4 Integral funkcije kompleksne promjenjive

Ako su x (t) i y (t) realne funkcje neprekidne za a ≤ t ≤ b, tada je sa

z (t) = x (t) + iy (t) , t ∈ [a, b]

definisana neprekidna kriva u kompleksnoj ravni koja spaja tacke z (a) = A iz (b) = B. Ako je a 6= b, a z (a) = z (b) kriva se naziva zatvorena.Kriva koja samu sebe ne sijece naziva se prosta kriva.Ako su x (t) i y (t) neprekidno diferencijabilne funkcije za a ≤ t ≤ b kriva se

naziva glatka kriva. Ako je L glatka kriva, tada je sa

z0 (t) = x0 (t) + iy0 (t)

dat pravac tangente na krivu L u tacki z (t) = x (t) + iy (t) .Kriva koja se sastoji iz konacno mnogo glatkih dijelova naziva se dio po dio

glatka kriva.Svaku prostu dio po dio glatku zatvorenu krivu nazivamo kontura.

Slika.

Pretpostavimo da je f (z) definisana u svim tackama dio po dio glatke kriveL sa krajevima A i B.

Neka je kriva AB tackama z1, . . . , zn−1 podijeljena na n dijelova i z0 = A izn = B. Na luku \zk−1zk izaberimo tacku z∗k i formiramo integralnu sumu:

Sn =nX

k=1

f (z∗k)4zk, gdje je 4zk = zk − zk−1.

Definicija. Ako postoji granicna vrijednost sume Sn kada n → ∞ imax |4zk|→ 0, koja je nezavisna od nacina podjele krive L i izbora tacaka z∗k,onda se ta granicna vrijednost naziva integral funkcije f (z) duz krive L iobiljezava Z

L

f (z) dz iliZdAB

f (z) dz

32

Neka je f (z) = u (x, y) + iv (x, y) , zk = xk + iyk, z∗k = x∗k + iy∗k, 4xk =

xk − xk−1, 4yk = yk − yk−1 tada je

Sn =nX

k=1

(u (x∗k, y∗k) + iv (x∗k, y

∗k)) (4xk + i4yk) =

=nX

k=1

(u (x∗k, y∗k)4xk − v (x∗k, y

∗k)4yk) +

+ inX

k=1

(v (x∗k, y∗k)4xk + u (x∗k, y

∗k)4yk)

Prelaskom na granicnu vrijednost kada max |4zk| → 0, tj. max |4xk| → 0 imax |4yk|→ 0, dobijamoZ

L

f (z) dz =

ZL

udx− vdy + i

ZL

vdx+ udy (7)

Ako je L prosta kriva zadata parametarski sa z = z (t) , a ≤ t ≤ b tada jeZL

f (z) dz =

bZa

f (z (t)) z0 (t) dt (8)

Formule (7) i (8) koriste se za racunanje integrala funkcije kompleksne prom-jenjive.

Iz definicije integrala slijede osobine:ZL

(f (z)± g (z)) dz =

ZL

f (z) dz ±ZL

f (z) dz

ZL

a f (z) dz = a

ZL

f (z) dz

ZdAB

f (z) dz = −Z

dBAf (z) dz

¯¯ZL

f (z) dz

¯¯ ≤ Z

L

|f (z)| dz

ZL1

f (z) dz +

ZL2

f (z) dz =

ZL1+L2

f (z) dz

Vrijedi formula za smjenu promjenjivihZL

f (z) dz =

ZG

f (g (ξ)) g0 (ξ) dξ ,

33

gdje je z = g (ξ) analiticka funkcija koja uspostavlja uzajamno jednaznacnukorespodenciju izme†u krivih L i G.

Primjer 1. NaciRL

zdz ako je L : z (t) = t2 + it, 0 ≤ t ≤ 2.

I nacin:ZL

zdz =

2Z0

³t2 + it

´(2t+ i) dt =

2Z0

¡t2 − it

¢(2t+ i) dt =

=

2Z0

¡2t3 + t

¢dt− i

2Z0

t2dt = 10− 8i3

II nacin: Kako je z = x− iy, to je u = x, v = −y, pa prema (7) jeZL

zdz =

ZL

xdx+ ydy + i

ZL

− ydx+ xdy

Iz parametarske jednadzbe krive L je x = t2, y = t, dx = 2tdt, dy = dt.

ZL

zdz =

2Z0

¡t2 · 2t+ t

¢dt+ i

2Z0

¡−t · 2t+ t2

¢dt = 10− 8i

3

Primjer 2. IzracunatiRC+

dzz−z0 , gdje je C

+ kruznica |z − z0| = R koja se

obilazi u pozitivnom smjeru.Kruznica C u parametarskom obliku: z (ϕ) = z0 +R eiϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 2π pa je

prema (8) : ZC+

dz

z − z0=

2πZ0

R i eiϕ

R eiϕdϕ = i ϕ

2π

|0= 2πi .

Definicija. Nesvojstveni integral I reda funkcije kompleksne promjenjivef (z) po beskonacnoj krivoj C naziva se konvergentnim ako postoji granicnavrijednost niza integrala In =

RCn

f (z) dz (n = 1, 2, ...) , pri cemu su Cn dijelovi

od C takvi da je limn→∞

Cn = C, i pri tome granicna vrijednoct niza (In) ne zavisi

od izbora niza (Cn) . Ako samo pri odre†enom izboru niza (Cn) postoji granicnavrijednost niza (In) tada se nesvojstveni integral naziva konvergentnim u smisluglavne vrijednosti.

Teorema (Cauchy-Goursatova integralna teorema). Ako je f (z) reg-ularna funkcija u jednostruko povezanoj oblast G, tada jeZ

Γ

f (z) dz = 0 ,

34

gdje je Γ proizvoljna zatvorena kontura koja lezi u oblasti G.

Dokaz. Neka je Γ proizvoljna zatvorena kontura koja lezi u G. Tada zaregularnu funkciju f (z) = u (x, y) + iv (x, y) vrijediZ

Γ

f (z) dz =

ZΓ

udx− vdy + i

ZΓ

vdx+ udy ,

gdje je u = u (x, y) i v = v (x, y) . Kako je, po pretpostavci, f (z) regularna (izregularnosti funkcije slijedi neprekidnost te funkcije i neprekidnost njenog prvogizvoda) u jednostruko povezanoj oblasti G, ona je regularna i na Γ i u intΓ, paprimjenjujuci formulu Green-a imamo:ZΓ

udx− vdy =RR

D=intΓ

µ−∂v∂x− ∂u

∂y

¶dxdy =

RRD=intΓ

µ−∂v∂x+

∂v

∂x

¶dxdy = 0 ,

ZΓ

vdx+ udy =RR

D=intΓ

µ∂u

∂x− ∂v

∂y

¶dxdy =

RRD=intΓ

µ∂u

∂x− ∂u

∂x

¶dxdy = 0 ,

jer parcijalni izvodi funkcija u (x, y) i v (x, y) zadovoljavaju Cauchy-Riemannoveuvjete.

Dakle,ZΓ

f (z) dz = 0 , što je i trebalo dokazati.

Definicija. Ako je f (z) regularna funkcija u oblasti G i ako je F (z) drugaregularna funkcija u G za koju vrijedi F 0 (z) = f (z) , tada se F (z) nazivaprimitivna funkcija funkcije f (z) .

Na osnovu definicije vrijedi

(F (z) + c)0 = f (z) , (c− proizvoljna konstanta) ,

što znaci da je F (z) + c tako†e primitivna funkcija funkcije f (z) .

Posljedica Cauchy-Goursatove teoreme. Neka su ispunjeni uvjeti Cauchy-Goursatove teoreme i neka su z1 i z2 dvije proizvoljne tacke iz G. Tada jeZ

L

f (z) dz = F (z2)− F (z1) ,

gdje je L proizvoljna linija koja spaja tacke z1 i z2, tj. posmatrani integral nezavisi od puta integriranja.

Granica oblasti G sastoji se jedne (kod jednostruko povezanih oblasti) ili višekontura (kod višestruko povezanih oblasti). Reci cemo da se granica Γ oblastiG obilazi u pozitivnom smjeru, ako pri tome oblast G ostaje slijeva.

35

Primijetimo da pri pozitivnom obilasku granice višestruko povezane oblastispoljna kontura se obilazi u pozitivnom smjeru, a unutrašnje konture u nega-tivnom smjeru.

Teorema (Cauchyeva teorema za višestruko povezane oblasti). Nekaje G višestruko povezana oblast ogranicena spolja konturom C0, a iznutra kon-turama C1, C2, . . . , Cn. Neka je f (z) regularna na G i na C0, C1, . . . , Cn. Tadaje Z

C

f (z) dz = 0 , gdje je C = C0 + C + · · ·+ Cn.

Dokaz. Neka su Γ1,Γ2, . . . ,Γn krive koje spajaju konture C1, . . . , Cn savanjskom konturom C0. Oblast G je sada ogranicena konturom C sastavljenomod krivih C0, C1, . . . , Cn,Γ1,Γ2, . . . ,Γn pri cemu se svaka od krivih Γi obilazidva puta (iduci od C0 do Ci i vracajuci se od Ci do C0) pa je jednostrukopovezana. Zato je Z

C+

f (z) dz = 0 .

Kako se integrali duz krivih Γ1,Γ2, . . . ,Γn uzimaju dva puta u suprotnom sm-jeru, oni se potiru i imamo da jeZ

C+

f (z) dz =

ZC+0

f (z) dz +

ZC−1

f (z) dz + · · ·+ZC−n

f (z) dz = 0.

Posljedica. Pod uvjetima Cauchyeve integralne teoreme za višestruko povezaneoblasti vrijedi Z

C+0

f (z) dz =

ZC+1

f (z) dz + · · ·+ZC+n

f (z) dz,

tj. integral funkcije f (z) po vanjskoj granici višestruko povezane oblasti jednakje zbiru integrala te funkcije po unutrašnjim granicama.Primjer 1.

IzracunatiZL

2z − 2 + i

(z − 2) (z + i)dz , gdje je L kruznica |z| = 3.

Funkcija f (z) = 2z−2+i(z−2)(z+i) je analiticka u cijeloj kompleksnoj ravni izuzev u

tackama z = 2 i z = −i. Oko tacaka z = 2 i z = −i opisacemo kruznice C1 i C2proizvoljno malog poluprecnika r, pa je funkcija f (z) sada analiticka u trostrukopovezanoj oblasti ogranicenoj svana konturom L, a iznutra konturama C1 i C2.

C1 : |z − 2| = r, z = 2 + reit, dz = rieitdt, 0 ≤ t ≤ 2πC2 : |z + i| = r, z = −i+ reit, dz = rieitdt, 0 ≤ t ≤ 2π

36

f (z) =2z − 2 + i

(z − 2) (z + i)=

z − 2 + z + i

(z − 2) (z + i)=

1

z + i+

1

z − 2

I =

ZL

f (z) dz =

ZC1

1

z + idz

| {z }=0

+

ZC1

1

z − 2dz +ZC2

1

z + idz +

ZC2

1

z − 2dz| {z }=0

Na osnovu Cauchy-Goursatove teoreme za jednostruko povezane oblasti integraliZC1

1

z + idz = 0,

ZC2

1

z − 2dz = 0.

I =

ZL

f (z) dz =

ZC1

1

z − 2dz +ZC2

1

z + idz =

2πZ0

rieitdt

reit+

2πZ0

rieitdt

reit= 4iπ

Primjer 2.

IzracunatiZC

dz

z2 + 9, ako je C : |z − 2i| = 3 .

f (z) = 1z2+9 =

1(z−3i)(z+3i) =

A+iBz−3i +

C+iDz+3i

1 = (A+ iB) (z + 3i) + (C + iD) (z − 3i)1 = Az + iBz + 3Ai− 3B + Cz + iDz − 3Ci+ 3D

uz z : 0 = A+ Cuz iz : 0 = B +Duz z0 : 1 = −3B + 3Duz iz0 : 0 = 3A− 3C

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭ =⇒

A = 0C = 0B = −16D = 1

6

Dakle, funkcija f (z) = −i6

1z−3i +

i6

1z+3i nije analiticka u tackama z = 3i i

z = −3i. Tacka z = 3i ∈ intC, dok tacka z = −3i /∈ intC. Zato cemo oko tackez = 3i opisati kruznicu C1 : |z + 3i| = r, proizvoljno malog poluprecnika r.

C1 : |z + 3i| = r ⇒ z − 3i = reiϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, dz = rieiϕdϕSada se funkcija f (z) posmatra u dvostruko povezanoj oblasti ogranicenoj

svana konturom C, a iznutra konturom C1, pa prema Cauchyevoj teoremi zavišestruko povezane oblasti je

I =

ZC

dz

z2 + 9=−i6

ZC1

dz

z − 3i +i

6

ZC1

dz

z + 3i=−i6

2πZ0

r i eiϕ

r eiϕdϕ =

−i62πi =

π

3.

37

Zadaci za vjezbu.

Izracunati:1)

RC

dzz(z2−1) , ako je C : |z + 1| = 1

2 [rez. πi]

2)R

|z−a|=a

dzz4−1 , a > 1 [rez. πi/2]

3) 12πi

RC

zezdz(z−a)3 , ako a lezi unutar C. [rez. ea (1 + a/2)]

4) 12πi

RC

ezdzz2+a2 , ako C sadrzi unutar sebe krug |z| ≤ a.

£rez. sin aa

¤

4.1 Cauchyeva osnovna integralna formula

Teorema. Neka je f (z) regularna na zatvorenoj dio po dio glatkoj krivoj Γ,kao i u oblasti G = intΓ. Tada je

f (z0) =1

2πi

ZΓ

f (z)

z − z0dz , gdje z0 ∈ intΓ. (9)

Dokaz. Posmatrajmo funkciju ϕ (z) = f(z)z−z0 u dvostruko povezanoj oblasti

G0 koja se dobije kada iz G izdvojimo oblast |z − z0| < ρ. Granicu oblasti G0

cine Γ−vanjska kontura i Cρ−unutrašnja kontura, gdje je Cρ : |z − z0| = ρ.Prema Cauchyevoj integralnoj teoremi za višestruko povezane oblasti jeZ

Γ+

f (ξ)

ξ − z0dξ =

ZC+ρ

f (ξ)

ξ − z0dξ .

Mnozeci ovu jednakost sa 12πi dobijamo:

1

2πi

ZΓ+

f (ξ)

ξ − z0dξ =

1

2πi

ZC+ρ

f (ξ)

ξ − z0dξ (10)

S druge strane, ako jednakostZC+ρ

1

ξ − z0dξ = 2πi, (primjer 2.,str.31) pomnozimo

sa f (z0) dobijamo

f (z0) =1

2πi

ZC+ρ

f (z0)

ξ − z0dξ (11)

Formiramo razliku (11) i (10) :

1

2πi

ZΓ+

f (ξ)

ξ − z0dξ − f (z0) =

1

2πi

ZC+ρ

f (ξ)− f (z0)

ξ − z0dξ.

38

Iz posljednje jednakosti imamo¯¯ 12πi

ZΓ+

f (ξ)

ξ − z0dξ − f (z0)

¯¯ ≤ 1

2π

ZC+ρ

|f (ξ)− f (z0)||ξ − z0|

dξ (12)

Kako je po pretpostavci f (z) regularna uG, to je ona neprekidna uG pa i u tackiz0 ∈ G. Slijedi da za ∀ε > 0 ∃δ = δ (ε) > 0 takav da je |f (ξ)− f (z0)| < ε/2cim je |ξ − z0| < δ.Tacka ξ ∈ intCρ kada je δ < ρ, pa imamo:¯

¯ 12πiZΓ+

f (ξ)

ξ − z0dξ − f (z0)

¯¯ ≤ ε

2

1

2πρ2πρ =

ε

2< ε .

Kako se εmoze izabrati po volji malo, zakljucujemo da je jendnakost (9) tacna.♦

Na†imo sada izvod funkcije

f (a) =1

2πi

ZΓ

f (z)

z − adz .

Kako je

f (a+ h)− f (a)

h=

1

2πi

ZΓ

1

h

∙1

z − (a+ h)− 1

z − a

¸f (z) dz =

=1

2πi

ZΓ

1

(z − a− h) (z − a)f (z) dz ,

1

(z − a)2 =

z − a− h

(z − a)2(z − a− h)

=1

(z − a) (z − a− h)− h

(z − a)2(z − a− h)

dobija se

f (a+ h)− f (a)

h=

1

2πi

ZΓ

f (z)

(z − a)2 dz +

h

2πi

ZΓ

f (z)

(z − a)2(z − a− h)

dz

Na osnovu Cauchyeve integralne teoreme za višestruko povezane oblasti je

h

2πi

ZΓ

f (z)

(z − a)2 (z − a− h)dz =

h

2πi

ZC

f (z)

(z − a)2 (z − a− h)dz ,

39

gdje je C : |z − a| = ε kruznica proizvoljno malog poluprecnika ε opisana okotacke a. Izabravši h tako malo da je a+ h unutar C i |h| < ε/2 imamo:

|z − a− h| ≥ |z − a|− |h| > ε− ε/2 = ε/2 .

Kako je f (z) analiticka funkcija, postoji pozitivan broj M takav da je|f (z)| < M, pa je sada¯¯ h

2πi

ZC

f (z)

(z − a)2 (z − a− h)dz

¯¯ ≤ |h|2π M

ε/2 · ε2 2πε =2 |h|Mε2

→ 0, kada h→ 0

Dakle,

f 0 (a) =1

2πi

ZΓ

f (z)

(z − a)2 dz .

Na potpuno isti nacin nalaze se i izvodi višeg reda, pa vrijedi

Teorema. Neka je f (z) regularna funkcija na zatvorenoj dio po dio glatkojkrivoj Γ, kao i u oblasti G = intΓ. Ako z0 ∈ G, tada je

f (n) (z0) =n!

2πi

ZΓ

f (z)

(z − z0)n+1 dz .

Posljedica. U proizvoljnoj tacki z ∈ G u kojoj je funkcija f (z) regularna,vrijedi nejednakost: ¯

f (n) (z)¯≤ n!M (ρ)

ρn, (n = 1, 2, ...) (13)

gdje je ρ radijus proizvoljne kruznice Cρ sa centrom u tacki z, a koja cijela leziu oblasti regularnosti G i M = max

z∈Cρ|f (z)| .

Nejednakost (13) poznata je pod nazivom Cauchyeva nejednakost.

Teorema. (Morerova) Ako je f (z) neprekidna u jednostruko povezanojoblasti G i ako za svaku zatvorenu putanju Γ oblasti G vrijediZ

Γ

f (z) dz = 0 ,

tada je f (z) regularna u oblasti G.

40