IMPLEMENTASI ALGORITMA PENCARIAN K JALUR …digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-30192-5108100075-Presentation.pdfIMPLEMENTASI ALGORITMA PENCARIAN . K. JALUR SEDERHANA TERPENDEK DALAM

IMPLEMENTASI ALGORITMA PENCARIAN K JALUR SEDERHANA TERPENDEK

DALAM GRAF

(Kata kunci: Algoritma deviasi, algoritma Dijkstra, jalur sederhana, jalur terpendek)

PRESENTASI TUGAS AKHIR – KI091391

Penyusun Tugas Akhir : Anggakara Hendra Nandana

(NRP: 5108.100.075)

Dosen Pembimbing : Yudhi Purwananto, S.Kom., M.Kom.

Rully Soelaiman, S.Kom., M.Kom.

10 Juli 2013 Tugas Akhir - KI091391 1


KERANGKA PRESENTASI

Ilustrasi Permasalahan

Latar Belakang

Batasan Masalah

Tujuan

Pendahuluan

Rangkaian Proses

Uji Coba

Kesimpulan

ILUSTRASI PERMASALAHAN

3 10 Juli 2013 Tugas Akhir - KI091391

Problem dari situs Sphere Online Judge (SPOJ) berjudul “Kth Shortest Path” (http://www.spoj.com/problems/MKTHPATH/)

http://www.spoj.com/problems/MKTHPATH/

DESKRIPSI SOAL SPOJ “Kth Shortest Path”


1. Seseorang bernama Isaac merasa bosan karena setiap hari melalui jalur yang sama untuk melakukan perjalanan dari rumah menuju kantor.

2. Jalur yang diambil Isaac selalu merupakan jalur terpendek, yaitu jalur dengan biaya terkecil, dan selalu merupakan jalur sederhana.

3. Biaya pada sebuah jalur merupakan total waktu yang dibutuhkan untuk melewati jalan-jalan yang menghubungkan dua buah tempat yang menyusun jalur tersebut.

4. Waktu yang dibutuhkan untuk melewati sebuah jalan bisa bernilai sama atau berbeda dengan jalan-jalan yang lain.

5. Pada hari-hari berikutnya, Isaac ingin melewati jalur terpendek yang belum pernah dilewatinya.

6. Dengan kata lain, pada hari ke-k, Isaac ingin melewati jalur terpendek ke-k.

7. Permasalahan Isaac dapat dimodelkan menjadi graf dengan masing-masing verteks merepresentasikan tempat dan masing-masing edge merepresentasikan jalan.

BATASAN SOAL SPOJ “Kth Shortest Path”


1. Jumlah verteks maksimum 50 buah, jumlah edge maksimum 2450 buah, dan banyak jalur yang dicari (k) maksimum 200 buah.

2. Jalur yang dicari harus merupakan jalur sederhana, yaitu jalur yang tidak memiliki pengulangan verteks penyusun.

3. Jika terdapat dua kandidat jalur terpendek dengan bobot yang sama, maka jalur yang dipilih adalah jalur yang lebih dahulu memiliki verteks penyusun dengan nomor yang lebih kecil. (Contoh: Jika memiliki bobot yang sama, maka jalur 1-2-3-4 muncul lebih dahulu daripada jalur 1-3-4.)

FORMAT DATA MASUKAN


• Data masukan merupakan sebuah berkas teks yang hanya berisi bilangan bulat

• Masing-masing bilangan bulat merepresentasikan detail graf dengan format seperti pada Gambar 1 n m k a b

x1 y1 z1 x2 y2 z2 … xm ym zm

jumlah verteks jumlah edge jumlah jalur yang dicari

verteks sumber jalur verteks tujuan jalur

detail edge-edge

Gambar 1

FORMAT DATA MASUKAN


n m k a b x1 y1 z1 x2 y2 z2 … xm ym zm

verteks sumber verteks tujuan bobot edge

• Data masukan merupakan sebuah berkas teks yang hanya berisi bilangan bulat

• Masing-masing bilangan bulat merepresentasikan detail graf dengan format seperti pada Gambar 1

Gambar 1

CONTOH DATA MASUKAN


4 6 2 1 4 2 3 1 1 3 2 1 2 1 1 4 3 2 4 2 3 4 1

1 2

4 3

1 2

1

3

2

1

1

4

Data Masukan Gambar Graf

FORMAT DATA KELUARAN


• Data keluaran merupakan sebuah berkas teks yang hanya berisi bilangan bulat.

• Masing-masing bilangan bulat merepresentasikan verteks-verteks penyusun jalur yang ditemukan

• Urutan penulisan verteks-verteks penyusun jalur dimulai dari verteks sumber hingga verteks tujuan.

• Pada tiap dua buah verteks dipisahkan sebuah tanda hubung (-). a-v2-…-vl-1-b

verteks sumber jalur verteks tujuan jalur

CONTOH DATA KELUARAN


1-2-4

4 6 2 1 4 2 3 1 1 3 2 1 2 1 1 4 3 2 4 2 3 4 1

Data Masukan

2

3

1

2

1

3

2

1

1

4

Gambar Graf Data Keluaran


ALGORITMA NAIF (1)

2

3

1

2

1

3

2

1

1

4

• Daftar kemungkinan jalur dari vertex 1 ke vertex 4: 1 : 1-2-3-4, bobot = 3 2 : 1-2-4, bobot = 3 3 : 1-3-4, bobot = 3 4 : 1-4, bobot = 3

• Pada k jalur terpendek pertama, masing-masing verteks dapat menjadi verteks penyusun jalur sebanyak maksimal k kali.

• Vertex sumber dan verteks tujuan jalur selalu muncul pada setiap k jalur terpendek.

• Pencarian jalur dapat dilakukan dengan mencari seluruh kemungkinan jalur yang menuju verteks tujuan, hingga ditemukan jalur yang berasal dari verteks sumber sebanyak k kali.


ALGORITMA NAIF (2)

2

3

1

2

1

3

2

1

1

4

Daftar urutan jalur yang menuju ke verteks 4 : 1: 4 (bobot = 0) 2: 3-4 (bobot = 1) 3: 2-3-4 (bobot = 2) 4: 2-4 (bobot = 2) 5: 1-2-3-4 (bobot = 3) 6: 1-2-4 (bobot = 3) 7: 1-3-4 (bobot = 3)


HASIL ALGORITMA NAIF

Kesimpulan: Algoritma naif kurang efisien untuk menyelesaikan permasalahan pencarian k jalur sederhana terpendek.

Hasil pengujian implementasi algoritma naif pada soal “Kth Shortest Path”

LATAR BELAKANG


1. Problem berjudul “Kth Shortest Path” pada situs SPOJ merupakan contoh permasalahan yang dapat ditemukan dalam kehidupan sehari-hari, sehingga dibutuhkan sebuah algoritma untuk menyelesaikan permasalahan tersebut.

2. Algoritma naif kurang efisien dalam hal kecepatan dan memori yang dibutuhkan, sehingga dibutuhkan algoritma lain yang lebih cepat dan lebih hemat memori

BATASAN MASALAH


1. Pustaka yang digunakan untuk membantu pengimplementasian algoritma merupakan C++ Standard Template Library (STL). Pustaka-pustaka tersebut antara lain: cstdio, iostream, algorithm, cstring, vector, queue, dan ctime.

2. Kebutuhan memori hasil implementasi mengacu pada hasil keluaran dari server situs SPOJ untuk problem “Kth Shortest Path”.

TUJUAN MASALAH


1. Untuk melakukan studi dan mengimplementasi algoritma pencarian k jalur sederhana terpendek dalam graf yang lebih optimal dibandingkan dengan algoritma naif dengan bantuan pustaka dari C++ Standard Template Library.

2. Untuk menguji kebenaran hasil implementasi algoritma pencarian k jalur sederhana terpendek dalam graf.

3. Untuk menguji dan membandingkan kecepatan algoritma naif dengan algoritma baru yang dijelaskan pada tugas akhir ini.


KERANGKA PRESENTASI

Pendahuluan

Rangkaian Proses

Uji Coba

Kesimpulan

Pencarian kandidat jalur terpendek pertama

Pengambilan jalur terpendek dari himpunan kandidat

jalur X

Penghapusan subjalur dan edge-edge dari graf

Pembentukan pohon jalur terpendek Tt

Pencarian kandidat-kandidat jalur terpendek berikutnya

Pengecekan jumlah jalur dan isi himpunan kandidat

jalur

1

2

3

4

5

6


RANGKAIAN PROSES: LANGKAH 1



jalur X





jalur

1 • Jalur terpendek pertama digunakan sebagai acuan

untuk menentukan kandidat-kandidat jalur terpendek berikutnya.

• Jalur terpendek pertama dicari menggunakan algoritma Dijkstra

2

3

1

2

1

3

2

1

1

4 Gambar 2





jalur X





jalur

1 • Jalur terpendek dari verteks 1 menuju verteks 4 pada

Gambar 2 adalah jalur 1-2-3-4

• Jalur terpendek yang didapat kemudian ditambahkan ke himpunan kandidat jalur X

• Inisialisasi verteks sumber sebagai verteks deviasi jalur

Gambar 2

2

3

1

2

1

3

2

1

1

4


ALGORITMA DEVIASI

• Jalur-jalur terpendek yang didapat dari sebuah graf dapat membentuk pohon jalur terpendek seperti pada Gambar 3

• Sebuah jalur pk selalu memiliki rangkaian vertex yang sama dengan jalur p1, …, pk-1 dari verteks sumber sampai verteks tertentu.

• Verteks tersebut merupakan letak jalur pk menyimpang dari himpunan jalur {p1, …, pk-1} dan disebut verteks deviasi. Verteks deviasi pada jalur p dinotasikan sebagai d(p)

Gambar 3

2

1

4

3 3 5

5 5

p1

p2 p3

• d(p1) = 1 • d(p2) = 1 • d(p3) = 2





jalur X





jalur

2

• Himpunan kandidat jalur X berisi kandidat-kandidat jalur terpendek

• Jalur yang diambil adalah jalur dengan bobot minimum dari semua anggota X, dan dinotasikan sebagai jalur p.

• Panjang jalur p dinotasikan sebagai l, dan urutan verteks penyusunnya dinotasikan sebagai v1, v2, …, vl.

• Banyaknya jalur yang telah diambil dari X menunjukkan banyaknya jalur yang telah ditemukan

2 1 1 1

4

Contoh jalur terpendek dari X

(bobot = 3)

v1 v2 vl /v4

3

v3

1





jalur X





jalur

2

• Agar proses pemilihan jalur terpendek dapat lebih efisien, maka diperlukan struktur data yang tepat.

• Pada program, implementasi himpunan kandidat jalur menggunakan struktur data priority_queue yang mengaplikasikan struktur heap biner.

2 1 1 1

4

Contoh jalur terpendek dari X

(bobot = 3)

v1 v2 vl /v4

3

v3

1





jalur X





jalur

3

• Bertujuan agar jalur yang sudah ditemukan tidak dapat menjadi kandidat jalur terpendek berikutnya.

• Subjalur yang dihapus dimulai dari verteks sumber hingga verteks ke-(l -1) pada jalur p dan dinotasikan dengan subp(s, vl -1 )

• Hapus semua edge yang berasal dari verteks deviasi jalur-jalur yang ditemukan sebelum jalur p.

jalur p

2

3

1

2

1

3

2

1

1

4

1 2 3 4





jalur X





jalur

4

• Pohon jalur terpendek Tt adalah struktur pohon dari graf yang berakar pada verteks t, yaitu verteks tujuan jalur.

• Jarak antara sebuah verteks dengan verteks akar pada

pohon merupakan jarak minimum kedua verteks pada graf.

2

3

1

2

1

3

2

1

1

4





jalur X





jalur

4

• Pada proses algoritma, pohon jalur terpendek dibentuk dari graf setelah dilakukan penghapusan verteks dan edge pada graf

4





jalur X





jalur

5

Pengembalian verteks vi ke dalam graf

Penghitungan jarak antara vi dengan t

Penambahan kandidat jalur ke dalam X

Pengembalian edge (vi, vi+1) pada graf

5.1

Perbaikan struktur pohon Tt

5.2

5.3

5.4

5.5

diulang untuk setiap vi ∈ {vl -1, …, d(p) }


RANGKAIAN PROSES: LANGKAH 5.1

Pencarian kandidat-kandidat jalur terpendek berikutnya 5





5.1


3 1

4

2

2

1 2 3 4

vi

1

2

1

3

1








5.2


Dilakukan penghitungan kembali jarak antara vi dengan t, yaitu dengan memperbaiki struktur pohon Tt

3 1

4

2

2

1 2 3 4

vi








5.3


• Jika jalur dari verteks vi ke verteks t dapat ditetapkan, maka dilakukan penambahan kandidat jalur baru.

• Kandidat jalur merupakan gabungan dari subp(s, vi) dengan jalur dari vi menuju t pada struktur pohon Tt.

• Kandidat jalur terpendek yang dapat terbentuk adalah jalur 1-2-4

3 1

4

2 2

1 2 3 4

vi

subp(s, vi)








5.4


1 2 3 4

vi vi+1

3 1

4

2

2 1

2

1

3

1








5.5 Perbaikan struktur pohon Tt

3 1

4

2

2 1

1 2 3 4

vi

3 1

4

2

2

Tt sebelum diperbaiki

Tt setelah diperbaiki





jalur X





jalur 6

• Rangkaian proses algoritma berhenti jika salah satu dari dua kondisi berikut tercapai:

1. jumlah jalur yang diambil dari X sudah sama dengan k

2. Himpunan jalur X merupakan himpunan kosong


KERANGKA PRESENTASI

Uji Kebenaran

Uji Kecepatan

Uji Perbandingan Algoritma

Pendahuluan

Rangkaian Proses

Uji Coba

Kesimpulan


UJI KEBENARAN

5 8 4 1 5 1 2 1 1 4 3 1 3 1 2 4 2 3 4 2 2 5 3 4 5 1 3 5 2

1-3-4-5

Data Masukan Data Keluaran Program

2

1 4

3

3

2

1

2

2

1

3

1

5

1

2 3

4 4 5 5

5 5

1 1

2 3 2 2

1 1 p1

p2

p3

p4 k = 4


UJI KECEPATAN (1)

• Waktu minimal = 2,73 detik • Waktu maksimal = 2,83 detik • Rata-rata waktu yang dibutuhkan adalah 2,76 detik dengan standar deviasi sebesar 0,3


UJI KECEPATAN (2)

k Judul Graf

Waktu (detik)

100

A 0.024 B 0.035 C 0.588 D 94.856

500

A 0.115 B 0.161 C 3.030 D 448.342

1000

A 0.227 B 0.328 C 6.165 D 888.671

5000

A 1.114 B 1.562 C 32.113 D 4486.230

Judul Graf Jumlah Verteks Jumlah Edge

Graf A 51 1.183 Graf B 50 2.450 Graf C 730 5.762 Graf D 6.551 47.322

Kompleksitas algoritma: Ο (kn (m + n log (n))


UJI PERBANDINGAN ALGORITMA

k Judul Graf

Algoritma TA

Algoritma Naif

100 A 0.016 0.296 B 0.035 0.561

500 A 0.093 1.294 B 0.161 3.104

1000 A 0.187 2.62 B 0.328 6.24

5000 A 0.974 14.461 B 1.562 30.576

Judul Graf Jumlah Verteks Jumlah Edge

Graf A 51 1.183 Graf B 50 2.450 Graf C 730 5.762 Graf D 6.551 47.322


KERANGKA PRESENTASI

Kesimpulan

Saran

Pendahuluan

Rangkaian Proses

Uji Coba

Penutup


Kesimpulan

1. Hasil implementasi algoritma pencarian jalur sederhana terpendek yang dijelaskan pada tugas akhir ini dapat menghasilkan keluaran yang benar.

2. Kompleksitas waktu eksekusi program adalah Ο (kn (m + n log (n)) pada n buah edge, m buah verteks, dan k jalur yang dicari pada graf.

3. Algoritma pada tugas akhir ini lebih efisien daripada algoritma naif yang telah ditemukan sebelumnya.


Saran

Pengembangan dengan melakukan studi mengenai struktur heap Fibonacci beserta implementasinya pada program untuk mempercepat pemrosesan kandidat jalur.



KERANGKA PRESENTASI

Struktur Pohon Jalur Terpendek

Struktur Percabangan Jalur

Struktur Pohon Tt

Pendahuluan

Metode

Uji Coba

Kesimpulan

Rangkaian Proses


POHON JALUR TERPENDEK



Struktur Pohon Tt

Rangkaian Proses

2

1 3

4

0

2

0

2

0

0

3

1

5

Daftar tiga jalur terpendek dari verteks 1 ke verteks 5: P1: 1-2-5 P2: 1-4-3-5 P3: 1-2-3-5


POHON JALUR TERPENDEK


Struktur Pohon Tt

Rangkaian Proses

2

1 3

4

0

2

0

2

0

0

3

1

5

1

4 2

5 3 3

5 5

P1: 1-2-5 P2: 1-4-3-5 P3: 1-2-3-5

P1

P3 P2



PERCABANGAN JALUR


Struktur Pohon Tt

Rangkaian Proses

s a t Struktur Pohon Jalur Terpendek

Jalur ke-p :

Kandidat jalur-jalur ke-q (q > p):

s … t a

s a t …


STRUKTUR POHON Tt


Struktur Pohon Tt

Rangkaian Proses


2

1 3

4

0

2

0

2

0

0

3

1

5

Struktur Pohon Tt


STRUKTUR POHON Tt


Struktur Pohon Tt

Rangkaian Proses


2

3

4

2

0

2

0

5

Struktur Pohon Tt setelah dilakukan penghapusan edge-edge pada jalur 1-2-5

1 3

1


PSEUDOCODE (1)


PSEUDOCODE (2)


KODE SUMBER (1)


KODE SUMBER (2)

Documents

IMPLEMENTASI ALGORITMA PENCARIAN K JALUR …digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-30192-5108100075-Presentation.pdfIMPLEMENTASI ALGORITMA PENCARIAN . K. JALUR SEDERHANA TERPENDEK DALAM