INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE WIATAwlf-info-platforma.wwsi.edu.pl/material/mdInfoPlus/... · INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE WIATA. PROGRAM NAUCZANIA

Moduł interdyscyplinarny informatyka ndash matematyka

Ciągi liczbowe i ich własności

Bronisław Pabich Agnieszka Rogalska

INFORMATYKAndash MOacuteJ SPOSOacuteB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA

PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTOacuteW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH

Człowiek - najlepsza inwestycja

Projekt wspoacutełfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

2

Tytuł Ciągi liczbowe i ich własności

Autor Bronisław Pabich Agnieszka Rogalska

Redaktor merytoryczny prof dr hab Maciej M Sysło

Materiał dydaktyczny opracowany w ramach projektu edukacyjnego Informatyka ndash moacutej sposoacuteb na poznanie i opisanie świata

Program nauczania informatyki z elementami przedmiotoacutew matematyczno-przyrodniczych

wwwinfo-pluswwsiedupl

infopluswwsiedupl

Wydawca Warszawska Wyższa Szkoła Informatykiul Lewartowskiego 17 00-169 Warszawa

wwwwwsieduplrektoratwwsiedupl

Projekt graficzny Marzena Kamasa

Warszawa 2013Copyright copy Warszawska Wyższa Szkoła Informatyki 2013

Publikacja nie jest przeznaczona do sprzedaży



3

SCENARIUSZ TEMAT YCZNY

CIągI lICZbowE I ICh włASNośCI

MATEMATYKA ndash poZIoM podSTAwowY

OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU

INFORMATYKA ndash MOacuteJ SPOSOacuteB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATAPROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI

Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTOacuteW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH

Streszczenie

Moduł ten dotyczy nauczania o ciągach przy użyciu programoacutew komputerowych Excel i GeoGebra Umożliwiają one wizualizację ciągu sposoboacutew jego opisywania i prezentacji graficznej Dzięki interaktywnym apletom GeoGebry uczeń może samodzielnie poznawać nietypowe ciągi i rozwiązywać nietypowe zadania uczące logicznego myślenia i deduko-wania co jest pewną formą uzupełnienia jego szkolnej edukacji

Scenariusz zawiera opis merytoryczny i dydaktyczny kilku lekcji poświęconych ciągom po-znawanym przez ucznioacutew szkoacuteł ponadgimnazjalnych

Czas realizacji

10 x 45 minut + test

Tematy lekcji

1 Definicja ciągu liczbowego

2 Sposoby określania ciągoacutew liczbowych

3 Sposoby prezentacji ciągoacutew liczbowych

4 Monotoniczność ciągoacutew liczbowych

5 Prezentacja ciągoacutew w arkuszu kalkulacyjnym Excel

6 Wykresy ciągoacutew w arkuszu Excel

7 Badanie ciągoacutew w programie GeoGebra

8 Ciąg arytmetyczny

9 Ciąg geometryczny

10 Ciągi i średnie statystyczne

4

LEKCJA NR 1TEMAT DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO

StreszczenieNa początku lekcji pojawia się definicja ciągu jako funkcji określonej na zbiorze liczb naturalnych i wyja-śnianie tego pojęcia na przykładach W celu przybliżenia uczniom tego terminu posługujemy się grafem Venna funkcji liczbowej (jest on wprowadzony w postaci zbioru dziedziny i zbioru przeciwdziedziny) Są tu roacutewnież przykłady wyznaczania dowolnego wyrazu ciągu liczbowego

Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)

Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne

I Wykorzystanie i tworzenie informacji

III Modelowanie matematyczne

Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)


III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego

IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań

Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe

51 Pojęcie ciągu liczbowego wyraz ciągu i zapis wzoru ciągu umiejętność wyznaczania dowolnego wyrazu ciągu liczbowego określonego wzorem ogoacutelnym

Cele kształcenia ndash poznawcze

y poznawanie nowego pojęcia matematyki na bazie znanych pojęć z algebry

y przygotowanie ucznioacutew do samodzielnego studiowania matematyki

y wizualizacja ciągoacutew przy użyciu programu GeoGebra

y wizualizacja pojęć abstrakcyjnych np wyjaśnienie symboliki wprowadzonej dla dowolnego k-tego wyrazu ciągu i jego zapis

CelW nawiązaniu do pojęcia funkcji uczniowie poznają przez analogię definicje związane z ciągiem

Słowa kluczowedziedzina ciągu wyraz ciągu wzoacuter ciągu

5

Co przygotować Przebieg zajęć

y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 4-13) wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezen-tacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji

y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew

Gify animowane 01Agif 01Bgif 02Agif 02Bgif

Pliki GeoGebry 01Aggb 01Bggb 02Aggb 02Bggb

Uwaga

Aby uczeń moacutegł pracować z plikami GeoGebry powinien pobrać ten program z Interentu np ze strony httpwwwgeogebraorgcmspldownload i zainstalowac go na swoim komputerze

6

LEKCJA NR 2TEMAT SPOSOBY OKREŚLANIA CIĄGOacuteW LICZBOWYCH

StreszczeniePoza popularną metodą stosowania wzoroacutew funkcyjnych ciągu uczniowie poznają inne nietypowe spo-sobny określania ciągoacutew w tym

y opis słowny ciągu liczbowego

y wzoacuter algebraiczny

y wzoacuter rekurencyjny

Ukazana jest możliwość uzyskania ze wzoru rekurencyjnego wzoru algebraicznego

Przy okazji opisu słownego pojawia się ciąg znany w matematyce jako ciąg Collatza ktoacuterego własność jest do dziś nie zbadana i nie udowodniona




II Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji



II Wyszukiwanie gromadzenie i przetwarzanie informacji z roacuteżnych źroacutedeł opracowywanie za pomocą komputera rysunkoacutew tekstoacutew danych liczbowych motywoacutew animacji prezentacji multimedialnych



51 Wykres ciągu w układzie wspoacutełrzędnych jako wykres funkcji

43 Tworzenie grafiki w programie komputerowym


y Poznawanie

ndash ciągoacutew ktoacuterych nie da się opisać wzorem algebraicznym

ndash metod przechodzenia ze wzoru rekurencyjnego do wzoru algebraicznego

ndash przykładu ciągu ktoacuterego nie da się opisać wzorem rekurencyjnym

y Zainteresowanie ucznioacutew matematyką poprzez pokazanie problemu nierozstrzygniętego przez ma-tematykoacutew za rozwiązanie ktoacuterego wyznaczona jest wysoka nagroda

Słowa kluczowewykres ciągu graficzna prezentacja ciągu

7


y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 14-17) wzbogacona przykładami ilustrującymi roacuteżne sposoby uzyskiwania ciągu i odczytywanie tymi sposobami wartości wyrazoacutew ciągu W prezentacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji


Gify animowane 06Agif 06Bgif

8

LEKCJA NR 3TEMAT METODY PREZENTACJI CIĄGOacuteW LICZBOWYCH

StreszczeniePrezentacja graficzna ciągoacutew liczbowych jako bardziej przejrzysta niż prezentacja algebraiczna nawiązuje do tradycyjnych wykresoacutew funkcji Uczeń kojarzy dziedzinę ciągu z wykresem punktowym określonym dla argumentoacutew będących zbiorem liczb naturalnych Dostrzega roacutewnież własności ciągoacutew ktoacuterych nie widział dotychczas posługując się wzorami ciągoacutew Jest to przygotowanie do badania monotoniczności

Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)









51 Prezentowanie ciągoacutew liczbowych przez wypisywanie ich wyrazoacutew wykresy graficzne i wykres na osi liczbowej jako punkty ktoacuterych odcięte są wartościami ciągu


y nabycie umiejętności tworzenia wykresoacutew funkcji

y poznanie prezentacji ciągu na osi liczbowej ktoacutera nie ma odpowiednika w kreśleniu wykresoacutew funkcji

y zwroacutecenie uwagi na odczytywanie własności ciągu na podstawie jego wykresu


Wykres ciągu liczbowego wyrazu ciągu liczbowego własności ciągoacutew

Słowa kluczowewykres ciągu w układzie wspoacutełrzędnych wykres ciągu na osi liczbowej

9


y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 28-35) wzbogacona przykładami ilustrującymi prezentowanie ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu na osi liczbowej OY lub jako od-cięte punktoacutew na osi OX W prezentacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji


Gify animowane 02Cgif 02Dgif

10

LEKCJA NR 4TEMAT MONOTONICZNOŚĆ CIĄGOacuteW LICZBOWYCH

StreszczeniePrezentacja graficzna ciągoacutew liczbowych pozwala dostrzec monotoniczność ciągu i określenie warunku wzrastania i malenia ciągu liczbowego Uczeń poznaje po wykresie czy dany ciąg jest monotoniczny Jest roacutewnież przykład sprawdzania rachunkowego czy ciąg jest rosnący




IV Użycie i tworzenie strategii






52 Wzrastanie i malenie ciągu


y odkrycie wzrastania i malenia ciągu na podstawie jego wykresu

y odnalezienie warunku algebraicznego na monotoniczność ciągu

y poznanie metody rachunkowej badania monotoniczności ciągu


Wzrastanie malenie monotoniczności ciągu liczbowego ciąg stały

Słowa kluczowewzrastanie malenie monotoniczności ciągu i ciąg stały


y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 36-46 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezentacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji


Gify animowane 01Cgif 04Agif 04Cgif 03Agif 03Bgif 05Agif 05Bgif

Filmy 1 ndash monot 01avi 2 ndash monot 02avi

11

LEKCJA NR 5TEMAT PREZENTACJA CIĄGOacuteW LICZBOWYCH W ARKUSZU EXCEL

StreszczenieNiniejszy temat lekcji daje możliwość wykorzystania wiedzy z informatyki i przypomnienia sobie w jaki sposoacuteb umieszcza się ciągi liczbowe w arkuszu Excel Wykorzystując arkusz mogą odkryć ważną wła-sność ciągu Fibonacciego mianowicie zauważają że stosunek dowolnego wyrazu ciągu Fibonacciego do wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego zbliża się do pewnej stałej liczby ktoacuterej przybliżenie wzrasta w miarę wzrastania liczby n Jest tu okazja by wspomnieć o złotej liczbie ktoacutera nie tylko w matematyce ale w wielu innych dziedzinach życia odgrywa ważną rolę Ponadto uczniowie odkrywają że własność ciągu Fibonacciego można uogoacutelnić na wszystkie inne ciągi ktoacuterych wyrazy tworzymy jako sumę dwoacutech poprzednich wyrazoacutew ciągu (za wyjątkiem pierwszego i drugiego)




V Rozumowanie i argumentacja





52 Ciągi liczbowe i ich granice

Przykład ciągu Fibonacciego jako ciągu o interesujących własnościach geometrycznych


y powiązanie znajomości narzędzia GeoGebra z problemami matematyki

y przypomnienie arkusza Excel by go zastosować do badania ciągoacutew

y odkrycie własności ciągu Fibonacciego

y poznanie funkcji Excela Zaokrdocałk lub funkcji MOD

y ukazanie jak można uogoacutelnić ciąg Fibonacciego na dowolny ciąg do niego podobny i sprawdzenie czy nadal spełnia te same własności

y nawiązanie intuicyjne do pojęcia granicy

Słowa kluczowewykres ciągu w arkuszu Excel odczytywanie własności ciągoacutew na ekranie komputera

12


y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 47-61 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezentacji zamieszczone są ko-lejne kroki lekcji

y Do prezentacji należy się zapoznać z plikami GeoGebry ktoacuterych opis znajduje się w pliku pre-zentacji

13

LEKCJA NR 6TEMAT BADANIE CIĄGOacuteW W PROGRAMIE GEOGEBRA

StreszczeniePo poznaniu prezentacji ciągoacutew w arkuszu kalkulacyjnym przychodzi kolej na prezentację graficzną ciągu liczbowego Ciąg liczbowy jako specyficzna funkcja powinna być w arkuszu prezentowana jako wykres XY W pierwszej części lekcji uczniowie przypominają sobie metodę wykreślania wykresu funkcji w arku-szu Utrwalają sobie przy tym sposoacuteb formatowania wykresoacutew ustalają zakresy dziedziny i zbioacuter warto-ści opisują osie itp








51 Ciągi liczbowe i ich prezentacja komputerowa

Korelacja z informatyką poprzez kreowanie wykresoacutew ciągoacutew na komputerze


y ukazanie jak narzędzie informatyczne może być wykorzystane na lekcjach matematyki

y nabycie umiejętności edytowania wykresoacutew i dostosowania arkusza do rozmaitych nietypowych ciągoacutew

y poznanie sposoboacutew tworzenia wykresoacutew ciągoacutew w arkuszu Excel

Słowa kluczowewykres ciągu w arkuszu Excel odczytywanie własności w arkuszu


y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 62-69 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezen-tacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji

14

LEKCJA NR 7TEMAT WYKRESY CIĄGOacuteW LICZBOWYCH W PROGRAMIE GEOGEBRA

StreszczenieW tej lekcji uczniowie mają okazję skonfrontować ze sobą dwie metody prezentacji ciągoacutew w arkuszu Ex-cel i w programie GeoGebra Poznają przy tym zupełnie inny sposoacuteb prezentacji ciągu poprzez przygo-towanie całej aplikacji w programie GeoGebra Program ten ze względu na ogoacutelną dostępność (jest to program Open Source) pozwala kontynuować lekcję w domu na swoim komputerze gdzie uczeń może sprawdzić przykłady z lekcji i rozwiązywać samodzielnie zadania

Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy i rozszerzony)







5 Ciągi

51 Badanie własności ciągoacutew przy wykorzystaniu programu GeoGebra


y ukazanie możliwości programu GeoGebra w wyszukiwaniu liczb trzycyfrowych spełniających pewną własność

y przygotowanie ucznioacutew do samodzielnych badań szczegoacutelnych ciągoacutew za pomocą GeoGebry

y zapoznanie ucznioacutew z funkcjami niezbędnymi do odkrywania i badania teorii liczb

Słowa kluczoweGeoGebra ciąg sum sześcianoacutew cyfr liczby trzycyfrowej ciąg Collatza


y Na początku lekcji uczniowie powinni obejrzeć film instruktażowy o wykorzystaniu programu GeoGebra do prezentowania ciągoacutew liczbowych w układzie wspoacutełrzędnych

y Następnie realizujemy kolejne kroki prezentacji bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 70-77) opisującej spo-soacuteb wykorzystania programu GeoGebra do badania ciekawych ciągoacutew liczbowych

y Do prezentacji dołączone są pliki

Gify animowane 09gif

Filmy ndash tutoriale 3 ndash 01avi 4 ndash 02avi 5 ndash 03avi

15

LEKCJA NR 8TEMAT CIĄG ARYTMETYCZNY

StreszczenieLekcja rozpoczyna się od znanych z poprzednich lekcji przykładoacutew wybranych ciągoacutew Następnie okre-ślany jest ciąg arytmetyczny jako ciąg o specyficznych własnościach Kolejnym etapem zajęć jest doprowa-dzenie ucznioacutew do odkrycia wzoru na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego a następnie zdefiniowania warunkoacutew wzrastania i malenia ciągu arytmetycznego Lekcję kończy wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego wraz z akcentem historycznym związanym z tym wzorem











5 Ciągi

52 53 ndash ciąg arytmetyczny jego n-ty wyraz i suma jego kolejnych wyrazoacutew i inne jego własności


y odkrycie własności ciągu arytmetycznego i wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n-kolejnych wyra-zoacutew tego ciągu

y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania zadań typowych na egzaminie dojrzałości

y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry poprzez wizualizację geometryczną twierdzeń

Słowa kluczoweciąg arytmetyczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego

16


y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 78-87)

Należy zwroacutecić uwagę na animacje mające na celu odkrycie przez ucznioacutew ważnych wzoroacutew Na-leży utrwalić poznane pojęcia i wzory uzupełniając lekcję tradycyjnymi zadaniami


Gify animowane 06Cgif 10Agif 10Bgif

17

LEKCJA NR 9TEMAT CIĄG GEOMETRYCZNY

StreszczenieCiąg geometryczny jest pewną analogią ciągu arytmetycznego Na przykład wzoacuter na n-ty wyraz ciągu geometrycznego jest analogią tego samego wzoru dla ciągu arytmetycznego w ktoacuterym dodawanie jest zastąpione mnożeniem a mnożenie potęgowaniem Lekcja zawiera roacutewnież akcenty wizualizacji jednego z twierdzeń (n-ty wyraz ciągu geometrycznego) oraz przykłady umożliwiające uczniowi odkryć warunki wzrastania i malenia ciągu geometrycznego











5 Ciągi

54 ciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego


y pokazanie na bazie obiektoacutew geometrycznych i graficznych jak można odkrywać własności ciągu geometrycznego

y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania typowych zadań na egzaminie dojrzałości

y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry

y odkrywanie poprzez eksperymenty warunkoacutew monotoniczności ciągu geometrycznego

Słowa kluczoweciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu geometrycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego

18


y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 88-104) ilustruje animacjami wpływ wartości a1 i q na rodzaje

monotoniczności ciągu geometrycznego Lekcję należy uzupełnić zadaniami rachunkowymi z wykorzystaniem wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n pierwszych kolejnych wyrazoacutew ciągu


Gify animowane 07Agif 07Bgif 11Agif 11Bgif 11Cgif 11Dgif 11Egif 11Fgif 11Ggif

19

LEKCJA NR 10TEMAT CIĄGI I ŚREDNIE STATYSTYCZNE

StreszczenieCiąg geometryczny i arytmetyczny mają wiele wspoacutelnego z pojęciami średniej arytmetycznej i geome-trycznej Lekcja ta ma na celu ukazanie tego powiązania i wprowadzenia tych średnich Ponadto przed-stawiona jest średnia harmoniczna i związek (nieroacutewność) jaki zachodzi pomiędzy tymi trzema średnimi Lekcję kończą dwa dowody ndash algebraiczny i geometryczny poznanej nieroacutewności











5 Ciągi liczbowe

10 Elementy statystyki opisowej

101 Średnie statystyczne i nieroacutewność pomiędzy nimi


y pokazanie uczniom w jaki sposoacuteb komputer pozwala prezentować dane statystyczne

y poznanie trzech średnich i związkoacutew między nimi

y wizualizacja geometryczna nieroacutewności średnich statystycznych

Słowa kluczoweśrednia arytmetyczna średnia geometryczna średnia harmoniczna

20


y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 105-123) Należy zwroacutecić uwagę na dowoacuted nieroacutewności a szczegoacutelnie dowoacuted geometryczny znanej nieroacutewności pomiędzy średnimi statystycznymi


Filmy 6 ndash dowoacuted1avi 7 ndash dowoacuted2avi 8 ndash metoda_geomavi

21

Pliki do wszystkich lekcji

1 Prezentacja

2 Zadania

3 Test

4 Materiały pomocnicze (gify)

5 Filmy 1-8



2

Tytuł Ciągi liczbowe i ich własności

Autor Bronisław Pabich Agnieszka Rogalska

Redaktor merytoryczny prof dr hab Maciej M Sysło

Materiał dydaktyczny opracowany w ramach projektu edukacyjnego Informatyka ndash moacutej sposoacuteb na poznanie i opisanie świata

Program nauczania informatyki z elementami przedmiotoacutew matematyczno-przyrodniczych

wwwinfo-pluswwsiedupl

infopluswwsiedupl

Wydawca Warszawska Wyższa Szkoła Informatykiul Lewartowskiego 17 00-169 Warszawa

wwwwwsieduplrektoratwwsiedupl

Projekt graficzny Marzena Kamasa

Warszawa 2013Copyright copy Warszawska Wyższa Szkoła Informatyki 2013

Publikacja nie jest przeznaczona do sprzedaży



3







Streszczenie



Czas realizacji


Tematy lekcji











4




















5






Uwaga


6




















y Poznawanie






7





8




















9





10

























11





















12




13



















14










5 Ciągi













15













5 Ciągi







16






17













5 Ciągi








18






19













5 Ciągi liczbowe








20





21


1 Prezentacja

2 Zadania

3 Test


5 Filmy 1-8



3







Streszczenie



Czas realizacji


Tematy lekcji











4




















5






Uwaga


6




















y Poznawanie






7





8




















9





10

























11





















12




13



















14










5 Ciągi













15













5 Ciągi







16






17













5 Ciągi








18






19













5 Ciągi liczbowe








20





21


1 Prezentacja

2 Zadania

3 Test


5 Filmy 1-8



4




















5






Uwaga


6




















y Poznawanie






7





8




















9





10

























11





















12




13



















14










5 Ciągi













15













5 Ciągi







16






17













5 Ciągi








18






19













5 Ciągi liczbowe








20





21


1 Prezentacja

2 Zadania

3 Test


5 Filmy 1-8



5






Uwaga


6




















y Poznawanie






7





8




















9





10

























11





















12




13



















14










5 Ciągi













15













5 Ciągi







16






17













5 Ciągi








18






19













5 Ciągi liczbowe








20





21


1 Prezentacja

2 Zadania

3 Test


5 Filmy 1-8



6




















y Poznawanie






7





8




















9





10

























11





















12




13



















14










5 Ciągi













15













5 Ciągi







16






17













5 Ciągi








18






19













5 Ciągi liczbowe








20





21


1 Prezentacja

2 Zadania

3 Test


5 Filmy 1-8



7





8




















9





10

























11





















12




13



















14










5 Ciągi













15













5 Ciągi







16






17













5 Ciągi








18






19













5 Ciągi liczbowe








20





21


1 Prezentacja

2 Zadania

3 Test


5 Filmy 1-8



8




















9





10

























11





















12




13



















14










5 Ciągi













15













5 Ciągi







16






17













5 Ciągi








18






19













5 Ciągi liczbowe








20





21


1 Prezentacja

2 Zadania

3 Test


5 Filmy 1-8



9





10

























11





















12




13



















14










5 Ciągi













15













5 Ciągi







16






17













5 Ciągi








18






19













5 Ciągi liczbowe








20





21


1 Prezentacja

2 Zadania

3 Test


5 Filmy 1-8



10

























11





















12




13



















14










5 Ciągi













15













5 Ciągi







16






17













5 Ciągi








18






19













5 Ciągi liczbowe








20





21


1 Prezentacja

2 Zadania

3 Test


5 Filmy 1-8



11





















12




13



















14










5 Ciągi













15













5 Ciągi







16






17













5 Ciągi








18






19













5 Ciągi liczbowe








20





21


1 Prezentacja

2 Zadania

3 Test


5 Filmy 1-8



12




13



















14










5 Ciągi













15













5 Ciągi







16






17













5 Ciągi








18






19













5 Ciągi liczbowe








20





21


1 Prezentacja

2 Zadania

3 Test


5 Filmy 1-8



13



















14










5 Ciągi













15













5 Ciągi







16






17













5 Ciągi








18






19













5 Ciągi liczbowe








20





21


1 Prezentacja

2 Zadania

3 Test


5 Filmy 1-8



14










5 Ciągi













15













5 Ciągi







16






17













5 Ciągi








18






19













5 Ciągi liczbowe








20





21


1 Prezentacja

2 Zadania

3 Test


5 Filmy 1-8



15













5 Ciągi







16






17













5 Ciągi








18






19













5 Ciągi liczbowe








20





21


1 Prezentacja

2 Zadania

3 Test


5 Filmy 1-8



16






17













5 Ciągi








18






19













5 Ciągi liczbowe








20





21


1 Prezentacja

2 Zadania

3 Test


5 Filmy 1-8



17













5 Ciągi








18






19













5 Ciągi liczbowe








20





21


1 Prezentacja

2 Zadania

3 Test


5 Filmy 1-8



18






19













5 Ciągi liczbowe








20





21


1 Prezentacja

2 Zadania

3 Test


5 Filmy 1-8



19













5 Ciągi liczbowe








20





21


1 Prezentacja

2 Zadania

3 Test


5 Filmy 1-8



20





21


1 Prezentacja

2 Zadania

3 Test


5 Filmy 1-8



21


1 Prezentacja

2 Zadania

3 Test


5 Filmy 1-8





Documents

INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE WIATAwlf-info-platforma.wwsi.edu.pl/material/mdInfoPlus/... · INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE WIATA. PROGRAM NAUCZANIA