Introduccin a la Mecnica de Fluidos Computacional - 2015 Trabajo Prctico 3: Diferencias finitas - Estabilidad

1) Implementar los esquemas FTCS y FOU para la ecuacin de conveccin

0f fUt x

+ =

, con valores iniciales ( ,0) (2 ) 1f x sen x= + y condiciones de borde

peridicas. Ejemplificar mediante grficos de f(x) para sucesivos t, el crecimiento de error y lmite de estabilidad.

2) Considere el siguiente esquema de Euler hacia atrs para aproximar la ecuacin

diferencial de difusin 2

2

f fDt x

=

( )1 1 1 11 12. 2n n n n ni i i i i

t Df f f f fh

+ + + + +

= + +

a) Es un esquema implcito o explcito? De qu orden es? b) Determinar la estabilidad de este esquema a travs del mtodo de Von Neumann. c) Analizar la estabilidad del esquema de Euler hacia adelante para la misma ecuacin. 3) Implemente ambos esquemas en un programa para x entre 0 y 1 discretizado en 10

puntos, D = 1, condiciones iniciales f = 0 para todos los x, y condiciones de borde f = 2 en x = 0 y f = 0 en x = 1. Pruebe con distintos intervalos de tiempo y verifique la dependencia de la solucin con dx (refinando la malla), con dt (achicando el paso temporal), y la estabilidad de la misma en cada esquema.

4) Considere el esquema Dufort-Frankel para la ecuacin de difusin:

( )1 1 1 11 12.2n n n n n ni i i i i i

t Df f f f f fh

+ + +

= + +

El esquema utiliza una derivada centrada en el tiempo y una centrada en el espacio,

salvo que reemplaza 2 nif

por 1 11 ( )

2n n

i if f+ +

. Determinar el orden de error del esquema reemplazando las aproximaciones por la serie de Taylor exacta.

5) Analice el siguiente esquema de DF: ( )1 1 1 1 11 ( ) 02 2n n n n n

i i i i iU tf f f f f U

h+

+ +

= + >

a) Escriba la ecuacin con los desarrollos de Taylor correspondientes b) A qu ecuacin aproxima el esquema? De qu orden es la aproximacin? c) Analizar la estabilidad del esquema con el mtodo de Von Neumann.