Jenny Boucard Centre François Viète - Université de Nantes

Workshop « Circulating Mathematics via Journals: The rise of internationalization 1850-1920 » Mittag-Leffler Institute, Djursholm

June 22th 2016

In Search of the “Géométrie de situation” in Mathematical Journals of the Second Half of the XIX

Century

Toward a geometry expressing the situation

‣ Letter from Leibniz to Huygens (1679) « I think that another strictly linear geometric analysis is needed, that directly expresses the situation as algebra expresses the magnitude »

‣ Euler, 1751 : « Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis »

‣ Vandermonde, 1774 : « Remarques sur les problèmes de situation »

‣ Ref. to Leibniz’ calculus of situations & Euler, 1759 : « Solution d’une question curieuse qui ne paroit soumise à aucune analyse » (Knight’s tour problem)

‣ « Géométrie de situation », « Géométrie de position », « Analysis situs », « Science of situation »…

[Euler 1851] [Vandermonde 1774]

Which « géométries de situations » in the XIXth century ?

NAM, 1909

Which « géométries de situations » in the XIXth century ?

NAM, 1909

Louis Poinsot (1777-1859) Polygons, Polyhedrons and number theory (1810-1845)

‣ « Géométrie de situation » : « where one considers less the size and proportion of the figures, than the order and the situation of the various elements that compose them »

‣ Classification of star polygons, star polyhedrons

‣ Link between number theory and geometry

18101845

‣ « Réflexions sur les principes fondamentaux de la théorie des nombres » (CRAS, 1841 & Journal de Liouville, 1845)

‣ Deux types of mathematics : quantities and ratios vs number, order, situation

‣ Links between number theory and geometry of situation —> graphical proofs of fundamental arithmetical theorems from the « theory of order »

‣ Number theory in teaching curricula

Géométrie de situation at the Academy des sciences

‣ Poinsot, « Note sur la théorie des polyèdres » (CRAS, 1858)

‣ Grand prix - 1858 : « Improve in some important way the geometric theory of polyhedra »

‣ Eugène Catalan, « Mémoire sur la théorie des polyèdres » (JEP, 1865) : « Nevertheless, we believe we have reduced the theory of the possibility of polyhedra to indeterminate analysis of the first degree and to a problem similar to that of the Cavalier, Solitaire, etc., that is to say belonging to the Geometry of situation in the plane. »

‣ Camille Jordan, Notice sur travaux (1881) : Theory of poyhedrons —> Géométrie de situation - « General trend of my researches »

‣ Polyhedrons, substitutions, crystallography, special functions linked with Riemann surfaces, …

‣ An other French author with some similar research themes : Théodore Despeyrous

‣ And internationalisation ? Interactions with other scholars (Kirkman,…) with no references to Geometry of situation —> which kind of circulations ?

[Brechenmacher 2012, Ehrhardt 2015] ‣ Volpicelli’s articles on the Knight Tour published in the CRAS (1850-1870’)

Polygons & number theory by Olry Terquem in the Nouvelles annales de mathématiques

‣1849 : Terquem publishes several works on polygons and polyhedrons

‣« Polygones et polyèdres étoilés d’après Poinsot » ‣« Polyèdres étoilés d’après Cauchy » ‣« Théorèmes sur la Géométrie de situation d’après Cayley »

‣1851 : Translation by Coupy of [Euler 1751]

‣1854 : A subscriber, Sur le problème du cavalier au jeu des échecs ‣Terquem : «  The principles of the geometry of situation desired by Leibnitz situation are still unknown; principles intimately linked to the combinatorial number theory and arithmetic of finite partial differences. » Terquem, 1859 (NAM, I, 18)

Édouard Lucas (1842-1891) Number theory and Mathematical Recreations

Lucas, Théorie des nombres (1891)Lucas, Récréations mathématiques, vol. 1 (1891) [Décaillot 1998, 2002, … ; Auvinet 2011, …]

« We will put here some general considerations on several problems of the Geometry of Situation ; these problems relate directly to Number theory, because their solution depends on the theory of combinations ».

Conclusion of the Chapter VII : « We will not develop further, for now, this studies about Geometry of situation ; nevertheless work by Poinsot, Cauchy and Bertrand about the Star polyhedrons ; those of Catalan, on semi-regular Polyhedrons, […] those of Bravais, on Cristallography and Phyllotaxy ; those of M. Cayley on geometrical trees and their use in the theory of chemical combinations.

In two important papers, too much ignored today, Listing set up the general principles of the Geometry of situation. His Vorstudien zur Topologie (1847) have been the subject of a summary in the Treatise on Electricity and Magnetism by Clerk Maxwell, and of a elementary presentation by Cayley, in the Messenger of Mathematics (1873). In his memoir of 1861, Der Census raümlicher Complexe, Listing deals with the formation and the classification of knots ; this idea was taken in several Memoirs submitted at the Royal Society of Science in Edimbourg, by M. Tait, who found most of the results of Listing […]. Geometry of knots is part of the weaving geometry (« Géométrie du tissage »)[…] »

From Lucas’point of view…

Which periodical for Lucas’Géométrie de situation ?‣ Comptes rendus des congrès de l’AFAS

‣ Bulletin de la Société mathématique de France

‣ Nouvelles annales de mathématiques, Journal de mathématiques élémentaires, spéciales

‣ Nouvelle correspondance mathématique, Mathesis

‣ Revue scientifique de la France et de l’étranger ; La Nature. Revue des sciences et de leurs applications aux arts et à l’industrie ; Cosmos.  Revue des Sciences et Leurs Applications

‣ Les Tablettes du chercheur. Journal des jeux d’esprit et de combinaisons

‣ Bulletin de l’Académie impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg

‣ L'Ingegneria Civile e le Arti Industriali (Torino)

‣ Messenger of mathematics, American Journal of Mathematics pure and applied, Annali di Matematiche pura ed applicata, Atti della Reale Accademia dei Lincei…

Problems of chessboards…

[La Nature, 1889]

« Nouveaux jeux scientifiques de Lucas  » : «  The Fasioulette is a game for living rooms, beach and gardens, for the miss and the mrs. It has many drawing exercises that can be reproduced on the graph paper or on the canvas; we learn to find [...] very nice designs, always new, that can be run with tapestry with wool of all colors. » Ref. to Knight’s tour problem & Euler, Vandermonde…

[La Revue scientifique, 1879]

« Géométrie des quinconces » & « Géométrie des tissus » Which journals for Lucas ?

‣ 1867 ‣ Édouard Gand, 1867, « Nouvelles méthodes de construction des satins réguliers,

pairs et impairs. Armures (tissu), armures (dessins), mosaïques », Bulletin de la Société industrielle d’Amiens

‣ Édouard Lucas, « Application de l’arithmétique à la construction de l’armure des satins réguliers », Gustave Retaux, Paris

‣ 1876-1880 ‣ AFAS : at least 2 communications about weaving geometry, non published

‣ Bulletin de la Société mathématique de France (1877-1879) : « Géométrie des quinconces » - Lucas, Polignac, Jonquière, Laisant «Les centres de trois cases quelconques d’un échiquier de grandeur quelconque ne sont jamais situés aux sommets d’un triangle équilatéral ou d’un hexagone régulier »

‣ 1879 : Questions about similar problems in the NAM & NCM (at least)

‣ 1880 : « Principii fondamentale della geometria del tessuti », Ingegneria Civile e le Arti Industriali

An international circulation of Lucas’ Geometry of situation ?

‣ Fedele Cerutti (teacher at the professional School in Biella), 1879 (?) : « Nuovo metodo par la classificazione dei tessuti », Ingegneria Civile e le Arti Industriali

‣ Siegmund Günther (1848-1923) : a « géométrie des quinconces » not very precise ‣ « Zur mathematischen Theorie des Schachbretts » (Archiv der Mathematik und Physik, 1874) - n

queens problem ‣ « Operative Arithmetik und Geometrie der Gittersystem » (Zetschrift für mathematischen und

naturwissenschaftlichen Unterricht, 1882) - Ref : Lucas, Laisant, Polignac, Laquière… and Gauss, Eisenstein, Stern…Bravais, Sohncke, Selling, Lipschitz

‣ Pafnouti Tchebychev : weaving geometry and quadratic reciprocity law

‣ Lucas to Tchebychev, March 1890 : « I send you a little note that I beg you to present to the Academy; it contains a very simple demonstration of the law of reciprocity. I found by chance in weaving. »

‣ 22th May 1890 in Saint-Pétersbourg, presented by Tchebychev ‣ Bulletin de l’Académie impériale des sciences de Saint-Petersbourg, 1890 : another proof of

reciprocity law… ‣ August 1890, AFAS : « Nouvelle démonstration de la loi de réciprocité »

Lucas, Quinconces and Textiles 1911-1912

Sphinx-Oedipe, May 1911 (A. Gérardin)

‣E. Arnould to Delannoy (1904) : «  I would precisely read his brochure on the theory of weaving (generation of tissues), even if in Italian, and I would be thankful if you could send it to me. The Italien editor wrote to me that he hadn’t any copy left. » ‣A. Aubry, « Les principes de la géométrie des quinconces », L’Enseignement mathématique, 1911 (Ref : Laisant, Arnoux, Gand, Thiele, Bravais…)

AFAS, August 1911

First conclusions & perspectives‣ Fragmentation of the editorial space

‣ A will of unity based on specific graphical configurations(chessboards, lattices, labyrinths, …) between number theory, geometry, combinatorics and algebra

‣ Diversified circulation of Géométrie de situation by Lucas & Co (media, forms, …)

‣ Projects linked with teaching values (Chalotais, Pestalozzi, …)

‣ Mathematics and applications

‣ Some to-do lists…

‣ A set of various mathematical practices and discourses…

‣ What about British and American Journals ?

‣ Unity with graphs, lattices, … : Sainte-Lagüe 1926, Koenig, …

‣ Which kind of links with other scientific domains ?