Research Collection

Doctoral Thesis

Allgemeine Theorie der doppelt gespeisten Synchronmaschine

Author(s): ElMagrabi, Mohammed Galal

Publication Date: 1950

Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-000096210

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ETH Library

Allgemeine Theorie der doppelt

gespeisten Synchronmaschine

VON DER

EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE IN ZÜRICH

ZUR ERLANGUNG DER

WÜRDE EINES DOKTORS DER TECHNISCHEN WISSENSCHAFTEN

GENEHMIGTE

PROMOTIONSARBEIT

VORGELEGT VON

MOHAMMED G. EL-MAGRABI

aus Kairo (Aegypten)

Referent: Herr Prof. E. Dünner

Korreferent : Herr Prof. Dr. B. Bauer

ZÜRICH 1950 DISSERTATIONSDRUCKEREI LEEMANN AG.

Erscheint als Nr. 1 der Mitteilungen aus dem Institut

für Elektromaschinenbau an der Eidgenössischen Technischen Hochschule in Zürich

Herausgegeben von Prof. E. Dünner

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung 5

2. Allgemeine Analyse der Maschine 8

2.1. Entwicklung der Hauptgleichungen 8

2.2. Physikalische Bedeutungen der Hauptgleichungen 12

2.3. Die Durchflutungswellen und die Erzeugung des gemeinsamenFeldes 20

3. Die allgemeine Lösung der Hauptgleichungen 28

4. Die graphische Theorie 37

5. Die Lösung der Hauptgleichungen für die Fälle K = oo und K = 0 46

5.1. Die einseitige Rotormagnetisierung 46

5.2. Die einseitige Statormagnetisierung 52

6. Spezialfälle 53

Fall 1 : Parallel geschaltete unsymmetrische Maschine 53

Fall 2 : Serie geschaltete unsymmetrische Maschine 55

Fall 3 : Parallel geschaltete symmetrische Maschine 57

Fall 4 : Serie geschaltete symmetrische Maschine 58

7. Die Eigenschaften der allgemeinen doppelt gespeisten Synchron¬maschine 59

7.1. Definitionen 59

7.2. Eigenschaften der symmetrischen Maschine 60

7.3. Einfluß der Unsymmetrie 70

7.4. Eigenschaften der baulich unsymmetrischen Maschine.... 81

7.5. Eigenschaften der wesentlich unsymmetrischen Maschine. . 85

7.6. Die wesentliche Unsymmetrie als Mittel zur Vergrößerung der

Dauerleistung 97

8. Vergleich der Theorie mit Messungen an den Versuchsmaschinen 101

8.1. Die Maschinendaten und die Versuchsschaltungen 101

8.2. Die Betriebskurven 106

Zusammenfassung 115

Anhang 1 116

Anhang II 120

Literaturverzeichnis 123

Herrn Professor E. Dünner

bin ich für das wohlwollende Interesse, das er meiner

Arbeit entgegenbrachte, sowie für die wertvollen Rat¬

schläge und für die Unterstützung, die er mir bei ihrer

Ausführung zukommen heß, sehr zu Dank verpflichtet.

1. Einleitung

Die doppelt gespeiste Synchronmaschine besitzt einige besondere Eigen¬schaften und stellt ein interessantes Problem, vom theoretischen sowie experi-mentalen Standpunkte aus, dar. Mit der Bezeichnung doppelt gespeisteSynchronmaschine (D.S.M.) meinen wir eine Dreiphasenmaschine, deren

Rotor und Stator mit Strömen der gleichen Frequenz gespeist sind. Die

Arbeitsweise der Maschine kann man sich einfach vorstellen durch die fol¬

gende qualitative Betrachtung: Irgend ein Typ der elektrischen Maschinen

funktioniert durch die Anwesenheit zweier relativ ruhenden und immer in

Tritt bleibenden Durchflutungs- (M.M.K.) Wellen. Diese Bedingung ist not¬

wendig, wenn ein Energieaustausch zwischen den elektrischen Kanälen und

dem mechanischen Kanal stattfinden soll, andernfalls ist das mittlere Dreh¬

moment und daher die transferierte Leistung gleich Null. In Maschinen ohne

Gleichstromerregung kann die Energie — je nach Bedingungen — zwischen

einem und den andern zwei der drei Kanäle, nämlich dem mechanischen und

den zwei elektrischen Kanälen, welche die beiden Durchflutungswellen erzeu¬

gen, ausgetauscht werden. Im Fall der D.S.M. tragen Rotor sowie Stator

Drehströme der gleichen Frequenz. Die Wirkung der Statorströme auf den

Luftspaltfluß ist identisch mit jener einer Durchflutungswelle, die ungefähreine Sinusform von konstanter Amplitude besitzt und welche mit einer kon-

fin t

stanten Geschwindigkeit n = —^ U/Min. (f = Frequenz und P = Zahl der

Polpaare) in einer Richtung rotiert, die von der Phasenfolge der Ströme ab¬

hängig ist. Auf ähnliche Weise wird eine Durchflutungswelle durch die Rotor¬

ströme hervorgebracht, welche relativ zum Rotorkörper mit der gleichenGeschwindigkeit rotiert. Die Phasenfolge der Stator- und Rotorströme ist so

gewählt, daß die Rotordurchflutungswelle relativ zum Rotorkörper in einer

Richtung rotiert, die jener der Statordurchflutungswelle relativ zum Stator¬

körper entgegengesetzt ist. Wird nun der Rotor mit einer GeschwindigkeitIn U/Min. in der Richtung der Statordurchflutungswelle gedreht, so werden

die beiden Durchflutungswellen relativ in Ruhe sein und werden sich gegen¬

seitig in Tritt halten. In diesem Fall ist der Fluß von Energie zwischen dem

mechanischen und den beiden elektrischen Kanälen möglich. Sind einmal

die beiden Durchflutungswellen in Tritt gebracht worden, so wird die Maschine

— unter stabilen Bedingungen — mit der festen Geschwindigkeit 2 n rotieren,

5

unabhängig von den Bedingungen, die dem mechanischen System auferlegtwerden. Diese Bedingungen werden Größe und Richtung den Leistungs¬transfer zwischen der Maschine und dem elektrischen System bestimmen.

Die allgemeinen Eigenschaften der Maschine zeigen, daß sie eine Zwischen¬

stufe zwischen der Induktionsmaschine und der normalen Synchronmaschinebildet. In ihrer Grundlage gleicht sie den Induktionsmaschinen darin, daß

sie aus einem dreiphasigen Stator und einem dreiphasigen Rotor besteht,

sowie, daß das Hauptfeld der Maschine durch die Wechselströme (leistungs-liefernde Ströme) erregt wird, und daß keine äußerliche Gleichstromquelleerforderlich ist, um das Feld zu erregen und aufrecht zu erhalten. In ihrem

Benehmen ist die Maschine einer normalen Synchronmaschine ähnlicher, weil

sie mit fester Geschwindigkeit, die in einer festen Beziehung zur Frequenzsteht, läuft. Daraus folgt, daß eine Tendenz zum Pendeln existiert und eine

Synchronisierung mit dem Netz erforderlich ist.

In der bisherigen Literatur wurde die Maschine doppelt gespeisteInduktionsmaschine genannt. Eigentlich geht keinerlei Energieaustauschdurch Induktionsprozeß vor sich. Die Bezeichnung ist daher, streng genom¬

men, ungenau. Daher benützen wir den Namen doppelt gespeiste Syn¬chronmaschine.

Eine Einzelheit der Maschine, in welcher sie sich von allen Typen der

elektrischen Maschinen unterscheidet, ist die Tatsache, daß elektrische Lei¬

stung mit einer Frequenz geliefert und in mechanische Leistung verwandelt

wird — im Motorfall - im Rotor sowie im Stator, und wird im Generatorfall

in beiden mit derselben Frequenz erzeugt. Aus dieser Tatsache ergibt sich

eine gewisse Ersparnis an Material.

Die grundlegende Idee des D.S.-Motors stammt bereits aus dem Jahre

1899. Zu jener Zeit erwähnte Prof. Kloss die Idee in einem deutschen Patent1).Eine kurze Schrift erschien — unabhängig davon — zur selben Zeit von Herrn

H. Grob, welche die Arbeitsweise und Eigenschaften des D.S.-Motors behan¬

delte, aber weder eine experimentelle noch eine analytische Arbeit wurde er¬

wähnt. Die nächste Arbeit war von Herrn E. Ziehl (1905), welcher ein theore¬

tisches und experimentelles Studium der Maschine unternahm und zeigte auch

— zum ersten Mal — die Möglichkeit des Generatorbetriebes der Maschine. Die

erste detaillierte Analyse der Maschine wurde von Herrn J. Tscherdanzev im

Jahre 1926 veröffentUcht. Er benützte als Parameter den Phasenwinkel

zwischen der Klemmenspannung und der induzierten Spannung (welcher im

Fall der gewöhnlichen Synchronmaschine als ,,Leistungswinkel" bekannt ist)und erhielt die Gleichungen der Maschine als Funktion dieses Parameters.

Er behandelt nur den ganz einfachen Fall einer symmetrischen Maschine.

x) Siehe das Literaturverzeichnis am Ende.

6

In dem Studium von Herrn Dr. E. Messing über die allgemeinen doppelt

gespeisten Induktionsmaschinen behandelte er das Problem der symmetri¬

schen D.S.M., indem er als Parameter den Winkel zwischen den beiden Durch-

flutungswellen im Baum benützte.

In 1935 gab Prof. Kloss zusammen mit Herrn Dr. H. Steudel einen quali¬

tativen Artikel heraus, in welchem die Aktion der Maschine erklärt wird,

sowie eine Methode zur Beseitigung ihrer Tendenz zum Pendeln, wenn auf

starkem Netz arbeitend.

Alle bisher erwähnten Untersuchungen waren auf das Studium der Paral¬

lel- und der Reihenschaltung der „symmetrischen Maschinen" begrenzt, d.h.

mit gleicher Windungszahl und gleichen Konstanten bei Rotor und Stator,

eine Annahme, welche die günstigste Ausführung der Maschine nicht darstellt

und nie in der Praxis, sogar wenn beabsichtigt, vorkommen kann. Die ein¬

zigen zwei Analysen von unsymmetrischen Maschinen wurden von Herrn

T. Herschdorfer (1932) für Parallelschaltung und von Herrn Dr. M. Brailowsky

(1944) für Serieschaltung unternommen. Beide benützen den ziemlich tradi¬

tionellen Parameter viz. den Raumwinkel zwischen der Stator- und Rotor-

Durchflutungswelle. Die Berechnungen der Maschine nach ihren Resultaten

verlangt eine große Anstrengung. Überdies ist die Lösung der Parallelschal¬

tung (welche der schwierigere Fall ist), die von Herrn Herschdorfer gegeben

wurde, unvollständig, da darin gewisse Annäherungen zur Berechnung des

Kreisdiagrammes und Kippmomentes gemacht werden.

In dieser Arbeit untersuchen wir den ganz allgemeinen Fall des Doppel¬

speisung-Synchronbetriebes, wobei der Stator und der Rotor einer Maschine

unsymmetrische Konstanten und ungleiche Windungszahl besitzen und mit

Spannungen von verschiedener Größe und Phase gespeist sind. Beides, Motor-

und Generatorbetrieb, werden untersucht. Die Hauptgleichungen werden

zuerst entwickelt und die Erzeugung des gemeinsamen Feldes untersucht,

danach werden kombinierte Zeit- und Raumvektordiagramme gestaltet, die

einen klaren physikalischen Begriff des Verhaltens der Maschine in den ver¬

schiedensten Umständen ermöglichen. Die Hauptgleichungen werden voll¬

ständig analytisch gelöst, danach werden Ersatzstromkreise der Maschine

angegeben und die Impedanz- und Stromdiagramme konstruiert. Als Spezial¬

fälle der allgemeinen Theorie ergeben sich die für besondere Fälle der Parallel-

und Reihenschaltung von verschiedenen Verfassern entwickelten Lösungen.

Es werden auf Grund der erreichten analytischen Resultate die Eigenschaften

des allgemeinen Doppelspeisung-Synchronbetriebes erläutert und wie sie durch

die Unsymmetrie der Konstanten und der Spannungen beeinflußt und durch

ein geeignetes Ausmaß von Spannungsunsymmetrie verbessert werden. Schlie߬

lich werden die theoretischen Ergebnisse durch Versuche für verschiedene

Ausmaße von Unsymmetrie bestätigt.

7

2. Allgemeine Analyse der Maschine

(2.1.) Entwicklung der Hauptgleichungen

Einleitung: In jedem geschlossenen Stromkreis der Maschine wird das

folgende Gesetz bei jedem Zeitpunkt erfüllt:

- w = Ri + jt(Li + EMn in) (1)

worin:

u = Augenblickswert der Klemmenspannung, Volt.

i = Augenblickswert des im Kreise fließenden Stromes, Ampère.R = Gesamter Kreiswiderstand, Ohm.

L = Selbstinduktivität des Kreises, Henry.M1,M2,.. ,Mn = Gegeninduktivität zwischen dem Kreis und anderen Krei¬

sen, die mit dem betrachteten Kreis magnetisch gekoppeltwerden, Henry.

i±, i2, , in = Ströme, die in den andern magnetisch gekoppelten Kreisen

fließen.

In der Maschine befinden sich sechs elektrische Kreise, drei im Rotor

und drei im Stator. Die sechs Kreise sind magnetisch gekoppelt und jederbesitzt Widerstand und Selbstinduktivität. Die Gegeninduktivität zwischen

jeder Phase des Stators und jeder Phase des Rotors variiert gemäß der rela¬

tiven Lage beider Phasen. Sie erreicht ein Maximum, wenn die magnetischenAchsen beider Phasen zusammenfallen, während sie gleich Null wird, wenn

die zwei Achsen eine Verschiebung von-^ erhalten. Die Selbstinduktivität

einer Phase des Stators bzw. Rotors sowohl als die Gegeninduktivität zweier

Phasen im Stator bzw. Rotor sind eigentlich nicht absolute Konstanten,sondern ändern sich wegen der Änderung der Eisenpermeabilität und der

Schwankung der Reluktanz des magnetischen Kreises, welche von den Stator-und Rotornuten verursacht wird.

In den folgenden Rechnungen werden die Selbstinduktivitäten sowohl

als die Gegeninduktivitäten zwischen Rotorphasen bzw. Statorphasen alsKonstanten angenommen. Wir setzen auch voraus, daß die Gegeninduktions¬koeffizienten zwischen jeder Statorphase und jeder Rotorphase im Verhältnisdes Kosinus des Winkels zwischen beiden zugehörigen Achsen ändern. Die

Eisenverluste werden vorerst vernachlässigt.

Entwicklung der Gleichungen: Die Fig. 1 stellt den allgemeinenFall dar, in welchem die sechs Spannungen uSu, uSt, uSu, uTu, uTv und v,rti aufdie sechs Phasen der Maschine gelegt werden. Fig. 2 stellt die relativen Lagender magnetischen Achsen der sechs Phasen zu einem beliebigen Zeitpunkt t dar.

8

W IV,

Fig. 1

Die Anwendung der Gleichung (1) auf die sechs Phasen ergibt mit Hilfe

der Fig. 2 die folgenden Differentialgleichungen:

a r

-

««. = »V. Bs + j-t I *'«. Lss + (»«. + »J Mss + iru Mrs cos S

+ irwMrscos (s + ^) +\VMTScos (s + ^)l~

usv = *,, ^s + ji k, ^ss + (is„ + »O -M„ + »,„ ^re cos 8

— M, = t, it, + -7- »«. 4s + (»«. + »«,) ^SS + »,, -^rs COS 8

+ ir Mrscos

worin:

,(8+ C)+^if„cos(8 + ^)

-

«. = »V. -Bf- + JtI »r. A-r + (»V. + »,J -^rr + »'.„ &sr cOS 8

+ iÄMifgrcos (s + ^j +t'.,Jf„.cos (S + x)l-

wr„ = »„^+^

I *r, Ar+ (»V. + »VJ ^rr + *«,. ^Sr C°S 8

+ »"«, Jf«.COS (§ + ^) + »..^OOB (8 + ^) ]-

«*. = »V. ^r +^ I »r. Lrr + (*',. + *,.) ^rr + *'«. -^Sr COS S

uMsrcos (s + ^J + iSwifsrcos (8 + ^) 1

(2)

(3)

Bs, Rr = Widerstand einer Phase des Stators bzw. Rotors, Ohm.

Lss, £„. = Selbstinduktivität einer Phase des Stators bzw. Rotors, Henry.

Mm , M^ = Gegeninduktivität zwischen zwei Phasen des Stators bzw. Rotors,

Henry.

Mg^z Mrs = Das Maximum der Gegeninduktivität zwischen einer Statorphase

und einer Rotorphase, Henry.

u w

ZTC

Rotor

Drehrichtung

lit ZIX

des Rotors

U Stahor w

Fig. 2. Darstellung der Achsen der sechs Maschinenphasen

(Phasenfolge: U~ V- W für Stator und Rotor)

Die sechs simultanen Differentialgleichungen (2) und (3) beziehen sich

auf die Augenblickswerte der Spannungen, Ströme und Geschwindigkeit und

vertreten dabei die Maschine in allen verschiedenen Zuständen.

Es ist klar, daß der Winkel S den Wert

S = | u)r dt (4)

hat, worin:

wr = die elektrische Winkelgeschwindigkeit der Rotation zur Zeit t ist.

Für normalen Lauf im stationären Zustand als D.S.M. sollen alle Span¬

nungen und Ströme sinusförmig sein und dieselbe Frequenz haben. Sie können

dabei wie folgt ausgedrückt werden:

««„= Ussm(wt + ocs)

««. = Ussmia>t+ «S--^J

uTu = Ürain(cüt + xr)

Urv= Uramlcot + *r--^\

Jssm(œt+ \s)

iSr =JssmL>t+\s—~j

».„ = ./. sin ^cui + A,—yJiru = JrSinioot + X,.)

*r. =Jrsiniœt +\—~\

(5)

Unter diesen Umständen würde der Rotor mit konstanter Geschwindigkeit2 w laufen, und die Gleichung (4) kann wie folgt geschrieben werden:

8 = \2u>dt = 2w( + 80 (6)

worin: 80 = (8),=0, eine willkürliche Konstante ist.

Wenn wir nun die Beziehungen (5) und (6) in die Differentialgleichungen

10

(2) und (3) einsetzen und die trigonometrischen Funktionen entwickeln, so

erhalten wir die folgenden Gleichungen für den stationären Zustand.

-UBu = -Ugfan(ü>t+*a)

= [Rs+jw(Lss-Mss)]Jssm{œt + Xs) + jœJrMrs\cos(2u)t+ 80)am{wt+Xr)

+ cos I 2œt+80+— I sin I wi+Ar-~J

+ cosl2ü>« + 80 + -^l sinlwi +Ar—^1M r

= [Rs + ja>(Lss- M„)] Js sin (co t + Xs) + ju> Jr -f |^in (3 w t + S0 + Ar)

+ sin(-a>f-S0 + Ar)+ sin I 3wf + 30 + Ar--^J + sin(-wf-S0 + Ar)

+ sin|3w« + 80 +Ar—^1 + sin(-w«-80+Ar)

3 M= [Rs + jw(Lss-MJ]Jssm(œt+ Xs) + jœJr~j^sin(-a>t-80 + Xr)

Daraus folgt:

-Ussia(œt+ocs) = [Rs+ja)LSSA\ Jssin(oj«+As) -jœ JrMAsin(œt+80-Xr)

und ebenfalls:

-Ï7ssin la>t+<xs—^-\ =[Rs+jcüLSSA] Jssin iwt+Xs—~\ -jœJrMA sin L>t+80-Xr--^\

-Us8Ïa.lœt+<xs—~\ =[Bs+ja>LSSA\Jssmlwt+\s—^j -ja» JrMAshx twt+80-Xr—— 1

-Ursin(œt+ocr) = [Rr+jioL„à]Jrsm{œt+Xr) -jœJsMAsin(œt+80-Xs)

-Ursm.(œt+<xr—£\ =[Rr+jœL„A]Jrsinlœt+Xr-~\-jœJsMàsml(ot+80~Xs-^\

-Ursin (œt+<xr-~\ =[Rr+jœL„A]Jrsin i<ot+Xr-~\ -jwJsMAsin la>t+80-Xs—^\

worin:

LssA = (Lgg — Mgg) = Drehinduktivität einer Statorphase.

L„A = (in —M„) = Drehinduktivität einer Rotorphase.

MA = | MOT = | Mrs = Gegenseitige Drehinduktivität (zwischen Stator und

Rotor).

11

Wenn wir irgend zwei Gleichungen von (7) und irgend zwei Gleichungenvon (8) betrachten, können diese vier Gleichungen für die vier UnbekanntenJs> Jr> K und K gelöst werden. Da alle Komponenten in diesen Gleichungensich mit derselben Frequenz ändern, ist es vorteilhaft, sie zuerst exponentiel!auszudrücken. Wir setzen dafür die folgenden Ausdrücke:

Damit wandeln sich die Gleichungen (7) und (8) in die folgende Gestalt um.

Stator:

-U.e*»* = (B8+j<oL„A)S,e^ - jœMà^re^e^»-2K). ,

.In. , .2»

. , .2w

.,s „ i .

-Use e 3= {Rs+ja>LgSA)%8e e ^

- jcoMA$re e *e (10)

jorf -j-^. jW -j-^ . jarf -j~ 3(So-2Ar)-Use e 3

= (Bs+jwLSSA)$se e *-)a,Mà%re e 3e

Rotor:

- U,. e*"< =(Rr +ja>L„â)$r ei°* - jœMj %e*"<e>'<8°~2A«>. ,

.2ot.2w

. .2w

s .

-Ur «"V'T = (^+,-„2^)3: e^e-'T - j^M^f3^e^'^ (11)

-II, e*V'T « (^+,»ArJ)ae*-e"^ - /«^S/^e'^e*^Daraus folgen die Hauptgleichungen:

-U, = (JBs + ;a,iSSJ)^-^^a^'(8°-2A') (12)

-Ur = (Är + ?w2^)&-ja>Jfj3.e'»>-**.> (13)

Es ist klar, daß die Gleichung (12) jede Gleichung von (10) vertretenkann, und ebenfalls kann die Gleichung (13) jede Gleichung von (11) ver¬treten. Die Gleichungen (12) und (13) genügen deshalb mathematisch alsAusdruck der Maschine unter allen möglichen stabilen Betriebszuständen.

(2.2.) Physikalische Bedeutungen der Hauptgleichungen

Die Wirk- und die Blind-Komponente der Statorleistung pro Phase glei¬chen dem realen bzw. imaginären Teil des Produkts llsös*, worin Qs* denkonjugierten Vektor von 8S bedeutet. Wir erhalten hiermit für den Stator:

12

UA* = VL,J.e-i*- = - (R3 + jtoL88J)J/ +jtoMAJsJre^o-K-K)= -Rs J82 ~ i<»L8SA Jg* + jo>Mà Ja Jrcos (80 - Xs-\)

-ü>MAJsJrsm(80-\s-\r)

U,3.* = l-J.*R.-<oM/lJaJrBm(B0-*.-\)](14)

+ j [ ~ " L„A J* + to Mj Jg Jr cos (80 - As - A,)]

und ebenfalls für den Rotor:

Ur8r* = [-«/r2-Br-wi^j«/gJrsin(80-As-Ar)](15)

+ 7[-w£^Jr2+ wifdJsJrcos(80-As-Ar)]

Es folgt dadurch die Wirkleistung1) des Stators pro Phase:

J* Rs-ioMA Js Jr sin W Watt

(16)

PK s — Js2Zs

und des Rotors:

Pkr = - J/Rr

worin: y == 8o ~ K —

io MA JsJr sin W Watt

Ar (17)

Da die zwei Größen JS2RS und Jr2Rr den Stator- bzw. Rotor-Kupferver¬lusten gleich sind, so folgt aus den Gleichungen (16), daß die innere oder elek~

tromagnetische Leistung des Stators und diejenige des Rotors immer die gleiche

Größe und den gleichen Sinn haben, nämlich:

Pu = Pir = -œMà Js Jr sin V Watt/Phase.

Die innere Leistung der ganzen Maschine ist:

Pi = - 6 to MJ Js Jr sin ¥ Watt (18)

Ferner für gewisse Größen der Stator- und Rotorströme zeigt die Glei¬

chung (18), daß die innere Leistung der Maschine nur von der Größe des

Winkels W abhängig ist und nicht von den einzelnen Größen der drei Winkel

80, A8 und Ar

Für Motorfall: 0 <W <tt

und für Generatorfall: tt < W < 2n.

Wenn nun Ströme von bestimmten Größen in die Maschine fließen, ist es

immer möglich, die Statorströme gegen die Rotorströme zeitlich zu verschieben

oder allgemeiner: Ag und Xr können unendlich und unabhängig voneinander

variiert werden, ohne irgend einen Einfluß auf die Leistung, das Drehmoment

x) Die Leistung wird positiv angenommen, wenn sie zum Netz abgegeben wird (Gene¬

ratorfall).

13

und den Leistungsfaktor beider Seiten zu verursachen, sofern die Größe W =

So — K — K unverändert bleibt. Die folgende Untersuchung des Winkels W

zeigt, wie diese Bedingung erfüllt wird.

Die gegenseitige Induktivität zwischen der Phase U des Stators und der

Phase U des Rotors wurde durch

M„ cos S s Mg, cos (2<ot + 80)

ausgedrückt. 80 vertritt daher den Winkel (in elektrischen Graden), den der

Rotor beschreibt von dem Zeitpunkt an, da die magnetischen Achsen der

Phase U des Stators und der Phase U des Rotors untereinander liegen bis

zum Zeitpunkt t = 0. Da die gegenseitige Induktivität sich gemäß einer Kosi¬

nuskurve mit der doppelten Netzfrequenz ändert (Fig. 3), so ist der Winkel

(-J — Agi gleich der Hälfte des Winkels, den der Rotor beschreibt vom Zeit¬

punkt, da die magnetischen Achsen der zwei betreffenden Phasen zusammen¬

fallen, bis zum Zeitpunkt, da iSu gleich Null (im Ansteigen) wird. Ebenfalls

ist der Winkel (-- — AJ gleich der Hälfte des Winkels, den der Rotor durch¬

läuft vom Zeitpunkt, da die magnetischen Achsen der zwei betreffenden

Phasen zusammenfallen, bis zum Zeitpunkt, da ifii gleich Null (im Ansteigen)wird. Die Leistung der Maschine hängt nur von der Summe dieser zwei Winkel,nämlich dem Winkel W, ab. Die Gleichungen (12) und (13) schreiben sich

nach Gleichung (17) wie folgt:

-U. = (Rs + jo>LmA) J.e*. - jwMA Jre*>eW (19)

- Ur = (Br + jœ L„A) Jr e^ -ja>MA J8e*< <F? (20)

Wir nehmen nun an, daß die Maschine mit konstantem Drehmoment

läuft (und daher konstanter Leistung). Ändert man dann den Winkel <xr um

Axr, so wird die Gleichung (20) erfüllt nur, wenn A, sich gleichmäßig ändert,ohne Variation von Jr, Js und W. Dabei gilt auch die Gleichung (19). Ferner

wird das Produkt Ur. 8r* auch nicht geändert und die Blind- und Wirk¬

leistungen des Rotors und des Stators werden dadurch nicht beeinflußt.

Diese Zustände können in Praxis erreicht werden, wenn man die Stator¬

spannung festhält und die Phase der Rotorspannung ar ändert. Es tritt da¬

durch keine Wirkung auf, sofern die zwei Maschinenseiten einzeln betrachtet

werden, sondern eine gleiche Phasenverschiebung in die Rotorstromphase Ar,Es ist jedoch interessant zu betrachten, wie sich die Maschine an die

neuen Bedingungen anpaßt. Da As und W unverändert bleiben, zeigt die Glei¬

chung (17), daß 80 sich gleich wie A, ändert. Dabei ändern sich die zwei Winkel

(~2 -M unc* \~i ~M 'un(*zwar um + ~^r ^zw" —<? "

14

Es ist klar, nach der obigen Bedeutung dieser Winkel, daß diese zwei Ände¬

rungen nur bei einer momentanen Änderung der Rotorgeschwindigkeit statt¬

finden können. Dadurch werden die beiden magnetischen Achsen der Phasen

U des Rotors und Stators zu einem verschiedenen Zeitpunkt in bezug auf

die zyklische Änderung beider Ströme zusammenfallen. Aus der momentanen

Änderung der Rotorgeschwindigkeit ergibt sich eine Verschiebung der Rotor¬

lage bezogen auf einen synchron rotierenden Gegenstand. Diese Erscheinunggleicht jener, welche in normalen Synchronmaschinen auftritt, wenn der

Erregerstrom variiert wird. Diese Verschiebung der Rotorlage soll nach

obigem den Wert Accr in elektrischen Graden haben. Die Figur 3 zeigt die

Phasenbeziehungen unter derartigen Zuständen vor und nach der Phasen¬

verschiebung A <xr der Rotorspannung.

Fig. 3. Einfluß der Phasenverschiebung der Rotorspannung

Vor der Verschiebung Nach der VerschiebungA ar

= Größe der Verschiebung

P, P' = Augenblick, da die magnetischen Achsen der zwei Phasen

untereinander liegen vor bzw. nach der Verschiebung

Es ist damit klar, daß der Phasenunterschied zwischen den Stator- und

Rotorspannungen keinen Einfluß auf die Größen und relativen Phasen aller

Quantitäten des Stators und des Rotors hat. Er bestimmt aber die relative Lage

des Rotorkörpers, bezogen auf einen synchron sich drehenden Gegenstand. Diese

Verschiebung des Rotorkörpers zeigt sich sehr anschaulich, wenn der Rotor

mit einer mit Netzfrequenz beleuchteten stroboskopischen Scheibe versehen

15-

wird. Wenn der Phasenwinkel zwischen den Stator- und Rotorspannungenverändert wird, so dreht sich die scheinbar stillstehende Figur gleichmäßig.

Die Hauptgleichungen (12) und (13) drücken die Beziehung zwischen den

Maschinenströmen und -Spannungen aus, bei Anwendung der gegenseitigenDrehinduktivität und der gesamten Selbstinduktivitäten der Wicklungen.Bei der Berechnung der Wechselstrommaschinen werden gewöhnUch nicht

die gesamten Selbstinduktivitäten verwendet, sondern man teilt sie in zwei

Komponenten auf, und zwar in eine, die aus dem gegenseitigen Fluß („Luft-spaltfluß") entsteht, und in eine andere, die durch den Streufluß ver¬

ursacht wird. Wir verwenden daher diese vertrauten Konstanten.

Es sei:

La$ = Streu-Induktivität des Stators pro Phase.

Lat = Streu-Induktivität des Rotors pro Phase.

Ws = Effektive Windungszahl des Stators pro Phase.

Wr = Effektive Windungszahl des Rotors pro Phase.

Es gelten die folgenden Beziehungen zwischen den alten und neuen Kon¬

stanten:

LssA-L,

,•— W W

MA = iiL^-LJiL^-LJ = (L^-LJ^ =

(L„a-Lj^Damit schreiben sich die Gleichungen (12) und (13) in der Form:

-U. = (Ba + jXJ38-%

-ttr = (Rr + jXJ!3r-®r

worin:

(21)

(22)

$

Xa. =<»KXa, = <»Lor

(23)

X = co {LSS£ — Lat) = auf den Stator reduzierte, äquivalente gegenseitigeoder Magnetisierungsreaktanz.

X = co {L„A — L„r) = auf den Rotor reduzierte, äquivalente gegenseitigeoder Magnetisierungsreaktanz.

@8 und @r sind die induzierten Spannungen pro Phase des Stators bzw.

Rotors, die der gegenseitige oder Luftspalt-Fluß induziert. Sie sind propor-

16

tional zu den effektiven Windungszahlen. Man kann das aus den Gleichungen(23) einfach erkennen. Es ist:

% = ['/8-ïft,sinAs-JrZ^^sin(80-Ar) I -j\«/„X^cosA,-/,.^ ^cos(S0-A,.) I

Es - fei = ** YV+JJ (wj-2J°J< (w) °0aW

und ebenfalls ist:

Er = X^ |/jp- + J.» (*?)' -2 J, J. ({£) cosf

Fig. 4. Vektordiagramm für zwei zugehörige Phasen vom Rotor und Stator einer un.

symmetrischenMaschine, die mit in Phase und Größe verschiedenen Spannungen gespeistwird. (Motorfall, — Ug und — Ur sind die Klemmenspannungsabfälle, 80 = w angenommen)

17

damit wird: ^1-

?±!Er /*r

ErW,

Ws

Die in den Gleichungen (22) und (23) ausgedrückten Vektorbeziehungen

werden für den Motorfall in der Fig. 4 dargestellt. Die Stator- und Rotor¬

spannung sind von verschiedener Größe und Phase angenommen.

Aus den Gleichungen (23) ergibt sich, daß die zwei Parallelogramme,

deren Seiten

Wrsind, ähnlich sind, und zwar im Verhältnis =-. Es ist auch wichtig zu be¬

merken, daß die fünf Phasenwinkel in Fig. 4, nämlich «r, <xa, \r, Xs und 8^

von einer beliebigen Achse aus gemessen werden. Man kann das Diagramm

daher vereinfachen durch die Annahme, daß der eine dieser Winkel gleich

feM-*K)

Bezugsachse

**

Fig. 5. Vektordiagramm für dieselben Leistungsbedingungen wie Fig. 4,

mit <5a und <Sr in Phasengleichheit und S0 = 0

18

Null ist. Ferner ist es möglich, eine weitere Vereinfachung zu erreichen:

Es wurde früher gezeigt, daß der Phasenunterschied zwischen Stator- und

Rotor-Spannungen keinen Einfluß auf die Größen der Ströme und ihre Phasen¬

unterschiede gegenüber den zugehörigen Spannungen hat. Diese Größen und

Phasenunterschiede sind nur von den Größen der Spannungen und der Be¬

lastungsbedingung abhängig. Eine Änderung des Phasenwinkels zwischen

Ug und Ur dreht daher die zwei Gerippe (-Ua, Qfs, ©«) und (-Ur, 8r, ©,)

körperhch gegeneinander. Wenn wir nun annehmen, daß dieser Phasenwinkel

so eingestellt wird, daß ©s und (£r in Phasengleichheit sind, wird das Vek¬

tordiagramm vereinfacht, wie Fig. 5 zeigt. In dieser Figur wird 80 = 0 ange¬

nommen.

Der Winkel zwischen — VLS und — Ur in Fig. 5 ist der erforderliche Winkel,

um @s und (gr in Phasengleichheit zu bringen. Dasselbe Diagramm kann

immer benützt werden, sogar wenn der Phasenunterschied zwischen —Us

und — Ur vom Wert, den das Diagramm zeigt, verschieden ist, sofern die

wirklichen zeitlichen Phasenbeziehungen zwischen Rotor- und Statorvektoren

nicht davon hergeleitet werden. Falls man diese Beziehungen betrachten will,

können die von { — VLS, Ss, (Ss) und (-Ur, 8r, @r) konstruierten zwei Gerippe

Fig. 6. „Zwei-Folge"-Vektordiagramm für Motorbetrieb. — tt^bzw. — Urist der Klemmenspannungsabfall

19

körperlich gegeneinander gedreht werden, bis der Winkel zwischen — Us und

— Ur seinen wirklichen Wert erreicht. Ihre letzte Stellung hat keinen Ein¬

fluß, da sie nur die willkürliche Bezugsachse bestimmt.

Ein einfaches zeitliches Vektordiagramm, welches besonders für die Ver¬

bindung mit dem Raumvektordiagramm von Vorteil ist, ergibt sich aus der

Phasenverschiebung der E.M.K. einer Seite durch 180° und der Bildung der

übrigen Vektoren dieser Seite in der umgekehrten Reihenfolge. „Zwei-Folge"

Vektordiagramme dieser Art zeigen die Figuren 6 und 7 für den Motor¬

bzw. Generatorfall.

Fig. 7. „Zwei-Folge"-Vektordiagramm für Generatorbetrieb

(2.3.) Die Durchflutungswellen und die Erzeugung des gemeinsamen Feldes

Einleitung: An dieser Stelle werden wir ausführlich untersuchen, wie das

„Luftspalt-Feld" erzeugt wird.

Die Amperewindungen der drei Phasen des Rotors und Stators liefern jeeine synchron sich drehende M.M.K. oder Durchflutungswelle. Wir vernach¬

lässigen die Oberwellen und nehmen an, daß diese Durchflutungswellen nach

einer Sinusfunktion mit einer konstanten Amplitude räumlich variieren. Da die

20

zwei induzierten Spannungen | ©g | und | ©r | dem Windungsverhältnis propor¬

tional sind, betrachten wir sie als durch eine einzige Flußwelle erzeugt, die eine

konstante Amplitude hat und sich mit der Hälfte der Rotorgeschwindigkeit in

derselben Richtung wie der Rotor dreht, so daß sie, bezogen aufden Stator und

den Rotor, dieselbe relative Geschwindigkeit hat. Ferner: Durch die besondere

Auswahl der Phasenfolgen und Rotorgeschwindigkeit stehen die zwei D.F.¬

Wellen des Rotors und des Stators relativ zueinander still. Sie drehen sich mit

derselben Geschwindigkeit, nämlich der Hälfte der Rotorgeschwindigkeit in

gleicher Richtung wie der Rotor. Es ist dabei klar, daß die D.F.-Wellen des

Rotors und Stators als Raumvektoren behandelt und kombiniert werden können.

Man erreicht damit eine resultierende D.F.W., die den gegenseitigen oder „Luft¬

spaltfluß" 0 erzeugt. Dieser Fluß <P ist dann für die induzierten Spannungen

©s und @f verantwortlich.

Oberwellen der D.F.W, sowie die Eisensättigung werden nicht berück¬

sichtigt.Kombination der D.F.-Wellen

Die D.F.W, einer Phase einer 3-Phasen-Maschine mit verteilten Wicklungen

hat ungefähr eine trapezförmige Gestalt wie die Fig. 8 zeigt.

"UULT UVT-TFig. 8

Durchflutungswelle einer Phase einer 3-Phasen-Maschine mit verteilten Wicklungen

Ihr Höchstwert beträgt:q-zN-i

A.W./Pol

worin:

i = der Augenblickswert des Stromes eines Leiters.

q = die Zahl der Nuten je Pol und Phase.

zN = die Zahl der Leiter je Nut.

21

Diese Welle ist selbstverständlich stationär, und ihre Amplitude variiert

zeitlich gemäß dem Strom. Legt man ein Koordinatensystem durch den Null¬

punkt, so erhält man die folgende Fouriersche Reihe für die Höhe / der Welle

an einer Winkelstelle yx) :

TT

<1'ZN- '/« /„• W 1 niTsin sin y + • • • H 5sin-prsrnny

'n2 6 )tt/6 \ 6

Die Grundwelle dieser Reihe hat daher eine Amplitude von:

^f- A.W./Pol. (24)

Um die D.F.-Wellen des Stators und Rotors kombinieren zu können,müssen wir die Tatsache in Betracht ziehen, daß diese Wellen sich in

entgegengesetzten Richtungen gegenüber dem

Stator bzw. Rotor bewegen.Die Statordurchflutungswelle %a dreht sich

mit einer Winkelgeschwindigkeit w gegenüberdem stillstehenden Stator, und ebenfalls dreht

sich die Rotordurchflutungswelle %r mit der¬

selben Winkelgeschwindigkeit œ in der entgegen¬gesetzten Richtung gegenüber dem rotierenden

Rotor, während sich der Rotorkörper mit einer

Winkelgeschwindigkeit 2 <a in derselben Rich¬

tung wie %a dreht. Diese Bedingungen zeigt die

Fig. 9.

Es ist dann klar, daß, relativ zu einem stationären Beobachter, beide $s und%r sich mit der Winkelgeschwindigkeit w im Gegenuhrzeigersinn drehen. Rela¬

tiv aber zu einem Beobachter, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit a> im

Gegenuhrzeigersinn dreht, stehen beide %s und %r still, während der Rotorund Stator sich mit der Winkelgeschwindigkeit u> im Gegenuhr- bzw. Uhr¬

zeigersinn drehen. Diese Zustände stellt die Fig. 10 dar. Kombiniert man die

zwei Durchflutungswellen, die jetzt stillstehen, so erhält man eine Durch-

flutungswelle $fc (Fig. 10). Diese erzeugt den Luftspalt-Fluß, dessen InduktionB die Sinuskurve in der Fig. 10 zeigt.

Legen wir nun ein Koordinatensystem durch den Punkt 0 (Fig. 10), so

erhalten wir für die Luftspaltinduktion an einer Stelle t von 0 aus abgetragen:

Fig. 9

B = Bm sin t (25)

worin: Bm = maximale Luftspaltinduktion.

x) Siehe G. Oberdorfer, Lehrbuch der Elektrotechnik, Bd. II, S. 231.

22

V////A

Fig. 10

Wir messen die Zeit vom Augenbhck an, da Punkt a im Rotor genau

unter 0 hegt. "Wenn nun Punkt a im Stator in demselben Augenbhck (t = 0)

an einer Stelle mit der Winkelverschiebung y rechts von 0 hegt, dann steht

die Fig. 10 die relativen Lagen nach t Sekunden dar. In diesem Augenbhck

(den Fig. 10 zeigt) seien die induzierten Spannungen und die Ströme der sechs

Phasen U, V, W des Stators bzw. U, V, W des Rotors wie folgt ausgedrückt:

Induzierte Spannungen des Rotors:

t, • /,

2tt\

Ersmiot, Ersm.\o)t—— I,

Rotorströme:

Jrsm.(<ot+ ßr), Jrsmlcot — + ßr\,

Induzierte Spannungen des Stators:

E88m{a)t+ y), Essiniœt +y- ~^\,Statorströme:

.S, sin

Jrsin

(26 a)

(•Essm[a)t+y--^\

Jssin{(ot+y+ßa), Jssin iœt+y- -^ +j8J , ./«sin U»t+y ~~^ +ßsj

(26 b)

worm:

ßr bzw. ßs = Phasenwinkel zwischen der induzierten Spannung und dem

Strom einer Rotor- bzw. Statorphase.

(0 < ß < TT für voreilenden Strom, 0 > ß > —n für nacheilenden

Strom.)

23

Nun liegen die Scheitel der Grundwelle der Durchflutungskurve jederPhase in der Achse der zugehörigen Spule und ihre Amplitude berechnet

sich aus der Gleichung (24). Zu dem betreffenden Zeitpunkt haben dann diese

Amplituden die folgenden Werte:

Rotor: Krsin(<ot+ßr), Krsinlœt—^-+j3r), Kr$mlcot—ö~+ßr)

Stator: KgBin(ojt + y+ßs), KssmL>t +y-~~+ßA, Kttan(tot +y--~ + ßA

Worin: 6qr-z„r-Jr^ &qs-z^s-Js

Dadurch ergibt sich die durch die drei Rotorphasen erzeugte Durch¬

flutung an einer Stelle b im Luftspalt:

/r = Kr sin(a>« + jSr)sin(wi + T) + smi tot- -—• +ßr\ sin (cot + t ^-\

+ sinlœt - -^ + ßr\ sia(cot + t - ~\

Daraus folgt:

fr = ^KrcoS(r-ßr) (27)

Es ist ebenfalls die durch die drei Statorphasen erzeugte Durchflutungan der Stelle b im Luftspalt:

fs = Ks\sm(cot+y+ß8)sm(-vt-y+T)+smlwt+y-^+ßs\sinl^t-y+^+T\

+ smlcot+y-~+ßAaml-cot-y+-^+Tj\Daraus erhält man:

/.= -|-jr,cos(T+j8,) (28)

Die resultierende Durchflutung fe an der Stelle b ist dann einfach gleichder Summe (/r + fs) und beträgt daher nach den Gleichungen (27) und (28):

fc = fr + fs

= |-Zrooe<T-j8r) - ^Kecoa(r+ßs)

U = Fr cos (t-ä) - -Fscos(r+ßs) (29)

24

Wo: Fr = die Amplitude der gesamten Rotordurchflutungswelle.

-

3K

_

9 gr • 22V, '

"r

7T2

Fs = die Amphtude der gesamten Statordurchflutungswelle.

-

3K

TT2

Die Vorführung des Feldes

Die Gleichung (29) ist unabhängig von der Zeit (was zu erwarten ist)

und von y. Unter gewissen Leistungsbedingungen ist fc dabei nur von t ab¬

hängig, d.h. vom Ort des betrachteten Punktes 6 relativ zum Beobachter.

Es wurde gezeigt (Ab. 2.2.), daß die Phasenverschiebung zwischen Rotor-

und Statorspannungen keinen Einfluß auf die Größen Js, Jr, ßs, ßr hat. Sie

beeinflußt aber y, da y der Phasenwinkel zwischen (SÄ und (Sr ist (wie man

aus den Ausdrücken (26a) und (26b) erkennen kann). Es ergibt sich aus

Gleichung (29) und der Abwesenheit von y darin, daß alle Quantitäten in

dieser Gleichung unabhängig vom Phasenwinkel zwischen Stator- und Rotor¬

spannungen sind. Daraus folgt, daß weder die Größen noch die relativen räum¬

lichen Lagen der Stator-, Rotor- und kombinierten Durchflutungswelle von

diesem Winkel abhängen, sondern nur von den Größen der Spannungen und

den Leistungsbedingungen.Wenn wir die magnetische Sättigung und die Eisenverluste vernach¬

lässigen, ist die Induktion B in jedem Punkt im Luftspalt proportional zum

zugehörigen Wert von fc. Da B nach der Formel (25) räumlich variiert, so

kann fc durch die folgende Formel

/„ = Fc sin r (30)

ausgedrückt werden, worin Fe die Amphtude der resultierenden Durchflu¬

tungswelle darstellt. Aus der Identität der Gleichungen (29) und (30) folgt:

Fe sin t = Fr cos (r-ßr) - Fs cos (r + ß8) (31)

Fc sin t = Fr (cos t cos ßr + sin t sin ßr) — Fs (cos t cos ßs — sin t sin ßs)

= (Fr cos ßr - Fs cos ßg) cos t + (Fr sin ßr + Fs sin ßg) sin r

und daraus ergibt sich:

25

Fr cos ßr = Fs cos ft (32a)

Fc = Fr sin j8f + J1, sin ft (32b)

Es ergibt sich aus der Gleichung (32 b) (unter Berücksichtigung, daß die

Amplituden Fs, Fr und Fe positive Größen sind), daß einer der folgendenFälle eintreten muß:

1. ft und ft sind positiv (d.h. voreilender Strom).In diesem Fall hefern Rotor und Stator voreilende Ströme an das Netz ab.

2. ßr ist negativ, ßs ist positiv, Fs sin ßs > | Fr sin ßr \3. ßr ist positiv, ßs ist negativ, Fr sin ßr>\Fs sin ft [

Wenn der Rotor und Stator dieselbe Windungszahl haben, so ist es inbeiden Fällen 2. und 3. klar, daß die Stromblindkomponente desjenigenTeiles, der den voreilenden Strom zum Netz abliefert, größer als die desandern sein muß. Die Bedingungen für die drei Fälle besagen, daß die Maschine

(ob symmetrisch oder unsymmetrisch) unter allen möglichen Betriebszuständeneine voreilende innere (und daher auch Klemmen-) Blindleistung abliefert,d.h. sie muß mit nacheilender innerer Blindleistung gespeist werden. Dieseinnere Blindleistung begründet die resultierende Durchflutungswelle (wie dieGl. (32b) zeigt) und erzeugt dadurch den Luftspaltfluß. Der Luftspaltflußkann dabei von Stator und Rotor zusammen oder von Stator oder Rotor allein

hervorgebracht werden. Für richtige Betätigung soll der Fall 1. erfüllt werden

(obschon die Fälle 2. und 3. in Praxis bestehen können), d.h. Stator und Rotorsollen eine positive Rolle in der Erzeugung des Luftspaltflusses spielen und diefür die Flußerzeugung erforderliche Blindleistung wird auf Stator und Rotor

aufgeteilt.Die obigen Resultate werden auch anschaulich, wenn man die Durch -

flutungswellen als Raumvektoren betrachtet.

Die Gleichung (31) kann in der folgenden exponentiellen Form ausgedrücktwerden:

Durch multiplizieren mit e2

folgt:

S.«'i-&,e'My + 8f.e'/'- (33)

Die Gleichung (33) wird mit den Vektordiagrammen der Fig. 11 dargestellt.Fig. IIa stellt den Fall dar, für ßr und ßs voreilend (positiv) und Fig. IIb

für ßr voreilend und ßs nacheilend. In dem letzten Fall liefert der Rotor an seinNetz eine Blindleistung ab, die größer ist als die für die Flußgründung erforder-

26

(b) —^Jf

Fig. ll.^Raumvektordiagramme für die Durchflutungswellen und Induktion

a) Rotor und Stator liefern voreilenden Strom ab.

b) Rotor liefert voreilenden Strom ab, und Stator liefert nacheilenden Strom ab.

h ?s(^J\)

st*Cor' >>$.B

TOA

Oyr.

Fig. 12. Kombiniertes Raum- und Zeit-Vektordiagramm

a) Generatorbetrieb

b) Motorbetrieb ( — Us und — Ur sind die Klemmenspannungsabfälle)

27

liehe Blindleistung. Das Übermaß ist notwendig, um die entmagnetisierendeWirkung der nacheilenden Ströme, die der Stator an sein Netz abliefert, aus¬

zugleichen.Die Raumvektordiagramme können mit den im Abschnitt (2.2.) erreichten

Zwei-Folge-Vektordiagrammen sogleich kombiniert werden, wie Fig. 12 zeigt.Ein derartiges kombiniertes Raum- und Zeit-Vektordiagramm hat

den Vorteil, daß es alle Vektorgrößen in einem einfachen Diagramm kom¬biniert und, daß es die relativen räumlichen Lagen der Durchflutungswellenangibt für behebige Größen und Phasenlagen der Ströme. Die Vektoren derKlemmen- und induzierten Spannungen, der Ströme und des Flusses 3>, derdie Spule verkettet, sind Zeit-Vektoren und müssen in der richtigen Reihen¬folge, welche durch die Pfeile angedeutet ist, betrachtet werden. Die Vektorender drei Durchflutungswellen und der Induktion B sind hauptsächlich Baum¬vektoren, aber sie können gleichwohl als Zeitvektoren (bezogen auf Statoroder Rotor) gehalten werden1), sofern sie in jedem Fall in richtiger Reihen¬folge betrachtet werden.

3. Die allgemeine Lösung der Hauptgleichungen

Die Hauptgleichungen (12) und (13) der Maschine, welche im Kap. (2.1.)entwickelt wurden, können für die Größen und Phasen der Ströme Q« und$r gelöst werden. Die Lösung derartiger Gleichungen der Maschine ist bishernur für besondere Fälle entwickelt worden2). Die bereits entwickelten Lö¬

sungen benützen als Parameter einen Winkel, welcher fast immer dem Winkelzwischen den Durchflutungswellen gleich ist. Die erreichten Resultate unddie Berechnung der Arbeitsweise der Maschine sind kompliziert und in einigenFällen unvollständig.

In diesem Kapitel wird die Lösung für den ganz allgemeinen Fall derunsymmetrischen D.S.M. entwickelt. Ferner wird, durch die Anwendungeines neuen Parameters, die vollständige Berechnung der unsymmetrischenMaschine auf eine verhältnismäßig einfache Art möglich.

Die gewonnenen Grundgleichungen können wir schreiben (nach denGleichungen (22), (23) und (17)):

-H, = a [xt+?Xa. + JXp, (l - |f^r • e^)] (34a)

*) Diese Tatsache kann man aus der Untersuchung der Fig. 10 einfach erkennen,wenn die Gleichung (31) darauf überlagert wird.

2) Siehe das Literaturverzeichnis am Ende.

28

-Ur = & [Br + jX.r + jX^ (l - |f^ • e^] (34b)

Aus der ersten Gleichung folgt:

Woraus sich ergibt:

|=]/(ä.+z„. ^.inpi'+^+^-v ^f;cosï/)2 <34c>

^ = R*+Xl.j^.zmW+2RsXp/^smV+(X<ti + Xllf

T2.W2 T W

^=R^+ (Xa+Xllf+Xl.^^+2Xllt.j^[BsSinV-(X<rt+ Xll)oosW]3 S 8 8 3

(35a)Es gilt ebenfalls für den Rotor:

^^R^+ (Xar+X^ +Xl.^^+2X^.^[RrSin^-(Xar+Xllr)coaW](35b)

Setzen wir nun:

B°WJ

= R° Xa- \WJ= x;« J°Wr = J°

IW\% /W\2 w

Br\wr)=B' x°>Wr)~ "- Jrwrr

Durch Multiplizieren mit ft4 wird die Gleichung (35b):

^ -ü^ R^ + {X'ar +X^+Xl.^i+ 2X^,{Rr'BmW -{X'0r + X^^W]

(35c)

29

Es folgt dann aus den Gleichungen (35a) und (35c):

Rf +^+X^+X^ +2Xll£[R8smV-(Xat+ Xllt)coSY]

42J'R? + (X'at +X^+X2±+2X^[R'rSmV-(X'(rt+ Xllt)coSV]

Woraus sich ergibt:

+ (£) • ^^„.{Ä.Biiiy-^+zjooBy}]oder:

(f)a- [^2+z-+2Z-*«•+xt- i1 - S)]+ (ï>KI(^-5*)^-(z*-Si-+^[i-51)",r|]

+^(i - S) - ^S-z~S- 2X*-z-S=° (36)

Die Gleichung (36) ist quadratisch in -£- und hat die folgende Lösung:

j, 2Z„[{i?/-gi?8)8iny-jz;f-gz(7,+zM,(i-g)}coSy]

(2X„[{b;- g^siny- {z;-gxg,+z„(i - g)} «»yp2J^«+z;;+2z;rzM,+z/«(i-5)}

fji(HS) - S W+*2.+ 2Xc.^.) *

«»+z'j;+2z;z^i+z«l(i-5)Setzen wir nun die folgenden Bezeichnungen

(37)

'*-*lRs^i-Br

^ + z;? + 2z;z^ + z^(i-g)Ohm (38a)

30

R? + X'* + 2X'atXflt + XZ,(l-%)Xo=XL Z

. *s

0hm <38b>~

Two "ir/o c\ vf -%r . -xr n I it* 1

r„=Z^ -

s-Ohm (38 c)

2

y —

_^1^^M^|) 0hm

x.=

x2 x„t-z; -z„ (i-^)-^-/i, ">U2 ' /*» \ W2/

* *2 X2(l-g-Ä^-X^-2XffZM*M« \ M2/ *

vr "' M2 "• r« m

X =-^-«

= -^»« (38e)

Mit Hilfe dieser Bezeichnungen schreibt sich die Gleichung (37) wie folgt:

£*„ = r0tsmW-X0icosW± ^(r^inV-X0icosV)* + ^X^= r0tsmV-X0icosV± t/r2,,sin^+^cos'f-2r0tX0fsinycosf+^X^

= rcsinlP-Xo.cos^i l/r2i(l-cos2'P)+X2i(l-sin2ï/)-2r0iX0jsiny/cosy+ X*

= r0f8in^-J0,cosy± |/(< + Z2i+ ~X2f) -(r0,cos'P+X0isin^ (39)

Setzen wir ferner:

*) Das positive Vorzeichen gut, wenn R'r% + X'£t + 2 X„r X^+X£(1 - ^\ > 0 ist und

das negative Vorzeichen gilt, wenn B? + X?r + 2-X^X^ + X* (l - ~2j < 0 ist (Siehe

Kap. (7.3.)). Der Fall, wenn dieser Ausdruck gleich Null ist, wird im Kap. (5.1.) behandelt.

31

. r0cos^+X« sinï7

.r0 cosï^+X-, sin1?

....

,ps = arc sin "•,._

"'== = arc sin-^ ——-5*

(40b)

+ Vrl +Xl +~X?. ! "J«2 <*•

Damit vereinfacht sich die Gleichung (39) wie folgt:

(TT Tt\

Daraus folgt:

-iX ^- e.*9' /*• J

Jl

TXe> = r°-shlW~ Xo,cos^ + Xplo.coaPs

— (r0t sin W — X0t cosW + X^ cos ps) (sin ¥*—j cos W)

= (r0< sin2 W — X0t sin W cos y+ XMoi cosps sin W)

+ j (X0j cos2 Y -

r0t sin W cos V - X^ cos ps cos ¥*)

= (r0> — r0f cos2 W — X0j sin W cos V7 + X^ cos pa sin V7)

+ j(X0t - X0i sin2^- ^sin^cosy-X^ cos^cosF)

= Oo, ~ (ro. cos ¥ + X0# sin y) cos y + X^ cos Ps sin f]+ Î [^o. - (»V. cos V + X0j sin f) sin W - X^ cos Ps cos V]

= Do, - I xm, I sin Pa cos ^ + X^ cos ps sin ¥*]+ 7 [^o. - I ^o, | sin ps sin F - X^ cos p8 cos W]

= K + X/i0,sin('P+/38)] +/[X0j-X^cosCP+Pg)]= ('«. + ?*o.) + X«,, [sin (¥"**) - ; oos (!PTft)]

2 ./. 2

2 62

Wenn wir in diese Gleichung den neuen Parameter

. V+Ps, W+Ps

-,- i-

l+ctg2^y

- ± 2fun+|^tg(^) = 2^o.tg(^) (41)

einsetzen, so erhalten wir:

-jXllt^e^=(r0t+jX0t) +X^2X

- + -

2X, Jl-f«0t

4X21 + —£»

/*0t

= r„ 4- 9 (X„ — X \ 4- * **»« '_1 ^o«ro. t/v-^-o, -<Vo»>

^r2 + 4X2

32

Durch Einsetzung dieser Beziehung in die Statorgleichung (34a) ergibt sich:

- U. = 3S \(B. + r0,) + j(Xitt + Xt^ + r2[r'f^' ] (42a)

worin:

Die Gleichung (42a) können wir wie folgt schreiben:

-U,VJS

R +jX. +J^B(42b)

M»

worm:

Re, = Rs + r0, = Bs + Xt2.-

sMa r

jR;2 + X'2 + 2X' y +Z*(l-*)Ohm

(43)Xe =Xa+Xi=Xa +X„ -XWn +X2

* v /;Hn Ohm

welche wir „Ersatzkonstanten" des Stators nennen. Sie bilden mit dem

Parameter rs einen Ersatzkreis, der den Stator vollständig vertritt. Dieser

Kreis wird in der Fig. 13 (nach Gleichung (42 b)) dargestellt.

-«oj—vw—tot1—j—ww—issjp—i

Ut*

/v»5 X^

'^

Fig. 13. Ersatzkreis des Stators einer unsymmetrischen Maschine (Gl. (42b) und (43))

Die algebraische Summe der Leistung in rg und r^ stellt die innere Leistung

des Stators (sowie die innere Leistung der Maschine) dar. Die Konstante rte

sowie der Parameter rs kann positiv oder negativ sein. Die Konstante Xit kann

ebenfalls induktiv oder kapazitiv sein.

33

Die Ersatzkonstanten sind im allgemeinen von der wirklichen Kon¬

stanten des Stators (Bs, X„t, 2 X^) verschieden. Der Betrag dieser Differenz

ist von der Maschinenkonstanten und dem Verhältnis — abhängig. Die Kon¬

stanten r0t und Xia sind gleich Null für eine symmetrische Maschine1), und

dabei sind die wirklichen und Ersatz-Konstanten in diesem Fall gleich.Es gilt ebenfalls für den Rotor:

&="

%r x<**>

w

R. = Br + r0r = Br + XI -

-J-Ohm

"B?+X'a* + 2X'aXhr+Xl(l-^

X = X.+X. = X<J+Xu-Xlln+X*Z^-Üf Ohm

"'B'sHX'0H2X'0X^Xl (l-*\(45)

Z„„= 2 Z,0r = ± 21/<+ZI+ fX«, Ohm t)

Man kann durch die Gleichungen (43) und (45) die folgende Beziehungeinfach beweisen:

r*=

*1>= -

^?«t= -Z (46)

worin die Konstante K, welche wir „Unähnlichkeitsfaktor"

nennen,

beträgt:

_1 g +n+ 8*..**+*£.(l--g)

A =—s

•

^- (46a)

und ist gleich il2 für eine symmetrische Maschine.

Die Gleichungen (42 b) und (44) sind die allgemeine Lösung der Haupt¬

gleichungen. Sie liefern die Größe und Phase des Stator- bzw. Rotorstromes

(und daher die Leistung, das Drehmoment usw.) für jeden beliebigen Wert

des Parameters rs bzw. rr.

*) Mit „symmetrische Maschine" meinen wir im allgemeinen eine Maschine, wo

Br'= Rs, X'„r=Xat und u=ü (siehe Kap. (1.7.)).

*) Das positive Vorzeichen vor der Wurzel gilt, wenn

Rf+X'* + 2XgX+Xjji 11 —^j > 0 ist, und das negative Vorzeichen gilt, wenn

R't+X't + 2X' XIL +X! (l-U*\ < 0 ist.

34

Die Analyse von Herrn Herschdorfer begrenzt sich wesentlich auf den

Beweis des Stromkreises und dabei wurde der Durchmesser dieses Kreises

nur annähernd berechnet und ebenso das Kippmoment.Nach den Gleichungen (42 b) und (44) können wir, und zwar in sehr ein¬

facher Weise, die genaue Berechnung aller charakteristischen Größen der

Maschine ausführen, sowohl als auch die genaue Bestimmung des Strom¬

kreises.

Die innere Leistung und das Drehmoment:

Mit Hilfe der Ersatzkonstanten können wir die induzierte Spannung des

Stators wie folgt schreiben:

% « - 3« ['«, + i *<, + f' + fe" ] (Gl- (M). <«»> »nd (43))

« - -* [('*+Ä)+'(x'-+Ä)l m

Die Wirk- bzw. Blindkomponente der inneren Leistung ist gleich der

reellen bzw. imaginären Komponente des Produktes $g* (£s. Es ist nach

obigem:

Daraus folgt die Wirkkomponente der inneren Leistung des Stators pro Phase:

'

Mm'

Aus der Gleichung (42b) folgt:

U2

Damit ergibt sich:

p ; » ^ Mw'

*' ' r.Xl \2 /_ r»X„

(*-Ä) +(^Ä)

litt' x 8 '

(in'

r>[Rl + {Xei + XllJ*] +Xl(Rl +Xl + 2r8Bei)

35

Da Pt> = Pir ist, so ist die gesamte innere Leistung der Maschine:

Die Gleichung (48) erlaubt die Berechnung der inneren Leistung für jedenbeliebigen Wert des Parameters rs.

Das Drehmoment der Maschine folgt dadurch, es ist:

p

Md = 0,975 —* m-kg7e-

5,8517.» fa.r.' + XjL('«. + '.)m.kff ,49)

r/[E2ej+(Z(!f +^/] + Z^«+ X2ej + 2rgJBJg '

worin: n = Drehzahl, T/Min.

Das Kippmoment der Maschine erhält man, wenn:

dir.)ist oder:

(Xl+ 2rsr0,).[ra^Rl + (Xei + Xllef}+Xlt{Rl +Xl + 2rsRet}]

AroArs*+Xl) + r8Xl].[2ra{Rl + (Xei +X^} + 2RetXli] - 0

Diese quadratische Gleichung in rs hat die zwei Lösungen:

rw*«. = -^ + 5 (50a) rWesn = - 4 - 5 (50b)

A_ r0tXliJX^t + 2Xe)

Rl+ (Xei + XliJ*-2r0tRs-2rl

X,..

I V(K+xlJ (Rl'+[Xe-+x»J2)+K ixl'+Xe-x»" ~ Rl-+ i)2 Rlt + (Xet + XllJ*-2r0iRe,-2rl

Die Gleichungen (50a) und (50b) liefern die Werte des Parameters für

maximales Drehmoment. Die Gleichung (50a) bezieht sich auf Motorbetrieb,während die Gleichung (50b) auf Generatorbetrieb. Durch die Einsetzungdieser Werte in die Gleichung (48) bzw. (49) erhält man die maximale innere

Leistung bzw. das Kippmoment der Maschine.

Wir wollen nun die zwei Werte des Parameters für Pt = 0 bestimmen.Diese Bedingung wird erfüllt, wenn:

36

r82r0,+ ^1 + ^X1 = 0

2r0j

^ = -|rfo«+fe-4<) <51»)

Es ist aus den Gleichungen (51a) und (51b) klar, daß r^ und rH stets

dasselbe, nämlich das umgekehrte Vorzeichen von r0t haben. Ferner ist \r0 |in Praxis immer viel kleiner als |X„ | und wir sehen dabei, daß IfgJ sehr

groß, während [r^] sehr klein ist. rSl bezieht sich eigentUch auf den ideeüen

Leerlauf (ohne Eisen- und Reibungsverluste), während r^ sich auf einen

Betriebszustand bezieht, unter welchem die zwei Durchflutungswellen grÄund fÇr in genauer Opposition sind, und zwar — im Fall einer unsymmetri¬schen Maschine — ist die eine rein magnetisierend und die andere rein ent¬

magnetisierend, während die Ströme senkrecht zu den zugehörigen indu¬

zierten Spannungen stehen. Dieser Zustand wird etwas später ausführlicher

behandelt werden.

4. Die graphische Theorie

Mit Hilfe der Ersatzkonstanten können wir ein nützliches Modell der Ma¬

schine bilden. Die Lösung für den Statorstrom ist nach der Gleichung (42b):

re+jxe+Jr°

7-gr

Schreiben wir nun:

q _

~ ^»Oe.

~

a

so erhalten wir als Ersatzimpedanz des Stators:

'S ^ /-"•/!„

3e. = K.+ }X« + 1 T~ (52ft)

37

und ebenfalls für den Rotor ist:

&r=.Ber + ?Xer + 1 y (52b)

rr J**V-t

Es ist klar, daß die in der Fig. 14 gegebenen Kreise diese Impedanzen voll¬

ständig darstellen.

1^\%\'Me,

Stator Rotor

Fig. 14. Ersatzstromkreise einer unsymmetrischen D.S.M. im allgemeinen Fall

Da wir die Lösung der Hauptgleichungen auf diese einfache Form reduziert

haben, braucht man keinen Beweis mehr, daß jeder der Ströme $s und% einen

Kreis als geometrischen Ort hat. Man erkennt nämlich durch diese bekannten

Kreise, daß der Impedanzvektor $<,, bzw. 8e, einen Kreis beschreibt, wenn rs bzw.

rr von— oo bis + oo variiert. Daraus folgt, daß der geometrische Ort des Stro¬

mes S« bzw. Sc auch ein Kreis ist (als Inversion eines Kreises). Diesen Impe¬danz- bzw. Stromkreis für den Stator stellt Fig. 15 dar. Der Impedanzkreiswird zuerst nach der Gleichung (52a) konstruiert. Durch Inversion dieses

Kreises um den Nullpunkt 0 erhält man den Kreis der Stator-Ersatzadmittanz

$ej = g- •Durch Multiplikation des |)ej-Kreises mit dem Vektor j Ug ergibt

sich endlich der Qg-Kreis. Es gelten selbstverständüch ähnliche Kreise für den

Rotor.

Die Koordinaten der Zentren bzw. die Radien der verschiedenen Kreise

können unmittelbar berechnet werden. Sie sind nämlich:

Koordinaten:

Radius:

Stator-Impedanzkreis:

x = B,«.

</ = *.+%(53 a)

38

Koordinaten:

Stator-Stromkreis:

Radius:

x= U.

y=us

R = U,

xu

Rl+Xl+Xetxu

2

xu

• Rl+Xl+X.X»

(53b)

r^—-Kreis

[Ursprung O'J

} -/freis[Ursprung0/

~y-Kreis

Fig. 15. Impedanz- und Stromkreis des Stators

39

Koordinaten:

Radius:

Rotor-Impedanzkreis:

R =^(53 c>

Rotor-Stromkreis:

Koordinaten:

x= Ur-

y = Ur.

X +^-r

K

Rl+ Xl+ X^X^

V-n

Radius: R=Ur-Rl+Xl+X^

(53d>

Bestimmung der inneren Leistung und des Drehmoments:

Nach den Gleichungen (16) schreiben wir die Beziehung zwischen der Klem¬

menleistung Pkt und der inneren Leistung Pit einer Statorphase wie folgt:,/77

^ «>? k-1M,

oder:

Pt. = -üaJ,oo*9,' + J*R,

<ps' bezeichnet den Phasenwinkel zwischen dem

Stromvektor $g und dem Klemmen-Spannungs¬abfall — Us des Stators (Fig. 16). Diese Beziehungschreibt sich auch wie folgt:

^--^cos^AAddieren wir die Größe

Seiten, so erhalten wir:

s

Fig. 16

(zäJ zu beiden

+R.

40

Wenn nun ein Punkt m auf dem Vektor-Us in der Fig. 16 so bestimmt wird,

U»

2Ba

daß om = -s-s- ist, so ist nach obigem der Abstand zwischen dem Punkt m* l ;

und dem Endpunkt des Vektors $s gleich V hrs-)'Wenn wir einen Kreis in der Fig. 15 zeichnen, der m als Mittelpunkt und

1 / / TT \ 2 P •

V \~2ir) "*" Tï* ^r emen beliebigen Wert von Pit) als Radius hat, so ergibt

er daher in seinen Schnittpunkten mit dem Stromkreis die zwei Punkte,

wo die innere Leistung gleich dem angenommenen Wert Pt ist.

Für Pit = 0 ist der Radius -^ir und der Kreis geht durch den Nullpunkt

und ergibt die zwei Schnittpunkte P^ und Pk, wo die innere Leistung gleich

Null ist (Fig. 17). Wir betrachten nun noch einen andern Kreis, der für eine

innere Leistung Pit 4= 0 gezeichnet wird und die zwei Schnittpunkte Pr und

P2 ergibt.

Fig. 17. Geometrische Eigenschaften des Stromkreises

41

Die folgenden Beziehungen erkennt man aus der Geometrie der Fig. 17.

R* = hb2 + b~P~k2 Ebenfalls : R2 = ha2 + ~aP2

= W + Kx2 -mb2 = Ää2 + K£ - ^ä2

^K^+AOé-mb) = Kz2 + A(ha-mä)

Daraus folgt:

K2-K£ = A [(ha + wÄ) - (ma+M)]

= A[(A + äb) -(A-äb)]

= 2A~äb

U 1// U \2 P-Da K-y = -—jj-

und f2 = N —-=|- J + -^ ist, kann diese Beziehung wie

folgt geschrieben werden:

-§ = 2.406

-Pit = 2RsAah

Da 2 RsA eine Konstante ist, ergibt sich aus dieser Beziehung, daß die

Strecke ab die innere Leistung einer Statorphase darstellt (Maßstab 2 RSA).Die Gerade P^Pk können wir daher die Leistungslinie nennen. Diese

Beziehung zeigt auch, daß die innere Leistung für positive Werte von ab

negativ ist, d.h. der obere Teil des Kreises zwischen Pm und Pk bezieht sich

auf negative Leistung bzw. Motorbetrieb, während der untere Teil sich auf

Generatorbetrieb bezieht. Die innere Leistung an den zwei Punkten P00 und

Pk ist gleich Null.

Da der Winkel 0 einen bestimmten Wert hat, so folgt, daß die vertikale

Strecke ad (welche gleich —^ ist) auch die innere Leistung (im Maßstab

2 RSA cos®) vertritt. Diesen Maßstab können wir schreiben:

2B.-*Ss = 2 R8A cos© = 2 RSA •

^= U, - 2 R8y (53e)

Wir dürfen in Praxis in einigen Fällen die Größe y im Vergleich zu ^~-

vernachlässigen, so daß der Maßstab in diesen Fällen einfach Us angenom¬

men werden kann.

Die erforderlichen Größen für die Bildung des Stromkreises des Stators

bzw. Rotors sind Rs, Rr, Xai,X„r, Xflt und X^. Diese können durch bekannte

Methoden gemessen oder berechnet werden. Die Ersatzkonstanten be-

42

rechnet man dann aus den Gleichungen (43) bzw. (45) und damit ergeben

sich die Koordinaten des Mittelpunktes und der Radius des Stromkreises des

Stators bzw. Rotors (Gl. (53b) bzw. (53d)). Man ermittelt dann die Leistungs¬

linie jedes Kreises durch die Konstruktion eines Kreises mit Radius -5-^-

bzw. •—"

>^e früher erklärt wurde. Die Stromkreise sind dann vollständig

und man kann den Strom, den Leistungsfaktor, die Klemmen- und die innere

Leistung und das Drehmoment für den Stator bzw. Rotor davon ableiten.

Es bleibt nur die Frage, wie man die zugehörigen Werte des Stators und Rotors

bestimmen kann. Das kann man in einfacher Weise erreichen mit Hilfe der

Fig. 18. Kreisdiagramme einer unsymmetrischen Maschine

43

Tatsache, daß Pit unter allen Umständen gleich Pir ist. Für diesen Zweckkann man den Stator- und den Rotor-Stromkreis wie in der Fig. 18 zeichnen.Der Rotorkreis wird links vom Ursprung in der entgegengesetzten Folgegezeichnet und seine Abmessungen werden mit der Größe

^- multipliziert,worin Ss den nach Gl. (53 e) gerechneten Maßstab der inneren Leistung desStators und 8r den nach ähnlichem Ausdruck gerechneten Maßstab der inne¬

ren Leistung des Rotors bezeichnet. Der Maßstab der inneren Leistung beiderKreise ist daher Sa. Wenn wir nun die Leistungslinie des Stators bzw. Rotors

extrapolieren und eine Senkrechte durch ihren Schnittpunkt Qw zeichnen,

Fig. 19. Kombiniertes Raum- und Zeitvektordiagramm einer unsymmetrischenMaschine für ideellen Leerlauf

so stellt jeder Punkt dieser Gerade, welche wir „Leistungsachse" nennen,eine gewisse Leistung bzw. ein gewisses Drehmoment dar und die zugehöri¬gen Punkte auf dem Stator- bzw. Rotor-Stromkreis ergeben sich durch diezwei Geraden (z^B. QMPM und Q'MP^) durch diesen Punkt, die parallel zu

den entsprechenden Leistungslinien P0o-^fc und P'oo^'k verlaufen. Der zuge-

hörige Stator- bzw. Rotorstrom ist 0PM bzw. ~ 0P'M. Es ist dann klar,daß mit Hilfe der Leistungsachse, die zwei Kreise zusammen gekoppeltwerden, und für irgend einen beliebigen Wert der inneren Leistung der Ma¬schine bzw. des Drehmoments können wir den zugehörigen Punkt auf demStator- bzw. Rotorkreis bestimmen. Auch für irgend einen Punkt auf einemder beiden Kreise hefert die Leistungsachse den zugehörigen Punkt auf demandern Kreis sowohl als auch die innere Leistung und das Drehmoment derMaschine.

44

Die zwei Punkte P,oo

und P0'0 beziehen sich auf den ideellen Leerlauf.

Diese Punkte erreicht man in der Praxis, wenn die Maschine mechanisch

angetrieben und mit einer mechanischen Leistung gespeist wird, welche die

Eisen-, Reibungs- und zusätzliche Verluste deckt. Fig. 19 zeigt das kom¬

binierte Raum- und Zeitvektordiagramm für diesen Zustand. Die innere

Leistung ist gleich Null und die zwei Durchflutungswellen fallen zusammen.

Das Stator- bzw. Rotornetz liefert dem Stator bzw. Rotor eine Leistung,

die genau gleich dem Stator- bzw. Rotor-Kupferverlust im Leerlauf ist. Dieser

Verlust wird durch die Ordinate des Punktes P00 bzw. P0'0 dargestellt. Der

zugehörige Wert des Stator-Parameters rs ergibt sich aus der Gleichung (51a).

Fig. 20. Kombiniertes Raum- und Zeitvektordiagramm einer unsymmetrischen

Maschine für den Zustand, den der Punkt Pk bzw. Pk darstellt

Den wirklichen Leerlauf als Motor stellen die Punkte P0jf und Pqm dar.

Diese sind selbstverständlich etwas höher als P00 und P0'0, da die von den

Netzen aufgenommenen Leistungen nun noch die Eisen-, Reibungs- und zu¬

sätzlichen Verluste decken müssen. Den wirklichen Leerlauf als Generator stellt

der Punkt P^ bzw. P'0g dar.

Die innere Leistung ist gleich Null auch im Punkt Pk bzw. Pk'. Dieser Zu¬

stand ist in gewissem Sinne dem Kurzschlußzustand der Asynchronmaschine

ähnlich, hat aber hier eine verschiedene Bedeutung. Man kann sich das vor¬

stellen aus der Betrachtung des kombinierten Raum- und Zeitvektordiagramms

dieses Zustandes. Fig. 20 zeigt dieses Diagramm für eine unsymmetrische

Maschine.

45

Der Stator- bzw. Rotorstrom steht senkrecht zu der induzierten Spannung@8 bzw. @r und zwar eilt der eine seiner zugehörigen Spannung vor und der

andere seiner nach. Die zwei Durchflutungswellen gf8 und %r stehen dabei in

genauer Opposition. Die resultierende Welle ^c ist dann sehr klein. Die vom

Netz aufgenommene Leistung wird in der Maschine als Kupferverluste umge¬setzt. Die induzierten Spannungen sind viel kleiner als im Leerlauf oder beim

normalen Betriebszustand, und zwar infolge der großen induktiven Spannungs¬abfälle. Dieser Umstand besteht auch in der kurzgeschlossenen Induktions¬

maschine. Hier aber, theoretisch betrachtet, läuft die Maschine noch. Ein wei¬

terer Unterschied ist, daß das Drehmoment hier gleich Null ist.

5. Die Lösung der Hauptgleichungen für die Fälle K=00 und K=Q

(5.1.) Die einseitige Rotormagnetisierung

K=oo oder R? + X\r+ 2XffrX^+Zjr(l - ^ » 0 [Gl. (46a)]

Unter dieser Bedingung nimmt der Rotor beim idealen Leerlauf den ganzenfür die Erzeugung des Maschinenfeldes erforderlichen Magnetisierungsstromauf, und der Statorstrom bleibt gleich Null1). Diesen Fall nennen wir daher

„einseitige Rotormagnetisierung". Die Konstanten r0j, X0t und X/t0tsind in diesem Fall unendlich groß (Gleichungen (38a), (38b) und (40a)) und

dabei gilt die Substition der Gleichungen (40a) und (40b) in der Gleichung (39)nicht, da pa nun unbestimmt ist. Dies entsteht dadurch, daß die Lösung (Gl. 37)

j >

der quadratischen Gleichung (36) ebenfalls einen unbestimmten Wert für ~~-

J ' a

in diesem Fall liefert. Es soll dann die Lösung für — unter dieser besonderen"8

Bedingung direkt aus der Gl. (36) geholt und die Lösung für den Statorstrom

neu ausgedrückt werden. Es ist aber klar, daß die Rotor-Ersatzkonstanten

bzw. der Rotor-Stromkreis sich durch die obigen allgemeinen Ausdrücke (Gl. 45)auch in diesem Fall ergeben.

Die Lösung der Gleichung (36) ergibt sich unter diesen Bedingungen wie

folgt:

J°~

2ZMj{(Ä/-SÄg)siny-(x;-S^+ ZM.[l-g])cosyJMit Hilfe der eingeführten, durch die Gleichung (38 c) und (38 d) definierten

Konstanten vereinfacht sich dieser Ausdruck wie folgt:

x) Siehe Kapitel (7.3.).

46

J^ 2W^2W Xl.\l~~*) -••g«'^ -xl.&- 2Xc,X^~i

Js^r*,- 2X„{(Rs%-B;)ainV- (z,J -Z^Z^l-g])"^}

^.f1-^) _jR«2^ ~Z^ -2X«XtoüX

ü

a («.g - *)*,*- 5. (J.* -*;,- x„ [1 - g] „^

oder:r0t sin y—X0r cos ¥*

Xfit_

Js r0ramW-X0rcoa¥

-iX £-fiW=

-iH cosy+ ^'sin'y' »*• Jg

'2«*

'

f0rsinV- X0r coaW

X* ainW-jcoaWMf

2 ft2'

r0r sin ¥- X0r cos y

Durch die Einsetzung dieses Ausdruckes in die Gleichung (34a) erhalten wir:

M - 4 \b 4- i(X +Z 1 +Z* siny-^C08y 1

Daraus ergibt sich die Stator-Ersatzimpedanz

ft- = *s

Oe. cv

-B±ilX 4-X^^ sin y-7 cos y

-

M,+n*o.+*p,>

+2ü* r0rainW- X0rcoaW

"

"+ ? \ "•+ ^

+2 ft»ZJ +

2 ft2 \r0r sin V - X0r cos f Z0r/

- Äg+ ?\ "* M' 2ft»ZJ + 2ft"2 A Z0r(r0psinV-Z„,cos¥*) /

-B+i(x+X +

*» Ï1Z* f Sin¥y

y-'»"^g )-*,+ J\*o. + ai>.+ 2vxj

+2ft2 \r0rsin^-Z0rcosf 'X0r(r0rsinW-X0rcos¥*)/

~

8+ ?l "' "' 2ft2Z0rr2ft2Z0r(r0rsin'P-Z0,cos'P) Ly^+Zï Vl+*f,J

47

Setzen wir nun den neuen Parameter

Za=. Xl-fä+Xi-BinV°» 2û2X0r(r0rsmY-X0fcos¥)

und den konstanten Winkel

@8 = arctg-^

in diesen Ausdruck für 3e, em> so erhalten wir:

X

[o <©,<»]

oder:

worin:8e. = Re, + jXti + Z0ieio.

Re. = Rs Xe, - Xat + Xi, - -^or, + Xix, + 2#2X0,

@g = arctg^r [<K@S^]

(54a)

(54b)

(55)

»tAVW* HRKSfr i 'flflflfl'1°r

Vtr

/

MW TW-r-VW——nsw-

X

Vtr

/

i: Zo<l*s

(a) (b)

Fig. 21. Zwei mögliche Ersatzkreise für den Stator für K = oo

Zn = Parameter, veränderlich zwischen — oo -v + oo

-rnrarc tg

X„[0 < 0 < TT]

Der Ausdruck (55) bzw. die Figur (21a) ist nun die Ersatzimpedanz bzw.

der Ersatzkreis des Stators für den Fall K = oo. Das letzte Glied ist offenbar

eine Impedanz mit einem konstanten Winkel &s und einer dem Winkel W bzw.

den Belastungsbedingungen entsprechenden veränderlichen Größe Z0 .Durch die

Veränderung von Z0t zwischen — oo und + oo stellt 3e, den Statorkreis für alle

theoretisch möglichen Betriebszustände vollständig dar.

Den Verlauf von 3e, m der Gauss'sehen Zahlenebene stellt die Figur 22 dar.

Er ist nämlich eine Gerade mit dem Steilheitswinkel @s. Es folgt daraus ohne

48

weiteren Beweis, daß der Ort des Statorstromes in diesem Fall auch ein Kreis

ist, da er sich offenbar durch die Inversion von 3e, ergibt.

reell

Fig. 22. Der Verlauf der Statorersatzimpedanz 3e für den Fall K = oo

Es ist interessant zu bemerken, was man sehr einfach beweisen kann, daß

X2das Blindwiderstandsglied j 0 ..„

4^~ m der Gleichung (55) durch ein ohmsches

ersetzt werden kann, ohne irgend eine weitere Änderung in derGlied2 ü2r.

o,

Gleichung (55). Dies wird auch in einer anschaulichen Weise erkennbar in der

Fig. 22, indem man den Impedanzvektor 3e, ^ die Summe der Vektoren

oa + ac + cd betrachtet statt als die Summe oa + ab + bd. Im ersten Fall erhält

man den Ersatzkreis der Fig. 21b und im zweiten den Ersatzkreis der Fig. 21a,

wie er durch die Gleichung (55) definiert ist. Es ist aber vorzüglich, den Ersatz¬

kreis in der Form 21a bzw. Gl. (55) zu benutzen, da die innere Leistung in

diesem Fall durch die Leistung eines einzigen Widerstandes dargestellt wird,

nämlich des ohmschen Teiles der Impedanz 3o, •Diese Tatsache verursacht eine

gewisse Vereinfachung in der analytischen Lösung nach den Ersatzkreisen.

Die innere Leistung und das Drehmoment:

Für einen behebigen Wert des Parameters Z0t, kann die induzierte Spannung

des Stators wie folgt geschrieben werden:

Ç. =-3. [/*<.+&J= - 3. \Kcos ®s + i (xi>+K sm©s)] (68)

Die Wirkkomponente der inneren Leistung ist dann gleich der reellen Kom¬

ponente des Produkts 3* @s-Es ist mit der Gleichung (56):

S**©* = - Js2[^o.cos0s + ?-(Xi< + Zo<sin@8)]

49

Daraus ergibt sich die innere Leistung des Stators pro Phase:

P,, = -J/Zo>cos0s

Die Größe des Statorstromes Js beträgt nach dem Ersatzkreis:

T U. Us

Zei \(Rei + Z0s cos ©s)2 + {Xei + Z0t sin@s)2Damit wird:

U*Zn.co&0,

P.= -

'S "Ol^BKSg

(Rei + Z0t cos ®sf + (Xe> + Z0t sin @sf

Es ist nun die gesamte innere Leistung der Maschine:

Pi = -*U.:-t s ,

Z*-C08@°Watt (57)

Das Drehmoment ist offenbar:

Md = 0,975-^ m-kg

,, 5,85 C7S2 ZQ,cos6s,

Md = -s-

-9 -9 7,?

m-kg (58)Rl +Xl + Zl + 2ZOt(RetCos0s + Xetsm&s)

worin: n = Drehzahl, U/Min.Die Gleichung (57) bzw. (58) liefert den Betrag der inneren Leistung der

Maschine bzw. ihres Drehmomentes für jeden behebigen Wert des Parameters

Das Kippmoment der Maschine erhält man, wenn:

d(Md)_d(Z0i)

ist oder:

Z0Sm cos0S {2 Z^ + 2(Re> cos@s + Xe> sin@s)}

= {R\t + X\ + Z\Sm + 2 Z^ (Rei cos0s + Xes sin@s)} cos@sworaus folgt:

Zosm=±iW+K (59)

Diese zwei Werte des Parameters entsprechen den Kippzuständen und lie¬

fern durch die Einsetzung in Gl. (57) bzw. (58) die Kippleistungen der Maschine

bzw. ihre Kippmomente.Es ist klar nach Gleichung (57), daß die den zwei Zuständen für Pi = 0

entsprechenden Größen des Parameters Z0' die Werte 0 und oo haben.

50

Das Stromkreisdiagramm

Wie bereits erwähnt, läuft der Endpunkt des Stator-Stromvektors auch in

diesem Fall auf einem Kreis. Die Abmessungen dieses Kreises können wir ohne

weiteres bestimmen durch Inversion der Impedanzgerade (Fig. 22), wie die

Fig. 23 zeigt.Es sind die Koordinaten des Mittelpunktes:

x =

y =

u,

2(Xe-Rettg0s)

2(Rei-Xeictg0s)

und der Radius des Kreises:

2(Reßn&s-XetcoS&s)= ^x2 + y2

(60)

J * !

^s-Kreis

\ -Vs,

Einheitskreis ^>L- yJ^" /*f

Xi

/

1 tf

1 *

1\

S ïs./i

\ /^V^ x /£

reell"

'

'KXy

's

Fig. 23. Ermittlung des Stator-Stromkreises für den Fall K = oo

Die Ausdrücke (60) dienen zum Konstruieren des Kreisdiagrammes des

Stators im Fall K = oo. Es gelten für den Rotorkreis auch in diesem Fall die

allgemeinen Ausdrücke (53d) für die Abmessungen des Stromkreises, sowie die

Ergebnisse der allgemeinen Lösung und die graphische Theorie (Kap. (3.) und

(4.)). Die graphische Theorie gilt ebenfalls ohne weiteres für den Stator in die¬

sem Fall, nachdem man den Statorkreis nach den Ausdrücken (60) konstruiert.

51

(5.2.) Die einseitige Statormagnetisierung

K 0 oder 2y + Z£ + 2Xa<X„i +Xi (l-|ï)=0 [Gl. (46a)]

Es wird ebenfalls der Stator unter der Bedingung K = 0 den ganzen Mag¬

netisierungsstrom beim idealen Leerlauf aufnehmen, und der Rotorstrom bleibt

gleichNull. Dieser Fall wird daher als „einseitige Statormagnetisierung"

bezeichnet werden (siehe Kapitel (7.3.)). In gleicher Weise wird in diesem

Fall der Rotorstromkreis nach den Ausdrücken der allgemeinen Lösung unbe¬

stimmt, während der Statorstromkreis nach diesen Ausdrücken bestimmt ist.

Man konstruiert den Statorstromkreis nach diesen Ausdrücken und behandelt

den Rotorkreis wie oben und erhält ähnliche Ausdrücke. Es ist nämhch die

Rotor-Ersatzimpedanz :

worin:

3er = Rer + jXer+Z0rei<>r

xe, = XCr + xir

(61)

Xl-ü*-z0r+z^+ 2Z

Z0 = Parameter des Rotorkreises, veränderlich zwischen — oo und + oo

u*Xl-jrl + XÏ,.Sm¥^ 2X0t(r0tSmY-X0tcos¥)

0r = arc tg -=3 [0<©r<7r]

r0j, X0t = die entsprechenden durch die Gleichungen (38a) und (38b) definierten

Stator-Ersatzkonstanten.

Es gelten ebenfalls den Statorgleichungen (56) bis (59) für den Fall K — oo

ähnliche Rotorgleichungen für den Fall K = 0. Es sind ebenfalls die Abmes¬

sungen des Rotorstromkreisdiagrammes:

Koordinaten:U.

Radius:

y =

R =

2(Xer-Rertg@r)

U.

2(Rer-Xerctg&r)

2(£ersin0r-XCrcos0r)= V*2-H

(62)

52

6. Spezialfälle

Die oben entwickelte Analyse ist ganz allgemein und gilt für alle möglichen

Betriebszustände der D.S.-Maschine. Die einzelnen Spezialfälle, die man in

Praxis benützen will, ergeben sich unmittelbar aus der obigen Theorie. Von

diesen kommen in erster Linie die Parallel- und Serieschaltung in Frage. Für

diese Spezialfälle vereinfachen sich die obigen Resultate mehr oder weniger je

nach den Bedingungen. Wir behandeln nun diese zwei Spezialfälle für die

unsymmetrische und symmetrische Maschine.

Fall 1: Parallelgeschaltete unsymmetrische Maschine

fl + 1, m = 1, Xts = Ur = U, Ä. + JV, xa,*x'a

Es gilt für den Unähnlichkeitsfaktor: (Gl. (46a))

B.» + 3£ + 2X,.X,, + Xj,(l--L)R*+ Xl+2XatXflr+Xl(l-ü>)

und für die Ersatzkonstanten des Stators: (Gl. (43))

*" S+ °*

" S+ ^K^X'l+ 2X'0X^Xl{l-ü-)

Xe, = x„t +xu = xai + x^ - xMo> + XQ>

-Y_,y_r ,Y2X^-Xj-X^jl-ü2)

" "* A"°'+A"'' R'f + X'l + ZX'cX^Xlil-tf)

^..= ^,o.= ^<+Xl+KX2

und für die Ersatzkonstanten des Rotors: (Gl. (45))

T

Rer = Rr +r0r = Rr--£

xer = xat+xir = x„r+Xpr -X^+x0r

X 1

Mer ^Or J£

Der Ersatz-Stromkreis wird in der Figur 24a gezeigt.

53

Für die Berechnung der induzierten Spannungen @s und (£r benützt man

die Figur 24 b.

Die Gleichungen (53 a) bis (53 d) gelten für die Berechnung der Abmessungender Impedanz- bzw. Stromkreise.

Kontrolle: Herr Herschdorfer behandelte den einfachen Fall für u = il = 1

und erhielt für die Koordinaten der Mittelpunkte der Impedanzkreise dieselben

Resultate, die wir aus den Gleichungen (53a) und (53c) erhalten, wenn wir

— = 1 setzen. Die Radien der Impedanzkreise hat er nur annähernd ermittelt.

finrp- -M/W—* *~

-vw—^nnp—r

u

o

(a)

(b) *V <v-'WW-t-'JfflP—/vwv

*or Rr #r fs Rs*os rosöo ro< X/c

S

*

Z4T

o

W\r-^TRSIT-T"/*Mr-^nRP—f

Fig. 24. Der Ersatzkreis einer parallelgeschalteten unsymmetrischen D.S.-Maschine

Den Netzstrom $j = $s + $r kann man ohne weiteres berechnen oder nach

Fig. 18 graphisch bestimmen. Man muß aber berücksichtigen, daß sein Vektorkeinen Kreis beschreibt, sondern eine Kurve vierten Grades, weil die Strom¬kreise von $g und $r verschieden sind.

54

Fall 2: Seriegeschaltete unsymmetrische Maschine

Ss = 8r = 8> * =t= 1. -Bg 4= -B/' %o, *^ffr

U„ + Ur = U = Netzspannung.Es ergibt sich aus den Gleichungen (34a) und (34b):

-U = 8[(Ä.+ Är)+j(XB, + Z„r) + ?-Z/lf(l-|e^+?-Z(,r(l-«e«r)]Wenn wir für e^ den Ausdruck

e^*, = cos¥f + jsinS/

. .v w

= 1—2 sin2 —- + 2 j sin — cos

= 1-V+ j-

2 2

2

-«p y1 + Ctg2y tgy + Ctgy

schreiben, so wird

/ Jl __2\ 2/2.

2 N

Setzen wir ferner:

r=Z^tgT = -5*tgT

•Oe_

(v

so wird die Ersatzimpedanz der Maschine:

2e = (Bs + Rr) + j(Xai + Xar) + jXlli( JL_1\ 2/2

.

2 y\i+^ ü)

+ ü[ X^?

r xj

\+~* xjt+~rJ.

= (B.+ lU+j(x..+X.r+X*\l + ±-l)) + j-1 •

2 ** '

?>xM,%e = Be+jXe+

r + jXp,

worin die Ersatzkonstanten die folgenden einfachen Werte haben:

r"u

Den Ersatzkreis der Maschine pro Phase (Eotor und Stator zusammen)zeigt Fig. 25.

— /

-vww—TroöTnp--^vw—nsw-

Rs *0S Rr %or

u

"Ms (r^-f)

Uü

Fig. 25. Der Ersatzkreis einer seriegeschalteten unsymmetrischen D.S.-Maschine

Ein einziger Ersatzkreis genügt daher für die Maschine in diesem beson¬deren Fall. Ferner ist der Ersatzwiderstand Re in diesem Fall gleich dem wirk¬lichen Widerstand der Maschine (Rs + Rr). Die Koordinaten der Zentren bzw.der Radius des Impedanz- bzw. Stromkreises sind (nach Kap. (4.)):

Impedanzkreis:

Koordinaten: x = Re

y-xe + ^Radius : *-i

Stromkreis:

Koordinaten: X

yB* +X*+XeXr.

2

R*+ Xe* +XeX^

56

Kontrolle: Herr Dr. Brailowsky behandelte den Fall der seriegeschalteten

Maschine und erhielt für die Abmessungen des Impedanz- bzw. Stromkreises

dieselben Resultate, die wir aus den obigen Ausdrücken erhalten.

Fall 3: Parallelgeschaltete symmetrische Maschine

fl = u = l, Rs = Rr = R, Xat = Xar = Xa, X^ = X^ = X„ , Us = Ur = U

2& = 2& = 3 = Netzstrom.

Es gilt Bei = Rer=B \ = 0 = V

X-e, — Xe, = Xa Xt = 0 = ^

^F„= XV;r= 2^F

rs =rr

3e. = 8* =B+jXa+r2sr:lf^

9 2+?2+rg+2^

Schreiben wir nun:

-11 r

^ = ge und r = f

so erhalten wir für die Ersatzimpedanz einer Phase der ganzen Maschine:

Oe e I e

r+jX^

worin die Ersatzkonstanten einer Phase der ganzen Maschine betragen:

RRe =

2

X„

-X^ie= Xp

R/2 Xff/2-wwv nnnnn-

vc

Den Ersatzkreis der Maschine

zeigt die Fig. 26.

Fig. 26. Der Ersatzkreis einer parallelgeschalteten

symmetrischen D.S.-Maschine

57

Fall 4: Seriegeschaltete symmetrische Maschine

11 = 1, Bs = Bf = B, Xai = Xar = Xa, X^ = XMr = X^, % = & = % u = 1

2 Ug = 2 Ur = U = Netzspannung.

Es gilt

K = *e. = £ r0, = 0 = ro,

K = *e = xa Xt,= 0 = *«,A., = _A_„ — 6 A..

's 'r

öe,—

U

2

3

8er = ^ + ?

2rs?

r, + 2

-11

32Jß + 2?X0

•Oe=

4

+r,

-tt

3

+ 2/ZM

Schreiben wir nun

r =2rs

so erhalten wir für die Ersatzimpedanz einer Phase der ganzen Maschine:

worin die Ersatzkonstanten einer Phase der ganzen Maschine betragen:

Be =2B

Xe = 2Xa

X^ = 4XflDen Ersatzkreis der Maschine zeigt die Fig. 27.

Fig. 27. Der Ersatzkreis einer seriegeschalteten symmetrischen D.S.-Maschine

58

Es ist interessant zu bemerken, daß die obigen Resultate in den Fällen (3)

und (4) auch für eine Maschine mit ü 4= 1 gelten, wenn sie durch einen idealen

Transformator, dessen Übersetzungsverhältnis gleich û ist, parallel bzw. serie¬

geschaltet wird, vorausgesetzt, daß ihre Konstanten die Bedingungen Rs = Rr',

X„ = X'„ erfüllen.

7. Die Eigenschaften der allgemeinen doppelt gespeisten

SynchronmaschineUnter den verschiedenen Betriebsbedingungen.

(7.1.) Definitionen

Die obigen Resultate, die in den Kapiteln (3.) bis (6.) erhalten wurden,

ermöglichen die quantitative Berechnung aller Größen der Maschine unter

irgend einem behebigen Betriebszustand. Es werden nun in diesem Kapitel auf

Grund der erreichten analytischen Resultate die Eigenschaften des Doppel¬

speisung-Synchronbetriebes physikalisch erläutert und wie sie durch die ver¬

schiedenen möglichen Betriebsumstände und Bedingungen beeinflußt würden.

Zu diesem Zwecke teilen wir die möglichen Umstände, die in Praxis auf¬

treten mögen, in drei Gruppen gemäß den folgenden Definitionen:

A. Die „symmetrische Maschine":

Rr-

Xar~

\Wj-U Und

ür~Wr~U

also Rs = Rr' Xa> = X'0r u = ü [oder Us = Ur']

Die „symmetrische Maschine" ist daher eine Maschine, deren Kon¬

stanten und Klemmenspannungen — bezogen auf eine und dieselbe Seite —

gleich sind.

B. Die „baulich unsymmetrische Maschine":

U W

-jY=

tïta^so u — ü [°der Us = Ur']

Die Bedingung Rs = J?/ und Xat = X'ar sei aber teilweise oder gänzlich

nicht erfüllt.

C. Die „wesentlich unsymmetrische Maschine":

u 4= ü [oder Us #= Ur']

59

Der Begriff der „symmetrischen Maschine ", wie oben definiert, unter¬

scheidet sich von dem, der in der Literatur bereits besteht1), dadurch, daß er

die Gleichheit der Windungszahl der Rotor- und Statorwicklung (also * = 1) nicht

benötigt. Er benötigt nur die Erfüllung zweier Bedingungen, erstens die Gleich¬

heit der Konstanten der beiden Maschinenteile, wenn sie auf einen und den¬selben Teil bezogen werden, und zweitens, daß die auf die zwei Teile angelegtenSpannungen das Verhältnis ü haben. Die erste Bedingung ist offenbar sehr

schwer, in Praxis genau zu erfüllen, und ist allerdings für einen befriedigendenBetrieb der Maschine gar nicht erforderlich. Der Begriff einer symmetrischenMaschine ist aber vom theoretischen Standpunkt aus sehr nützlich, da er die

Grundgesetze, die das Verhalten der Maschine beherrschen, in einer einfachenWeise anschaulich zeigt. Wäre aber die eine oder die andere der zwei Bedin¬

gungen der Symmetrie unerfüllt (was in Praxis immer stattfindet), dann ent¬

steht dadurch eine gewisse Ungleichheit der Arbeitsweise der zwei Maschinen¬

teile, welche wir „Unsymmetrie" nennen. Die Nichterfüllung der ersten

Bedingung nennen wir „bauliche Unsymmetrie", da sie durch die'Kon-struktion der Maschine und nicht durch die Betriebszustände entsteht. Ein

wichtiges Beispiel für die baulich unsymmetrische Maschine ist die parallelgeschaltete Maschine mit ü = 1. Da sich die Maschinenkonstanten für die

normale Bauart nicht viel von der Bedingung -^ = -^ = üz unterscheiden,so eignet sich die Voraussetzung von Symmetrie für annähernde Rechnungenund Entwürfe.

Durch die Nichterfüllung der zweiten Bedingung entsteht hingegen einesehr bedeutende Unsymmetrie. Die geringste Änderung des Verhältnisses der

angelegten Spannungen (also die Änderung des Verhältnisses —) bzw. des Win¬

dungsverhältnisses für die Parallelschaltung hat einen beträchtlichen Einflußauf die Unsymmetrie. Das Ausmaß der Unsymmetrie in diesem Fall ist eigent¬lich von der Größe 11 - I —I 1 abhängig. Diesen Fall, nämlich wenn die zweite

Bedingung (ü = u) der Symmetrie unerfüllt ist, nennen wir daher „wesent¬liche Unsymmetrie".

(7.2.) Eigenschaften der symmetrischen Maschine

Es sind die zwei Bedingungen der Symmetrie:

Rr Xar \wr)-ü und

Ur-Wr-oder Rs = Rr', X0i = X'0r oder Us = Ur' oder u = ü.

*) E. Messing, Beiträge zur Theorie der D.I.M., Dissertation, Karlsruhe 1931.

U

60

Es gilt danach:

0 = r.Or

(Gleichungen (38a) und (38c))(Gleichungen(38b)

i

(Gleichungen (46a)).

X0t = 0 = XQr(Gleichungen(38b)

und (38d))

K'

= ü2

Dabei sind die Ersatzkonstanten gleich den wirklichen Konstanten der Ma¬

schine. Es sind nämlich:

B. = Rs = *Ȁr = r;

xei = xai = ü>X0r = X'ar

R„ = Rr

Xer = Xar -

*— P '

IT-*''

2XU

Die Parameter der Ersatzkreise sind:

rs = 2XFo< tg p^p) = 2 XM< tg^ [p, = 0] (Gl. (40a), (40b) und (41 ))

rr = 2X,0ftg(^) = 2Z,rtg^ [Pr = 0]

woraus folgt:

Die Ersatzkreise der Maschine stellt Fig. 28 dar.

ai.ü2

U,

I VW ^OOO^T

Ü 1Stator Rotor

Fig. 28. Ersatzkreise einer symmetrischen Maschine

2X/us fj_H2 //2

Es zeigt sich daher, daß die Stator-Ersatzkonstanten bzw. der Stator-Para¬

meter rs, ft2-mal so groß sind wie die Rotorkonstanten bzw. der entsprechende

Rotor-Parameter rr. Es folgt, daß der Stator immer denselben Leistungsfaktor

wie der Rotor hat. Ferner, da die Statorspannung u-mal so groß ist wie die

Rotorspannung, so ist der Rotorstrom immer «-mal so groß wie der Stator-

61

strom. Daraus ergibt sich, daß die zwei Maschinenteile stets die gleiche Blind-

und die gleiche Wirkleistung aufnehmen, und daß die zwei Stromkreisdiagrammeder Maschine ähnlich (im Verhältnis ü) sind. Es sind nämlich die Abmessungendes Stator-Stromkreises:

Fig. 29. Kreisdiagramm der symmetrischen Maschine. Us = 150 Volt, TJr = 75 Volt,

ü = u = 2, Rs = JB/= 1,50 Q, Xat = X'0r = 1,36 ß, X^ = 27,3 ß [25 Hz.1500 U/Min.]

Maßstäbe: Statorstrom lcm = 4Amp., Rotorstrom lcm = 8Amp., Klemmenleistung 1 cm = 3,6 kW (total)

Innere Leistung: gemessen senkrecht zur Leistungslinie 1cm = 0,869 kW/ph./Seite bzw. 5,213 kW (total)

62

Die Abmessungen des Rotor-Stromkreises sind -ft-mal so groß. Es genügt

dann, nur einen von beiden Kreisen zu zeichnen (Fig. 29). Man ermittelt aus

dem Kreisdiagramm die Stator-Klemmenleistung, den Statorstrom und den

Leistungsfaktor für jeden beüebigen Wert der inneren Leistung, wie vorher

erläutert (Kap. (4.)). Die entsprechende Klemmenleistung und der entspre¬

chende Leistungsfaktor des Rotors sind die gleichen, der Rotorstrom ergibt

sich aber durch die Multiplikation des Statorstromes mit ü.

Die Fig. 30a bzw. 30b zeigt das kombinierte Raum- und Zeitvektordia¬

gramm für Generator- bzw. Motorbetrieb bei Vollbelastung. Die Amplituden

der Durchflutungswellen Fs und F sind gleich (weil -f = ü) und haben daher«'s

mit der kombinierten Durchflutungswelle den gleichen Winkel, und die Ströme

haben mit den entsprechenden induzierten Spannungen den gleichen Winkel.

o zo to 60 80 Volt' ' Vts

Fig. 30. Kombiniertes Raum- und Zeitvektordiagramm einer symmetrischen Maschine

a) Generatorbetrieb b) Motorbetrieb

63.

Es zeigt sich daher, daß bei einer symmetrischen Maschine die zwei Maschi¬

nenteile stets genau in der gleichen Weise arbeiten und dieselbe Rolle in allen

Beziehungen spielen.Die Berechnungen der Ströme, Klemmenleistung und des Leistungsfaktors

wurden mit Hilfe des Kreisdiagrammes (Fig. 29) für das ganze theoretisch

mögüche Arbeitsgebiet ausgeführt1) und in Fig. 31 als Funktion der inneren

Leistung der Maschine gezeigt. Der Motorbetrieb entspricht offenbar dem

oberen Teil des Kreisdiagrammes über der Leistungslinie bzw. der negativeninneren Leistung in der Fig. 31. Man bemerkt, daß der Motorbetrieb nur in

einem kleinen Teil des ganzen theoretischen Arbeitsgebietes möglich ist. Im

Vergleich zu den Induktionsmaschinen entspricht der Motorbetrieb bei der

D.S.-Maschine einem kleineren Teil des ganzen Arbeitsgebietes 2). Der Punkt

Pm bzw. Pme in der Fig. 29 entspricht dem Zustand für die maximale (Kipp-)

Leistung der Maschine beim Motor- bzw. Generatorbetrieb. Der normale stabile

Lauf ist dann nur in der unteren Hälfte des Kreisdiagrammes zwischen PmM und

Pma möglich. Diese entspricht den dicken Linien in der Fig. 31. Das durch die

zulässigen Werte der Ströme begrenzte praktisch anwendbare Arbeitsgebiet ist

nur ein kleiner Teil des ganzen stabilen Gebietes. Es ist zu bemerken, daß die

Kennlinie der Klemmenleistung als Funktion der inneren Leistung (Pk= f (PJ)eine Ellipse ist.

Die zwei Punkte, wo die innere Leistung gleich Null ist, nämlich P00 und

Pk entsprechen offenbar den zwei Werten des Parameters oo resp. 0. In den

beiden Fällen nimmt die Maschine vom Netz eine Wirkleistung auf, die gleichden Kupferverlusten ist. Der erste Punkt P00 entspricht dem Parameter r = oo

und bezieht sich auf den idealen Leerlauf, welcher in Praxis einfach erreicht

werden kann, wenn man die Maschine mechanisch antreibt und ihr eine für

die Deckung ihrer mechanischen und Eisen-Verluste genau genügende mecha¬

nische Leistung zuführt. Das dem idealen Leerlauf entsprechende kombinierte

Raum- und Zeitvektordiagramm zeigt die Fig. 32. Die zwei Durchflutungs-wellen fallen im Raum zusammen. Jede Seite der Maschine nimmt von ihrem

Netz eine ihrem Kupferverlust gleiche Wirkleistung auf, welche durch die Ordi-

x) Die Berechnungen wurden für eine Versuchsmaschine (Maschine I, siehe Kap. (8.1.))

ausgeführt unter der Voraussetzung der Symmetrie. Die Maschine hat die folgenden Kon¬

stanten: Rs = 1,14 Ohm, Xa> =1,30 Ohm, Rr = 0,465 Ohm,

Xar - 0,355 Ohm, ü'

= 2,00 Ohm, X^ = 27,3 Ohm. Daher

Rr' = 0,465 • 4 = 1,86 Ohm und x;' = 0,355 • 4 = 1,42 Ohm.

Die angenommenen Konstanten für die symmetrische Maschine sind :

B. = Rr' =idi+ii"

= 1,50 Ohm, Xat = X'ar = l^J-M? = 1>36 0hn,

X^ = 27,3 Ohm, Us = 150 Volt, Ur - 75 Volt.

2) Siehe den Vergleich mit den Induktionsmaschinen am Ende dieses Kapitels.

64

29

d

3'

5•i—

-*-RufgenommeneKlemmenleistung,kW.—Abgelieferte«§

§a*S?o^*«>*

.J_

^«><=>«»<sCOS<f>,%»

2>S*"oK>*ft§

nate des Punktes P^, dargestellt ist. Dem wirklichen Leerlauf als Motor ent¬

spricht offenbar ein auf dem Kreis etwas höherer Punkt, da die Maschine nun

noch eine für die Deckung ihrer mechanischen und Eisen-Verluste erforderüche

Leistung vom Netz aufnehmen muß.

SVtor

Masstäbe

o z « eflmp-f-

O 20 ¥û 60 Volt

-W<

\fot0/.

*?c

<pB

•u.

Fig. 32. Kombiniertes Raum- und Zeitvektordiagramm für den idealen Leerlauf

einer symmetrischen Maschine

$ -O-B

H X<s Y^

/iasstäbeo 30 60 soRmp.

i 1 1 1r

O 30 60 90Volt

Fig. 33. Kombiniertes Raum- urtd Zeitvektordiagramm für den dem Punkt Pkentsprechenden Zustand (symmetrische Maschine)

Der zweite Punkt Pk entspricht in gewissem Sinne dem Kurzschlußpunktder Asynchronmaschine, hat aber eine verschiedene Bedeutung. Der Para¬

meter hat in diesem Fall den Wert r = 0, und die induzierte Spannung ist daher

auch gleich Null. Der Luftspaltfluß ist also ebenfalls gleich Null, und dafür

müssen die Durchflutungswelle des Stators und die des Rotors im Raum in

entgegengesetzten Richtungen stehen. Diesen Zustand stellt die Fig. 33 dar.

Es ist dann klar, daß die Maschine in diesem Zustand — theoretisch betrachtet— noch läuft. Ein weiterer Unterschied zwischen Pk und dem Kurzschlußpunkteiner Asynchronmaschine besteht darin, daß das Drehmoment der D.S.M. beim

66

Punkt Pk gleich Null ist, weil der Luftspaltfluß gleich Null ist. Hingegen hat

eine kurzgeschlossene Asynchronmaschine noch einen kleinen Luftspaltflußund damit auch ein Drehmoment.

Die Ausdrücke für die Kippleistung der Maschine (Gl. (50a), (50b) und (48))

vereinfachen sich unter den Symmetrie-Bedingungen wie folgt:

Generatorbetrieb: 3^2

pRs

f yx^ RSX^ RJ

Motorbetrieb: 317/

pR8

"

H^Ä^)'+1Für annähernde Berechnungen kann man annehmen, daß

3 17 2

P. ~<* Watt 1

^MRl+Xl-Rs

— "\ TJ 2

P. ~<* Watt

"n"1/ m -U Y2 4- R

Watt

Watt

(63)

(63a)

Es ist interessant, einen Vergleich zwischen der Kippleistung bzw. dem

Kippmoment der D.S.-Maschine und der Asynchronmaschine zu ziehen. Liefe

dieselbe Maschine im asynchronen Betrieb an demselben Netz (also dieselbe

Spannung und Frequenz), so gelten für ihre Kippleistung beim Generator- bzw.

Motorbetrieb die folgenden Ausdrücke1):

3UJ

(P, ) ~

2Watt

tvA""- yR*+4:Xl-Rg3ty

(p, ) ~

2Watt

*»*W ^Bzs+éXl + Ra

(63b)

Es ergibt sich nach den Ausdrücken (63 a) und (63 b) das Verhältnis S zwischen

der Kippleistung für D.S.-Betrieb und der für Asynchronbetrieb:

Sc^2.VJ?l + 4Z|, + i?8

iRl +Xl + Rs

*) Siehe z.B. E. Arnold, Die Wechselstromtechnik, Bd. V, 1. Teü, S. 71.

67

Für größere Maschinen ist das Verhältnis y^- ziemlich klein und wächst be-

kanntlich bis etwa zum Werte 1 an für sehr kleine Maschinen.

Für ~- « 1 ist S es* 4 für Motor- und Generatorbetrieb.

n

Für =4- ~1 ist S c~ 6 für Generatorbetrieb,x«.

und S c^. 2,7 für Motorbetrieb.

Es zeigt sich daher, daß die Kippleistung und das Kippmoment beim D. S.¬

Betrieb immer bedeutend größer ist als beim Asynchronbetrieb. Das Verhältnis

zwischen beiden hängt vom Fassungsvermögen der Maschine sowie der Arbeits¬

weise (ob motorisch oder generatorisch) ab. Für große Maschinen ist die Kipp¬

leistung etwa viermal so groß (das Kippmoment also etwa zweimal so groß).Je kleiner die Maschine ist, desto größer ist dieses Verhältnis für Generatoren

und desto kleiner ist es für Motoren. Für sehr kleine Maschinen ist es etwa 6 für

Generatoren und 2,7 für Motoren (das Kippmoment-Verhältnis ist daher 3

bzw. 1,35).Ein weiterer Vorteil des D.S.-Betriebes ist das Bedürfnis einer kleineren

Blindleistung, d.h. ein besserer Leistungsfaktor. Sei beispielsweise eine Ma¬

schine mit 11 = 1 angenommen, so kann diese Maschine direkt parallel- oder

seriegeschaltet werden. Die Bedingungen der Symmetrie werden dann in beiden

Fällen erfüllt, wenn Rs = Rr = R und Xai = Xar = Xa ist. Der Ersatzkreis

einer Phase der ganzen Maschine (also für den Netzstrom) ist in Fig. 34 für die

drei betrachteten Betriebsarten gezeigt, nämlich D.S.-Betrieb mit Parallel- und

Reihenschaltung und Asynchronbetrieb. Die Reaktanz X^, wie vorher defi-

w

niert, stellt das Verhältnisr— dar, worin E die induzierte Spannung und J

die Komponente des Stromes senkrecht dazu beim Speisen einer Seite, während

die andere offen bleibt, vertreten.

Die Nennspannung bzw. der Nennstrom pro Phase des Stators oder des

Rotors (gleich angenommen) sei U bzw. J. Würde man nun der Maschine in

jedem Fall die Nennspannung von der Nennfrequenz zuführen, so wird die

Nennleistung im Falle (a) mit Spannung U und Strom 2 J und im Falle (b) mit

Spannung 2 U und Strom J erreicht. Diese zwei Fälle sind offenbar ähnlich,

und in beiden hat die Maschine für die gleiche mechanische Leistung, die gleicheBlind- und Wirkleistung und den gleichen Leistungsfaktor. Beinj Asynchron¬betrieb aber wird die Nennleistung mit Spannung U und Strom J erreicht.

Wäre also der Leistungsfaktor in den drei Fällen derselbe, so wäre die Leistungin (c) die Hälfte wie in (a) oder (b). Das ist in sich offenbar kein Vorteil, da die

Maschine im Falle (c) auch mit etwa der halben Drehzahl wie in (a) oder (b)läuft. Wenn wir aber die aufgenommene Blindleistung betrachten, so çehen

68

wir anhand der Fig. 34, daß die Blindleistung im Falle (c) ungefähr dieselbe*)wie im Falle (a) bzw. (b) ist. Hieraus ergibt sich die wichtige Eigenschaft des

Doppelspeisung-Synchronbetriebes, nämlich daß die D.S.-Maschine einer Blind¬

leistung bedarf, die etwa die Hälfte der erforderlichen Blindleistung einer Asyn¬

chronmaschine der gleichen Nennleistung und der gleichen Polzahl beträgt und

dabei ist der Leistungsfaktor beim D.S.-Betrieb viel besser. Dieselbe Maschine

liefert daher beim D.S.-Betrieb bedeutend mehr als zweimal die Leistung, die sie

beim Asynchronbetrieb mit halber Drehzahl liefern würde.

Fig. 34. Ersatzkreis pro Phase einer Maschine mit ü= 1, Rs=Br=R, Xa =

a) Doppelt gespeiste Synchronmaschine, Parallelschaltung

b) Doppelt gespeiste Synchronmaschine, Reihenschaltung

c) Asynchron-Betrieb

**=-*••

Wenn wir nun den Magnetisierungsstrom vernachlässigen, dann wird der

Spannungsabfall im Fall (a) bzw. (b) gleichjyjip+xl

gegen beträgt er im Falle (c)2jy.ß2+X,

Uder Spannung, hin-

CTder Spannung, also zweimal so

groß. Daraus folgt, daß eine D.S.-Maschine ungefähr die Hälfte des Spannungs¬

abfalles einer gleichen Asynchronmaschine (eigentlich etwas mehr) hat. Diese Tat¬

sache hat bekannthch den weiteren wichtigen Erfolg, daß die Kippleistung

bzw. das Kippmoment einer D.S.-Maschine viel größer ist als bei der Asyn¬

chronmaschine, wie schon gezeigt. Aus dem gleichen Grunde ist der Durch¬

messer des Stromkreises einer D.S.-Maschine etwa zweimal so groß wie bei einer

gleichen Asynchronmaschine.

1) Vernachlässigen wir R und Xa, so wird die Blindleistung in jedem Fall dieselbe,

nämlich 4f- •

69

Wie die Fig. 34 auch zeigt, sind die Kupferverluste der Maschine im Fall (c)

ungefähr 6 «72 B, also gleich den Kupferverlusten im Falle (a) bzw. (b). Die

Eisenverluste beim D.S.-Betrieb sind offenbar größer als beim Asynchronbe¬trieb. Einerseits entstehen die Eisenverluste beim D.S.-Betrieb auch im Rotor

mit der Netzfrequenz, und anderseits sind die Pulsationsverluste bedeutend

größer wegen der größeren Geschwindigkeit des Rotorkörpers. Da aber die

Leistung beim D.S.-Betrieb verdoppelt wird und die Kupferverluste unverän¬

dert bleiben, so ist der Wirkungsgrad trotzdem bedeutend höher, selbst für eine

Asynchronmaschine der gewöhnlichen Bauart, deren Rotor aus kommerziellen

dicken Blätterungen besteht.

Diese Vorzüge des D.S.-Betriebes wurden auf Grund dieses einfachen Bei¬

spieles erläutert, sie stimmen aber offenbar für jede symmetrische Maschine

sowie für die praktischen Maschinen, die keine sehr starke Unsymmetrie be¬

sitzen.

(7.3.) Einfluß der Unsymmetrie

Es wurde im vorgehenden Kapitel gezeigt, daß die symmetrische Maschine

den vorbildlichen Fall vom Doppelspeisung-Synchronbetrieb darstellt, wo die

beiden Maschinenteile die Blind- und Wirkleistung unter allen Betriebszu-

ständen gleichmäßig unter sich teilen. Die günstigste Ausführung der Maschine,welche die größte Kippleistung sowie den größten Wirkungsgrad bei bestimm¬

tem Material Uefert, wäre dann jene, welche eine symmetrische Maschine mit

den kleinstmöglichen Werten von Wirk- und Streu-Widerständen und den

gleichen zulässigen Werten von Js und Jr' hervorbringt. Wegen des verhältnis¬

mäßig beschränkten Nutenvolumens des Rotors ist es aber in Praxis unmöglich,die Bedingungen der Symmetrie zu erfüllen. Es können deswegen nämlich wederdie bezogenen Konstanten noch die zulässigen Werte der Ströme gleich sein,und der Unterschied ist umso größer, je kleiner die Maschine ist. Es befindet

sich in Praxis deshalb immer eine Unsymmetrie ,die eine Unähnlichkeit im

Betrieb verursacht, wodurch der Strom des einen Teiles vergrößert und der des

andern vermindert wird. Auch der Wirkungsgrad und die Kippleistung werdenvermindert. Es wird in diesem Kapitel dieser Einfluß der Unsymmetrie er¬

läutert.

Beim Doppelspeisung-Synchronbetrieb hat man zwei auf die zwei Maschi¬

nenteile gelegte Spannungen Us und Ur. Die zwei induzierten Spannungen Esund Er sind immer im Verhältnis ü. Wären nun auch die angelegten Spannungenim Verhältnis il und die Konstanten Bs und Br bzw. Xa> und Xar im Verhältnis

1i2 (also eine symmetrische Maschine), dann würden die zwei Kreise der Ma¬

schine (Stator und Rotor), wenn sie auf eine und dieselbe Seite bezogen werden,

genau gleich aussehen. Der erforderliche Magnetisierungsstrom sowie der Wirk-

70

ström würden sich gleichmäßig verteilen, wie wir schon gesehen haben. Besteht

aber irgend eine Ungleichheit der bezogenen Spannungen oder Konstanten,

dann muß diese Unsymmetrie durch einen Unterschied zwischen den zwei

Strömen Qg und $/ (im allgemeinen in den Größen und den Phasenverschie¬

bungswinkeln) ausgeglichen werden. Die zwei Maschinenteile haben aber immer

die gleiche innere Wirkleistung, unabhängig von der Symmetrie, wie im Kapitel

(2.2.) gezeigt ist. Es kann daher nur ein Unterschied zwischen den inneren

Blindleistungen auftreten. Die Unsymmetrie wird dann durch die Auf¬

nahme bzw. die Abgabe von ungleichen Blindströmen ausgeglichen.

Es handelt sich daher bei unsymmetrischen Maschinen (für beide, Bau- und

wesentliche Unsymmetrie) um eine Ungleichheit im Betrieb, die lediglich im

Beitrag jeder Seite an den für das gemeinsame Feld erforderlichen Magnetisie¬

rungsstrom besteht (Kap. (2.3.)). Je größer die Unsymmetrie ist, desto größer

wird der Unterschied zwischen den Blindleistungen. Die inneren Wirkleistungen

sind aber immer gleich, und daher sind die Klemmenwirkleistungen auch

wesentlich gleich1). Die Vorgänge, die durch die Unsymmetrie hervorgerufen

werden, zeigen sich also vollständig beim Leerlauf sowie bei der Belastung,

und zwar sind sie erkennbarer beim Leerlauf, da die stets symmetrischen Wirk¬

ströme bei der Belastung auf die unsymmetrischen Magnetisierungsströme

überlagert werden und den Einfluß der Unsymmetrie dabei etwas decken. Es

ist dann sinnmäßig, den Einfluß der Unsymmetrie beim idealen Leerlauf (Pi = 0)

zu untersuchen, damit man einen klaren Begriff davon erhält. Der folgenden

Behandlung wird daher der ideale Leerlauf zugrunde gelegt.

Betrachten wir zuerst eine baulich unsymmetrische Maschine (u = ü) beim

idealen Leerlauf. Die Fig. 35 stellt die Umstände der Maschine dar. Jede Seite

nimmt nacheilenden Strom auf2) (liefert voreilenden Strom ab) und trägt an

der Aufrechterhaltung des gemeinsamen Feldes mit einem rein magnetisieren-

den Strom bei. Die resultierende Durchflutungswelle der Maschine wird durch

die beiden Seiten unterstützt. Es ist nämlich die Amplitude dieser Welle:

Fe=\J.\-Wa+\Jr\-Wr

Nimmt man nun an, daß die Rotorspannung vermehrt wird, während die

Statorspannung unverändert bleibt, also ü > u, dann sieht man anhand der¬

selben Figur, um das Gleichgewicht der Spannungen zu halten, daß der Rotor-

strom zunimmt, die induzierten Spannungen zunehmen und der Statorstrom

abnimmt. Unter den neuen Umständen hat der Rotor daher einen größeren

*) Mindestens innerhalb des praktischen Arbeitsgebietes, wo die Kupferverlust© im

Vergleich zur Leistung klein sind.

a) Gemäß des allgemeinen Begriffes wird in dieser physikalischen Behandlung ein

Strom als „nacheilend" bezeichnet, wenn er magnetisierend wirkt, also wenn er der Netz¬

spannung nacheilt.

71

Teil des Magnetisierungsstromes. Die Änderung einer der Klemmenspannungenverursacht daher eine Übernahme am Magnetisierungsstrom von einer Seite aufdie andere. Eine Vermehrung einer Spannung verursacht nämlich eine Zunahmedes Stroms der entsprechenden Seite und eine Abnahme des Stromes der anderen»

St* torr°'os

——ig 2*/-

Fig. 35. Kombiniertes Raum- und Zeitvektordiagramm einer baulich

unsymmetrischen Maschine beim idealen Leerlauf

Wird die Rotorspannung weiter vermehrt, dann wächst der Rotorstromweiter und der Statorstrom sinkt. Beide Ströme bleiben aber immerhin rein

magnetisierend, bis der Statorstrom den Wert Null erreicht, wobei der Rotorden ganzen Magnetisierungsstrom übernimmt. Diesen Fall nennen wir „ein¬seitige Rotor-Magnetisierung". Er besteht offenbar dann, wenn dieinduzierte Spannung des Stators gleich seiner Klemmenspannung ist. Es giltdaher für die einseitige Rotormagnetisierung die Bedingung:

U, = Es = ü- Eru.-x,

Vru

Sie entspricht also dem Klemmenspannungsverhältnis:

Daraus folgt:

u ~m, «*»

(64)

Wenn wir diese Beziehung in den Ausdruck (46a) einsetzen, so erhalten wir:

K = oo

72

Die einseitige Rotormagnetisierung entspricht also dem UnähnlichkeitsfaktorK = oo.

Durch eine Vermehrung der Rotorspannung über dem der einseitigen Rotor¬

magnetisierung entsprechenden Wert nimmt der Rotorstrom noch weiter zu,

und es besteht wieder ein Statorstrom. Jetzt aber nimmt der Stator einen

voreilenden Strom auf und hat eine induzierte Spannung, welche größer als seine

Klemmenspannung ist. Der Statorstrom ist dann offenbar rein entmagneti¬sierend. Die Ampütude der resultierenden Durchflutungswelle ergibt sich näm¬

lich durch:

F = \J\. W. - IJJ • W.s

Der Unähnlichkeitsfaktor hat nun einen negativen Wert.

Man kann ebenfalls sehen, daß durch die Verminderung der Rotorspannung

unter dem der Bau-Unsymmetrie entsprechenden Wert ( Ur = -^J der Rotor¬

strom einen kleineren und der Statorstrom einen größeren Wert als die in der

Fig. 35 gezeigten Werte haben. Durch eine gewisse Verminderung der Rotor¬

spannung erreicht der Rotorstrom den Wert Null, wobei der Stator den ganzen

für die Erzeugung des Feldes erforderlichen Strom aufnimmt. Diesen Fall nen¬

nen wir ebenfalls „einseitige Statormagnetisierung". Dafür gilt eben¬

falls:

jj _ E =^s

=

Us ' -^m«

Sie entspricht dem Klemmenspannungsverhältnis:

yJR,»+(x„.+xMi)«

Daraus folgt:

und dabei ist:

(65)

K = 0

Die einseitige Statormagnetisierung entspricht also dem UnähnlichkeitsfaktorK = 0.

Durch weitere Verminderung der Rotorspannung wächst der Rotorstrom

wieder, jetzt aber ist er voreilend (entmagnetisierend). Der Statorstrom wächst

gleichmäßig, um diesen entmagnetisierenden Einfluß des Rotorstromes auszu¬

gleichen. Es gilt nämlich für die Amplitude der resultierenden Durchflutungs¬welle unter diesen Umständen der Ausdruck:

Fc=\Js\-Ws-\Jr\.Wr

73

Der Unähnlichkeitsfaktor hat auch hier einen negativen Wert.

Die obigen Betrachtungen zeigen, daß bei einer wesentlich unsymmetrischenMaschine im idealen Leerlauf der Stator- bzw. der Rotorstrom irgend einen Wert

betragen kann und nacheilen oder voreilen kann, je nach dem Verhältnis u\u. Es

besteht ein bestimmtes Gebiet, dessen Grenzen den einseitigen Magnetisierungenentsprechen, in welchem sich dieses Verhältnis ändern kann, während die beiden

Ströme nacheilend (magnetisierend) bleiben. Dieses Gebiet nennen wir „Mag-netisierungs-Ähnlichkeits-Gebiet ". Seine Grenzen entsprechen den zwei

Werten 0 und oo des Unähnlichkeitsfaktors, und innerhalb des Gebietes ist der

Unähnlichkeitsfaktor positiv und außerhalb negativ. Liegt das Verhältnis ü\uaußerhalb dieses Gebietes, so ist ein Strom entmagnetisierend. Bei einer baulich

unsymmetrischen Maschine sind die zwei Ströme immer nacheilend. Die Summe

der Stator- und Rotor-K. V.A. ist aber in jedem Fall nacheilend, da sie fast gleichder für die Erzeugung des Feldes erforderlichen K.V.A. ist, welche offenbar stets

nacheilend ist.

Wir wollen nun den obigen physikalisch erläuterten Einfluß der Unsym-metrie noch mathematisch herleiten. Wir machen vorläufig eine wohl begrün¬dete Vereinfachung, nämlich die Vernachlässigung der Widerstände Rs und

Rr, da sie beim Leerlauf keinen bedeutenden Einfluß auf die Größe der indu¬

zierten Spannungen und daher auch auf ihr Gleichgewicht und die Ströme

haben. Durch diese Vernachlässigung erhält man ziemlich einfache Ausdrücke

für die Ströme der Maschine beim idealen Leerlauf, womit man den Einfluß

der wesentlichen Unsymmetrie direkt untersuchen kann, indem man das Ver¬

hältnis u\u als Variable betrachtet.

Nach den im Kapitel (3.) gegebenen Ausdrücken (Gleichungen (38a), (38b),(40a) und (46a)) schreiben sich die Ersatzkonstanten des Stators und der

Unähnlichkeitsfaktor bei Vernachlässigung der Ohmschen Widerstände wie

folgt:

'o. =0

a, Or V-t lit\ y*/

*2'K+2XaX^+Xl(l-%)

74

K

woraus folgt:

KT2 _

yä2 fi» fl«

und daher:

**.~±

M2 <7, w2 cr, ft, fi, y uij

°r °r H-t lit \ <u%)

Ï2\12

[z-+2z;z„+z^(i-y]

Dieser Ausdruck vereinfacht sich unmittelbar zux) :

[Xp. -^o. +"^ ^a,+ ^(7, ^CTr ]

z-+2z;zfli+z^(i-g)

Xt*0, = ^.'

M

Damit sieht der Statorersatzkreis wie in Fig. 36 aus.

Fig. 36

Ersatzkreis des Stators

beiVernachlässigung der

Ohm'schen Widerstände

*«

u. zK

v*o.

Beim idealen Leerlauf ist rs = oo und die gesamte Ersatz-Impedanz rein

blind, sie ist nämlich:

3e, = ?-(Z(Js+z0!+z^+z^)

Xt>-, {X".^ -X°rXP; \l ~tf)J +17 [XH,X°.+Xl*,X'c'r+Xc,X°j\Xe+X^ 1 + -

Z'2 + 2Z:Z„+Z2(l-^)

1) Die Vorzeichen vor der Wurzel fallen in diesem Ausdruck für X weg, da das

Vorzeichen von X immer dasselbe ist wie dasjenige der Größe \X'* +2X'a X +X*

11j

I .Dies kann man durch die Betrachtung der Gleichung (66) erkennen. Wenn wir

r / m2\1

für X das umgekehrte Vorzeichen von der Größe \X'* +2X'arX +X* II A\ an¬

nehmen, so erhalten wir statt der Gleichung (66) den folgenden Ausdruck:

_

. Xp, Xq, + Xp. Xgr+X0i Xar

Diese Impedanz ist stets ein induktiver Blind-Widerstand und nimmt mit der Zunahme

von ü/u ab, was für keinen Wert von ü/u stimmt, wie wir schon physikalisch gesehen

haben. Das Vorzeichen von X ist also im allgemeinen Fall dasselbe wie das der Größe

8e

[R'/+ X-+2X'arX,i + x;t(l-.^)]75

Dieser Ausdruck vereinfacht sich unmittelbar zu:

= x^x^+x^+x^xi

Ähnlicherweise gilt für die Rotorersatzimpedanz bei Vernachlässigung der

Widerstände und idealem Leerlauf der folgende Ausdruck:

x^xth+x^s±x^i

Wenn wir den nacheilenden (magnetisierenden) Strom positiv bezeichnenund den voreilenden Strom negativ, so gelten für die Größe der Ströme die

folgenden Ausdrücke:

X+M1-!)X^X^+X^X'^ + X^X'^

x;+x„ (1-^)T_ TJ M U )

/«0o\

Um einen Vergleich zwischen dem Stator- und dem Rotorstrom direktdurchführen zu können, soll man die Ströme auf eine und dieselbe Seitebeziehen. Es ist der auf den Stator bezogene Rotorstrom:

Xa+Xa (l-4)

= U.-ü' M u]

^V-t X-'a, + -^/*. Xa, + %or Xa,

= U •

u ' ' \ u>(69 b)

XptX„t+X^ X'0r + Xa> X'0r

Hält man nun die Statorspannung konstant und ändert die Rotorspannungbzw. das Verhältnis u/u, dann ändern sich die Impedanzen ZBt und Z'e =

ü*. Z6r sowie die Ströme Js und «7/ gemäß den Ausdrücken (66), (67), (68) und

(69 b) resp. Die Fig. 37 zeigt diese Größen als Funktion des Verhältnisses üjubzw. der Rotorspannung. Die Hälfte dieser Figur über der Abszissenachse ent¬

spricht nacheilenden Strömen bzw. induktiven Ersatzimpedanzen, und dieuntere Hälfte entspricht voreilenden Strömen bzw. kapazitiven Ersatzimpe¬danzen.

76

Für die Ersatzimpedanzen erhält man zwei rechtwinklige Hyperbeln und

jede hat offenbar eine vertikale Asymptote durch eine Grenze des Magneti-

sierungs-Ähnlichkeits-Gebietes. Der Verlauf jedes Stromes ist eine Gerade. Ein

Teil Hegt über und einer unter der Abszissenachse, welche den magnetisierenden

und entmagnetisierenden Strom trennt. Die zwei Grenzen des Magnetisierungs-

Fig. 37. Einfluß der Unsymmetrie auf die Ersatzimpedanzen und die Ströme beim

idealen Leerlauf und Vernachlässigung der Ohm'schen Widerstände

Ahnlichkeits-Gebietes (die einseitigen Magnetisierungen) entsprechen den Ver-

—^—^1 und (^—^—) .Innerhalb dieses Ge-

bietes sind die beiden Ströme magnetisierend. Ihr Verhältnis -~ kann je nach

dem Verhältnis — irgend einen Wert zwischen +00 und —00 betragen. Dieu J

Bau-Unsymmetrie (ü = u) entspricht einem Verhältnis-p,

welches sich nicht

viel von +1 unterscheidet. Es ist interessant zu bemerken, daß das Verhältnis

Y7bei der Bau-Unsymmetrie gleich dem Verhältnis -—- ist. Das heißt also:

77

Das Verhältnis der auf eine und dieselbe Seite bezogenen Ströme ist dem Verhältnis

der auf eine und dieselbe Seite bezogenen Streu-Reaktanzen umgekehrt propor¬tional 1).

Die Kennlinien der Fig. 37 wurden für eine Versuchsmaschine (Maschine I,siehe Kap. (8.1.)) berechnet und in der Fig. 38 wieder gezeigt. Man sieht daraus,daß das Gebiet der Magnetisierungsähnlichkeit in Praxis ziemlich beschränkt

ist. Obschon die Figur 38 für eine kleine Maschine (und daher mit verhältnis-

mäßig großem Verhältnis —°^—— ) gerechnet wurde, ist die Maschine schon

bei einem Wert von — gleich etwa 1 ± 0,05 außerhalb dieses Gebietes. Die

Verteilung des Magnetisierungsstromes zwischen den zwei Maschinenteilen ist

daher vom Verhältnis — sehr stark abhängig. Für die betrachtete Maschine wird

bei einem Unterschied von etwa 5 % zwischen dem Spannungsverhältnis und

dem Übersetzungsverhältnis der ganze Magnetisierungsstrom auf eine Seite

übertragen. Bei einem Unterschied von etwa 17 % bzw. 12 % wird der Nenn¬

strom durch diese starke Unsymmetrie schon beim Leerlauf erreicht. Die alge¬braische Summe (Js + Jr') (ein nacheilender Strom ist positiv angenommen)

ist auch in Fig. 38 gezeigt. Sie steigt geradlinig mit dem Verhältnis — bzw. Ur.Diese Summe stellt offenbar den effektiven magnetisierenden Strom (bezogenauf den Stator) dar. Es ist daher die aufden Stator bezogene Luftspaltspannung :

Es = X^ • (Js + Jr')

und daher ist die Funktion Es = / I~J auch eine Gerade.

Die Zunahme der Summe (Js + Jr') mit dem Verhältnis — ist aber sehr

klein, denn sie ist nicht durch die Unsymmetrie verursacht, sondern durch die

Zunahme des Luftspaltflusses bzw. Es wegen der Vermehrung der Rotorklem-

menspannung. Ändert man das Verhältnis — mit Berücksichtigung, daß die

Luftspaltspannung unverändert bleibt, so bleibt die Summe (Js + «//) immerhinunverändert und positiv, da sie eigentlich den für die Erzeugung des Luftspalt-

*) Diese Tatsache zeigt ein genaues Verfahren zur Trennung der Streu-Reaktanzeneiner Schleifringankermaschine. Man treibt die Maschine im D.S.-Betrieb und stelltdie Stator- und die Rotorspannung gemäß dem Verhältnis u = ü ein. Die mechanische

Leistung wird auch so eingestellt, daß die Maschine nur ihre Kupferverluste vom Netz herdeckt. Das Verhältnis Jr'jJs unter diesen Bedingungen ist also gleich dem Verhältnis

X0JX'0r. Wie nachher gezeigt wird (Fig. 38) haben die Ohm'schen Widerstände keinenbeträchtlichen Einfluß auf die Größe der Ströme in diesem Versuch. Durch einen gewöhn¬lichen Kurzschlußversuch ermittelt man die Summe X„ +X'„ und damit berechnen sich

Um "rdie einzelnen Streu-Reaktanzen. Dieses Verfahren ist zur Trennung der Streu-Reaktanzender Versuchsmaschinen angewandt worden (siehe Kap. (8.1.)).

78

-

Pbrei/end

(entmagnetisierend)

Nacheilend (magnetisi

erend)-

><

op es

CO

Ol o I S: II (9

,*I

ilË>

ra

oi

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0g

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01

en-

Oi

a.

a" a n

os

e.

<D

K>

ftOl tu

PN

s

150

auf

o

ä

Strom,Ampère

flusses erforderlichen Magnetisierungsstrom darstellt. Die Unsymmetne bringtdaher keine Zunahme des gesamten Blindstromes bei konstanter Luftspaltspannunghervor. Wegen der Blindleistung der Streu-Reaktanzen (Js2XCi bzw. Jr2 Xa)wird jedoch eine Zunahme der gesamten Blindklemmenleistung der Maschine

bei konstanter Luftspaltspannung durch die Unsymmetrie verursacht. In der

Fig. 38 wird die Leistung (offenbar rein blind) jeder Seite sowie die gesamte

Leistung der Maschine gezeigt. Das Steigen der gesamten Leistung der Maschine

ist beträchtlich außerhalb des Gebietes der Magnetisierungsähnlichkeit, und

zwar ist es stärker rechts als links davon, weil die Luftspaltspannung und daher

die Magnetisierungs-Blindleistung mit der Vermehrung von UT zunehmen. Aus

demselben Grunde erreicht die gesamte Leistung ihr Minimum nicht in der

Nähe von — = 1, sondern ziemlich weit links davon. Um diesen Einfluß deru

Änderung der Luftspaltspannung auf die gesamte Leistung auszugleichen,damit nur der Einfluß der Unsymmetrie bleibt, ist die gesamte Leistung in

jedem Punkt durch den entsprechenden Wert von Es2 dividiert. Man erhält

dabei die gesamte Leistung pro Volt der Luftspaltspannung (Fig.38). Es ergibt sich daraus, daß die Unsymmetrie eine Zunahme der gesamten

Blindleistung der Maschine verursacht, welche umso schneller steigt, je mehr das

Verhältnis — von 1 abweicht. Innerhalb des Gebietes der Magnetisierungsähn¬

lichkeit ist die durch die Unsymmetrie verursachte Zunahme der Blindleistungpraktisch unbedeutend.

Die obigen Resultate wurden abgeleitet ohne Berücksichtigung der Ohm'

sehen Widerstände. Um den Einfluß der Widerstände auf diese Resultate zu

zeigen, wurden die Ströme Js und Jr' nach den Gleichungen (34c) und (36b)für idealen Leerlauf (also W = n) gerechnet. Die punktierte Linie in der Fig. 38

stellt die gerechneten Resultate mit Berücksichtigung der Widerstände dar.

Es besteht kein bedeutender Unterschied zwischen den ermittelten Resultaten

mit und ohne Berücksichtigung der Ohm'sehen Widerstände bei der Bau-

Unsymmetrie und bei kleinen Ausmaßen von wesentlicher Unsymmetrie, erst

bei großen Ausmaßen von wesentlicher Unsymmetrie besteht ein kleiner Unter¬

schied.

Um die Blindleistungsaufnahme zu begrenzen, sollte die Maschine innerhalb

des Gebietes der Magnetisierungsähnlichkeit arbeiten. In dieser Beziehung ist

es am günstigsten — = 1 zu wählen (also ü = 1 für die Parallelschaltung), da

dieser Fall der Minimalblindleistung pro Volt entspricht (Fig. 38). Es wird aber

im Kapitel (7.6.) gezeigt werden, daß das Verhältnis ü < u sein muß, um die

Ausnützung der Maschine zu erreichen, d.h. um die maximale Dauerleistungvon einer gewissen Maschine zu erhalten.

80

(7.4.) Eigenschaften der baulich unsymmetrischen Maschine

Fig. 39 zeigt die Ersatzkreise und die Kreisdiagramme einer baulich unsym¬metrischen Maschine, gerechnet für dieselbe Maschine I wie im Kapitel (7.2.)für die symmetrische Maschine ohne die Voraussetzung der Symmetrie der Kon¬

stanten. Die Summe der Konstanten (Bs + Rr') bzw. (Xat + X'a ) ist in den

j, Kreisdiag.dersymm.-

^/i, IMaschine zum

Statormasstab

Kreisdiag.der st/mm.

Maschinezunk

Rotormasstab^

[Gleichungen(ï3)bziY ßs)J

X,s-437Jli

Statorersatzkreis "•*•»'«

3 4t Sem

Ur

rarorersarzKreis "*-'>—1,a-

Rr--o.*6sn r„r.unctoj-yw—TOr-i-AM*—KW-

Xe;03SSa X,£-0.3XJSVolt tr

J I i_J l

Rotorersatzkreis Me*

Fig. 39. Ersatzkreise und Stromdiagramme einer baulich unsymmetrischen Maschine

Us = 150 Volt, Ur = 75 Volt, u = ü = 2, 25 Hz, 1500 U/Min.Rs = 1,14 ß, RT = 0,465 ß, X0i = 1,30 ß, X0f = 0,355 ß, X^ = 27,3 ß.

Maßstäbe: Statorstrom: 1 cm = 10,0 Amp./ph., Rotorstrom: 1 cm = 37,35 Amp./ph.,innere Leistung : 1cm = 10,39 kW (total), Stator-Klemm.-Leist. : lcm=4,50kW (total), Botor-Klemm.-Leist.: 1 cm = 8,40 kW (total).

81

beiden Fällen die gleiche und daher ist der Unterschied zwischen den zwei Fäl¬

len nur auf die Bau-Unsymmetrie zurückzuführen. Das unter der Voraus¬

setzung von Symmetrie erhaltene Kreisdiagramm ist für jede Seite im ent¬

sprechenden Maßstab wieder mit Strichen in Fig. 39 gezeichnet. Man sieht

daraus, daß der Einfluß der Bau-Unsymmetrie bei Belastung sich hauptsächlichdurch eine sehr beträchtliche Verschiebung des Mittelpunktes des einen Kreises über

und des andern unter der Abszissenachse zeigt. Die Radien und die »-Kompo¬nenten der Mittelpunkte werden hingegen unbeträchtlich beeinflußt. Diese

Verschiebung der Kreise in zwei entgegengesetzte Richtungen verursacht offen¬

bar eine gewisse Unähnlichkeit der Ströme sowie eine sehr starke Ungleichheit,der Leistungsfaktoren. Es wird nämlich der Kreis der Seite, die den größeren

(bezogenen) Ohm'sehen Widerstand besitzt (der Rotor) über der Abszissen¬

achse verschoben und daher wird diese Seite einen bedeutend größeren und die

andere Seite einen kleineren Leistungsfaktor beim Motorbetrieb besitzen. Beim

Generatorbetrieb wird im Gegenteil die erste Seite einen kleineren und die

andere einen größeren Leistungsfaktor besitzen. Diese durch die Bau-Unsym¬metrie verursachte Verschiebung der Stromkreise hat noch eine wichtige Folgeauf die Belastungsfähigkeit der Maschine bzw. auf ihre Dauerleistung1). Da

die Klemmenleistung des Stators nur unbedeutend2) von der des Rotors ab¬

weicht, so ist wegen dieser Ungleichheit der Leistungsfaktoren der bezogen»Strom der Seite, deren bezogener Widerstand größer ist, bedeutend kleiner als.

der der anderen beim normalen Motorbetrieb und bedeutend größer beim nor¬

malen Generatorbetrieb. Diese Tatsache erkennt man auch aus der Figur 40,

wo die Kennlinien der Maschine als Funktion der inneren Leistung im ganzen

theoretisch möglichen Arbeitsgebiet gezeichnet sind. Sie sind nach den Kreis¬

diagrammen (Fig. 39) gerechnet worden. Die Ströme Js und Jr' sind nur bei

einer sehr kleinen Belastung gleich und weichen sonst voneinander ab, und

zwar im Sinne, daß Js > Jr' beim Motorbetrieb und Jr' > Js beim Generator¬

betrieb im stabilen Lauf ist.

Die Kennlinien der Maschine (Fig. 40) haben denselben Charakter wie die

der symmetrischen Maschine. Die Kennlinien des Stators weichen aber von

denen des Rotors ab. Die Ströme Js und «7/ weichen überall im theoretisch

möglichen Gebiet nicht viel voneinander ab, obwohl sie schon innerhalb-

des anwendbaren Gebietes eine große Abweichung zeigen. Die Abweichungder Ströme ist überall fast gleich. Der Unterschied zwischen den Klemmen¬

leistungen sowie zwischen den Leistungsfaktoren ist umso größer, je größer die

innere Leistung ist. Die Stator- bzw. Rotorklemmenleistung als Funktion

der inneren Leistung ist eine Ellipse und daher ist die Funktion der

*) Siehe Kapitel (7.6.).

2) Nur im selben Betrag wie der Unterschied zwischen den Kupferverlusten der zwei

Seiten.

82

too

90

180

200

.«

SO

00

CO

Fig.

40.

Kennliniend

er

baulich

unsymmetrischenMas

chine

im

theoretisch möglichenArbeitsgebiet

Us=

150

Volt,

Ur=

75

Volt,

u=

ü=

225Hz,

1

5

0

0

U/Min.,

Äg=

1

,

1

4

Rr=

0,465

Xa>

} Kennlinien

des

Statorsu

ndder

gesamtenLeistung

;~~

~}

Kennliniend

es

Rotors

1

,

3

0

X„=

0,356

Xu=

too

90

80

70

60

SO

fO

30

10

10

Yo toS

zo

30

to

so

60

70

80

90

100

27,3

t.1<hn 1.30n 0.ït3nRt°V*n XSs--VOa X;s= -0.37n»t-vww-^^IW»r^^vv, 1| t i n oj^ww-^TOnr*—^-nnm^—

Us--isoVo,t Es-zoS0»J 1

XyUg' *S3.18n

Statorersatzkreis

ISO

1Volt

30. *Volt

1

Rr-o.i-6SaK6l.=o.3ssn X;r =-o,330n

»rVWr^WMm—^|—0,ï65n 0.3SS11 -0,fOS4n

Ur-7SVo»X

Jr^f*Z,3Er'tS.2

Vo/f

tzn orWAr-^nnre^-i—II-| "-»2.«/»7?/>.f

"

= 7*"0// 15.2Volh

X-Me/W

Rotorersatzkreis

M-\ St»'tor'

'^OA

-^v %s s ' %

. $B

1

Masstäbe % U^T-££

o w so rzoflmp. /

0 20 to 60 Volï I

1 'Ml\ 'h

or-

Fig. 41. Die Ersatzkreise und das kombinierte Raum- und Zeit-Vektordiagramm einer

baulich unsymmetrischen Maschine für den Zustand, welchen der Punkt Pk bzw. P^darstellt (Maschine I)

84

gesamten Klemmenleistung der Maschine Pkji = Pki + Pkr — f (Pi) auch eine

Ellipse, wie die Figur 40 zeigt. Einen wichtigen Vergleich zwischen der sym¬

metrischen und der baulich unsymmetrischen Maschine erhält man durch Ver¬

gleichen der Energie-Ellipse PkM = f (P^ in beiden Fällen. Diese werden in der

Figur 48 (Kap. (7.5.)) wieder gezeigt. Die Ellipse B entspricht dem betrachteten

Fall der baulich unsymmetrischen Maschine und die Ellipse A derselben Ma¬

schine unter der Voraussetzung von Symmetrie (Kap. (7.2.)). Der Vergleichzwischen den zwei Ellipsen zeigt in erster Linie, daß eine Verminderung der

Kippleistung bzw. des Kippmomentes für Motor- sowie für Generatorbetrieb durch

die Bau-Vnsymmetrie verursacht wird. Der Wirkungsgrad, der natürlich nur

innerhalb des praktisch anwendbaren Gebietes von Wichtigkeit ist, wird aber

durch die Bau-Unsymmetrie nicht beträchtlich vermindert, da die zwei Ellip¬sen innerhalb dieses Gebietes fast zusammenfallen.

Eine weitere theoretisch interessante Folge der Unsymmetrie besteht in dem

dem Punkte Pks bzw. Pkr (Fig. 39) entsprechenden Zustand. Dieser Zustand

ist von dem entsprechenden Zustand einer symmetrischen Maschine etwas ver¬

schieden. Wie die Figur 40 zeigt, sind die Ströme Js und «7/ bei diesem Zustand

nicht gleich und daher ist die Amplitude der resultierenden Durchflutungswellenicht gleich Null. Dadurch besteht in jedem Teil noch eine kleine, dem Unter¬

schied \JS — Jr'\ proportionale induzierte Spannung und steht jeder Strom der

zugehörigen induzierten Spannung senkrecht, da die innere Leistung gleichNull ist. Der eine Strom ist dann rein magnetisierend und der andere rein ent¬

magnetisierend. Die Ersatzkreise und das kombinierte Raum- und Zeitvektor¬

diagramm der Maschine für diesen Zustand sind in der Figur 41 gezeigt. Der

Betrag des Parameters rs ergibt sich aus der Gleichung (51b) und der des Para¬

meters rr nach ähnlichem Ausdruck1).

(7.5.) Eigenschaften der wesentlich unsymmetrischen Maschine

Die Eigenschaften der wesentlich unsymmetrischen Maschine werden wir

anhand von drei Beispielen erläutern, welche für die Versuchsmaschine I ge¬

rechnet wurden2). Die Maschine hat ein Übersetzungsverhältnis ü = 2,00 und

ihre normale Spannung ist 150 Volt pro Statorphase bzw. 75 Volt pro Rotor¬

phase. Die Berechnungen wurden für drei verschiedene Ausmaße von wesent¬

licher Unsymmetrie ausgeführt. Sie sind nämlich:

Fall (1): Us= 147 Volt, ür = 76 Volt.

1) Der Parameter rs bzw. rr beträgt in diesem Fall praktisch den Wert - r0 bzw. - r0 .

2) Die angenommenen Konstanten der Maschine sind: Rs = 1,14 Ohm, Xa = 1,30

Ohm, Rr = 0,465 Ohm, X0f = 0,355 Ohm, X - 27,3 Ohm.

85

Wenn wir diese Werte in den Ausdruck (46 a) für den Unähnlichkeitsfaktor

K einsetzen, so erhalten wir:

K =L ^+^.+2^.^.+^.(1-g)

= + 16,52

Dieser Fall entspricht also einem positiven Unähnlichkeitsfaktor und liegtdaher innerhalb des Gebietes der Magnetisierungsähnlichkeit.

Fall (2): Us = 153,5 Volt, Ur = 73,2 Volt.

Damit ergibt sich: K = 0,00.

Der Unähnlichkeitsfaktor ist gleich Null und daher entspricht dieser Fall

einer Grenze des Gebietes der Magnetisierungsähnlichkeit, nämlich der ein¬

seitigen Statormagnetisierung.

Fall (3): Us = 143 Volt, Ur = 79 Volt.

Dabei ist: K = - 12,50

Dieser Fall entspricht einem negativen Unähnlichkeitsfaktor und liegt daheraußerhalb des Gebietes der Magnetisierungsähnlichkeit. Er entspricht nämlich

einem entmagnetisierenden Stator, da der Nenner des Ausdruckes von K nega¬tiv ist.

Um einen richtigen quantitativen Vergleich zwischen den drei Fällen durch¬

führen zu können, haben wir die Spannungen Us und Ur so gewählt, daß die

Summe Us+ Ur' in den drei Fällen ungefähr die gleiche (nämlich etwa 300 Volt)ist, und daher ist die Luftspaltinduktion auch praktisch die gleiche. Ein Be¬

rechnungsbeispiel der Ersatzkreise und der Stromdiagramme ißt im Anhang I

ausführlich gegeben.

Fall (1): Innerhalb des Gebietes der Magnetisierungsähnlichkeit:

Die Figur 42 zeigt die Ersatzkreise der Maschine und ihre kombinierten

Kreisdiagramme unter den Bedingungen dieses Falles. Die gestrichelten Kreise

in derselben Figur zeigen die Kreisdiagramme der Maschine, wenn sie als eine

baulich unsymmetrische Maschine (also mit Spannungen 150 und 75 Volt) arbei¬

tet (Kap. (7.4.)). Wie bereits erwähnt, liegt dieser Fall innerhalb des Gebietes

der Magnetisierungsähnlichkeit und daher nehmen die zwei Maschinenteile beim

idealen Leerlauf (Punkt P0t und P0 , Fig. 42) magnetisierende Ströme auf. Da

aber das Verhältnis u < il ist, so ist dieser Zustand nahe der einseitigen Rotor¬

magnetisierung oder, anders gesagt, durch diese wesentliche Unsymmetrie

86

nimmt der Rotor beim idealen Leerlauf einen größeren Teil des erforderlichen

Magnetisierungsstrdmes auf — im Vergleich zu der baulich unsymmetrischen

Maschine —, wie die Punkte P0< und P^ auch zeigen. Es wird dadurch der

Statorstromkrei8 nahe am Ursprung und der Rotorstromkreis weit davon verschoben

und ein Zunehmen des Leistungsfaktors des Stators sowie eine Verminderung des-

Rotorkreis

Kreisdiag.der baulich

unsymmetr.Maschine

Stator/treîs

frsaf'zhre/se

{uleichu/7grenß3)6zn'.(*-s)JftS't.i*n r0f-is,nn.

»tW-HMW II-

"r"•UsA toitolt

Statorersatzkreis %MH '**>*-"

ftr*0.<fssii r0r = o.9isii.

i* scm

o-wwv-^np-i^vw—f-e./t2il

Rotorersatzkreis ^'r'8-7*3

Fig. 42. Ersatzkreise und Stromdiagramme einer wesentlich unsymmetrischen Maschine

Fall 1 : Innerhalb des Gebietes der Magnetisierungsähnlichkeit

üs = 147 Volt, Ur = 76 Volt, ü = 2 25 Hz, 1500 U/Min.

Bs = 1,14 Q, X0> = 1,30 Q, Rr = 0,465 ß, X„r = 0,355 ß, X = 27,3 ß

Maßstäbe: Statorstrom: 1 cm = 10 Amp./Ph„ Rotorstrom: 1 cm = 36,2 Amp./Ph.,

innere Leistung: lcm= 10,18 kW (total), Stator-Klemm.-Leist. : lcm= 4,41kW (total),

Rotor-Klemm.-Leist. : 1 cm = 8,25 kW (total).

87

jenigen des Rotors beim Motor- sowie beim Generatorbetrieb hervorgebracht. Im

übrigen werden die zwei Kreise durch die wesentliche Unsymmetrie unbeträcht¬lich beeinflußt. Es werden nämlich der Radius und die ^-Komponente des

Mittelpunktes nicht viel geändert.Die Kennlinien der Maschine im ganzen theoretischen Arbeitsgebiet wurden

mit Hilfe des Kreisdiagrammes gerechnet und sind in der Figur 43 gezeigt. Sie

unterscheiden sich im allgemeinen Charakter nicht von denen einer symmetri¬schen oder einer baulich unsymmetrischen Maschine. Die Kennlinien der Ströme

zeigen nur im praktisch anwendbaren Gebiet eine bedeutende Änderung, wo

der Rotorstrom etwas größer und der Statorstrom kleiner ist als bei der baulich

unsymmetrischen Maschine, was offenbar durch die Übernahme des Magneti¬sierungsstromes vom Stator an den Rotor entsteht. Dadurch ist der Unterschiedzwischen den Strömen Js und Jr' bei Vollast im Motorbetrieb kleiner und im

Generatorbetrieb größer als bei der baulich unsymmetrischen Maschine. Der

Rotorleistungsfaktor der baulich unsymmetrischen Maschine bei Vollast im

Motorbetrieb war viel größer als der des Stators. In diesem Fall aber, da derRotor wesentlich einen größeren Teil des Magnetisierungsstromes — verglichenmit der baulich unsymmetrischen Maschine — hat, ist sein Leistungsfaktorimmerhin kleiner als bei der Bau-Unsymmetrie und befreit den Stator von

einem Teil des Blindstromes.

Fall (2): Einseitige Statormagnetisierung:

In diesem Fall ist Us > Ur' also u > ü und daher übernimmt der Statorbeim idealen Leerlauf einen größeren Teil des Magnetisierungsstromes. Die

Spannungen sind, wie bereits erwähnt, so gewählt, daß der Stator den ganzenMagnetisierungsstrom beim idealen Leerlauf übernimmt. Es soll daher derStatorkreis weit vom Ursprung parallel zur Abszissenachse verschoben werdenund der Rotorkreis in derselben Richtung verschoben werden, bis der letztedurch den Ursprung geht. Die Ersatzkreise und die Kreisdiagramme wurden

gerechnet und sind in Figur 44 gezeigt, worin sich die erwähnte Verschiebungder Kreise deutlich zeigt. Durch diese Verschiebung entsteht eine Verminderungdes Leistungsfaktors des Stators und ein Zunehmen desjenigen des Rotors fürGenerator- some für Motorbetrieb. Das Zunehmen des Leistungsfaktors desRotors in diesem Fall ist groß genug, so daß der Rotor einen voreilenden Stromin einem Teil des Motorgebietes aufnimmt, wie die Figur 44 zeigt. Diese Auf¬nahme von voreilendem Strom (entmagnetisierendem Strom) ist ungünstig,besonders wenn sie auch bei Vollast existiert, weil sie, wie wir schon gezeigthaben, durch einen zusätzlichen nacheilenden Strom in der anderen Seite aus¬

geglichen wird. Die beiden Ströme sind dann beim Motorbetrieb größer und die

Belastungsfähigkeit der Maschine wird beschränkt.

88

Fig.

43.

Kennliniend

er

wesentlich unsymmetrischenMas

chine

im

theoretisch möglichenArbeitsgebiet

F

a

l

l

1.

Us=

147

Volt,

ür=

76

Volt,

ü=

226Hz,

1

6

0

0

U/Min.(innerhalb

des

Gebiets

der

Magnetisierungs-Ähnlichkeit)

}Kennliniend

es

Statorsu

ndder

Leistungd

er

Maschine

~

~

z

)

Kennliniend

es

Rotors

Die Kennlinien der Maschine wurden nach den Kreisdiagrammen gerechnetund sind in der Figur 45 gezeigt. Man bemerkt das Zunehmen des Leistungs¬faktors des Rotors und die Verminderung desjenigen des Stators für Motor-

sowie für Generatorbetrieb verglichen mit der baulich unsymmetrischen Ma¬

schine und dadurch weichen sie mehr voneinander ab beim Motorbetrieb und

weniger beim Generatorbetrieb. Die zwei Leistungsfaktoren, die sich bei der

StatorKreis

Kreisdiag.derbaulich

unsymmetr.Maschine

Ersatzkreise:

[ûleichungen(*3)bz*.fc$l/?,=/.ma <v-*.«*n

°T"Vvw—Traarv-r-ww—"

lSî.sVolt

*is'-o.ina.i

Statorersatzkreis *m»,' 2S-0OD-

Rr-o.tssno-,—VW^"3—W*-

X;,' -0,72*0.

SemVr 73lYolt

xe *0.3S5rL

2,tip**1Ü

Rotorersatzkreis

Fig. 44. Ersatzkreise und Stromdiagramme einer wesentlich unsymmetrischen MaschineFall 2: Einseitige Statormagnetisierung

Us = 153,5 Volt, Ur - 73,2 Volt, ü = 2 25 Hz, 1500 U/min.Rs = 1,14 ß, X„t = 1,30 ß, Rr = 0,465 ß, XCr = 0,355 ß, X^ = 21,Z ß.

Maßstäbe: Statorstrom: 1 cm = 10,0 Amp./Ph., Rotorstrom: 1 cm = 39,0 Amp./Ph.,innere Leistung: 1 cm = 10,63 kW (total), Stator-Klemmen-Leistung: 1 cm =

4,605 kW (total), Rotor-Klemmen-Leistung: 1 cm = 8,56 kW (total)

90

<x>

Fig.

45.

Kennliniend

er

wesentlich unsymmetrischen

Maschine

im

theoretisch möglichen Arbeitsgebiet

F

a

l

l

2:

Einseitige

Statormagnetisierung.U

s=

153,5Volt,

Ur=

7

3

,

2

Volt,

ü=

225Hz,

1

5

0

0

U/Min.

}

Kennliniend

es

Statorsu

ndder

gesamtenLeistung

~~

~}

Kennliniend

es

Rotors

r

o

o

n

90

30

60

JJ

»'S

u-0

c

-30

20

<j

20

30

SO

«i

bO

-c-

«.)

1)

70

C:

80

90

WO

90

IS o

baulich unsymmetrischen Maschine im Generatorbetrieb stark unterscheiden,sind deshalb in diesem Fall bei Vollast als Generator fast gleich wegen derwesentlichen Unsymmetrie, die den Rotor von einem Teil des Blindstromesbefreit. Dadurch werden auch die zwei Ströme Js und J/ bei Vollast im Gene¬ratorbetrieb ungefähr gleich. Beim Motorbetrieb ist der Unterschied zwischen

Statorkreis

Kreisdiagrammtder baulich

unsymmetrischereMaschine

Staforersatzkre/s x^is'S9-8^

SemUr

VW—W-jAW-*

xe=o,3sm

79 /Ott ft-»ir--0,O96Ct.

Rotorersarzkreis x^.r^-735a

Fig. 46. Ersatzkreise und Stromdiagramme einer wesentlich unsymmetrischen MaschineFall 3 : Außerhalb des Gebietes der Magnetisierungsähnlichkeit ; Stator entmagnetisierend

Us = 143 Volt, Ur = 79 Volt, ü = 2 25 Hz, 1500 U/Min.Rx = 1,14 Q, Xn = 1,30 Q, RT = 0,465 ß, Xn = 0,355 Q, X„ = 27,3 Q.

Maßstäbe: Statorstrom: 1 cm = 10 Amp./Ph., Rotorstrom: 1 cm = 33,87 Amp./Ph.,innere Leistung: 1 cm = 9,903 kW (total), Stator-Klemmen-Leistung: 1 cm =

4,29 kW (total), Rotor-Klemmen-Leistung: 1 cm = 8,03 kW (total)

92

denselben in diesem Fall hingegen noch größer als bei der baulich unsym¬

metrischen Maschine wegen der gewählten wesentlichen Unsymmetrie.

Fall (3): Außerhalb des Gebietes der Magnetisierungsähnlichkeit:

Die Ersatzkreise und die Kreisdiagramme der Maschine in diesem Fall sind

in der Figur 46 gegeben. Man sieht den erklärten Einfluß der wesentlichen

Unsymmetrie, nämlich die Verschiebung des Rotorkreises weit vom Ursprung und

des Statorkreises danach fast parallel zur Abszissenachse, da Ur' > Us ist. Der

Rotor soll daher einen größeren Teil des Magnetisierungsstromes übernehmen,

verglichen mit der baulich unsymmetrischen Maschine.DasAusmaß der wesent¬

lichen Unsymmetrie ist aber in diesem Fall so groß, daß der Stator schon beim

Leerlauf einen entmagnetisierenden (voreilenden) Strom aufnimmt (Punkt P0 ,

Fig. 46). Der Statorkreis hat daher einen Teil links vom Ursprung im Motor-

sowie im Generatorgebiet. In diesem Teil der Kreisdiagramme nimmt der Rotor

einen Blindstrom auf, der größer als der für den Aufbau des Feldes und die

Deckung der Streu-K.V.A. erforderliche Blindstrom ist, um die entmagneti¬

sierende Wirkung des voreilenden Statorstromes auszugleichen. Der Rotor¬

strom ist daher in diesem Teil der Kreisdiagramme viel größer als der Stator¬

strom, wie die Figur 47 zeigt. Wegen dieser starken Unsymmetrie der Ströme

ist die Dauerleistung der Maschine stark beschränkt, besonders beim Generator¬

betrieb. Beim Motorbetrieb ist die Unsymmetrie viel kleiner, wie man aus dem

Kreisdiagramm ersehen kann, und die Ströme Js und Jr' sind nicht stark ver¬

schieden besonders für große Leistungen.Es folgt aus der Betrachtung dieser drei Beispiele, daß der Einfluß der

wesentlichen Unsymmetrie hauptsächlich (und zwar in einer sehr starkenWeise)

in der im Kapitel (7.3.) erklärten Ungleichheit in der Verteilung des Magneti¬

sierungsstromes unter den zwei Maschinenteilen besteht. Dieser Einfluß zeigt

sich bei Belastung im wesentlichen durch eine Verschiebung der zwei Strom¬

kreise der Maschine in derselben Richtung, fast parallel zur Abszissenachse, und

zwar wird der Kreis der Seite, deren bezogene Spannung größer ist, weit vom

Ursprung und der der anderen nahe am Ursprung verschoben. Dies entsteht

durch die für den Ausgleich der wesentüchen Unsymmetrie erforderliche Über¬

nahme des Magnetisierungsstromes der zweiten Seite durch die erste (Kap.

(7.3.)). Diese Verschiebung der Kreise verursacht offenbar ein Zunehmen des

Leistungsfaktors der zweiten Seite und eine Verminderung desjenigen der

ersten beim Motor- sowie beim Generatorbetrieb. Durch die Bau-Unsymmetrie

aber haben wir im Kapitel (7.4.) gezeigt, daß eine Verschiebung der zwei Kreise

in entgegengesetzten Richtungen senkrecht zur Abszissenachse entsteht, und daher

erfolgt ein Zunehmen des Leistungsfaktors einer Seite und eine Verminderung

desjenigen der andern beim Motorbetrieb und umgekehrt beim Generatorbetrieb.

93

Fig.

47.

Kennliniend

er

wesentlich unsymmetrischenMas

chine

im

theoretisch möglichen Arbeitsgebiet

F

a

l

l

3:

Außerhalb

des

Grebiets

der

Magnetisierungsähnlichkeit(St

ator entmagneti

sierend)

U„=

143

Volt,

Ur=

79

Volt,

ü=

225Hz,

1

5

0

0

U/Min.

} Kennlinien

des

Statorsu

ndder

gesamtenLeistung~

~

~

}

Kennliniend

es

Rotors

36

CO

M0a

•8.5

es•5'œœCS

&

er

F

<

IofrS'&aP

&

2

maximaleinnere

LeistungfürDauer-

BetriebalsMotor

KlemmenleistungkW

maximaleKlemmen-

Leistungfür

Bauerbetrieb

ahöenerator

Der Einfluß der wesentlichen Unsymmetrie ist daher im Grunde von dem der

Bau-Unsymmetrie verschieden, obschon es sich in den beiden Fällen lediglichum eine Ungleichheit in der Verteilung des Magnetisierungsstromes unter denzwei Maschinenteilen handelt. Durch jede Art der Unsymmetrie werden dieGrößen der Ströme beeinflußt wegen der Übernahme des Magnetisierungsstro¬mes von einer Seite auf die andere. Man hat deshalb durch die wesentliche Un¬

symmetrie die Möglichkeit, irgend ein Verhältnis des Blindstromes von einer Seite

auf die andere überzutragen und dadurch die Größen der Ströme zwischen weitenGrenzen in einer einfachen Weise zu kontrollieren. Diese Tatsache hat einen

wichtigen Erfolg, nämlich, daß sie die vollkommene Ausnutzung der Maschine

ermöglicht, indem man ein Ausmaß von wesentlicher Unsymmetrie so wählt,daß die zwei Ströme Js und J/ ihre zulässigen Werte gleichzeitig bei der

Belastung erreichen (siehe Kap. (7.6.)).Der Einfluß der Unsymmetrie auf die Kippleistung und den Wirkungsgrad

der Maschine kann in einer anschaulichen Weise erläutert werden durch den

Vergleich der „Energie-Ellipsen" der Maschine (PkM = / (P{)). Diese sindin Figur 48 für die drei diskutierten Fälle der wesentlichen Unsymmetrie wieder

gezeigt, sowie für die symmetrische und die baulich unsymmetrische Maschine.Die maximale innere Leistung für Dauerbetrieb als Motor und die maximale

Klemmenleistung für Dauerbetrieb als Generator sind auch für jeden Fallbezeichnet. Die Ellipse A des idealen D.S.-Betriebes (unter der Voraussetzungder Symmetrie) hegt überall außerhalb der anderen und entspricht daher der

größten Kippleistung und dem besten Wirkungsgrad beim Motor- sowie beimGeneratorbetrieb. Durch die Bau-Unsymmetrie wird eine bedeutende Vermin¬

derung der Kippleistung und eine kleine Verminderung des Wirkungsgradesfür beide Betriebsarten verursacht, wie der Vergleich zwischen den Ellipsen Bund A zeigt. Der Vergleich der drei Ellipsen C, D und E mit der Ellipse Bzeigt, daß eine Verminderung oder eine Zunahme der Kippleistung und des Wir¬

kungsgrades durch die wesentliche Unsymmetrie je nach ihrem Sinne entsteht. Die

Änderung der Kippleistung und des Wirkungsgrades durch die wesentliche

Unsymmetrie in den drei betrachteten Fällen (also wenn nicht unpraktischübertrieben) ist aber nicht so bedeutend wie durch die Bau-Unsymmetrie. Esist interessant zu bemerken, daß das Ausmaß von wesentlicher Unsymmetrie,welches den Einfluß der Bau-Unsymmetrie ausgleicht und die Gleichheit derStröme Js und «7/ bei Nennlast in einer Betriebsart verursacht, auch eine Er¬

höhung der Kippleistung und des Wirkungsgrades bei der betreffenden Be¬triebsart hervorbringt. Diese Tatsache erkennt man aus dem Vergleich der

Ellipse B mit den Ellipsen D und C. Die Ellipse D, welche sich auf den Fall (2)der wesentlichen Unsymmetrie bezieht (wobei die Ströme Js und Jr' ungefährden gleichen Wert bei der normalen Belastung im Generatorbetrieb haben), hateine größere Generator-Kippleistung sowie einen größeren Wirkungsgrad (ver-

96

glichen mit der baulich unsymmetrischen Maschine) im Generatorbetrieb, da

sie in diesem Gebiet höher als die EUipse B liegt. Ebenfalls zeigt sich durch

den Vergleich der Ellipsen G und B, daß der Fall (1) der wesentlichen Unsym-metrie, wobei die Ströme Js und Jr' ungefähr den gleichen Wert bei der nor¬

malen Belastung im Motorbetrieb betragen, auch eine größere Kippleistungsowie einen größeren Wirkungsgrad beim Motorbetrieb hat.

Es ist aber wichtig zu bemerken, daß der Einfluß der wesentlichen Unsym-metrie (wenn sie nicht unpraktisch übertrieben ist) auf die Kippleistung und

den Wirkungsgrad der Maschine sehr klein ist und keine beträchtliche Wich¬

tigkeit in Praxis hat.

(7.6.) Die wesentliche Unsymmetrie als Mittel zur

Vergrößerung der Dauerleistung

Es wurde in Kap. (7.2.) und (7.5.) gezeigt, daß die symmetrische Maschine

das ideale Vorbild des D.S.-Betriebes darstellt, wobei die zwei Maschinenteile

stets genau die gleiche Rolle in bezug auf den Aufbau des gemeinsamen Feldes

und die Lieferung der Wirkleistung spielen. Die zwei Maschinenteile haben also

stets den gleichen (bezogenen) Strom und den gleichen Leistungsfaktor, und

die Maschine hat die größte Kippleistung und den besten Wirkungsgrad. Die

Dauerleistung der Maschine, die für eine bestimmte Luftspaltinduktion ledig¬lich durch die zulässigen Werte der Ströme für Dauerbetrieb bestimmt wird,

wäre auch bei einer symmetrischen Maschine am größten, wenn die zulässigenWerte der Ströme im Verhältnis ü wären, d.h. wenn die Ströme Js und Jr' den

gleichen zulässigen Wert hätten. Diese Bedingung ist aber in Praxis bei weitem

nicht erfüllt. Die Rotornuten haben immer im Vergleich zu den Statornuten ein

kleineres Volumen und deshalb ist der zulässige Wert von Js bedeutend größer als

der von Jr'. Es ist einfach zu beweisen, daß:

^ =k.Fsh ist!WOrin:

Jr, Ir *r fr

JSi = der zulässige Wert des Statorstromes für Dauerbetrieb.

J'Ti = der zulässige Wert von JT' für Dauerbetrieb.

= — x (zulässiger Wert des Rotorstromes für Dauerbetrieb).

js, jr = die zulässige Stromdichte des Stators bzw. Rotors für Dauerbetrieb.

Fs, Fr= der gesamte Flächeninhalt der Stator- bzw. Rotornuten.

= Querschnitt einer Nut X Anzahl der Nuten.

/s, fr = Nutenfüllfaktor des Stators bzw. Rotors.

Kupfervolumen einer Nut

Volumen einer Nut

97

JPDas Verhältnis

jrist offenbar größer als 1 und hängt von der Größe der

Maschine ab. Je kleiner die Maschine ist, desto größer ist dieses Verhältnis. Es

kann für kleine Maschinen von etwa 5 PS bis etwa 1,6—1,8 (je nach der Dreh¬

zahl) steigen. Für kleinere Maschinen kann es noch größer sein. Das Verhältnis

?? ist im allgemeinen kleiner als 1 wegen der besseren Wärmeabgabe des Rotors

und beträgt ungefähr 0,9. Das Verhältnis -^ hängt von den Spannungen derIr

zwei Maschinenteile ab und beträgt im allgemeinen bei den Induktionsmaschi¬

nen der gewöhnlichen Bauart (wobei der Rotor absichtlich für eine kleinere

Spannung gewickelt ist) etwa 0,9—1. Als Beispiel betrachten wir die Versuchs¬

maschine I (siehe Kap. (8.1.)). Sie hat die folgenden Werte für die erwähnten

Größen:

Fs= 112 X 102 mm2 Fr = 75,1 X 102 mm2

/. = 0,33 fr = 0,32

js = 4,0 A/mm2 jr = 4,5 A/mm2und daher:

Fs 112 X102

Fr 75,1 X 10 2

is 4

/.=

0,33

fr 0,32

= 0,89

= 1,03

damit ist das Verhältnis:

-j± = 1,49 X 0,89 X 1,03 = 1,36

Die abgerundeten Werte der zulässigen Ströme sind nämlich:

J^ = 12 Ampere

JTx = 18 Ampère, also J'u = 9 Ampèreund daher:

J'r~

9~ M3

Es ist auch wichtig zu bemerken, daß die gegebenen Werte für die Verhält-F j i

nisse-=r, 41 und ^ für Asynchronmaschinen der normalen Bauart gelten.£r ir Ir

Für Maschinen, die für den D.S.-Betrieb besonders geeignet sind, würde das

Verhältnis -^ noch größer sein. Dies entsteht dadurch, daß man eine ziemlich

größere Induktion in den Rotorzähnen einer Induktionsmaschine erlaubt als

in den Statorzähnen, da kein beträchtlicher Eisenverlust im Rotoreisen ent¬

steht und dadurch erhält man mehr Raum für die Rotornuten. Beim D.S.-

86

Betrieb kann man damit nicht so weit gehen, denn die Eisenverluste bestehenoffenbar auch im Rotor sowie im Stator mit der Netzfrequenz.

Wir sehen daher, daß der zulässige Wert des Statorstromes ziemlich größerist als der des bezogenen Rotorstromes. Die vollkommene Ausnutzung der

Maschine erfordert, daß die zwei Ströme Ja und Jr ihre zulässigen Werte gleich¬zeitig erreichen, andernfalls wird eine Seite der Maschine unterbelastet. Bei

einer symmetrischen Maschine, wo die zwei Ströme Js und Jr' stets gleich sind,ist diese Bedingung daher nicht erfüllt und deshalb wird ihre Belastungsfähig¬keit durch den Rotorstrom stark begrenzt. Im obigen Beispiel erreicht der Stator¬

strom nur 75 % seines zulässigen Wertes, wenn der Rotorstrom seinen zuläs¬

sigen Wert erreicht. Man verliert dadurch ein bedeutendes Verhältnis der

Dauerleistung der Maschine. In Hinsicht auf die Dauerleistung stellt die sym¬metrische Maschine daher nicht die beste Ausführung einer D.S.-Maschine dar.

Würde nämlich ein passender Teil des Magnetisierungsstromes vom Rotor auf

den Stator übertragen werden, dann würde der Rotorstrom abnehmen, der

Statorstrom zunehmen und die Belastungsfähigkeit der Maschine vergrößert.Durch die Anwendung eines geeigneten Ausmaßes von wesentlicher Unsym-metrie kann man gerade dieses Ziel erreichen.

Bei einer baulich unsymmetrischen Maschine sind die Verhältnisse ungefährdie gleichen wie bei der symmetrischen Maschine, nur ist die Belastungsfähig¬keit ein wenig größer beim Motorbetrieb und ein wenig kleiner beim Generator¬

betrieb1). Bei der Symmetrie sowie bei der Bau-Unsymmetrie wird die Bela¬

stungsfähigkeit der Maschine im allgemeinen durch den Botorstrom begrenzt.Es zeigt sich daher das Bedürfnis eines gewissen Ausmaßes von wesentlicher

Unsymmetrie, damit die zwei Ströme Js und Jr ihre zulässigen Werte gleich¬zeitig mit der Belastung erreichen, um die vollkommene Ausnutzung der Ma¬

schine zu ermöglichen und ihre Dauerleistung zu erhöhen. Es muß nämlich das

Spannungsverhältnis u = UJUr größer als das Übersetzungsverhältnis ü = WJWrsein, damit der Stator einen größeren Teil des Magnetisierungsstromes über¬

nimmt und der Rotorstrom dabei kleiner wird. Das erforderliche Ausmaß von

wesentlicher Unsymmetrie hängt im allgemeinen von der Größe der Maschine

sowie von der Betriebsart (ob motorisch oder generatorisch) ab. Es ist nämlich

größer für kleine Maschinen, weil der Unterschied zwischen dem zulässigenWert von Js und dem von «7/ bei kleinen Maschinen größer als bei großenMaschinen ist, und ist auch größer für Generatorbetrieb als für Motorbetrieb

wegen des Einflusses der Bau-Unsymmetrie (welcher immer besteht).

a) Da die Rotornuten ein kleineres Volumen im Vergleich zu den Statornuten haben,und auch wegen des Bürstenspannungsabfalles, ist der bezogene Rotorwiderstand Rr'immer größer als der Statorwiderstand. Deshalb wird der Mittelpunkt des Rotorkreises

immer über und der des Statorkreises immer unter die Abszissenachse verschoben und

daher ist Js > Jr' beim Motorbetrieb und Js < Jr' beim Generatorbetrieb (siehe Fig. 40).

99

Wir müssen aber berücksichtigen, daß der ideale Fall, wobei die zwei Ströme

ihre zulässigen Werte gleichzeitig mit der Belastung erreichen, nicht immer

zustande gebracht werden kann. Da der Einfluß der wesentlichen Unsymmetrieauf die Verminderung des Rotorstromes lediglich durch die Übernahme von

Blindstrom vom Rotor auf den Stator stattfindet, so ist er mit dem Zustand

begrenzt, bei welchem der Stator den ganzen erforderlichen Blindstrom der

Maschine bei Vollast aufnimmt und der Rotor einen reinen Wirkstrom hat.

Ein noch größeres Ausmaß von Unsymmetrie hat einen größeren Rotorstrom

(mit voreilendem Leistungsfaktor) zur Folge. Es kann daher in besonderen

Fällen sein, wenn der Unterschied zwischen Ja und Jr' sehr groß und der Mag¬

netisierungsstrom außergewöhnlich klein ist, daß der Rotorstrom seinen zuläs¬

sigen Wert bei einem Leistungsfaktor gleich 1 erreicht, während der Stator¬

strom kleiner als sein zulässiger Wert bleibt. Der Statorstrom in solchen Fällen

kann aber nicht wesentlich kleiner sein als sein zulässiger Wert, da der Stator

unter diesen Bedingungen den ganzen erforderlichen Blindstrom aufnimmt und

daher einen ziemlich kleinen Leistungsfaktor hat.

Für die praktische Anwendung des D.S.-Betriebes, wobei die Maschine auf

ein einziges Netz arbeitet, kommen hauptsächlich die Reihen- und die Parallel¬

schaltung in Frage. In der bestehenden Literatur sind die beiden Schaltungenals gleichwertig betrachtet, und es ist angenommen, daß man den günstigstenBetrieb der Maschine mit u = u (also mit ü = 1 für die Parallelschaltung)

erreicht1). Die beiden Annahmen sind aber nicht richtig. Hinsichtlich der

Dauerleistung ist die Reihenschaltung sehr nachteilig, da der Strom der Maschine

in diesem Fall beim Dauerbetrieb den zulässigen Wert des Rotorstromes nicht

überschreiten darf, und daher ist der Stator unterbelastet. Man verliert dadurch

ein sehr beträchtliches Verhältnis der Dauerleistung im Vergleich zu einer

parallel gesohalteten Maschine, die ein richtiges Ausmaß von wesentlicher Un¬

symmetrie besitzt. Dieses durch die Anwendung der Reihenschaltung verlorene

Verhältnis der Dauerleistung kann für kleine Maschinen eventuell bis 30 %

betragen. Die günstigste Ausführung der Maschine erhält man daher mit der

Parallelschaltung, wobei man die vollkommene Ausnutzung der Maschine durch

die Anwendung von wesentlicher Unsymmetrie erreichen kann. In diesem Fall

ist das Spannungsverhältnis u = 1 und daher erhält man die erforderliche

wesentliche Unsymmetrie, wenn ü < 1 ist, d.h., wenn die effektive Windungs¬zahl der Rotorwicklung größer als die der Statorwicklung ist. Der günstigste Wert

von ü hängt, wie wir bereits gesehen haben, von dem Unterschied zwischen den

Konstanten des Stators und denen des Rotors (der Bau-Unsymmetrie) ab,

sowie von dem Unterschied zwischen den zulässigen Werten der Ströme und

von der Betriebsart der Maschine (ob motorisch oder generatorisch).

!) Siehe z.B. B. J. Herschdörfeb, Arch. f. Elektrot., Bd. XX, 1932, S. 620/625.

100

8. Vergleich der Theorie mit Messungen an den Versuchsmaschinen

(8.1.) Die Maschinendaten und die Versuchsschaltungen

Für die Ausführung von Versuchen standen die folgenden zwei Maschinen

zur Verfügung:Maschine I: Ein Schleifring-Induktionsmotor der gewöhnlichen Bauart

mit folgenden Wicklungs- und Leistungsdaten für den normalen Asynchron¬betrieb :

M.F. Oerlikon, Type - 18, 4 Pol, 500 Volt

8 PS, 1460 T/Min., 50 Hz., 11,4 Amp.

Stator: Schaltung: Stern, Nutenzahl: 48, Drähte in Serie/Nut: 25, maxi¬

maler zulässiger Strom für Dauerbetrieb = 12 Ampère/Phase.

Rotor: Schaltung: Dreieck, Nutenzahl: 60, Drähte in Serie/Nut: 10, maxi¬

maler zulässiger Strom für Dauerbetrieb =18 Ampère/Phase.

Für die Versuche wird die Maschine von einem Synchrongenerator mit 25 Hz

gespeist, damit die Drehzahl ihren normalen Wert nicht stark überschreitet.

Aus praktischen Gründen in Hinsicht auf die Spannungsumwandlung wird der

Stator in Dreieck geschaltet und damit ist das effektive Windungsverhältnis

Ws 400 • 0,958

Wr 200 • 0,9572,00

Die angenommene normale Stator- bzw. Rotor-Klemmenspannung ist dann

150 bzw. 75 Volt. Die Konstanten und die Verluste der Maschine wurden mit

25 Hz ermittelt. Es sind:

Stator: Xai = 1,30 Ohm, Bs = 1,14 Ohm (warm, Wechselstrom)Rotor: X„* = 0,355 Ohm, Rr = 0,465 Ohm (warm, Wechselstrom)

(einschließlich des Bürstenwiderstandes bei etwa 50% desNennstromes)

Mechanische Verluste + Luftreibungsverluste = 260 Watt, (n = 1500 U/Min.)

Die Magnetisierungsreaktanz X^ und die Eisenverluste ändern sich offen¬

bar mit der Sättigung bzw. der Größe der Luftspaltinduktion und sind in der

Figur 49 als Funktion der aufden Stator bezogenen Luftspaltspannung gegeben.Die Summe der Streureaktanzen ist durch die gewöhnlichen Kurzschlu߬

versuche ermittelt worden. Die Trennung der Streureaktanzen erfolgt nach der

im Kapitel (7.3.) vorgeschlagenen Methode. Die Maschine wird nämlich in

D.S.-Betrieb gesetzt mit den Spannungen Us = 150 Volt und Ur — 75 Volt. Die

der Maschine gelieferte mechanische Leistung wird dann so eingestellt, daß die

aufgenommene elektrische Leistung gleich den Kupferverlusten der Maschine

ist (also idealer Leerlauf). Die Ströme der sechs Phasen der Maschine werden

101

unter diesen Bedingungen gemessen und der mittlere Wert von Js und von Jrermittelt. Es ist aber sehr wichtig, daß die Spannungen genau eingestellt wer¬

den, da eine kleine Abweichung in ihrem Verhältnis UJUr vom Übersetzungs¬verhältnis il einen beträchtlichen Einfluß auf die Ströme beim Leerlauf hat,und zwar wird der Strom einer Seite vergrößert und derjenige der anderen ver¬

mindert (Kap. (7.3.)) und deshalb entsteht ein großer Fehler in dem ermittelten

30 <a

•5

c

'30 HO ISO- Lvrfspaltepanni/ng bezogen aufdenStafor. Volt/Phase

j

Fig. 49. Änderung von X und der Verluste mit der Sättigung (Maschine I)

Verhältnis Jr'jJs. Es müssen daher die verwendeten Voltmeter genau geeichtund die drei Spannungen jeder Seite gemessen werden, um genügende Genauig¬keit zu erreichen. Unter diesen Bedingungen ergaben sich die mittleren Werteder Ströme:

Js = 2,78 Ampère Jr = 5,09 Ampère

und daher ist das Verhältnis:

**=

i'=

5'09

X'~

Js~

2 2,78= 0,915

Die Kurzschlußversuche ergaben für die Summe der Streureaktanzen denmittleren Wert:

Xat + X'ar = 2,72 Ohm.

102

t

©-:

GS.M.1

220

Volh

<&±

S

.

L

.

rO

>f

<$<3>®

X3—|5Ö~

ô

r

=

Q

£*

i1

r//?.

n

/y./y.

lD

£5.//.=

Fig.

50.

Schaltungsschema

fürdie

Versuche

ander

Maschine

I

D.S.M.

=

doppelt gespeiste Synchronmaschine.

G.S.M.

1=

Antriebs-b

z

w

.

Belastungs-Gleichstrommaschine.S

.

M

.

=

Syn¬

chronmaschine.G

.S.M.2

und

G.S.M.3

=

Gleichstrommaschinen.A

.

M

.

=

Asynchronmaschine.

LR.=

Induktionsregler.

T.=

Spartransformator.S

.L.=

Synchronisierungslampen.

Damit ergeben sich:

Xat = 2,72 x^ = 1,30 Ohm

1 1 42und X'0f = 2,72 x

—^r-= 1,42 Ohm oder X„r = ^~ = 0,355 Ohm.

Zur Durchführung der Versuche ist die Maschine mit einer Gleichstrom¬maschine direkt gekuppelt, die für die Motorversuche als Bremse und für dieGeneratorversuche als Antriebsmotor dient. Die Figur 50 zeigt das Schaltungs¬schema der Versuchseinrichtung. Die drei Maschinen A.M., G.S.M. 3 undG.S.M. 2 dienen als Ward-Léonard-Antrieb für die Synchronmaschine S.M.,deren Spannung dem Stator direkt und dem Rotor über dem InduktionsreglerI.R. und dem Spartransformator T. zugeführt wird. Zur Synchronisierung wirddie D.S.-Maschine durch die Gleichstrommaschine G.S.M. 1 angetrieben, bisihre Drehzahl den doppelten Synchronwert erreicht (1500 U/Min.). Die Span¬nung der Synchronmaschine ist dann dem Rotor zugeführt, indem man dieSchalter Sx, $2 und S3 einschaltet. Nun synchronisiert man mit den Synchro-nisierungslampen S.L. den Stator mit der Synchronmaschine durch den Schal¬ter £4.

Diese Schaltung ermöglicht die genaue Einstellung der Spannung jederMaschinenseite und der Frequenz. Die Größe und der Sinn der Belastung derD.S.-Maschine werden im wesentlichen durch die Erregung der Gleichstrom -

maschine G.S.M. 1 eingestellt, da die Gruppe S.M. — G.S.M. 2 viel größer istals die Gruppe D.S.M. — G.S.M. 1. Es arbeitet nämlich die D.S.-Maschine alsMotor bzw. Generator, wenn die induzierte Spannung der GleichstrommaschineG.S.M. 1 größer bzw. kleiner genug ist als die Spannung des Gleichstromnetzes.Da die Gruppe S.M.— G.S.M. 2 viel größer ist als die Gruppe D.S.M.—G.S.M. 1,so wird die Frequenz der Synchronmaschine (und daher die Drehzahl der

Gruppe D.S.M. — G.S.M. 1) sich durch die Belastung nicht viel ändern. Dieinduzierte Spannung der Gleichstrommaschine G.S.M. 1 — und daher die Be¬

lastung — ist deswegen haupsächlich von der Erregung der Gleichstrom-maschine G.S.M. 1 abhängig.

Maschine II: Für die Versuche der Reihen- und Parallelschaltung isteine spezielle Maschine mit einem Windungsverhältnis ü = 1 für 50 Hz und die

entsprechende Drehzahl beim D.S.-Betrieb umgewickelt worden. Sie hat die

folgenden Daten und Konstanten:

380/y¥ Volt/Phase/Seite, 50 Hz., 2000 T/Min., 6 Pole.

Stator: Schaltung: Stern, Nutenzahl: 36, Drähte in Serie/Nut: 30, maximaler

zulässiger Strom für Dauerbetrieb =10 Ampère/Phase.

104

Rotor: Schaltung: Stern, Nutenzahl: 54, Drähte in Serie/Nut: 20, maximaler

zulässiger Strom für Dauerbetrieb = 7 Ampère/Phase.

Xat = 1,75 Ohm, Bs = 0,99 Ohm (warm, Wechselstrom)

Xar — 2,30 Ohm, Rr — 1,68 Ohm (warm, Wechselstrom, einschlie߬

lich des Bürstenwiderstandes bei etwa 50 % des Nennstromes).

Mechanische Verluste + Luftreibungsverluste = 180 Watt.

Die Magnetisierungsreaktanz und die Eisenverluste sind in Figur 51 eben¬

falls als Funktion der Luftspaltspannung angegeben.

tsö leb Wo Wo ~wö Toö Itö üö 155 z*ö Jso

Luftspaiïspannung, toit/'Phase/Sei'te *

Fig. 51. Änderung von X^ und den Verlusten mit der Sättigung (Maschine II)

A = Leerlauf als Motor, B = Motorbetrieb, 50% Nennleistung,

O = Generatorbetrieb, 50% Nennleistung

Die Streureaktanzen sind nach derselben Methode wie bei der vorherigen

Maschine ermittelt worden. Da das Verhältnis ü = 1 ist, so ist die Bedingung

u = û durch die Parallelschaltung genau erfüllt, und daher ist das Verfahren in

diesem Fall viel einfacher. Man braucht nur die Ströme der Maschine bei der

Parallelschaltung im idealen Leerlauf mit der normalen Spannung zu messen.

Die sehr genaue Einstellung der Spannung ist in diesem Fall nicht nötig. Es

ergaben sich die folgenden mittleren Werte der Ströme unter diesen Bedin¬

gungen:

105

Ja = 5,15 Ampère Jr = 3,92 Ampèreund daher ist:

Xo, J^ 3^92Zfff Js 5,15

U,7ei

Durch die Kurzschlußversuche ist die Summe der Streureaktanzen ermittelt

worden. Sie ist:

Xffj + X,r = 4,05ßDaraus ergibt sich:

^. = 4'05-T^=1'75ßXCTr = 4,05 • ^-^ = 2,30ß

Die Schaltungsschemata für die Versuche an dieser Maschine sind in Figur52 gezeigt, a) für die Parallelschaltung und b) für die Reihenschaltung. Das

Synchronisierungsverfahren für die Parallelschaltung ist genau das gleiche, wie

vorher für die Maschine I erklärt wurde. Für die Reihenschaltung aber wird

die D.S.-Maschine zuerst mit dem Schalter S3 auf den stillstehenden Synchron¬generator S.G. geschaltet und der letzte wird erregt. Die beiden werden dann

durch die Antriebsmaschine G.S.M. 2 des letzten langsam bis zur Nenndrehzahl

angetrieben und zunächst mit dem Netz durch den Schalter $x synchronisiert.Schalter $2 wird dann ausgeschaltet. In den beiden Fällen, a) und b), wird die

Belastung offenbar lediglich durch die Erregung der Gleichstrommaschine

G.S.M. 1 bestimmt.

(8.2.) Die Betriebskurven

Es wurden Belastungsversuche für Motor- und für Generatorbetrieb mit

den folgenden Spannungen durchgeführt:

Maschine I: Motorbetrieb:

1. Us = 150 Volt, ür = 75 Volt (Bau-Unsymmetrie)2. Us = 143 Volt, Ur = 75 Volt (ungefähr einseitige Rotormagnetisierung)3. Ua = 160 Volt, Ur = 70 Volt (starke, wesentliche Unsymmetrie, Rotor ent¬

magnetisierend) .

Generatorbetrieb:

1. U„ = 150 Volt, Ur = 75 Volt (Bau-Unsymmetrie)2. Us = 150 Volt, Ur = 72 Volt (ungefähr einseitige Statormagnetisierung)3. TJg = 160 Volt, Ur = 70 Volt (starke wesentliche Unsymmetrie, Rotor ent¬

magnetisierend).

106

22oVolt a) Versuche mit

Parallelschaltung

Stadtnetz A

sooVolt, soHz

G.S.M.1.

izoVolt

n r°rOi rOi

D.S.M.

Stadtnetz A

sooVolt, soHz.

b) Versuche mit

Heihenschaltung210Volt

« PI

^-jtfl/ä

«y.ß. tf.5./y.2

Ä5./y.

Fig. 52. Schaltungsschema für die Versuche an der Maschine II

Maschine II;

Parallelschaltung, 380 Volt, Motor- und Generatorbetrieb.

Reihenschaltung, 760 Volt, Motor- und Generatorbetrieb.

Für jeden der erwähnten Fälle wurden die Betriebskurven (Ströme, auf¬

genommene Leistung, Leistungsfaktoren und Wirkungsgrad als Funktion der

abgegebenen Leistung) nach der Theorie gerechnet und durch Messung in

einem Belastungsversuch kontrolliert. Zur Ermittlung der abgegebenen bzw.

aufgenommenen mechanischen Leistung wurden die Verluste der Gleichstrom¬maschine ermittelt und ihre abgegebene bzw. aufgenommene elektrische Lei¬

stung beim Versuch gemessen.

Die Berechnungen nach der Theorie wurden wie folgt ausgeführt: Man

rechnet zuerst die Ersatzkonstanten und dann die verschiedenen Größen aus

den Ersatzkreisen für verschiedene Werte der Parameter innerhalb des prak¬tischen Arbeitsgebietes1). Ein Berechnungsbeispiel ist im Anhang II ausführ¬lich angegeben.

Die Änderung der Sättigung bei Belastung verursacht eine bedeutende

Abweichung zwischen den gemessenen und den für eine konstante Sättigunggerechneten Resultaten. Wie die Figur 51 zeigt, ändert sich die Magnetisierungs¬reaktanz X der Maschine II zwischen Leerlaufund der Halblast um etwa 3%für Motorbetrieb und 4% für Generatorbetrieb. Die Verhältnisse der Maschine I

sind noch ungünstiger, die entsprechenden Werte betragen z.B. bei der Bau-

Unsymmetrie etwa 8%. Um diesen Einfluß der Sättigungsänderung auf den

Vergleich zwischen den gemessenen und den gerechneten Resultaten möglichstzu beseitigen, haben wir für jeden der oben erwähnten Fälle den Wert für X^(und auch für die Eisenverluste), welcher der Luftspaltspannung bei 50% der

Nennleistung entspricht, für die Berechnung angenommen. Auch der Wider¬stand des Rotorkreises ändert sich mit dem Strom wegen des Bürstenabfalles.Die angenommenen oben erwähnten Werte des Rotorwiderstandes entsprechender Hälfte des zulässigen Wertes des Rotorstromes. Die für die Berechnungder Betriebskurven angenommenen Konstanten der Maschine stimmen daherfür etwa die Hälfte der Dauerleistung.

Die Figuren 53 bis 62 zeigen die gerechneten Betriebskurven für die achtoben erwähnten Fälle. Die gemessenen Punkte sind auch in denselben Figureneingezeichnet. Es ergibt sich in allen Fällen eine gute Übereinstimmung der

Messungen mit den nach der Theorie gerechneten Resultaten. Die Figuren 53

bis 58 der ersten Maschine zeigen deutlich, inwiefern das Verhalten der Ma¬schine im Betrieb durch das Verhältnis ihrer Klemmenspannungen (die wesent-

*) Um genügende Genauigkeit zu erreichen, ist die graphische Ermittlung vermiedenworden.

108

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Abgegebene Leistung, kW »

Fig. 59. Betriebskurven. Parallel-Schaltung, Motor-Betrieb

ü = 1, 380 Volt, 50 Hz, 2000 U/Min. (Maschine II)

1

s s 7 a

-Abgegebene Leistung tiHf—

Fig. 60. Betriebskurven. Parallel-Schaltung, Generator-Betrieb112 ü= 1, 380 Volt, 50 Hz, 2000 U/Min. (Maschinell)

0 1 23*Sg789rO>r

Abgegebene Leistung, kW »-

Fig. 61. Betriebskurven. Serie-Schaltung, Motor-Betrieb

ü - 1, 760 Volt, 50 Hz, 2000 U/Min. (Maschine II)

Fig. 62. Betriebskurven. Serie-Schaltung, Generator-Betrieb

ü = 1, 760 Volt, 50 Hz, 2000 U/Min. (Maschine II)

liehe Unsymmetrie) beeinflußt wird. Sie unterscheiden sich wesentlich (undzwar sehr beträchtlich) in den Stromverläufen. Die Figuren 53 und 56 zeigenden Charakter der Bau-Unsymmetrie, nämlich einen kleineren (im Vergleichzum Statorstrom) bezogenen Rotorstrom beim Motorbetrieb und einen größe¬ren beim Generatorbetrieb. Der Unterschied zwischen den zwei Strömen inbeiden Fällen ist fast gleich im ganzen Betriebsgebiet. In den Figuren 54, 55,57 und 58 bemerkt man den in Kapitel (7.5.) erklärten Einfluß der wesent¬

lichen Unsymmetrie auf die Ströme und die Leistungsfaktoren der Maschine.Die Figuren 59 und 60 der Parallelschaltung (Maschine II) haben offenbar

auch denselben Charakter der Bau-Unsymmetrie. Die Figuren 61 und 62 zeigendie Kennlinien der Maschine bei Reihenschaltung. Ein Vergleich zwischen denBetriebskurven der beiden Schaltungen zeigt die wichtige Tatsache, daß keinUnterschied zwischen den Kennlinien beider Schaltungen besteht, sofern mandie Leistung und den Strom der ganzen Maschine betrachtet. Für eine gewisseabgegebene Leistung nimmt die Maschine nämlich dieselbe gesamte Leistungund den doppelten Netzstrom auf und hat denselben gesamten Leistungsfaktorbei Parallelschaltung wie bei Reihenschaltung.

Ein sehr beträchtlicher Unterschied besteht aber zwischen den Strömen Jsund Jr bzw. den Leistungsfaktoren cos <ps und cos q>r der Parallelschaltung(Fig. 59). Die Bau-Unsymmetrie hat daher keinen bedeutenden Einfluß auf denNetzstrom und die Leistung der gesamten Maschine bei der Parallelschaltung,sondern sie zeigt sich lediglich in klarer Weise in der Aufteilung dieses Netzstromes

auf die zwei Maschinenteile. Dieses Ergebnis ist gerade in Übereinstimmung mitder vorher erläuterten Tatsache, daß die Unsymmetrie nur die Aufteilung desBlindstromes auf die zwei Maschinenteile beträchtlich beeinflußt.

Die durch diesen Einfluß der Bau-Unsymmetrie verursachte Vergrößerungder Dauerleistung bei der Parallelschaltung — verglichen mit der Reihenschal¬

tung — im Motorbetrieb und Verminderung im Generatorbetrieb (Kap. (7.6.))zeigt sich auch in den Figuren 59 bis 62. Es sind nämlich die Dauerleistungenbei der Parallelschaltung:

Motorbetrieb: 7,15 kW (abgegebene mechanische Leistung)Generatorbetrieb: 6,05 kW (abgegebene elektrische Leistung)

und bei der Reihenschaltung:Motorbetrieb : 6,00 kW (abgegebene mechanische Leistung)Generatorbetrieb: 6,20 kW (abgegebene elektrische Leistung).

In allen diesen Fällen ist die Maschine nicht vollständig ausgenutzt, derStator ist in jedem Fall unterbelastet (Fig. 59 bis 62). Die vollkommene Aus¬

nutzung der Maschine kann man, wie wir in Kapitel (7.6.) gezeigt haben, durchdie Parallelschaltung mit einem richtig gewählten Übersetzungsverhältnis ü < 1

erreichen.

114

Zusammenfassung

In dieser Arbeit wird der ganz allgemeine Fall der doppelt gespeisten Syn¬chronmaschine untersucht, wobei der Stator und der Rotor einer Maschine

unsymmetrische Konstanten und ungleiche Windungszahl haben und mit Span¬

nungen von verschiedenen Größen und Phasen gespeist werden. Motor- und

Generatorbetrieb werden beide untersucht. Die Hauptgleichungen werdendurch

die Betrachtung der periodischen Änderung der Gegeninduktivitäten zwischen

Stator und Rotor aufgestellt und gelöst. Als Ergebnis wurde gefunden:

1. Die allgemeinen Differentialgleichungen der Maschine.

2. Die Vektorgleichungen für stabilen Lauf.

3. Kombiniertes Raum- und Zeitvektordiagramm für die Beziehungen zwi¬

schen den verschiedenen Raum- und Zeitvektoren.

4. Die allgemeine Lösung der Hauptgleichungen und die genaue Berechnung

des Stromes und der Leistung jedes Teiles der Maschine für jedes beliebige

Ausmaß von Unsymmetrie.5. Ersatzkreise der Maschine.

6. Die Impedanz- und Strom-Ortskurven.

7. Die Eigenschaften des Doppelspeisung-Synchronbetriebes unter den ver¬

schiedenen Betriebsbedingungen und der Einfluß der Unsymmetrie der Kon¬

stanten und Spannungen auf das Verhalten der Maschine.

Die Untersuchungen an zwei Versuchsmaschinen für verschiedene Ausmaße

von Unsymmetrie sowie für die Reihen- und Parallelschaltung zeigen eine gute

Übereinstimmung mit der Theorie.

Eine Methode zur genauen Trennung der Streureaktanzen des Stators und

des Rotors wurde vorgeschlagen und für die zwei Versuchsmaschinen ange¬

wandt.

Es wurde festgestellt, daß ein gewisses Ausmaß von Unsymmetrie für die

vollkommene Ausnutzung der Maschine erforderlich ist. Danach zeigt sich, daß

die Parallelschaltung mit ü < 1 viel günstiger ist, als die Reihenschaltung, da

erstere eine Einsparung an Material ermöglicht, die eventuell mehr als 40 %

beträgt.

115

Anhang I

Berechnungsbeispiel nach den Kreisdiagrammen

Daten: (Fall (3) der wesentlich unsymmetrischen Maschine, Kapitel (7.5.))

Bs = 1,14 Ohm, Xff< = 1,30 Ohm, Br = 0,465 Ohm, X^ = 0,355 Ohm

ZM,= 27,3 Ohm, ü

'

= 2,00, Us = 143 Volt, Ur = 79 Volt.

Berechnungen: X^ = 27,3/(2)2 = 6,825 Ohm.

Der Ünähnhchkeitsfaktor ergibt sich nach Gl. (46 a)

K = - 12,501

Nach den Gleichungen (38a) bis (38d) ergeben sich:

r0i = + 4,280 Ohm

z'0#= -56,617 Ohm

r0f'= + 0,342 Ohm

X0r= - 4,529 0hm

(Kontrolle: -^= + 12,501 ^ = + 12,501)

ror ^or

Nach Gleichung (40a) ergibt sich:

XNi = - Vl8,32 + 3205,48 "-^232973" = 29,908 Ohm

Und ebenfalls ist:

XHt = + VoTl72 + 20,5109 -Ii,9ÖT = +2,393 Ohm

(Kontrolle: -^ = - 12,501)

Damit sind die Ersatzkonstanten:

Stator: (Gl. (43))

Bei = 1,140 + 4,280 = + 5,420 Ohm.

Xtt = 1,300 + 27,300 + 29,908 - 56,617 = + 1,891 Ohm

Xflei = 2.(-29,908) = - 59,816 Ohm.

Rotor: (Gl. (45))

Rer = 0,465 + 0,342 = + 0,807 Ohm

Xer = 0,355 + 6,825 - 2,392 - 4,529 = + 0,259 Ohm

X^er = 2. 2,393 = + 4,786 Ohm.

116

Die Abmessungen der Stromkreise ergeben sich damit wie folgt:

Stator: (Gl. (53 b)) x = + 50,0 Ampère

y = - 9,67 AmpèreR = + 53,4 Ampère

Radius des die Leistungslinie bestimmenden Kreises =

-5-i = 143/2 • 1,14 = 62,7 Ampère'A -Kg

Maßstab der inneren Leistung in der vertikalen Richtung =

8S = Us - 2 • Rs y = 143 + 2 • 1,14 • 9,67 = 165,05 Volt

Rotor: (Gl. (53d) ) x = + 107,0 Ampère

y = + 32,6 AmpèreR = + 96,6 Ampère

Radius des die Leistungslinie bestimmenden Kreises =

—£- = 79/2 • 0,465 = 85,0 Ampère

Maßstab der inneren Leistung in der vertikalen Richtung =

Sr = Ur - 2. Rr. y = 79 - 2

. 0,465 . 32,6 = 48,7 Volt.

Reduktionsfaktor ( = Maßstäbeverhältnis) = SJSr = 165,05/48,7 = 3,387.

Damit sind die reduzierten Abmessungen des Rotorstromkreises:

x = 107,0/3,387 = 31,60 Ampère

y = 32,6/3,387 = 9,62 AmpèreR = 96,6/3,387 = 28,53 Ampère

Radius des die Leistungslinie bestimmenden Kreises =

85,0/3,387 = 25,1 Ampère.

Die nebenstehende Figur zeigt die Kreisdiagramme mit einem Maßstab 1 cm =

4 Ampère. Dabei sind die verschiedenen Maßstäbe die folgenden:

Maßstäbe: 1 cm = Stator Rotor Maschine

Strom, Ampère/Phase 4 13,55 —

Innere Leistung, gesamte, kW 1,98 1,98 3,96

Klemmenleistung, gesamte, kW 1,716 3,210 —

Es ergeben sich durch Messen aus den Kreisdiagrammen für die angegebenenPunkte und Multiplikation mit den entsprechenden Maßstäben die folgendenResultate:

117

Kreisdiagramme der wesentlich unsymmetrischen Maschine. Fall 3

Us = 143 Volt, ür = 79 Volt, ü = 2 25 Hz, 1500 U/Min.ÄB = 1,14 Q, iL = 0,465 ß, X„ = 1,30 ß, X„ = 0,355 ß Zu = 27,3 Qo I l/g \Jf ^*#

118

Stabiles Betriebsgebiet

pim J, Pu. Cos^s Jr Pkr Cosci,. Pk

kW Amp. kW /o Amp. kW % kW

-18,7 39,6 -14,8 -86,8 77,9 -17,8 -96,2 -32,5

-15 22,3 - 9,1 -95,2 43,9 -10,0 -96,3 -19,1

-10 13,2 - 5,6 -98,8 27,1 - 5,9 -91,5 -11,5

- 5 6,1 - 2,6 -98,7 16,7 - 2,7 -68,3 - 5,3

0 2,4 0,0 - 3,3 15,3 - 0,3 - 8,9 - 0,4

15 15,9 6,7 98,3 37,4 5,7 64,2 12,4

30 28,6 12,3 100,0 61,3 9,9 68,4 22,2

45 40,1 17,0 98,9 83,0 12,8 64,9 29,8

60 51,2 21,1 96,1 104,8 14,6 58,6 35,7

75 62,1 24,4 91,5 125,9 15,2 51,0 39,6

90 73,5 26,6 84,5 147,4 14,3 40,8 40,9

105 87,2 26,6 71,1 174,8 9,6 23,3 36,2

109,8 96,7 23,0 55,5 194,0 2,4 5,2 25,4

Unstabiles Betriebsgebiet:

Js Pk, Cosçts Jr P*r Cos <f> Pk

kW Amp. kW /o Amp. kW /o kW

-18,7 39,6 -14,8 -86,8 77,9 -17,8 -96,2 -32,5

-15 55,6 -18,0 -75,5 110,2 -24,3 -93,1 -42,3

-10 63,4 -18,7 -68,8 125,9 -26,9 -90,2 -45,6

- 5 68,9 -18,7 -63,3 137,0 -28,4 -87,7 -47,1

0 73,2 -18,4 -58,5 145,0 -29,4 -85,5 -47,7

15 83,4 -16,2 -45,3 165,3 -30,6 -78,0 -46,8

30 90,6 -13,0 -33,6 180,0 -30,1 -70,7 -43,2

45 95,9 - 9,1 -22,1 190,8 -28,4 -62,9 -37,5

60 100,2 - 4,3 -10,1 199,2 -25,6 -54,3 -29,9

75 103,0 1,3 2,9 205,0 -21,5 -44,3 -20,3

90 104,4 7,7 17,3 207,7 -16,1 -32,7 - 8,4

105 102,5 16,6 37,7 205,0 - 6,5 -13,4 10,1

109,8 96,7 23,0 55,5 194,0 2,4 5,2 25,4

Nach diesen Resultaten wurden die Kennlinien der Maschine als Funktion

inneren Leistung in der Figur 47 angegeben.

119

Anhang II

Berechnungsbeispiel aus den Ersatzkreisen

Daten: Als Beispiel betrachten wir die Berechnungen der Betriebskurven

für einen von den im Kapitel (8.2.) erwähnten Fällen. Wir betrachten nämlich

den ersten Fall, Generatorbetrieb der Maschine I, wobei die Spannungen der

Maschine die Werte

Us = 150 Volt, Ur = 75 Volt haben.

Die auf den Stator bezogene induzierte Spannung bei 50 % der Nennlei¬

stung beträgt nach den Resultaten des Belastungsversuches etwa 153,9 Volt.

Der entsprechende Wert von X^ ergibt sich nach Figur 49 zu:

Xu = 24,55 Ohm.fia '

Dabei sind die Daten für die Berechnungen die folgenden:

Rs = 1,14 Xat = 1,30 Rr = 0,465 X„r = 0,355 Ohm

X^ = 24,55 Ohm, Us = 150 Volt, Ur = 75 Volt

u = ü = 2,00 (Bau-Unsymmetrie).

In derselben Weise wie im Anhang I ergeben sich die Ersatzkonstanten. Sie

sind:

Stator: Rotor:

Rei = - 4,63 Ohm Rgf = + 2,088 Ohm

Xet = + 1,03 Ohm x'er = + 0,048 Ohm

X' =+47,72 Ohm x' =+13,43 Ohmf*et '

per 7

Es ist einfach, für den angegebenen Stromkreis zu beweisen, daß die fol¬

genden Beziehungen für irgend einen beliebigen Wert des Parameters r gelten.

U

J =

i(r + A)* +

Leistung in r

Mir

(r+ A)2 + B2

120

Klemmenleistung =

j^r^JT^TB^~ J*B

worin:

e =

U'X»_

Volt

A - Ä^^V °hm

^~

JP + fX + XJ*

Mit Benutzung dieser Beziehungen erreicht man eine bedeutende Verein¬

fachung in den Berechnungen. Man rechnet für verschiedene Werte des Para¬

meters rs die entsprechenden Werte Js, Pit und Pkt. Für den Rotorkreis rechnet

man für verschiedene Werte des Parameters rT die entsprechenden Werte von

Jr und P{ und zeichnet Jr als Funktion der inneren Leistung Pt auf. Da nun

Pit immer gleich Pt ist, kann man aus der Kurve Jr = f (P{ ) die Werte des

Rotorstromes bestimmen, die den gewählten Werten des Parameters rs ent¬

sprechen. Man kann dann die Berechnungen des Rotorkreises für die erhaltenen

Werte des Rotorstromes vollenden. Die Berechnungen sind in den folgendenTabellen gegeben und die Verbindungskurve daneben gezeichnet.

Motor: e = 74,0 Volt

A = + 2,03 Ohm

B = 0,3623 Ohm

Berechnungen:

,,Ohm Jr, Amp. Pi , Watt/Phase

— 00 5,505 - 49,2

-26 6,72 174,6

-14 8,92 404,7

-10,5 11,08 601

- 8,3 13,82 837,4

- 6,5 18,3 1221

- 5,5 22,9 1619

Stator: e = 146,2 Volt

A = - 4,4 Ohm

B= 1,426 Ohm

121

Berechnung der Betriebskurven, 150/75 Volt, Generatorbetrieb

Verbindung der beiden Seiten

isoo Watt

Berechnungen:

rs Js Fi, cos<£s Jr cos <f>r pk pmech V

Ohm Amp. Watt/Phase /o Amp. /o kW kW /o

— 00 3,06 54,1 9,45 5,95 8,43 0,243 0,986 24,65-93 3,285 271,5 52,6 7,55 43,3 1,513 2,290 66,10-44 4,11 498,4 77,7 9,90 61,0 2,797 3,651 76,65-28 5,23 728,2 89,0 12,55 69,6 4,056 5,030 80,60-20 6,495 959,0 93,6 15,25 74,4 5,286 6,415 82,40-14 8,26 1274,0 96,5 18,9 78,2 6,913 8,305 83,30-10 10,33 1639,0 97,8 23,1 80,3 8,725 10,495 83,15

Die Kennlinien der Maschine sind nach dieser Tabelle in Figur 56 (Kap.(8.2.)) eingezeichnet.

122

Literaturverzeichnis

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Diss. Karlsruhe 1931.

7. I. Tscherdanzev: Zxa Theorie der doppelt gespeisten Induktionsmaschine. A. f. E. 1925.

8. H. Stevdel: Verfahren und Einrichtungen zum Anlassen von synchronen Drehstrom-

Doppelfeldmotoren. Patentschriften: DRP. 558 385, DRP. 569 370, DRP. 594050.

9. — Das Betriebsverhalten der Doppelfeldmaschine. Diss. Berlin 1933.

10. J. Herschdörfer: Beitrag zur Theorie der doppelt gespeisten Induktionsmaschine.

A. f. E. 1932.

11. W. T. Kassjanow: Die Theorie der doppelt gespeisten Induktionsmaschine. E. u.

M. 1932.

12. H. Voigt: Doppelt gespeiste synchrone Drehfeldmaschine. DRP. 673601.

13. — Bekämpfung der Pendelneigung bei doppelt gespeisten Maschinen. E. u. M. 1937.

14. — Eine neue Schaltung zur Stabilisierung der doppelt gespeisten Drehfeldmaschine.

DRP. Fachber. 1938.

15. — Doppelt gespeiste synchrone Drehfeldmaschine. DRP. 682 535.

16. G. Haberland: Die selbsterregten Schwingungen des Drehstrom-Doppelfeldmotors.A. f. E. 1937. S. 643.

17. M. Brailowsky: Doppelt gespeiste Induktionsmaschine. Diss. Zürich 1944.

18. G. Oberdorfer: Lehrbuch der Elektrotechnik, Bd. II.

19. E. Arnold: Die Wechselstromtechnik, Bd. V, 1. Teil.

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Lebenslauf

Ich wurde am 2. Januar 1923 in Kairo geboren. Im

Mai 1939 erhielt ich die Maturität und bezog im Oktober

desselben Jahres die Fouad-Universität in Kairo, wo ich

im Mai 1944 das Diplom als Elektroingenieur erwarb. Ab

Oktober 1944 arbeitete ich als Assistent an der Abtei¬

lung für Elektrotechnik derselben Universität und da¬

neben an einer Forschungsarbeit bis September 1946.

Zu dieser Zeit kam ich nach Zürich als Mitghed der

ägyptischen Mission, um zu doktorieren. Unter der Lei¬

tung von Herrn Prof. E. Dünner habe ich die theoreti¬

schen und experimentellen Untersuchungen der vorhe¬

genden Arbeit im Institut für Elektromaschinenbau der

Eidgenössischen Technischen Hochschule in Zürich

durchgeführt.

Zürich, im Mai 1948.