UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA

SEDE GUAYAQUIL

NOMBRE DEL PROYECTO:

CORRELACION, AUTOCORRELACIÓN Y CORRELACIÓN CRUZADA.

INTEGRANTES:

SOLIS ORRALA MICHAEL

TRELLES SUAREZ JAIR

VASQUEZ GUILLEN CINTHIA

CARRERA:

INGENIERÍA ELÉCTRICA

MATERIA:

SEÑALES Y SISTEMAS

DOCENTE:

ING. DAVID CARDENAS.

AÑO:

AGOSTO 2014

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INDICE

1. Objetivos……………………………………………….……….…...3

2. Desarrollo……………………………………………….………..….3

3. Conclusiones…………………………………………………....….11

4. Bibliografía……………………………………………………...…11

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OBJETIVOS.

OBJETIVO GENERALResolución de ejercicios por medio del tema correlación, correlación cruzada de señales discretas por medio de tablas de información.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Conocer los tres tipos de correlación para señales. Conocer propiedades de la autocorrelación y aplicar la correlación y

correlación cruzada en ejercicios propuestos. Observar las distintas aplicaciones de la correlación cruzada en

señales discretas.

DESARROLLO:

1. Correlación

Es frecuentemente necesario tener la posibilidad de cuantificar el grado de interdependencia de un proceso por encima de otro, o establecer la similitud entre un conjunto de datos y otro. La correlación puede ser definida matemáticamente y por ende cuantificada. Su rango de aplicación en el análisis de señal es vasto, por ejemplo en el radar cuando se desea encontrar el rango y la posición en la cual las formas de onda son transmitidas y comparadas.

También se puede encontrar como parte integral de la técnica de estimación de los mínimos cuadrados, en el cálculo de la potencia promedio de señales.

El proceso de convolución es en esencia una correlación en la cual una de las señales ha sido invertida con relación al eje de las abscisas.

FORMA DE RESOLVER EJERCICIOS DE CORRELACION

En la práctica cuando dos formas de onda están correlacionadas su relación de fase probablemente no es conocida así que la correlación será calculada por un número de recorridos hasta alcanzar el valor más grande de correlación, el cual será tomado como el correcto.

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Considerar la correlación de las dos secuencias anteriores x1(n) y x2(n). Por tanto:

CORRELACIÓN CÍCLICA DE SEÑALES PERIÓDICAS:

secuencia veces rab(j)

R

O

T

A

C

I

Ó

N

4 3 1 6

3 5 2 3 0 47

5 2 3 5 1 59

2 3 5 2 2 34

3 5 2 3 3 47

5 2 3 5 4 59

etc….

4

r12=19

(−45+8+16−24−4−6−5+8+15 )

¿1 .222

CORRELACIÓN LINEAL DE SEÑALES PERIÓDICAS:

Secuencia rab(j) rab(j) se repite

4 3 1 6 0 0

5 2 3 0 0 0 0 29

2 3 0 0 0 5 1 17

3 0 0 0 5 2 2 12

0 0 0 5 2 3 3 30

0 0 5 2 3 0 4 17

0 5 2 3 0 0 5 35

5 2 3 0 0 0 6 29

etc.

Ejercicio en Matlab sobre Correlación:

>> x1

x1 =

0 3.0000 5.0000 5.0000 5.0000 2.0000 0.5000 0.2500 0

>> x2

x2 =

1 1 1 1 1 0 0 0 1

>> xcorr (x1,x2)

ans =

Columns 1 through 12

0.0000 3.0000 5.0000 5.0000 5.0000 5.0000 8.5000 13.2500 18.0000 20.0000 17.5000 12.7500

Columns 13 through 17

7.7500 2.7500 0.7500 0.2500 0.0000

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2. Autocorrelación

La autocorrelación es una herramienta matemática utilizada frecuentemente en el procesado de señales.

La función de autocorrelación se define como la correlación cruzada de la señal consigo misma. La función de autocorrelación resulta de gran utilidad para encontrar patrones repetitivos dentro de una señal, como por ejemplo, la periodicidad de una señal enmascarada bajo el ruido o para identificar la frecuencia fundamental de una señal que no contiene dicha componente, pero aparecen numerosas frecuencias armónicas de esta.

Propiedades:

Definiremos las propiedades de la autocorrelación unidimensional. La mayoría de sus propiedades son extensibles fácilmente a los casos multidimensionales.

Simetría: R(i) = R(−i),

La función de autocorrelación alcanza un valor máximo en el origen, donde alcanza un valor real. El mismo resultado puede encontrarse en el caso discreto.

Como la autocorrelación es un tipo específico de correlación mantiene todas las propiedades de la correlación.

La autocorrelación de una señal de ruido blanco tendrá un fuerte pico en τ = 0 y valores cercanos a cero y sin ninguna estructura para cualquier otro τ. Esto muestra que el ruido blanco carece de periodicidad.

Según el teorema de Wiener-Khinchin, la función de autocorrelación es la transformada inversa de Fourier de la densidad espectral:

Igualmente, el espectro se relaciona con la función de autocorrelación:

6

La consecuencia es que la señal puede expresarse indistintamente en el dominio del tiempo (t) o el dominio de las frecuencias (f), al existir esta correspondencia entre ambos, y entendiendo que la señal está completamente determinada a partir del total de sus momentos o del total de sus frecuencias.

3. Correlación Cruzada

Descripción de la correlación:

Consideremos la necesidad de comparar dos señales x1[n] y x2[n] de la misma longitud N.

Una medida de la correlación existente entre ambas señales puede efectuarse mediante la suma de los productos de los correspondientes pares de puntos mediante la expresión conocida como correlación cruzada.

Un resultado negativo en   c12   indica una correlación negativa .

EJERCICIO 1

Calcular la correlación cruzada de las secuencias definidas por: 

  

7

=  [4. (-4) + 2 

.1 + (-1)

. (3) + 3

. 7 + (-2)

. 4 + (-6)

. (-2)  

+ (-5). (-8) + 4

. (-2) + 5

. 1] = 5

En otros casos existen problemas que para resolver los es necesario rotar o retrasar una de las señales respecto de la otra.

EJERCICIO 2

Calcular la correlación cruzada de las secuencias definidas por:

Si se transforman cuando x2 [n] se retrasa k = 3 intervalos

El nuevo muestreo con el retraso en x2 [n]  es:

8

La señal x2 [n] se retrasa o rota a la

izquierda k intervalos de muestreo. Otra alternativa equivalente es

rotar x1 [n] a la derecha.

Con retraso k = 3 la  nueva correlación cruzada  es: 

 =  [4. 7 + 2 .4 + (-1). (-2) + 3. (-8) + (-2). (-2) + 

+ (-6). 1]  = 1.3333

APLICACIÓN EN SEÑALES DISCRETAS

EJERCICIO 3

Realice para la correlación que se retrase -1 a x2[n] y x4[n]:

Como puede apreciarse en la tabla las señales x1[n] y x3[n] tienen la misma forma diferenciándose en un factor de escala.

Lo mismo sucede con las señales x2[n] y x4[n] , por lo tanto, por significado teórico,  la correlación  entre las señales {x1[n] x2[n] } y {x3[n] x4[n] } debe ser la misma.

Sin embargo si se aplican las expresiones

Se obtienen resultados distintos. Esta situación se corrige normalizando la correlación cruzada c12 [k] por el factor:

Y de forma similar para   c 34[k]

9

= 

La versión normalizada de c12[k] es por lo tanto:

El término  se conoce como coeficiente de la correlación cruzada.

Su valor está comprendido entre +1 y -1. El valor +1 significa un 100% de correlación El valor -1 significa un 100% de correlación en oposición de

fase. Un valor cero significa que no existe correlación y por lo tanto

las dos señales son completamente independientes.

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Para c12 [k] 

 

Para c34 [k] 

    Por lo tanto   ; 

CONCLUSIONES.

La correlación es una operación a nivel de sistemas que nos permite encontrar la forma en la que una o varias señales cambian con relación al índice de tiempo que se esté tratando.

Mediante lo expuesto en este trabajo podemos darnos cuenta sobre lo interesante de correlación, autocorrelación y correlación cruzada de señales discretas.

Deducimos que mediante del procesamiento de señales, la correlación cruzada (o "covarianza cruzada") es una medida de la similitud entre dos señales, frecuentemente usada para encontrar características relevantes en una señal desconocida por medio de la comparación con otra que sí se conoce.

La correlación podemos encontrarla más fácilmente como una convolución con la señal que se desplaza en el eje.

Es necesario conocer y recordar las formulas de la correlación y correlación cruzada para así poder resolver los ejercicios propuestos y no tener dificultad al resolverlo.

BIBLIOGRAFIA.

Iván Morán, Correlación Cruzada, [en línea], 21 Agosto del 2014,Dirección URL: http://www.ehu.es/Procesadodesenales/tema8/corre1.html

Ophenheim, Señales y Sistemas, Correlación cruzada de señales discretas, [en línea], 22 Agosto del 2014, Dirección URL: http://books.google.com.ec/books?id=g2750K3PxRYC&pg=PA168&lpg=PA168&dq=correlacion+cruzada+de+se%C3%B1ales+discretas&source=bl&ots=f-IIknjj5K&sig=qU5YAj8eRcX-6k_RErgKIWvMh_E&hl=es-419&sa=X&ei=9DD4U62hJfHNsQS0hoL4AQ&ved=0CDsQ6AEwBg#v=onepage&q=correlacion%20cruzada%20de%20se%C3%B1ales%20discretas&f=false

Correlación, [en línea], 21 Agosto del 2014, Dirección URL: http://www6.uniovi.es/vision/intro/node30.html

Correlación de señales, PDF,[En línea], 21 Agosto del 2014, Dirección URL: http://ocw.upc.edu/sites/default/files/materials/15011906/tema4_correlaci-2742.

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