İkili Ağaçlarİkili Arama Ağaçları

Ağaçlar

Bağlantılı listedeki erişim zamanı lineerdir. Çoğu işlemlerin (operasyon) (arama, ekleme,

silme) çalışma zamanını daha aza indiren

(O(log N) gibi) başka bir veri yapısı var mıdır?

Ağaçlar

Ağaç düğümlerin koleksiyonudur. Koleksiyon boş olabilir Eğer boş değilse, ağaç birbirlerinden faklı r kök

düğümünü ve sıfır veya birden fazla boş olmayan T1, T2, ...., Tk altağaçlarını içerir, herbiri r’ den gelen bir yönlendirilmiş kenar ile köke bağlıdır.

Bazı tanımlar

Çocuk ve ebeveyn Kök hariç her düğümün bir ebeveyni vardır. Bir düğümün çocuk sayısı değişebilir.

Yapraklar Çocuğu olmayan düğümlere denir.

Kardeş Ebeveyni aynı olan düğümlerdir.

Bazı Tanımlar Patika – yol - Path Uzunluk - Length

Bir yoldaki kenar sayısı

Bir düğümün derinliği Kökten düğüme olan tekil yolun uzunluğu Bir ağacın derinliği en derinde bulunan yaprağın derinliğine

eşittir.

Bir düğümün yüksekliği Düğümden bir yaprağa olan en uzun yola denir. Bütün yapraklar yükseklik 0 ‘ da bulunur Bir ağacın yüksekliği kökün yüksekliğine eğittir.

Ata (veya dede) ve torun

Örnek UNIX dizini

İkili Ağaçlar Bu ağaçta hiçbir düğümün ikiden fazla çocuğu olamaz

Ortalama bir ikili ağacın derinliği N ‘den küçüktür, en kötü durumda bile derinlik N-1 olabilir.

Örnek:ifade ağaçları

Yapraklar terim (sabit veya değişken) Diğer düğümler işlem Bazı işlemler binary değilse ikili ağaçta gösterilemeyebilir.

Ağaç Gezme (Tree Traversal)

Bir ağaçtaki verileri belli bir düzende yazmak için kullanılır.

Önce-kök Gezme (Pre-order traversal) Kökteki veriyi yaz Sol altağaçtaki verileri iteratif olarak yaz Sağ altağaçtaki verileri iteratif olarak yaz

Öncekök, sonrakök, ve içkökPreorder, Postorder and Inorder

Öncekök gezme düğüm, sol, sağ önek ifadesi

++a*bc*+*defg

Öncekök, sonrakök, ve içkök

Sonrakök gezme Sol, sağ, düğüm Sonek ifadesi

abc*+de*f+g*+

İçkök yazma Sol, düğüm, sağ İçek ifadesi

a+b*c+d*e+f*g

Öncekök

sonrakök

Öncekök, sonrakök, ve içkök

İkili Ağaçlar İkili ağaç SVY üzerindeki muhtemel işlemler

parent - ebeveyn left_child, right_child - sol_çocuk, sağ_çocuk Sibling - kardeş root, etc - kök

Gerçekleştirmesi İkili ağaçta en fazla iki çocuk olduğu için, bunlar için pointer

kullanabiliriz.

Karşılaştırma: Genel bir ağaç gerçekleştirilmesi

İkili Arama Ağacı Anahtarları düğümler içinde depolar; böylece arama,

ekleme ve silme etkili bir şekilde yapılabilir.

İkili arama ağaç özelliği Herbir X düğümü için, solundaki altağaçtaki (subtree)

anahtarlar X düğümünde bulunan değerden daha küçüktür, ve sağındaki ağaçtaki anahtarlar X düğümünde bulunan değerden daha büyüktür.

İkili Arama Ağaçları

Bir ikili arama ağacı İkili arama ağacı değil

İkili Arama Ağaçları

Bir düğümün ortalama derinliği O(log N); maksimum derinliği ise O(N)

Ayni elemanları gösteren iki ikili arama ağacı

Gerçekleştirme

İAA Arama

Eğer 15’i arıyorsak arama işlemi biter. Eğer aranan anahtar < 15 ise, sol altağaçta

aramaya devam edilir. Eğer aranan anahtar > 15 ise, sağ altağaçta

aramaya devam edilir.

Arama (Bul - Find) Find X: X anahtarını bulunduran düğümün pointer ini dönder

veya eğer böyle bir düğüm yok ise NULL dönder.

Zaman Karmaşıklığı O(ağaç yüksekliği)

İAA’ında içkök gezme

Bütün anahtarları sıralanmış bir şekilde getirir.

içkök: 2, 3, 4, 6, 7, 9, 13, 15, 17, 18, 20

findMin/ findMax Ağaçtaki en küçük elemanı içeren düğümü dönderir. Kökten başla ve sol çocuk var olduğu sürece sola git.

Durma noktasındaki eleman en küçük elemandır.

findMax için de mantık benzer şekildedir. Zaman karmaşıklığı = O(ağaç yüksekliği)

Ekle - insert Ağaçta ilgili yere find komutunda olduğu gibi git Eğer X varsa, bir şey yapma (veya bir şey güncelle) Diğer durumda, X i gezilen yoldaki en son noktaya ekle.

Zaman Karmaşıklığı = O(ağaç yüksekliği)

Sil - delete

Bir düğüm silindiği zaman, silinen düğümün çocuklarına nasıl yerleştireceğimizi düşünmemiş gerekir. Bu işlem arama ağacı (search tree) özelliğinin

korunması için gereklidir.

sil

Üç durum vardır:

(1) düğüm yaprak ise sil

(2) düğümün tek çocuğu varsa Ebeveynden bir çocuğa bir pointer ata

sil(3) düğümün 2 çocuğu varsa

Silinen düğüm anahtarını sağ altağaçtaki minimum elemanla yer değiştir (replace the key of that node with the minimum element at the right subtree )

Minimum elemanı sil Daha sonra ya hiç çocuk kalmamıştır yada bir çocuk vardır. Bu

durumda durum 1 ve 2 uygulanır..

Zaman karmaşıklığı = O(ağaç yüksekliği)