Ing Control

INGENIERIA DE CONTROL 2014

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍAFACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

INDICE

1 CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS DE CONTROL..…………………….………………….

1.1 Conceptos básicos de los sistemas de Control..…………………………………..……

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1.1.1 Características del Control……………..……………………………………….…..

1.1.2 Términos mas usados en la Ingeniería de Control…………………………….…

1.1.3 Clasificación de los sistemas de Control…………………………………………

1.2 Objetivos de los sistemas de Control…………………………………………………….…

1.3 Áreas de Utilización……………………………………………….…………………………….

1.4 Bloques en un sistema de control………….………………….…………………………..….

1.5 Resumen……………………………………….………………………………..…………….…...

Laboratorio Numero 1……………………………………………………………..……………………

2 SISTEMAS LINEALES……………………………………………….………..………………………

2.1 Sistemas Lineales…….……………………………………………….…………………………

2.2 Transformada de Laplace………………………………………………….……………………

2.2.1 Transformación de Laplace de algunas funciones……….…………………………

2.2.2 Tabla de transformada de Laplace……………………………….……………………

2.2.3 Propiedades de la Transformación de Laplace………….…………………………

2.2.4 Transformada Inversa de Laplace……………………………….……………………

Laboratorio Numero 2…………………………………………………………………………

3 MODELAMIENTO DE SISTEMAS………………………….………………………….…………

3.1 Modelado Teórico…………………………………………………………………...………..

3.1.1 Sistemas mecánicos………………………………………………………...………..

3.1.1.1 Sistemas mecánicos de traslación…………………………………………….

3.1.1.2 Sistemas mecánicos de Rotación……………………………………………….

3.1.2 Sistemas Eléctricos…………………………………………………………...………..

3.1.3 Sistemas Térmicos…………………………………………………………...………..

3.1.4 Sistemas de Nivel…………………………………………………………...………..

3.1.5 Sistemas de Concentración………………………………………………...………..

3.1.6 Sistema de transporte………………………………………………………...………..

4 FUNCIONDE TRANSFERENCIA Y ECUACIONES DE ESPACIOS DE ESTADOS….………

4.1 Modelado de sistemas (Continuación)……………………………………………..………

4.2 Función de Transferencia….……………………………………………………….…………

4.3 Ecuaciones de espacios de Estados………………………………………………………….

Laboratorio Numero 4……………..……………………………………………………………………

5 ANALISIS DE SISTEMAS DE CONTROL Y SISTEMAS REALIMENTADOS…………………

5.1 Sistemas de Primer Orden………………………………….……………………………………

5.2 Sistemas de segundo orden………………………………………………………..…………….

5.3 Propiedades de los sistemas realimentados……………………….……………....…………

5.4 Laboratorio Numero 5…………………………………………………………….………..………

6 FUNCION DE TRANSFERENCIA DE UN MOTOR DE CORRIENTE DIRECTA…..…………….

6.1 Análisis del motor de Corriente Directa.……….……………………………………

6.2 Modelo de la parte Mecánica……………..………………………………………………………

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7 LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES……………………………………………………………

7.1 Criterio de Routh……………………………………….…………………………………………

Problemas propuestos de Routh……………………………………………………………………

7.2 Lugar Geométrico de las Raíces………………………………………….……………………

7.2.1 Representación Gráfica…………….………..…………………………………………

7.2.2 Método geométrico lugar de las raíces………………………………………………..

7.2.3 Reglas del lugar geométrico de las raíces…………………………………………….

Laboratorio Numero 7…………………………………….…………………………………………………

8 GRAFICOS DE BODE…………………………………….……………………………………………….

8.1 Señales Sinusoidales en sistemas lineales…………………………………………………..

8.2 Diagramas de Bode……………………………..………………………………………………….

Laboratorio Numero 8………………………………………………………………………………….….

9 DISEÑO DE REGULADORES…………………………………………………………………………..

9.1 Reguladores PID…………………………………………………………………………………….

9.2 Dimensionamiento de Reguladores en el campo de las frecuencias……………………

9.3 Ejemplo de Aplicación……………………………………………………………………………..

9.4 Laboratorio numero 9……………………………………………………………………………….

10 REPRESENTACION EN EL ESPACIOS DE ESTADOS DE SISTEMAS DINAMICOS…….…….

10.1. Introducción………………………...………………………………………………………………

10.2. Representación en el espacio de estados cuando la función de excitación no

contiene términos derivados…………………………………………………………………………

10.3. Relación entre el modelo de estados y la función de transferencia

10.4 Matriz de transición de estados y respuesta en el tiempo…………………………………..

10.5 Matriz de transición de estados en el caso homogéneo…………………………………..

10.6 Laboratorio numero 10………………………………………………….………………………….

11 CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD…………………………………………………………

11.1 Introducción………………………………………………………………………………….………

11.2 Controlabilidad……..…………………………………………………………………………

11.3 Observabilidad………………….………………………………………………………………..

11.4 Laboratorio Numero 11………………………………………………………………………..

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1. CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS DE CONTROL.- Empezaremos viendo algunos elementos de

los sistemas de control y alguna terminología como también los diferentes conceptos vertidos al

respecto.

1.1. Conceptos Básicos De Los Sistemas De Control.- El control automático fue la primera herramienta

de la ingeniería que nos permitió realizar ciertas tareas muy complejas con errores aceptables. Es por

eso indispensable que todo Ingeniero o técnico conozca este campo a profundidad pues lo encontrara

en prácticamente todas las actividades de la vida en las que intervenimos en nuestra vida profesional.

Ahora que estamos en la era de los procesadores industriales estos están diseñados para controlar

cualquier actividad industrial o de otros tipos. Un ejemplo claro de la modernidad en el control son los

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sistemas S.C.A.D.A. Supervisory Control and Data Adquisition (en español, Control supervisor y

adquisición de datos).

1.1.1.Características del control.- Si queremos controlar una variable debemos considerar lo siguiente:

a) El sistema deberá alcanzar rápidamente el valor final deseado. Este periodo es conocido como el

periodo transitorio y el objetivo es tener una respuesta suave muy rápida. El termino rápido es

relativo para un sistema electrónico pueden ser centésimas de segundo, para un sistema

electromecánico (motor) pueden ser segundos y para un sistema químico pueden ser minutos.

b) La desviación o error entre el rendimiento final del sistema y el rendimiento final real deberá ser

pequeño. Esta desviación se conoce como error de estado permanente.

c) La respuesta del sistema deberá ser suave y libre de fluctuaciones u oscilaciones. Las grandes

oscilaciones indican una respuesta inestable.

Estas tres características velocidad de respuesta, error de estado permanente y estabilidad son

cuestiones fundamentales en cualquier sistema de control. Nosotros tomaremos normalmente el

cambio en base a escalones, aunque además del escalón podemos aplicar otras señales de entrada

como sinusoides, rampas o impulsos pero el escalón es la más importante.

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http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:SCADA_schematic_overview-s.png

PUENTE de tiristoresMOTOR de Corriente Continua

TACOMETRO


1.1.2. Términos más utilizados en la ingeniería de control.- Algunos de ellos son:

Variable controlada.- Es la cantidad o condición que se mide y controla es normalmente la salida del

sistema.

Variable manipulada.- Es la cantidad o condición modificada por el controlador, a fin de afectar la

variable controlada

Control.- Alcanzar o limitar la desviación del valor medido respecto del valor deseado.

+ -

Planta.- Conjunto de dispositivos que funcionan conjuntamente.

Proceso.- Operación o conjunto de ellas que deba controlarse.

Sistema.- Combinación de componentes que actúan conjuntamente y persiguen un objetivo

determinado. Los sistemas pueden existir físicamente o ser también abstractos como el sistema del

control del precio del dólar.

Perturbación.- Señal que afecta adversamente la salida del sistema

Control retroalimentado.- Es una operación que tomando la salida tiende a reducir la diferencia entre

esta y la entrada referenciada del sistema.

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Sistemas de control retroalimentado.- Se denomina sistema de control retroalimentado a aquel que

tiende a mantener una relación preestablecida entre la salida y alguna entrada de referencia

comparándola y utilizando la diferencia como medio de control.

1.1.3. Clasificación de los sistemas de Control.- Tenemos los siguientes:

Sistemas de control lineales versus los no lineales. En realidad la mayoría de sistemas físicos son

no lineales, pero si tomamos un pequeño rango de comportamiento se puede considerar estos

sistemas como lineales o se puede linealizar. Los sistemas lineales son aquellos que podemos aplicar

el principio de superposición.

Sistemas de control invariante en el tiempo versus control variable en el tiempo. Un sistema de

control invariante en el tiempo es aquel en que los parámetros no varían con el tiempo. La respuesta

es independiente del momento en que se aplica la entrada. En un sistema variable en el tiempo los

parámetros varían con el tiempo, un ejemplo de este último es por ejemplo los sistemas económicos de

los países donde los parámetros varían en el tiempo ( población, valor de la moneda etc.) y la

respuesta dependerá del momento en que se apliquen las medidas correctivas o se aplique el control.

Sistemas de control de tiempo continúo versus sistemas de control de tiempo discreto. Un

control de tiempo discreto nos permite conocer los valores de las funciones en tiempos discretos.

Debido a la irrupción del procesamiento digital esto es muy utilizado.

Sistemas de control de una entrada y una salida y múltiples entradas y múltiples salidas. Un

sistema puede tener una entrada y una salida, ejemplo voltaje de entrada y una salida ejemplo

velocidad. Pero también tenemos múltiples entradas como presión y temperatura y múltiples salidas

como temperatura y torque.

Sistemas de control determinísticos versus sistemas de control estocásticos. Será determinístico

cuando sabemos que va a suceder dada determinada entrada, pero en caso contrario tenemos un

sistema estocástico. Cuando tenemos un caso estocástico tenemos que recurrir a parámetros

estadísticos y a niveles de confianza para crear nuestros modelos un caso muy concreto es el sistema

de planificación de un país.

Sistema Analógico y Sistema Digital. Los circuitos electrónicos se pueden dividir en dos amplias

categorías: digitales y analógicos. La electrónica digital utiliza magnitudes con valores discretos,

mientras que la electrónica analógica emplea magnitudes con valores continuos. Un sistema digital es

cualquier dispositivo destinado a la generación, transmisión, procesamiento o almacenamiento de

señales digitales. También un sistema digital es una combinación de dispositivos diseñado para

manipular cantidades físicas o información que estén representadas en forma digital; es decir, que sólo

puedan tomar valores discretos.

La mayoría de las veces estos dispositivos son electrónicos, pero también pueden ser mecánicos,

magnéticos o neumáticos. Para el análisis y la síntesis de sistemas digitales binarios se utiliza como

herramienta el álgebra de Boole. Los sistemas digitales pueden ser de dos tipos:

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Sistemas digitales combinacionales: Son aquellos en los que la salida del sistema sólo depende de la

entrada presente. Por lo tanto, no necesita módulos de memoria, ya que la salida no depende de

entradas previas.

Sistemas digitales secuenciales: La salida depende de la entrada actual y de las entradas anteriores.

Esta clase de sistemas necesitan elementos de memoria que recojan la información de la historia pasada

del sistema. Para la implementación de los circuitos digitales, se utilizan puertas lógicas (AND, OR y

NOT) y transistores. Estas puertas siguen el comportamiento de algunas funciones booleanas.

Se dice que un sistema es analógico cuando las magnitudes de la señal se representan mediante

variables continuas, esto es análogas a las magnitudes que dan lugar a la generación de esta señal. Un

sistema analógico contiene dispositivos que manipulan cantidades físicas representadas en forma

analógica. En un sistema de este tipo, las cantidades varían sobre un intervalo continuo de valores.

Así, una magnitud analógica es aquella que toma valores continuos. Una magnitud digital es aquella que

toma un conjunto de valores discretos.

La mayoría de las cosas que se pueden medir cuantitativamente aparecen en la naturaleza en forma

analógica. Un ejemplo de ello es la temperatura: a lo largo de un día la temperatura no varía entre, por

ejemplo, 20 ºC o 25 ºC de forma instantánea, sino que alcanza todos los infinitos valores que entre ese

intervalo. Otros ejemplos de magnitudes analógicas son el tiempo, la presión, la distancia.

Señal Analógica Una señal analógica es un voltaje o corriente que varía suave y continuamente. Una

onda sinusoidal es una señal analógica de una sola frecuencia. Los voltajes de la voz y del video son

señales analógicas que varían de acuerdo con el sonido o variaciones de la luz que corresponden a la

información que se está transmitiendo

Señal Digital Las señales digitales, en contraste con las señales analógicas, no varían en forma

continua, sino que cambian en pasos o en incrementos discretos. La mayoría de las señales digitales

utilizan códigos binarios o de dos estados.

Ventajas de los Circuitos Digitales La revolución electrónica ha estado vigente bastante tiempo; la

revolución del "estado sólido" comenzó con dispositivos analógicos y aplicaciones como los transistores y

los radios transistorizados. Cabe preguntarse ¿por qué ha surgido ahora una revolución digital? De

hecho, existen muchas razones para dar preferencia a los circuitos digitales sobre los circuitos

analógicos:

Reproducibilidad de resultados

Facilidad de diseño.

Flexibilidad y funcionalidad..

Programabilidad.

Velocidad.

Economía.

Avance tecnológico constante.

Ventajas del procesado digital de señales frente al analógico

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1.2. Objetivos de los Sistemas de Control

Analizar y diseñar sistemas de control.

Usar herramientas de software moderno para analizar y resolver problemas de diseño de control.

1.3. Bloques en un Sistema de Control:

La Ingeniería de Control es en realidad un enfoque Global, debemos considerar:

La planta, el proceso a ser controlado

Los objetivos

Los sensores

Los actuadores

Las comunicaciones

El sistema de cómputo

La configuración e interfaces

Los algoritmos

Las perturbaciones e incertidumbres

A.- La planta Es la estructura física, parte importante, que será nuestro motivo de trabajo, debe

convertirse a un modelo matemático para ser manejada con nuestra tecnología.

B.- Objetivos

Antes de diseñar sensores, actuadores, o configuraciones de control, es importante conocer los objetivos

de control. Estos incluyen

Qué es lo que se pretende alcanzar (mas utilidades, mayor producción, etc.).

Qué variables deben controlarse para alcanzar los objetivos.

Qué nivel de calidad se necesita (precisión, velocidad, etc.).

C.- Los sensores

Los sensores son los ojos del sistema de control, que le permiten ver qué está pasando. De hecho, algo

que suele decirse en control es:

Si se puede medir, se puede controlar.

D.- Los actuadores

Una vez ubicados los sensores para informar el estado de un proceso, sigue determinar la forma de actuar

sobre el sistema para hacerlo ir del estado actual al estado deseado. Un problema de control industrial

típicamente involucrará varios actuadores distintos.

E.- Las comunicaciones

La interconexión de sensores y actuadores requieren el uso de sistemas de comunicación. Una planta

típica va a tener miles de señales diferentes que deberán ser transmitidas largas distancias. Así, el diseño

de sistemas de comunicación y sus protocolos asociados es un aspecto cada vez más importante de la

ingeniería de control moderna.

F.- El sistema de cómputo

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En los sistemas de control modernos la interconexión de sensores y actuadores se hace invariablemente a

través de una computadora de algún tipo. Por lo tanto, los aspectos computacionales son necesariamente

una parte del diseño general.

Los sistemas de control actuales usan una gama de dispositivos de cómputo, que incluyen DCS (sistemas

de control distribuido), PLC (controladores lógicos programables), PC (computadoras personales), etc.

G.- Configuración e interfaces

La cuestión de qué se conecta con qué no es trivial en el diseño de un sistema de control. Podría pensarse

que lo mejor siempre sería llevar todas las señales a un punto central, de manera que cada acción de

control esté basada en información completa (el denominado control centralizado). Sin embargo, esta

raramente es la mejor solución en la práctica. De hecho, hay muy buenas razones por las que no conviene

llevar todas las señales a un punto común. Algunas obvias son complejidad, costos, limitaciones en tiempo

de cómputo, mantenimiento, confiabilidad, etc.

H.- Algoritmos

Finalmente, llegamos al corazón de la ingeniería de control: Los algoritmos que conectan sensores y

actuadores. Es muy fácil subestimar este aspecto final del problema. Como ejemplo simple de nuestra

experiencia diaria, consideremos el problema de jugar tenis a primer nivel internacional. Claramente, se

necesita buena visión (sensores) y fuerza muscular (actuadores) para jugar tenis en este nivel, pero estos

atributos no son suficientes. De hecho, la coordinación entre ojos y brazo es también crucial para el éxito.

En resumen:

Los sensores proveen los ojos, y los actuadores los músculos; la teoría de control provee la destreza.

I.- Perturbaciones e incertidumbre

Uno de los factores que hacen a la ciencia del control interesante es que todos los sistemas reales están

afectados por ruido y perturbaciones externas. Estos factores pueden tener un impacto significativo en el

rendimiento del sistema. Como ejemplo simple, los aviones están sujetos a ráfagas de vientos y pozos de

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aire; los controladores de crucero de los automóviles deben adecuarse a diferentes condiciones de la ruta

y diferentes cargas del vehículo

1.4. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Supongamos una función f(t): de R en R en principio de cuadrado integrable en el intervalo 0, . Definimos

la transformación de Laplace de f (t) y la denotamos como F(s) como:

F (s ) = limk→∞∫0

k

f ( t )e−st dt

Notemos que la transformación en cuestión asocia a cada función del espacio de funciones considerado

otra función F(s) con parámetro s.

La utilidad de esta transformación se verá patente cuando se expongan sus propiedades.

Nótese que no todas las funciones tienen una transformada de Laplace: Podemos encontrar funciones que

al intentar calcular su transformada de Laplace nos dé lugar a una integral no convergente para cualquier

valor de s. Las funciones que tienen transformada de Laplace bien definida en algún intervalo de s las

llamaremos funciones admisibles por dicha transformación en dicho intervalo. Así mismo al margen de

valores de s en el cual la transformada de Laplace puede ser evaluada se le llamará dominio de la función

transformada. Una condición necesaria para que una función sea admisible para algún intervalo es que su

ritmo de crecimiento sea inferior al de una exponencial en t.

1.4.1. Transformación de Laplace de algunas funciones.

En este apartado ilustraré la transformación de Laplace aplicada a varias funciones de uso corriente en el

análisis de circuitos:

Ejemplo 1: Obtener la transformada de Laplace de eat

L {eat }=∫0

∞

e−st eat dt=¿∫0

∞

e−(s−a ) tdt=¿[ −1s−a

e−( s−a) t]0

∞

= −1s−a

(0−1 )= 1s−a

¿¿ Respuesta:

L {eat} = 1s−a

Ejemplo 2: Obtener la transformada de Laplace de f (t)= t.

L {t }=∫0

∞

e−st tdt

Aplicando la integración por partes:

u=t; du = dt; dv = e-st dt; v= -(1/s) e-st

L {t }=[−1st e−st ]

0

∞

+1s∫

0

∞

e−st dt

=1s (−1

s )[ e−st ]0∞=− 1

s2[0−1 ]= 1

s2 Respuesta

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Y en general:

L {tn} = n !

sn+1

Ejemplo 3: Método alternativo para obtener la transformada de Sen at; y simultáneamente la transformada

de Cos at : L {e jat }=∫0

∞

e−st e jatdt

Utilizando el ejemplo 1 tenemos

L {e jat }= 1s− ja

= s

s2+a2+ ja

s2+a2

Utilizando la identidad de Euler que es ejat = cos at +j sen at:

se obtiene que L {cos at }= s

s2+a2y L {senat }= a

s2+a2 Rpta.

Una condición necesaria para que una función sea admisible para algún intervalo es que su ritmo de

crecimiento sea inferior al de una exponencial en t.

1.4.2. Tabla de Transformada de Laplace de algunas funciones

δ ( t ) → 1

1 →1s

t → 1s2

e−at → 1s+a

cos (wt )+ jsen(wt )= e jwt →1s− jw

=s+ jws2+w2

cos (wt ) →s

s2+w2

sen(wt ) →w

s2+w2

Las funciones arriba indicadas son las más frecuentes tanto en matemáticas como en el mundo de la

electrónica. En el siguiente apartado se expondrá una serie de propiedades de la transformación. Dichas

propiedades, además de la importancia que tienen a la hora de aplicar la transformación de Laplace, nos

permitirán obtener transformaciones de Laplace de funciones más complicadas.

1.4.3 Propiedades de la transformación de Laplace.

De la relación de propiedades que expondré a continuación se podrán ver con facilidad la utilidad de la

transformación en casos de resolución de problemas de valor inicial: 12


Propiedad 1: Linealidad:

αf ( t )+βg( t ) → ∫0

∞

(αf ( t )+βg( t ))dt=αF (s )+βG( s )

Propiedad 2: Derivación en el tiempo:

df ( t )dt

→ sF (s )−f (0 )

Propiedad 3: Derivación en s:

tf ( t ) → −dF (s )ds

Propiedad 4: Desplazamiento en s:

f ( t )eat → F (s−a)Existen muchas otras propiedades que pueden encontrarse en textos sobre el tema y que omitiré para sólo

exponer lo más importante y no alargar este documento.

La segunda propiedad es para la más importante de todas ya que gracias a ella podemos utilizar la

transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales: La transformación de Laplace transforma

derivadas en productos.

La primera propiedad, la de la linealidad nos permitirá transformar una ecuación entera quedando sumas y

productos por constantes invariantes.

1.4.4 Transformada inversa de Laplace.- Se obtiene mediante la siguiente forma: La transformada

inversa de Laplace es el proceso de obtener x(t) a través de X(s) y se define como

x ( t )= 12πj

∫σ− jw

σ+ jw

X ( s )estds

Transformada inversa de Laplace, tenemos la siguiente tabla:

1.- L−1{1s }=1 , y L−1{ks }=k , si s>0

2.- L−1{ n !sn+1 }=tn , y L−1{ 1

sn+1 }= tn

n !, si s>0

3.-

L−1{ 1s−a }=eat , si s>0

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4.-

L−1{ k

s2+k2 }=sen kt , y L−1{ 1

s2+k2 }=sen kt /k , si s>0

5.- L−1{ s

s2+k2 }=cos kt , si s>0

6.-

L−1{ k

s2−k 2}=senh kt , y L−1{ 1

s2−k 2}= senh ktk

, si s>|k|

7.-

L−1{ s

s2−k 2}=cosh kt , si s>|k|

8.-

L−1{ n !(s−a )n+1 }=tneat , y L−1{ 1

(s−a)n+1 }= tneat

n !, si s>0

Ejemplo 1: Hallar L−1{ 7 s−1

(s−3 )(s+2)( s−1)}=L−1{ As−3 }+L−1{ B

s+2 }+L−1{ Cs−1 }

Por fracciones parciales:

A= (7(3)-1)/ (3+2) (3-1) = 2

B= (7(-2)-1)/ (-2-3) (-2-1)=-15/-15 = 1

C= (7(1)-1)/ (1-3) (1+2) = 6/-6 = -1

=L−1{ 2s−3 }+ L−1{ 1

s+2 }+L−1{ −1s−1 }

Ejemplo 2:

Hallar L−1{ s+1

s2 (s+2)3 }=L−1{As2 }+L−1{Bs }+L−1{ C

( s+2 )3 }+L−1{ D

( s+2 )2 }+L−1{ E( s+2 )}

=At+B+C t2e−2t

2 !+D te−2 t

1 !+Ee−2t

Hallando por fracciones parciales

A = 1/8, B = -1/16, C = -1/4, D = 0, E = 1/16

=1

8t− 1

16− 1

4t2e−2t

2!+ 1

16e−2 t

Respuesta

Ejemplo de aplicación.

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Para poder entender de una forma clara estas ideas lo mejor es verlo con un ejemplo.

El ejemplo que expongo a continuación trata de ilustrar la resolución de un problema electrónico mediante

la transformación de Laplace. Cuando tenemos una ecuación diferencial lineal el método a utilizar es

siempre el mismo: se transforma la ecuación entera. Como la ecuación es lineal se tiene como resultado

una ecuación lineal. Hecho esto se despeja la incógnita y el resultado que se obtiene es una función

racional en s. Por último sólo tenemos que hacer la transformación inversa de Laplace (mirar que función

tiene como transformada de Laplace la función que tenemos).

En la práctica, cuando lo que queremos es resolver un circuito eléctrico, lo que se hace es "transformar el

circuito"; es decir: dado que por los condensadores la corriente que pasa es la derivada de la tensión

aplicada en sus terminales multiplicada por su capacidad, lo que se hace es asignar al condensador una

"resistencia" de 1/Cs. Dado que el condensador no es un componente resistivo al término 1/Cs se le pasa

a llamar impedancia del condensador. Así mismo no resulta difícil entender que la impedancia de una

bobina es Ls. Notemos además que para poder hacer esto es indispensable contar con condiciones

iníciales nulas en las cargas de los condensadores y en las corrientes de las bobinas. En la mayoría de los

problemas esto será siempre así.

I R Vr

Vs

C Vc

Vs = Vi (t) y Vc = Vo (t)

Planteando el circuito vi (t) = i(t) R + Vo(t)

Vi (t) = Vo(t) + RC( dVo(t)/dt)

Utilizando Laplace

V(s) = Vo(s) +RCsVo(s)

Seguidamente pasaré a resolver el problema para un caso particular: supongamos de vi(t) es un escalón

v ( t )=u( t )={0 si t<01 si t≥0

V(s) = 1/s

15


Vo( s )= 11+RCs

V ( s )= 1s(1+RCs)

= 1s+ −RC

1+RCs

v0( t )= u( t )−e− 1RC

t

Para realizar la transformación inversa de Laplace el mejor paso a seguir descomponer en suma de

fracciones simples la función a descomponer, como si fuéramos a integrarla, y luego relacionar cada

fracción con su correspondiente exponencial.

Existe una fórmula cerrada para obtener la transformada inversa de Laplace, pero el cálculo, además de

engorroso, es complicado y requiere conocimientos de integración en el plano complejo. Los interesados

en el tema podrán encontrar información al respecto en cualquier libro de análisis con variable compleja

medianamente decente.

En el caso de no tener condiciones iníciales nulas, como en este ejemplo, no podremos asociar al

condensador una impedancia 1/Cs. En este caso derivar es multiplicar por s y restar la condición inicial. De

todas formas en el análisis de circuitos normalmente sólo se estudia el régimen permanente con

condiciones iníciales nulas; es decir: condiciones nulas ya que el circuito hace mucho que está

funcionando.

MATLAB

Introducción.- El matlab(MATrix LABoratory) es un lenguaje de alto nivel, escrito en gran parte en

lenguaje “C” , orientado para el cálculo técnico, su potencia radica en una gran cantidad de rutinas

de cálculo aplicadas a las diferentes disciplinas de la ingeniería. En su ambiente integrado pude

realizar cálculos, programación y visualización, para esto en el matlab se utilizan tres ventanas:

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Ventana de comandos. (Principal). Nos permite ingresar datos o ejecutar comandos o

funciones.

Ventana de gráficos. Displaya los resultados (Forma gráfica) que se indiquen con comandos o

programas.

Ventana del editor. Nos permite escribir nuevos programas (secuencia de comandos) y

funciones.

Su elemento básico es una matriz numérica. Sus usos más comunes son:

Cálculos matemáticos (matriciales).

Modelado y simulación.

Procesamiento de datos.

Desarrollo de interfaces gráficas.

Operaciones básicas en matlab.-

Ingreso de datos a una matriz.- Las matrices y los vectores son variables que tienen

nombres. Recomendamos que se utilice letras mayúsculas para matrices y letras

minúsculas para vectores y escalares el ingreso lo realizamos así:

>> mat = [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9 ]

El matlab responde mat = 1 2 3 .

4 5 6

. 7 8 9

La matriz A ya puede ser trabajada, obtendremos la transpuesta haciendo lo siguiente:

>> A’ y la respuesta del sistema será

ans = 1 4 7 .

2 5 8 .

3 6 9

Esto es porque el resultado no ha sido asignado a ninguna variable, veamos en matlab

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E

>> A= [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

A = 1 2 3

4 5 6

7 8 9

>> B=A'

B = 1 4 7

2 5 8

3 6 9


También podemos operar con estas matrices, hallando primero A*B y después la inversa de A que sería

C y comprobar que C es la inversa de A. Se puede acceder a cualquier elemento de A o de B con solo

indicarlo con los subíndices. El siguiente cuadro nos visualizara todo lo anteriormente dicho.

Con la última operación comprobamos la inversa. Para definir un vector fila es más sencillo

Operaciones con matrices.-

o Operadores aritméticos.- Tenemos los siguientes:

^ Potenciación

\ División ( a la izquierda)

/ División ( a la derecha)

* Producto

.* Producto elemento a elemento

./ y .\ división elemento a elemento

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>> A = [1 4 -3 ; 2 1 5; -2 5 3]

A = 1 4 -3

2 1 5

-2 5 3

>> C=inv(A)

C =

0.1803 0.2213 -0.1885

0.1311 0.0246 0.0902

-0.0984 0.1066 0.0574

>> C*A

ans =

1.0000 0.0000 -0.0000

0 1.0000 0.0000

0 -0.0000 1.0000

>> f1 = [0 1 4] ; % El ; evita la respuesta

>> f2 = [9 16 25] ;

>> f3 = [ 36 49 64] ;

>> mat2 = [f1 ; f2 ; f3]

mat2 = 0 1 4

9 16 25

36 49 64


.^elevar a una potencia elemento a elemento

+ Adición o suma

- Substracción o resta

‘transpuesta

Expresiones

Es una Secuencia de operandos y operadores

>> raiz2 = sqrt(2);

>> raiz3 = sqrt(3);

>>det1 = det(mat);

>>det2 = det(mat2);

% Escribiendo una expresión en 2 líneas

>> x = 0.5;

>> expx = 1 + x +(x^2)/2+ (x^3)/6+ ...

(x^4)/24 + (x^5)/120

Manejo de números complejos.- En este caso se considera √-1 a i o j

>> c1 = 2 – 4*j

>> c2 = 3 + 3*i

>> t = abs(c1 +c2);

>> s = [1 2 3 ; 4 5 6] + i*[ 3 2 1 ; 6 5 4]

Adición y substracción

>> M1 = [ 1 1 1 ; 1 1 1; 1 1 1]

>> M2 = [ 1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9]

>> M3 = M1 + M2

>>M4 = M1 – M2

Por un escalar

>> M5 = M2 + 1

El matlab responde M5 = 2 3 4 .

5 6 7 .

8 9 10

Multiplicación

>> multi = M1 * M2 % Si columnas de M1 igual a filas de M2

División

X = A\B % Solución de A*X = B

X = B\A % Solución de X*A = B

Potencia

>> p2 = mat ^2

>> p3 = mat^3

19


Operaciones entre elementos. El operador “.”

Si tenemos que

>> x1 = [ 1 2 3 ]

>> x2 = [ 4 5 6 ]

>> r1 = x1 . * x2

>> r1 = 4 10 18 % Efectúo el termino correspondiente de x1 por el de x2

>>r2 = x1. /x2

>>r2 = 0.25 0.40 0.50

>>r3 = x1.^x2

>>r3 = 1 32 729

Operadores de comparación

< menor < = menor o igual

> mayor > = mayor o igual

= = igual ~ = diferente

considerando 1 -> Verdadero y 0 -> Falso

Operadores lógicos

Tenemos que and & or |

>> 1 == 1 & 4 == -3 (ans = 0)

>> 1 == 1 | 4 ==-3 (ans = 1)

Operaciones diversas con matrices.- La forma general para asignar rangos a una variable será

. . variable = inferior : variación : superior

por ejemplo:

>> x = 4: 2: 22

x = 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

>>beta = 0 : pi/4 : pi

>> beta = 0.000 0.7854 1.5708 2.3566 3.1416

>> índice = 8: -1: 1

índice = 8 7 6 5 4 3 2 1

Se puede generar un vector linealmente espaciado

>> w = linspace(100,1000, 10)

w = 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Se puede generar también matrices de la siguiente forma

>> uno = ones(5)

>> cero = zeros(4)

>> RR = rand(3)

>> I=eye(4)

20


2 Funciones.- Para crear una función seguir los siguientes pasos

En menú archivo opción new

Guardar como f1.m

Escribir en el editor

function y = f1(x)

y = x.^2 -x -2

En la ventana de comandos

>> x= -3:0.1: 3

>> plot( x, f1(x)) ó

>> x= -3:0.1: 3

>> y1 = f1(x)

>>plot( x, y1)

3 Ceros y Mínimos de una función.- Algunos comandos adicionales que nos permiten hallar ceros y

mínimos de una función son.

fmin Halla mínimo para funciones de una variable por ejemplo podemos considerar

>> xmin = fmin(‘f1’,-1,1)

fmins Minimiza función de varias variables

fzero Encuentra los ceros de una función por ejemplo podemos hallar el cero cercano a –2 y a

+2, ojo aquí no hay intervalo sino valor inicial o punto de arranque >> raiz1 = fzero(‘f1’,-2)

>> raiz1 = fzero(‘f1’,-2) Ahora si queremos visualizar estos resultados los comandos serian así

>> raiz1 = fzero(‘f1’,-2)

>> raiz2 = fzero(‘f1’, 2)

>> x= -3:0.01:3

>> plot(x,f1(x),raiz1,f1(raiz1),’X’,raiz2,f1(raiz2),’X’),grid

21


2 SISTEMAS LINEALES

2.1 Sistemas Lineales.-

22


2.2 Modelamiento.- Para conocer la relación que existe entre la señal de entrada y la señal de salida,

llamada función de transferencia vamos a considerar dos métodos, el modelado teórico y la

identificación experimental.

2.2.1. Modelado teórico.-Se utiliza para casos sencillos en los cuales se puede llegar a

relaciones matemáticas, generalmente ecuaciones diferenciales, que relacionan la entrada

con la salida.

2.2.2. Sistemas Mecánicos.- Los clasificaremos como de traslación y de rotación:

23


2.2.2.1. Sistemas mecánicos de Translación.- Para analizar sistemas complejos

primero debemos analizar las componentes de estos sistemas mecánicos de

translación.

Masa.- Se determina por la segunda ley de Newton ∑ F = M .

d2xdt2

=M . X

F1 F3

F2 M F4

X

La resultante de las fuerzas (Sumatoria) que actúan sobre un cuerpo es igual a la

masa de este por la aceleración.

Resorte.- La fuerza de un resorte ideal es igual a su estiramiento x por una constante

de proporcionalidad. La constante de proporcionalidad K mide la dureza del resorte,

Si K es mayor el resorte es más duro

F=K .x F

K X

Cuando el resorte no está estirado ni comprimido x será 0.

Amortiguador.- La fuerza de un amortiguador la idealizamos y la consideramos

proporcional a la velocidadF=b .

dxdt=b. x

F

b

x

La constante de amortiguación se denomina b. Un valor grande de b da una

amortiguación más fuerte.

Sistemas Mecánicos de Traslación Combinados.- A los sistemas combinados

podemos hallar la relación entre las fuerzas que actúan y aceleración, velocidad y

espacio recorrido. Veamos un ejemplo de muchos que pueden haber:

F b

M

24


k

y

Se supone que la masa está en reposo o sea cuando F = 0 entonces también

y=0, como el amortiguador y el resorte se oponen, entonces la ecuación

diferencial de este sistema será: M .

d2 ydt2

=F−ky−b dydt

o también expresado en su forma compacta M . y=F−k . y−b . y

Tomando la transformada de Laplace para la ecuación tendremos.

Y (Ms2 +bs+ k) = F

siendo F(s) la entrada y Y(s) la salida tendremos la

Función de transferencia: G( s )=

Y (s )F ( s )

= 1Ms2+bs+k

2.2.2.2. Sistemas Mecánicos de Rotación.- Están constituidos por masas rotatorias,

resortes de torsión y fricción.

Este sistema consiste en un rotor que está sujeto con una flecha flexible. El otro lado de

la flecha está sujeto. El rotor tiene una fricción viscosa, B.

Manejaremos la siguiente nomenclatura:

J Momento de inercia (Kg. m2) , D Coeficiente de la flecha (Nm/Rad.)

B Factor de Fricción (Nm/(Rad./seg.))

Θ Angulo de rotación (radianes) y M Momento (Nm)

J

D

Θ M (t)

B

La ecuación de movimiento nos da

J Θ=−DΘ−BΘ+M

Con la transformada de Laplace obtenemos:

(Js2 + Bs + D) Θ(s) = M(s)

La función de transferencia será:

25


M (s )Θ(s )

= 1Js2+Bs+D

2.2.3. Sistemas Eléctricos.- Sus elementos son resistencias, condensadores y bobinas y

las señales son los voltajes y corrientes.

Resistencia: Por la ley de ohm V= R. i

I R

+ V -

v = R. i Con la transformada de Laplace será: V(s) = R I(s)

Condensador: El voltaje a través de un condensador es igual a su carga dividida por

la capacitancia C.

v=QC= 1C∫ idt

I C

+ v -

Y la transformada de Laplace nos da la siguiente relación

V ( s )= 1

CsI (s )

Inductor: El voltaje en un inductor es igual a la inductancia por la derivada de la

corriente v=L.

didt

I L

+ v -

La transformada de Laplace nos da la siguiente relación:

V ( s )=Ls . I ( s ) Circuitos Eléctricos Combinados.-

CASO 1

+ R +

1/sC

26


v1 v2

- -

En el circuito mostrado ya hemos reemplazado en las componentes el modelo

considerando la transformada de Laplace, como tenemos un divisor de tensiones, la

función de transferencia será:

V 1( s )V 2( s )

=

1sC

R+1sC

=1

1+RCs

tendremos finalmente

CASO 2

+ 1/sC + Ls R v1 v2 - -

En este caso, vamos a considerar las impedancias como Z1, Z2 y Z3

Ahora el inductor y la resistencia o sea Z2 y Z3 lo reduciremos a una impedancia

equivalente, que llamamos Zeq, veamos el cálculo.

1Zeq

= 1Z2

+ 1Z3

= 1Ls+ 1R= R+Ls

RLs Tendremos entonces que la impedancia

equivalente finalmente será:

Zeq=LRsR+Ls

Ahora trabajamos con el divisor de tensiones.

27

G( s )= 11+RCs


V 1( s )V 2( s )

=

LRsR+Ls

1sC+LRsR+Ls

=LRs . sC

(R+Ls )+LRs. sC=

LRCs2

LRCs2+Ls+R

Finalmente

Circuitos Eléctricos con Componentes Activos.- Los amplificadores

operacionales son amplificadores de corriente con un gran factor de amplificación y

una impedancia de entrada virtualmente infinita, hallemos pues la función de

transferencia para el circuito mostrado con un amplificador operacional:

Z2

Z1

-

+ + 0 A +

v1 v0 + v2

- - -

Las impedancias son complejas y son generalizadas. Tenemos la siguiente igualdad

considerando que la corriente de entrada al amplificador operacional es cero

entonces la corriente que pasa por Z1 es igual pero de signo contrario a la que pasa

por Z2

v1−v0

Z1

=v0−v2

Z2

Como V 2=−A .V 0 entonces V 0=−

V 2

A y reemplazando en la primera ecuación:

V 2( s )V 1( s )

=−AZ2 (s )

Z1(s )+Z2( s )+A .Z1(s )=−

Z2(s )Z1(s )

.1

1+Z1( s )+Z2( s )A .Z1( s )

Finalmente obtenemos:

28

V 1( s )V 2( s )

=−Z2( s )Z1( s )

G( s )= LRCs2

LRCs2+Ls+R


, para valores muy grandes de A, el segundo término desparece al hacerse igual a 1

en la ecuación anterior.

2.2.4. Sistemas Térmicos.- Los sistemas térmicos intercambian energía calorífica con su

medio ambiente, considerando la ley básica de los sistemas térmicos que dice que debe

haber un balance de energía, lo cual significa que el cambio de energía calorífica por

unidad de tiempo es igual a la potencia inferida menos la extraída. Esta formula será la

siguiente:

dEdt=Pi−Pe

tenemos que la relación entre la energía y la temperatura es: E=T .V .c . ρ

donde:

E = energía calorífica de cierta materia.

T = temperatura de cierta materia (K).

V = Volumen de cierta materia (m3).

c = capacitividad térmica (J/Kg. K).

ρ = densidad (kg./m3)

Si suponemos que el volumen, la capacitividad y la densidad son constantes tenemos

que: V .c . ρ .

dTdt=P i−Pe

2.2.5. Sistemas de nivel.-

A u1

h

u2

En los sistemas de nivel los cambios en el volumen del líquido en el tiempo son iguales a la

entrada del líquido menos la salida del mismo. Esto lo podemos escribir

dVdt=A

dhdt=u1−u2

Dónde: V= volumen del líquido (m3)

A = Área del tanque (m2)

h = Nivel del líquido (m)

29


u1 = flujo de entrada (m3/seg.)

u2 = flujo de entrada (m3/seg.)

Ejemplo: El nivel del tanque de la figura será regulado, esto se hará con el flujo de

entrada u1, el flujo de salida u2 es variable.

Encuentre la función de transferencia (h/u1-u2).

Tomando la formula tenemos: Adhdt=u1−u2

y con la transformada de Laplace

obtenemos: A . s .H ( s )=U1( s )−U 2(s ) ⇒ G( s )=

H (s )U1( s )−U2 (s )

= 1As

2.2.6. Sistema de concentración.-

Q, C1

V,C2 Q

Nos permiten regular la concentración de diversos componentes disueltos en un líquido

o inclusive la acidez. Sea c1 la concentración en la entrada y la concentración en la

salida sea c2, suponiendo además que el volumen V y el flujo Q son constantes.

Tenemos la siguiente ecuación:

dM e

dt=V .

dc2dt

.=Qc1−Q .c2

Dónde:

Me=Cantidad de un elemento en el tanque (gr.)

Q = Flujo de líquido en el tanque (m3/seg.)

V = Volumen de líquido en el tanque (m3)

C1=concentración del elemento en la entrada (gr. /m3)

C2=concentración del elemento en el tanque y la salida (gr. /m3)

La función de transferencia de c1 a c2 será obtenida: VsC2=QC 1−QC 2

C2(Vs+Q )=C1Q

2.2.7. Sistema de Transporte.- Este sistema agrega un retardo para llevar el material

liquido o gas

30

G( s )=C2 (s )C1 (s )

= QsV +Q

= 1

1+VQs


Ti

V

Tiempo de transporte 12seg Q

T0

Relación entre T0 y T será: T0 = T(t-12) al usar la transformada de

Laplace será T 0( s )=T (s ) .e

−12 sy con relación a Ti será

Ti T T 0

Por lo tanto

31

11+40 s

e−12 s

Gt ( s )= 11+40 s

e−12 s


POLINOMIOS:

Los polinomios se representan por vectores, cuyos elementos son los coeficientes del polinomio en orden

descendente. Por ejemplo el polinomio s3+3 s2−4 s−8

Se representaría por: p=[ 1 3 -4 -8].

Veamos tenemos un polinomio p1=s3+2 s2−5 s−6 (p1= [ 1 2 -5 -6])

Hallamos las raíces con el comando roots

Como vemos hallamos las raíces del polinomio y las almacenamos en r1 y después con el comando poly

volvemos al polinomio original.

Si queremos evaluar un polinomio para un valor dado usamos el comando polyval, como indicamos en el

ejemplo:

p2=s2−2 s+1

32

>> p2=[1 -2 1]

p2 =

1 -2 1

>> s=[1 2 3]

s =

1 2 3

>> polyval(p2,s)

ans =

-.p 0 1 4

>> r1=roots(p1)

r1 =

2.0000 -3.0000 -1.0000

>> poly(r1)

ans =

1.0000 2.0000 -5.0000 -6.0000


Para multiplicar y dividir polinomios se utiliza conv y deconv, como vemos en el ejemplo:

Queremos multiplicar q1=s2−3 s+2 ; q2=s2+2 s−4 , hallando q3=q1*q2

La respuesta sería:

q3=s4−s3−8 s2+16 s−8Funciones de transferencia

Tenemos la siguiente función de transferencia:

H ( s )= 0 .2 s2+0. 3 s+1(s2+0. 4 s+1)( s+0 . 5)

Sabemos que para introducir la función de transferencia (En MATLAB) debemos ingresar el numerador y

el denominador.

Veamos un código que convierte la función de transferencia de la forma indicada a una función de

transferencia de la forma polos y ceros.

Y la respuesta será:

>> control01

ceros =

-0.7500 + 2.1065i

-0.7500 - 2.1065i

polos =

33

>> q1=[1 -3 2];

>> q2=[1 2 -4];

>> q3=conv(q1,q2)

q3 =

1 -1 -8 16 -8

num=[0.2 0.3 1];

den1=[1 0.4 1];

den2=[1 0.5];

den=conv(den1,den2);

[ceros,polos,gan] = tf2zp(num,den)


-0.2000 + 0.9798i

-0.2000 - 0.9798i

-0.5000

gan = 0.2000

Para comprobar tomemos la siguiente función de transferencia:

H ( s )=( s+2 )(s+4 )

(s+1)( s+2)(s+4 ) o visto de la forma polos y ceros que será

H ( s )=2∗4∗(1+s

2)(1+s

4)

1∗2∗4∗(1+s1)(1+s

2)(1+s

4)=

1∗(1+s2)(1+s

4)

(1+s1)(1+s

8)(1+s

10)

Y el programa con algunas funciones adicionales, para visualizar mejor los resultados será:

El resultado será:

>> control02

Ceros =

-4

-2

Polos =

-8.0000

-2.0000

-1.0000

gan = 1

n = 0 1 6 8

d = 1.0000 11.0000 26.0000 16.0000

34

num1= [1 2];

num2= [1 4];

den1= [1 1];

den2= [1 4];

den3=[1 2];

num=conv(num1,num2);

den=conv(conv(den1,den2),den3);

[ceros,polos,gan] = tf2zp(num,den);

[n,d]=zp2tf(ceros,polos,gan)

printsys(n,d);


Num/den =

s^2 + 6 s + 8

-------------------------------

s^3 + 11 s^2 + 26 s + 16

35


4. FUNCION DE TRANSFERENCIA Y ECUACIONES DE ESPACIOS DE ESTADOS.-En este capítulo

veremos dos temas que son

Continuación de Modelado de Sistemas

Función de transferencia y Ecuaciones de espacios de Estados

4.1. MODELADO DE SISTEMAS El análisis y diseño de sistemas lineales empieza con el modelado

de sistemas reales. Estos modelos que son representaciones matemáticas de sistemas

químicos, sistemas mecánicos y electrónicos, sirven para estudiar la respuesta dinámica de los

sistemas reales. Las técnicas matemáticas empleadas por matlab para diseñar y analizar estos

sistemas suponen procesos que son físicamente realizables, lineales e invariantes en el tiempo.

(LTI): El matlab utiliza modelos en la forma de FUNCIONES DE TRANSFERENCIA o

ECUACIONES DE ESPACIO DE ESTADOS, haciendo posible así el empleo de técnicas de

diseño y análisis de sistemas de control tanto clásicas como modernas. Estas formas se pueden

expresar en tiempo continuo o discreto. Las funciones de transferencia se pueden expresar como

un polinomio, un cociente de polinomios o una de las dos formas factorizadas: cero-polo-ganancia

o fracciones parciales. Los modelos de sistema de espacio de estados son idóneos para matlab

porque son una expresión basada en matrices. Veamos un ejemplo: tenemos un sistema, tiene

tres fuerzas que actúan

K p y(t)

m u(t)

b

x(t)

Sistema de resorte- masa – amortiguador

Tenemos tres fuerzas que actúan sobre una masa m : una fuerza de entrada que depende del tiempo u(t), un resorte con

constante de resorte k y un amortiguador viscoso con constante de amortiguación b. la posición de la masa en función del

tiempo está representada por x(t). Conectamos a la masa un potenciómetro de medición p que proporciona un voltaje de salida

36

34

12 ss

10


y(t) proporcional a x(t) . La ecuación de movimiento de la masa está dada por la ecuación diferencial de segundo orden:

m x' '+b x '+kx=u( t ) y la ecuación del potenciómetro es: y(t) = px(t)

4.2. FUNCION DE TRANSFERENCIA.-El análisis de los sistemas lineales y de control con frecuencia implica

determinar ciertas propiedades dinámicas, como estabilidad y respuesta en frecuencia, que no es fácil

determinar usando análisis en el dominio del tiempo. Para este análisis obtenemos una transformada de

Laplace de la ecuación y pasamos del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. La transformada

de Laplace del anterior sistema es (ms2+bs+k ) x( s )=u( s )donde s es una variable compleja

(+jw), llamada variable de Laplace. Si llamamos H(s) a la función de transferencia que relaciona el

movimiento de salida del sistema x(s) con la fuerza de entrada u(s):

H ( s )=x ( s )u( s )

= 1ms2+bs+k y la función del potenciómetro es

y (s )x ( s )

=p

Usemos un diagrama de bloque, considerando el valor de los parámetros m=1, b= 4, k= 3, y p= 10,

tendremos:

Planta Medición

U(s) X(s) Y(s)

Y finalmente

Sistema

U(s) Y(s)

Normalmente el numerador y el denominador de una función de transferencia se factorizan para obtener

la forma cero – polo – ganancia, por ejemplo si tenemos H ( s )= 3 s2+18 s+24

s3+9 s2+23 s+15 lo expresamos

como H ( s )=

3 (s+2)( s+4 )(s+1)( s+3 )( s+5 ) en esta forma estamos mostrando los polos y los ceros del sistema

respectivamente. Y finalmente podemos escribir la última expresión como una expansión en fracciones

parciales

H ( s )=r1

s−p1

+r 2

s−p2

+. .. . ..+r n

s−pn+k (s )

Ejemplo1: Veamos el siguiente circuito

Tenemos que relacionar la salida con la entrada.

37

10

s2+4 s+3


R1

Ejemplo:

i(t) . Vc(t)

C R2

Vi(t) Vo(t)

El voltaje de salida es:

vo( t ) = i( t )R2 = [C ddtvc( t ) +

vc( t )R1

] R2

Obtenemos

R1 vo ( t )= R1R2Cddtvc( t ) + R2v c( t )

Aplicando la transformada de Laplace se obtiene

R1V o( s )= R1R2C [ sV c( s )− vc(0 )] + R2V c( s )

Suponemos condiciones iníciales cero, como

vc( t )= v i( t )−vo ( t ) entonces V c( s )= V i (s )−V o( s )Entonces tenemos:

R1V o( s )= R1R2C [ sV i( s )− sV o ( s )] + R2 [V i (s ) − V o (s )]

La ecuación puede reacomodarse como:

V o (s )V i( s )

=R1R2Cs + R2

R1R2Cs +(R1+R2 )=b1s+ b0

a1s+ a0

Donde a0 es R1 + R2, b0 = R2 y a1 = b1 = C R1R2 Para generalizar consideremos la ecuación diferencial

38


y(n )( t )+an−1 y(n−1)(t )+. . .+a0 y ( t )=b0u ( t )+b1u

(1)( t )+. ..+bmu(m )( t )

Si aplicamos a esta ecuación la transformada de Laplace obtenemos

snY (s )+an−1 sn−1Y (s )+. ..+a0Y ( s )=bm s

mU ( s )+bm−1 sm−1U ( s )+ .. .+b0U (s )donde

reacomodando términos tenemos:

Y (s )U (s )

=bm s

m+bm−1sm−1+. .. .+b1 s+b0

sn+a n−1 sn−1+. .. .+a1 s+a0 Que lo podemos expresar como

Y (s )U (s )

=K∏

i=1

m

(s+β i)

∏i=1

n

( s+αi )

Entonces volvemos a reafirmar que la relación anterior es la función de transferencia, esta fusión de

transferencia

G( s )=Y (s )U (s )

Está definida excepto en las raíces del polinomio del denominador. Estos puntos de singularidad se les

denominan polos.

4.3. ECUACIONES DE ESPACIOS DE ESTADOS.-Usando nuestro ejemplo anterior tenemos la

ecuación:

m x' '+b x '+kx=u( t ) Que define el movimiento, basado en esto podemos definir:

x1=x

x2=x'

A continuación reescribimos la ecuación diferencial de segundo orden como un conjunto de ecuaciones

diferenciales de primer orden acopladas:

x1'=x2

x2' =−k

mx1−

bmx2+

um=−3 x1−4 x2+u

Y la ecuación de medición como:

y=g(x, u)=10x, utilizando la notación matricial este modelo puede escribirse como un modelo de espacio

de estados

x '=Ax+Buy=Cx+Du

39


Que para este ejemplo representa

[ x1'

x2' ]=[0 1

−3 −4 ] [x1

x2]+[01 ]u

y=[10 0 ] [x1

x2 ]+ [0 ]u

Representación en el espacio de estados cuando la función de excitación no contiene términos

derivados.-

Consideremos el siguiente sistema de n-esimo orden

y(n)

+a1 y(n−1)

+. .. . .+an−1 y+an y = u .. . .. .. .(α )

Definimos

x1= yx2= yx3= y

.

. .

xn= y(n−1 )

Entonces la ecuación () se escribe como sigue:

x1=x2

x2=x3

x3=x4

.

.xn−1=xnxn=−an x1−. .. .−a1 xn+u

Esto también se puede expresar como:

x=Ax+Bu

40

m


Donde:

x=[x1

x2

.xn] , A=[

0 1 0 . 00 0 1 . 0

. . . . .0 0 0 . 1−an −an−1 −an−2 . −a1

] ,B=[00.01]

La salida será:

y= [1 0 . 0 ] [x1

x2

.xn]

que será y=Cx+Du

donde C=[1 0 . 0 ] obsérvese que d =0esta será la función de transferencia de la forma:

Ejemplo 1

Consideremos el sistema mecánico que aparece en la siguiente figura:

k u(t)

y(t) b

41

Y (s )U (s )

= 1sn+a1 s

n−1+. ..+an−1 s+an


se supone que el sistema es lineal, la excitación externa es u(t), que es una fuerza y la salida es el

desplazamiento de la masa y(t). Este sistema tiene una sola entrada y una sola salida y la ecuación

diferencial que lo describe será: m y+b y+ky=u .

Este sistema es de segundo orden, por lo tanto definimos las variables de estado

x 1( t )= y ( t )x2( t )= y ( t )

Obtenemos

x1=x2

x2=−1m(−ky−b y )+

1mu

Expresado de otra manera

x1=x2

x2=−kmx1−

bmx2+

1mu

La ecuación de salida es y=x1

En forma matricial se escribe:

[ x1

x2]=[ 0 1

− km

− bm ] [x1

x2]+[ 0

1m ]u

La ecuación de salida es

y= [1 0 ][ x1

x2]

la forma estándar

x=Ax+Buy=Cx+Du

Dónde:

A=[ 0 1

− km

− bm ] , B=[ 0

1m ] , C=[1 0 ] , D=0

Ejemplo 2: Considérese un circuito RLC L R

ei C e0

42


Obtenemos

e i=Ldidt+Ri+

1C ∫ idt

eo=1C∫ idt

Por lo tanto

eo+RLeo+

1LC

eo=1LC

e i

Tenemos

x1=eox2=eo y también

u=eiy=eo=x1

Obtenemos

[ x1

x2]=[0 1

−1LC

−RL ] [x1

x2]+[01LC ]u

y=[1 0 ][ x1

x2 ]Con lo cual tenemos el modelo matemático.Dónde:

A=[0 1

−1LC

−RL ] ,B=[01LC ]

C=[1 0 ] y D=[0 ]

43


CONVERSION DE MODELOS

El matlab cuenta con varias funciones que facilitan la conversión de una forma de modelo a otra y son

las siguientes:

Función residue. La función residue convierte la función de transferencia polinómica:

[r, p, k] = residue (B, A) Determina los vectores r, p y k, que contienen los valores de residuo, los polos y

los términos directos de la expansión de fracciones parciales. Las entradas son los coeficientes de los

polinomios B y A del numerador y denominador de la función de transferencia, respectivamente.

Método en fracciones parciales para encontrar las transformadas inversas de Laplace

Para encontrar la transformada inversa de Laplace debemos desarrollar un método para expresar F(s)

como una suma de fracciones parciales o sea F(s) = F1(s) + F2(s) + F3(s) + F4(s) ......... y por lo tanto L-

1(F(s)) = L-1(F1(s) + L-1(F2(s) + L-1(F3(s) + L-1(F4(s).....

= f1(t) + f2(t) + f3(t) + f4(t) +....

Desarrollo en fracciones simples con matlab

MATLAB tiene una orden para obtener el desarrollo en fracciones simples de B/s) /A(s).

44

residue Expansión de fracciones parciales.

ss2tf Espacio de estados a función de transferencia

ss2zp Espacio de estados a cero-polo-ganancia

tf2ss Función de transferencia a espacio de estados.

tf2zp Función de transferencia a cero-polo-ganancia.

zp2ss Cero – polo – ganancia a espacio de estados.

zp2tf cero – polo - Espacio de estados a función de transferencia


En primer lugar se presentará el enfoque de MATLAB para detener el desarrollo en fracciones simples de

B(s)/A(s). Después se analiza el procedimiento que sigue MATLAB para obtener los ceros y los polos de

B(s)/A(s).

Desarrollo en fracciones simples con MATLAB. Considérese la función de transferencia B(s)/A(s):

B( s )A (s )

=numden =

b0 sn+b1s

n−1+. . ..+bnsn+a1s

n−1+ .. ..+an

donde algunos ai y bi pueden ser cero. En MATLAB, los vectores fila num y den especificar los coeficientes

del numerador y del denominador en la función de transferencia. Es decir,

num = b0 b1 … bn

den = 1 a1 … an

El comando

r, p, k = residue (num, den)

Encuentra los residuos (r), los polos (p) y los términos directos (k) de un desarrollo en fracciones simples

del cociente de dos polinomios B(s) y A(s).

El desarrollo en fracciones simples de B(s)/A(s) se obtiene mediante

B( s )A (s )

=r (1)

s−p (1 )+

r (2)s−p (2)

+. . ..+r (n )

s−p( n)+k ( s )

Comparando las Ecuaciones se observa que p(1) = -p1, p(2) = -p2, … p(n) = -pn ; r(1) = a1, r(2) = a2, …., r(n)

= an . k(s) es un término directo.

Ejemplo:

Considere la siguiente función de transferencia:

B( s )A (s )

=2 s3+5 s2+3 s+6s3+6 s2+11 s+6

Para esta función,num = 2 5 3 6

den = 1 6 11 6

La ordenr , p, k = residue (num, den)

Proporciona el resultado siguiente:

45


r =

- 6.0000

- 4.0000

3.0000

p =

- 3.0000

- 2.0000

- 1.0000

k =

2


(Observe que los residuos se devuelven en el vector columna r, las posiciones de los polos en el vector

columna p y el término directo en el vector fila (k). Esta es la representación en MATLAB del siguiente

desarrollo en fracciones simples de B(s)/A(s):

B( s )A (s )

=2 s3+5 s2+3 s+6s3+6 s2+11 s+6

=

−6s+3

+ −4s+2

+ 3s+1

+2

La función residue también se puede utilizar para obtener los polinomios (numerador y denominador) a

partir de su desarrollo en fracciones simples. Esto es, el comando,

num, den = residue (r, p, k)

donde r, p y k están como se obtienen en el resultado de MATLAB anterior, convierte el desarrollo en

fracciones simples en la razón de polinomios B(s)/A(s) del modo siguiente:

La función: printsys (num, den, ‘s’)

Imprime num/den en términos del cociente de los polinomios en s:

Observe que si p(j) = p(j+1) = …. = p(j+m-1) esto es, pj+1 = … = pj+m-1, el polo p(j) es un polo del

multiplicidad m. En este caso, el desarrollo incluye términos en la forma

46

num, den = residue (r, p, k);

printsys (num, den, ‘s’)

num/den =

2 s¿3+5 s¿2+3 s+6s¿3+6 s¿2+11 s+6


r ( j)s-p( j )

+r ( j+1)

[ s−p( j )2]+.. ..+

r ( j+m−1)

[s−p( j)]m

Consúltense los detalles en el Ejemplo

Ejemplo: Obtenga el desarrollo B(s)/A(s) siguiente en fracciones simples utilizando MATLAB.

B( s )A (s )

= s2+2 s+3(s+1)3

+. .. ..+r ( j+m−1 )

[ s−p ( j) ]mConsúltense los detalles en el ejemplo 2.7.

Ejemplo: Obtenga el desarrollo B(s) A(s) siguiente en fracciones simples utilizando MATLAB.

B( s )A (s )

= s2+2 s+3(s+1)3

= s2+2 s+3

[ s−p ( j)]m

Para esta función, se tiene

num = 0 1 2 3den = 1 3 3 1

La ordenr , p, k = residue (num, den)

Proporciona el resultado que se muestra en la página siguiente. Es la representación en MATLAB del

desarrollo en fracciones simples de B(s)/A(s):

B( s )A (s )

= 1s+1

+ 0

(s+1)2+ 2

(s+1)3

47

num = 0 1 2 3;

den = 1 3 3 1;


r =

1.0000

0.0000

2.0000

p =

-1.0000

-1.0000

-1.0000

k= [ ]


Observe que el término directo k es cero.

Para obtener la función original B(s)/A(s) a partir de r, p y k se introducen las siguientes líneas en el

computador:

Entonces el computador mostrará el num/den siguiente:

num/den =

4s2+16s+12s4+12 s3+44 s2+48 s

Para obtener los ceros (z), polos (p) y ganancia (K), e introduce el siguiente programa de MATLAB en el

computador:

Entonces el computador generará la siguiente salida en la pantalla:

Los ceros son -3 y -1. Los polos están en s = 0, -6, -4 y -2. La ganancia K es 4.

Si los ceros, los polos y la ganancia K están dados, entonces el siguiente programa en MATLAB generará

num/den:

48

num = 0 0 4 16 12;

den = 1 12 44 48 0;

z, p, K = tf2zp (num, den)

s =

-3

-1

p =

0

-6.0000

-4.0000

-2.0000

K =

4

z = -1; -3;

p = -1; -2; -4; -6;

K = 4

num, den = zp2tf(z,p,K);

Printsys (num, den, ’s’)

num / den =

4 s¿2+16 s+12s¿4+12 s¿3+44 s¿2+48 s


La función ss2tf convierte las ecuaciones de espacio de estados de tiempo continuo.

x '=Ax+Buy=Cx+Du

En la función de transferencia:

H ( s )=b0 s

n+b1 sn−1+. .. . .. .. . .. ..+bn−1+bn

a0 sm+a1s

m−1+. .. . .. .. . .+am−1 s+am

[num, den] = ss2tf(A,B,C,D) calcula la función de transferencia de :

H ( s )=num( s )den( s )

=C (sI−A )−1B+D

De el sistema

x '=Ax+Buy=Cx+Du

El vector den contiene los coeficientes de le denominador en potencies descendientes de s. Los

coeficientes del numerador son retornados en num.

Ejemplo: Las ecuaciones de espacios de estados para nuestro sistema :

[ x1'

x2' ]=[0 1

−3 −4 ] [x1

x2]+[01 ]u

y=[10 0 ] [x1

x2 ]+ [0 ]u

Usamos el programa:

RESULTADO:num =

0 0 10

den =

1 4 3

49

%convertir modelo de espacio de estados en función de transferenciaA=[0,1;-3,-4];B=[0,1]';C=[10,0];D=0;[num,den]= ss2tf(A,B,C,D)


Que significa:

H ( S )=y (s )u (s )

=10s2+4 s+3

La función ss2zp convierte las ecuaciones de espacio de estados de tiempo continuo.

x '=Ax+Buy=Cx+Du

En la función de transferencia de cero-polo-ganancia:

H ( s )=k( s−z1 )( s−z2 ) .. .. . .. ..( s−zn )( s−p1)( s−p2 ). .. .. . .(s−pm )

Ejemplo: Las ecuaciones de espacios de estados para nuestro sistema :

[ x1'

x2' ]=[0 1

−3 −4 ] [x1

x2]+[01 ]u

y=[10 0 ] [x1

x2 ]+ [0 ]u

Usamos el programa:

RESULTADO:z = Empty matrix: 0-by-1

p =

-1

-3

k =

10

Que significa:

H ( S )=y (s )u (s )

=10( s+1 )( s+3)

50

%convertir modelo de espacio de estados al cero-polo-ganancia

A=[0,1;-3,-4];

B=[0,1]';

C=[10,0];

D=0;

[z, p, k]= ss2zp(A,B,C,D)


La función tf2zp convierte la función de transferencia polinómica

H ( s )=b0 s

n+b1 sn−1+. .. . .. .. . .. ..+bn−1+bn

a0 sm+a1s

m−1+. .. . .. .. . .+am−1 s+am

En la función de transferencia de cero-polo-ganancia:

H ( s )=k( s−z1 )( s−z2 ) .. .. . .. ..( s−zn )( s−p1)( s−p2 ). .. .. . .(s−pm )

Ejemplo: La función de transferencia polinómica:

H ( S )=y (s )u (s )

=10s2+4 s+3

Se convierte en una función de transferencia cero-polo-ganancia usando el programa:

RESULTADO:

z = Empty matrix: 0-by-1

p =

-1

-3

k =

10

Que significa:

H ( S )=y (s )u (s )

=10( s+1 )( s+3)

51

%convierte función de transferencia en cero-polo-ganancia

num=10;

den=[1,4,3];

[z, p, k]= tf2zp(num,den)


52


5. INTRODUCCION.- Los sistemas los vamos a analizar en el tiempo y en la frecuencia, inicialmente

los analizaremos en el tiempo veremos sistemas de primer orden y de segundo orden:

5.1. Sistemas de primer orden.- En un sistema de primer orden la relación entrada salida será

representa por :

C( s )R( s )

= 1Ts+1

Si este sistema de primer orden es excitado por un escalón unitario la respuesta será

C (s )= 1Ts+1

1s en fracciones parciales será

C (s )=1s− 1

s+1T y tomando la transformad inversa de Laplace tenemos

c ( t )=1−e−t

T

Ejemplo 1

Si consideramos un circuito RC como el mostrado

R

I(t) Vi(t) C Vo(t)

53


vi(t) = i(t) R + vo(t) como i(t) en el condensador es igual a

i(t) = C (dvo(t) / dt) entonces tenemos vi(t) = RC (dvo(t)/dt) + vo(t), tomando transformada de Laplace

tenemos Vi(s) = RCs Vo(t) + Vo(t)

de donde

V o (s )V i( s )

= 11+RCs

por lo tanto c ( t )=1−e−t

RCy el diagrama de bloques sería

Vi(s) V o(s)

La grafica será

V entrada

V salida

t

Figura 5.1: Respuesta al escalón en primer orden5.2. Sistemas de segundo orden.- Considerando la función de transferencia simple de lazo cerrado

TN 2=ωn2

s2+2 ζωn s+ωn2

Dónde:

ζ relacion de amortiguamiento y ωn es frecuencia natural

LAS RAICES SON S1,2=−ζωn±ωn√ζ2−1

Analizaremos tres casos:

1.- 0<ζ <1 caso subamortiguado

54

11+RCs


C( s )R( s )

=ωn2

(s+ζωn+ jωd )( s+ζωn− jωd )donde ωd=ωn√1−ζ2

de donde

2.- ζ =1 caso criticamente amortiguado

C (s )=ωn2

(s+ωn )2 s

de donde c ( t )= 1−e−ωn t (1+ωnt )

3.- ζ >1 caso sobreamortiguado

C (s )=ωn2

(s+ζωn+ωn√ζ2−1 )(s+ζωn−ωn√ζ2−1)s

6. ddd

Donde:

s1=(ζ+√ζ2−1)ωn y s2=( ζ−√ζ2−1)ωn

Respuesta transitoria

Consideremos un sistema de segundo orden, debido a que las especificaciones de funcionamiento de los

sistemas están definidas para este tipo de sistema. Para sistemas de orden mayor, utilizando el concepto

de polos dominantes se aproxima el sistema a uno de segundo orden. Su función de transferencia es:

Sus polos o raíces características son:

El diagrama de bloques de un sistema de segundo orden se muestra en la figura

55

c ( t )=1−e−ζωn t(cosωd t+

ζ

√1−ζ 2senωd t )

c ( t )=1+ωn

2√ζ2−1( e

−s1 t

s1

−e− s2 t

s2

)

E(s)

G( s )=ω n

2

s2+2 ζωn s+ω n2

s1,2=−ζω n± ω n√1−ζ 2

ω n2

s2+2 ζωn s+ωn2


Para el caso subamortiguado, la respuesta a un escalón unitario tiene oscilaciones amortiguadas, donde

se definen algunas especificaciones de funcionamiento que son utilizadas como criterios de diseño:

* Porcentaje de sobreimpulso (overshoot)Mp

* Tiempo de asentamiento o establecimiento (settling time)ts

* Tiempo de subida o de crecimiento (rise time)tr

* Tiempo de pico máximo (peak time)tp

* Tiempo de retardo (delay time) td

Figura 5.2: Respuesta al escalón unitario

1.- Tiempo de subida: el tiempo que se demora de 0 a 100%

c ( t r )=1=1−e−ζωn t r(cosωd t r+

ζ

√1−ζ 2senωd t r )

Resolviendo

t r=1ωd

tan−1 (ωd

ζωn

)= π−βωd

β=tan−1ωd

ζωn2.- Tiempo pico (tp) Cuando la derivada de C(t)/dt = 0 se halla la solución para tp = p/wd

56

1

0.5

0

C(t) Tolerancia admisible

0.05o bien0.02

PM

dt

rt

ptst

Figura 1.19:Curva de respuesta al escalón unitario.

1

0.5

0

C(t) Tolerancia admisible

0.05o bien0.02

PM

dt

rt

ptst

Figura 1.19:Curva de respuesta al escalón unitario.


3.- La sobreelongacion máxima se obtiene en el tiempo pico

Mp = c(tp) –1 Resolviendo M p=e

−(ζ

√1−ζ 2)π

4.- Tiempo de asentamiento ts

Con el criterio del 2% será ts = 4/zwn y del 5% es ts = 3/zwn

Ejemplo 1: Si un sistema de segundo orden tiene las siguientes características z = 0.6 y wn = 5 rad/seg.

Hallar los valores de merito

Solución:1.- Hallando tr = p-b/wd , como ωd=ωn√1−ζ 2=4

y σ=ζωn=3

β=tan−1ωd

σ=tan−1 4

3=0 .93 radianes

tr = 3.14 – 0.93/4 = 0.55 seg.

2.- Hallando tp = p/wd = 3.14/4 = 0.785 seg.

3.- Sobreelongación máxima M p=e−(σ

ωd)π

=e−(3 4 )∗3 .14

=0 . 095 o sea9 .5 %

4.- Tiempo de asentamiento ts

Con el 2% será ts = 4/ = 4/3 = 1.33 seg. o con el 5% ts = 3/3 = 1 seg.

5.3. Propiedades de los sistemas realimentados.- El objetivo de la realimentación es hacer que un

sistema, a menudo llamado “Proceso”, se comporte (responda) mejor. Mejor significa con más rapidez y

con mayor exactitud para una señal de entrada de referencia. La mayoría de los sistemas de lazo

abierto son estables con entradas de referencia limitadas, estos lazos abiertos carecen de velocidad y

precisión para seguir la referencia de entrada aplicada al sistema. Si bien la retroalimentación puede

reconfigurar el comportamiento de un sistema, también puede desestabilizarlo. La retroalimentación nos

produce los siguientes beneficios:

Mejora la velocidad y precisión para seguir la entrada.

Mejora la capacidad de rechazo a las perturbaciones.

Modificación del ancho de banda.

Modifica la ganancia total del sistema.

En nuestro caso se retroalimenta la salida, esto es se mide la señal de salida por lo general mediante una

función de transferencia, y luego se resta a la señal de entrada de referencia. La señal de error resultante

se alimenta entonces hacia delante, por lo general mediante un compensador, para proporcionar una señal

al sistema físico, o proceso a ser controlado. Idealmente, el error entre la entrada y la salida del sistema

deben tender a cero con el tiempo, de modo que la salida del sistema deben tender a cero con el tiempo,

57

G(s)

H(s)

+

-

R(S) C(s)E(s)

R(S) Gc(s)

H(s)

+

-

C(s)

E(s)

Gp(s)


de modo que la salida del sistema rastree la entrada de referencia. En el mejor de los casos, el error tiende

a cero con rapidez sin grandes demoras en la respuesta del sistema.

Formulación Básica.- En la figura consideramos R la entrada y C la salida:

Tenemos que la función de transferencia de lazo cerrado para el sistema general de la figura será:

Para propósitos de diseño, la función de transferencia G en el lazo de avance o directo se divide en un

compensador Gc y una planta o proceso Gp, como se muestra en la figura 5.6. La función de transferencia

H en el lazo de retroalimentación puede representar muchas cosas, incluido un compensador para hacer el

sistema funcione mejor o que la dinámica de un transductor que convierta la señal del sistema en el mismo

tipo de señal sea la entrada de referencia.

En la mayoría de los casos H = 1, que da por resultado el diagrama de bloques de la figura 5.6

Cada función de transferencia de la figura 6.1 es de la forma

58

Figura 5.3: Retroalimentación Negativa

Figura 5.4: Retroalimentación Negativa con G dividida en compensador y planta

R(S) Gc(s)+-

C(s)E(s)

Gp(s)

Figura 5.5: Retroalimentación Negativa con Realimentación unitaria.

C( s )R( s )

=G( s )

1+G( s )H ( s ). .. .. . .. ..(6 . 1)


KΠi=1m (s+zi)

Π i=1n ( s+ p i)

.. .. .. . .. .. . .(6 .2 )

Este es el numerador y denominador son polinomios en la variable de Laplace s. Estos polinomios son

fijos y en general se dan en la forma factorizada mostrada:

G(s) = gn(s)/gd(s) y H(s) = hn(s)/ hd(s)...................(6.3)

Entonces la función de transferencia de lazo cerrado es

T c( s )=G(s )1+G(s )H ( s )

=

gn (s )gd ( s )

1+[gn (s )hn (s ) ]/[gd (s )hd ( s )]=gn (s )hd ( s )gd ( s )hd (s )+gn( s )hn( s )

. . .. .. .. . .. .. . ..(6 . 4 )

Esta forma final de las fracciones parciales de Tc revela algunas características interesantes de la función

de transferencia de lazo cerrado.

El numerador de Tc esta en forma factorizada, y se compone de los ceros de G y los polos de H. En

segundo lugar, el denominador de Tc no está en forma factorizada porque consiste en la suma de dos

polinomios factorizados.

Además, como gn y hn son de la forma dada por la ecuación (6.2), cualquiera de ellas o ambas

potencialmente podría tener factores de ganancia multiplicativos Si se cambia cualquiera de estas

ganancias, las raíces del polinomio denominador también cambiaran.

También el grado del denominador es el mismo que el grado de gd(s) gn(s)

El denominador se le da el nombre de “Polinomio Característico” porque caracteriza la respuesta del

sistema de lazo cerrado

La forma de las fracciones parciales de la función de transferencia en lazo cerrado Tc revela una

expresión para la ecuación característica.. Sin embargo, la ecuación característica también puede

escribirse como:

1+G( s )H ( s )=0 . .. .. . .. .. . ..(6 .5)

Ahora

G( s )H ( s ) =gn( s )hn( s)gd (s )hd ( s )

=KΠi=1

m (s+zi)

Π i=1n (s+ p i)

59


Se utilizara esta forma para el análisis sobre el lugar geométrico de las raíces. Obsérvese que según la

ecuación (7.5), el polinomio característico es simplemente la función de transferencia de lazo mas uno. En

esta forma, la ganancia K actúa como un factor de escala para el termino

KΠ i=1m ( s+zi )

Π i=1n (s+ p i) el cual es un numero complejo cuando se evalúa con un valor particular de s.

La ganancia K resultara ser una de las variables de diseño primarias que están a disposición. Por tanto,

es imperativo encontrar una forma eficiente de factorizar el denominador de Tc para un rango de valores de

K. De una forma u otra, la factorización del denominador de Tc es de lo que trata el resto de este curso y

dará inicio esa discusión formal el siguiente capitulo. Veamos un ejemplo por ahora:

Ejemplo 7.2.1

Sea

G( s )= Ks (s+1)

, H (s )= 1s+10

Entonces

T c( s )=k (s+10)

s (s+1)( s+10 )+K=

k (s+10 )s3+11 s2+10 s+K

Vemos que R C

Vamos a manejar el valor de K de tal manera que obtengamos una respuesta que nos satisfaga:

Caso 1 : K = 2

T c( s )=2( s+10 )

( s+0 .290 )(s+0 .688 )(s+10 .02 )Si la entrada es un escalón entonces

C (s ) =2( s+10 )s ((s+0 . 290)( s+0 . 688 )(s+10. 02 )

=C1

s+C2

s+0 .290+C3

s+0 .688+C4

s+10 . 02 y la respuesta en el tiempo es :

c ( t )=[C1+C2e−0. 290 t+C3e

−0 .688 t+C4 e−10 .02 t ]1 ( t )

caso 2 : Ahora para K = 110

60

k ( s+10 )s3+11 s2+10 s+K


T c( s )=110(s+10 )( s− j √10 )(s+ j √10)( s+11 )

Si la entrada es un escalón entonces

C (s ) =110(s+10 )s (s− j√10)( s+ j√10 )(s+11)

=C1

s+C2

s+11+Ms− j √10

+M¿

s+ j√10Aplicando la transformada inversa de Laplace se obtiene:

c ( t )=[C1+C2e−11 t+2 /M /cos (√10 t+φ )] 1( t )

La salida tiene una oscilación sostenida.

Por si acaso φ=∠M

caso 3 : Ahora para K = 264

T c( s )=264 (s+10 )( s−0 .5− j 4 . 66 )(s−0 . 5+ j 4 .66 )( s+12 )

Y la respuesta aun escalón será:

c ( t )=[C1+C2e

−12 t+2/M /e0 . 5t cos( 4 . 66 t+θ )] 1( t )En este caso la respuesta se expande sin límite, aunque no es una respuesta deseable.

Resumen

1.- Los tres valores de ganancia elegidos producen tres comportamientos muy diferentes. Además, si se

incrementa la ganancia por encima de 110 el resultado será una respuesta inestable.

Estas observaciones son ciertas para todos los sistemas de control. La ganancia K se utiliza como una

variable para el diseño. Cuando se combina con la retroalimentación altera significativamente el

funcionamiento del sistema Como paso final graficamos los polos cuando la ganancia K varía entre 0 y

264.

61


PROGRAMAS EN MATLAB PARA EL ANALISIS EN EL TIEMPO

1) Primer caso 2 raíces reales distintas (D>1) Sobreamortiguado

t=[0:0.2:20]';

wn=1;

d=2;

num=[wn^2];

den=[1,2*d*wn,wn^2];

ye=step(num,den,t);

plot(t,ye);

title('respuesta a un escalon unitario caso 2 raices reales distintas');

xlabel('tiempo(seg)');

grid;

2) Segundo caso críticamente amortiguado.-

t=[0:0.2:20]';

wn=1;

d=1;

62


num=[wn^2];


ye=step(num,den,t);

plot(t,ye);

title('respuesta a un escalon unitario caso 2 raices reales iguales');


grid;

3) Tercer caso d=0 punto critico de oscilación

t=[0:0.2:20]';

wn=1;

d=0;

num=[wn^2];


ye=step(num,den,t);

plot(t,ye);

title('respuesta a un escalon unitario caso punto critico de oscilacion');


grid;

63


4) Sistema inestable

t=[0:0.2:20]';

wn=1;

d=-0.1;

num=[wn^2];


ye=step(num,den,t);

plot(t,ye);

title('respuesta a un escalón unitario caso Sistema Inestable');

xlabel('tiempo(seg.)');grid;

5) Caso 2 raíces complejas conjugadast=[0:0.2:20]';

wn=1;64


vectord=[0.1:0.1:0.9];

Y=[];

num=[wn^2];

for i= 1:length(vectord)

d=vectord(i);


y=step(num,den,t);

Y=[Y,y];

end

plot(t,Y);

title('respuesta a un escalon unitario caso Sistema Subamoertiguado');


grid;

6) Mostrando las envolventes para d=0.2

t=[0:0.2:20]';

wn=1;

d=0.2;

num=[wn^2];


ev1=1+(exp(-d*wn*t)/sqrt(1-d^2));

ev2=1-(exp(-d*wn*t)/sqrt(1-d^2));

ye=step(num,den,t);

plot(t,ye,t,ev1,t,ev2);

65


title('SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN');


ylabel('Salida');

grid;

7) Programa que calcula los parámetros de un sistema de segundo orden

RESUMEN DE FORMULAS (caso subamortiguado)

La salida del sistema viene dada por:

y ( t )=1− e−( ζωn t )

√1−ζ 2sen (ωd t+φ )

Con:ωd=ωn√(1−ζ2 ) y φ=arctg √(1−ζ

2 )ζ

Los parámetros característicos del sistema serán:

1. Tiempo de subida :

t r=π−φwd

con φ=arctg( √1−ζ 2

ζ)

2. Tiempo de pico:

t p=πωd

= π

ωn√1−ζ2

3. Sobreelongación (Sobreoscilación) M p=e

− ζπ

√1−ζ2

66


%Programa: Realiza los cálculos teóricos con las formulas utilizando

%los resultados y la gráfica de MATLAB

%DATOS DE ENTRADA

%wn=1

%d=0.2

%RESULTADOS

%tr = tiempo de subida

%tp = tiempo de pico

%mp = sobreoscilacion

yp=1;%valor de salida en régimen permanente

t=[0:0.2:20]';

wn=1;

d=0.2;

num=[wn^2];


ye=step(num,den,t);

%calculando el tiempo de subida

%teórico

fi=atan(sqrt(1-d^2)/d);

tra=(pi-fi)/(wn*sqrt(1-d^2));

%con la respuesta de matlab

for i=1:length(t)

if((ye(i)<=yp)&(ye(i+1)>=yp))

tr=t(i);

break;

end

end

%Calculando tiempo de pico

%teórico

tpa=pi/(wn*sqrt(1-d^2));

%Con la respuesta de matlab

for i=1:length(ye)

if (ye(i)==max(ye))

tp=t(i);

break;

end

end

%Calculando Sobrepaso Mp

%teórico

67


mpa=exp(-(d*pi)/(sqrt(1-d^2)));

%Con la respuesta

mp=max(ye)-yp;

display 'Tiempo de subida';[tra tr]

display 'Tiempo de pico'; [tpa tp]

display 'Sobrepaso'; [mpa mp]

RESPUESTA

68

>> anat07

Tiempo de subida

ans = 1.8087 1.8000

Tiempo de pico

ans = 3.2064 3.2000

Sobrepaso

ans = 0.5266 0.5266


69


6. SISTEMAS DE CONTROL DE LAZO CERRADO

6.1. El diagrama general de bloques de lazo cerrado.- En la figura se muestra un diagrama general

que describe la mayoría de los sistemas de lazo cerrado. Las ideas incorporadas en este

diagrama de bloques del sistema general son las siguientes:

o Una cierta variable del proceso que se controla (Temperatura, presión, caudal de flujo de un

fluido, concentración química, humedad, viscosidad, posición mecánica, velocidad mecánica,

etcétera.)se mide y alimenta a una computadora.

o El comparador, que puede ser mecánico, eléctrico o neumático, realiza una comparación entre

el valor medido de la variable y el punto de ajuste que representa el valor deseado de la

variable. Luego el comprador genera una señal de error que representa la diferencia entre el

valor medido y el valor deseado. La señal de error se considera equivalente al valor medido

menos el valor deseado de forma que si el valor medido es demasiado grande, la señal de error

será positiva, y si el valor medido es demasiado pequeño la señal de error será negativa.

o El controlador, que también puede ser mecánico, eléctrico o neumático, recibe la señal de error

y genera una señal de salida. La relación entre la señal del controlador y la señal de error

depende del diseño y ajuste del controlador y es un tema detallado en sí mismo. Todos los

controladores de lazo cerrado pueden clasificarse en cinco clases o modos de control. El modo

de control depende de la relación matemática entre la salida del control y su entrada (señal de

error).

o Dispositivo de corrección final, a veces hay una etapa previa de amplificación por

consideraciones de potencia. Este dispositivo con frecuencia es un motor eléctrico, que puede

utilizarse para abrir o cerrar una válvula, desplazar algún objeto mecánico en una dirección u

otra, o cualquier función similar. El dispositivo de corrección final puede ser una válvula

solenoide o una válvula o amortiguador accionado de forma neumática o un SCR o triac para

controlar la potencia de carga en todo el sistema eléctrico.

o El dispositivo de medición podría ser un termopar, un calibrador de presión u tacómetro o

cualquiera de los numerosos dispositivos que pueden realizar mediciones de una variable. Con

frecuencia el dispositivo presenta una señal de salida eléctrica. Los dispositivos de medición

que realizan esto se denominan transductores.

70


6.2. Nomenclatura utilizada en los sistemas de lazo cerrado.-

o Punto de ajuste : también llamado valor de referencia o valor deseado

o Comparador: Detector de error o detector de diferencias.

o Señal de error: También conocida como señal de diferencia o desviación.

o Señal de salida del controlador: A veces conocida como valor de control.

o Dispositivo de corrección final: Elemento de corrección o elemento del motor

o Variable controlada: A veces variable de salida o condición de salida.

o Dispositivo de medición: Sensor, transductor

o Valor medido

6.3. Características de un buen sistema de lazo cerrado.- Son contar con un bajo offset, alta

velocidad de respuesta, sin oscilaciones o sea estabilidad.

6.4. EJEMPLOS DE SISTEMAS DE LAZO CERRADO.-

6.4.1. Sistema de control de temperatura bimetálica.- La figura muestra un método

popular de control de temperatura que se utiliza para los sistemas de calefacción doméstica

y en algunos sistemas industriales. La tira espiral bimetálica está inmersa en el medio cuya

temperatura se controla. Ya que los dos componentes metálicos tienen distintos

71


coeficientes de expansión, el espiral se desenrolla o se enrolla más según los cambios de

temperatura. Suponga en este ejemplo que la tira espiral está construida con el metal con

mayor coeficiente de expansión por dentro de forma que el espiral se desenrolla cuando la

temperatura se eleva. Conectado al extremo de la espiral se encuentra un interruptor de

mercurio, un bulbo de vidrio sellado que contiene mercurio líquido y dos electrodos.

El mercurio, aunque es un líquido bajo condiciones estándar, es un metal y un excelente

conductor eléctrico. Cuando el interruptor de mercurio se inclina a la derecha (rota en

dirección de las manecillas de reloj) el mercurio se escurre al lado derecho del bulbo y abre

la conexión eléctrica entre los electrodos. Cuando el interruptor se inclina a la izquierda

(rota en dirección opuesta a las manecillas del reloj) el mercurio fluye al lado izquierdo del

bulbo y forma una conexión eléctrica entre los electrodos.

6.5. MODOS DE CONTROL EN SISTEMAS INDUSTRIALES DE LAZO CERRADO.-

Como se mencionó anteriormente, la forma en la que el controlador reacciona ante una señal de

error es una muestra del modo de control. Resulta algo complicado realizar clasificaciones

estrictas y rápidas de los modos de control, pero generalmente se acepta que existen cinco modos

básicos:

o Encendido – Apagado

o Proporcional

o Proporcional más integral

o Proporcional más derivativo

72


o Proporcional más integral más derivativo.

La lista de los modos esta ordenada según la complejidad de los mecanismos y los circuitos

implicados. Es decir, el primer modo, Encendido – Apagado, es el más simple de implementar, a

medida que desciende en la lista, la construcción física de los controladores se vuelve más

compleja naturalmente los modos más complejos de control son también los más difíciles de

comprender.

6.5.1. CONTROL ENCENDIDO APAGADO.- En el modo de control encendido apagado, el

dispositivo de corrección final solo tiene dos posiciones o estados de operación. Si la señal

de error es positiva, el controlador envía al dispositivo de corrección final a la otra posición.

Este control podemos visualizarlo

73


74


6. FUNCION DE TRANSFERENCIA DEL MOTOR DE CORRIENTE DIRECTA

6.1. Análisis del motor de Corriente Directa.- Consideremos un caso muy importante porque nos

permite relacionar el sistema físico con la función de transferencia y además el motor de CD es el más

utilizado para los sistemas de control.

Rq = resistencia de armadura eq = tensión aplicada a la armadura

Lq = inductancia de armadura eb = fuerza contra-electromotriz

iq = corriente de armadura T = torque del motor

if = corriente de campo J = momento de inercia equivalente

B= coeficiente de fricción = desplazamiento angular del eje

viscosa del motor

La ecuación básica par el par electromagnético del motor es:

τ em=(ZNPaπ )φP iq( t )........(1)

Si N f es el número de vueltas y

R f la reluctancia de la trayectoria de flujo de φ p , entonces sea

φ p puede ser expresado como:

K f =¿N f

R f

¿

................................(2)

φ p=K f if (t ) .......................(3)

75

Entrada SalidaB

if =cte cte.

Rq Lq

+-

+

-T Jia ( t ) eb ( t )eq ( t )

θ ( t )


La ecuación resultante para el par electromagnético es:

t em=(ZNPaπ )φq iq (t )

¿KK f if ( t ) iq ( t )¿Kqf if ( t ) iq ( t ) . . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .(4 )

Donde

Kqf=Δ

KK f

Remitiéndose en la figura la ecuación diferencial para el circuito de la armadura es:

eq (t )=Rq iq (t )+Lqdiq ( t )dt

+eb (t ).....(5)

El voltaje eb ( t ) es la fuerza contraelectromotriz (emf, por sus siglas en ingles) de la maquina y es

proporcional a la velocidad de la fecha del motor. Esto es,

eb (t )=K νddtθ (t ) .

...................(6)En un motor de Cd con excitación independiente, la corriente de campo es constante, y el par producido

por el motor se expresa como

τ em ( t )=k qf if ( t ) iq (t )=kqf if iq (t ) .. . .. .. . .. .. .. . .. .(7 )

Donde if es la corriente de campo constante. Suponiendo condiciones iníciales cero y aplicando la

transformada de Laplace a la ecuación (7) tenemos:

T em ( s)=Kqf I f I q ( s) .A continuación, si se supone condiciones iníciales cero y se aplica la transformada de Laplace a la

ecuación (5) en el motor, el resultado es

76


Eq (s )=Rq I q ( s )+Lq sIq (s )+Eb (s ) ...............(8)

La ecuación (8) puede ser reacomodada como

I q (s )=[ 1Lq s+Rq ] [Eq ( s)−Eb ( s ) ] ,

.....(9)Y vemos que.

1Lq s+Rq

Es la función de transferencia entre Eq (s )−Eb ( s) y la función en la armadura

I q ( s) . Se aplica la

transformada de Laplace a la ecuación (6) para obtener:

Eb (s )=K ν sΘ ( s).......(10)

Por tanto, se puede volver a escribir la ecuación como:

I q ( s)=Eq ( s)−Kν sΘ (s )

Lq s+Rq .......(11)

Si ahora se sustituye la expresión para I q ( s) se tendrá:

T em ( s)=Kqf I f [Eq (s )−K ν sΘ (s ) ]

Lq s+Rq ...(12)6.2. Modelo de la parte mecánica.-

También se sabe que:

τmec (s )=Jd2

dt 2θ+B d

dtθ+K rθ

. ....(13)

Se toma la transformada de Laplace de la ecuación y se obtiene:

77


Tmec ( s)=Js2Θ ( s )+BsΘ (s )+K rΘ (s )

...........(14).Por último, si se igualan los lados derechos de las ecuaciones y se reacomoda

Gθ ( s )=Θ (s )Eq ( s)

=K qf I f

(Js2+Bs+K r ) (Lq s+Rq )+Kν K qf I f s ......(15)

.

Si.

Km=Kqf I fJLq ,

Se obtiene una expresión un poco más simple

Gθ ( s )=Km

(s2+ (B/ J ) s+K r / J ) (s+Rq /Lq)+Kν Km s .......(16)

Es útil es este momento construir un diagrama de bloques Gθ ( s ) .Sea

G (s )=Km

[ s2+ (B /J ) s+K r / J ] [ s+ (Rq /Lq )] y

H (s )=K ν s .Así se obtiene

Gθ ( s )=G (s )

1+G ( s)H (s ) .

Esta expresión puede ser representada por el diagrama de bloques de la fig. este diagrama de bloques se

parece al diagrama de bloques que se obtuvo en una exposición preliminar de la retroalimentación en el

capitulo 1. Se debe recalcar que la retroalimentación aquí es interna en el motor de Cd. La función de

transferencia general Gθ ( s ) entre el voltaje de la armadura Eq (s ) y la posición de la flecha Θ (s ) se

representa en el diagrama de bloques por el rectángulo de líneas punteadas.

78

qq LRs /

1

IJKsJBs

K

r

m

/2

sK

sIq

sEb

sEq s+


79

Fig


80


7.1. Criterio de routh.-

Es un método que no nos da mucha información pero nos apoya en determinar el rango de variación de K

para el cual el sistema de lazo cerrado es estable.

Sea p(s) = ansn + an-1sn-1 + an-2sn-2 +...........+ a1s + a0 = 0

Para aplicar este criterio se forma la tabla:

sn an an-2 an-4.......................ak 0

sn-1 an-1 an-3 an-5.......................al 0

sn-2 b1 b2 ............... bi 0 0

sn-3 c1 c2 ............... cj 0 0

sn-4 d1 d2 ............... dk 0 0

.

.

.

s1 e1 e2 ............... 0 0 0

s0 f1 0 ..................0 0 0

Hallando bi, ci y di....

b i=

−Det [ an an−2

an−1 an−3]

an−1

=−(an an−3−an−1 an−2)

an−1

b2=

−Det [ an an−4

an−1 an−5]

an−1

=−(an an−5−an−1an−4 )

an−1....

c1=

−Det [an−1 an−3

b1 b2]

b1

=−( an−1 b2−an−3b1 )

b1

81


d1=

−Det [b1 b2

c1 c2]

c1

=−(b1c2−c1b2 )

c1 La información que vamos a utilizar se encuentra en la primera columna de la tabla, cada cambio de signo

en la primera columna indica una raíz del polinomio en la mitad derecha del plano. Se pueden aplicar dos

reglas más a p(s) antes de formar la tabla:

1.- Si cualquier coeficiente es negativo, entonces existen raíces con partes reales positivas.

2.- Si cualquier coeficiente, excepto a0, falta en el polinomio, entonces existen raíces con partes reales

positivas o bien raíces sobre el eje imaginario.

Ejemplo

P(s) = s3 + 11s2 + 10s + K

La tabla de Routh es s3 1 10 0

s2 11 K 0

s1 b1 0 0

s0 c1 0 0

Calculando b1= -(k-110)/11

. b2= 0

. b3 = K

Entonces la tabla será s3 1 10 0

s2 11 K 0

s1 -(k-110)/11 0 0

s0 K 0 0

Como las dos primeras entradas son 1 y 11 para que todas las raíces del polinomio queden en la mitad

izquierda del plano, las dos últimas entradas deben ser también positivas.. Por lo tanto:

-(k-110)/11>0 y K>0

Finalmente 0<K<110.

Ejemplo 3.3.2

P(s) = s3 + s2 - 4s – 4 = (s+1)(s+2)(s-2)

La tabla de Routh es s3 1 -4 0

s2 1 -4 0

s1 b1 b2 0

s0 c1 0 0

82


b1=−Det [1 −4

1 −4 ]1

=−[−4−(−4 )]1

=0

b2=−Det [1 0

1 0 ]1

=−[0−0 )]1

=0

Par continuar se debe reemplazar la fila de ceros por una de no ceros, se toma la fila inmediata superior

de la fila de ceros y se forma la ecuación auxiliar s2-4 al derivarla obtenemos

dds( s 2−4 )= 2 s esto genera una nueva fila con un 2 seguido de ceros

La nueva tabla es s3 1 -4 0

s2 1 -4 0

s1 2 0 0

s0 c1 0 0

c1=−Det [1 −4

2 0 ]2

=−[0−(−8 )]

2=−4

La tabla es s3 1 -4 0

s2 1 -4 0

s1 2 0 0

s0 -4 0 0

Hay un cambio de signo y por lo tanto una raíz en la mitad derecha del plano.

Ejemplo 3.3.2

P(s) = s4 + 3s3 + s2 +3s +2 = (s+1)(s+2)(s-2)

La tabla de Routh inicial s4 1 1 2 0

. s3 3 3 0 0

s2 b1 b2 0 0

s1 c1 0 0 0

. s0 d1 0 0 0

83


b1=−Det [1 1

3 3 ]3

=−[3−3) ]3

=0

b2=−Det [1 2

3 0 ]3

=−(0−6)3

=2

Como b2 <>0 y b1=0

Reemplazamos b1 por un número muy pequeñoÎ, donde Î es un número positivo arbitrariamente

pequeño.

La tabla de Routh inicial s4 1 1 2 0

. s3 3 3 0 0

s2 Î 2 0 0

s1 c1 0 0 0

. s0 d1 0 0 0

c1=−Det [3 3

∈ 2 ]∈

=− [6−3∈)]∈

=3(∈−2)∈

, entonces c1 es negativo

d1=

−Det [∈ 2c1 0 ]

c1

=−(0−2c1 )c1

=2

Existen 2 cambios de signo y por consiguiente dos polos en la mitad derecha del plano.

84


PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Grafique las raíces del polinomio característico para las ganancias especificadas.

a.GH (s )= K

s( s+4 ), K=0 .1,0 .51 ,4 ,20 ,50

b.GH (s )=

K (s+2)(s+4 )(s+8 )

, K=0 . 1,0 .51 ,4 ,20 ,50

c.GH (s )= K

s( s+2 )(s+40 ), K=1,5 ,50 ,100

d.GH (s )=

K (s+4 )s2 (s+2)( s+10 )

, K=1,2,5 ,50 ,500.

2. Criterio de Routh. Verifique si algunas de las raíces queda en la mitad derecha del plano

a. s4 + 7 s3 + 24 s2 + 58 s + 40

b. s4 + 23 s3 + 196 s2 + 624 s + 640

c. s6 + 5 s5 + 6 s4 + 10 s3 + 4 s + 1

d. s3 -2 s2 - 5 s + 6

3. Criterio de Routh: Rango de estabilidad. Determine e que rango de K el sistema de lazo

cerrado tiene polos estables, si GH es:

a.

K (s+1)( s−2)(s+1)

b.

Ks (s+1)( s+50 )

c.

K (s+1)s2( s+10 )

85


7.2. Lugar Geométrico de las raíces.- Veamos la ecuación característica

1 + G(s)H(s) (7.1)

Esta ecuación se analizara geométricamente para obtener con rapidez la imagen completa de

cómo la respuesta de lazo cerrado variaría con los cambio de ganancia.

Pero escribamos la ecuación (7.1) de la siguiente manera:

GH(s) = -1 = 1-180º

En coordenadas polares podemos escribir |

GH(s)| GH(s) = 1 -180º De

lo cual podemos escribir dos ecuaciones |GH(s)|

= 1 .....................(7.2) GH(s) = -

180º............(7.3)

7.2.1. Representación grafica.-Sabemos que:

G( s )H ( s ) =gn (s )hn (s )gd (s )hd ( s )

=KΠ i=1

m (s+zi)

Π i=1n ( s+ pi )

. . .. ..( 7 . 4 ) El

factor K puede variar los polos de Tc(s).

Consideremos ahora un solo termino (s + ai)

Im(s)

s +a i s+ai

s+a i -a i ai Re(s)

Representación vectorial de s+ai

G( s )H ( s ) =KΠ i=1

m ( s+zi )

Π i=1n (s+ p i)

=KΠ i=1

m |s+zi|∠ s+ziΠ i=1n |s+p i|∠s+ pi

Entonces

G( s )H ( s ) =K [Π|s+zi|]∑∠ s+ zi

[Π|s+p i|]∑∠ s+ pi=[ K|s+zi||s+ pi| ]∑∠ s+zi−∑∠s+ pi

Si igualamos al lado derecho que es 1 -180º tenemos las ecuaciones bases que son las

siguientes:

86


K∏i=1

m

|s+zi|

∏i=1

n

|s+ pi|

=1

(7.5)

∑i=1

m

∠ s+ zi−∑i=1

n

∠ s+ pi=−180 º (7.6)

Estas ecuaciones nos permiten realizar algunos análisis.

7.2.2.Método geométrico lugar de las raíces.-

Veamos el siguiente sistema

. .

.

.

. .

.

. El

ecuación característica será 1+ k( s+2 )(s+4 )

=0

Tenemos:

K( s+2 )(s+4 )

=1∠−180 º

Escribiendo en forma polar

K(|s+2|∠θ1 )(|s+4|∠θ2 )

=1∠−180 º

Tomamos como punto de prueba S1 (al lado derecho de s = -2)

K(|s1+2|∠0º )(|s1+4|∠ 0º )

= K|s1+2||s1+4|

∠0 º

No

cumple con la condición de ángulo pues 0º es diferente de -180º. Tomamos

como punto de prueba S2 (al lado izquierdo de s = -4)

K(|s2+2|∠180º )(|s2+4|∠180 º )

= K|s2+2||s2+4|

∠−360 º= K|s2+2||s2+4|

∠0 º

87

K( s+2 )(s+4 )


No cumple con la condición de ángulo pues 0º es diferente de -180º.

Tomamos como punto de prueba S3 ( -4< S3<-2)

K(|s3+2|∠180 º )(|s3+4|∠0 º )

= K|s3+2||s3+4|

∠−180 º

Por

tanto cualquier punto sobre el eje real entre los polos de GH es una solución de la ecuación

característica. Para el

sistema

K=|s3+2||s3+4|1

Para s3=−2. 05

K=|−2. 05+2||−2. 05+4|1

=0 . 0975≈0 .1

El mismo valor se obtiene para s = -3.95.

También sobre la bisectriz perpendicular se cumple que 1+ 2 = 180º.

La bisectriz pasa por –3.

El s = -3 es un punto de ruptura, punto en el cual el lugar geométrico se aparta del eje real.

S4 S4+4 S4+2 2

1 S2 2 S3 1 S1

-5 -4 S3+4 -3 S3+2 -2 -1 S1+4 S1+2 S2+2 -1

S2+4 -2

88


GRAFICO DEL LUGAR DE LAS RAICES En resumen, los pasos seguidos fueron:

1. Se escribe la ecuación característica de la forma GH = 1-180º

2. Se grafican los polos y ceros reales de GH.

3. Se grafican los polos y ceros reales de GH con respecto a un punto s de solución prospectiva.

4. Si la suma de los ángulos de los ceros de GH menos la suma de los ángulos de los polos de GH es

igual a –180º, entonces el punto es una solución de la ecuación característica con una ganancia

especifica.

5. Se calcula la ganancia que coloca un polo de lazo cerrado en ese punto por medio de la ecuación

respectiva.

6. K se calcula solamente cuando la condición de ángulo ha sido satisfecha.

7.2.3. REGLAS DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAICES

Regla 1.- El lugar geométrico de las raíces en el eje real se encuentra a la izquierda de una cuenta impar

de polos reales y ceros reales de GH.

89


Ejemplo 2.- Si GH=

K (s+1)s (s+4 )( s+10 )

Im(s)

Soluciones de GH + 1 = 0

. X X O X Re(s) -10 -4 -1

Ejemplo 3.- Considere

GH=K (s+1)2

s2( s+10 )

Soluciones de GH + 1 = 0 Im(s)

X O(2) X(2) Re(s) -10 -1

Regla 2.- El inicio del lugar geométrico de las raíces es en los polos de GH.

Regla 3.- El final de las ramas en el lugar geométrico de las raíces es en los ceros de GH.

Tenemos

K=∏i=1

n

|s+ pi|

∏i=1

m

|s+zi|

cuando s=−pi K=0

cuando s=−zi K→∞

90


Ejemplo 4-

GH=K (s+1)( s+4 )s( s+10 )

Im(s)

Soluciones de GH + 1 = 0

X O O X Re(s) -10 -4 -1

Regla 4.- El número de ramas que se extienden al infinito es igual a la diferencia entre el número de polos

y el número de ceros de GH. Este numero llamado exceso de polos sobre ceros, está denotado por pex.

Las ramas que se extienden al infinito tienden a asíntotas de línea recta que se originan en un punto

común. Los ángulos que las asíntotas forman con el eje real se calculan con la formula.

θl=(1+2 l)(180 º )

pex, l=0,1 , .. . pex

Regla 5.- La intersección de las asíntotas con el eje real esta dada por la formula

σ j=∑ j

nRe{p i}−∑ j

mRe {zi }

pex

Ejemplo 1: Sea

GH (s )=K (s+1)(s+5 )s( s+6 )( s+20 )

El lugar geométrico de las raíces se muestra en la figura siguiente:

91


Im(s)

Asíntota en –180º Re(s) -20 -6 -5 -1

La única asíntota esta en = -180º. El polo de lazo cerrado que se origina a partir del polo de GH en s = -

20 viaja a lo largo de esta asíntota hacia cero en s = - .

Regla 6.- Los

puntos en los cuales el lugar geométrico de las raíces se “aparta de “y se “acerca al “eje real pueden

determinarse encontrando los puntos máximos y mínimos de la ganancia K en función de s; con s

restringida a valores reales.

Ejemplo 2.- Tomando el ejemplo ya analizado con

GH= K( s+4 )(s+2)

Vemos un punto de ruptura en s =-3. La figura muestra el lugar geométrico de las raices como una curva

de K como una función de valores reales de s entre –2 y –4 con las ordenadas de las dos curvas

alineadas. El máximo ocurre en s = -3 con K = 1. En el punto donde K = 1, la ecuación característica tiene

una doble raíz en s = -3. Esta es la ganancia máxima con la que los polos son reales; las ganancias más

altas producen raíces complejas.

Im(s)

92


Re(s) -4 -3 -2

Ganancia máxima es s=-3

-4 -2

K=s2+6s+8 dk/ds = 2s +6 = 0 máximo es s = -3

Ejemplo 3.- Consideremos el caso con:

GH=K (s+1)

s (s+4 )( s+10 ) En este caso, los polos de lazo cerrado comienzan en s = -10 y s = -4 y emigran uno hacia el otro. Como

en le caso del ejemplo habrá una ganancia máxima en algún lugar a lo largo del eje real entre estos dos

puntos de inicio. La tabla proporciona la ganancia en la región de s = -7, aproximadamente en un punto

intermedio entre los polos de GH en s igual a -10 y s =-4. Si GH tuviera solo dos polos en s = -10 y s = -4,

el alejamiento habría sido precisamente en s = -7 . Sin embargo, el polo de GH en s = 0 y el cero

93


en s = -1 hacen que el punto de alejamiento este exactamente a la derecha de s = -7. Incluso así, el punto

de alejamiento aun esta muy cerca de s = -7 y el punto medido del intervalo constituye un excelente lugar

para iniciar la búsqueda del punto de alejamiento.

Tabla: Valores de ganancia a lo largo del eje real cerca del punto de alejamiento

s -7.2 -7.1 -7.0 -6.9 -6.8 -6.7

K 10.41 10.46 10.5 10.51 10.50 10.47

Como pex = 2, habrá dos asíntotas en = 90º. Las asíntotas se cortan en

i = (-10-4-(-1))/2 = -6.5

Se muestra

un bosquejo de LGR.

-10 -4 -1

94


Ejemplo 4.-

Sea

GH (s )=K ( s+1 )

s2 (s+2)( s+20 ) Hallar el L.G.R:

Solución:

El primer paso es encontrar el L.G.R. sobre el eje real:

En el intervalo –2 < s < -1 ( la suma es 3, 2 polos mas 1 cero)

En el intervalo - < s < -10 ( 5, 4 polos mas 1 cero)

Pex = 4 – 1 = 3 que será también el numero de asíntotas

Las asíntotas estarán en :

Considerando la formula

θl=(1+2 l)(180 º )

Pex, l=0,1,2 . .. , Pex

θ1=(1+0 )(180º )

3=60 º

θ2=(1+2)(180 º )

3=180º

95


θ3=(1+4 )(180 º )

3=300º

σ i=(0+0+(−2)+(−20 ))−(−1)

4−1=−21

3=−7

En el origen se aparta 90º.

Asíntotas

-20 -7 -2 -1 2

Regla 7.- El lugar geométrico de las raíces es simétrico con respecto al eje del plano s

Regla 8.- El ángulo de partida de una rama del lugar geométrico de las raíces desde un polo de GH, o el

ángulo de arribo de una rama en un cero de GH puede determinarse satisfaciendo la condición del ángulo

sobre un circulo de radio pequeño centrado en el polo o cero en cuestión. Como este círculo se hace mas

pequeño, todos los ángulos de los demás polos y ceros tienden a valores exactos que son fáciles de

calcular. Solo el ángulo con respecto al polo o cero alrededor del cual se construye este círculo de radio

pequeño es entonces desconocido.

Ejercicio.- Considerando el sistema96


GH (s )=

K (s+2)s( s+1 )(s+40 )

Siguiendo los pasos anteriores delinear el LGR para que quede como el mostrado con matlab.

RL01

97

num=1;

den=[1 6 8];

rlocus(num,den);

axis([-10 0 -10 10]);

sgrid;


RL02

RL03

RL04

RL05

98

num=[1 1];

den=[1 14 40 0];

rlocus(num,den);

axis([-20 0 -100 100]);

sgrid;

num=[1 2 1];

den=[1 10 0 0];

rlocus(num,den);

axis([-15 0 -15 15]);

sgrid;

num=[1 1];den=[1 14 40 0];rlocus(num,den);axis([-15 0 -15 15]);sgrid;for k=11:30 ec=[1 14 40+k k]; r=roots(ec) kend

num=[1 1];

den=[1 22 40 0 0];

rlocus(num,den);

axis([-16 16 -16 16]);

sgrid;


8 INTRODUCCION Utilizando la transformada de Laplace u otros métodos podemos hallar la función de

transferencia y así utilizando el diagrama del lugar de las raíces podemos realizar un primer análisis de

estabilidad pero si queremos realizar un análisis para varios rangos de frecuencias y amplitudes pero si

reemplazamos la variable s (Transformada de Laplace por jw (transformada de Fourier) podemos

realizar el análisis en el dominio de la frecuencia de una función de transferencia por intermedio de los

gráficos de Bode en magnitud y fase. Este análisis combinado con el criterio de Nyquist nos permite

realizar el diseño de Bode.

8.1SEÑALES SINUSOIDALES EN SISTEMAS LINEALES.- Las señales sinusoidales son importantes

por lo siguiente:

Los disturbios para ingeniería de control son algunas veces sinusoidales.

99


Mucha vibraciones tiene la forma sinusoidales.

El diagrama de bode esta basado en este tipo de señales de entrada.

Veamos un grafico en la entrada vemos una señal senoidal y en la salida también vemos una señal

senoidal pero su amplitud y fase han cambiado

Entrada:

Salida:

100


La entrada es Asen (wt) y la salida es A./G(jw)/sen(wt +∟G (jw))

La ganancia en amplitud será /G (jw)/ y el desfasamiento será +∟G (jw))

8.2DIAGRAMAS DE BODE Se desea

graficar con rapidez G (jw) para una variación de w. Ahora colocaremos la magnitud y el ángulo de G

(jw) en un diagrama semilogaritmico. Para una frecuencia dada w, G(jw) es un numero complejo. En

el diagrama de Bode representaremos por un lado el módulo de la función ( G(ω ) ) y por otro la fase

(φ (ω ) ). La figura 1 muestra como ejemplo el diagrama de Bode de un filtro paso baja de primer

orden, cuya función de transferencia es:

G(w )= 1jwwc

+1

101


A la hora de elaborar un diagrama de Bode hay que prestar atención al hecho de que la escala

correspondiente al eje de frecuencias es logarítmica. ¿Qué es una escala logarítmica y por qué usarla?

Las escalas logarítmicas se emplean cuando se quieren representar datos que varían entre sí varios

órdenes de magnitud (como en el ejemplo de la figura 1, en el que la frecuencia varía entre 1 rad/s y

106 rad/s). Si hubiésemos empleado una escala lineal, sólo apreciaríamos bien los datos

correspondientes a las frecuencias mayores mientras que, por ejemplo, todos los puntos por debajo de

104 rad/s se representarían en la centésima parte del eje de abscisas.

La abscisa a lo largo de la cual se grafica la frecuencia será logarítmica y las ordenadas donde se

graficaran la magnitud y la fase de G(jw) serán lineales.

La curva de magnitud será logarítmica pues /G(jw)/ se convertirá a decibeles. /G(jw)/db = 20 log

10/G(jw)/

GRAFICANDO

Forma de la constante de tiempo de G(s)

G( s )=K∏i=1

m(s+z i )

sl∏i=1

n−l( s+ pi )

Lo podemos escribir como:

G( s )=( K∏i=1

mZ i

∏i=1

n−lpi )[∏i=1

m(1+ s

zi)

∏i=1

n−l(1+ s

p i) ]

Teniendo en cuenta que 1 + s/pi = 1+pis

Donde pi es la constante de tiempo del polo s= -pi

Podemos decir que

G( s )=k ' [∏i=1

m(1+ s

zi)

∏i=1

n−l(1+ s

pi) ]

k '=( K∏i=1

mZi

∏i=1

n−lpi ). . .. .. . .. .. . .. ..

Termino de ganancia

Además de términos de la forma 1/s(l) , 1+s/zi, 1+s/pi.

Análisis de bode

102


Ganancia.- El termino de ganancia K’ es una línea horizontal de magnitud

20 log10( k∏i=1

mzi

∏i=1

n−lpi )db

Polo real simple.- Considere el termino

1

1+ jwp i

para frecuencias bajas

=20 log10|1

1+ jwpi

|=20 log10|1|=20 log10 1=0 db

para frecuencias altas

=20 log10|1

1+ jwpi

|=20 log10|1

jwpi

|=20 log10(piw)=20 log10 p i−20 log10w

Finalmente dibujaremos

1.- La magnitud es de 0 db hasta la frecuencia de corte pi

2.- Comenzando en pi trace una línea recta de pendiente –20 decibeles

Comparándola con la curva real podemos hallar la frecuencia de corte pi

| 1

1+ jwpi

|=| 1

1+jpip i

|= 1

√2=−3 db

Para la fase consideramos w0 entonces fase 0º

w entonces fase 90º

para w = p i entonces fase 45º.

Cero Real simple.- de 0 a w = pi será 0 db y a partir de ahí se eleva 20 decibles por década. La fase

será de 0º a 90º pasando por 45º en w = pi

Ejemplo 1.- Sea

G( s )=500( s+2 )(s+10 )(s+50)

1. Ponemos G(s) en la forma

G( s )=500 x210 x50

(1+s2)

(1+s10)(1+s

50)=

2(1+s2)

(1+s10)(1+s

50)

Para k= 2 tenemos que 20 log102 = 6 db

103


También representamos

|1+ jw2| , | 1

1+ jw10

| , | 1

1+ jw50

|

40 db 20 Curva compuesta Ganancia en 2 cero en -2 0.1 1 10 100 1000 Polo en –10 polo en -50 (-20)

(-40)

Figura2 Curvas de Magnitud asintótica individual y compuesta

Calculo de la fase.-

∠G( jw )= tan−1 w2−tan−1 w

10−tan−1 w

50el calculo para w=0.2 rad/s es

∠G( j 0 .2)= tan−1 0 .22−tan−1 0 .2

10−tan−1 0 .2

50=5.7 º−1 .15º−0 .23 º=4 .3 º

W 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 3 4 5 10 20 30 50 100 200G(jw) 4º 9º 13º 16º 20º 31º 36º 37º 36º 22º 0º -

30º-36º

-59º -74º

104


Polo repetido.-

Supongamos

1

(1+ jwpi)2= 1

1+( wpi )2∠−2 tan−1w

pi

A baja frecuencia será 0 db.

A alta frecuencia será20 log10( piw )

2

=40 log p i−40 logw .

Será una asíntota con pendiente –40 decibeles por década a partir de la frecuencia de ruptura con un error

en ese punto de 6 decibeles..

La fase pasa de 0º grados a –180º.

Si fuera un polo triple seria –60 db por década y fase hacia –270º.

Polos complejos conjugados.

σ2+wd2

( s+σ− jw d )(s+σ+ jwd )=

σ2+wd2

s2+2σs+σ2+wd2=

wn2

s2+2 ζ wn s+wn2

Donde wn

2=σ2+wd2 y ζ=COS θ , θ= tan−1 (wd/¿ σ ) ¿

Tenemos entonces normalizando:G ( jw )= 1

1+2ξ ( j wwn )+( j wwn

)2

A bajas frecuencias será 0 db

A altas frecuencias será –40 db por década

105


Para coeficientes de amortiguamiento grandes(z) será como en el caso anterior pero para

coeficientes de amortiguamiento pequeños tendrá una joroba con el pico localizado en

w=wn√1−2 ζ2=wr , frecuencia de resonancia

Ejemplo 2.- Dibuje los diagramas de bode para la siguiente función de transferencia:

G ( jw )= 10( jw+3)( jw ) ( jw+2 )[( jw )¿¿2+ jw+2]¿

Lo escribimos de la forma normalizada:

G ( jw )=7.5( jw

3+1)

( jw )( jw2 +1)[ ( jw )2

2+ jw

2+1]

(1)El factor 7.5 contribuye con 20log10(7.5) = 17 db.

(2)El factor (jw)-1 inicia en 20 db y tiene una pendiente de -20 db.

(3)El factor (1+jw/3) tiene frecuencia de esquina w =3 y pendiente de +20db.

(4)El factor (1+jw/2)-1tiene frecuencia de esquina w=2 y pendiente de -20db.

(5)El factor [( jw )2

2+ jw

2+1]

−1

tiene frecuencia de esquina w=√2 y pendiente de esquina de -40 db.

40 (3)

20 (1)

10

0 1 10 100 1000

-10

-20 (4) (5) (2)

106


107


La función bode nos permite calcular la respuesta en magnitud y fase para sistemas en tiempo continuo,

lineal e invariante en el tiempo.

Ejemplo 3: Considere la función de transferencia en lazo abierto:

G( s )=25

s2+4 s+25

Definimos el sistema G( s )=

num( s )den( s )

Ejemplo 4.- Considere el sistema cuya función de transferencia de lazo abierto es:

G( s )=9(s2+0. 2 s+1)s( s2+1. 2 s+9 )

108

num = [ 0 0 25];

den = [ 1 4 25];

bode(num, den)

grid on;

xlabel('w');

title(‘Diagrama de Bode de G(s) = 25/(s^2 + 4s +25)’)

num = [ 0 9 1.8 9];

den = [ 1 1.2 9 0];

bode(num, den)

title(‘Diagrama de Bode de G(s) = 9(s^2 + 0.2s +1)/[s(s^2 + 1.2s +9)]’)

% Programa alternativo

% especifica el rango de variación de w

num = [ 0 9 1.8 9];

den = [ 1 1.2 9 0];

w=logspace(-2,3,100);

bode(num, den,w)

title(‘Diagramas de Bode de G(s) = 9(s^2 + 0.2s +1)/[s(s^2 + 1.2s +9)]’)


9 Después del modelamiento y del estudio en el campo del tiempo, en el campo de Laplace y el campo

de la frecuencia. Ahora empezaremos el estudio de los reguladores. Los reguladores son dispositivos

que comparan la señal de salida con la señal de referencia y de acuerdo a esto disminuyen o

aumentan la señal de entrada. Los mas utilizados son los PID (Proporcional – Integrador – Derivativo),

109


también los de adelanto atraso y otros mas. Dependiendo del problema se escogerá el regulador pero

los mas usados los PID, por eso empezaremos con ellos.

9.1 Reguladores PID.- Se representa por

u( t )=K p .e ( t )+K i∫0

t

e( τ )dτ+Kdddte( t )

donde e (t) es el error y u (t) es la señal de regulación, tenemos que e (t) = r (t) – y (t) donde r (t) es

la referencia y y (t) es la señal a controlar. El regulador también se puede escribir como:

u( t )=K .[e ( t )+ 1T i∫0

t

e( τ )dτ+T d .ddte ( t )]

. Este es un regulador industrial común, en

donde existen tres puntos de ajuste, K, Ti y Td. La ganancia K no tiene dimensión, mientras que Ti y

Td se deben dimensionar en el tiempo, y se dan en segundos o minutos. En muchos casos no se

deriva el valor de referencia, sino que el regulador se da como

u( t )=K .[e ( t )+ 1T i∫0

t

e( τ )dτ+T d .ddt(− y ( t ))]

Al pasar el regulador al campo s, se

obtiene la siguiente función de transferencia

GR(s )=K (1+1T i s

+T d s )Donde

GR(s )=Y ( s )E( s )

Podemos tener un regulador PID. Veamos algunas partes del regulador PID usadas individualmente.

El regulador Proporcional (P), nos proporciona un sistema que responde mas rápido, tiene menor

diferencia con la señal de entrada (error), pero empeora la estabilidad y los transitorios también

aumentan.

El regulador Proporcional – Integral (PI) quita por completo el error en estado permanente, dada

la parte integradora incluida al sistema, desafortunadamente la estabilidad empeora.

El regulador Proporcional – Derivativo (PD) presenta un sistema anticipativo y por lo tanto más

rápido y más estable, en este caso el error ni pierde ni gana. La acción derivativa equilibra la

acción integradora.

El regulador Proporcional – Integrador - Derivativo (PID) mejora las tres características del

sistema, pero hay que buscar entre los valores para obtener el más óptimo. Los métodos usados

son:

Autoajuste. Se basa en ciertas características y requisitos de regulación, con reglas establecidas

se calculan los parámetros del regulador.

110


Campo de Frecuencia. Basado en los requisitos de las características del sistema de control en

el campo de frecuencias, se calculan los parámetros del regulador.

Lugar geométrico de las raíces. Se estudian los polos y ceros y se encuentra los parámetros del

regulador.

9.2 DIMENSIONAMIENTO DE REGULADORES EN EL CAMPO DE LAS FRECUENCIAS: Con

este método se parte de las especificaciones, por ejemplo:

Estabilidad Margen de fase deseado φm > 45°

Margen de amplitud deseado Am > 3dB

Exactitud Error después de un cambio escalón en la referencia e0 =0

Error después de un cambio rampa en la referencia e i < 0.05

Velocidad Tiempo de levantamiento ts < 10 seg.

Otros parámetros son:

Mp sobrepaso máximo. Se calcula como la diferencia entre el valor máximo de la señal de salida y

su valor final = Ymax. -1.

ts es el tiempo de levantamiento. Se mide como el tiempo que tarda la señal de salida en subir del

10% al 90% de su valor final.

te es el tiempo de estabilización. Se mide como el tiempo en donde la señal de salida se encuentra

dentro de unos ciertos límites. Normalmente es 5% o 2%.

tp es el tiempo de sobrepaso máximo. Se mide como el tiempo en que el valor máximo de señal de

salida ocurre.

111


Si nos encontramos en el dominio de la frecuencia podemos calcular en forma aproximada los tres

primeros parámetros:

M p≥1

2 sen (ϕm/2), t s≈

1. 4ωc

y te≈6

ωc tanϕmϕm≤70 °

Sabemos que un regulador tipo PID tiene la forma

GR(s )=K (1+ 1T i s

+Td s )Los valores de K, Ti y Td indicaran el tipo de regulador que se debe usar. Ya sea este un proporcional, un

proporcional - integrador, un proporcional – derivativo o un proporcional – integrador – derivativo.

9.3

9.4

112


113


114


ESPACIO DE ESTADOS

10.1. Introducción.- Un sistema dinámico se describe mediante una serie de ecuaciones diferenciales,

en las cuales el tiempo es la variable independiente. Con la notación matricial, puede expresarse

una ecuación diferencial de n-ésimo orden mediante una ecuación diferencial matricial de primer

orden. Si n elementos del vector son un conjunto de variables de estado, la ecuación diferencial

matricial es una ecuación de estado.

10.2. Representación en el espacio de estados cuando la función de excitación no contiene

términos derivados.-

Consideremos el siguiente sistema de n-ésimo orden

y(n)

+a1 y(n−1)

+. .. . .+an−1 y+an y = u .. . .. .. .(α )

Definimos

x1= yx2= yx3= y

.

. .

xn= y(n−1 )

Entonces la ecuación () se escribe como sigue:

115

m


x1=x2

x2=x3

x3=x4

.

.xn−1=xnxn=−an x1−. .. .−a1 xn+uEsto también se puede expresar como:

x=Ax+Bu

Donde:

x=[x1

x2

.xn] , A=[

0 1 0 . 00 0 1 . 0

. . . . .0 0 0 . 1−an −an−1 −an−2 . −a1

] ,B=[00.01]

La salida será:

y= [1 0 . 0 ] [x1

x2

.xn]

que será y=Cx+Du

donde C=[1 0 . 0 ] obsérvese que d =0

esta será la función de transferencia de la forma:

Ejemplo 1

Consideremos el sistema mecánico que aparece en la siguiente figura:

K

116

Y (s )U (s )

= 1sn+a1 s

n−1+. ..+an−1 s+an


u(t)

y(t)

b

se supone que el sistema es lineal, la excitación externa es u(t), que es una fuerza y la salida es el

desplazamiento de la masa y(t). Este sistema tiene una sola entrada y una sola salida y la ecuación

diferencial que lo describe será:m y+b y+ky=u .

Este sistema es de segundo orden, por lo tanto definimos las variables de estado

x 1 ( t )= y ( t )x2( t )= y ( t )

Obtenemos

x1=x2

x2=−1m(−ky−b y )+

1mu

Expresado de otra manera

x1=x2

x2=−kmx1−

bmx2+

1mu

La ecuación de salida es y=x1

En forma matricial se escribe:

[ x1

x2]=[ 0 1

− km

− bm ] [x1

x2]+[ 0

1m ]u

La ecuación de salida es

y= [1 0 ][ x1

x2]

la forma estándar

117


x=Ax+Buy=Cx+Du

Donde

:

A=[ 0 1

− km

− bm ] , B=[ 0

1m ] , C=[1 0 ] , D=0

Ejemplo 2: Considérese un circuito RLC

L R

ei C e0

Obtenemos

e i=Ldidt+Ri+

1C ∫ idt

eo=1C∫ idt

Por lo tanto

eo+RLeo+

1LC

eo=1LC

e i

Tenemos

x1=eox2=eo

y también

u=eiy=eo=x1

Obtenemos

118


[ x1

x2]=[0 1

−1LC

−RL ] [x1

x2]+[01LC ]u

y=[1 0 ][ x1

x2 ]Con lo cual tenemos el modelo matemático.

Donde:

A=[0 1

−1LC

−RL ] ,B=[01LC ]

C=[1 0 ] y D=[0 ]

10.3. Relación entre el modelo de estados y la función de transferencia

Tenemos

G( s )= K

s3+a2s2+a1s+a0

Y ( s )=G( s )U ( s )=KU (s )

s3+a2 s2+a1 s+a0 Operando en cruz tenemos:

Y ( s )(s3+a2s2+a1s+a0 )=KU (s )

s3Y ( s )+a2s2Y (s )+a1sY (s )+a0Y ( s )=KU (s )

lo que nos lleva a :d3

dt3y ( t )+a2

d2

dt2y ( t )+a1

ddt

y (t )+a0 y ( t )=Ku(t )

Si hacemos

x1( t )= y ( t )

x2( t )=dy ( t )dt

=dx1dt

x3( t )=d2 y ( t )dt2

=dx2dt

Podemos escribir:

119


x1( t )=0+x2( t )+0x2( t )=0+0+x3 ( t )x3( t )=−a0 x1 ( t )−a1 ( t )x2 ( t )−a2x3 ( t )+Ku( t )Expresándolo en forma matricial:

[ x1 ( t )x2( t )x3 ( t )

]=[ 0 1 00 0 1−a0 −a1 −a2

] [x1

x2

x3]+[ 00K ]u( t )

Esta forma es conocida como la forma canónica controlable.

Expresándolo en forma matricial compacta será:

x ( t )=Ax( t )+bu ( t )………..(1)

10.4. Matriz de transición de estados y respuesta en el tiempo

Denotamos la solución de la ecuación de estado homogénea (cuando u(t) = 0)

x ( t )=Ax( t )Como

x(t) = Φ(t)x(0)

En donde Φ(t) es una matriz de orden n x n y es la solución única de

˙Φ=AΦ ( t ); conΦ(0) = I

Se puede deducir fácilmente que

Φ ( t ) = eAt = L−1[( sI − A)−1] = Matriz de Transición de Estado (MTE)

Notar que la MTE es siempre no singular, a pesar de que A puede ser singular, ya que:

Φ −1 ( t ) = e−A t = Φ ( − t )

Para el caso no homogéneo la solución viene dada por:

x (t )=Φ ( t ) x (0 )+∫0

t

Φ ( t−τ )Bu ( τ )dτ=e At x (0 )+∫0

t

e A ( t−τ )Bu(τ)dτ

Donde reconocemos a la integral de convolución para el cálculo de la parte forzada de

la respuesta.

Propiedades de la matriz de transición de estados

1. Φ(0) = eA0 = I

2. Φ(t) = eAt = (e-At)-1 = [Φ(-t)]-1 o bien: Φ-1(t) = Φ(-t)

3. Φ(t1 + t2) = eA(t1 + t2 ) = eAt1eAt2 = Φ(t1)Φ(t2) = Φ(t2)Φ(t1)

4. [Φ(t)]n == Φ(nt)

120


5. Φ(t2 – t1)Φ(t1 – t0) = Φ(t2 – t0) = Φ(t1 – t0)Φ(t2 – t1)

EJEMPLO 1

Considérese el sistema

[ x1 ( t )x2 ( t )]= [ 0 1

−2 −3 ] [ x1 ( t )x2 ( t )]

Debemos hallar la matriz de transición de estados

Φ ( t ) = eAt = L−1[( sI − A)−1] = Matriz de Transición de Estado (MTE)

Como

s−IA=[ s 00 s ]−[ 0 1

−2 −3 ]= [ s −12 s+3 ]

¿ 1(s+1 )(s+2) [ s+3 1

−2 s ]¿¿

Φ ( t )=e At=L−1 [ sI−A ]−1

= [ 2e−t−e−2t e−t−e−2 t

−2e−t+2e−t −e−t+2e2t ]RPTA:

10.4 Matriz de transición en el caso no homogéneo .- Si se aplica la transformada de Laplace a (1)

tenemos

sX (s )−x (0 )=A X ( s )+bU (s )

sX (s )−AX ( s )=x (0 )+bU (s)

sIX (s )−AX (s )=x (0 )+bU (s)

121


[sI−A ] X (s )=x (0 )+bU (s )…………….(2)

Donde [sI - A] es una matriz de n x n , si esta matriz tiene una inversa entonces (2) tiene solución y

podemos obtener x(t).

La invertibilidad de sI – A depende de su determinante si Det(sI – A) es diferente de 0 la matriz es

invertible.

Los valores para los cuales esta matriz no es invertible son importantes y corresponden a los puntos

singulares o polos de una función de transferencia.

L−1 [x (s)]=x (t )=L−1 {[sI−A ]−1 } x (0 )+L−1 {[sI−A ]−1U (s)}b

Se demuestra que

L−1 {[sI−A ]−1 }=e At

Observamos que la solución será de la forma

x ( t )= eAt x (0)+b∫0

t

eA ( t−τ )u (τ )dτ

EJEMPLO 2

Considérese el sistema

[ x1 ( t )x2 ( t )]= [−2 2

0 −4 ] [x1 ( t )x2 (t )] + [12 ]u ( t )

Formamos

s−IA=[ s 00 s ]−[−2 2

0 −4 ]= [s+2 −20 s+4 ]

122


[sI−A ]−1=Adj {sI−A }Det {sI−A }

¿[s+4 20 s+2 ]( s+2)(s+4 )

¿ [1s+21s+2

−1s+4

01s+4

]eAt=L−1{1s+2

1s+2

−1s+4

01s+4

}¿ [L−1{1s+2 } L−1{1s+2

−1s+4 }

0 L−1{1s+4 } ]¿ [e−2 t e−2 t−e−4 t

0 e−4 t ][ x1

x2]=[e−2 t e−2 t−e−4 t

0 e−4t ][ x1 (0 )x2 (0) ]+[∫0

t {[e−2( t−τ ) e−2( t−τ )−e−4 (t−τ )

0 e−4 (t−τ ) ]u(τ )}dτ ]b

[ x1

x2 ]=[e−2 t e−2 t−e−4 t

0 e−4t ][ x1 (0 )x2 (0) ]+[∫0

t

e−2( t−τ )u(τ )dτ ∫0

t

[e−2(t−τ )−e−4( t−τ )]u (τ )dτ

0 ∫0

t

e−4( t−τ )u (τ )dτ ]bEJEMPLO

3

[ x1

x2]=[ 0 1

−2 −3 ] [x1

x2]+[01 ]u , u( t )=1( t )

[sI−A ]=[ s 00 s ]−[ 0 1

−2 −3 ]=[ s −12 s+3 ]

123


[sI − A ]−1=[s+3 1−2 s ]s( s+3 )+2

=[s+3 1−2 s ](s+1)( s+2 )

=

[sI − A ]−1=[2s+1−1s+2

1s+1

−1s+2

−2s+1

+2s+2

−1s+1

+2s+2

]eAt=[2e−t−e−2t e−t−e−2 t

−2e−t+2e−2 t −e−t+2e−2t ][ x1 ( t )x2 ( t )]=[12−e−t+ 1

2e−2 t

e−t−e−2t ]

PROGRAMAS CON MatLab QUE TRANSFORMAN DEL ESPACIO DE ESTADOS A LA FUNCION DE

TRANSFERENCIA Y VICEVERSA

Transformación de la función de transferencia al espacio de estados124


Tenemos

Y (s )U (s )

= ss3+14 s2+56 s+160

Transformación del espacio de estados a la función de transferencia

Tenemos [ x1

x2

x3]=[ 0 1 0

0 0 1−5 −25 −5 ][ x1

x2

x3]+[ 0

25−120 ]u

y= [1 0 0 ] [x1

x2

x3]

125

Programa 01

num= [0 0 1 0]den=[1 14 56 160][A, B, C, D]=tf2ss(num,den)

%%%%%Programa 02%%%%%%%%

A=[0 1 0;0 0 1;-5 –25 –5];

B=[0; 25; -120];

C=[1 0 0]

D=[0]

[num, den]= ss2ft[A, B, C, D]


CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD

1. Introducción

Nosotros representamos un sistema lineal con variables de estado utilizando las matrices A, B, C, D donde las

matrices A y C describen el comportamiento no forzado del sistema ( o el comportamiento cuando la entrada es

cero), mientras que la matriz B caracteriza el efecto de la entrada(o el control) sobre la dinámica del sistema. La

matriz D representa la transmisión directa de la entrada a la salida.

La controlabilidad responde a la pregunta:

¿Existe siempre una entrada de control u (t) la cual puede transferir el sistema desde el estado inicial x0 a

cualquier otro estado deseado en un tiempo finito?

La observabilidad responde a la pregunta.

126


¿El estado inicial del que parte un sistema, puede siempre identificarse mediante la observación de la salida y (t)

y de la entrada u (t) sobre un tiempo finito?

Estas características del sistema pueden ser contestadas mediante las propiedades de las matrices A, B, C, D. las

matrices A y B tienen que ver con la relación entre la entrada y el estado, a estas se les conoce como par de

controlabilidad. En cambio, como las matrices A y C involucran el estado con la salida, a estas se les conoce como

el par de observabilidad.

11.2 Controlabilidad .- Considere el sistema lineal continuo en el tiempo representado por:

dx ( t )dt

=A ( t ). x ( t ) + B ( t ).u( t )

y ( t )=C ( t ) .x ( t ) + D( t ).u( t ) t>=t0 , x ( t0)=x0 .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .(Ecuaciones 1)

Supongamos que para alguna entrada u (t), t Î [t0,t1], y para t0 el estado inicial x0, el estado al tiempo t1 es x1.

Decimos entonces que la entrada u(t) transfiere el sistema desde el estado x0 (en el tiempo t0) al estado x1(al

tiempo t1).

Definición I: Estado controlable

El estado inicial x0 del sistema descrito por las ecuaciones (1) se dice que es controlable sobre el intervalo [t0, t1]

donde t1es un tiempo finito, si existe alguna entrada u sobre [t0, t1] la cual transfiere el sistema desde x0(al tiempo

t0) al origen del espacio de estado al tiempo t1. De otra manera se dice que el estado x0 es incontrolable sobre [t0,

t1].

Definición II: Sistema completamente controlable

Si todo estado x (t0) del sistema es controlable sobre [t0,t1], el sistema se dice que es completamente controlable

sobre [t0,t1].

Ejemplo: Considere el sistema descrito por las ecuaciones (1), donde A, B, C, D son las matrices constantes:

A=[−1 00 −1 ]

B=[10 ]C=[1 1 ]D=0Como podemos observar, podemos escribir la ecuación de cada uno de los estados, que será:

127


dx1dt

=−x1+0. x2+u

dx 2dt

=0 .x1−x2+0

y la ecuación de salida

y=x1+ x2

solo x1 puede ser llevado al origen en un tiempo finito t, x2 no puede ser llevada pues no es manejada a través de

u.

Por lo tanto el primer estado es controlable pero el sistema no es completamente controlable.

Para simplificar esto tenemos el siguiente teorema.

Teorema:

El sistema

dx ( t )dt

=A .x ( t )+B .u( t ) .. .. . .. .. . .. .. . .Ecuacion 2

Donde A y B son matrices constantes de dimensiones n x n y n x r respectivamente es completamente

controlable, si y solo si la matriz de controlabilidad de dimensión n x (n, r):

Cc= [B A.B A2.B……….A(n-1).B] es de rango n.

Ejemplo de aplicación del teorema:

El ejemplo anterior

A=[−1 00 −1 ]

B=[10 ]Calculemos su matriz de controlabilidad

Cc = [ B A.B]

B=[10 ]

128


A .B=[−1 00 −1 ][10]=[−1

0 ]Cc=[1 −1

0 0 ]No es de rango 2 sino de rango 1 por lo tanto el sistema no es controlable como lo habíamos analizado

anteriormente.

les conoce como el par de observabilidad.

11.3 Observabilidad.- Considere el sistema lineal continuo en el tiempo representado por:

dx ( t )dt

=A ( t ). x ( t ) + B ( t ).u( t )

y ( t )=C ( t ) .x ( t ) + D( t ).u( t ) t>=t0 , x ( t0)=x0 .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .(Ecuaciones 1)

La solución esta dada por

y ( t )=C ( t ) .Φ ( t , t0 ). x0 + C ( t )∫Φ ( t , τ ). B(τ ).u( τ ) .dτ+D ( t ).u( t ) . Supongamos que para alguna

entrada u(t), t Î [t0,t1], y para el estado inicial x0, el estado al tiempo t1 es x1. Decimos entonces que la entrada u

transfiere el sistema desde el estado x0 (en el tiempo t0) al estado x1(al tiempo t1).

Definición I: Estado observable

El estado inicial x0!=0 del sistema descrito por las ecuaciones (1) se dice que es controlable sobre el intervalo [t0,

t1] donde t1 es un tiempo finito, si el conocimiento de la entrada u(t) y de la salida y(t) sobre [t0, t1] son suficientes

para determinar x0. De otra manera se dice que el estado x0 es inobservable sobre [t0, t1].

Definición II: Sistema completamente observable

Si todo estado x(t0) del sistema es observable sobre [t0,t1], el sistema se dice que es completamente observable

sobre [t0,t1].

Ejemplo: considere el sistema descrito por las ecuaciones (1), donde A, B, C, D son las matrices constantes:

A=[1 00 2 ]

B=[11 ]C=[1 0 ]D=0

Como podemos observar, podemos escribir la ecuación de cada uno de los estados, que será:

129


[ dx1dtdx2dt

]=[ x1+u2 x2+u]

y la ecuación de salida

y = x1

Como y depende de x1 y es completamente independiente de x2, solo el primer estado es observable.

Teorema:

El sistema dx(t)/dt = A. x(t) y y(t)= C.x(t)

Donde A y C son matrices constantes de dimensiones n x n y m x n respectivamente es completamente

observable, si y solo si la matriz de observabilidad de dimensión (m.n) x n

J=[C; C.A C.A2……….C.A(n-1)] es de rango n.

Ejemplo de aplicación del teorema:

El ejemplo anterior

A=[1 00 2 ]

B=[11 ]C=[1 0 ]D=0

Calculemos su matriz de observabilidad

J=[C; C.A ]

C=[1 0 ]

C . A= [1 0 ][1 00 2 ]=[1 0 ]

ϑ=[1 01 0 ]

Por lo tanto como el rango es 1, el sistema no es completamente observable.

130


1.- Considere el sistema definido por:

[ x1

x2]=[−1 0

0 1 ] [x1

x2]+[10 ]u

y=[1 0 ][ x1

x2 ]¿Es el sistema de estado completamente observable y completamente controlable?

SOLUCION

131

A=[-1 0; 0 -1 ];

B=[1; 0 ];

C=[1 0 ];

CC1=B;

CC2=A*B;

CC=[CC1';CC2'];

CC=CC';

rango1=rank(CC);

if(rango1==2)

fprintf('El sistema es completamente controlable \n');

else

fprintf('El sistema no es completamente controlable \n');


2.- Considere el sistema definido por:

[ x1

x2

x3]=[−1 −2 −2

0 −1 11 0 −1 ] [ x1

x2

x3]+[201 ]u

y=[1 1 0 ][ x1

x2

x3]

¿Es el sistema completamente observable y completamente controlable?

SOLUCION

132

A=[-1 0; 0 -1 ];

B=[1; 0 ];

C=[1 0 ];

CC1=B;

CC2=A*B;

CC=[CC1';CC2'];

CC=CC';

rango1=rank(CC);

if(rango1==2)


else

fprintf('El sistema no es completamente controlable \n');

A=[-1 -2 -2; 0 -1 1; 1 0 1];

B=[2; 0 ; 1];

C=[1 0 1];

CC1=B;

CC2=A*B;

CC3=A^2*B;

CC=[CC1';CC2';CC3'];

CC=CC';

if(rank(CC)==3)


else


3.- ¿Es el sistema de estado siguiente completamente controlable y completamente observable?

[ x1

x2

x3]=[0 1 0

0 0 16 11 −6 ] [x1

x2

x3]+[001 ]u

y=[20 9 11 ][ x1

x2

x3]

4.- Considere el sistema dado por

[ x1

x2

x3]=[2 0 0

0 2 00 3 1 ][ x1

x2

x3]+[0 1

1 00 0 ][u1

u2 ]

[ y1

y2]=[1 0 0

0 1 0 ][x1

x2

x3]

¿Es el sistema de estado completamente controlable y completamente observable?

133

A=[-1 -2 -2; 0 -1 1; 1 0 1];

B=[2; 0 ; 1];

C=[1 0 1];

CC1=B;

CC2=A*B;

CC3=A^2*B;

CC=[CC1';CC2';CC3'];

CC=CC';

if(rank(CC)==3)


else

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