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Informatik

Speicherung und Interpretation von Informationen

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Digitalisierung

Analog und Digital

analog / digital: prinzipielle Arten der Speicherung von Informationen

analog ~> entsprechend unterschiedliche Daten-Werte werden durch unterschiedliche Signal-Werte darstellt

digital ~> (mit dem Finger, digitus) gezeigt unterschiedliche Daten-Werte werden durch unterschiedliche Messwerte dargestellt

Beispiel Tonaufzeichnung Schallplatte ~ analog:

Ton wird durch die ihm entsprechende Schwingung einer Rille gespeichert CD ~ digital

Ton wird als Folge von Loch / kein Loch in einer Spur gespeichertDiese Folge repräsentiert Messwerte die den aufgezeichneten Ton beschreiben.

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Digitalisierung

Digitalisierung– Ausgangspunkt: analoges Signal– Abtastung

Signal wird „abgetastet“ , d.h zu bestimmten Zeitpunkten gemessenEs entsteht eine Folge analoger MesspunkteHäufigkeit der Messung = Abtastrate (sampling rate) wichtigAbtastrate CD: 44100 HzAbtastrate Telefon: 8000 Hz

– QuantifizierungDie analogen Signale werden in Messwerte umgewandelt, es entsteht eine Folge von digitalen WertenGenauigkeit der Messung wichtigQuantifizierung CD: 16 Bit WerteQuantifizierung Telefon: 8 Bit Werte

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5 -2 -5 2 -1 -2

Abtastung

Quantifizierung

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Digitalisierung

Digitalisierung

– Digitalisierung

Analoge Daten können digital dargestellt werden.

– Digitalisierung bedeutet Informationsverlust

Ausgefeilte Theorie zur Berechnung / Beherrschung des Informationsverlusts durch zu geringe Abtastraten und/oder zu grobe Quantifizierung.

– Alle Informationen können digitalisiert werden

Informationen beliebiger Art können (prinzipiell) einheitlich gespeichert und verarbeitet werden.

Etablierte Digitalisierung: Zahlen, Texte, Bilder, Videos

Noch keine Digitalisierung: Gerüche, Gefühle, · · ·

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Zahlsysteme

Römische Zahlen

Zahl als Summe von Zahlzeichen➢ I 1➢ V 5➢ X 10➢ L 50➢ C 100➢ D 500➢ M 1000

Anordnung: absteigende Werte von links nach rechtsNiederwertiges vor höherwertigem Zeichen : Subtraktion

Beispiel: MCMIC = 1000+(1000-100)+(100-1)= MCMXCIX = 1000+(1000-100)+(100-10)+(10-1)

= 1999

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Rechenoperationen mit römischen Zahlen sind sehr komplex, speziell Multiplikation und Division.

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Zahlsysteme

Positionssysteme, Stellen(wert)systeme

Zahl als Summe von Ziffer-Zeichen mit positions-abhängigem Wert

Ein Positionssystem mit der Basis B ist ein Zahlensystem, in dem eine Zahl x nach Potenzen von B zerlegt wird.

Eine natürliche Zahl n wird durch folgende Summe dargestellt:

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Die Einführung von Positionssystemen gilt als eine der wichtigsten Kulturleistungen der gesamten Menschheitsgeschichte.

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Zahlsysteme

Positionssysteme: Dezimalsystem

Dezimalsystem 10 Ziffern: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Ziffernwerte: Zehner-Potenzen Beispiel

Heaxadezimalsystem 16 Ziffern: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f Ziffernwerte: 16-er-Potenzen Beispiel

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1234

= 1*103 + 2*102 + 3*101 + 4+100

1234h

= 1*163 + 2*162 + 3*161 + 4+160

= 4660d

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Zahlsysteme

Wichtige Positionssysteme

Basis = 2 DualsystemZiffern: 0 1

Basis = 8 OktalsystemZiffern: 0 1 2 3 4 5 6 7

Basis = 10 DezimalsystemZiffern: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Basis = 16 HexadezimalsystemZiffern: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f

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Zahlsysteme

Positionssysteme mit gebrochenen Zahlen

Bei gebrochenen Zahlen trennt ein Punkt (Komma im Deutschen) in der Zahl den ganzzahligen Teil der Zahl vom gebrochenen Teil (Nachkommateil). Solche Zahlen lassen sich durch folgende Summenformel beschreiben:

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Zahlsysteme

Positionssysteme mit gebrochenen Zahlen

Beispiel:➢ 12.34

= 1*10^1 + 2*10^0 + 3*10^-1 + 4*10^-2 = 10 + 2 + 0.3 + 0.04

➢ 0.101 im Dualsystem = 0*2^0 + 2*2^-1 + 0*2^-2 + 1*2^-3= 0 + 1/2 + 0*(1/4) + 1/8

Übung:➢ Welchen Wert hat die Hexadezimalzahl

ab.cd

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Zahlsysteme

Positionssysteme Umrechnen

Konversion ins DezimalsystemMit dem Hornerschema können Konversionen ins Dezimalsystem leicht ausgeführt werden:

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Beispiel: 1454 = ((1*10+4)*10 + 5)*10+4

Übung: Wandeln Sie die Oktalzahl 1454 in eine Dezimalzahl um

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Zahlsysteme

Positionssysteme mit Basis 2, 8, 16

In der Informatik spielen das Dual-, Oktal- und Hexadezimalsystem eine zentrale Rolle.

Das Dualsystem und der Computer

Die einfachste Form eines Informationsspeichers besteht aus einer Folge von Bauelementen die zwei Zustände annehmen können. (an/aus; Loch/kein Loch, positive/negative Spannung, Strom, ···)

Daher benutzt man in Rechnern intern das Dualsystem, bei dem nur zwei Ziffern, 0 und 1, verwendet werden, die sich technisch relativ leicht nachbilden lassen:Alles was 2 Zustände hat kann eine Binärziffer speichern

➢ 0 : kein Strom, keine Spannung, keine Magnetisierung, …➢ 1: Strom, Spannung, Magnetisierung, ....

Oktal- und Hexadezimalzahlen dienen der übersichtlichen Darstellung von Binärzahlen.

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Zahlsysteme

Positionssysteme mit Basis 2, 8, 16

Konversion zwischen Dual- Oktal- und HexadezimalsystemDurch Gruppierung können Umwandlungen zwischen 2er, 8er und 16er System leicht ausgeführt werden.

➢ 7 (größte einstellige Oktalzahl) = Dualzahl 111

➢ f (größte einstellige Hexadezimalzahl)= Dualzahl 1111

➢ 101101 = 101 101 = Oktalzahl 55➢ 10101010 = 1010 1010 = Hexadezimalzahl aa

Dual- Oktal- und Hexadezimalsystem im Speicher

1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 a b b a

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Speicherstelle 1 Speicherstelle 2

Der Speicher enthält an Adresse 1 und 2 die Daten ab ba

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Zahlsysteme

Positionssysteme Umrechnen

Konversion aus dem Dezimalsystem in ein System mit anderer Basis

Mit dem folgenden Algorithmus können Dezimalzahlen x in ein System mit Basis n konvertiert werden:

1. x/n = y Rest z2. Mache y zum neuen x und fahre fort mit Schritt 1, wenn dieses

neue x ungleich 0 ist, ansonsten fahre mit Schritt 3 fort3. Die ermittelten Reste z, von unten nach oben aufgeschrieben,

ergeben dann die entsprechende Zahl zur Basis n

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Zahlsysteme

Bits und Bytes

Bit = 0 oder 1 / an oder aus / Loch oder kein Loch

Einer von Zwei Möglichen Werten / Signalen / DingenBit ~ Binary digiT (a bit of information)

Bits speichern / übertragen In / mit Medien die zwei Zustände unterscheidbar machen

In / mit Medien die eine beliebige Zahl von Zuständen unterscheidbar machen (Zweierpotenz bevorzugt)

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+5V+3V

-3V-5V

11 10 11 00 10 01

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Zahlsysteme

Bits und Bytes

Byte = 8 Bit

Kilo, Mega, Giga, ··· in Kapazitätsangaben Datenübertagungskapazität oft in Kilo- / Mega- Bit Datenspeicherungskapazität oft in Kilo- / Mega- Byte

Größenangaben Kilo = 210 = 1.024 Mega = 220 = 1.048.576 Giga = 230 = 1.073.741.824 Tera = 240 = 1.099.511.627.776 Peta = 250 = 1.125.899.906.842.624

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Hersteller runden Kapazitätsangaben oft auf 10-er Potenzen ab:103 statt 210 = 1 Kilo109 statt 230 = 1 Giga

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Zahlsysteme

Zahldarstellung im 2er-Komplement

Zuordnung der Bitkombinationen zu positiven und negativen Zahlen Zahlenring für vier Bits, erstes Bit ist Vorzeichenbit

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0000 00001 10010 20011 30100 40101 50110 60111 71000 -81001 -71010 -61011 -51100 -41101 -31110 -21111 -1

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Zahlsysteme

Zahldarstellung im 2er-Komplement

– Ist das 1. Bit 1, so handelt es sich um eine negative Zahl.– Der Wert einer negativen Zahl wird dann im Zweier-Komplement

dargestellt. Zweier-Komplement zu einem Wert bedeutet, dass zunächst jedes einzelne Bit invertiert (umgedreht) wird, und dann auf die so entstandene Bitkombination die Zahl 1 aufaddiert wird.

5 ~> 0101Komplement = 1010+ 1 = 1011 ~> -5

Das 2er-Komplement wird für die Darstellung ganze Zahlen verwendetDie Rechenoperationen können effizient ausgeführt werden,Ein Überlauf wird oft nicht entdeckt: Großen zahlen werden plötzlich negativ.

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Zahlsysteme

Darstellung gebrochener Zahlen

Festpunkt-ZahlenBei Festpunktzahlen steht der Punkt (das Komma) immer an einer bestimmten festgelegten Stelle, wobei der Punkt natürlich nicht eigens gespeichert wird.

11101.1011 wird gespeichert als 111011011Interpretation als Dualzahl mit einen Vorzeichenbit können positive und negative Zahlen unterschieden werden.

- 11101.1011 wird gespeichert als 1111011011+ 11101.1011 wird gespeichert als 0111011011

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Festpunktdarstellung wird selten verwendet

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Zahlsysteme

Darstellung gebrochener Zahlen

Gleitpunkt-ZahlenGleitpunktzahlen werden in der Form

(Mantisse, Exponent)dargestellt.

Die Bedeutung ist(Mantisse, Exponent) ~> Mantisse*2^Exponent

Die für die Darstellung einer Gleitpunktzahl verwendete Anzahl von Bytes legt fest, ob man mit einfacher (Datentyp float) oder mit doppelter Genauigkeit (Datentyp double) arbeitet.

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Achtung Genauigkeitsverlust: Nicht jede Zahl ist als Gleitpunktzahl darstellbar. „Zahlenstrahl hat Lücken.“

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Zeichendarstellung

Speicherung von Text

– Text wird in binärer Codierung gespeichert

– Codes legen fest welche Bitfolge welches Zeichen bedeutet

– Sehr viele verschiedene Codes werden verwendet

– Achtung: einer Bitfolge sieht man nicht an, ob sie eine Zahl oder eine Zeichen (zB. einen Buchstaben) bedeutet.

– Zeichensatz: Bezeichnung für einer Codier-Regel: Welche Zeichen können dargestellt werden, Welche Bit-Sequenz repräsentiert ein bestimmtes Zeichen

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Zeichen- / Zahldarstellung

Alles ist eine Bit-Sequenz,

eine Bit-Sequenz kann vieles bedeuten

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0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0

A, B

65, 66

65, B

A, 66

16706

?

16961

41h

42h

41h ist ein Code für das Zeichen A

42h ist ein Code für das Zeichen B

41h = 65

d

42h = 66

d

4142h = 16706

d

4241h = 16961

d

(zudem werden Bytes oft stückweise „rückwärts“ eingelesen und interpretiert)

· · ·

· · ·

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Zeichendarstellung

Darstellung von Zeichen: ASCII-CodeDer ASCII-Code (American Standard for Coded Information Interchange) ist eine (recht alte) festgelegte Abbildungsvorschrift (Norm) zur binären Kodierung von Zeichen.

– Der ASCII-Code umfasst Klein-/Großbuchstaben des lateinischen Alphabets, (arabische) Ziffern und viele Sonderzeichen.

– Die Kodierung erfolgt in einem Byte (8 Bits), so dass mit dem ASCII-Code 256 verschiedene Zeichen dargestellt werden können.

– Da das erste Bit nicht vom Standard-ASCII-Code genutzt wird, können im Standard-ASCII-Code nur 128 Zeichen dargestellt werden. Unterschiedliche, speziell normierte, ASCII-Code-Erweiterungen nutzen das erste Bit, um weitere 128 Zeichen darstellen zu können.

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Zeichendarstellung

Darstellung von Zeichen: ASCII-Code

– Zeichenketten (Strings): Darstellung als Folgen von Zeichen

– Achtung Zeichen und Zahlen nicht verwechseln

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Hex Zeichen 20 SPACE

21 ! 22 „ … 30 0 31 1 … 40 @ 41 A ... 5a Z 5b [ … 61 a … 7a z 7b { 7c | 7d } 7e ~ 7f DEL

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Zeichendarstellung

Darstellung von Zeichen: Uni-CodeUni-Code: Der ASCII-Code mit seinen 256 Zeichen ist doch sehr begrenzt. Mit dem Unicode wurde ein Code eingeführt, in dem die Zeichen oder Elemente praktisch aller bekannten Schriftkulturen und Zeichensysteme festgehalten werden können. Der Unicode eines Zeichens ist als Folge von binären Werten definiert. Die Länge der Folge ist nicht fix. Eine Speicherung von Zeichen direkt in Unicode ist nicht üblich. Unicode ist die Basis für unterschiedliche kompaktere Speicherformate.

Uni-Code Beispiele:

– a ~> 0061h = 0000 0000 0110 0001

b

~ 1100001b = ASCII-Code(a)

~ 01100001b = ISO-8859-1(a) = Windows-1252/Western European/Latin-1(a)

– ä ~> 00E4h = 0000 0000 1110 0100

b

~ kein ASCII-Zeichen

~ 1110 0100b = ISO-8859-1(ä) = Windows-1252/Western European/Latin-1(ä)

– ğ ~ 011Fh = 0000 0001 0001 1111

b (türkisches weiches (yumuşak) g)

– ॐ ~ 2384h = 0010 0011 1000 0100

b (Sanskrit „Aum“)

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Zeichendarstellung

Uni-Code / Unicode Transformation Format (UTF)

Uni-Code Speicherung: Die Zeichenwerte der von Unicode erfassten Zeichen können auf unterschiedliche Art (und unterschiedlicher Ausdrucksmöglichkeit) abgespeichert werden:

UTF-8: 1 - 4 Byte Codierung (i.d.R. 1 Byte), kompatibel mit ASCII,Standard-Code im Internet.

UTF-16: 2 Byte Codierung , Standard in Java

– Beispiel 'y' Unicode 00000000 01111001UTF-8: 01111001UFT-16: 00000000 01111001

– Beispiel '€' Unicode: 00100000 10101100 UTF-8: 11100010 10000010 10101100 UTF-16: 00100000 10101100

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Zeichen und ihre binäre Codierung sind ein ewiges Thema (= Problem) in der IT. („Umlaute hat der Teufel gemacht“)

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Zeichen- und Zahldarstellung

Zusammenfassung Datenspeicherung

– Im Rechner sind alle Daten Bit-Folgen !

– Was eine Bit-Folge bedeutet muss „man“ wissen, bevor man sie interpretiert d.h. mit ihnen rechnet / sie druckt, auf dem Bildschirm anzeigt ...

– Zahlen und ihre verschiedenen Darstellungsarten Ganzzahl-Darstellung in verschiedenen Versionen und Längen, Gleitkomma-Darstellungen in verschiedenen Versionen und Längen

– Zeichen und ihre verschiedenen Darstellungsarten ASCII-Code:

Mutter aller Zeichencodierungen, 7 Bit-Code ISO 8859-1 / ISO-Latin-1 / Windows-1252 Westeuropäisch / …:

Diverse Erweiterungen des ASCII-Codes für west-europäische Sprachen, teilweise untereinander inkompatibel

Uni-CodeStandardisierung von Codes für alle Schriftsprachen

UFT-8, UTF-16 Unterschiedliche Speicherformate für die (teils sehr langen) Uni-Codes

Kurz: Zeichen im Computer sind eine sehr komplexe Angelegenheit

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Information

Informationsgehalt

Information messenInformation kann gemessen werden

Informationstheorie von C. Shannon (1916 – 2001)

Idee: Wie überraschend ist eine Nachricht / Mitteilung

überraschende Nachricht ~ berichtet über über unwahrscheinliches Ereignis

Basiseinheit der Information : 1 bit1 bit = Informationsgehalt einer Nachricht die über eine Entscheidung über

eine von zwei gleich wahrscheinlichen Möglichkeiten

berichtet

BeispieleIch habe eine gerade Zahl gewürfelt (Informationsgehalt 1 bit)

Das Mittagessen hat mir geschmeckt (Informationsgehalt 1 bit)

Gesten Mittag war es hell (Informationsgehalt 0 bit)

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Claude Shannon(Quelle: Wikipedia)

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Information

Informationsgehalt und Wahrscheinlichkeit

Je unwahrscheinlicher ein Nachricht ist, um so höher ist ihr InformationsgehaltIx Informationsgehalt der Nachricht (über das Eintreten) von Ereignis x

px Wahrscheinlichkeit des Auftretens von x

Ix = ld(1/p

x) bit

BeispieleIich habe eine gerade Zahl gewürfelt

= ld(1/(1/2)) bit = ld(2) bit = 1 bit

Iich habe eine 3 gewürfelt

= ld(1/(1/6)) bit = ld(6) bit = 2,5849625 bit

Idiese Dezimalziffer ist eine 5

= ld(1/(1/10)) bit = ld(10) bit = 3,3219280495

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Information

Bits und bits

1 Bit : 1 oder 0 / Eins von zwei möglichen Werten / Zuständen

1 bit : Informationsmaß ~ einer Entscheidung „Eins aus Zwei“

Informationsgehalt von einem Bit x: ld(1/p

x) bit

= ld(1/(1/2)) bit = ld(2) bit = 1 biteiner Hex-Ziffer x: ld(1/p

x) bit

= ld(1/(1/16)) bit = ld(16) bit = 4 bit

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Informationsgehalt eines Bytes?

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Daten- / Informationsübertragung

Geschwindigkeit der Informationsübertragung– Informationsfluss = Information pro Zeiteinheit

Maß für den Informationsfluss: bit / s (bps)

– Signalisierungsrate = Zahl der Signale pro ZeiteinheitMaß für die Signalisierungsrate: Signale / s (baud)

– Signalisierungsrate und InformationsflussInformationsfluss = Signalisierungsrate * (Informationsgehalt eines Zeichens)

– Beispiel 1 Sender legt alle 2 Sekunden eine Spannung an einem Draht an, oder nicht Empfänger misst alle 2 Sekunden die Spannung am anderen Ende Informationsgehalt eines Signals: 1 bit Signalisierungsrate: 0,5 baud Informationsfluss: 0,5 bit/s

– Beispiel 2 Sender legt 2-mal pro Sekunde eine Spannung mit den Pegeln -15V, -8V, -5V, -3V, 3V,

5V, 8V, 15V an einem Draht an Empfänger misst 2.mal pro Sekunden die Spannung am anderen Ende Informationsgehalt eines Signals: ? Signalisierungsrate: ? Informationsfluss: ?

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Daten- / Informationsübertragung

Nachrichten- / Informationsübertragung– Informationsübertragung :

Verändern der physikalischen Eigenschaften eines Mediums

– s = f(t) Das Signal (die signalisierende Eigenschaft des Mediums) ist stets eine Funktion der Zeit

– ÜbertragungskapazitätDie Kapazität einer Übertragungsstecke hängt ab von der

möglichen Anzahl der Signal pro Zeit (baud-Rate) der Anzahl der möglichen Signale (bit pro Signal)

– Herausforderung der DatenübertragungErzeugen von und Erkennen von Signalen

schnell: viele Wechsel / Messungen pro Sekunde, Sender und Empfänger im Takt! genau: mehr mögliche Signale erfordern genauere Messungen

– Problem der DatenübertragungPhysik setzt der Informationsübertragung Grenzen

Signalerzeugung benötigt Energie Medium schwächt Signale durch Umwandlung in Wärme Bandbreite des Übertragungswegs begrenzt Übertragungskapazität

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Daten- / Informationsübertragung

Nachrichten- / Informationsübertragung

– „Fourieranalyse der Natur“ :Fourier: Jede Schwingung setzt sich zusammen aus einer periodischen Grundschwingung und beliebig vielen Oberschwingungen mit immer höherer Frequenz

– Beschränkte Bandbreite Zunehmende Abschwächung der in einem Signal enthaltenen höheren Frequenzen verfälschen, verwischen das Signal

Ausgangssignal: exakt im Medium „zelegt“ in seine Frequenzanteile Abschwächung / Elimination der hohen Anteile Resultierendes Signal beim Empfänger: verwaschen, ungenau „Feinmessung“ des Signals nicht mehr möglich

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+5V+3V

-3V-5V

11 10 11 00 10 01

+5V+3V

-3V-5V

? ? ? ? ? ?