10-24

10-22

10-20

10-18

10-16

10-14

10-12

10-10

0.1 1 10 100 1000 104

frequency (Hz)

Termico PendoloTermico SpecchioShot Noise

Il rumore termicoIl rumore termicoIl rumore termico è il nome dato a tutte quelle fluttuazioni presenti su un osservabile fisico di un sistema macroscopico che si trovi all’equilibrio termico con l’ambiente circostante.Esso è presente in tutti gli apparati sperimentali e può fare parte dei limiti intrinseci alla loro sensibilità.

Antenna Risonante Explorer (termico dei modi normali)

Antenna Interferometrica Virgo

1

Il rumore termico• Introduzione storica:

– Le prime osservazioni di Robert Brown;– Interpretazione Einsteiniana del rumore browniano;

• L’equazione di Langevin

• Il teorema di Fluttuazione-Dissipazione

•Il rumore termico di un’oscillatore armonico

•Il rumore termico del pendolo

• I meccanismi principali di dissipazione e loro modellizzazione: effetto termoelastico, bulk superficiali etc…

• Il rumore termico negli interferometri e nelle antenne risonanti

2

La storia1828. Il botanico Robert Brown riferiva di avere osservato il moto caotico di varie specie di particelle abbastanza piccole da restare in sospensione nell'acqua. Egli escluse presto che fosse un fenomeno biologico, e successivamente esperimenti eseguiti in diversi laboratori chiarirono che i moti browniani aumentano se:

diminuiscono le dimensioni (a) della particelladiminuisce la densità () delle particelle in sospensionediminuisce la viscosità () del liquido ospite.aumenta la temperatura (T) del liquido ospite.

Oggi diciamo che Brown aveva osservato l'azione delle molecole d'acqua che urtano gli oggetti in sospensione per effetto dell'agitazione termica.

3

a raggio della particella immersa in una soluzione;

viscosità del solvente;

v velocità della particella

F Forza di Stokes

Legge di StokesF = (6 a) v

le leggi di van’t Hoff sulle soluzioni (come per i gas ideali):

P = RT/m

Fino ai primi anni del ‘900 si conosceva….

m massa molecolare delle particelle;

densità delle particelle in soluzione;

P pressione osmotica

R costante dei gas

4

Consideriamo una particella di massa m immersa in un fluido, all'equilibrio termodinamico, ad una temperatura T.

Essa è soggetta a. ad attrito viscoso F=-v, dove è il coefficiente di attrito

viscoso e v è la velocità della particellab. alla forza aleatoria risultante dagli urti con le molecole che

compongono il fluido:

1. Isotropa a media nulla: <f(t)>=02. Scorrelata: <fa(t)fa(t-t’)>=Fo

2 (t-t’)

3. Gaussiana

Equilibrio termico La forza per unità di volume è data da: F ( N/m) = d P/dx

Supponiamo che siano valide le leggi di van’t Hoff P = (n/V) RT = ( /m) RT d P/dx = (RT /m) d /dx F ( N/m) = (RT /m) d /dx

L’interpretazione di Einstein (1906)

(sul moto browniano delle particelle in sospensione (colloidi))

N numero di Avogadro

( /m) = (n/V) moli per unità di volume

N(n/V) = ( N/m) numero di particelle per unità

di volume

5

Equilibrio dinamicoLa forza di attrito viscoso è la forza di Stokes: Forza di Stokes: F =-6 a v = -v Abbiamo allora un flusso di particelle:

v ( N/m)= (F/) ( N/m) numero di particelle per unità di area e per unità di tempo Il flusso di particelle gradiente di

concentrazione diffusione nella direzione

opposta

(F/) ( N/m) = D (N/m) d /dx

def: D coefficiente di diffusione

Equilibrio termodinamicoequilibrio termico = equilibrio dinamico

D = R T/ ( N) = k T/

fluttuazione dissipazione

6Questo risultato è la base del meccanismo del moto browniano: una forza caotica o fluttuante è bilanciata da una ``forza sistematica'' come la resistenza viscosa del tipo di quella di Stokes (proporzionale alla velocità) attraverso un processo di diffusione.

L’equazione di diffusione

Tk

N

RTD

Dttr

eDt

tr

b

Dtr

==

=

= −

2)(

4

1),(

2

4/2r

7

Dal punto di vista macroscopico una particella soggetta al un moto browniano subisce, in un tempo infinitesimo δt, uno spostamento δr distribuito come una Gaussiana con media nulla e varianza 2Dt. Possiamo studiare come evolve la densita’ di probabilita’ di trovare la particella nella posizione r ad un tempo t.

Questo risultato è vero per ogni sistema macroscopico all'equilibrio termico con l'ambiente.In questo caso l'energia interna di tale sistema è condivisa tra tutti i suoi gradi di libertà o,equivalentemente, tra tutti i suoi modi normali di vibrazione, ciascuno con energia media kbT.

Il moto di sistemi oscillanti come molle, pendoli, all'equilibrio termico è sempre affetto dal rumore termico. Esso si manifesta con le fluttuazioni fluttuazioni casualicasuali dell'osservabile macroscopicodell'osservabile macroscopico che caratterizza il sistema, e ne limita quindi la sensibilità. 8

L’equazione di Langevin(sistema macroscopico all’equilibrio

termico, approccio statistico)

€

mdv

dt= −β v + F(t)

F(t) = 0 F(t)F(t + τ ) = F02δ(t)

Equazione del moto con termine di forza stocastica (rumore bianco)

All’equilibrio dinamico (equipartizione dell’energia ):

mTkFF

v b /22

20

202

==Forza stocastica dovuta alle fluttuazionitermiche

Legame tra le forze che dissipano l’energia del sistema (v) e la forza (stocastica) che eccita il sistema fuori dall’equilibrio. (equilibrio col bagno termico)

9

Tkvm b=2

L’intensità del rumore termicorumore termico di un sistema macroscopico è strettamente legata ai processi dissipativiprocessi dissipativi presenti in esso.

10

Il teorema fluttuazione-dissipazione

( ) )](HIm[Tk

X

)](ZRe[Tk)(F

bthem

btherm

ωω

ω

ωω

⋅=

⋅=

4

4

2

2

Nel dominio delle frequenze(*) possiamo sempre scrivere la risposta di un

sistema lineare ad una forza esterna F() come:( )

)()()()()(

ω

ωωωωω

Z

FvFHX ==

Il teorema fluttuazione-dissipazioneteorema fluttuazione-dissipazione può essere scritto come segue:

Dove H() è la funzione di trasferimento e Z() l’impedenza del sistema

dtetxX ti∫+∞

∞−

= )()((*)

L’energia delle fluttuazioni è distribuita al variare della frequenzaL’energia delle fluttuazioni è distribuita al variare della frequenza11

Il moto termico dell’oscillatore armonico

)(tFkxxxm =++ &&& β

o

o

mQ

m

k

=

=Frequenza di risonanza

Fattore di merito

)](Im[4

)(2

HTk

X btherm ⋅=

)()()()(2 FXkXiX =++−

Applichiamo il teorema Fluttuazione-Dissipazione

12

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

==

mim

F

XH

o

βωωω

ω

ωω

)(

1

)(

)()(

22

[ ]Hzm2

Hz13

20

22 01

o

bbthermtherm m

Tk)](HRe[Tkd)(Xx

=⋅=>=< ∫

∞

Kramers-Kronig

( ) ( )( )2222

2

)(

4

Q

Q

m

TkX

oo

obtherm

ωωωω

ωω

ωω

+−⋅=

( ) ( ) Tkxm bthermo 2121 22 >=<ω

L’effetto delle dissipazioni sul rumore termico

dell’oscillatore armonico

ob

therm

oo

btherm

mm

Tk)(X

mm

Tk)(X

>>=

<<=

42

42

4

4

oo

btherm

mm

Tk)(X

≈= 22 4

CostCost

44

14

I meccanismi dissipativi strutturali

(dissipazioni interne del materiale)

∫∞−

−+=t

ds)s(x)st(kxm)t(F &&

termine di memoriatermine di memoria

))(i(k)(k Φ+= 1

Il termine dissipativo Φangolo di perditatiene conto di tutti i tipi di dissipazioni interne del materiale:

nello spazio delle frequenzenello spazio delle frequenze

( ) ( )( )22222

22 4

)()(

)(m

TkX

oo

obthem

ωωωω

ωωω

ωΦ+−

Φ⋅=

15

Dissipazioni strutturali: ΦΦ = = ΦΦ

1

Dissipazione Dissipazione viscosaviscosa

Dissipazione Dissipazione internainterna

Presenti in tutti i materiali 16

Misura delle dissipazioni La misura delle dissipazioni avviene misurando

il fattore di merito del sistema:

Δ

≡ omisQ

νΔ

o

viscm

Q =

strutstrutQ

φ1

=

>< )(X othermω2

21

Realizzare sistemi con alti valori di Qalti valori di Q, permette di concentrare gran parte dell’energia delle fluttuazioni intorno alla risonanzafluttuazioni intorno alla risonanza 17

strutomiso

strutvisco mQQ

φ

φ

+==+=Φ 2

11)(

Il rumore termico del Il rumore termico del pendolopendolo

Nel caso del pendolo le forze dissipative interne sono dovute soltanto alla piegatura dei fili.

ext

t

LFdsL

sxstmgxxmL =−++ ∫

∞−

)()(τ&&

Momento di richiamo dei filiMomento di richiamo dei fili

L

m( )

mL

Fi

m

k

L

g

L

g

m

k

rJL

YJkikk

exts

el

elp

felsel

=+++−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+=

=Λ

=+=

ϑωφϑθω

ω

πωφω

)(1

4;;))(1()(

2

2

42

x=LY Modulo di Youngrf raggio del filo tensione del filoFrequenza del pendolo (misurata)

18

( ) ( )22222

2

2

)(

)(4)(

ωφωωω

ωφω

ωω

selp

selbtherm m

TkX

+−=

Il rumore termico del Il rumore termico del pendolopendolo

voglio esprimere questa espressione con grandezze misurate:

( ) ( )22222

2

2

)(

)(4)(

ωφωωω

ωφω

ωω

ppp

ppbtherm m

TkX

+−=

)()( 22 φφ selpp = DQ ssel

ppp )()()( 11

2

21 φφ

φ −−− ===

YJ

mgL

YJ

mgLD 221 ≈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+≡

Fattore di diluizione

a parità di angolo di perdita il pendolo presentadelle perdite più basse rispetto a quello dato dalla sola elasticità del materiale

19

(=Mg/4):

Il rumore termico del Il rumore termico del pendolo di torsionependolo di torsione

Le forze dissipative interne sono dovute soltanto alla torsione dei fili.

ext

t

MdssstCI =−+ ∫∞−

)()( ϑϑ&&

Momento di richiamo dei filiMomento di richiamo dei fili

( )I

Mi

I

c

YG

L

JGc

I

c

icC

exts

el

elel

tors

sel

=++−

+==⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=

+=

ϑωφϑω

σω

ωφω

)(1

)1(2;

2;

))(1()(

2

2 Frequenza del pendolo di torsione

G: modulo di elasticita’ a torsioneL: lunghezza del pendoloI: momento d’inerzia della massa sospesa

20

( ) ( )22222

2

2

)(

)(4)(

ωφωωω

ωφω

ωω

storstors

storsbtherm I

Tk

+−=Θ

Il rumore termico del pendolo di Il rumore termico del pendolo di torsionetorsione

In questo caso non beneficiamo del fattore di diluizione presente nel caso del pendolo, quindi le perdite strutturali e quelle viscose contribuiscono allo stesso modo lo nel fattore di merito totale dei modi torsionali

21

22

10-24

10-22

10-20

10-18

10-16

10-14

10-12

10-10

0.1 1 10 100 1000 104

frequency (Hz)

Termico PendoloTermico SpecchioShot Noise

23

e

str

te

estrtes

φφ

φ

φφφφ

)(

)()( ++=

Dissipazioni termoelastiche te() sono quelle perdite legate alla dissipazione di calore per effetto del riscaldamento locale del sistema durante le oscillazioni.

Y modulo di Young del materiale coefficiente di dilatazione termicaτil tempo caratteristico della diffusione del calore nel materiale e dipendente dalla sua geometriaC è la capacità termica del materiale.

2

2

)(1)(

ττ

φ

+=

CTY

te

Punto di massima dissipazione

E’ importante scegliere un materialecon questo punto fuori della banda rivelazione

24

Dissipazioni superficialiSono le dissipazioni dovute alle frizioni tra superfici di contatto

surftot

surfe W

W φφ =

Wsurf è la parte di energia elastica immagazinata sulla superficie

Wtot è l’energia elastica totale

w

wsbw

tot

surf

V

Sh

W

W μ=

Nel caso delle sospensioni di Virgo:

μw fattore geometricohsb spessore della zona di frizioneSw =2 rw Lw superficie laterale del filoVw = rw

2 Lw volume del filo

25

Dissipativa

Non Dissipativa

Dissipazioni superficialiSono le dissipazioni dovute alle frizioni tra superfici di contatto

surftot

surfe W

W φφ =

Wsurf è la parte di energia elastica immagazinata sulla superficie

Wtot è l’energia elastica totale

w

wsbw

tot

surf

V

Sh

W

W μ=

Nel caso delle sospensioni di Virgo:

μw fattore geometricohsb spessore della zona di frizioneSw =2 rw Lw superficie laterale del filoVw = rw

2 Lw volume del filo

26

Dissipativa

Non Dissipativa

Rumore termico degli specchi

27

• Equipartizione dell’energia:• Il rumore termico si distribuisce tra tutti i modimeccanici degli specchi;• Sono importanti tutti quei modi che si accoppianocon il modo ottico dell’interferometro;

( ) ( )( )

coatstri

i22

iii

i2

i2i

222ii

i2ib2

therm

EXM21

;M

1M

Tk4X

φφφ

ω

φωωω

φωω

+=

=

+−= ∑

Massa equivalente del modo i

Le dissipazioni dei coating sono molto importanti

Modi degli specchi

Simulation MeasuredModes splitting NI: (3917.2 ± 0.5) Hz(NI/WI) 3912.6 Hz-3916.7 Hz WI: (3916.0 ± 0.5) Hz

Modes splitting NE: (3883.0 ± 0.5) Hz(NE/WE) 3882.4 Hz-3882.6 Hz WE: (3884.2 ± 0.5) Hz

The mode splitting is mainly due to the mirror lateral cuts and the lateral magnets and spacers. 28

Simulation MeasuredNI/WI: 5584.9 Hz NI: (5585.7 ± 0.5) Hz WI: (5583.5 ± 0.5) Hz

NE/WE: 5546.1 Hz NE: (5543.2 ± 0.5) Hz WE: (5545.6 ± 0.5) Hz

29

SimulationNorth/West Input7595.3 Hz-7602.6 Hz

North/West End7551 Hz-7558 Hz

These modes were not observed.

30

North Input: (3917.2 ± 0.2) Hz(5584.7 ± 0.2) Hz

North End: (3883.0 ± 0.2) Hz(5543.2 ± 0.2) Hz

31

North Input:

t3917 = (70.6 ± 0.4) st5584 = (37.8 ± 0.7) s

North End:

t3883 = (110 ± 3) st5543 = (16.2 ± 0.1) s

North Input:

Q3917 = (8.69 ± 0.05) 105

Q5584 = (6.6 ± 0.1) 105

North End:

Q3883 = (1.34 ± 0.09) 106

Q5543 = (2.82 ± 0.02) 105

32

Il rumore termico nella Il rumore termico nella curva di sensibilità curva di sensibilità

dell’interferometro Virgodell’interferometro Virgo

33

L

X

L

Lh totequiv

2

22)( ==

2222violmirrorpendtot XXXX ++=

I modi torsionali non sono presenti direttamente.Ma giocano un ruolo importante se nel controllo dell’interferometro.

Come abbassare il rumore termico in

un’antenna interferometricaAbbassare le dissipazioni (Virgo Advanced)

Pendoli sospensioni monolitiche (silice fusa)

termoelastico ridotto

dissipazioni superficiali ridotte

Specchi coating meno dissipativi substrati meno dissipativi

34

Abbassare la temperatura (Virgo criogenico)

Criogenia

35

10-24

10-23

10-22

10-21

10-20

10-19

1 10 100 1000

cryoadv

Hz

Rumore nelle antenne risonanti

36

≡

ν ν

Modi normali

yx νν =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=

⋅=

−

−−−

+

+++ m

i)(mm

i)(m)(H

)](HIm[Tk

)(X btherm

βωωω

βωωω

ω

ωω

ω

2222

2

11

4

37

38