Informatica Grafica Algoritmi 3D1 Macchina Fotografica Virtuale La visualizzazione di una scena 3D avviene come se usassimo una macchina fotografica

Algoritmi 3D 1Informatica Grafica

Macchina Fotografica Virtuale

La visualizzazione di una scena 3D avviene come se usassimo una macchina fotografica.


Visualizzazione in 3D

Passo fondamentale: Proiezione.Occorre specificare: Volume di vista.

Piano di proiezione.Punto/Direzione di vista.

Passi fondamentali:


Proiezioni

La proiezione trasforma punti in 3 (o più) coordinate in punti su un piano.

Le proiezioni sono definte dai raggi di proiezione (projectors) che partono dal center of projection ed arrivano sul projection plane.


Tipi di Proiezioni

Planari: proietta su un piano.Non Planari: proietta su superficie non planare.Prospettiche: centro di proiezione (X Y Z 1).Parallele: direzione di proiezione (a b c 0) punto

all’infinito differenza tra due punti omogenei:(X Y Z 1) - (X’ Y’ Z’ 1) = (a b c 0).


Proiezioni Prospettiche

Da 1 a 3 punti di fuga (3 punti scarso uso).

Nell’esempio 2 punti di fuga:lati paralleli X-Z convergentilati paralleli Y paralleli


Proiezioni Parallele

Ortografiche: direzione perpendicolare al piano di proiezione.

Oblique: direzione non perpendicolare al piano.


Proiezioni Parallele (2)

Assonometriche Ortografiche: piano non perpendicolare asse X o Y o Z. Preservano parallelismo ma non gli angoli.

Isometriche: assonometriche più angoli uguali sui tre assi. La direzione normale al piano (dx dy dz) è tale che |dx|=|dy|=|dz|.


Proiezioni Oblique

Piano di proiezione perpendicolare asse (X,Y,Z)

Cavaliere: direzione e piano angolo 45°, preservano la lunghezza sui tre assi.

Cabinet: angolo 63,8° = arctg(2), dimezzano la lunghezza lungo uno degli assi.


Riassunto Proiezioni Planari Geometriche

Tutte le proiezioni richiedono:

piano di proiezione.posizione del centro di proiezione.

distanza centro di proiezione-piano:

» Finita prospettiche.» Infinita parallele


Viste Arbitrarie

Includono proiezione e volume di vista (clipping).Bisogna specificare: View Reference Point VRP: punto sul piano di

proiezione. View Plane Normal VPN: normale al piano di

proiezione. View up Vector VUP: determina un sistema di

coordinate 3D sul piano di proiezione. Asse V.


Finestra sul piano definita rispetto a UV.CW center of window = Umin+[Umax-Umin]/2

Vmin+[Vmax-Vmin]/2

Definizione di VisteVRC View Reference Coordinate: coordinate

sul piano di proiezione.La proiezione di VUP determina asse V l’asse U é perpendicolare a V ed a VPN


Definizione di Viste (2)

PRP Projection Reference Point: definisce direzione o centro della proiezione. Specificato nelle coordinate VRC.

Prospettiche:il PRP é il centro di proiezione.



Parallele:la Direction of Projection (DOP) é la retta PRP-CW.

Ortografiche:DOP // VPN.

Oblique:DOP non // VPN.


Volume Di Vista

Volumi infiniti sono implicitamente definiti da PRP e finestra sul piano.

Prospettiche: piramide semi-infinita con apice PRP e sezione sul piano pari alla finestra.

Parallele: parallelepipedo infinito con sezione sul piano pari alla finestra.

Volumi Finiti permettono di concentrarsi su parte dello spazio.


Volume Finito di Vista

Definiti da :front-clipping plane e back-clipping plane paralleli al view-plane, VPN perpendicolare al view-plane.


Volume di Vista (Prospettiche)

Proiezioni prospettiche:volume di vista a tronco di piramide.


Normalizzazione

Il volume di vista viene trasformato in un volume canonico in nuove coordinate: NPC (Normalized Projection Coordinates). Il risultato viene mappato nel 3D viewport, che e’ contenuto nel cubo unitario (0 0 0 ) (1 1 1 ).

Disegnando le primitive ignorando la Z si ottiene l’immagine da mandare al display.

PHIGS definisce 2 matrici 4x4 view-orientation matrixview-mapping matrix

world coordinates VRC NPCview orientation view mapping


EsempiDisegno casa variando tipo proiezione, piano, ecc ..

Esempio usato nel seguito


Parametri

Parametri vista di defaultVRP(wc) (0 0 0) origineVPN(wc) (0 0 1)

asse zVUP(wc) (0 1 0)

asse yPRP(vrc) (0,5 0,5 1)Window(vrc) (0 1 0 1)Proiezione parallela.


Proiezioni Prospettiche

VRP (0 0 0) PRP(8 6 84) Window(-50 50 -50 50)

Disegno piccoloe non centrato

VRP (0 0 54) PRP(8 6 30)

Window(-1 17 ;-1 17)


Situazioni Equivalenti

I valori specificati sono ridondanti. Configurazioni diverse possono essere equivalenti. Esempio:


Prospettica: 1 Punto di Fuga

Parametri vistaVRP(wc) (16 0 54)

origineVPN(wc) (0 0 1)


asse yPRP(vrc) (20 25 20)Window(vrc) (-20 20 -5 35)Proiezione prospettica


Prospettica: 2 Punti di Fuga




asse yPRP(vrc) (0 25

20*sqrt(2))Window(vrc) (-20 20 -5 35)Proiezione prospettica.

Il View-Plane interseca gli assi x e z.


Matrice WC -> VRC

Per passare dalle coordinate del mondo (WC) a quelle di vista (VRC) si eseguono una traslazione T ed una rotazione R, caratterizzate dalle matrici:

1 0 0 -VRPx

0 1 0 -VRPy

0 0 1 -VRPz

0 0 0 1

T =

Ux Uy Uz 0

Vx Vy Vz 0

Nx Ny Nz 0

0 0 0 1

R =

Dove: n = VPN VPN,u = VUP * VPN VUP *

VPNv = n * u






asse yPRP(vrc) (8 8 100)Window(vrc) (-1 17 -1 17)Proiezione parallela


Volume di Vista Finito




asse yPRP(vrc) (8 6 30)Window(vrc) (-1 17 -1 17)Proiezione prospetticaF(VRC) +1B(VRC) -23


Espressioni Matriciali

Casi semplici: PRP (0 0 0), piano z = dSviluppando i conti otteniamo:

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 1/d 0

Mper=


Espressioni Matriciali (2)

PRP (0 0 -d), piano z=0:

M’per=

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 1/d 0


ClippingFare il clipping in WC é molto dispendioso.Soluzione: prima normalizzazione poi clipping.Normalizzazione: ridurre il volume di vista ad un

volume canonico.Esistono due volumi canonici:


Implementazione

Dobbiamo moltiplicare per le matrici di normalizzazione (Npar o Nper ), effettuare il clipping, proiettare (usando le matrici viste in precedenza), poi portare in coordinate di dispositivo.


Normalizzazione: ParalleleView orientation:

1) trasla VRP nell’ origine2) ruota VRC in modo che:

VPNZ U X V Y (3 rotazioni) View mapping:

3) Shearing in modo che DOP // Z4) trasla e scala per farlo diventare il volume canonico parallelo .


Passi della Proiezione (1)

Situazione iniziale: a sinistra vista parallela dall’alto, a destra vista laterale

Situazione dopo la traslazione che fa coincidere le origini di WR e VRC



Situazione dopo la rotazione che fa coincidere i due riferimenti WR e VRC

Situazione dopo la deformazione che allinea il volume di vista con gli assi


Risultato

Situazione dopo lo scalamento che fa coincidere il volume di vista con il volume canonico


Proiezioni Prospettiche1) Trasla VRP nell’ origine (0,0,0 )2) Ruota VRC in modo che VPN Z; U X; V Y3) Trasla COP (0,0,0)4) Shear linea centrale volume Z5) Scala per far coincidere con volume canonicoEsecuzione passi:1-2 vedi parallelo 3 T(-PRP) 4 uguale passo 3 parallelo 5 dipende da VRP e finestra


Passi 4 e 5

Passo 5: Scaling

Passo 4: Shearing



Situazione iniziale: a sinistra vista parallela dall’alto, a destra vista prospettica

Situazione dopo la traslazione che fa coincidere le origini di WR e VRC



Situazione dopo la rotazione che fa coincidere i due riferimenti WR e VRC

Situazione dopo la traslazione che porta il COP (PRP) nell’origine


Risultato

Situazione dopo la deformazione che allinea il volume di vista con gli assi

Situazione dopo lo scalamento che fa coincidere il volume di vista con il volume canonico


Clipping al Volume Canonico

Estensione degli algoritmi diCohen-Sutherland codici di 6 bits.Cyrus-Beck 6 punti, 6 normali uscenti.

Più efficente:Liang-Barsky variante di Cyrus-Beck


Clipping in Coordinate Omogenee

Motivazioni:1) in coordinate omogenee é possibile avere un solo volume canonico ed il clipping può essere effettuato in hardware.2) non necessita divisione per W (normalizzazione)

Trasformazione tronco piramide parallelepipedo:

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 /(1+Zmin)

-Zmin/(1+Zmin)

0 0 -1 0

M’per=Zmin <> -1


Mapping in un Viewport

I punti sono ora tali che:-1 x 1, -1 y 1, -1 z 0

Ora trasformo i punti in punti nel 3D Viewport.P = (x,y,z) P’ = (x’,y’,z’)

con P’ nel 3D Viewport (contenuto nel cubo unitario).Il Viewport serve per specificare quale parte

dello schermo usare ed e’ mappato sullo schermo in modo fisso. Assumendo schermo 1024*800, il punto P” = (x”,y”) sullo schermo si ottiene:

x” = round(x’*1024)y” = round(y’*800)


Sistemi di CoordinateAbbiamo usato i seguenti sistemi di coordinate:

3D Modeling Coordinates3D World Coordinates3D VRC3D NPC2D Device Coordinates

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