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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
INFLUENCIA DE LA PROPORCIÓN ÁUREA EN EL COMPORTAMIENTO ESTRUCTURAL DE EDIFICIOS HISTÓRICOS DE TIPO RELIGIOSO, EN LA CIUDAD DE MORELIA, MICHOACÁN
Marisela Zavala Cornejo1, Leslie Edith Alejo Guerra
1, Guillermo Martínez Ruiz
2, Rafael Rojas Rojas
2
RESUMEN
En el presente artículo se estudia el comportamiento estructural de trece estructuras de tipo religioso ubicadas en el
centro histórico de la ciudad de Morelia, las cuales fueron modificadas geométricamente siguiendo la Proporción
Áurea. Los templos fueron caracterizados mediante dos macroelementos, uno transversal y otro longitudinal los
cuales fueron analizados empleando análisis temporales no lineales para once registros sísmicos, escalados a la
aceleración máxima del terreno para un periodo de retorno de 475 años. Finalmente se establecieron grados e índices
de daño para cada caso y se estudió la influencia de la Proporción Dorada en el comportamiento sísmico de las
edificaciones.
ABSTRACT
In this paper the structural behavior of thirteen religious structures built in the historical downtown of the city of
Morelia, which were modified geometrically following the Golden Ratio is studied. The churches were characterized
by macroelements in the transversal and longitudinal sections of the building which were analyzed using eleven
seismic records and nonlinear analysis. In all cases the seismic records were scaled for the maximum ground
acceleration expected on site for return a period of 475 years. Finally damage degrees and damage index for each
case were established and the influence of the Golden ratio or Divine Proportion over the original structures was
analyzed.
INTRODUCCIÓN
El patrimonio cultural mexicano consta de cerca de ochenta y cinco mil edificios, de los cuales alrededor de seis mil
se encuentran en el estado de Michoacán y aproximadamente mil ciento trece monumentos en el centro histórico de
la ciudad de Morelia, cifra que respalda la gran riqueza monumental que tiene esta ciudad, lo cual le ha valido el
reconocimiento de la UNESCO como ciudad Patrimonio de la Humanidad, distinción que mantiene desde el año de
1991. Sin embargo se cuenta con muy poca información sobre el comportamiento estructural de este tipo de
construcciones de cara a la realización de diagnósticos correctos para fines de intervención.
Por lo anterior dentro del contexto multidisciplinario que implica el correcto estudio, conservación, restauración y
rehabilitación de estos inmuebles, la parte correspondiente a la ingeniería sísmica y estructural representa un reto
muy particular, ya que por su importancia y gran valor cultural existe el firme propósito de procurar la permanencia
del patrimonio en el tiempo pese a la gran presencia de éstas acciones. De ahí la relevancia en encaminar estudios
que contribuyan en la identificación de daños ocultos bajo intervenciones de tipo cosmético, buscando ser siempre
respetuosos con su historia y concepción original apoyados en bases científicas rigurosas.
La ciudad de Morelia se encuentra ubicada en una zona de alta sismicidad puesto que la costa de Michoacán forma
parte del cinturón de fuego de Pacifico. Esta ciudad se localiza aproximadamente a 340 kilómetros de la zona de
subducción de la costa del Pacífico debido a lo cual sufre sismos de tipo local y normal; principalmente éstos
últimos, aunque suelen tener distancias hipocentrales intermedias históricamente han evidenciado un carácter
altamente destructivo, un ejemplo claro es el terremoto del 19 de junio de 1858 que colapsó construcciones dentro
del Estado y fuera del mismo, además de producir daños en estructuras de tipo religioso tales como la catedral de
Morelia (García y Suarez, 1996), situación que no se ha vuelto a presentar en los sismos recientes
1 Estudiante de la Maestría en Estructuras, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. Ciudad Universitaria,
Francisco J. Mújica S/N, Col. Molino de Parras, 58040 Morelia, Mich. Teléfono: (443) 304-1002; [email protected],
[email protected] 2 Profesor Investigador, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. Ciudad Universitaria, Francisco J.
Mújica S/N, Col. Molino de Parras, 58040 Morelia, Mich. Teléfono: (443) 304-1002; [email protected],
XIX Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puerto Vallarta, Jalisco, 2014
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El presente artículo es motivado por el gran número de edificaciones que existen en esta ciudad, y forma parte de una
serie de trabajos encaminados a conocer de forma más precisa el comportamiento esperado de este tipo de
construcciones de mampostería sin reforzar ante futuras acciones sísmicas, con la finalidad de colaborar en el mejor
conocimiento de nuestro patrimonio mexicano.
DEFINICIÓN DE LA DEMANDA SÍSMICA
Se utilizaron once registros sísmicos de los cuales diez son reales y fueron escalados a la aceleración máxima
esperada del terreno en el sitio, así como un registro artificial compatible con el espectro del sitio; dichos parámetros
se obtuvieron a partir de un estudio probabilista de peligro sísmico realizado para el sitio, el cual arroja un valor
máximo probable para la aceleración pico del terreno de 1.6 m/s2 para periodo de retorno de 475 años. Los registros
sísmicos fueron seleccionados de la Base Mexicana de Datos de Sismos Fuertes tomando como criterio una respuesta
espectral máxima ligada a las altas frecuencias, debido a que se ha observado que estos sismos son los suelen afectar
a estructuras de mampostería sin reforzar. Así mismo se ha visto que este tipo de construcciones suelen fallar por
regiones conformadas por grandes bloques y no de manera global, por lo que los macroelementos con periodos
cortos tienden a sufrir las mayores demandas de energía.
En la tabla 1 se muestran las características de los sismos considerados. Cabe señalar que dos de los registros
involucrados fueron obtenidos localmente, uno en la estación ubicada en suelo firme de Ciudad Universitaria de la
Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, y el otro sobre terreno firme de la Universidad Vasco de
Quiroga de Morelia, zonas con gran similitud con el terreno del centro histórico de la ciudad y a unos cuantos cientos
metros de este último.
Tabla 1 Demanda sísmica considerada
Nombre Fecha Dirección Dt
(seg) PGA
(m/s2)
Magnitud Estación Tipo
10D94 10-12-94 N-S 0.005 0.17339 6.3 Chilpancingo Real
14995 14-09-95 E-O 0.005 0.46609 7.3 Chilpancingo Real
15796 15-07-96 N-S 0.005 0.21080 6.5 Chilpancingo Real
21103 21-01-03 N-S 0.005 0.182 7.6 Chilpancingo Real
25498 25-04-98 N-S 0.005 0.10546 5.2 Gutiérrez Real
AC020996 02-09-96 N-W 0.01 0.0701 - Acapulco Real
AC310393 31-03-93 S-O 0.01 0.046 5.0 Acapulco Real
CU110197 11-01-97 E-O 0.01 1.186 6.9 Cu UMSNH Real
PU150699 15-06-99 E-O 0.01 1.991 6.5 Puebla Real
UV200498 20-04-98 E-O 0.005 0.075 5.9 UVAQ Real
CATE475 - - 0.01 1.6 - - Artificial
Es importante mencionar que para fines de prácticos la duración de los registros se redujo para considerar
únicamente la fase intensa de cada uno de ellos. Como se puede observar en la tabla anterior, el sismo de Tehuacán,
Puebla del 15 de junio de 1999 tiene una aceleración máxima del terreno de 1.991 m/s2, la cual es superior a la
aceleración probabilista máxima esperada, por lo que se decidió dejar este registro con sus valores originales.
GENERACIÓN DE MACROELEMENTOS ÁUREOS
Para las geometrías reales y las modificadas con la proporción áurea se ha empleado un modelado bidimensional
para el análisis de los macroelementos elegidos, los cuales corresponden a la sección transversal y longitudinal de las
naves de los trece edificios patrimoniales de carácter religioso que se muestran en las figuras 1 a 4. Estas
construcciones están ubicadas en terreno firme del centro histórico de la ciudad de Morelia. Para la definición de los
macroelementos se consideraron las zonas más vulnerables de cada caso en estudio, empleando el criterio de que se
presentarán los mayores estados de esfuerzos donde se encuentra la mayor rigidez lateral.
3
Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
(a) Templo de Capuchinas (1734)
(b) Templo de la Cruz (1680)
(c) Templo de la Merced (1736)
(d) Templo franciscano de San Buenaventura (1585)
(e) Templo de San José (1760)
(f) Templo de San Juan Bautista (1696)
(g) Templo de San Francisco Javier
(1660) (h) Templo del Carmen
(1596) (i) Templo de las Monjas
(1732)
(j) Templo Santa Rosa de Lima (1757)
(k) Templo de San Agustín (1550)
(l) Templo de Guadalupe (1708)
(m) La Catedral de la Transfiguración (1660)
Figura 1. Macroelementos transversales reales estudiados
8.08
1.25
12.60
0.46
11.956.15
6.69
0.74
13.78
18.23
10.71
0.54
17.789.73
1.34
8.045.70
0.55
13.89
8.20
0.48
14.67
7.38
0.65
14.157.65
0.77
0.70
14.38
7.9717.19
9.67
0.82
0.55
13.76
7.01
14.17
5.408.36
5.40
19.56
1.22
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(a) Templo de Capuchinas (1734)
(b) Templo de la Cruz (1680)
(c) Templo de la Merced (1736)
(d) Templo franciscano de San Buenaventura (1585)
(e) Templo de San José (1760)
(f) Templo de San Juan Bautista (1696)
(g) Templo de San Francisco Javier
(1660) (h) Templo del Carmen
(1596) (i) Templo de las Monjas
(1732)
(j) Templo Santa Rosa de Lima (1757)
(k) Templo de San Agustín (1550)
(l) Templo de Guadalupe (1708)
(m) La Catedral de la Transfiguración (1660)
Figura 2. Macroelementos transversales áureos estudiados
8.08
1.25
12.60
0.46
11.956.15
6.69
0.74
13.78
18.23
10.71
0.54
9.73
17.78
1.34
8.045.70
0.55
13.898.20
0.48
14.67
7.38
0.65
14.15
7.65
0.77
0.70
14.38
7.97
17.19
9.67
0.82
13.76
0.55
7.01
14.179.79 14.01
19.56
1.22
9.79
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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
(a) Templo de Capuchinas (1734)
(b) Templo de la Cruz (1680)
(c) Templo de la Merced (1736)
(d) Templo franciscano de San Buenaventura (1585)
(e) Templo de San José (1760)
(f) Templo de San Juan Bautista (1696)
(g) Templo de San Francisco Javier
(1660) (h) Templo del Carmen
(1596)
(i) Templo de las Monjas
(1732) (j) Templo Santa Rosa de Lima
(1757)
(k) Templo de San Agustín (1550)
(l) Templo de Guadalupe (1708)
(m) La Catedral de la Transfiguración (1660)
Figura 3. Macroelementos longitudinales reales estudiados
8.78
12.3413.89
35.39
18.7917.21
45.47
11.99
51.34
14.8216.45
8.90
18.66
10.92
7.85
28.87
8.57
4.11
8.88
13.4312.28
14.44
45.33
10.35
3.88
13.17
8.46
14.06
50.39
9.36
11.93
7.35
13.4514.45
53.43
8.8711.93
38.14
13.6014.80
2.18
16.00
3.19
11.15
60.85
17.19
9.07
49.63
13.22 12.4914.41
14.17
5.40 8.36
80.35
18.40
10.25
19.56
7.91
12.74 11.89
39.16
7.29
11.49
11.90
36.62
4.37
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(a) Templo de Capuchinas
(1734)
(b) Templo de la Cruz
(1680)
(c) Templo de la Merced
(1736)
(d) Templo franciscano de San Buenaventura
(1585)
(e) Templo de San José
(1760)
(f) Templo de San Juan Bautista
(1696)
(g) Templo de San Francisco Javier
(1660)
(h) Templo del Carmen
(1596)
(i) Templo de las Monjas
(1732)
(j) Templo Santa Rosa de Lima
(1757)
(k) Templo de San Agustín
(1550)
(l) Templo de Guadalupe
(1708)
(m) La Catedral de la Transfiguración
(1660) Figura 4. Macroelementos longitudinales áureos estudiados
8.78
12.3413.89
35.39
17.21
45.47
10.64
18.79
51.34
14.8216.45
8.90
18.66
9.86
7.85
28.87
8.57
4.61
8.88
13.4312.28
14.44
45.33
3.88
13.17
8.46
14.06
50.39
8.69
11.93
7.35
13.4514.45
53.43
8.14
11.93
38.14
13.6014.80
2.18
8.17
16.00
3.19
9.89
60.85
17.19
49.63
13.22 12.1714.417.77
18.40
7.92
19.56
9.79 11.34 14.01
121.15
7.01
12.74 11.89
39.16
7.29
11.49
11.90
36.62
4.51
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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
Se observa que la mayoría de las secciones transversales reales están provistas de contrafuertes siendo estas las
seleccionadas como macroelementos de trabajo; sin embargo, existen algunas secciones transversales en las que los
contrafuertes no se presentan como es el caso del templo de la Merced, el templo franciscano de San Buenaventura y
la Catedral. La mayor parte de este tipo de edificaciones corresponden a sistemas de tipo conventual donde el
claustro se encuentra adosado a los templos, situación que no se consideró en la presente etapa de la investigación y
que puede afectar el comportamiento sísmico global del sistema, al incorporarse la rigidez de los claustros bajo y alto
a la respuesta. Sin embargo y con respaldo en el criterio de macroelemento (Doglioni y otros, 1994) el estudiar de
manera aislada los templos proporciona una idea razonable del comportamiento esperado de los mismos.
Para la generación de las secciones con la proporción áurea se dejó como parámetro fijo la altura puesto que se busca
que la masa del edificio sea lo más parecida posible a la sección real, por lo que se modificó la flecha de los arcos y
la altura de muros y contrafuertes como se muestra en la figura 5, es importante señalar que la Catedral también fue
modificada en la longitud de los macroelementos. El número áureo ó Proporción Dorada se denota también con la
letra φ (phi) y una manera de definirlo es mediante la ec. 1, donde la letra “a” representa la altura al intradós, la letra
“b” corresponde a la altura donde se localiza el arranque del arco y la letra “c” la flecha del arco (figura 5).
...6180339887.0b
c
b
a (1)
Sección Real
Sección Áurea
Figura 5. Generación de secciones áureas
El método de análisis estructural elegido fue el de los Elementos Rígidos (Casolo y Peña, 2007), (Peña, 2010) el cual
es una simplificación adecuada para el análisis lineal y no lineal de estructuras de mampostería sin reforzar, al
considerar que los elementos tienen una dinámica de cuerpo rígido con dos desplazamientos traslacionales y uno
rotacional, y las uniones entre los mismo son modeladas por medio de resortes no lineales.
El mallado propuesto para cada uno de los macroelementos se basó en la geometría de cada sección estudiada y
buscando que fuera lo más regular posible, a su vez los valores de espesores proporcionados fueron obtenidos en el
sitio. Es importante mencionar que no se incluyó el efecto de rigidización proporcionada por las bóvedas ni las zonas
de coro. Las propiedades mecánicas utilizadas se muestran en la tabla 2.
Tabla 2. Propiedades mecánicas utilizadas
Módulo de Elasticidad (MPa)
Módulo de Poisson Densidad (Kg/m3)
Cantera 1000 0.2 1800 Relleno 500 0.2 1600
7.8600
3.4918
11.3518
d=7.0158
c= 4.3360
a= 11.3518
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RESPUESTA DINAMICA
Análisis temporal no lineal
Para realizar los análisis no lineales en el tiempo de los macroelementos se hizo uso del programa RIGID v0.4.1
(Peña, 2010) se usaron los once registros sísmicos de los cuales solamente se consideró la componente horizontal y
como ya se mencionó fueron escalados en su mayoría a la aceleración máxima del terreno asociada a un periodo de
retorno de 475 años; sin embargo es importante mencionar que en varios de los macreoelementos en estudio se tuvo
reducir ligeramente la aceleración máxima del registro sísmico debido a la ocurrencia de falla por compresión en los
apoyos.
Cabe señalar que se tuvo que realizar un análisis estático no lineal de empuje incremental para cada macroelemento,
esto debido a la necesidad de contar con el desplazamiento a la falla bajo carga monotónica para la obtención de los
índices de daño.
Del programa anterior se obtuvieron desplazamientos laterales, energía disipada, capacidad de carga y los grados de
daño. Con los parámetros anteriores se estimaron índices de daño para cada macroelemento siguiendo el criterio
propuesto por Ang y Wen (Park y otros, 1987), el cual menciona que el comportamiento al fallo de la mampostería
es principalmente frágil, lo cual significa que un indicador daño puede ser la deformación máxima. Sin embargo los
ensayos efectuados bajo cargas cíclicas muestran que después de aplicar varios ciclos los muros encontraban su fallo
total, lo cual quiere decir que otro indicador de daño puede ser la disipación de energía; basado en lo anterior los
autores mencionados propusieron la ec. 2 para calcular el índice de daño de la mampostería sin reforzar tomando
como indicador de daño la disipación de energía.
dEUqU
UD
fuf
m
*
(2)
Donde Um es el desplazamiento máximo, ∫dE es la energía total disipada, Uf es el desplazamiento a la falla bajo
carga monotónica, qu es la capacidad de carga última y ε es un parámetro experimental con valor de 0.075.
Teniendo ya los índices y grados de daño para cada macroelemento con los diferentes registros sísmicos se compara
y observa si tienen alguna relación entre sí, así mismo se confrontan las secciones reales contra las Áureas donde se
observa con mayor claridad si la proporción áurea favorece el comportamiento de este tipo de estructuras (figuras 6 y
7) donde se muestra el grado de daño de la estructura gráficamente y el índice de daño de la misma con el sismo que
le causo mayor daño; el índice de daño se localiza como un número en la parte inferior del grado de daño de cada
sección en las figuras 6 y 7.
Capuchinas
Real
ID: 914.1785
Capuchinas Áureo
ID: 745.1465
La Cruz Real
ID: 211.3881
La Cruz Áureo
ID: 247.5784
Figura 6. Daños por tensión e índice de daño (ID) en macroelementos transversales
9
Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
La Merced Real
ID: 716.1456
La Merced Áureo
ID: 1005.1123
Franciscano Real
ID: 3103.2049
Franciscano Áureo
ID: 5539.2739
San José Real
ID: 773.0362
San José Áureo
ID: 1042.1411
San Juan Bautista Real
ID:337.7396
San Juan Bautista Áureo
ID: 508.1044
San Francisco Javier Real
ID: 478.9105
San Francisco Javier Áureo
ID: 834.1445
El Carmen Real
ID: 796.2651
El Carmen Áureo
ID: 74.9101
Las Monjas Real
ID: 453.9188
Las Monjas Áureo
ID: 555.7812
Santa Rosa de Lima Real
ID: 521.8375
Santa Rosa de Lima Áureo
ID: 590.6895
San Agustín Real
ID: 4137.3512
San Agustín Áureo
ID: 3204.5209
Guadalupe Real
ID: 148.7627
Guadalupe Áureo
ID: 704.7223
Figura 6. Daños por tensión e índice de daño (ID) en macroelementos transversales (continuación)
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Catedral
ID: 392.7939
Catedral
ID: 1093.0512
Figura 6. Daños por tensión e índice de daño (ID) en macroelementos transversales (continuación)
Capuchinas Real
ID: 294.7740
Capuchinas Áureo
ID: 300.0737
La Cruz Real
ID: 3375.9968
La Cruz Áureo
ID: 2307.5566
La Merced Real
ID: 178.3522
La Merced Áureo
ID: 160.5693
Franciscano Real
ID: 315.9501
Franciscano Áureo
ID: 393.1298
Figura 7. Daños por tensión e índice de daño (ID) en macroelementos longitudinales
11
Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
San José Real
ID: 318.3572
San José Áureo
ID: 291.7139
San Juan Bautista Real
ID: 213.5821
San Juan Bautista Áureo
ID: 53.9364
San Francisco Javier Real
ID: 390.5160
San Francisco Javier Áureo
ID: 605.6152
El Carmen Real
ID: 250.1877
El Carmen Áureo
ID: 237.9239
Las Monjas Real
ID: 305.725
Las Monjas Áureo
ID: 286.227
Santa Rosa de Lima Real
ID: 712.6925
Santa Rosa de Lima Áureo
ID: 191.4083
Figura 7. Daños por tensión e índice de daño (ID) en macroelementos longitudinales (continuación)
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San Agustín
Real
ID: 450.5416
San Agustín Áureo
ID: 439.4412
Guadalupe Real
ID: 326.5443
Guadalupe Áureo
ID: 327.5276
Catedral
ID: 344.7757
Catedral
ID: 3890.0142
Figura 7. Daños por tensión e índice de daño (ID) en macroelementos longitudinales (continuación)
En las figuras 6 y 7 se muestra el grado de daño producido por esfuerzos de tensión y se puede observar que la
mayoría de los macroelementos en estudio sufren daños principalmente en las regiones de los arcos y bóvedas, así
como en los apoyos de los muros y contrafuertes. Es importante mencionar que los registros que más dañaron este
tipo de edificaciones fueron principalmente el del 15 de julio de 1996 y el del 15 de junio de 1999 registrados en
Chilpancingo, Guerrero y Puebla respectivamente.
CONCLUSIONES
De los resultados anteriores se observa que la proporción divina no resulta satisfactoria para la mayoría de
los macroelementos trasversales estudiados, ya que casi el 76.9% de las secciones modificadas tiene un
índice de daño mayor al obtenido para las secciones con geometría real.
Al realizar la comparación de los macroelementos longitudinales se puede ver que las secciones
modificadas con la proporción dorada tiene un mejor comportamiento sísmico, ya que solo el 38.5% de los
casos áureos tienen un índice de daño mayor al de las secciones reales. También se puede notar en estas
secciones que los índices de daño son muy parecidos de una sección con respecto a la otra y lo mismo pasa
en los grados daño.
Comparando los macroelementos de las secciones transversales reales contra los modificados mediante la
proporción dorada, se puede ver que presentan índices de daño con poca variación entre ellos, con
excepción los templos de San Agustín y el Franciscano de San Buenaventura donde los índices crecen
drásticamente, lo cual es atribuible mayormente al reducido espesor de bóveda que presentan, ya que el
templo de San José a pesar de que cuenta con características similares de altura, espesores de muros y luces,
tiene un espesor de bóveda mucho mayor que los mencionados lo cual se ve reflejado en un índice de daño
que se encuentra dentro del rango promedio del conjunto.
Para los macroelementos de las secciones longitudinales, se observó que las estructuras más vulnerables son
las que están formadas por arcadas como es el caso del templo de la Cruz. Así mismo se observaron
similares patrones de comportamiento entre los macroelementos reales y los áureos, a excepción de la
13
Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
Catedral de la Transfiguración, lo cual se explica porque que en esta edificación se implementó la
proporción divina longitudinalmente.
De los resultados obtenidos de los macroelementos transversales podemos concluir que los parámetros
geométricos tales como la altura, claro, esbeltez y ancho de bóveda afectan de manera considerable el
comportamiento de los edificios, y que la proporción áurea no beneficia el comportamiento sísmico de la
mayoría de las edificaciones, sin embargo a una tercera parte de los macroelementos en dirección
transversal si los beneficia.
Finalmente, debido a que en la presente investigación solo se ensayó el efecto de la proporción dorada sobre
la flecha y altura total de arcos y bóvedas, se encuentra en proceso el análisis del comportamiento sísmico
de los macroelementos aplicando esta proporción sobre el claro y el espesor de muros, incrementando en
todos los casos la muestra de edificios estudiada de cara a minimizar las incertidumbres asociadas.
REFERENCIAS
Casolo S. Peña F. (2007), “Rigid element model for in-plane dynamics of masonry walls considering hysteretic
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AGRADECIMIENTOS
Se agradece el Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACyT) el apoyo brindado para la realización de la
presente investigación.
