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Luca Mari
Università Cattaneo – LIUC
Progetto e misura della qualità
Incertezze di misuraVersione 26.5.10 *** appunti ***
Indice
1 Un’introduzione pragmatica all’argomento.......................................................................................................................................21.1 Variabilità e qualità delle misure..............................................................................................................................................21.2 Misure di qualità e qualità delle misure....................................................................................................................................3
2 Il punto di vista tradizionale...............................................................................................................................................................32.1 Sul concetto di valor vero.........................................................................................................................................................42.2 Errori casuali ed errori sistematici: accuratezza/precisione.....................................................................................................4
2.2.1 Un esempio......................................................................................................................................................................52.3 Errori casuali ed errori sistematici: una critica al punto di vista tradizionale..........................................................................62.4 “Valori veri”?............................................................................................................................................................................6
3 Da “errore” a “incertezza”..................................................................................................................................................................73.1 Cause di incertezza....................................................................................................................................................................7
4 Metodi per la valutazione dell’incertezza..........................................................................................................................................84.1 Valutazioni di categoria A: sintesi di un campione di misure..................................................................................................84.2 Valutazioni di categoria B: un esempio....................................................................................................................................94.3 Ancora sulle valutazioni di categoria B..................................................................................................................................104.4 Incertezze assolute e incertezze relative.................................................................................................................................104.5 Dall’incertezza tipo all’incertezza estesa................................................................................................................................10
5 L’espressione del risultato di una misurazione................................................................................................................................115.1 Il calcolo di misure da misurazioni indirette..........................................................................................................................12
5.1.1 Alcuni esempi................................................................................................................................................................135.2 La legge di combinazione / propagazione delle incertezze....................................................................................................14
5.2.1 Alcuni casi semplici di propagazione delle incertezze..................................................................................................145.2.2 Un esempio....................................................................................................................................................................155.2.3 Un esempio....................................................................................................................................................................155.2.4 Un esempio....................................................................................................................................................................15
5.3 Sulla convenzionalità nella valutazione dell’incertezza.........................................................................................................165.4 Sintesi: un esempio di procedura GUM-compliant.................................................................................................................175.5 Sintesi: sull’espressione dei risultati di misurazioni..............................................................................................................175.6 Sintesi: sul campo di applicabilità della GUM.......................................................................................................................18
6 Strategie alternative..........................................................................................................................................................................186.1 Monte Carlo.............................................................................................................................................................................19
6.1.1 Un esempio....................................................................................................................................................................196.2 PUMA..................................................................................................................................................................................... 20
7 Compatibilità di misure....................................................................................................................................................................207.1 Tolleranza e incertezza: “regole decisionali”.........................................................................................................................217.2 Tolleranza e incertezza: una procedura operativa...................................................................................................................227.3 Tolleranza e incertezza: in sintesi...........................................................................................................................................237.4 Sulla valutazione del rischio di non conformità.....................................................................................................................24
8 Sintesi: incertezza, taratura, riferibilità............................................................................................................................................259 Sintesi: misurazione, informazione, incertezza...............................................................................................................................25
Nota: in questo materiale si fa riferimento a vari documenti prodotti da enti di normazione, e in particolare:
[VIM]: ISO/IEC Guide 99:2007, “International Vocabulary of Metrology – Basic and General
Concepts and Associated Terms”, 3rd ed., Geneva, Switzerland, 2007 (è in corso di realizzazione la
traduzione italiana, che sarà una norma UNI-CEI)
[GUM]: UNI CEI ENV 13005:2000, “Guida all’espressione dell’incertezza di misura”
1
1 Un’introduzione pragmatica all’argomentoQuando un cliente e un fornitore stipulano un contratto, concordano delle specifiche a proposito dell’oggetto
del contratto stesso; per esempio: “dovrà essere consegnata entro il giorno… la quantità… del materiale…
con le caratteristiche…”. Se ipotizziamo, come usuale nell’industria, che i valori delle grandezze specificati
siano riportati indicando un valore nominale e, appunto, un intervallo di tolleranza (dunque per esempio
come: valore_nominale ± semi-ampiezza dell’intervallo di tolleranza, x± x ) è chiaro che la qualitàla qualità
concordata è inversamente proporzionale alle tolleranze ammesseconcordata è inversamente proporzionale alle tolleranze ammesse, ed è plausibile che il prezzo concordatoil prezzo concordato
sia correlato con la qualità concordatasia correlato con la qualità concordata.
Una volta stipulato il contratto, come può il fornitore assicurarsi che ciò che sta per consegnare sia
effettivamente compatibile con le specifiche concordate e quindi di qualità sufficiente, e con ciò
evitare (o comunque mantenere accettabilmente basso il rischio di) contestazioni da parte del
cliente?
E, una volta ricevuta la fornitura, come può il cliente assicurarsi che ciò che gli è stato consegnato
sia effettivamente compatibile con le specifiche concordate, o al contrario stabilire che può
contestare la consegna in quanto di qualità non sufficiente?
Entrambi devono effettuare delle misurazionidevono effettuare delle misurazioni
La misurazione è dunque uno strumento di supporto alle decisioni da prendere in condizioni di rischiouno strumento di supporto alle decisioni da prendere in condizioni di rischio.
L’esempio precedente può essere generalizzato. La misurazione è uno strumento di supporto alle decisioni in
condizioni di rischio:
per stabilire la conformitàconformità di un oggetto a specifiche tecniche date (confronto misure-specifiche);
per stabilire la sostituibilitàsostituibilità di oggetti diversi relativamente a loro funzionalità / caratteristiche
(confronto misureoggetto1−misureoggetto2);
per stabilire la stabilitàstabilità di un oggetto (cioè la sua “sostituibilità con le sue precedenti versioni
temporali”) (confronto misureoggetto(t1) − misureoggetto(t2)),
e naturalmente non è necessario che conformità / sostituibilità / stabilità siano accertate con un numero di
cifre significative... infinito...
1.1 Variabilità e qualità delle misure
Ripetendo l’applicazione di un sistema di misura a un sistema oggetto della misurazione apparentemente
sempre in uno stesso stato, come dato di fatto si osserva che si ottengono misure più o meno sensibilmente
differenti, e anzi quanto più è sensibile il SiM (e quindi quanto maggiore è il numero di cifre significative
con cui si esprime il valore del misurando) tanto meno le misure sono coincidenti “fino all’ultima cifra”.
Le cause di questo fatto possono essere molteplici, e tipicamente non sono tutte note:
il sistema di misura non è perfettamente ripetibile e/o stabile, dunque a parità di stato del sistema da
misurare non transisce sempre nello stesso stato (cause strumentalicause strumentali);
2
una o più grandezze di influenza sono variate senza che l’osservatore se ne accorgesse (causecause
ambientaliambientali);
il misurando non è stato definito con sufficiente dettaglio (cause modellistichecause modellistiche);
… effettivamente l’oggetto da misurare ha cambiato stato.
Il sistema oggetto della misurazione potrebbe essere non un singolo pezzo prodotto ma un intero lotto; per
contenere i costi, le politiche aziendali di gestione della qualità potrebbero allora specificare che il controllo
di qualità va effettuato non su tutti i pezzi, ma solo su una frazione x (p.es. 0,05 ) di essi, cioè con un piano
di campionamento al 100∗x % (p.es. al 5 %).
In tal caso, la variabilità osservata effettuando la misurazione sulla frazione di pezzi estratti per
campionamento è dovuta non solo alle cause elencate sopra, ma anche alla variabilità del valore del
misurando interna al campione del lotto; nuovamente, si pone comunque lo stesso problema: decidere, in
condizioni di rischio a causa dell’incertezza, se consegnare o meno il lotto.
Occorre allora tenere in considerazione tale variabilità in quanto caratteristica inerente alla misura e
formalizzarla in modo opportuno (e ciò come fatto generale, cioè anche nei casi di misura singola!).
La variabilità di una misura può essere considerata inversamente correlata con un parametroLa variabilità di una misura può essere considerata inversamente correlata con un parametro
che possiamo identificare, genericamente, come la qualità della misura stessache possiamo identificare, genericamente, come la qualità della misura stessa
1.2 Misure di qualità e qualità delle misure
Dunque:
da una parte occorre misurare le caratteristiche di un sistema per assicurarsi circa la sua qualità (cioè
occorre effettuare delle “misure di qualità”);
d’altra parte le misure stesse sono caratterizzabili in riferimento alla loro qualità (cioè è possibile e
appropriato stabilire la “qualità delle misure”).
Che relazione c’è / ci dovrebbe essereChe relazione c’è / ci dovrebbe essere
tra la qualità richiesta / concordata per i prodotti e la qualità delle misure?tra la qualità richiesta / concordata per i prodotti e la qualità delle misure?
Sembra ragionevole la seguente conclusione:
quanto più la qualità richiesta per i prodotti è alta,quanto più la qualità richiesta per i prodotti è alta,
tanto più è importante che sia alta la qualità delle misuretanto più è importante che sia alta la qualità delle misure
e d’altra parte poiché:
quanto più è alta la qualità delle misurequanto più è alta la qualità delle misure
tanto più è costoso il processo di misurazionetanto più è costoso il processo di misurazione
è necessario trovare un bilanciamento (“il giusto mezzo”) tra costi che si sostengono in produzione e
controllo di qualità e rischi che si corrono per non conformità.
2 Il punto di vista tradizionaleFino all’inizio del XIX secolo, la variabilità delle misure era considerata un fatto secondario, e comunque le
misure venivano espresse indicando semplicemente un valore per il misurando (si ricordi che ancora in quel
periodo la produzione industriale adottava pratiche di tipo artigianale, senza cercare la standardizzazione dei
3
prodotti). Intorno al 1810, Gauss creò una “teoria degli errori” «… e gli astronomi ne fecero uso. (…)
[D’altra parte] se si eccettua l’astronomia, la fisica cominciò a riportare stime degli errori di misura solo
dopo il 1890» [I. Hacking].
Le idee su cui la teoria degli errori è fondata sono:
una volta fissato lo stato del sistema da misurare, il misurando ha un valore, chiamato
tradizionalmente “valor verovalor vero”, a priori ignoto e che è compito della misurazione giungere a stimare;
ogni misura fornisce una stima imperfetta del valore vero, e ciò a causa di errorierrori i cui effetti si
accumulano e impediscono di ottenere / osservare il valor vero (e quindi quanto minori sono gli
errori a cui è sottoposta una misura, tanto migliore essa è).
Fisica Il misurando ha un valor vero Il valor vero è ignoto, ed è compito della misurazione giungere a una sua stima
Calcolodelle probabilità
Per cause molteplici il misurando si manifesta come una distribuzione di probabilità
Sotto opportune ipotesi, tale distribuzione di probabilità è gaussiana, N , 2
Statistica Attraverso la ripetizione della misurazione, si ottiene un campionamento x i di N , 2
Dal campione x i occorre ottenere le
statistiche che stimano e 2
La soluzione statistica a questo problema è la seguente:
lo stimatore per è la media campionaria: m X=1n∑i=1
n
x i ;
lo stimatore per 2 è la varianza campionaria: s X=1
n−1∑i=1
n
x i−mX 2 .
2.1 Sul concetto di valor vero
Da dove viene l’ipotesi di “valor vero”? Da alcuni presupposti metafisici (“i numeri sono nel mondo”, come
scrisse Keplero), ma anche plausibilmente dalla constatazione della progressiva stabilità della media
campionaria. Vediamo di cosa si tratta.
Supponiamo che x i∈[0, R ] . Dopo l’acquisizione del primo campione, x 1 , la media campionaria, che
indichiamo con m1 , ovviamente coincide con esso, m1=x 1 . Dopo l’acquisizione del secondo campione,
x 2 , la media diventa, naturalmente, m2=x 1x 2/2 . Il valore massimo dello scostamento tra m1 e m2 si
presenta nel caso in cui x 1=0 e x 2=R (o viceversa), e quindi max ∣m2−m1∣=R /2 . Per induzione, non è
difficile mostrare che max ∣mi−mi−1∣=R /i : all’aumentare di i , ogni nuovo campione che si acquisisce è
dunque in grado di produrre uno scostamento della media m i sempre minore, e quindi ∣mi−mi−1∣ i∞0 .
Dunque sembra che se ne possa concludere che m i i∞ , e quindi che il valore a cui converge la successione
m i sia il “valore vero” del misurando da cui sono stati misurati i campioni x i .
2.2 Errori casuali ed errori sistematici: accuratezza/precisione
Se le cause della variabilità delle misure sono molteplici, singolarmente con piccoli effetti e reciprocamente
indipendenti (una situazione che si verifica spesso, per esempio, a proposito delle grandezze di influenza),
all’aumentare del numero di ripetizioni l’istogramma delle frequenze relative delle misure approssima
sempre meglio una distribuzione di probabilità di tipo gaussiano: errori di questo genere sono chiamati errorierrori
casualicasuali. Nel caso in cui la misurazione è affetta solo da errori di questo genere, si può intendere come il
4
valor vero del misurando, e dunque – come abbiamo visto – m i come il miglior stimatore per tale valor
vero.
Ma sovrapposti agli errori casuali si possono presentare anche errori di altro genere, chiamati errorierrori
sistematicisistematici, che distorcono la distribuzione delle misure in modo appunto sistematico, traslandola lungo
l’asse dei valori del misurando (sono errori tutti “dello stesso segno”, e quindi non si annullano con
l’aumentare delle dimensioni del campione).
x oooooo
x valore vero
o misure
xoooooo
grandi errori casuali,senza errori sistematici
piccoli errori casuali,grandi errori sistematici
E’ dunque solo assumendo che tutti gli errori sistematici siano stati corretti che il valor medio e la
deviazione standard (cioè la radice quadrata della varianza) della gaussiana così ottenuta sono stimatori
rispettivamente del valore vero del misurando e del suo errore. Operativamente, la differenza tra errori
casuali ed errori sistematici si manifesta nel fatto che all’aumentare del numero di ripetizioni l’effetto degli
errori casuali si riduce (e quindi il corrispondente stimatore si riduce, grazie al fatto che la gaussiana “si
stringe”), mentre l’effetto degli errori sistematici rimane inalterato. Dunque:
la dispersionedispersione reciproca delle misure
è dovuta a errori casualicasuali ed è valutata in termini di precisioneprecisione di misura (grado di concordanza tra valori misurati della grandezza ottenuti da
misurazioni ripetute dello stesso oggetto o di oggetti similari, eseguite in condizioni specificate [VIM])
la deviazionedeviazione delle misure dal valor vero
è dovuta a errori sistematicisistematici ed è valutata in termini di accuratezzaaccuratezza di misura (grado di concordanza tra un valore misurato della grandezza e un
valor vero della grandezza di un misurando [VIM])
2.2.1 Un esempio
Supponiamo di voler misurare la resistenza R di un oggetto metallico, potendo ripetere la misurazione un
numero n1 di volte. Supponiamo di aver ottenuto un campione x i , i=1,... ,n , di valori non coincidenti,
cioè con deviazione standard non nulla: qual è il contributo degli errori casuali e quale quello degli errori
sistematici a questo campione?
Supponiamo di aver ricordato che la resistenza dipende dalla temperatura, secondo una relazione che, in
prima approssimazione, è:
R=ls0 1T
dove l e s sono rispettivamente la lunghezza e la sezione dell’oggetto, ipotizzate costanti, 0 è la
resistività del materiale di cui l’oggetto è fatto, ipotizzato omogeneo, a una temperatura di riferimento, è
un coefficiente il cui valore dipende dal materiale in questione e dalla temperatura di riferimento scelta, e
infine T è la temperatura dell’oggetto al momento della misurazione. La temperatura T potrebbe avere
piccole variazioni tra una ripetizione e l’altra, determinando così la dispersione dei valori di resistenza, ma
se poi l’oggetto venisse impiegato a una temperatura (in media) diversa da quella a cui era stato misurato si
5
determinerebbe anche uno scostamento sistematico, e lo stesso effetto si otterrebbe se la resistenza fosse
ottenuta a partire dalla relazione indicata, misurando l , s e T e prendendo i valori di 0 e da un
manuale, nel caso di un errore sistematico in una misura.
2.3 Errori casuali ed errori sistematici: una critica al punto di vista tradizionale
“Traditionally we have divided errors into systematic and random components. Anything we could explain,
such as a temperature influence, as well as errors that followed a certain pattern and looked systematic were
characterized as systematic errors. Anything else was considered random errors. The fact we ignored, but
which was there all along, was that the harder we looked at a measuring process and the more resources we
put into understanding it, the more errors started appearing systematic to us. We will see that the only
logical explanation is that all errors are systematic, they only appear random when we have limited
information or if our sampling is not dense enough.” (da H. S. Nielsen, The myth of the random error, 1998,
http://www.hn-metrology.com/randmyth.htm).
Secondo questa interpretazione, dunque, anche la distinzione tra errori casuali ed errori sistematici non è
“inerente” agli errori stessi, ma deriva da questioni modellistichederiva da questioni modellistiche. Il problema empiricamente più rilevante
rispetto a questa distinzione tra “tipi di errori” riguarda comunque le modalità per combinare più contributi,
alcuni casuali e altri sistematici, in un unico “errore complessivo”: Gauss stesso aveva identificato una leggelegge
di propagazione degli erroridi propagazione degli errori applicabile agli errori casuali (vedremo questa legge, reinterpretata, nel seguito),
ma non è chiaro come trattare gli errori sistematici (per esempio quelli derivanti da perdita di taratura del
SiM)... anche perché se un errore sistematico fosse noto potrebbe essere corretto e quindi azzerato, e se non
fosse noto non si capisce come lo si potrebbe stimare…
2.4 “Valori veri”?
Ma la critica più radicale, almeno da un punto di vista concettuale, alla teoria degli errori di Gauss è venuta,
a partire dal 1970 circa, dall’analisi del concetto di “valore vero”. Si confronti:
nel momento della misurazione il sistema misurato si trova in uno stato definito,
con:
nel momento della misurazione il misurando ha un valore definito.
Non si tratta affatto di condizioni equivalenti:
la prima è una tipica ipotesi metrologica (critica solo nel caso della meccanica quantistica);
la seconda è davvero poco chiara e sostenibile, se non altro perché confonde mondo fisico (a cui il
sistema misurato e il misurando appartengono) e mondo dell’informazione (a cui i “valori”
appartengono).
Un altro problema: se davvero esistessero i “valori veri”, dato un certo misurando di un certo sistema da
misurare, di quante cifre decimali sarebbe costituito il suo valore vero?
Alternativamente alle ipotesi alla base della teoria di Gauss, è progressivamente emerso il punto di vista
secondo cui i “valori veri” non esistono proprio (e non solo sono inconoscibili, come anche tradizionalmente
si riconosce) o, al più, sono dati solo in casi particolari come il conteggio oppure quando si manifestano
come “valori di riferimento”.
6
3 Da “errore” a “incertezza”Nel 1993 è stata pubblicata da ISO e vari altri organismi di standardizzazione internazionali la Guide to the
expression of uncertainty in measurement (“GUM”) (una cui buona sintesi, a cura del NIST, è disponibile su
web: http://physics.nist.gov/Pubs/guidelines/TN1297/tn1297s.pdf). Il punto di vista della GUM
(terminologicamente caratterizzato dal cambiamento da “errore” a “incertezza”) ha un rilevante orientamento
pragmatico:
distingue primariamente non le cause le cause di errore, ma le modalità di trattamento le modalità di trattamento dell’incertezza;
caratterizza le modalità di trattamento dell’incertezza in termini non concettualiconcettuali, ma solo operativioperativi
(modalità statistiche e non), adottando al proposito una terminologia chiaramente convenzionale
(“categoria A” e “categoria B”, o anche “tipo A” e “tipo B”);
propone una strategia formale propone una strategia formale per risolvere il problema della combinazione di incertezze valutate
con modalità diverse, senza imporre uno specifico modello concettuale senza imporre uno specifico modello concettuale al proposito (adottando un
atteggiamento pluralistico, che ammette interpretazioni sia oggettivistiche sia soggettivistiche).
Benché proponga una terminologia alternativa a quella tradizionale (in particolare appunto “incertezza”
invece di “errore”), anche a questo proposito la GUM non è direttiva: “The definition of uncertainty of
measurement given [dalla GUM] is not inconsistent with other concepts of uncertainty of measurement,
such as
a measure of the possible error in the estimated value of the measurand as provided by the result of a
measurement;
an estimate characterizing the range of values within the true value of a measurand lies (VIM, 1 st
edition, 1984).
Although these two traditional concepts are valid as ideals, they focus on unknowable quantities: the “error”
of the result of a measurement and the “true value” of the measurand (in contrast to its estimated value),
respectively.
Nevertheless, whichever concept of uncertainty is adopted, an uncertainty component is always evaluated
using the same data and related information”.
L’accordo va trovato non tanto sui termini che si adottano (chi preferisce il termine “errore” a “incertezza”
continui pure a usarlo...) né sul significato che si vuole attribuire ai termini adottati (si cerca uno stimatore
per il valor vero del misurando o il valore che meglio esprime l’informazione disponibile sul misurando?),
ma sulle modalità con cui trattare i dati disponibili: un punto di vista decisamente ingegneristico, dunque...
3.1 Cause di incertezza
Dalla GUM:
“There are many possible sources of uncertainty in a measurement, including:
incomplete definition of the measurand;
imperfect realization of the definition of the measurand;
non representative sampling – the sample measured may not represent the defined measurand;
7
inadequate knowledge of the effects of environmental conditions on the measurement or imperfect
measurement of environmental conditions;
personal bias in reading analogue instruments;
finite instrument resolution or discrimination threshold;
inexact values of measurement standards and reference materials;
inexact values of constants and other parameters obtained from external sources and used in the
data-reduction algorithm;
approximations and assumptions incorporated in the measurement method and procedure;
variations in repeated observations of the measurand under apparently identical conditions.”
4 Metodi per la valutazione dell’incertezzaNel caso di ripetibilità delle misure, l’incertezza sul valore del misurando è valutabile con metodi statistici
(“metodi di valutazione di categoria Ametodi di valutazione di categoria A”), con basi concettuali dunque parzialmente diverse ma risultati non
così diversi da quelli della teoria degli errori di Gauss. La GUM raccomanda che l’incertezza a cui si giunge
con metodi di categoria A sia valutata e quindi espressa come la deviazione standard della media
dell’insieme sperimentale delle misure, dunque come uno stimatore della distribuzione di probabilità da cui
si ipotizza le misure siano estratte.
La GUM riconosce, per altro, che si presentano numerosi e importanti situazioni nelle quali un’incertezza è
presente sul valore del misurando anche a prescindere dall’eventuale ripetizione della misurazione: in questi
casi l’incertezza deve essere valutata con metodi non statistici (“metodi di valutazione di categoria Bmetodi di valutazione di categoria B”). La
GUM raccomanda che l’incertezza a cui si giunge con metodi di categoria B sia ancora valutata ancora come
se si trattasse di una deviazione standard, pur senza disporre di una base statistica al riguardo, dunque
secondo un’interpretazione soggettivistica della probabilità, intesa come “grado di credenza” (degree of
belief) dell’osservatore. Dunque, in entrambi i casi, la raccomandazione della GUM è di esprimereesprimere
l’incertezza come una deviazione standardl’incertezza come una deviazione standard.
Attenzione: la distinzione tra “categoria A” e “categoria B” attiene al metodo di valutare l’incertezza, e non
all’incertezza in se stessa (di cui la GUM, saggiamente, non tratta...).
4.1 Valutazioni di categoria A: sintesi di un campione di misure
Un misurando X è stato valutato n volte (dunque con un metodo di valutazione di categoria A) e come
risultato di tali valutazioni sono state ottenute le letture x 1 , ... , x n . Il fatto che le letture x i siano diverse tra
loro e che il valore x i non sia precisamente prevedibile a partire dai valori x 1 , ... , x i−1 suggerisce di
formalizzare il misurando come una variabile casuale, i cui parametri statistici non sono noti e devono essere
stimati a partire dai valori x 1 , ... , x n , che si considerano “estrazioni campionarie” di tale variabile casuale
(nota: come d’abitudine in statistica, per semplicità si adotta lo stesso simbolo, X , per indicare sia il
misurando sia la variabile casuale ad esso associata).
Il valor medio della variabile casuale, e dunque del misurando (naturalmente a meno dell’applicazione della
funzione di taratura), viene stimato mediante il suo valor medio campionario:
8
m X=1n∑i=1
n
x i
che porta un’informazione di posizione sulla variabile casuale, e viene quindi usato come valore davalore da
assegnare per il misurandoassegnare per il misurando.
L’informazione sul misurando viene espressa non solo mediante il suo valore ma anche indicando
l’incertezza di tale valore, che è evidentemente dovuta alla dispersione dei valori della variabile casuale
intorno al valor medio. Ci interessa dunque valutare l’incertezza non direttamente della variabile casuale ma
del suo valor medio, che infatti è a sua volta una variabile casuale (eseguendo più campionamenti di N
valori dalla stessa distribuzione, si otterrebbero valori medi campionari diversi); dunque data la varianza
campionaria (la cui radice quadrata fornirebbe un indice di incertezza non del valore del misurando ma della
popolazione delle letture):
s X2 =
1n−1∑i=1
n
x i−mX 2
la varianza del suo valor medio è:
smX
2 =s X
2
n=
1nn−1∑i=1
n
x i−mX 2
la cui radice quadrata:
uX=smX= 1
nn−1∑i=1
n
x i−mX 2=
s X
n
è una deviazione standard, dimensionalmente omogenea al misurando; il valore uX formalizza la cosiddetta
incertezza tipoincertezza tipo (inglese: standard uncertainty) del valore del misurando.
Si è dunque in presenza di un trade off: all’aumentare di n aumentano i costi, dovuti alla ripetizione, ma si
riduce l’incertezza.
4.2 Valutazioni di categoria B: un esempio
Consideriamo un quantizzatore, cioè un dispositivo che associa a ogni input x un canale di larghezza
range/numero di canali, interpretabile come una distribuzione di probabilità uniforme di estremi a , b , tale
cioè che ab/2 = range/numero di canali. Il quantizzatore introduce un’incertezza, che cresce con
l’aumentare del valore ab/2 . Si tratta di un’incertezza non valutabile statisticamente: ma quanto vale?
Cioè: quanto vale la deviazione standard di una distribuzione uniforme p x tra a e b ?
Calcoliamo prima di tutto il valor medio:
m X=∫−∞
∞
x px dx =1
b−a∫a
b
x dx =1
b−ax 2
2 ∣ab
=1
b−ab2−a2
2=
ab2
(ok: lo sapevamo già…). Calcoliamo ora (con qualche passaggio in meno…) la varianza:
sX2 =∫
−∞
∞
p x x−m X 2dx =
1b−a∫a
b
x 2−2xmXm X2 dx =
1b−a
b3−a3
3−m X b
2−a2m X2 b−a=
=b−a33b2a−3ba2
3b−a−b−a2
4=b−a2
3ba−
ba2
4=b−a2
12
e quindi la deviazione standard (e quindi l’incertezza tipo) è uX=b−a23
9
… da confrontare per esempio con la deviazione standard per distribuzioni triangolari: b−a26
.
4.3 Ancora sulle valutazioni di categoria B
L’esempio precedente presenta una situazione che può essere generalizzata: in molte situazioni tutto ciò che
si sa sul misurando è che il suo valore sta all’interno di un intervallo [a , b ] ; è allora consistente con il
principio di minima informazione / massima entropia formalizzare questa informazione assumendo che il
misurando sia una variabile casuale distribuita uniformemente tra a e b. Il calcolo precedente è quindi
riapplicabile: l’incertezza tipo del valore di un misurando che si ipotizza a distribuzione uniforme è
x /3≈0.57 x dove x è la semi-ampiezza dell’intervallo [a , b ] su cui è definita la distribuzione.
Un altro esempio: l’incertezza viene riportata mediante un intervallo di confidenza di semi-ampiezza x e
con un livello di confidenza per esempio del 95% o del 99%, assumendo inoltre che tale intervallo di
confidenza sia stato ottenuto a partire da una distribuzione gaussiana. Dalle tabelle che riportano i valori
dell’espressione (vedi anche successivamente):
P X∈[m−k , mk ]= ∫m−k
mk
px dx
per la distribuzione gaussiana, si evince che tale integrale vale 0,95 e 0,99 rispettivamente per k=1,960 e
k=2,576 , e quindi l’incertezza tipo è calcolabile come x /k .
4.4 Incertezze assolute e incertezze relative
Le incertezze uX sono incertezze assoluteassolute, e come tali forniscono un’informazione limitata sull’effettiva
qualità di una misura: per esempio, una stessa incertezza di 1 Ω sul valore della resistenza di un resistore da
10 Ω e di uno da 10 kΩ influisce in modo ben diverso sulla qualità delle due misure. Per questa ragione, si
usa spesso indicare non tanto le incertezze assolute quanto le incertezze relativeincertezze relative, definite come:
uXrel=uX
∣mX∣
dunque rapportando il valore dell’incertezza tipo con il valore (assoluto) del misurando. Poiché
generalmente (e auspicabilmente...) uXrel è un numero piccolo, lo si indica specificandone solo la prima
cifra significativa e la potenza negativa di dieci per cui è moltiplicato.
Per esempio, se (tralasciando l’indicazione dell’unità di misura) m X=40,26 e uX=0,03 allora l’incertezza
relativa è uXrel=0,03/40,26≈0,0007 cioè uXrel=7×10−4
.
Un altro metodo per riportare le incertezze relative è di moltiplicarle per 103 , e quindi di comunicarle in
“per mille” (nell’esempio: 0,7 ‰), oppure anche di moltiplicarle per 106 , e quindi di comunicarle in “parti
per milione” (nell’esempio: 700 ppm).
4.5 Dall’incertezza tipo all’incertezza estesa
E’ spesso utile esprimere le misure come intervalli di indifferenza, tali cioè che ogni elemento dell’intervallo
possa essere scelto “con un’alta probabilità” come valore per il misurando. La GUM raccomanda di passare
dalla rappresentazione mediante incertezze tipo a quella per intervalli moltiplicando l’incertezza tipo uX per
10
un fattore di coperturafattore di copertura (coverage factor) k, per passare così all’incertezza estesaincertezza estesa (expanded uncertainty)
U X=k u X , tale dunque che [m X−U X , mXU X ] sia l’intervallo di indifferenza cercato.
Assumendo che sia nota la distribuzione di probabilità di cui mX è il valor medio e uX è l’incertezza tipo, la
relazione tra l’intervallo così ottenuto, chiamato “intervallo di confidenza”, e la probabilità dell’intervallo
stesso, chiamata in tal caso “livello di confidenza”. C’è evidentemente una relazione di monotonicità diretta
tra fattore di copertura e livello di confidenza, e quindi tra ampiezza dell’intervallo di confidenza e livello di
confidenza, relazione che può essere espressa analiticamente se si conosce la distribuzione di probabilità
sottostante. Nel caso di distribuzione gaussiana, in particolare:
fattore di copertura livello di confidenza
1 0,68
1,645 0,9
1,960 0,95
2 0,9545
2,576 0,99
3 0,9973
5 L’espressione del risultato di una misurazioneIn generale, per esprimere il risultato di una misurazione occorre indicare:
il misurandomisurando, specificando come esso è definito, includendo le eventuali grandezze di influenza
(p.es., resistenza misurata a 20 °C tra due punti definiti dell’oggetto);
l’oggetto misuratooggetto misurato, specificando quanto occorre per identificarne lo stato (p.es., l’istante di
applicazione del sistema di misura per misurazioni di grandezze dinamiche);
la misuramisura, specificando il valore stimato per il misurando, l’incertezza di tale valore e l’unità di
misura, e dichiarando i metodi adottati per calcolare l’incertezza.
Nota: l’incertezza tipo dovrebbe essere trattata essa stessa come un valore approssimato (in altri termini:
anch’essa è incerta...), e quindi dovrebbe includere una cifra (e solo in casi particolari due); l’indicazione
numerica dell’incertezza consente dunque di identificare le cifre significative della stima del misurando.
Nota: una convenzione spesso applicata nella pratica prevede che l’indicazione dell’incertezza venga
tralasciata, lasciandola implicita nell’unità di misura impiegata per fornire il risultato e nel numero di cifre
che costituiscono il risultato stesso (nel “numero di cifre significative”).
E’ richiesto dunque che ogni misura esprima non solo il valore assegnato per il misurando, ma anche
l’incertezza tipo di tale valore. Si ammettono due modi complementari per esprimere tale informazione:
indicando la coppia (valore del misurando, incertezza tipo);
indicando un intervallo di indifferenza / confidenza.
Per esempio, assumendo che m X=100,021 47 g e uX=0,35 mg:
100,021 470,00035 g; nell’ipotesi che la distribuzione sottostante sia gaussiana e abbia una
deviazione standard approssimativamente pari a uX , si assume che il valore del misurando sia
interno all’intervallo m X±uX con una probabilità di circa 0,68;
11
100,021 47±0,00070 g, dove il numero dopo il simbolo ± rappresenta l’incertezza estesa
U X=k u X ottenuta moltiplicando l’incertezza tipo per il fattore di copertura k=2 ; assumendo che la
distribuzione sottostante sia gaussiana, a questo intervallo di confidenza corrisponde un livello di
confidenza pari a circa 0,95 (cioè si assume pari a 0,95 la probabilità che il valore del misurando sia
effettivamente interno all’intervallo).
5.1 Il calcolo di misure da misurazioni indirette
Ricordiamo:
metodo di misurazione direttometodo di misurazione diretto: il valore del misurando è ottenuto mediante l’applicazione di un
sistema di misura;
metodo di misurazione indirettometodo di misurazione indiretto: il valore del misurando Y è ottenuto a partire dalla misurazione di
altre K grandezze Xi legate funzionalmente al misurando e mediante il successivo calcolo di tale
funzione f.
Nota: la funzione f viene chiamata “modello di misura”, o “funzione di misura”, per il misurando Y.
Nota: f potrebbe essere espressione di una legge fisica Y=f X 1 , ... , X K ; d’altra parte, una o più delle
“grandezze di ingresso” Xi potrebbe essere una grandezza di influenza, di cui si vuole tenere conto nella
stima di un valore per il misurando Y (in questo caso detto anche “grandezza di uscita”), cosa che mostra la
generalità del problema; in questo senso, ogni misurazione può essere intesa come indiretta, o, meglio, le
misurazioni dirette possono essere considerate come casi semplificati di misurazioni indirette.
Data una relazione funzionale Y=f X 1 , ... , X K se le X i sono variabili casuali, ognuna con valor medio m i
e incertezza tipo ui , evidentemente anche la Y sarà una variabile casuale, dipendente secondo f dalle X i .
Dalle K coppie ( m i , ui ) e conoscendo l’espressione analitica di f si pone il problema di come calcolare la
coppia ( mY , uY ) per la variabile casuale Y, cioè propriamente la misura per il misurando Y.
Per quanto riguarda mY , la scelta abituale è mY=f m1 , ... , mK , non problematica solo nel caso in cui f sia
lineare (perché solo in questo caso, indicando con E X il valore atteso della variabile casuale X, vale che
E f X 1 , ... , X K =f E X 1 , ... ,E X K ) (un semplice caso di funzione non lineare mono-argomentale, K=1 ,
è Y=f X =X 2 , per esempio, per valutare l’area di una superficie quadrata a partire dalla misura del suo
lato; supponiamo che X sia stato valutato tre volte, ottenendo x 1=1.00 , x 2=1.10 , x 3=1.30 (i numeri sono
evidentemente artificiali e stiamo tralasciando l’indicazione dell’unità di misura); allora il valore corretto per
mY potrebbe anche essere mY=E f X =E X 2 cioè x12x 2
2x 32 /3=1.30 , mentre approssimando come
suggerisce la GUM mY=f E X =E X 2 si ottiene x 1x 2x 3/32=1.28 ).
Il calcolo di uY è invece più complesso. Per comprendere come lo si può calcolare, cominciamo a
considerare il caso semplice delle funzioni a un solo argomento, K=1 , in cui dunque Y=f X (e quindi
tale che mY=f m X ). La presenza di un’incertezza su X fa sì che le letture x siano in generale non
coincidenti con il loro valor medio m X e quindi che a ogni lettura sia associato uno scarto x−m X .
Assumendo che gli scarti x−m X siano sufficientemente piccoli e che il comportamento di f intorno al punto
m X sia sufficientemente lineare, si può sviluppare f in serie di Taylor intorno a m X arrestandosi al termine
del primo ordine:
12
y=f x =f mX dfdxx−mX
avendo indicato con df /dx la derivata df /dX della funzione f calcolata nel punto m X . D’altra parte,
poiché f mX =mY :
y−mY=dfdxx−mX
relazione che stabilisce la dipendenza dei (piccoli) scarti di y intorno a mY dai (piccoli) scarti dei valori x
intorno a m X (ricordiamo che lo sviluppo in serie di Taylor consente di calcolare il valore f x x a
partire dal valore di f x e delle derivate di f calcolate in x :
f x x =f x dfdx x
d2 f
dx2
x 2
2!
d 3 f
dx3
x3
3!... ,
dove appunto d i f
dx i è la derivata i -esima della funzione f calcolata in x ).
Tali scarti possono essere immediatamente trasformati in incertezze tipo, ottenendo:
uY=∣dfdx∣u X
(espressione che giustifica l’idea che questo non sia altro che un problema di cambio di variabili...).
L’incertezza tipo uY del misurando Y dipende dall’incertezza tipo uX della grandezza di ingresso X
attraverso il termine ∣df /dx∣ , che rappresenta dunque un “coefficiente di sensibilità” della variazione di X
mediante f nell’intorno del punto m X .
Per esempio, se Y=f X =X 2 allora ∣dfdx∣=2∣mX∣ e quindi uY=2∣m X∣uX (si può notare che naturalmente
queste equazioni sono dimensionalmente corrette, nel senso che [uY ]=[Y ] ; infatti assumendo che [X ]=[u X ]
e considerando che [dX ]=d [X ] , d [f ]d [x ]
[uX ]=[f ]=[Y ] ).
5.1.1 Alcuni esempi
(nota: i valori numerici riportati in questi esempi non sono realistici e le grandezze sono indicate omettendo
l’unità di misura)
Y=Xk
Poiché df /dX=1 , allora uY=uX
→ L’incertezza non si modifica per traslazione.
Y=k X
Poiché df /dX=k , allora uY=k u X
→ Se l’incertezza assoluta di Y è k volte superiore a quella di X , le incertezze relative,
uXrel=uX /∣m X∣ e uYrel=uY /∣mY∣=k u X /∣k m X∣ , sono uguali.
Y=X 2
Poiché df /dX=2X , allora uY=2 mX uX
→ Dunque in questo caso l’incertezza dipende dal valore della grandezza di ingresso. Per esempio,
se m X=10 e uX=2 , allora mY=mX2 =100 e uY=2 mX uX=2×10×2=40 . In termini di incertezze
13
relative: uXrel=2 /10=0,2 mentre uYrel=40/100=0,4 : la relazione quadratica tra X e Y peggiora
anche l’incertezza relativa.
Y=sinX
Poiché df /dX=cosX , uY=cosm X uX
→ Dunque anche in questo caso l’incertezza dipende dal valore della grandezza di ingresso. Per
esempio, se m X=0 e uX=0,1 , allora mY=sinmX =0 e uY=cosm X uX=1×0,1=0,1 . Nell’intorno
di m X=0 , la funzione Y=sinX è approssimata come Y≈X : l’incertezza tipo di Y è uguale
all’incertezza tipo di X .
5.2 La legge di combinazione / propagazione delle incertezze
Possiamo ora generalizzare il discorso precedente al caso in cui la funzione f ha K1 argomenti, ancora
sviluppando f in serie di Taylor intorno a ( m1 , ...,mK ) e arrestandosi ai termini del primo ordine.
Nell’ipotesi che le covarianze tra le grandezze di ingresso X i siano trascurabili, dopo alcuni passaggi
analoghi a quelli compiuti nel caso mono-argomentale si ottiene:
y−mY 2=∑
i=1
K
∂f∂ x i
2
x i−mi 2
e quindi:
uY=∑i=1
K
∂f∂ x i
2
u i2
espressione che consente di calcolare l’incertezza tipo di Y (definita in questo caso incertezza tipoincertezza tipo
combinatacombinata) in funzione delle incertezze tipo degli X i (nota: anche in questo caso, i coefficienti di sensibilità
∂ f /∂ x i si intendono calcolati nel valor medio ( m1 , ... ,mK )).
Più in generale, considerando le covarianze ui , j (e indicando con ui ,i=ui2 la varianza di X i ):
uY=∑i=1
K
∑j=1
K∂f∂ x i
∂ f∂ x j
u i , j
forma generale della cosiddetta legge di propagazione delle incertezzelegge di propagazione delle incertezze.
5.2.1 Alcuni casi semplici di propagazione delle incertezze
… cioè di applicazione a casi particolari della legge: uY=∑i=1
K
∂ f∂ x i
2
u i2 (dunque nell’ipotesi di covarianze
nulle):
se Y=X 1X 2 allora uY2=u1
2u22 ;
se Y=X 1 X 2 allora uY2=m2
2u12m1
2u 22 o anche, più espressivamente uYrel
2=u1rel
2u2rel
2 ;
se Y=X k allora uY2=k mX
k−12 uX
2 o anche, più espressivamente uYrel=∣k∣uXrel .
Nell’esempio semplice Y=X 1X 2 , applichiamo anche la formula per covarianze non nulle (ricordando
naturalmente che u i , j=u j ,i ):
uY2=∑
i=1
K
∑j=1
K∂ f∂ x i
∂f∂ x j
u i , j=∂ f∂ x1
[∂ f∂ x1
u 12∂ f∂ x2
u1,2]∂ f∂ x 2
[∂f∂ x1
u1,2∂ f∂ x 2
u 22]
14
e poiché in questo caso ∂ f∂ x1
=∂f∂ x2
=1 si ha finalmente che uY2=u1
2u2
22u1,2 .
5.2.2 Un esempio
La funzione f che consente di calcolare il misurando Y è mono-argomentale, Y=f X , e si considera la
misurazione ripetibile, così che per X si ottiene un campione x 1 , ... , x n . Sono dunque applicabili i metodi di
categoria A, e da questi si ottengono il valore della grandezza di ingresso mX e la sua incertezza tipo uX . A
questo punto si ritiene però che sia necessario applicare una correzione al valore della grandezza di ingresso
(potrebbe essere tipicamente per tener conto dei risultati della taratura compiuta sul sistema di misura), per
esempio di tipo additivo, X corr=XC . Allora evidentemente la funzione f deve essere applicata a X corr , e
quindi a tutti gli effetti f diventa bi-argomentale, f X ,C . In generale, inoltre, la correzione sarà definita
da un valore c a incertezza tipo uC non nulla, che nel caso origini da informazione di taratura sarà valutata
con metodi di categoria B. Il problema del calcolo di uY è perciò formalmente ricondotto alla propagazione
delle incertezze nel caso Y=f X 1, X 2 , e come tale facilmente risolubile.
Si mostra con ciò che la legge di propagazione consente di combinare incertezze indipendentemente dalla
categoria, A o B, dei metodi con cui sono ottenute, e consente di tener conto di eventuali correzioni da
apportare (tradizionalmente si sarebbe detto: “di eventuali errori sistematici da correggere”) alle grandezze di
ingresso.
5.2.3 Un esempio
Si vuole valutare la potenza P dissipata ai capi di un resistore a cui è applicata una tensione, ma non si
dispone di un sistema per misurare direttamente P . Si ricorda, d’altra parte, che P=V 2 /R , dove V è la
tensione applicata al resistore e R è la sua resistenza. Disponendo di un sistema di misura che consente di
valutare V e R , si potrà allora calcolare, cioè “misurare indirettamente”, P .
Supponiamo che per V e R siano disponibili più letture. Da tali letture si calcolano i valori medi mV e mR
e le incertezze tipo uV e uR , così che le misure per V e R sono mV uV e mR uR rispettivamente. Il
problema è dunque di calcolare una misura mP uP per la potenza dissipata.
Per quanto riguarda mP , semplicemente mP=mV2 /mR .
Per calcolare uP si utilizza la legge di propagazione delle incertezze, nell’ipotesi di covarianze nulle:
uP2=
∂ f∂V2
uV2
∂ f∂R2
uR2 =2
m V
mR
2
uV2
−mV2
mR22
uR2
Il passo successivo potrebbe essere di riconoscere che il “modello della misurazione” prevede la dipendenza
di R dalla temperatura t , R t=R0[1t−t 0] , dove R0 è la resistenza del resistore alla temperatura t0 .
5.2.4 Un esempio
Siano date K misure X i di una stessa grandezza X , ognuna espressa mediante un valore m i della
grandezza e la sua incertezza tipo ui (potrebbero essere, per esempio, K campioni di un lotto di prodotti, la
cui qualità dipende dal valore della grandezza). Qual è l’incertezza tipo dell’insieme delle K misure?
15
Nel caso in cui le K misure abbiano incertezze tipo tutte uguali, l’informazione sull’insieme può essere
sintetizzata mediante la media delle misure, e quindi il problema si riconduce a una misurazione indiretta,
relativa al misurando:
Y= 1K∑i=1
K
X i
di cui occorre allora calcolare l’incertezza tipo mediante propagazione delle incertezze:
uY2=∑
i=1
K
∂ f∂ x i
2
ui2=∑
i=1
K
1K2
u i2
Ma poiché i valori ui sono appunto ipotizzati come tutti uguali:
uY2=
1K
2
∑i=1
K
ui2=
1K
2
K ui2=
ui2
K
e quindi:
uY=u i
K
Si riconferma così il risultato noto che la deviazione standard della media sperimentale di K valori si riduce
di un fattore 1/K rispetto alla deviazione standard della distribuzione da cui i valori si suppongono
estratti.
Se le K misure non hanno incertezze tipo tutte uguali, sembra ragionevole sintetizzare l’informazione
sull’insieme mediante una media pesata delle misure, con pesi P i .
L’incertezza da propagare riguarda dunque in questo caso il misurando:
Y=∑i=1
K P i x i
∑j=1
K
P j
=1K∑i=1
K
P i x i
avendo indicato con K il fattore di normalizzazione ∑i=1
K
P i .
Allora:
uY2=
1K2
∑i=1
K
P i2 ui
2
Evidentemente l’incertezza combinata dipende dalla scelta dei pesi P i . In termini generali, è ragionevole
che i pesi dipendano inversamente dalle incertezze tipo; ma con quale forma?
Per esempio: P i=1 /u i oppure P i=1 /u i2 ?
La scelta è, in generale, convenzionale...
5.3 Sulla convenzionalità nella valutazione dell’incertezza
Dalla GUM:
“Uncertainty (of measurement): parameter, associated with the result of a measurement, that characterizes
the dispersion of the values that could reasonably be attributed to the measurand.”
A proposito di questo concetto di “ragionevolezza”, la GUM ha un interessante commento:
“Although this Guide provides a framework for assessing uncertainty, it cannot substitute for critical
thinking, intellectual honesty, and professional skill. The evaluation of uncertainty is neither a routine task
16
nor a purely mathematical one; it depends on detailed knowledge of the nature of the measurand and of the
measurement.
The quality and utility of the uncertainty quoted for the result of a measurement therefore ultimately depend
on the understanding, critical analysis, and integrity of those who contribute to the assignment of its value.”
5.4 Sintesi: un esempio di procedura GUM-compliant
1. Esprimere in forma analitica la funzione tra il misurando (cioè la grandezza di uscita della funzione) e
tutte le grandezze di ingresso dalle quali il misurando dipende.
2. Valutare l’incertezza di ciascun valore delle grandezze di ingresso, adottando alternativamente modalità
di categoria A o di categoria B.
3. Valutare le covarianze associate alle stime delle grandezze di ingresso eventualmente correlate.
4. Calcolare analiticamente la derivata parziale della funzione rispetto a ogni grandezza di ingresso.
5. Per ogni grandezza di input, calcolare la sua derivata parziale nel valor medio della grandezza e quindi
elevare al quadrato il valore ottenuto.
6. Moltiplicare ognuno dei valori così ottenuti per la corrispondente incertezza tipo elevata al quadrato.
7. Per ogni coppia di grandezze di ingresso a covarianza non nulla, moltiplicare tra loro le rispettive
derivate parziali (calcolate al passo 4), moltiplicare quindi il risultato per 2 e per la covarianza.
8. Sommare i valori ottenuti ai passi 6 e 7 e calcolare la radice quadrata di tale somma: il risultato è
l’incertezza tipo del misurando.
Su web si trovano vari strumenti software a supporto di questa procedura; un semplice e interessante (oltre
che free...) programma al proposito è Conversion Buddy (scaricabile per esempio da
http://metrologyforum.tm.agilent.com/download4.shtml).
5.5 Sintesi: sull’espressione dei risultati di misurazioni
Un commento del NIST:
“When reporting a measurement result and its uncertainty, include the following information in the report
itself or by referring to a published document:
A list of all components of standard uncertainty, together with their degrees of freedom where
appropriate, and the resulting value of combined uncertainty. The components should be identified
according to the method used to estimate their numerical values:
A. those which are evaluated by statistical methods,
B. those which are evaluated by other means.
A detailed description of how each component of standard uncertainty was evaluated.
A description of how the coverage factor was chosen when it is not taken equal to 2.
It is often desirable to provide a probability interpretation, such as a level of confidence, for the interval
defined by the expanded uncertainty. When this is done, the basis for such a statement must be given.”
5.6 Sintesi: sul campo di applicabilità della GUM
Un commento del NIST:
17
“The guidance given in this Technical Note [e quindi della GUM] is intended to be applicable to most, if not
all, NIST measurement results, including results associated with:
international comparisons of measurement standards,
basic research,
applied research and engineering,
calibrating client measurement standards,
certifying standard reference materials, and
generating standard reference data.”
6 Strategie alternativeLa procedura indicata dalla GUM può non essere sempre (facilmente) applicabile:
perché non si considera nota con esattezza l’espressione analitica della funzione f (per esempio nel
caso in cui vorrebbe tener conto degli effetti di grandezze di influenza ma non si conosce appunto
analiticamente come da queste dipende il misurando);
perché si ritiene troppo complessa, o non appropriata (per esempio perché f è sensibilmente non
lineare intorno al valor medio delle grandezze di ingresso, e quindi un’approssimazione solo al
primo ordine nello sviluppo in serie di Taylor è critica), o non fattibile (per esempio perché f non è
differenziabile intorno al valor medio delle grandezze di ingresso), l’applicazione analitica della
legge di propagazione delle incertezze alla funzione f data;
perché si ritengono troppo elevati i costi da sostenere per valutare la legge di propagazione delle
incertezze.
Si possono allora adottare strategie parzialmente alternative per valutare l’incertezza:
(vedi GUM 5.1.4) nel caso in cui sono identificate grandezze di ingresso ma non è nota la relazione
funzionale che le lega al misurando, i coefficienti di sensibilità ∂ f /∂ x i possono essere misurati in
modo approssimato, invece che calcolati analiticamente: si tratta di far variare in modo controllato
una grandezza di ingresso X i per volta, tenendo costanti le altre K−1 , e di misurare la
corrispondente variazione del misurando Y ;
(vedi GUM Supplemento 1: Numerical methods for the propagation of distributions) nel caso in cui
si ritiene necessario adottare una strategia di tipo di non analitico ma numerico (per esempio perché
si considera non appropriata un’approssimazione al primo ordine nello sviluppo in serie di Taylor
ma si giudica troppo complesso un trattamento analitico dell’approssimazione a ordini superiori), si
può operare mediante tecniche di campionamento basate sul metodo Monte Carlo (vedi nel seguito);
(vedi ISO 14253-2: Geometrical Product Specifications - Inspection by measurement of workpieces
and measuring equipment. Part 2: Guide to the estimation of uncertainty in GPS measurement, in
calibration of measuring equipment and in product verification, 1998) nel caso in cui si ritengono
troppo elevati i costi da sostenere per valutare l’incertezza secondo la procedura della GUM, se ne
può adottare una versione approssimata (vedi nel seguito).
18
6.1 Monte Carlo
Supponendo che siano noti la legge Y=f X 1 , ... , X K e le distribuzioni delle grandezze di ingresso X i (e
quindi non solo le incertezze tipo ui ), per calcolare l’incertezza tipo uY si può adottare una tecnica di
campionamento numerico di tipo Monte Carlo.
Un campione di input x è una K -upla di valori x=x 1 , ... , xK , ogni x i essendo “estratto” campionariamente
dalla distribuzione associata a X i (se gli X i non sono indipendenti l’intera K -upla deve essere ottenuta
per campionamento dalla distribuzione congiunta). Si generi in questo modo una successione di campioni di
input x j , j=1,... ,S , dove S è dunque la dimensione del campione aggregato; per ognuno di questi x j
può essere calcolato il campione di output y j=f x j corrispondente.
La successione y j fornisce allora un’informazione campionaria sulla distribuzione associata al misurandoinformazione campionaria sulla distribuzione associata al misurando
Y ; con le tecniche usuali, da tale successione possono essere calcolati il valor medio campionario e la
deviazione standard campionaria, impiegati come stimatori rispettivamente per il valore di Y e la sua
incertezza tipo, ma anche direttamente intervalli di confidenza per ogni dato livello di confidenza richiesto.
Questa tecnica dunque “propaga le distribuzioni”, e non solo le incertezze (cioè le loro deviazioni standard),
e ha anche il merito di non richiedere la conoscenza dei coefficienti di sensibilità di f (un riferimento
semplice e sintetico su questa tecnica si trova su
http://www.npl.co.uk/scientific_software/tutorials/uncertainties/up_a_gum_tree.pdf).
6.1.1 Un esempio
Supponiamo (valori numerici non realistici e senza indicazione di unità di misura):
Y=f X 1, X 2=X 1X 2
con entrambe le grandezze di ingresso distribuite uniformemente, negli intervalli 10±2 e 20±3
rispettivamente e statisticamente indipendenti.
Utilizzando per esempio uno spreadsheet, generiamo S campioni di input, cioè S coppie di valori
8RAND ∗4 e 17RAND ∗6 (confidando dunque nell’uniformità del generatore di numeri casuali
RAND ) e sommiamo i valori di ognuna delle S coppie
La successione dei valori y campionari ottenuti può essere allora visualizzata in istogramma:
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37
e da essa possono essere calcolati mY e uY .
Naturalmente la qualità dell’operazione dipenderà sia dalla qualità del generatore di numeri casuali adottato,
sia dalla dimensione S del campione (nel caso raffigurato, S=10000 ) (in questo caso non è difficile
confrontare i risultati ottenuti con Monte Carlo con quelli analitici: le incertezze tipo sono u1=2/3 e
u2=3 /3 , e quindi uY=u 12u 2
2≈2,08 ).
19
6.2 PUMA
“Procedure for Uncertainty Management”: un metodo approssimato per la stima dell’incertezza
La valutazione dell’incertezza è un problema di valutazione della qualità di un particolare prodotto, e come
tale impegna colui che valuta, in termini sia di rischio, sia di rapporto qualità / costo; ha senso investireha senso investire
risorse in tale valutazione fintanto che essa porta informazione utile sulla qualità della misurarisorse in tale valutazione fintanto che essa porta informazione utile sulla qualità della misura.
PUMA suggerisce di formalizzare questo criterio in termini di una “incertezza target” IT che si ritiene di
dover raggiungere, impiegata come riferimento per la seguente procedura iterativa:
1. definire il misurando e decidere l’incertezza target;
2. identificare i contributi al budget complessivo dell’incertezza;
3. valutare in prima approssimazione, ma con certezza di sovrastima, i contributi di incertezza e combinarli
con somma quadratica; sommare gli eventuali contributi relativi a variabili correlate assumendo un
coefficiente di correlazione pari a 1 o −1 ; operare la valutazione assicurandosi che il valore IS
ottenuto sia una sovrastima;
4. confrontare IS con IT :
se ISI T , il problema è risolto;
altrimenti:
se sono ancora disponibili risorse, ripartire dal passo 3 approssimando più finemente a partire
dalle componenti di incertezza più rilevanti (secondo il ragionevole principio (di Pareto):
“comincia a risolvere i problemi più gravi”);
altrimenti il problema non ammette soluzione con le risorse attualmente disponibili.
7 Compatibilità di misure... definita pragmaticamente come proprietà di due misure di condurre alla stessa decisione.
Come stabilire se le due o più misure si riferiscono a oggetti in uno stesso stato (nell’esempio: se il lotto è
omogeneo relativamente al misurando)?
La norma UNI 4546 raccomanda di formalizzare la condizione che due misure:
x1=[m1−k1u 1 ,m1k1u 1] e x2=[m 2−k2 u2 ,m2k2u 2]
si riferiscano a cose in uno stesso stato, e quindi siano compatibilicompatibili, come:
x1∩x 2≠∅
Dunque K misure x i si riferiscono a oggetti in uno stesso stato se hanno tutte un’intersezione comune.
Nota: si tratta, evidentemente, di una condizione necessaria ma non sufficiente; allargando gli intervalli, per
esempio attraverso la scelta di un fattore di copertura molto ampio, si può sempre ottenere un’intersezione
non nulla…
Il documento 517 del SIT, “Termini e definizioni”, riformula questa condizione in riferimento alla
formalizzazione della GUM: due misure dello stesso misurando Y , indicate y 1 e y 2 , con incertezze estese
pari rispettivamente a U 1 e U 2 , sono compatibili se:
∣y 1−y2∣
U y1−y21
20
che nel caso di correlazione trascurabile diventa:
∣y1−y 2∣
[U y1]2[U y 2]
21
7.1 Tolleranza e incertezza: “regole decisionali”
Una tipica situazione operativa in cui occorre trattare con incertezze (estese) si presenta nei casi in cui
occorre confrontare la misura di un prodotto con le corrispondenti specifiche di progetto, per decidere se
accettare o scartare il prodotto stesso. Si tratta di una decisione circa la conformità o non conformità di unadecisione circa la conformità o non conformità di una
misura con una specificamisura con una specifica. Le specifiche tecniche di progetto sono tipicamente fornite nella forma di
intervalli valore nominale ± semi-ampiezza dell’intervallo di tolleranza, e ugualmente si possono
rappresentare le misure come intervalli; si tratta dunque di confrontare tra loro due intervalli, misura e
specifiche, e la decisione, se accettare o scartare il prodotto, viene presa in funzione del risultato del
confronto.
Un po’ di terminologia (dalla norma ISO 14253-1: Geometrical Product Specification - Inspection by
measurement of workpieces and measuring instruments. Part 1: Decision rules for proving conformance or
non-conformance with specification, 1998):
tolleranza: differenza tra i limiti di tolleranza superiore e inferiore;
limiti di tolleranza: valori specificati della caratteristica, che definiscono i confini superiore e/o
inferiore del valore ammesso;
specifica: tolleranza sul requisito di una caratteristica di un pezzo lavorato;
conformità: soddisfacimento dei requisiti specificati;
zona di conformità: zona di specifica diminuita dell’incertezza estesa di misura;
zona di non conformità: zona al di fuori della zona di specifica aumentata dell’incertezza estesa di
misura;
intervallo di ambiguità: intervallo in prossimità del limite (o dei limiti) di specifica nel quale non è
possibile provare la conformità o la non conformità, a causa dell’incertezza di misura.
ISO 14253-1: “La conformità rispetto a un determinato valore di specifica è provata quando l’intervallo che
esprime in modo completo il risultato della misurazione, y , è tutto contenuto all’interno della zona di
tolleranza indicata per una caratteristica di un pezzo lavorato. La stessa conformità può essere provata in
modo analogo quando il risultato della misurazione, y , cade all’interno della zona di specifica ridotta da
entrambi i lati del valore dell’incertezza estesa, U y ; vale a dire, quando il risultato della misurazione, y ,
cade all’interno della zona di conformità.”
tolleranza
2U2U zona di conformitàzona di
ambiguitàzona di
ambiguità
zona dinon conformità
zona dinon conformità
Due casi non presentano ambiguità:
1. valore del misurando ∈ zona di conformità decidi di accettare il prodotto
21
2. valore del misurando ∈ zona di non conformità decidi di scartare/rilavorare il prodotto
Il terzo caso, invece:
3. valore del misurando ∈ zona di ambiguità
è problematico…
Ancora dalla norma ISO 14253-1, Introduzione: “Quando si vuole provare la conformità o non conformità
rispetto a una specifica si deve prendere in considerazione il valore stimato dell’incertezza di misura. Il
problema si pone quando il risultato della misurazione cade in prossimità del limite superiore o inferiore
della specifica. In questo caso non è possibile provare la conformità o non conformità rispetto alla specifica,
in quanto il risultato della misurazione più o meno l’incertezza estesa associata al risultato include uno dei
limiti di specifica. Pertanto si dovrebbe prevedere un accordo preventivo tra il venditore e il cliente, allo
scopo di risolvere i problemi che potrebbero verificarsi.”
E ancora (al punto 5.1): “Quelle che seguono sono le regole di tipo convenzionale atte a provare la
conformità o non conformità rispetto a specifiche, vale a dire quelle regole che risultano valide quando non
siano preventivamente intercorsi tra venditore e cliente accordi alternativi in merito. Infatti il venditore e il
cliente possono concordare regole diverse, le quali dovranno essere considerate accordi particolari facenti
parte della documentazione del prodotto”.
Vale ancora la regola pragmatica: non appena l’informazione disponibile mette in grado di decidere in modo
non ambiguo circa la conformità o non conformità dell’oggetto misurato è inutile (nel senso di: inutilmente
costoso) proseguire a operare per stimare sempre meglio l’incertezza del valore del misurando.
7.2 Tolleranza e incertezza: una procedura operativa
Analogamente alla logica della PUMA:
effettuare un primo controllo dei prodotti con incertezza elevata (mantenendo così bassi i costi di
valutazione);
mettere da parte i prodotti la cui caratteristica è misurata in zona di ambiguità;
solo su di essi effettuare un secondo controllo con incertezza inferiore.
tolleranza
zona di conformità
Ince
rtez
za
livello dellaprima valutazione
Cos
to d
ella
mis
uraz
ione
livello dellaseconda valutazione
7.3 Tolleranza e incertezza: in sintesi
Supponiamo che:
lo stato in cui si trova il prodotto, non noto ma comunque non influenzato dalla decisione, sia
riconducibile all’alternativa “conforme alle specifiche” oppure “non conforme”
la decisione possa essere solo “accetta” oppure “scarta”
22
Mettendosi dalla parte del fornitorefornitore (per cui “scarta” in effetti potrebbe significare anche “invia alla
rilavorazione”), si presentano 4 situazioni possibili:
Stato effettivo del prodotto
non conforme conforme
Dec
isio
ne
scar
ta ok:non si consegna al clienteun prodotto non conforme
errore di seconda specie (errato scarto):si sostengono inutilmente dei costi, scartando un prodotto
che avrebbe potuto essere consegnato al cliente
acce
tta errore di prima specie (errata accettazione):
si rischia di ricevere contestazioni dal cliente, consegnandogli un prodotto non conforme
ok:si consegna al clienteun prodotto conforme
Mettendosi dalla parte del clientecliente (per cui “scarta” in effetti potrebbe significare anche “accetta sotto
condizioni”), le 4 situazioni diventano:
Stato effettivo del prodotto
non conforme conforme
Dec
isio
ne
scar
ta ok:non si accetta la consegna di un prodotto
non conforme
errore di seconda specie (errato scarto):se si scarta in accettazione, si rischia di ricevere contestazioni dal
fornitore, scartando un prodotto che avrebbe dovuto essere accettato
acce
tta errore di prima specie (errata accettazione):
si accetta la consegna di un prodotto non conforme, con le conseguenze che ne seguono
ok:si accetta la consegnaun prodotto conforme
E’ meglio incorrere in errori di tipo 1 (errata accettazione) o di tipo 2 (errato scarto)? Dipende dal ruolo
(fornitore o cliente) e soprattutto dal tipo di prodotto…
Dunque:
incertezza delle misure come elemento determinante nelle decisioni di conformità;
esistenza di una zona di ambiguità la cui ampiezza dipende dall’incertezza con la quale si esegue la
misura di verifica della tolleranza;
convenzionalità circa la decisione da prendere quando i risultati della verifica cadono nella zona di
ambiguità.
E’ infine importante ricordare che la natura probabilistico-statistica del problema fa sì che anche quando le
misure segnalano la conformità, può esistere un rischio non nullorischio non nullo che, ripetendo la misurazione (per esempio
con un SiM di migliore qualità) si possa giungere a dover considerare che l’oggetto inizialmente considerato
conforme avrebbe invece dovuto essere scartato.
Si pone dunque il problema di dare una valutazione per questo rischio (per esempio per fare in modo che un
suo valore accettabile venga concordato tra fornitore e cliente).
7.4 Sulla valutazione del rischio di non conformità
Le specifiche di conformità per il misurando X siano formalizzate indicando un valore di riferimento, xRIF ,
e la semi-ampiezza xRIF dell’intervallo di tolleranza. Supponendo che la misura per X sia espressa dalla
coppia mX , uX (ovviamente uX x RIF ), si vuole valutare il rischio di non conformità.
Una risposta a questo problema ci viene dall’importante disuguaglianza di Markovdisuguaglianza di Markov: se X è una variabile
casuale non negativa e a è una costante 0 , allora:
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P XaE X
a
La dimostrazione di questa disuguaglianza è semplice, ed è utile seguirla (la presentiamo qui nel caso in cui
X sia continua, con funzione di densità di probabilità p ):
E X =∫0
∞
x p x dx=∫0
a
x p x dx∫a
∞
x p x dx
e poiché i due termini sono entrambi 0 :
E X ∫a
∞
x p x dxa∫a
∞
p xdx
avendo sostituito a x la costante a ; ma ∫a
∞
p x dx è proprio P Xa , e con ciò la disuguaglianza è
dimostrata.
Operiamo ora le seguenti sostituzioni nella disuguaglianza di Markov:
X X−mX 2 e aa2
ottenendo:
P X−mX 2a2
uX
a2
ma poiché X−m X 2 xRIF
2 ha la stessa estensione di ∣X−mX∣ xRIF :
P ∣X−mX∣a uX
a2
espressione nota come disuguaglianza di Tchebychevdisuguaglianza di Tchebychev, importante perché applicabile a qualunque
distribuzione. Mediante tale disuguaglianza, affrontiamo il problema della valutazione del rischio, per
esempio nel caso particolare in cui m X=xRIF .
Sostituendo inoltre a x RIF , si ottiene:
P ∣X−xRIF∣ xRIF u X
xRIF
2
espressione che fornisce un limite superiore al rischio di non conformità:
riducendo l’incertezza tipo si riduce il rischio di non conformitàriducendo l’incertezza tipo si riduce il rischio di non conformità
al contrario, riducendo la tolleranza il rischio di non conformità aumentariducendo la tolleranza il rischio di non conformità aumenta
8 Sintesi: incertezza, taratura, riferibilitàLa presenza di incertezza ha un’influenza non solo nella misurazione “sul campo”, ma anche e ancor prima
nella catena di riferibilità, dunque nell’insieme delle operazioni di taratura che rendono le misure prodotte
dagli strumenti industriali riferibili ai campioni nazionali.
Gli stessi valori di riferimento ottenuti dai confronti chiave (key comparison) nell’ambito dell’MRA sono
dichiarati con un’incertezza.
Ogni operazione di taratura propaga poi tale incertezza lungo la catena di riferibilità...
... fino al diagramma di taratura degli strumenti di misura industriali: la tabella / il diagramma delle coppie
(lettura, valore corrispondente del misurando) deve dunque specificare per ogni lettura anche l’incertezza
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stimata per il valore del misurando: la funzione di taratura deve essere corrispondentemente estesa in una
“striscia di taratura”, del tipo:
letture
strisciadi taratura
misure
9 Sintesi: misurazione, informazione, incertezzaInformazione iniziale
(“a priori”)sul misurando
Informazione finale(“a posteriori”)sul misurando
misurazione
nella logica generale che:
incertezza informazione
Per quanto la misurazione possa essere sofisticata, l’informazione che se ne ottiene non è mai “completa”:
rimane sempre dell’incertezza sul misurando, almeno relativamente alla sua definizione
GUM: il valore stimato per il misurando “may be called the best estimate of the ‘true’ value, ‘true’ in the
sense that it is the value of a quantity that is believed to satisfy fully the definition of the measurand (...)
Because of an incomplete definition of the measurand, the ‘true’ value has an uncertainty that can be
evaluated (...) At some level, every measurand has such an ‘intrinsic’ uncertainty (...) This is the minimum
uncertainty with which a measurand can be determined, and every measurement that achieves such an
uncertainty may be viewed as the best possible measurement of the measurand”
Il concetto fondamentale di incertezza di definizioneincertezza di definizione dunque...
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