In passato, infatti, i materiali e le tecnologie di ... · Ultrasuoni Magnetoscopia. Liquidi penetranti. Liquidi penetranti fluorescenti. La presenza di eventuali difetti può essere

In passato, infatti, i materiali e le tecnologie di costruzione non avevano mai messo in luce questo fenomeno....

Strutture in compressione…






Strutture in legno…





… ma anche il legno teme la frattura…

…..finché non sono state realizzate le prime grandi strutture metalliche. In passato, infatti, i materiali e le tecnologie di costruzione non avevano mai messo in luce questo fenomeno....





Soprattutto quando si è cominciato a fare ampio uso della saldatura

La saldatura, infatti, può introdurre un difetto nel componente, ovvero una piccola mancanza di continuità del materiale.

La saldatura, inoltre, rende monolitica la struttura, consentendo alla frattura di propagarsi senza ostacoli fino alla completa rottura.










Le giunzioni chiodate, sotto questo aspetto, garantiscono una maggiore sicurezza, perché la frattura non può propagarsi da una lamiera all’altra.


Vetture come questa, costruite con lamiere chiodate e legno, sono rimaste in servizio per oltre mezzo secolo.

Nel 1940 la saldatura fu introdotta nella tecnica delle costruzioni navali, soprattutto per esigenze belliche. Nelle strutture così realizzate, il fenomeno della frattura nei metalli, i cui effetti erano stati, sino ad allora, contenuti, ebbe conseguenze importanti, spesso catastrofiche.

Le navi Liberty nel secondo conflitto mondiale

Nel 1940 la saldatura fu introdotta nella tecnica delle costruzioni navali, soprattutto per esigenze belliche. Nelle strutture così realizzate, il fenomeno della frattura nei metalli, i cui effetti erano stati, sino ad allora, contenuti, ebbe conseguenze importanti, spesso catastrofiche.

Le navi Liberty nel secondo conflitto mondiale

Frattura fragile di una nave tipo Liberty (T-2), avvenuta durante la seconda guerra mondiale.

La fratture erano generalmente innescate da difetti dovuti a saldature non bene eseguite.

Delle 2700 navi da carico di questo tipo, oltre 400 furono danneggiate, più o meno seriamente, da fratture fragili durante il secondo conflitto mondiale.

Venti di esse furono troncate in due, come mostra questa foto.

In alcuni casi ciò avvenne addirittura in porto e con la nave scarica.

Rottura catastrofica di una turbina causata dal cedimento di un anello di tenuta (φ1350 mm) realizzato in acciaio fucinato.

SAE 3335 σS=690 MpaσR=854 MPa

Rottura catastrofica dell’albero di una turbina, realizzato in acciaio fucinato.ASTM A293 σS=595 MPa σR=777 MPa

Esempio di cricca prodotta da un colpo d’arco innescato su di un ferro di armatura che ne ha causato la rottura fragile.

Oltre alla possibilità di creare piccoli difetti (cricche), il processo di saldatura può generare, a causa dei forti gradienti termici che induce, tensioni residue e variazioni delle caratteristiche meccaniche locali del materiale, sia nella zona fusa che nella zona immediatamente circostante, detta zona termicamente alterata (ZTA).

La foto qui a destra mostra una porosità in una saldatura di una tubazione di acciaio al carbonio tipo A106B(254 mm di diametro e 16 mm di spessore).

Si osservi come ai suoi apici si siano prodotte delle microcricche sotto l’azione delle tensioni da ritiro del cordone di saldatura.

(200x)

(50x)

La foto qui a destra mostra una porosità in una saldatura di una tubazione di acciaio al carbonio tipo A106B(254 mm di diametro e 16 mm di spessore).

Si osservi come ai suoi apici si siano prodotte delle microcricche sotto l’azione delle tensioni da ritiro del cordone di saldatura.

La foto in basso mostra un ingrandimento della cricca di sinistra.

(200x)

(50x)

La frattura fragile si verifica improvvisamente, senza alcun segnale di preavviso e si propaga rapidissimamente, con una velocità dell’ordine del migliaio di metri al secondo.

La rottura si può sviluppare in un campo di tensione nominale più basso, anche di molto, della tensione di snervamento del materiale.

Inizialmente i progettisti tentarono di prevenire tale tipo di rotture applicando coefficienti di sicurezza molto elevati (anche dell’ordine di 10)

La tendenza ad incrementare i coefficienti di sicurezza si rivelò decisamente sbagliata!

Infatti, l’aumento del coefficiente di sicurezza comporta un aumento inaccettabile del peso delle strutture, che ne fa lievitare il costo e ne riduce le prestazioni.

Anche l’utilizzo di materiali ad alta resistenza si rivelò spesso disastroso, perché l’elevata sensibilità ai difetti che questi materiali presentano ne riduce drasticamente le prestazioni, a valori addirittura inferiori a quelli ottenibili con materiali meno “pregiati”.

oppure utilizzando materiali ad alta resistenza.

Frattura catastrofica, durante una prova pneumatica, di un razzo vettore costruito con acciaio ad alta resistenza.

La capacità di resistere alla frattura fragile è, in linea generale, minore negli acciai che presentano un maggiore tensione di snervamento.

La capacità di resistere alla frattura è strettamente connessa alla capacità di deformarsi plasticamente.

Come si vede nel grafico, all’elevata resistenza si associa una ridotta capacità di assorbire energia prima della rottura.

Per comprendere questo fatto è opportuno fare alcune considerazioni sul campo di tensione esistente nell’intorno di un difetto.

Caratteristica tensione deformazione di un acciaio al carbonio al variare del tenore di C

Il campo di tensione è alterato nell’intorno del foro.

Il massimo valore della tensione dipende dal raggio di curvatura minimo dell’ellisse.

Lastra piana soggetta a trazione con un foro ellittico

+=

ba

n 21max σσ

Il rapporto n

tKσσmax=

+=

ρσσ a

n 21max

Il raggio di curvatura minimo dell’ellisse è

ab2

=ρ

per cui si ha:

è detto generalmente fattore d’intaglio

ρ

Lastra piana soggetta a trazione con intaglio acuto

Se l’intaglio diventa molto acuto,

0→ρ

la tensione locale in corrispondenza del fondo intaglio tende a valori molto elevati.

Al limite, per 0=ρ , la tensione locale al fondo intaglio, nell’ipotesi di comportamento puramente elastico del materiale, diventa infinita.

ρ

Lastra piana soggetta a trazione con intaglio acuto

In realtà il materiale presenta sempre un comportamento plastico, seppur minimo.

Si crea quindi una piccola zona plastica all’apice dell’intaglio che contiene il valore della tensione,

2

2

=

s

np

arσσ

L’area plastica è, in prima approssimazione, circolare, con un raggio che può essere espresso dalla relazione:

essendo a la semilunghezza del difetto

entro il limite elastico, nel caso di stato di tensione piano, entro due o tre volte tale limite, nel caso di stato di deformazione piano (dipendentemente dal valore del modulo di Poisson).

2a

Frattura fragile transgranulare all’apice della cricca

Se la zona plastica è piccola il livello locale di tensione raggiunto è sufficientemente elevato da provocare la rottura dei primi grani cristallini adiacenti alla zona plastica, dai quali poi si propagherà la frattura fragile transgranulare.

La capacità di deformarsi plasticamente consente al materiale di resistere alla propagazione della frattura ed è quindi strettamente connessa alla tenacità.

Meccanismi di frattura

La frattura può propagarsi per clivaggio, come avviene nei materiali fragili, o per coalescenza di difetti, come si verifica nei materiali duttili.

Meccanismi di frattura

La frattura può propagarsi per clivaggio, come avviene nei materiali fragili, o per coalescenza di difetti, come si verifica nei materiali duttili.

Stato di tensione Dimensioni della cricca

Tenacità del materiale

Perché la frattura fragile si verifichi è necessario il contemporaneo verificarsi delle tre seguenti condizioni:

• presenza di un difetto (cricca) di dimensione sufficiente;• bassa tenacità del materiale (bassa temperatura, elevata velocità di deformazione).

• livello di sollecitazione elevato (anche se inferiore alla tensione di rottura);

ZonacriticaFrattura



Frattura

Può accadere, quindi, che un difetto, anche molto esteso, rimanga stabile mentre cricche di minori dimensioni provochino la rottura.

È necessario, infatti, che anche gli altri due parametri in gioco, tenacità e livello tensionale, siano tali da innescare la rottura.



Frattura

Per progettare in sicurezza componenti, nei quali esistano le condizioni di una possibile rottura per frattura, è necessario quindi poter individuare quella zona critica entro la quale una particolare combinazione di valori del carico applicato, delle dimensioni del difetto e della tenacità renda possibile l’innesco della frattura.

Quando non esiste il rischio di rottura per frattura fragile, il dimensionamento di una struttura nasce generalmente dal confronto di due quantità:

Tensione ammissibileTensione di lavoro

Invece, nel caso in cui sia necessario verificare la resistenza alla frattura, il progetto di una struttura richiede di confrontare tre quantità:

Tenacità a frattura(temperatura)Tensione di lavoro

Dimensione del difetto

σ lo stato di tensione che si verifica sotto l’applicazione dei carichi previsti;σ0 le “prestazioni” del materiale, in termini di tensione ammissibile.

σ lo stato di tensione che si verifica sotto l’applicazione dei carichi previsti;KIC le “prestazioni” del materiale, in termini di tenacità alla frattura;a le dimensioni di un difetto, ovvero di una cricca.

La presenza di eventuali difetti può essere rivelata da controlli non distruttivi.

Ultrasuoni

Magnetoscopia

Liquidi penetranti

Liquidi penetranti fluorescenti

La presenza di eventuali difetti può essere rivelata da controlli non distruttivi.

Principio di funzionamento dei liquidi penetranti

Cricca superficiale rivelata dal liquido penetrante

Lo studioso inglese Griffith pubblicò nel 1920 una sua teoria sul comportamento a frattura dei materiali, basata su considerazioni energetiche,

che può essere considerata la base storica della Meccanica della frattura

Si consideri una lastra nella quale sia presente un difetto passante

2a

B


0U Energia potenziale elastica della lastra integra

DU Energia rilasciata per la presenza del difetto (disponibile)

pEA EEEU ++= Γ



AU Energia associata alla presenza del difetto (spesa)

EE Energia di deformazione elastica dovuta al lavoro delle forze esterne

ΓE Energia di tensione superficiale associata alla superficie del difetto

AD UUUU +−= 0


Bilancio energetico

2a

B

pE Energia di deformazione plastica localizzata all’apice del difetto

0=EE

0=pE

Se i carichi non si spostano per effetto della crescita del difetto.

Se il materiale è perfettamente elastico ovvero se la zona di plasticizzazione è nulla.

pEA EEEU ++= Γ



AU Energia associata alla presenza del difetto (spesa)




AD UUUU +−= 0

2a

B

Γ= EU A

pEA EEEU ++= Γ


DU Energia rilasciata per la presenza del difetto

AU Energia associata alla presenza del difetto




AD UUUU +−= 0

Γ+−= EUUU D02a

B

Ammettendo vere entrambe le ipotesi si conclude che:

e quindi:

Γ+−= EUUU D0

Γ=Γ aBE 4Quindi il bilancio energetico si può scrivere come:

=ΓEnergia necessaria per generare 1 m2 di nuova superficie

BEaU D

22σπ=

BEaU D

22σπ=

nel caso di stato piano di tensione

B

2a

Griffith valutò l’energia di deformazione elastica sulla base di un’analisi condotta da Inglis:

B

Tensione piana

Γ+−= EUUU D0

Γ=Γ aBE 4

Deformazione piana

Quindi il bilancio energetico si può scrivere come:

=ΓEnergia necessaria per generare 1 m2 di nuova superficie

BEaU D

22σπ=

nel caso di stato piano di deformazione

B

2a

Griffith valutò l’energia di deformazione elastica sulla base di un’analisi condotta da Inglis:

B

Tensione piana

Γ+−= EUUU D0

BEaaBUU

22

0 4 σπ−Γ+=

BEaB

aU 224 σπ

−Γ=∂∂

Γ= 22

Eaσπ

BEa

U 2

2

2 2 σπ−=

∂∂

La derivata seconda è sempre negativa, dunque il punto in cui si annulla la derivata prima è un massimo

0=

πσ Γ⋅⋅

=Ea 2

cKa =σ

cK

Quindi il bilancio energetico si può scrivere come:

Γ=Γ aBE 4

Condizione critica

BEaU D

22σπ=

Deformazione piana

Tensione piana

mMPaa 26.025.0 ÷=σ

Studiando la rottura di tubi e sfere di vetro contenenti difetti di dimensioni misurabili valutò il prodotto:

Γ+−= EUUU D0

BEaaBUU

22

0 4 σπ−Γ+=

BEaB

aU 224 σπ

−Γ=∂∂

Γ= 22

Eaσπ

πσ Γ⋅⋅

=Ea 2

cKa =σ

cK

0=

mMPaE 15.02=

Γ⋅⋅π

Griffith ottenne sperimentalmente il valore di per il vetro, dal quale ricavò la quantità:

Γ

Γ=Γ aBE 4

BEaU D

22σπ=

Deformazione piana

Tensione piana

70

)(GPaE )/( 2mJΓMateriale

AlluminioFerro

MagnesioNichelRameStagnoSilicioVetro

2004014013042180

50-85

1.62.01.21.651.651.21.21.2

πσ Γ⋅⋅

=Ea 2

cKa =σ

cKmMPaE 15.02

=Γ⋅⋅

π

Griffith ottenne sperimentalmente il valore di per il vetro, dal quale ricavò la quantità:

Γ

mMPaa 26.025.0 ÷=σ

Studiando la rottura di tubi e sfere di vetro contenenti difetti di dimensioni misurabili valutò il prodotto:

aafK σ)(=

In generale K può essere calcolato come segue:

)(afdove è un fattore geometrico dipendente da a e dalla geometria del componente.

a = dimensione del difetto

aU D

∂∂

=G

Il rateo di rilascio di energia, per unità di spessore, relativo ad un accrescimento infinitesimo da delle dimensioni del difetto, è generalmente indicato come segue:

2mJ

Ea 2σπ

=

L’assorbimento di energia dovuto alla creazione di nuova superficie, sempre nel caso di spessore unitario e per un materiale idealmente elastico, è indicato come segue:

Γ= 2

2mJ

La condizione critica è rappresentata dall’uguaglianza RG =

Il difetto è stabile se

aE∂∂

= ΓR

oppure, nel caso di stato piano di deformazione:

RG ≥RG <

mentre si propaga in modo instabile per

dipendente linearmente dalle dimensioni del difetto

indipendente dalle dimensioni del difetto

acr Lunghezza del difetto a

Ene

rgia

aE∂∂

= ΓR

Ea

aU D

2πσ=

∂∂

=GΓE

DU

In condizioni critiche:

aYKI σ=

DUEUU −=− Γ0

RG =

Massimo

Lunghezza del difetto aacr1

Ene

rgia

acr2acr3

1σ

2σ3σ

1σ2σ >3σ >

acr3 < acr2 < acr1

In condizioni critiche: RG =

Ea

aU D

2πσ=

∂∂

=G

aE∂∂

= ΓR

aacr

Ene

rgia

acr

In condizioni critiche: RG =

aE∂∂

= ΓR

aE

aE p

∂

∂+

∂∂

= ΓR

G

1σ

2σ1σ2σ >

Zona plasticizzata

aCEp ⋅=

pA EEU += Γ

Ca

Ep =∂

∂

Se il materiale è fragile e la plasticizzazione è modesta è lecita l’ipotesi:

e quindi si ha:Se c’è plasticizzazione

R è ancora indipendente da a

Anche per materiali fragili è possibile che sia: a

Ea

Ep

∂∂

>>∂

∂Γ

RG =

aacr

Ene

rgia

acr

In condizioni critiche:aa ∂

∂=

∂∂ RG

R

G

1σ

2σ1σ2σ >

All’aumentare della duttilità del materiale la zona plastica al fondo intaglio diventa sempre più importante.

R dipende da aPoiché le sue dimensioni dipendono con legge non lineare da a , ne consegue che:

Anche cambia la sua legge di dipendenza da a

G

aE∂∂

= ΓR

aE

aE p

∂

∂+

∂∂

= ΓR

3σ

3σ >

acr

La criticità di un difetto può essere valutata anche per altra via: studiando il campo di tensione che si verifica nell’intorno dell’apice del difetto.

Analisi del campo di tensione che si genera all’apice di un difetto:

Modo Idi apertura

FF

MODI di apertura del difetto.

Modo IIdi taglio nel piano della cricca

Analisi del campo di tensione che si genera all’apice di un difetto:MODI di apertura del difetto.

Modo IIIdi taglio fuori dal piano della cricca

Analisi del campo di tensione che si genera all’apice di un difetto:MODI di apertura del difetto.

MODI di apertura del difetto.

Rappresenta, infatti, la forma di apertura più comune che si osserva nella realtà che è anche la più critica, poiché richiede la minore tensione nominale per innescare la frattura.

Qualunque caso reale può essere ricondotto ad uno dei tre modi oppure ad una loro combinazione.

Tra i diversi modi di rottura descritti, il modo I è il più interessante per chi progetta strutture.

x

y

z

ϑr

σy

σy

σy

Modo I di apertura

Zona di singolarità

y

z

x

−=

23sen

2sen1

2cos

2ϑϑϑσσ

ra

x

ϑ

r

+=

23sen

2sen1

2cos

2ϑϑϑσσ

ra

y

23cos

2cos

2sen

2ϑϑϑστ

ra

xy =

0=ϑPer si ha:

ra

y 2σσ =

Lo stato tensionale nell’elementinoinfinitesimo, in funzione di e di è dato dalle relazioni che seguono, valide all’interno della zona di singolarità:

r ϑ

a

( )ϑπ

σ ijI

ij fr

K2

=

y

z

xϑ

r

Irwin raggruppò il prodotto aπσ

aKI πσ=e pose

che chiamò Fattore di intensificazione delle tensioni.

Le relazioni precedenti possono quindi essere riscritte come segue:

−=

23sen

2sen1

2cos

2ϑϑϑ

πσ

rKI

x

23cos

2cos

2sen

2ϑϑϑ

πτ

rKI

xy =

+=

23sen

2sen1

2cos

2ϑϑϑ

πσ

rKI

y

In generale possono essere scritte nella forma:

a

rKI

y πσ

2=

Per la componente vale:0=ϑ yσ

y

z

xϑ

ra

rKI

y πσ

2=

r

a

π

πσ

2= dove con si intende la tensione nominaleσ

aYKI σ=

In generale il valore del fattore di intensità della tensione può essere espresso nella forma:

dove Y è un fattore di forma dipendente dalla geometria del difetto.

Nel caso particolare di un difetto passante, di lunghezza 2 a, in una piastra le cui dimensioni possano essere considerate infinite rispetto ad a il fattore Y vale: π

Irwin raggruppò il prodotto aπσ

aKI πσ=e pose

che chiamò Fattore di intensificazione delle tensioni.

aKI πσ=π=Yper w >> a

wa

aKI

ππσ sec⋅=

wa

Yπ

π sec=

per w > a

aYKI σ= espressione di validità generale

Cricca passante centrale

Feddersen

wa

awaKI

ππ

πσ tan⋅=w

aπaπ

wπY tan=Irwin

w

2a

F

F

Isida

Confronto tra i diversi andamenti dei fattori di forma

aKI πσ⋅= 12.1π⋅= 12.1Yper w >> a

432

85.5348.387.1841.012.1

+

−

+−⋅=

wa

wa

wa

waY π

per w > a

Cricca passante al bordo

w

a

F

F

π=Y

π⋅= 12.1Y


π⋅= 12.1Yper w >> a

per w > a32

36.2748.876.012.1

+

−+⋅=

wa

wa

waY π

Cricca passante ad entrambi i bordi

w

a a

F

F


a

Bw

F

L

Trave appoggiata con cricca passante in corrispondenza del centro del bordo teso.


( ) ( )4 22

2 cossen ββπσ

+⋅

Φ⋅=

caaKI

Cricca ellittica interna

2a

2c

β

Y

( )∫−

−=Φ2

0

22

22

sen1π

ββ dc

ac

−

−−

−−=Φ ..........

643

411

2

2

2

22

2

22

cac

cacπ

Se il rapporto a/c è piccolo si può utilizzare una espressione approssimata:

2

2

88

3

c

aππ+=Φ

Vista dall’alto

2a

2c

aYKI σ=

Se il rapporto a/c è piccolo si può utilizzare una espressione approssimata:

Vista dall’alto

Φ⋅=πσ aKI

Il valore del KI è massimo per β = π /2 :

2

2

88

3

c

aππ+=Φ

aYKI σ=

Cricca ellittica interna

2a

2c

β ( ) ( )4 22

2 cossen ββπσ

+⋅

Φ⋅=

caaKI

Y

aQ

KI σπ12.1=

Più frequente è il caso della cricca semiellittica superficiale

a

2c2

2 212.0

−Φ=

S

Qσσ

Anche in questo caso il valore del KI è massimo per β = π /2 :

2

2

823

caππ

+=Φ

β

Vista dall’alto

β

Y

Ba

Per tener conto dell’effetto della prossimità della superficie, sullo stato tensionale nell’intorno della cricca, si introduce il fattore correttivo di Kobayashi:

aQ

MK KI σπ12.1=

aYKI σ=

B-a

aQ

MK KI σπ12.1= Il fattore correttivo di Kobayashi

σS

rKI

y πσ

2=

r*p

S

p

Iy

rK σπ

σ ==*2

2*

21

=

S

Ip

Krσπ 2

2

2 S

aσσ

=

aKI πσ=

L’andamento della componente normale alla cricca lungo l’asse r è dato dalla relazione:

La tensione raggiungerà lo snervamento a distanza r*

p dall’apice cricca;

ricordando che:

Essendo lo stato tensionale limitato dal comportamento plastico delmateriale la quota di carico relativa all’area tratteggiata non è piùsopportata dal materiale nella zona plastica e ciò crea una mancanzadi equilibrio. Tale quota di carico dovrà pertanto essere ridistribuita sul materiale circostante.

a

r

σy

cricca

Stato di tensione all’apice del difetto

Zona di plasticizzazione

r*p può essere calcolato come segue:

σS

r*p


a

r

σy

cricca


Per garantire l’equilibrio, altro materiale nell’intorno della zona plastica deve incrementare il suo livello tensionale e, quindi, l’area deformata plasticamente deve essere più ampia di quella individuata da r*

p.

σS

r*p


a

r

σy

cricca


Per garantire l’equilibrio, altro materiale nell’intorno della zona plastica deve incrementare il suo livello tensionale e, quindi, l’area deformata plasticamente deve essere più ampia di quella individuata da r*

p.

Secondo Irwin il valore effettivo del raggio plastico rp può essere valutato facendo riferimento ad una cricca fittizia, di dimensioni leggermente maggiori di quelle reali.

Irwin calcolò rp supponendo che la cricca avesse lunghezza a+δ, dove δ è piccolo rispetto ad a.

δ

rp

a λ

σS

r

σy

cricca


A

B

Per mantenere l’equilibrio le aree A e B devono essere uguali, in modo che il carico non sopportato da A possa gravare su B.

πλσ

2I

SK

=λδσ

2+

=a

essendo:

( )2

2

2 S

aσ

δσλ +=quindi: *

pr≅ essendo δ << a

Anche alla cricca di dimensioni maggiori potremo associare un raggio plastico che indichiamo con λe che può essere calcolato come segue:

Cricca fittizia: lunghezza a+δ, (δ << a )

L’andamento della tensione nell’intorno dell’apice della cricca èora indicato dalla curva in rosso, mentre la curva tratteggiata ingrigio rappresenta l’andamento della tensione previsto dallateoria per la cricca di lunghezza a.

Il raggio plastico effettivo rp è in questo caso, come si vede, maggiore di quello precedente.

δa λ

σS

r

σy

cricca


A

B

L’area B vale δ σS e, dovendo essere A = B si ha:

SyS dr σλσσδλ

⋅−

=⋅ ∫

0Sdr

ra σλδσ

λ

⋅−+

= ∫0 2

ricordando che δ << a

( ) ∫=+λ

σσλδ0 2

drr

aS ( ) ** 2 pSp rar σσδ =+

2

2*

2 Sp

arσσ

=

AB

elevando al quadrato si ha:

2

2*2

Sp

arσσ

=

essendo:

quindi: *pr=δ *2 pp rr =+= δλe di conseguenza:

rp

*2 pp rr =Secondo Irwin, dunque, la zona plastica ha ampiezza:

e che λ= r*p

L’analisi sperimentale ed i moderni metodi di calcolo dello stato di deformazione hanno dimostrato che la zona plastica all’apice della cricca ha forma e ampiezza diverse da quanto ipotizzato da Irwin.

L’immagine riportata qui al lato mostra il campo di deformazione di fondo cricca in un provino di lega di alluminio 2024.

I grafici mostrano l’estensione della zona plastica nei tre modi di rottura, sia in stato piano di tensione sia in stato piano di deformazione.

Come si vede, l’ampiezza della zona plastica si riduce notevolmente in presenza di uno stato piano di deformazione, rispetto al caso di tensione piana.

Perché l’ampiezza della zona plastica in presenza di uno stato piano di deformazione

è ridotta rispetto al caso di tensione piana?

Si consideri una lamiera al cui bordo è presente una cricca passante, sollecitata con un carico che agisce in direzione normale al piano di giacitura del difetto.

Lo stato di tensione nel materiale lontano dal difetto è monoassiale.

Per capire meglio come si sviluppa lo stato triassiale lo stato di tensione nell’intorno dell’apice del difetto immaginiamo ora di rendere trasparente la lamiera.

Si consideri una lamiera al cui bordo è presente una cricca passante, sollecitata con un carico che agisce in direzione normale al piano di giacitura del difetto.


La curva rappresenta l’andamento dello stato di tensione nell’intorno dell’apice del difetto. Si consideri una lamiera al

cui bordo è presente una cricca passante, sollecitata con un carico che agisce in direzione normale al piano di giacitura del difetto.


Zona che tende a contrarsi per l’effetto Poisson ma non può farlo per congruenza con il materiale circostante che è rimasto in campo elastico ed a tensione relativamente bassa.

Per capire meglio come si sviluppa lo stato triassiale lo stato di tensione nell’intorno dell’apice del difetto immaginiamo ora di rendere trasparente la lamiera.

Per comprendere come nasce la triassialità si immagini ora di rimuovere la congruenza nell’intorno del difetto e considerare il materiale come una serie di parallelepipedi contigui caricati da forze assiali.

La curva rappresenta l’andamento dello stato di tensione nell’intorno dell’apice del difetto.



Nella vista dall’alto la contrazione laterale dei parallelepipedi appare evidente

Imponendo la congruenza

Prima dell’applicazione del carico

Dopo applicazione del carico


Per comprendere come nasce la triassialità si immagini ora di rimuovere la congruenza nell’intorno del difetto e considerare il materiale come una serie di parallelepipedi contigui caricati da forze assiali.

Per effetto della contrazione laterale impedita nascono le componenti trasversali dello stato di tensione.

Il cilindro rappresenta la zona nella quale si manifesta la triassialità.



La curva rappresenta l’andamento dello stato di tensione nell’intorno dell’apice del difetto. Per effetto della contrazione

laterale impedita nascono le componenti trasversali dello stato di tensione.

Il cilindro rappresenta la zona nella quale si manifesta la triassialità.

Effetto della cricca sullo stato di

tensione.


( )[ ] 012133 =+−== σσνσεε

Ez

Nell’ipotesi che le componenti di tensione σx eσy nell’intorno del difetto, possano essere considerate lungo l’asse x (θ =0) tensioni principali, esse sono date dalle relazioni:

xKI

xyπ

σσσσ2

21 ==== x

y

zSe si ammette, per quanto detto prima, che la deformazione lungo lo spessore sia nulla (stato piano di deformazione) si ha:

di conseguenza

( ) 0213 =+− σσνσ ( )213 σσνσ +=

( )213 σσνσσ +==z

Nell’ipotesi che le componenti di tensione σx eσy nell’intorno del difetto, possano essere considerate lungo l’asse x (θ =0) tensioni principali, esse sono date dalle relazioni:

xKI

xyπ

σσσσ2

21 ==== x

y

z

posto: 1

2

σσα =

1

3

σσβ =e

Dalla condizione di snervamento scritta con il criterio di von Mises si ottiene la relazione:

essendo: νβ 2=12 σσ = si ha: 1=α e

( )νν 88221 2 −+=

91

= se31

=ν

91

2

1

=

σσ S

Da questo risultato si deduce che la zona plastica, nel caso di stato piano di deformazione è meno estesa rispetto al caso di stato piano di tensione, perché la componente σy può raggiungere 3σSprima che si manifesti lo snervamento.

Sσσ 31 =

rp

a

r

σy

cricca


σSσy =Stato piano di tensione

3σSσy =Stato piano di deformazione

rpZona plastica in stato piano di tensione

Zona plastica in stato piano di deformazione

In base alle considerazioni fatte fin ora si deduce che il volume plastico ha una forma complessa.

Si assottiglia nella parte centrale della lamiera, dove è prevalente lo stato di deformazione piana, e si espande in corrispondenza delle superfici, dove lo stato di tensione è piano.

spessore

Volume plastico all’apice della cricca

Volume plastico in funzione dello spessore

In base alle considerazioni fatte fin ora si deduce che il volume plastico ha una forma complessa.

Si assottiglia nella parte centrale della lamiera, dove è prevalente lo stato di deformazione piana, e si espande in corrispondenza delle superfici, dove lo stato di tensione è piano.

spessore

Volume plastico in funzione dello spessore

Al crescere dello spessore diviene prevalente la parte centrale del volume plastico rispetto alle zone estreme superficiali e, quindi, si riduce l’energia specifica necessaria alla propagazione instabile del difetto.

In altri termini, al crescere dello spessore si riduce la tenacità del componente.

Piani di taglio massimo

Il grado di triassialità dello stato di tensione influenza la giacitura del piano di massimo scorrimento.

Tensione piana Deformazione

piana

Piani di coalescenza dei vuoti

Stato piano di tensioneStato piano di deformazione

Dipendenza dallo spessore della tenacità alla frattura

Dipendenza dallo spessore della tenacità alla frattura

Spessore minimo per l’applicabilità della MFLE

2

=

S

ICK

B

σ

α

2

5.2

⋅≥

S

ICKBσ

5.2=

Dati sperimentali per un acciaio Maraging

Provini standardASTM

Prelievo dei provini dal materiale

Il provino CT viene sottoposto a trazione

Provino CT

Curve carico spostamento

Perché sia applicabile la MFLE la curva carico spostamento deve

avere un andamento lineare

Nel caso di comportamento lineare il valore di KI calcolato

per il provino può essere definito come il KIC del materiale

Curve carico spostamento

Perché sia applicabile la MFLE la curva carico spostamento deve

avere un andamento lineare

Il valore del K critico può anche essere calcolato con

quest’altra relazione:

Nel caso di comportamento lineare il valore di KI calcolato

per il provino può essere definito come il KIC del materiale

Criterio di applicabilità della MFLE

Valori di tenacità per alcuni acciai

Valori di tenacità per acciai altoresistenizalie per la lega 7075

Valori di tenacità per alcune leghe di alluminio

Valori di tenacità per alcuni polimeri

Effetto della temperatura sulla tenacità

DATI:F = 200 kNw = 760 mm2a = 102 mm (a = 51 mm) B = 5.0 mmw

2a

BF

F

Una piastra presenta una cricca centrale passante ed è soggetta ad un carico di trazione F.

Materiale – SAE 4340

σR = 1820 MPaσS = 1470 MPaKIC = 47 MPa√m

2

5.2

⋅≥

S

ICKBσ

Verifica dell’applicabilità della MFLE

2

1470475.2

⋅≥B m31055.2 −⋅= mm55.2=

Si chiede di verificare il coefficiente di sicurezza rispetto alla frattura.

Spessore minimo per l’applicabilità della MFLE B = 2,55 mm

DATI:F = 200 kNw = 760 mm2a = 102 mm (a = 51 mm) B = 5.0 mmw

2a

BF

F




Si chiede di verificare il coefficiente di sicurezza rispetto alla frattura.

BwF

=σ7605000200

⋅= MPa53=

aYKIC

cr =σ051.0

47π

= MPa117=

2.253

117==FX

Spessore minimo per l’applicabilità della MFLE B = 2,55 mm

DATI:F = 85 kNw = 50.0 mm2a = 4 mm (a = 2 mm) B = 12.0 mm

w

2a

BF

F


Materiale – 7075 T6


Si chiede di:1) calcolare il coefficiente di sicurezza rispetto alla frattura;2) calcolare il coefficiente di sicurezza rispetto allo snervamento;3) calcolare il valore critico del difetto;4) calcolare la tensione critica a frattura.

DATI:F = 70 kNw = 40.0 mm2a = 6 mm (a = 3 mm) B = 10.5 mm

Una piastra presenta una cricca al bordo passante ed è soggetta ad un carico di trazione F.

Materiale – 7075 T6


Si chiede di:1) calcolare il coefficiente di sicurezza rispetto alla frattura;2) calcolare il coefficiente di sicurezza rispetto allo snervamento;3) calcolare il valore critico del difetto;4) calcolare la tensione critica a frattura.w

a

F

F

B

FDATI:F = 225 kNw = 50.0 mm2c = 20 mm (a = 5 mm) B = 15.0 mm

Una piastra presenta una cricca superficiale di forma semiellittica.

Si chiede di:1) calcolare il coefficiente di sicurezza

rispetto alla frattura;2) calcolare la tensione critica a frattura.

a

2c

F



w

B

Tens

ione

di r

ottu

ra (M

Pa)

Dimensione del difetto (m)

w

aF = 200 kN

Andamento della tensione di rottura per frattura in funzione della dimensione del difetto

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