Indeks terminów i nazw dotychczas omówionych:

• doświadczenie Michelsona-Morleya,

• doświadczenie Younga, • prawo Snella,• zasada Huygensa,• korpuskularno-falowa

teoria światła

FaleFale Wykład 2.Wykład 2.

Fale podłużne a fale poprzeczne Równanie falowe, fala harmoniczna Prędkość fazowa i grupowa

Jak pokonać prędkość światłaOpis fal przy pomocy liczb zespolonych Fala płaskaRównania MaxwellaFale elektromagnetyczneFotony

SpinCiśnienie światła; wiatr słonecznyChłodzenie atomów

ZadaniaZadania

Fale podłużne a fale poprzeczne

zaburzenie, które się rozprzestrzenia się w czasie i przestrzeni.

drgania odbywają się w kierunku równoległym do kierunku jej rozchodzenia (np. fala dźwiękowa, fale gęstości, fale trzęsień Ziemi, fale p)

kierunek drgań jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali (np. fala elektromagnetyczna)

poprzecznepoprzeczne :

podłużnepodłużne :

Równanie falowe

2 2

2 2 2

1 0v

f fx t

Jednowymiarowe skalarne równanie falowe funkcji f:

Fale elektromagnetyczne (w tym pole elektryczne E fali świetlnej)

są rozwiązaniem równania falowego z v = c.

Skalarne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu, opisujące propagację różnorodnych fal (elektromagnetycznych, dźwiękowych, fal powierzchniowych).

gdzie f (u) może być dowolną funkcąj podwójnie różniczkowalną.

( , ) ( v )f x t f x t

Jednowymiarowe skalarne równanie falowe posiada proste rozwiazanie:

Równanie falowe

Fale: parametryzacjaFale: parametryzacja

= 0 = 3/2

Najbardziej elementarna funkcja jednowymiarowa spełniająca równanie falowe:

E(x,t) = E0 cos[(k x – t ) – ]

A - amplituda - faza początkowa (faza absolutna)

AOscylacje w czasie i przestrzeniOscylacje w czasie i przestrzeni

Długość fali E(x,t) = A cos[(k x – t ) – ]

długość falidługość fali

wektor falowy: k = 2wektor falowy: k = 2//liczba falowa: liczba falowa: 1//

częstość kołowa: częstość kołowa: =2=2// częstość: częstość: =1//

okres faliokres fali

Am

plitu

daA

mpl

ituda

ulega skróceniu w ośrodku o wyższym n

Zmiana w ośrodku niejednorodnym z tłumieniem

Fala harmoniczna:Fala harmoniczna:

Fala harmonicznaFala harmoniczna

długość falidługość fali

wektor falowy: k = 2wektor falowy: k = 2//liczba falowa: liczba falowa: 1//

częstość kołowa: częstość kołowa: =2=2// częstość: częstość: =1//

okres faliokres fali

wielkości przestrzenne:

wielkości czasowe:

E(x,t) = A cos[(k x – t ) – ]

prędkość z jaką rozchodzą się miejsca fali o tej samej fazie:

vp = / Tlub: vp = / k

Na przykład: W ośrodkach ddyyssppeerrsysyjnjnycych h fale o różnych różnych częstotliwościach rozchodzą się z różnymi:

= (k). Przemieszczanie się paczki falowej złożonych z fal o różnych opisuje dodatkowa wielkość: prędkość grupowa

-nie wystarczy, by opisać -nie wystarczy, by opisać fale bardziej złożone!fale bardziej złożone!

długość falidługość fali

Prędkość fazowa fali harmonicznej

Obwiednia rozchodzi się z prędkością grupową.

Fala nośna rozchodzi się z prędkością fazową.

Dla fali harmonicznej o zmieniającej się (modulowanej) amplitudzie prędkość grupowa jest prędkością obwiedni fali nośnej.

Prędkość grupowa

)](exp[)()( 0 tziktzEtE pg vv

gpvg vp

vg d /dk

vg d /dkCzęstośćCzęstość fali harmonicznej jest taka sama w ośrodku, jak i poza nim, ale:

k = k0 n = k0 jest wektorem falowym w próżni,

n() jest parametrem (współczynnik załamania) zależnym od ośrodka.

Tak więc wygodnie jest pomyśleć o jako o zmiennej niezależnej: Mamy więc: k = n() / c0,

pochodna k: dk /d = ( n + dn/d ) / c0

vgc0n dn/d) = (c0 /n) / (1 + /n dn/d )

v = / k = c0 /n,

Ostatecznie:

1v /g dk d

Prędkość grupowaPrędkość grupowa falfalw ośrodkach z dyspersją: w ośrodkach z dyspersją: n(n())

nc0

vg = c0 / (n + dn/d)v v / 1gdn

n d

- prędkość światła w próżni zmniejszona przez wsp. załamania

vg d /dkCzęstość fali harmonicznej jest taka sama w rozważanym ośrodku, jak i poza nim, ale k = k0 n, gdzie k0 jest wektorem falowym w próżni i n jest parametrem (współczynnik załamania) zależnym od ośrodka. Tak więc wygodnie jest pomyśleć o jako o zmiennej niezależnej:

Ponieważ: k = n() / c0,

pochodna k: dk /d = ( n + dn/d ) / c0

vgc0n dn/d) = (c0 /n) / (1 + /n dn/d )

v = / k = c0 /n,

Ostatecznie:

vg = c0 / (n + dn/d)v v / 1gdn

n d

1v /g dk d

Tak więc prędkość grupowa równa jest prędkości fazowej, gdy dn/d = 0,

(brak dyspersji, tak jak np. w próżni).

Prędkość grupowaPrędkość grupowa a dyspersja ośrodka: a dyspersja ośrodka: n(n())

vg = v

Dyspersja prędkości grupowej a impulsy światłaImpuls światła jest szeroki spektralnie (zawiera wiele częstości). Prędkość grupowa będzie różna dla różnych długości światła.

Ponieważ ultrakrótkie impulsy laserowe zawierają szeroki zakres długości fal, dyspersja prędkości grupowej stanowi poważne wyzwanie, które nie istnieje w przypadku pracy z laserem o pracy ciągłej (CW).

vgr(żółta) < vgr(czerwona)

czasowy początek impulsu

czasowy koniec

impulsu

Dyspersja prędkości grupowej jest szkodliwa w układach telekomunikacyjnych:

Ciąg impulsów wchodzących

Ciąg impulsów wychodzących

Wiele kilometrów światłowoduWiele kilometrów światłowodu

Dyspersja sprawia, że impulsy rozciągają się w czasie.

Dyspersja narzuca długości fal, dla których transmisja

systemów telekomunikacyjnych jest

możliwa oraz stawia wysokie wymagania na parametry

światłowodów (kompensacja dyspersji).

Czy można:Czy można:

• zatrzymać światło?• przyspieszyć światło?!?

Prędkość grupowa (vg) a prędkość fazowa (vp)

http://www.hno.harvard.edu/gazette/1999/02.18/light.htmlhttp://www.hno.harvard.edu/gazette/1999/02.18/light.html

A co się dzieje w obszarze anomalnej dyspersji?

vg = c0 / (n + dn/d)

dn/d jest ujemn. Tak więc vg może przewyższy c0 dla tych częstości!

Dyspersja

normalna

Dyspersja

normalna

Dyspersja

normalna

Obszary dyspersji anomalnej

Wsp

ółcz

ynni

k za

łam

ania

n

Ale w rejonach tych absorpcja jest duża, a dn/dw wąskich przedziałach częstości (schodek), tak wiec osiągniecie vg > c0 nie jest trywialne

(np. w doświadczeniach z impulsami, które zawierają szerokie spektrum częstości)

Prędkość grupowa Prędkość grupowa a dyspersja ośrodkaa dyspersja ośrodka

vg < c0 vg < c0 vg < c0

Czy można pokonać prędkość światła?Aby prędkość grupowa mogła być większa, niż prędkość c0, musimy dysponować ośrodkiem o ujemnej dyspersji dn/d w dostatecznie dużym obszarze częstości. Nachylenie zależności nie powinno by zbyt strome, a absorpcja powinna być jak najmniejsza.Trick: przygotować ośrodek przez uprzednie rezonansowe wzbudzenie

impulsem światła laserowego. Impuls świetlny „napompuje” układ stwarzając warunki dla wzmocnienia światła w miejsce absorpcji;

odwrócenie krzywej). Między dwoma rezonansami powstanie obszar o minimalnej absorpcji i prawie liniowym, ujemnym nachyleniu:

2

Obszar

przydatny

Nachylenie

zbyt małe

Nachylenie

zbyt duże

Wsp

ółcz

ynni

k za

łam

ania

Wsp

ółcz

ynni

k ab

sorp

cji

Pole elektryczne fali świetlnej o częstości można opisać:

E(x,t) = A cos(kx – t – )Ponieważ exp(i) = cos() + i sin() (formuła Eulera ):

E(x,t) = Re { A exp[i(kx – t – )] }

lub

E(x,t) = 1/2 A exp[i(kx – t – )] + c.c.

gdzie "+ c.c." oznacza "plus oznacza sprzężenie zespolone wszystkiego, co jest przed plusem. Możemy wygodnie różniczkować exp(ikx):

Opis fal przy pomocy liczb zespolonych

Przypomnienie: liczby zespolone Każdą liczbę zespoloną z, można zapisać:

z = Re{ z } + i Im{ z }Tak więc:

Re{ z } = 1/2 ( z + z* )i

Im{ z } = 1/2i ( z – z* )

gdzie z* jest liczbą sprzężoną liczby z ( i –i )

Wielkość | z | (moduł), liczby zespolonej:

| z |2 = z z* = Re{ z }2 + Im{ z }2

Liczbę z zapisać można w postaci polarnej: A exp(i).

A2 = Re{ z }2 + Im{ z }2

tan() = Im{ z } / Re{ z }

z

Fale zapisane przy pomocy zespolonych amplitud W opisie fal wygodnie jest dopuścić zespolone amplitudy:

Szybko-zmienne części zostały odseparowane od części stałych w czasie. W wyniku otrzymujemy „zespolone amplitudy":

Tak więc:

, exp

ex, ex( pp )

E x t A i kx t

E x t i k ti xA

0, expE x t E i kx t

Jak odróżnić, E0 jest rzeczywiste, czy zespolone?

Nie wszyscy używają znaczka "~", by oznaczyć zespoloność amplitudy. Lepiej jest zawsze założyć, że jest zespolona.

Pole tak zapisane jest całkowicie zespolone!

0 exp( ) E A i

(note the " ~ ")uwaga na

Liczby zespolone w optyce ułatwiają życie

Nie jest to takie oczywiste w zapisie z użyciem funkcji trygonometrycznych, a jest natychmiastowe z użyciem eksponensów:

1 2 3

1 2 3

( , ) exp ( ) exp ( ) exp ( ) ( ) exp ( )

totE x t E i kx t E i kx t E i kx tE E E i kx t

gdzie wszystkie fazy początkowe zostały włączone w E1, E2, i E3.

Dodawanie fal o tych samych częstościach i różnych fazach początkowych daje falę o tej samej częstości.

Fala płaska:

Płaszczyzny frontów falowych są odległe o długość fali. Są one prostopadłe do kierunku propagacji.

Płaszczyzny frontów falowych fal elektromagnetycznych wędrują w próżni z prędkością światła.

Jest to fala o stałej częstotliwości, której powierzchnie falowe (powierzchne jednakowej fazy) tworzą równoległe do siebie płaszczyzny. Wypełniają one całą przestrzeń.

0 exp[ ( )]E i k r t

Na oznaczenie fali płaskiej zazwyczaj

rysujemy linie.

Wiązka laserowa a fala płaska

Płaszczyzniane fronty falowe fali płaskiej wypełniają całą przestrzeń. Fala płaska niesie więc nieskończoną energię. Fala taka nie istnieje realnie!

Wiązka lasera jest przestrzennie zlokalizowana. Można ją przybliżyć jako falę harmoniczną względem czasu z rozkładem Gaussa w płaszczyźnie frontu falowego.

2 2

20( , , , ) exp[ ( )exp ]x yE x y z t E i kz tw

Plamka wiązki laserowej na ścianie

w

x

y

Zlokalizowane fronty falowe

z

Równania Maxwella

- natężenie pola elektrycznego, [ V / m ], - indukcja magnetyczna, [T = Vs /m2 ],0 - przenikalność elektryczna, 0 - przenikalność magnetyczna, - operator dywergencji, [1/m], - operator rotacji, [1/m].

E

B

Z równań Maxwella można wyprowadzić równanie falowe fali elektromagnetycznej.

Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami. W próżni (w powietrzu):

Równania Maxwella

- natężenie pola elektrycznego, [ V / m ], - indukcja magnetyczna, [ T = Vs /m2], - indukcja elektryczna, [ C / m2] - natężenie pola magnetycznego, [ A / m ] r - przenikalność elektryczna ośrodka,

r - przenikalność magnetyczna ośrodka,

- gęstość prądu swobodnego, [A/m2], - gęstość ładunku swobodnego, [ C / m3] - operator dywergencji, [1/m], - operator rotacji, [1/m].

Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami.

W ośrodkach liniowych:

E

B

PED

0

sformułowanie „makroskopowe”

Fala elektromagnetyczna w próżni (powietrzu)

Kierunek pola elektrycznego, magnetycznego i wektora falowego są wzajemnie prostopadłe:

Pola elektryczne i magnetyczne oscylują w tej samej fazie.

E B k

Migawka w czasie t:

Foton posiada energię: i pęd:

Wielkość pędu wynosi: , gdzie:hh jest stałą Plancka, kk jest wektorem falowym (o liczbie falowej k=2k=2 / /, ), ), jest częstością kołową.. Wektor kk wskazuje kierunek propagacji.

FotonyFotony

FotonyFotonyFoton posiada energię: i pęd:

Wielkość pędu wynosi: , gdzie:hh jest stałą Plancka, kk jest wektorem falowym (o liczbie falowej k=2k=2 / /, ), ), jest częstością kołową.. Wektor kk wskazuje kierunek propagacji.

W pustej przestrzeni foton porusza się z prędkością światła c c i jego energia E E i pęd pp powiązane są relacją:

E=cpE=cp. Dla porównania, odpowiadający temu związek energii i pędu

dla cząstki posiadającej masę byłby: EE22= (cp)= (cp)22+(mc+(mc22))22

(szczególna teoria względności).

Foton niesie również moment pędu (spin), który nie zależy od częstości.

Długość momentu pędu wynosi , tak więc jego składowe mierzone wzdłuż kierunku ruchu (jego skrętności) wynoszą odpowiednio .

Wartości te odpowiadają dwóm możliwym stanom polaryzacji kołowej (lewo- i prawo-skrętnej). Polaryzacja liniowa to superpozycja tych polaryzacji.

Foton posiada więc spin całkowity (jest bozonem), podlega więc statystyce Bosego–Einsteina. Dowolna liczba bozonów może dzielić ten sam stan kwantowy.

FotonyFotony

Doświadczenia ze zliczaniem fotonów informują nas o charakterze źródła światła.

Przypadkowe (niespójne) źródła światła takie jak gwiazdy

(Słońce) i żarówki, emitują fotony przypadkowo rozłożone w czasie i statystyce Bosego-

Einsteina.

Laserowe (spójne) źródła światła, posiadają bardziej jednorodne

(choć nadal przypadkowe) rozkłady czasowe o

poissonowskim rozkładzie prawdopodobieństwa.

Bose-Einstein

Poisson

Pęd fotonów w oddziaływaniu z atomami Jeśli atom emituje foton, podlega odrzutowi w przeciwnym kierunku, zgodnie z zasada

zachowania pędu.

Jeśli atomy zostaną wzbudzone, a następnie emitują światło, wiązka atomowa stanie się bardziej rozbieżna, niż wiązka atomów przed wzbudzeniem światłem.

Fotony – ciśnienie światłaFotony – ciśnienie światłaFotony nie mają masy, ale po zaabsorbowaniu przez przekazują swój pęd.

Promieniowanie słoneczne trafiające na Ziemię ma gęstość energii strumienia pola równą 1370 W/m2, więc ciśnienie promieniowania (gdyby zostało całkowicie pochłonięte) wynosi:

Żagle słoneczne, zaproponowane jako metoda napędu misji kosmicznych używałyby ciśnienia promieniowania Słońca jako siłę napędową.

Ciśnienie promieniowania jest niezaniedbywalne:

• Odchylanie warkoczy komet (pozostałe siły są mniejsze)

• Statek kosmiczny Viking (minąłby Marsa o 15,000 km)

• Wnętrza gwiazd

P= S/c P (1400 W/m2)/(3x108 m/s) 5x10-6 Pa << Patm= 105 Pa

S.Chu, C.Cohen-Tannoudji, W.Phillips

CHŁODZENIE ATOMÓW FOTONAMI:CHŁODZENIE ATOMÓW FOTONAMI:

wiązka lasera wiązka atomów

p = p = ħ k ħ kabsabs - - ħ k ħ kemem = N ħ k = N ħ kLL – – 00

@ I = 6 mW/cm2

czas zatrzymania: 1 ms

droga hamowania: 0,5 m

przyspieszenie: 106 m/s2

•

po zabsorb. 1 fotonu:

vR = ħk/M = 3 cm/s

1 atom

Podstawy chłodzenia i pułapkowania atomów światłem laserowym – Nobel 1997

Spowalnianie atomów światłem laseraSpowalnianie atomów światłem lasera

Pułapki magneto-optyczne umożliwiają ochłodzenie chmury (gazu) neutralnych

atomów do temperatur rzędu 100µK

Chmura zimnych atomówRb w centrum pułapki

PUŁAPKA MOTPUŁAPKA MOT IF PANIF PAN

IF PAN (M. Głóź)IF PAN (M. Głóź)IF UW (W. Gawlik)IF UW (W. Gawlik)Laboratorium FAMO (Toruń)Laboratorium FAMO (Toruń)

"What is known of [photons] comes from observing the"What is known of [photons] comes from observing theresults of their being created or annihilated."results of their being created or annihilated."

Eugene HechtEugene Hecht

Można powiedzieć, że zdanie to jest słuszne nie tylko dla fotonów, ale dla wszystkiego, co jesteśmy w stanie zaobserwować. Nasz ogląd świata jest wynikiem kreowania i anihilowania fotonów, czyli sposobu, w jaki światło oddziałuje z materią.

PhotonsPhotons

1. Wykaż, że gdy funkcja f (x) spełnia równanie falowe, funkcja f (x ± vt) również spełnia równanie falowe.

2. Sprawdź poprawność związków między prędkością fazową i prędkością grupową:

Przedyskutuj ten związek dla ośrodków posiadających dyspersję czasową (w ośrodkach takich częstość zależy od długości fali ).

Zadania:

Indeks haseł dotychczas omówionych:

• doświadczenie Michelsona-Morleya,

• doświadczenie Younga, • prawo Snella,• zasada Huygensa

• Chłodzenie atomów światłem laserowym

• Ciśnienie światła• Dyspersja (czasowa)• Dyspersja prędkości grupowej• Fala elektromagnetyczna• Fale podłużne • Fale poprzeczne• Prędkość fazowa• Prędkość grupowa• Równania Maxwella w próżni• Równania Maxwella w

ośrodkach materialnych• Równanie falowe skalarne• Spin fotonu• Światło jako fala

elektromagnetyczna• Światło jako strumień fotonów