusqu'à ce que le quotient soit égale à 0.

5. Le nombre en binaire apparaît de bas en haut.

On voit apparaître notre nombre binaire en rouge : Il faut le lire de bas en haut. Ce qui donne 1010 0100.

Exemple: Le nombre 164

164 ÷ 2 = 82 + 082 ÷ 2 = 41 + 041 ÷ 2 = 20 + 120 ÷ 2 = 10 + 010 ÷ 2 = 5 + 05 ÷ 2 = 2 + 12 ÷ 2 = 1 + 01 ÷ 2 = 0 + 1

2. Binaire vers décimal

Méthode :

Prenons le nombre : 101 0110.

On voit qu'il s'étale sur 7 rangs, et on sait que chaque rang correspond à une puissance de 2 : le premier (en partant de la droite) est le rang 0, le second est le rang 1, etc.

Pour le convertir en décimal, on procède de la manière suivante : on multiplie par 20 la valeur du rang 0, par 21 la valeur du rang 1, par 22 la valeur du rang 2, […], par 210 la valeur du rang 10,etc.

Exemple: Le nombre 1010110

Pour le nombre 101 0110, on a donc 0×20 + 1×21 + 1×22 + 0×23 + 1×24 + 0×25 + 1×26.

Ensuite, il suffit simplement de remplacer les puissances de 2 par leurs valeurs et de faire la somme : 0×1 + 1×2 + 1×4 + 0×8 + 1×16 + 0×32 + 1×64 = 86.

Donc : (101 0110) bin = (86) déc.

IV. Les opérations en binaire

1. L'addition des nombres binaires

Méthode :

L'addition des nombres binaires s'effectue de la même façon qu'en décimal.

0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 0 retenue (1)

Exemples:

1 0001 0011+ 0000 0010 0001 0101

1 1 0010 0001+ 0010 0001 0100 0010

2. La soustraction des nombres binaires

Méthode :

La soustraction en binaire se fait de la même manière qu'une addition.0-0=00-1=1 (mais il faut faire une retenue) comme quand en décimale on fait 5-7=8 en faite on fait 15-7=8 et on met une retenue1-0=11-1=0

En partant de la droite :0-1=1+ emprunt à gauche1-(0+1)=01-1=01-0=11-0=1

01101- 00101

01000

Exemples:

11110- 00101

11001

3. La multiplication des nombres binaires

Méthode :

La multiplication en binaire est la même chose qu'en décimal : un nombre multiplié par 0 est égal à 0.

On a donc :0*0=00*1=01*0=01*1=1

13*6=78Exemple:

1101X 0110 0000 1101 . 1101 . . 0000 . . . 1001110

IV. Bibliographie

http://lehollandaisvolant.net/tuto/bin.php http://isn-terminale-s.fr/binaire http://mapage.noos.fr/fholvoet/leibniz.htm http://www.elektronique.fr/cours/code/introduction-binaire.php http://jj.boissin.free.fr/ExpoBinaires.htm http://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_binaire

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