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Informatica grafica a.a. 2010-2011
DICGIM – University of Palermo
Dipartimento di Ingegneria Chimica, Gestionale, Informatica e Meccanica
Rasterizzazione
Prof. Roberto Pirrone
14 giugno 2011
Informatica grafica a.a. 2010-2011
DICGIM – University of Palermo
Sommario
Algoritmi per il drawingDDA
Midpoint
Tracciamento di curve
Tracciamento di linee con spessore e stile
Algoritmi per il fillingActive Edge Table
Algoritmi per il clippingCohen-Sutherland
Liang-Barsky
Sutherland-Hodgman
AntialiasingUnweighted Area Sampling
Weighted Area Sampling
Newmann-Sproull
14 giugno 2011
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Generalità
La rasterizzazione è legata a tutto ciò che comporta il prendere una decisione sul colore di un pixel da accendere sullo schermo.
Essa è la parte finale della pipeline di rendering.
E’ inserita, di solito, nel ciclo dell’algoritmo scan-line
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Generalità
Nella pipeline di rendering, la rasterizzazione è affidata ai fragment o pixel shader
Questi determinano se le proprietà di colore di un pixel possono essere propagate ad un intero frammento di linea di scansione in modo da applicare gli algoritmi coinvolti in parallelo
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Generalità
Oltre alle tecniche legate alla determinazione di ombreggiatura, trame o trasparenza, la rasterizzazione include:
Drawing, cioè ilproblema del tracciamento di primitive bidimensionali (eventualmente proiezioni di primitive 3D)
Filling, cioè il riempimento di una figura chiusa con un colore (colore solido, sfumatura, trama, trasparenza tra più colori …)
Clipping, cioè il troncamento di una linea rispetto ad altre linee presenti (proiezioni di poligoni che si occludono, bordi esterni dell’immagine cioè del front plane del volume di vista mappato sullo schermo)
Antialiasing, cioè riduzione dell’effetto di sotto-campionamento dell’immagine generata dovuto alla risoluzione spaziale fissa data dalla dimensione del pixel.
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Drawing
Il problema principale è quello del tracciamento di un segmento di retta, visto che si parte da un mondo popolato da poligoni piani.
Il tracciamento avviene all’interno di una grigia regolare di pixel che hanno distanza unitaria in ascissa e in ordinata (coordinate schermo)
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Drawing14 giugno 2011
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Algoritmo DDA14 giugno 2011
Calcola m=(y1-y0)/(x1-x0)Se |m|<=1 allora
Poni y=y0 Ripeti per x=x0; x<=x1; x++
Accendi il punto (x,round(y))y+=m
Altrimenti Poni x=x0Ripeti per y=y0; y<=y1; y++
Accendi il punto (round(x), y)x+=(1/m)
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Algoritmo DDA Incrementale14 giugno 2011
x=x0, num=x1-x0, den=y1-y0, delta=0;
Ripeti per y=y0;y<=y1;y++Accendi il pixel di coordinate (x,y) delta+=numSe delta>den
x++; delta=0;
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Algoritmo Midpoint14 giugno 2011
Si assumerà inizialmente di considerare m>0 e, in particolare, m [0,1]. ∈
La soluzione per le altre pendenze si può ottenere semplicemente per riflessione della geometria illustrata in figura rispetto agli assi principali.
Si consideri di aver già acceso i pixel della primitiva fino al generico punto P di coordinate (xp , yp ).
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Algoritmo Midpoint14 giugno 2011
L’idea di base di questo approccio è quella di individuare, passo dopo passo, il pixel più vicino all’effettivo punto di intersezione Q tra la retta e l’ascissa x = xp + 1 corrispondente al successivo punto da accendere.
I candidati, ad ogni passo sono solo i due pixel E (xp +1, yp ) ovvero NE (xp +1, yp +1).
Per far questo si valuterà il passaggio della retta, espressa in forma implicita F (x, y) = ax + by + c = 0 , per il punto medio M (xp +1, yp +1/2)
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Algoritmo Midpoint14 giugno 2011
Ripeti per ogni punto da accendereSe F(M)>0 // la retta passa sopra M
Accendi NEAltrimenti // F(M)<=0 la retta passa per M o al di sotto
Accendi E
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Algoritmo Midpoint14 giugno 2011
L’implementazione è, anche in questo caso, incrementale.
Si consideri l’equazione della retta in forma implicita:y=mx+q=(y1 − y0)/(x1 - x0)x+q=(dy/dx)x+q.
Allora la forma esplicita si ottiene come: F (x, y) = dy ⋅x − dx⋅y + dx⋅q = ax + by + c = 0
Si definisce una variabile di decisione d
Per d > 0 si accenderà NE, mentre per d ≤ 0 si accenderà E.
L’algoritmo consiste nel calcolare incrementalmente la sola variabile di decisione.
Se ad un certo passo p+1 si accende il pixel E, allora il nuovo valore della variabile dnew, noto dold al passo precedente p, si ottiene come:
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Algoritmo Midpoint14 giugno 2011
Alternativamente, se al passo p+1 si accende il pixel NE, allora:
Il processo si inizializza calcolando il valore di partenza. Partendo da ( x0 , y0 ) calcoliamo dstart:
Per eliminare la divisione ed utilizzare solo l’aritmetica intera si può far riferimento alla nuova variabile di decisione 2d che deve solamente essere confrontata con il valore 0 ad ogni passo. Quindi:
dstart=2dy-dxdeltaNE=2dydeltaE=2(dy-dx)
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Algoritmo Midpoint14 giugno 2011
Calcola dx=x1-x0;Calcola dy=y1-y0;Calcola dstart=2dy-dx;Calcola deltaE=2(dy-dx);Calcola deltaNE=2dy;x=x0; y=y0; d=dstart;Ripeti finché x<x1
Se d<=0 allorad+=deltaE;x++;
Altrimentid+=deltaNE;x++;y++;
Accendi il pixel (x,y)
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Midpoint per circonferenze o ellissi
L’equazione implicita di una circonferenza F(x,y)=x2+y2-R2=0 fornisce 2 valori di y per dato x.
Si calcola il midpoint per il primo ottante x [0,R/√2] e poi si ∈replica per gli altri
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Midpoint per circonferenze o ellissi14 giugno 2011
Partendo dal punto di valutazione della circonferenza P=(xp,yp) si sceglie il successivo pixel da accendere sulla base dell'analisi del punto medio M (xp+1, yp − 1/2) tra i pixel E ed SE di P.
La variabile di decisione sarà definita come l’equazione implicita della circonferenza valutata in M.
Se F(M)>=0 // M giace o è esterno alla circonferenza Accendi SE
Altrimenti // F(M)<0 cioè M è interno alla circonferenza Accendi E
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Midpoint per circonferenze o ellissi14 giugno 2011
Procedendo in maniera analoga a quanto fatto per il tracciamento delle rette, si possono calcolare i due incrementi della variabile di decisione al generico passo p+1, noto il valore dold della varibile di decisione al passo p nei due casi in cui venga acceso il pixel E o SE.
Nel caso di accensione, al passo p, di E:
mentre, nel caso di accensione di SE:
dstart si valuta nel punto (0, R) che è la sommità dell'ottante.
Per mantenere l’uso dell’aritmeticaintera, si considera h=d-1/4 hstart=1-Rh si confronta sempre con 0
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Midpoint per circonferenze o ellissi14 giugno 2011
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Midpoint per circonferenze o ellissi14 giugno 2011
Per un’ellissi l’algoritmo è lo stesso che per una circonferenza, a meno del valore della F(x,y). Inoltre, per ogni quadrante, si individuano due regioni separate dal punto in cui il vettore gradiente di F è inclinato a 45°. Le due regioni differiscono per i punti candidati all’accensione ad ogni passo.
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Filling
Il riempimento può essere relativo a poligoni o a polilinee.
Il riempimento di poligoni si effettua con l’algoritmo scan-line in cui il tracciamento dei lati è fatto con il DDA incrementale sulla x, visto che ad ogni passo la linea di scansione (cioè la y) aumenta di 1.
Si vuole riempire i punti certamente interni per cui l’algoritmo è leggermente modificato per accendere i pixel immediatamente a destra (sinistra) del lato del poligono
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Filling
Linee curve chiuse possono essere riempite con il midpoint valutando ad ogni pixel p il segno di F(p) per stabilire se il pixel è interno o meno alla curva.
Questo è il flag in da usare nell’algoritmo scan-line
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x=x0, num=x1-x0, den=y1-y0, delta=den;
Ripeti per y=y0;y<=y1;y++Accendi il pixel di coordinate (x,y) delta+=numSe delta>den
x++; delta-=den;
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Tracciamento di primitive con spessore e stile del tratto
Quando una linea deve essere tracciata con spessore non unitario si pone un problema di riempimento che deve tenere in considerazione una serie di requisiti di natura prettamente stilistica:
Quale forma ha il pennello: rettangolare o circolare?
Quale orientazione ha un pennello non circolare?
La linea ha sempre spessore costante?
Quale forma hanno le estremità della linea?
Le metodologie da applicare sono varie e differiscono per precisione del tratto e carico computazionale.
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Tracciamento di primitive con spessore e stile del tratto
Replicazione di righe/colonne rispetto alla primitiva di spessore unitario
Il metodo consiste nell’aggiungere sopra e sotto (a destra e a sinistra) del pixel che viene acceso dall’algoritmo di tracciamento un numero di pixel tale da raggiungere lo spessore voluto.
Problemi di variazione di spessore con la pendenza
Problemi negli spigoli in cui si incontrano due linee (estremi condivisi) che danno origine a dei buchi
Linea di spessore pari: sbilanciamento tra lato destro e sinistro
Nel caso di un arco di circonferenza si nota che questo tende ad assottigliarsi nelle zone con pendenza della tangente |m| 1. Lo ≃spessore t della primitiva, in queste regioni si riduce a t/√2.
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Tracciamento di primitive con spessore e stile del tratto
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Tracciamento di primitive con spessore e stile del tratto
Uso di un pennino mobile
In questo metodo, il centro dell'impronta del pennino si muove lungo la traiettoria teorica. L'impronta si sposta di conseguenza.
Si possono pensare tracce di pennino di forma qualunque, ma si deve tener conto del problema che il pennino, quando il suo centro si sposta di un pixel, ha una parte della traccia che copre una zona bianca del disegno ed un’altra che, invece, ripassa sopra zone che erano già state accese.
Si utilizzano delle strutture dati simili alle tabelle ET e AET per calcolare in anticipo quali siano le nuove linee di scansione prese in considerazione dalla traccia del pennino, quando questo si sposta: queste saranno le uniche linee soggette a riempimento.
L’approccio va bene per le rette, ma, nelle circonferenze o nelle ellissi, i tratti non orizzontali e non verticali risultano ispessiti.
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Tracciamento di primitive con spessore e stile del tratto
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Tracciamento di primitive con spessore e stile del tratto
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Tracciamento di primitive con spessore e stile del tratto
Riempimento dello spazio tra due primitive di spessore unitario distanti tra loro quanto lo spessore t voluto
Con questa tecnica si tracciano due primitive di spessore unitario a distanza t/2 dalla ideale linea mediana. Non ci sono problemi di spessori pari o dispari e lo spessore non cambia con la pendenza.
Per le rette si tracciano rettangoli di lunghezza l e larghezza t che vengono riempiti come al solito.
Per le circonferenze si tracciano due cerchi concentrici di raggio R + t/2 e R - t/2. Analogamente per le ellissi due primitive concentriche di semiassi rispettivamente (a - t/2,b - t/2) e (a + t/2,b + t/2).
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Tracciamento di primitive con spessore e stile del tratto
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Tracciamento di primitive con spessore e stile del tratto
Tratteggio
Il tratteggio di una linea si può ottenere guidandone il tracciamento con una tecnica di mascheramento. Per semplicità si farà riferimento ad un segmento di retta, ma il procedimento si estende immediatamente anche ad altri tipi di linea.
Lo stile del tratteggio è codificato con una costante intera di 16 o 32 bit che, come maschera binaria, ha dei bit 1 in corrispondenza dei pixel del tratto da accendere e dei bit 0 in corrispondenza dei pixel da lasciare spenti.
“tratto e punto” in 32 bit: 11111001100111111111100110011111
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Tracciamento di primitive con spessore e stile del tratto
Ogni bit comanda l'accensione di un tratto di linea di lunghezza data, in dipendenza di un fattore di scala alla quale vogliamo ripetere il tratto.
Sia s la scala alla quale si vuole disegnare una iterazione dello stile del tratteggio e sia t l’intero a 32 bit che codifica lo stile:
Ripeti per x=x0, i=0; x<=x1; x++, i++Se t>>((i/s)%(32)) & 1 == 1
Accendi il pixel alla coordinata (x,y) // y determinato dall’algoritmo di //tracciamento
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Clipping
Il problema del clipping è intrinsecamente 3D, ma sorge anche nel 2D quando bisogna determinare l’estensione di curve proiettate sullo schermo che possono
Intersecarsi tra loro
Essere interrotte dai bordi della viewport
Il clipping verrà analizzato perRette
Poligoni
Curve
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Clipping di rette
Algoritmo di Cohen-Sutherland
Si basa sull’uso di un test per effettuare l’accettazione o la reiezione banale delle linee che siano interamente visibili o interamente invisibili rispetto a una regione rettangolare. Siano (xmin,ymin) e (xmax, ymax) i punti che definiscono la regione di visibilità, allora il piano può essere diviso in 9 regioni dalle 4 rette che la delimitano.
Ad ogni regione viene assegnato un codice a 4 bit che risulta dal test effettuato per i punti (x,y) di ogni regione con le 4 rette:
1° bit=1 per y > ymax
2° bit=1 per y < ymin
3° bit=1 per x > xmax
4° bit=1 per x < xmin
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Clipping di rette14 giugno 2011
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Clipping di rette14 giugno 2011
RipetiValuta i codici dei due estremiSe entrambi i codici sono nulli
La linea è totalmente visibile // caso ABAltrimenti se l’AND bit a bit degli estremi è diverso da 0
La linea è totalmente invisibile // caso CD: si tratta di // linee che sono tutte in una // delle 4 regioni definite dai // bit del codice perché gli // estremi hanno un bit 1 nella // stessa posizione)
Altrimenti Si considera il primo estremo con codice diverso da 0
// caso EF e IL: se un estremo ha codice pari a 0// allora è visibile
Si effettua l’intersezione con la retta corrispondente al primo bit 1 del codice // punto H in EF e punto M in ILSi considera il nuovo segmento che va dal punto intersezione al secondo estremo e si calcola il nuovo codice per l’intersezione
Finché non ricadi in uno dei due casi banali
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Clipping di rette
Algoritmo di Cyrus-Beck
E’ il caso bidimensionale dell’intersezione retta-poligono in 3D
Per ogni lato della viewport si considera una geometria semplificata
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Clipping di rette
Algoritmo di Cyrus-Beck
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Clipping di rette14 giugno 2011
Ripeti per ogni segmento che deve essere troncatoSe P1== P0 esci // linea degenereAltrimenti tE=0, tL=1 // gli estremi del segmento: non
// ha senso andare oltreRipeti per ogni lato da intersecare
Calcola numeratore e denominatore di tSe −Ni⋅D == 0 // linea parallela al lato di clipping
Se Ni [⋅ P0 − PEi]>0 // lato esterno//segmento parallelo ed esternoEsci
Altrimentirestituisci gli estremi P0 e P1
Altrimenti se −Ni⋅D > 0 tE=max(t ,tE)
AltrimentitL=min(t ,tL)
Se tE > tL esci // falso positivo: un punto potenzialmente // entrante è successivo ad un punto potenzialmente // uscente, quindi la linea è esterna Altrimenti
restituisci gli estremi corrispondenti a tE e tL
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Clipping di rette
Liang-BarskyAlgoritmo semplificato• Tiene conto delle reali orientazioni delle normali Ni
• Determina delle formule semplici di calcolo di t• Non necessita di un posizionamento particolare
per PEi
14 giugno 2011
Ni PEi P0-PEi t
x=xmin {-1,0} (xmin,y) (x0 - xmin, y0 – y) -(x0 - xmin)/(x1 – x0)
x=xmax {1,0} (xmax,y) (x0 - xmax, y0 – y) -(x0 - xmax)/(x1 – x0)
y=ymin {0,-1} (x,ymin) (x0 - x, y0 – ymin) -(y0 - ymin)/(y1 – y0)
y=ymax {0,1} (x,ymax) (x0 - x, y0 – ymax) -(y0 - ymax)/(y1 – y0)
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Clipping di poligoni
Sutherland-Hodgman
Estensione del clipping di un segmento alla lista dei segmenti di un poligono
Il poligono da troncare è espresso come una lista di vertici v1,v2,...,vn e viene scandito da vn a v1 e di nuovo a vn per ogni lato del rettangolo di clipping (o della viewport)
14 giugno 2011
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Clipping di poligoni14 giugno 2011
I test di interno/esterno e di parallelismo si possono condurre con l’approccio di Liang-Barsky
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Clipping di Poligoni14 giugno 2011
Ripeti per ogni lato del rettangolo di clipping listaout=nulls=listain(lunghezza(listain))
Ripeti per l che va da 1 a lunghezza(listain)p=listain(l)Se s è esterno al lato
Se p è internoCalcola l’intersezione ilistaout=listaout+i listaout=listaout+p
AltrimentiSe p è interno
listaout=listaout+pSe p è esterno
Calcola l’intersezione ilistaout=listaout+i
s=p Finelistain=listaout
Fine
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Clipping di circonferenze o ellissi
Si effettua una serie di test semplici di accettazione e reiezione rispetto ai lati di clipping
Con il rettangolo includente
Con ogni suo quadrante
Con ogni singolo ottante
I test sono dei clipping poligonali
L’intersezione è calcolata solo per i lati di interesse
14 giugno 2011
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Antialiasing
Per effetto della dimensione finita (e non infinitesima) dei pixel dei sensori di acquisizione e dei display, è possibile riprodurre le immagini inseguendo solo fino ad un certo punto le brusche variazioni di luminosità e/o colore, cioè le elevate frequenze spaziali.
Come conseguenza di questa limitazione, i profili degli oggetti disegnati in un’immagine presentano delle “seghettature”: a questo fenomeno si da il nome di aliasing ed è una caratteristica tipica della digitalizzazione di qualunque segnale analogico, anche temporale, nel momento in cui vengono fissati i parametri di campionamento.
14 giugno 2011
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Antialiasing
Approccio Unweighted Area Sampling (UAS)
Si pensi al display come ad una disposizione regolare di tessere quadrate o rettangolari. Anche la retta (linea) più sottile, ha un suo spessore = 0 e quindi possiamo pensarla come un rettangolo pieno (o come una striscia curvilinea).
14 giugno 2011
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Antialiasing
L'idea dell'antialiasing di tipo UAS è quella di accendere tutti i pixel interessati anche marginalmente dal rettangolo che rappresenta analiticamente il segmento di retta di dato spessore o, più in generale, la striscia che rappresenta la generica linea curva.
In questo approccio, i pixel vengono accesi con un'intensità "proporzionale" alla porzione della loro area che è interessata dalla linea. Così, da un punto di vista percettivo, inganna l'occhio e fa percepire contorni continui e non seghettati.
Analogamente si può dire che, più distante è il centro del pixel dalla linea, minore è l'intensità con cui viene acceso: il pixel sarà spento se è completamente esterno alla linea.
14 giugno 2011
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Antialiasing
La tecnica UAS non è apprezzabile da un punto di vista percettivo perché gli estremi della primitiva tendono a “sbordare” in quanto pixel molto distanti dal centro della linea, ma con una piccola sovrapposizione con essa risultano accesi.
14 giugno 2011
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Antialiasing
Approccio Weighted Area Sampling (WAS)
Si sopperisce ai difetti dell’approccio UAS tenendo conto anche della distanza del centro del pixel dalla traccia teorica della primitiva, pensata come priva di spessore.
Le due tecniche UAS e WAS sono delle vere e proprie tecniche di filtraggio dell’immagine e possono essere spiegate ricorrendo al concetto di filtraggio spaziale tramite convoluzione di un opportuno nucleo con ogni singolo pixel e non con un vicinato.
14 giugno 2011
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Antialiasing
Sia Imax l’intensità massima di accensione di un pixel in assenza di antialiasing.
Sia L⊂R2 l’insieme dei punti della primitiva. Ogni pixel che ha intersezione non vuota con L sarà acceso con un’intensità I=Imax*Ws ottenuto come filtraggio con un opportuno nucleo di convoluzione W(τ,ν) centrato nel pixel p(xp,yp) con una funzione dA(x,y) che esprime l’area ricoperta dalla primitiva.
Per una scelta opportuna del nucleo di convoluzione, le tecniche UAS e WAS sono casi particolari del medesimo approccio.
14 giugno 2011
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Antialiasing14 giugno 2011
Con la modalità WAS, a differenza della UAS, aree di pixel ugualmente interessate dalla primitiva non sono in generale accese con la stessa intensità. I pixel i cui centri sono più vicini al confine teorico della primitiva sono accesi più intensamente degli altri, a parità della porzione di area interessata.
Le estremità della linea, che sono pixel parzialmente coperti, ma con il centro vicino o interno alla linea stessa, sono accese più intensamente che nel UAS e forniscono una impressione visiva di terminazione netta.
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Antialiasing
Algoritmo di Goupta-Sproull
L’algoritmo di Goupta e Sproull si integra con il midpoint per la conversione di linee di qualunque spessore con antialiasing.
Questo approccio è ancora basato sull’uso di una tabella (ℑ D,t) di valori precalcolati di applicazione del filtro di antialiasing per diversi valori della distanza D del pixel dal centro della primitiva e per diversi valori dello spessore t della linea.
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Antialiasing
Il problema si riduce semplicemente a modificare l’algoritmo midpoint per calcolare, dato lo spessore della linea, la distanza dal suo centro del pixel da accendere e di tutti i suoi vicini in riga o colonna che ne sono comunque toccati.
In quanto segue si farà riferimento a dei filtri con supporto circolare di raggio R=1. In queste condizioni, una linea di spessore unitario attraversa tipicamente 3 pixel per colonna (|m|<1) con un minimo di 2 ed un massimo di 5.
14 giugno 2011
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Antialiasing14 giugno 2011
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Antialiasing14 giugno 2011