INGINERIA SISTEMELOR AUTOMATE

NOTE DE CURS

REV.01

1

CUPRINS

Introducere - elemente recapitulative - noiunea de sistem dinamic

Definirea unui sistem de reglare automat.Structura de reglare n cascad

Structura de reglare dup perturbaie i Structura de reglare combinat

Criteriile de performan impuse unui SRA

Analiza sistemelor de reglare automat pe baza metodelor de frecven

Regulatoare convenionale

Acordarea regulatoarelor pentru procese rapide - criteriul modulului

Proiectarea SRA prin metoda alocrii poli-zerouri

2

INTRODUCERE - elemente recapitulative1.NOIUNEA DE SISTEM DINAMIC

Un sistem reprezint o unitate relativ delimitat fa de mediu. Un sistem dinamic este un sistem care evolueaz n timp. Fenomenele care au loc n sisteme sunt determinate e aciunea mrimilor cauze (mrimilor de intrare) i pot fi observate prin mrimi-efecte (mrimi de ieire).

Proces i sistemProcesul (fizic) reprezint tranziia unui sistem dintr-o stare n alta, starea sistemului fiind descris prin parametrii acestuia. In cadrul unui proces tehnologic putem avea transfer transfer masic i/sau transfer de energie, notat generic cu Wi la intrarea n proces i cu We la ieirea din proces.

fig.1Funcionarea normal a procesului (neglijnd pierderile ) este dat de relaia n regim staionar

Wi - We = 0 (1.1)Ecuaia (1.1) caracterizeaz regimul de echilibru / regimul staionar.n cazul existenei, n cadrul procesului, a unor fenomene de acumulare/ dezacumulare vom avea:

Wi - We 0 (1.2)Aceste fenomene sunt descrise de mrimile de stare, astfel vom avea:

x=W iW e (1.3)Acumulare are loc atta timp ct x0

x t =x 00

t

W iW ed (1.4)

Din (1.4) rezult c dac W=W iW e=ct procsul de acumulare nu ar nceta niciodat.

x t =x 0Wt (1.5)De regul, procesele posed (dac sunt stabile) o proprietate de autoechilibrare, ceea ce modific (1.3) i (1.5) n:

x=axW iW e , a0 (1.6)

3

Wi WePROCES

x t =W

a Wa x 0 eat (1.7)

Termenul constant W

a descrie regimul staionar iar cel variabil descrie regimul tranzitoriu care se amortizez asimtotic (a

No iunea de sistem dinamic Prin generalizarea relaiei(9) obinem:

x=AxBuEvy=Cxz=Dx

(1.10)

unde mrimile x,y,z,u,v sunt vectori ale unor spaii liniare finit dimensionale, iar A,B,C,D,E sunt matrice constante. Dimensiunile acesora sunt: xUn sistem dinamic este liniar dac ndeplinete proprietile:

1 1 1 2 1 2

2 2 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ),

u t y t u t u t y t y tu t y t u t y t

(1.12)

sau

1 1 1 2

2 2 1 2

,( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

u t y t u t u t u tu t y t y t y t y t

(1.13)

Aceste proprieti evideniaz principiul superpoziiei: superpoziia cauzelor determin suprapunerea efectelor.

2.Modele intrare - ieire caracteristice sistemelor dinamice liniare

Modelul matematic al unui sistem dinamic reprezint setul de ecuaii difereniale sau integro-difereniale care descrie comportarea sistemului sub aciunea mrimilor de intrare (cauze). n formalismul intrare-ieire este evideniat dependena mrimilor de ieire (efecte) de mrimile de intrare (cauze) considerate.

Modelul unui sistem dinamic se poate determina pe baza relaiilor fizico-chimice ce caracterizeaz procesul respectiv.n cele ce urmeaz se vor urmri n special efectele produse sub aciunea mrimilor de comand (u(t)). Astfel, modelul matematic intrare-ieire al unui sistem dinamic liniar este o funcie:

( ) ( ( ), )y t f u t tUn sistem dinamic prezint fenomenul de inerie: mrimea de ieire la un moment dat nu depinde doar de mrimea de intrare la acel moment, ci i de evenimentele anterioare, adic de traiectoria anterioar a comenzii. Se pune c sistemele dinamice funcioneaz ca sisteme cu memorie (de exemplu, 1( )y t nu depinde doar de 1( )u t ci i de valorile u anterior aplicate)t=0 este considerat momentul cnd ncepe observarea comportrii sistemului.

5

Un sistem dinamic liniar continuu i invariant n timp poate fi descris printr-un model matematic de tip ecuaie diferenial liniar de ordinul n, cu coeficieni constani i reali:

)()()()()()( 0)1(

1)(

0)1(

1)( tu btubtu b tyatyaty a mm

mm

nn

nn

, (2.1)

unde:u(t) reprezint mrimea de comand aplicat, y(t) desemneaz mrimea de ieire,iar t reprezint variabila independent timp.

Prin ipotez se consider c 0,0)( ttu i 0,0)( ttu . n consecin, pe baza principiului cauzalitii, se obine c 0,0)( tty i

0,0)( tty .Dac se cunosc condiiile iniiale 1,0),0()( mku k i 1,0,)0()( nly l , precum i traiectoria mrimii de intrare aplicat ],0[),( Tttu , se poate determina, rezolvnd ecuaia diferenial (1), evoluia n timp a ieirii sistemului ],0[),( Ttty .n ipoteza condiiilor iniiale nule

1,0,0)0()( mku k i 1,0,0)0()( nly l ,se poate utiliza i modelul de tip funcie de transfer. Acesta rezult aplicnd ecuaiei difereniale (1) transformata Laplace. Folosind notaiile

)}({)( tyLsY i )}({)( tuLsU ,se obine:

]...)[(]....)[( 01

101

1 bsbsbsUasasasYm

mm

mn

nn

n

. (2.2)Relaia (2.2) poate fi rescris astfel:

)()(0

11

01

1 sUasasabsbsb

sY nn

nn

mm

mm

. (2.3)

Rezult c:)()()( sUsGsY , (2.4)

unde

01

1

01

1)(asasabsbsb

sG nn

nn

mm

mm

(2.5)

se numete funcie de transfer i reprezint un model al sistemului dinamic liniar.Relaia (4) descrie transferul cauzal intrare-ieire ce are loc prin sistemul caracterizat de funcia de transfer )(sG . Se observ c funcia de transfer este egal cu raportul a dou polinoame de variabil complex s, cu coeficieni reali,

)()()(

sPsQsG ,

Cs .Pentru sisteme dinamice liniare strict realiste (care exist n realitate), )( grad )( grad sQsP . Dac aceast condiie nu este ndeplinit, atunci nu se poate delimita n realitate un sistem descris prin modelul matematic indicat.Rdcinile polinomului P(s) se numesc polii sistemului. Rdcinile

6

lui Q(s) se numesc zerourile sistemului.Observaie: Ipoteza condiiilor iniiale nule poate fi n multe situaii satisfcut, eventual utiliznd o schimbare de variabil adecvat.Cunoscnd traiectoria mrimii de comand ),0[),( ttu i modelul sistemului, de tip funcie de transfer )(sG , din relaia (4) se poate determina evoluia n timp a ieirii sistemului ),0[),( tty , astfel: se calculeaz transformata Laplace )}({)( tuLsU , se obine

)()()( sUsGsY , se descompune )(sY n fracii simple i apoi se determin )}({)( 10 sYLty t .

funcia de transfer a unui sistem reprezint un operator matematic care caracterizeaz legtura intrare/ieire din sistem: Y(s)=H(s)U(s);

funcia de transfer este o caracteristic intrinsec a sistemului, independent de intrarea din sistem;

funcia de transfer nu ofer informaii asupra naturii sistemului (sisteme diferite pot avea aceeai funcie de transfer);

funcia de transfer poate fi stabilit experimental prin excitarea sistemului cu intrri standard (treapt sau sinusoid) i interpretarea rspunsului, a ieirilor;

funcia de transfer ofer o descriere complet asupra comportrii dinamice a sistemului;

7

DEFINIREA UNUI SISTEM DE REGLARE AUTOMAT (SRA)

Pentru un sistem automat se pot ridica urmtoarele probleme: analiza, sinteza, testarea, sensibilitatea, optimizarea.

a) Problema analizeiSistemul automat exist, se cunoate funcia f, se aplic

la intrarea sistemului mrimea de intrare xi dorit i se determin variaiile n timp ale mrimii de ieire y, ceea ce permite determinarea performanelor sistemului automat.

b) Problema sintezeiSistemul automat trebuie sintetizat (proiectat), deci se

determin funcia f care face legtura ntre intrarea xi i ieirea y. Mrimea de ieire dorit y rezult din tema de proiectare a sistemului automat, n condiiile n care sunt cunoscute variaiile n timp care pot apare pentru mrimea de intrare xi.

c) Problema testriiSistemul automat a fost proiectat i implementat i

trebuie testat n vederea punerii n funciune, sau periodic pe durata exploatrii. Metoda de testare const n aplicarea unor intrri tip care permit evidenierea i localizarea defectelor. Se cunosc funcia f i ieirea y i se determin intrarea xi care conduce la o anumit ieire.

Sistem n circuit deschis sau Sistem de Comand Automat (SCA): Ansamblul format din procesul supus automatizrii i mijloacele tehnice prin care se asigur comanda acestuia. Reprezentare funcional a unui SCA este artat n figura de mai jos.

SCA - reprezentare funcional

8

Dispozitivcomand Proces

Mrimea de ieire

Perturbaii

ComandMrimea de intrare

S istem n circuit nchis sau S istem de R eglare A utomat (cu reacie) (SRA):

SRA - reprezentare funcional

Marimile din proces sunt:r referina - eroareu comanda ptr. elementul de acionarem msura (comanda elaborata de regulator)y mrimea de ieirev - perturbaiile

Procesul condus, reprezentat ca i sistem avnd intrrile u, v i ieirea y* este supus aciunii comenzii u date de regulator i aciunii perturbaiilor externe v,, care reprezint perturbaii. Perturbaiile care acioneaz asupra proceselor pot fi aditive sau parametrice. Aciunea perturbaiilor aditive se cumuleaz la ieire cu aciunea comenzii u, iar perturbaiile parametrice se concretizeaz n modificri structurale ale procesului.Elementul de impunere furnizeaz mrimea de intrare. Regulatorul R elaboreaz comanda u n funcie de eroarea astfel nct mrimea de ieire s fie permanent adus la valoareaprescris. Mrimea de comand u este un semnal de putere neglijabil. Acest semnal nu este capabil s determine modificarea poziiei organelor de reglare. Din acest motiv se introduce un element distinct numit element de execuie EE. El genereaz mrimea de execuie m(t)proporional cu mrimea de comand u(t). EE realizeaz o amplificare n putere astfel nct poziiile organelor de reglare caracterizate de variabila m(t) s evolueze n acelai modca variabila de comand u(t). n schema SRA, mrimi exogene (adic ce vin din exterior) sunt referina r(t) si perturbaia v(t).

Valoarea mrimii reglate y se stabilete cu ajutorul

9

Elemente de execuie

(EE)

Traductoare (Tr)

y*

v

muProcesul

condus (P)Regulator

(R)+--

y

Element de impunere

(EI)

r

referinei r. Aducerea valorii lui y la valoarea impus prin r se asigur de ctre regulatorul R, care elaboreaz o comand n tensiune u, aplicat elementului de execuie EE. Elementul de execuie, prin mrimea m, acioneaz asupra procesului modificnd mrimea reglat y* n sensul dorit. Valoarea lui y* este msurat cu ajutorul traductorului Tr i convertit n semnalul electric y , care prin calea de reacie negativ este adus la intrarea sistemului. Diferena dintre referina r i msura yr este abaterea/eroarea , mrime care se aplic regulatorului R. Dac 0 ( >0 sau

Structura unui SRA cu reacie unitara

Clasificarea SRAExist mai multe criterii de clasificare a SRA:A. Dup modul de evoluie n timp a mrimii de referin;B. Dup modul de reprezentare a informaiei n regulator;C. Dup numrul mrimilor reglate;D. Dup distribuia spaial a mrimii reglate

A. Dup modul de evoluie n timp a mrimii de referinA.1) Sisteme de stabilizare automat, pentru care r(t)=ct. EI este n acest caz un ER element de referin. Sistemul reacioneaz numai la perturbaii (v(t)). n general sunt cele mai rspndite SRA.A.2) Sisteme de reglare cu program. n aces caz, r(t) are o evoluie prestabilit i SRA reacioneaz la ambele mrimi exogene.A.3) Sisteme de urmrire. La aceste sisteme, r(t) are o evoluie aleatoare.

B. Dup modul de reprezentare a informaiei n regulatorB.1) SRA analogice toate semnalele din structura SRA sunt analogiceB.2) SRA numeric. Structura SRA, n acest caz, este:- interfa de proces; realizez interfaa cu partea analogic a SRA.Un convertor analog-numeric (digital), convertete ieirea traductorului n valoare numeric reprezentabil n calculator;- interfa de operator, notat IO n schema de mai sus, care joac i rolul de element de impunere.

C. Dup numrul mrimilor reglateC.1) SRA monovariabile, caz n care exist o singur mrime de iesireC.2) SRA multivariabile, cnd exist mai multe ieiri i mai multe intrri

D. Dup distribuia spaial a mrimii reglateD.1) SRA cu parametri concentraiD.2) SRA cu parametri distribuii - mrimea de ieire are o variaie pe una sau mai multe coordonate temporale (ex: un cuptor cu mai multe puncte de masur pentru temperatur).

STRUCTURA DE REGLARE N CASCADO structur de sistem de reglare automat cu larg

aplicabilitate este structura de reglare n cascad. Este utilizat att n cazul proceselor rapide, ct i n cazul

11

proceselor lente cu timp mort. Prezena unui numr mare de constante de timp n funcia de transfer a procesului face dificil utilizarea unor algoritmi de reglare tipizai.

Pentru procesele tehnologice la care se pot evidenia mrimi intermediare msurabile, iar funcia de transfer a procesului poate fi scris ca un produs de funcii de transfer care nu conin mai mult de dou constate de timp, se recomand reglarea n cascad. Admind c procesul condus este decompozabil n subprocese interconectate cauzal, cu variabile intermediare accesibile msurrii i cu dinamic descresctoare de la intrare spre ieire, se poate alctui o structur de reglare n cascad folosind un numr de regulatoare egal cu numrul variabilelor msurate din proces.

n cazul reglrii n cascad are loc o reglare simultan a mai multor mrimi din cadrul procesului, ceea ce determin o reducere nsemnat a duratei procesului tranzitoriu, mai ales dac mrimile intermediare sunt alese astfel nct s rspund mai repede dect mrimea de ieire la perturbaiile care acioneaz asupra procesului.

n figura de mai sus este prezentat o structur de reglare n cascad cu dou variabile y1 i y2. Sistemul este format din dou sisteme simple de reglare n serie (sau n cascad).

Bucla de reglare exterioar este bucla principal (controleaz mrimea reglat) i bucla de reglare interioar este bucla secundar (controleaz variabila intermediar).

Cele dou subprocese sunt conectate cauzal i mrimea de execuie determin cauzal evoluia variabilei intermediare y2,

12

HE(s)

HT2

(s)

HT1

(s)

V2(s) V

1(s)

Y1(s)

E1(s) U

1(s) E

2(s)

HR2

(s)

U2(s) Y

2(s)

HP1

(s)HP2

(s)

Yr1(s)

HR1

(s)

Yr2(s)

W(s)+

_ _

care la rndul ei determin cauzal evoluia variabilei de ieire y1 din proces. Regulatorul automat secundar, cu funcia de transfer HR2(s), este destinat reglrii variabilei y2 i compensrii aciunii perturbaiei v2, iar regulatorul principal cu funcia de transfer HR1(s) are rolul de a asigura realizarea funciei de reglare n raport cu referina w. De asemenea furnizeaz referina pentru regulatorul secundar. Cele dou regulatoare din cadrul acestei structuri funcioneaz n regim de urmrire (masterslave), adic mrimea de comand a regulatorului principal este mrimea de referin pentru regulatorul secundar. Se recomand ca bucla interioar s aib o vitez de rspuns mai mare dect bucla principal.

Acordarea regulatoarelor n cadrul structurilor de reglare n cascad se iniiaz cu bucla interioar, deconectnd regulatorul principal i se continu cu regulatorul principal, folosind procedurile de acordare specifice .

13

STRUCTURA DE REGLARE DUP PERTURBAIE I STRUCTURA DE REGLARE COMBINAT

Spre deosebire de structura convenional de reglare dup abatere, reglarea dup perturbaie prezint avantajul c aciunea de compensare a efectului perturbaiei se elaboreaz nainte de apariia unei abateri ntre valoarea dorit a mrimii de ieire i valoarea real a acesteia, evitndu-se astfel ntrzierea introdus n ntreaga bucl de reglare n transmiterea semnalelor de comand.

Pentru determinarea precis a algoritmului de reglare dup perturbaie trebuie cunoscut cu precizie modelul matematic al procesului, precum i funcia de transfer care stabilete corespondena ntre ieire i perturbaie. De asemenea, mrimea perturbatoare trebuie s fie accesibil msurrii.

Pe de alt parte, reglarea dup perturbaie nu poate nlocui reglarea dup eroare, deci nu se poate renuna la reacia principal, deoarece nu este posibil instalarea unor regulatoare de perturbaie pentru toate perturbaiile care acioneaz asupra sistemului, ntruct o asemenea soluie ar fi neeconomic, iar unele perturbaii nu pot fi bine cunoscute.

Avantajele reglrii dup perturbaie combinate cu avantajele reglrii dup abatere conduc la o structur de sistem de reglare combinat .

Structura de reglare combinat.

Prin introducerea regulatorului RV este compensat efectul perturbaiei v care trebuie s reprezinte perturbaia cea mai intens iar prin acordarea optim a regulatorului R este asigurat obinerea unor performane bune ale rspunsului la semnalele de intrare i a unei comportri optime n raport cu alte perturbaii care mai acioneaz asupra sistemului. Regulatorul RV primete la intrare perturbaia v i asigur la ieire o comand uV, astfel nct prin aplicarea acesteia la

14

Pw u m

Ey

yr

v

+

-

-

uV

+R

Rv

intrarea prii fixate a sistemului s rezulte compensarea influenei exercitate de perturbaia v asupra mrimii de ieire y. n acest scop, ntruct perturbaia este considerat cu semnul plus, este necesar ca mrimea uV sumat algebric n cel de-al doilea sumator cu mrimea de ieire u a regulatorului R (care realizeaz reglarea dup eroare) s fie aplicat sumatorului cu semnul minus.

Reglarea dup perturbaie este mult folosit n conducerea instalaiilor de nclzire a cldirilor, unde aportul de cldur asigurat de corpurile de nclzire trebuie s in seama, printre altele n primul rnd, de temperatura exterioar, care reprezint perturbaia principal. Dac reglarea s-ar efectua numai n funcie de temperatura interioar din cldire, atunci cnd temperatura exterioar variaz, evident se modific i temperatura interioar dup un timp dat de constantele de timp ale cldirii (care au valori importante de ordinul orelor) i n mai mic msur de timpul mort de ordinul minutelor necesar agentului termic pentru circulaia prin instalaia de nclzire. Eroarea staionar a sistemului automat (diferena dintre temperatura interioar dorit n cldire i temperatura interioar reglat) va fi cea mai mare parte a timpului diferit de zero i este posibil s ating valori importante care creaz disconfort pentru ocupanii cldirii. De asemenea, performana cea mai important a sistemului automat, stabilitatea, poate fi mult diminuat. Reglarea dup temperatura exterioar (perturbaia) este o reglare cu anticipaie, care modific cantitatea de cldur produs de instalaia de nclzire funcie de valoarea temperaturii exterioare, fr s se atepte modificrile nedorite ale temperaturii interioare.

Reglarea dup perturbaie se utilizeaz de asemenea la sistemele de reglare automat a temperaturii apei din piscine.

Problema stabilitiiScopul analizei unui SRA este determinarea performanelor

sistemului avnd ca date iniiale structura i parametrii elementelor componente ale sistemului.

Prin stabilitatea unui sistem automat se nelege proprietatea acestuia de a restabili n timp finit, prin intermediul aciunii elementelor sale componente, un nou regim staionar, dac a fost scos din starea sa staionar anterioar din cauza variaiei mrimii de intrare sau a unei perturbri.

O apreciere obiectiv a performanelor sistemului i deci

15

a comportrii sale, se poate obine prin determinarea variaiei n timp a mrimii de ieire y ca urmare a unei variaii a mrimii de referin w, sau ca urmare a variaiei unei perturbaii v. Cunoscnd astfel rspunsul sistemului la variaiile mrimilor de intrare, pot fi msurai indicii de calitate ai regimului staionar i tranzitoriu, respectiv pot fi determinate performaele staionare i tranzitorii, stabilindu-se n consecin dac sistemul analizat poate fi sau nu poate fi utilizat n cazul concret dat.

O condiie necesar, dar nu suficient, pentru ca un sistem automat s poat fi utilizat n practic este stabilitatea sistemului, respectiv proprietatea sistemului de a restabili, prin aciunea sa, un nou regim staionar, atunci cnd datorit variaiei mrimilor de intrare a fost scos dintr-un regim staionar anterior. Astfel, regimul tranzitoriu al unui sistem automat stabil are o durat limitat.

Un sistem instabil nu este utilizabil, deoarece nu poate ndeplini scopul pentru care este creat, acela de a realiza pe cale automat o anumit lege de dependen ntre mrimea de ieire i cea de intrare. La sistemele instabile, mrimea de ieire are variaii necontrolate, deoarece un nou regim staionar nu mai este restabilit dup ieirea dintr-un regim staionar anterior.

Determinarea performanelor unui sistem are deci sens numai n cazul cnd sistemul este stabil i, de aceea, analiza comportrii sistemelor cuprinde o verificare prealabil a stabilitii.

Criteriul matematic general de stabilitate absolut a sistemelor automate se poate enuna astfel: pentru ca un sistem automat liniar , fr timp mort, s fie stabil, este necesar i suficient ca toate rdcinile reale ale ecuaiei caracteristice s fie negative, iar toate rdcinile complex-conjugate s prezinte parte real negativ. Rezult c, toate rdcinile ecuaiei caracteristice (polii funciei de transfer ai sistemului nchis s se gseasc n semiplanul stng al planului complex s).

Cu ct aceste rdcini ale ecuaiei caracteristice (poli) sunt mai ndeprtate de axa imaginar, cu att durata componentei tranzitorii este mai scurt.

16

CRITERIILE DE PERFORMAN IMPUSE UNUI SRA

Aciunea perturbaiilor poate fi considerat att la intrarea procesului ct i la ieirea din acesta.

Ieirea sistemului n raport cu perturbaia v1

Ieirea sistemului n raport cu perturbaia v2

Evoluia ieirii cnd asupra sistemului acioneaz att referina cat i semnale perturbatoare este dat de:

17

v1

uH

F(s)H

R(s)r

+

--

y

y

v2

HF(s)

HR(s)

+

--

v1

--

y

HF(s)H

R(s)

+

--

v2

--

y

Performanele generale unui sistem sunt definite pentru regimul tranzitoriu i cel staionar:Criteriile generale de performanta ale unui sistem sunt determinate prinanaliza raspunsului in timp:

rspuns tranzitoriu: suprareglaj timp tranzitoriu tt (durata regimului tranzitoriu) factor de amortizare timp de cretere tc timp de ntrziere ti

si prin analiza raspunsului in frecven: performanele n domeniul frecventelor :

stabilitatea sistemului precizia n regim staionar sau eroarea staionara

st banda de frecventa marginea de faz M marginea de amplitudine Mc pulsaia de rezonanta R valoarea de vrf a modulului Mv

Criteriile de performanta se pot defini singular sau ca pachet de cerine deci ca i criterii integrale. Criteriile integrale acoper mai bine performanele impuse unui sistem la variaii mari ale intrrii dar i la variaii ale perturbaiilor. Criterii de performanta integrale uzuale utilizate n proiectarea unui SRA pot avea o palet mai larg de expresii. Criteriile de performanta integrale se exprima prin indicii de performanta (IP) al sistemului.

Ex: rspunsul aperiodic la intrare treapta unitara este mult mbuntit cu cat aria haurata este mai mica:

18

+yref

y

t

Ex: rspunsul oscilant este mbuntit daca:

0

min. IP dte

= = sau 0

min.2 IP dte

= =

O

bs: criteriile integrale se aplica numai n cazul sistemelor cu eroare staionar nul i nu ofer informaii despre regimul staionar (altfel valoarea integralelor ar fi infinita).

19

-

+-

+

y

t

yref

+

Performanele sistemelor automate determinate pebaza rspunsului indicial

Un sistem de reglare automat (SRA) trebuie conceput astfel nct s fie ndeplinite simultan proprietile de stabilitate i de reglare. n afar de aceste dou proprieti fundamentale, n aplicaiile concrete se impun sistemelor de reglare automat proprieti suplimentare, care expliciteaz ceea ce se numee calitatea procesului de reglare. Calitatea procesului de reglare este descris convenional printr-o clas de indici sintetici care definesc performanele SRA.

Performanele unui sistem de ordinul ntiUn sistem de ordinul nti are funcia de transfer

sTksH

1

)(

Aplicnd la intrare un semnal treapt unitar r1(t)=1(t) (n complex

s1 ), ieirea Y(s) se calculeaz astfel:

)1(11)(

sTsk

sTk

ssY

Rspunsul indicial al sistemului se obine aplicnd transformata Laplace invers

)(1 ty -1

)1( sTsk

Descompunem n fracii simple:

)1(1)1( sTssBsATA

sTB

sA

sTsk

Ts

ksk

sT

T

kTsk

sTkT

sk

sTsk

111)1(

)(1 ty -1 ,

Tt

Tt

ekektk

Ts

ksk 1)(1

1 pentru t 0,

Tt

ekty 1)(1

Rspunsul indicial de mai sus are dou componente:

20

componenta permanent; componenta tranzitorie.

Componenta permanent se determin folosind teorema valorii limit finale:

ksTs

ksssYtyssp

)1(

lim)(lim)(00

pentru t 0Componenta tranzitorie a rspunsului indicial este:

Tt

t ekty

)(De remarcat c panta maxim a rpsunsului indicial este

dat de derivata n origine a rspunsului indicial:

Tke

Tkek

dtd

dttdy

tTt

tTt

t

000

1 101()(

unde Tk este unghiul cu abscisa al tangentei de pant maxim.

Rspunsul indicial al sistemului de ordinul nti.

Rspunsul indicial al sistemului de ordinul nti este trasat n figura de mai sus, unde s-au folosit urmtoarele notaii:

T constanta de timp a procesului;tt durata procesului tranzitoriu.Constanta de timp definete viteza de rspuns sau ineria

sistemului.Performanele sistemului de ordinul nti sunt timpul

21

tTttr

w

st1k

w,y

tranzitoriu i eroarea staionar.Timpul tranzitoriu reprezint timpul necesar pentru ca

rspunsul tranzitoriu al sistemului s intre n banda (10,05) yst fr a o mai prsi ulterior.

Tangenta n origine intersecteaz rspunsul staionar dup un timp egal cu constanta de timp a sistemului.

05,0ln05,0lnln

95,01

195,0

Tte

e

ekk

kyy

tTt

Tt

Tt

pst

t

t

t

TTtt 305,0ln

Eroarea staionar a sistemului se definete ca diferena dintre mrimea de intrare (referina) i valoarea staionar a mrimii de ieire a sistemului:Pentru intrare treapt unitar:

st=r ( t) yst(t )=1k

Performanele sistemului sunt indicate de valoarea duratei regimului tranzitoriu T. Acesta valoare este mai mica daca sistemul este cu reacie unitara negativa deci sistemul i mbuntete rspunsul prin nchiderea buclei de reacie

Performanele unui sistem de ordinul doi

Ecuaia diferenial a unui sistem de ordinul doi este:

)()()(2)( 2222

tutydt

tdydt

tydnnn

Ecuaia caracteristic a ecuaiei difereniale se rezolv i se obin soluiile p1 i p2, care se reprezint n planul complex

22,1

22

1

02

nn

nn

jp

pp

22

H (s)=n

2

s2+ 2n s+ n2

U(s) Y(s)

1s

Rspunsul indicial al unui sistem oscilant de ordinul II pentru diferite valori ale lui

Valori ale factorului de amortizare . = 0 rspunsul este neamortizat (sistemul este instabil); = 1 rspunsul sistemului este amortizat critic; > 1 rspunsul sistemului este supra-amortizat;0 < < 1 rspunsul sistemului este oscilant amortizat (cazul cel mai general).Pentru cazul cnd 0

Suprareglajul sau abaterea dinamica maxima este diferena intre valoarea maxima a ieirii i valoarea de regim staionar:

= ymax yst

. Se poate defini procentual ca reprezentnd = ymax y styst

100

Pentru sisteme de ordinul II II=e

12 => = f ()

Pentru o calitate bun o regimului tranzitoriu, care s asigure o rezerv suficient de stabilitate sistemului de reglare i s evite suprasolicitri ale instalaiei tehnologice prin depiri importante ale valorii prescrise n cursul variaiei mrimii reglate, performana impus suprareglrii este de forma: < imp

Dac se impune < imp> imp

Durata procesului tranzitoriu este sensibil influenata de pulsaia naturala. Se considera ca regimul tranzitoriu este ncheiat odat cu atingerea i stabilizarea valorii de rspuns a sistemului n banda =0.05 yst . Se obine n acest caz o valoare aproximat

t t4n

Timpul de cretere reprezint intervalul de timp n care mrimea de ieire evolueaz n domeniul .0.05-0.95 yst

Timpul de ntrziere este definit ca fiind timpul necesar ca mrimea de ieire sa creasc de la zero la 0 la 0.05 yst

24

Modelele matematice ale elementelor tip ale unui SRA sunt:

Tipul elementului

Ecuaia difereniala Funcia de transfer

Element proporional

y ( t)=K 0 u( t) H (s)=K 0

Element de ntrziere de ordinul nti

T dydt+ y=K 0 u( t) H (s)=

K 0Ts+ 1

Element oscilant de ordinul II

d2 ydt 2

+ 2 ndydt+ n

2 y=K 0n2 u( t) H (s)=

K 0n2

s2+ 2n s+ n2

Element de ntrziere de ordinul II

T 1T 2d 2 ydt 2

+ (T 1+ T 2)dydt+ n

2 y=K 0 u (t) H (s)=K 0

(T 1 s+ 1)(T 2 s+ 1)

Element cu timp mort

y ( t)=u (t) H (s)=K 0es

Element cu timp mort i ntrziere de ordinul I

T dydt+ y (t)=K 0u (t)

H (s)=K 0e s

Ts+ 1

Element cu timp mort i ntrziere de ordinul II

T 1T 2d 2 ydt 2

+ (T 1+ T 2)dydt+ n

2 y=K 0 u (t) H (s )=K 0 e

s

(T 1 s+1)(T 2 s+1)

Element de anticipaie de ordinul I

y ( t)=T dudt+ u (t) H (s)=Ts+ 1

Element de anticipaie de ordinul II

y ( t)=d2u

dt 2+ 2n

dudt+ n

2u H (s)=s2+ 2n s+ n

2

Regulator proporional-intergral-derivativ

u( t)=K R(+ 1T i(t )dt+ T d d dt ) H (s)=K R(1+ 1T i s+ T d s)Element integrator cu ntrziere de ordinul I

T d2 y

dt 2+ dy

dt=K 0u (t ) H (s)=

K 0s(1+ T i s)

Circuit de corecie de anticipaie / ntrziere

T 1dydt+ y (t)=K 0(T 2 dudt + u (t)) H (s)=K 0 T 1 s+ 1T 2 s+ 1

25

ANALIZA SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMAT PE BAZA METODELOR DE FRECVEN

Metodele de analiz a sistemelor automate descrise pn aici (analiza n domeniul timp) necesit rezolvarea ecuaiilor caracteristice aferente ecuaiilor difereniale care descriu funcionarea sistemelor, sau, cunoscnd funcia de transfer a sistemului, mrimii de ieire Y(s)=H0(s)W(s) se aplic transformata Laplace invers, ceea ce impune cunoaterea rdcinilor numitorului funciei de transfer, deci tot cunoaterea rdcinilor ecuaiei caracteristice.

n cazul sistemelor descrise de ecuaii difereniale de ordin mai mare dect doi, rezolvarea ecuaiei caracteristice presupune efectuarea de calcule complexe.

n teoria sistemelor de reglare metodele de frecven sunt utile att n analiza ct i n proiectarea sistemelor automate liniare.

n domeniul analizei, metodele de frecven au avantajul c permit s se obin, cu o anumit aproximaie, rspunsul indicial al unui sistem i deci s se determine performanele sistemului fr a fi necesar rezolvarea ecuaiei caracteristice aferente ecuaiei difereniale care descrie matematic funcionarea sistemului. De asemenea, metodele de frecven permit aprecierea stabilitii sistemului.

Reprezentarea n frecven a unui sistem se obine prin aplicarea la intrarea sistemului a unui semnal sinusoidal a =

A sint (sau cosinusoidal b = B cost) de frecven 2

f , care n cazul sistemelor liniare determin la ieirea acestora un rspuns sinusoidal (sau cosinusoidal) cu amplitudine i faz diferite fa de semnalul de la intrare. Aprecierea rspunsului n frecven al unui sistem definit prin funcia de transfer H(s) se face prin nlocuirea s=j n expresia funciei de transfer i pentru diverse valori ale pulsaiei se determin modulul i argumentul funciei H(j). Se cunoate c variabila complex s=+j este constituit din partea real i din partea imaginar j, ns pentru fenomene periodice

26

partea real =0, deci H(s)=H(+j)=H(j).Un semnal de intrare, periodic sau nu, poate fi considerat

ca fiind o suprapunere de semnale sinusoidale rezultate din analiza sa armonic. Rspunsul unui sistem liniar la un astfel de semnal poate fi obinut prin suprapunerea rspunsurilor la semnalele sinusoidale care l compun.

Considerm intrarea W(s) i ieirea Y(s) pentru un sistem.automat

w=Wcos(t+i) (4.1)y=Ycos(t+e) (3.2)

Aplicnd relaiile cunoscute de la trigonometrie se obinw=W(cost cosi sint sini)

(3.3)

y=Y(cost cose sint sine)(3.4)

Reprezentarea defazajului

Reprezentarea variaiei n timp a mrimilor de intrare i de ieire date prin relaiile (3.1) i (3.62) este cea din figura de mai jos

27

SAw y

V()=Im H(j)

U()=Re H(j)H ( j )

Y w W y

I t

e

Reprezentarea mrimilor de intrare i de ieire n sistem pentru analiza n frecven.

Se aplic transformata Laplace relaiilor (3.63) i (3.64).

)sincos()( 22 iissWsW

(3.5)

)sincos()( 22 eessYsY

(3.6)

Se scrie funcia de transfer a sistemului

ii

ee

ii

ee

jj

WY

ss

WY

sWsYsH

sincos)(sincos)(

sincossincos

)()()(

(3.7)

i se ine seama s=j, H(s)=H(j):

ii

ee

jj

WYjH

sincossincos

)(

(3.8)

Se simplific fracia prin i se nmulete numrtorul i numitorul cu j:

ii

ee

jj

WYjH

sincossincos

)(

(3.9)

28

innd seama de formulele lui Euler

)()( iei

ej

j

j

eWY

ee

WYjH

(3.10)

Funcia de transfer astfel exprimat se poate reprezenta n

coordonate polare printr-un vector de modul WY i argument

).( ie

DacY, e=f() (3.11)

)(])([ )()()( jj eHeW

YjH ie (3.12)

n care: H() este modulul,() este argumentul sau faza.

Fiind o mrime complex, H(j) se poate scrie i sub forma:

)()()()( ImRe)( jHHeHjH j (3.13)

2Im

2Re )]([)]([)( HHH (3.14)

)()(

)(Re

Im

HH

arctg (3.15)

Relaia )()()( jeHjH reprezint caracteristica de rspuns la frecven a sistemului, care mai este cunoscut i sub denumirea de caracteristica amplitudine-faz sau locul de transfer.

H()=f() reprezint caracteristica amplitudine-frecven (atenuare-frecven) care este raportul dintre amplitudinile semnalelor de la ieire i a celui de la intrare. ()=f() reprezint caracteristica faz-frecven,

29

adic defazarea ntre semnalul de la ieire i cel de la intrare.

Aprecierea rspunsului n frecventa a sistemului automat H(s) este descris prin caracteristicile de frecventa:

caracteristica amplitudine-faza sau locul de transfer(hodograful funciei) : reprezentarea numrului complex H(s) n planul complex ( , prin modulul i . Aceasta caracteristica se traseaz pentru sistemul deschis, fiind utila i n aprecierea stabilitii sistemului nchis cu reacie unitara negativa (criteriul Nyquist)

caracteristici logaritmice: caracteristica amplitudine-pulsaie i faz-pulsaie cunoscute sub numele de caracteristici Bod.

Prin caracteristicile de frecventa pot fi definite cteva din performanele unui sistem cu reglare automat : stabilitatea relativa a sistemului, banda de frecventa, frecventa de rezonanta.

Pentru trasarea locului de transfer, daca funcia de

transfer a sistemului deschis este de forma H d (s )=k 0s

Q (s )P(s )

, se pot determina asimptotele locului de transfer n punctele corespunzatoare frecventelor inalte i joase . Cunoaterea acestor asimptote permite trasarea hodografului funciei de transfer a sistemului deschis si aprecierea stabilitii sistemului nchis conform criteriului de stabilitate Nyquist.

reprezint excesul de poli fata de zerouri n funcia

Hd reprezint numrul de poli n origine ai Hd

30

Asimptotele locului de transfer pentru frecvente joase i frecvente inalte

PERFORMANELE UNUI SA N REGIM STAIONAR

Stabilitatea sistemului deschis: Conform criteriului de stabilitate al unui sistem, condiia necesara i suficienta ca un sistem sa fie stabil este ca polii funciei de transfer H(s) (rdcinile ecuaiei caracteristice) sa fie situai n semiplanul stng al planului complex

Stabilitatea sistemului nchis se definete prin interpretarea locului de transfer al sist. deschis, din punctul de vedere al criteriului de stabilitate Nyquist sau al caracteristicilor de frecventa n reprezentare logaritmica. Criteriul Nyquist permite interpretarea stabilitii sistemului n stare nchis daca se cunoate locul de transfer (sau hodograful funciei) al sistemului n stare deschisa.

Criteriul Nyquist generalizat : daca sistemul deschis este instabil (deci funcia are p poli n semiplanul drept al planului complex (, j)), condiia necesara i suficienta

31

K

Re

Im

=0

=1

=2

=3

0

K

Re

Im

=0

=1=2

=3

ca un sistem SLIT sa fie stabil n stare nchisa, este ca punctul de coordonate (-1, j0) sa fie nconjurat n sens trigonometric de caracteristica amplitudine-faza a sistemului deschis (trasata pentru variind de la - la +), de un numr de ori egal cu numrul polilor situai n semiplanul drept al funciei de transfer a sistemului nchis.

Criteriul simplificat este o particularizare a celui general i pornete de la ipoteza sistemului SLIT stabil n stare deschisa ( numrul polilor din semiplanul drept al planului complex (, j) este 0).

32

stnga punctul (-1, j0).

Punctele importante de apreciere a gradului de stabilitate sunt cele n care sistemul are amplitudinea (modulul funciei de transfer) 1 - wc i cel n care faza j este 180 -wp . Se definesc urmtoarele noiuni:

Se definesc urmtoarele noiuni:

M c=1

H d ( j): Margine de ctig sau de amplitudine

M =180+ arg (H d ( j c)) : Margine de faz unde: wp este pulsaia pentru care faza sistemului este 180 wc este pulsaia la care modulul vectorului Hd este 1.Pulsaia de tiere c reprezint cea mai mare pulsaie pentru care caracteristica complex Hd ( j) taie cercul de raz unitate. Se obine dinc= max{| () =1}Marginea de faz reprezint unghiul n sens orar, dintre direcia vectorului Hd ( j c ) i semiaxa real negativ. Exprim rezerva de stabilitate a sistemului n circuit nchis n conformitate cu criteriul Nyquist de stabilitate.Se definete prin = + arg Hd ( j c ) Pulsaia de antifaz .Pulsaia de antifaz , reprezint cea mai mic pulsaie pentru care caracteristica complex Hd ( j) taie semiaxa real negativ, Se obine din, = min {|d () = }

Banda de pulsaie b .Banda de pulsaie, marcat prin valoarea maxim b , se definete ca fiind intervalul de pulsaie [0,b ], unde b este cea mai mic valoare pentru care A()< (2)

2A(0) > c

Pentru un sistem stabil Mc > 1 i Mj >0.

34

Cu cat Mc i Mj sunt mai mari cu att gradul de stabilitate

al sistemului automat este mai mare. Cu cat locul de transfer este mai aproape de origine, lsnd mult n stnga punctul

(-1, j0), cu att sistemul este mai stabil.

Caracteristicile semilogaritmice de frecven (caracteristicile Bode) Reprezentarea Bode a rspunsului la frecven implic dou

caracteristici distincte - caracteristica amplitudine - pulsaie[dB] n funcie de

pulsaie: AdB()=20lg A()=20lg|H(j)|

Pentru trasarea caracteristicii pe axa ordonatelor se trec valorile (n decibeli) |H(j)|dB= 20lg|H(j)| iar pe axa absciselor se figureaz valorile ( axa n decade, intervale de frecven pentru care k = 10k-1 )

- caracteristica faz - pulsaie ( ) ( )arg H jj w w=

La ambele caracteristici, pulsaia n abscis se consider n scar logaritmic.Fie H(j) rspunsul la frecven al unui sistem, exprimat ca

produsul funciilor de transfer ( )1H jw i ( )2H jw . Caracteristicile Bode pentru ( ) ( ) ( )1 2H j H j H jw w w= se deduc pe baza celor aferente funciilor 1( )H jw i ( )2H jw , astfel:

20lg|H(j)|=20lg|H1(j)+20|H2(j)||( ) ( ) ( )1 2arg arg argH j H j H jw w w= +

sau( ) ( ) ( )1 2dB dB dBA A Aw w w= + , ( ) ( ) ( )1 2j w j w j w= + (111)

Deci, caracteristicile Bode ale sistemului se obin prin

35

Caracteristici Bode

jHarg

20log ( )dBA H jw=

nsumare, din cele aferente funciilor de transfer ( )1H jw i ( )2H jw .

Drept cosecin, pentru construcia diagramelor Bode se factorizeaz att numitorul ct i numrtorul n elemente de ordinul unu sau doi.

La numrtor, pentru caracterstica amplitudine - pulsaie: Fiecare element de ordinul 1 introduce o pant de +20 dB, iar fiecare elent de ordinul 2 introduce o pant de +40 dB.

La numitor, pentru caracterstica amplitudine - pulsaie: Fiecare element de ordinul 1 introduce o pant de -20 dB, iar fiecare elent de ordinul 2 introduce o pant de -40 dB.

La numrtor, pentru caracterstica faz - pulsaie: Fiecare element de ordinul 1 introduce o pant de +90, iar fiecare elent de ordinul 2 introduce o pant de +180.

La numitor, pentru caracterstica faz - pulsaie: Fiecare element de ordinul 1 introduce o pant de -90, iar fiecare elent de ordinul 2 introduce o pant de -180.

36

REGULATOARE CONVENIONALE

REGULATORUL PROPORIONAL (P)Legea de reglare : H R (s )=K R

sau H R :real (s )=K R s+ 1

daca se considera ntrzierea proprie a regulatorului realRspunsul indicial al regulatorului P

u( t)=K R(t) ;( t)=1u (t )=K R

Pentru un sistem format dintr-un regulator i o parte fixat reprezentat printr-un element de ntrziere de ordinul I avem:

37

H R (s )=K R

(s) U(s)

1s

1

KR

t

u(t)

H F (s)=K F

T F s+ 1u

HR(s)r +

--

y

y

v

r

y

1s

1s

Pentru bucla nchis, n raport cu referina r de tip treapt unitar avem:

H 0(s)=H d(s )

H d (s )+ 1=

K R K FK R K F+ 1

1T F

K R K F+ 1s+ 1

=K 0

T 0 s+ 1

Sistemul H0 rmne unul de ordinul I cu urmtoarele performane:

st=1

K R K F+ 1iar K 0=

K R K FK R K F+ 1

; T 0=T F

K R K F+ 1

Pentru bucla nchis, n raport cu perturbaia v de tip treapt unitar avem:

H 0v=

K FT F s+ 1

1+ K FK R

T F s+ 1

=K F

T F s+ 1+ K F K R; Y v (s)=

K FT F s+ 1+ K F K R

1s

Y st v=lims 0[s Y v(s)]=lim

s 0 [s K FT F s+ 1+ K F K R 1s ]= K FK F K R+ 1Creterea factorului de amplificare KR determina o

reducere a erorii staionare (deci o cretere a preciziei) i o reducere a constantei de timp a sistemului (viteza mai buna de rspuns).

PKR st T0 K0 yst_v Cu cat KR creste, cu att efectul perturbaiei este sczut

(rspunsul ieirii n regim staionar scade): Un regulator P se poate alege atunci cnd procesul conine cel puin un element integrator, astfel se asigura eroare staionar nul deci o buna comportare a sistemului n regim staionar. Pentru procese cu mai multe constante de timp, alegerea unui regulator P, poate duce la instabilitatea sistemului.

38

Regulatorul integrator (I)

Legea de reglare: u( t)= 1T i0

t

( t)dt ,Ti - constanta de

integrare

H R (s)=1

T i ssau H R (s)=

1T i s( s+ 1)

dac se consider i ntrzierea proprie a regulatorului.

Rspunsul indicial

Y (s )=K RT i s

1s=

K RT i s

2 y ( t)=tT i

Abaterea rspunsului real indicial al unui regulator I, n raport cu rspunsul ideal, este cu att mai mare cu cat constanta de timp proprie regulatorului este mai mare

Rspunsul unui regulator integrator este o rampa cu panta 1/Ti.

Regulatorul integrator are un caracter de memorie deoarece la o comanda u(t) nenula poate fi trimisa spre proces chiar daca intrarea n regulator este nula.

Prezenta polului n origine n funcia de transfer a regulatorului asigura o buna comportare n regim staionar a SRA la intrarea treapta unitara nsa gradul de stabilitate al sistemului poate s scad.

Regulatoarele integratoare se folosesc n combinaie cu cele de tip P.

39

1

KR

t

u(t) idealreal

Regulatorul proporional-integrator (PI)

Legea de reglare: u( t)=K R((t)+ 1T i0t

( t)dt) ,Ti - constanta de integrare, KR - factorul de amplificare/atenuare. KR i Ti reprezint parametrii de acord ai regulatorului.

H R (s)=K R(1+ 1T i s ) sau H R (s)=K R(1+ 1T i s )

s+ 1dac se consider i

ntrzierea proprie a regulatorului ( - constanta de timp proprie a regulatorului).

Efectul integrator determina asigurarea preciziei rspunsului (eroare staionar zero) iar efectul proporional duce la creterea vitezei de rspuns a SRA.

Rspunsul indicial al regulatorului PI

Constanta de integrare Ti reprezint intervalul de timp dup care ieirea din regulator i dubleaz valoarea (de la KR, la 2KR).

40

1KR

t

u(t)ideal

real

2KR

Ti

Y (s )=K Rs+ 1

s2T i y (t)=K R(1+ tT i )

Analiza unui SRA cu REG de tip PI i parte fixat de tip elem. de ntrziere de ordinul I:

Funcia de transfer pentru bucla nchis (intrare R(s)) va fi

H 0(s)=K R K F

T i T F s2+ T i(1+ K R K F )s+ K R K F

(T i s+ 1)

i se identific cu un elent oscilant de ord II

H 0(s)=n

2

s2+ 2n s+ n2 T i( 1T i+ s) unde

n2=

K R K FT i T F

; =12 T iT FK R K F (1+ K R K F )T F

Rspunsul acestui sistem este compus dintr-un rspuns echivalent al unui sistem de ordin II i un rspuns determinat

de prezenta zeroului z= 1T i.

Rspunsul indicial al sistemului este:

Y (s )=1s

n2

s2+ 2n s+ n2+

T in2

s2+ 2n s+ n2

Aplicnd transformata Laplace invers rezult:

y ( t)= yII (t )+ T idyII (t )

dt

41

H F (s)=K F

T F s+ 1

u+

--

y

y

v

r

y

1s

1s

H R (s )=K R(1+ 1T i s )

Rspunsul sistemului este compus din rspunsul unui sistem oscilant de ordin II la care se aduga mrimi proporionale cu derivata acestuia, cu coeficient de proporionalitate egal cu Ti. Ca urmare a prezentei aciunii derivative, durata procesului tranzitoriu se reduce. Poziia zeroului influeneaz puternic suprareglajul i durata reg. tranzitoriu.

Pe msura apropierii zeroului de 0 suprareglajul creste iar durata regimului tranzitoriu scade.

42

Regulatorul proporional-derivativ (PD)

Legea de reglare: u( t)=K R((t)+ T d d (t )dt ) ,Td - constanta de derivare, KR - factorul de amplificare/atenuare. KR i Td reprezint parametrii de acord ai regulatorului.

H R (s)=K R (1+ T d s ) sau H R (s)=K R(1+ T d s )

s+ 1dac se consider i

ntrzierea proprie a regulatorului ( - constanta de timp proprie a regulatorului).

Rspunsul indicial al regulatorului PD

Rspunsul componentei derivative alturi de cea proporionala, introduce un efect de anticipaie.

43

1

KR

t

u(t)ideal

real

H F (s)=K F

T F s+ 1

u+

--

y

y

v

r

y

1s

1s

H R (s )=K R(1+ T d s )

Analiza unui SRA cu REG de tip P D i parte fixat de tip elem. de ntrziere de ordinul I:

n raport cu referina: H d (s )=K R(1+ T d s)K F

T F s+ 1=K R K FSe alegeT d=T F

Astfel,

constanta derivativ compenseaz constanta dominant a ntrzierii prii fixate.

H 0(s)=K R K F

1+ K R K Fst=

1K R K F

T 0(s)=0

Componenta D nu aduce modificri substaniale pentru un SRAul unui proces de ordinul I (nu intervine Td ).

Analiza unui SRA cu REG de tip PD i parte fixat de tip elem. de ntrziere de ordinul I I :

H 0(s)=K R K F

T 1 T 2 s2+ (T 1+ T 2)s+ K R K F+ 1

K 0(s)=K R K F

1+ K R K F; st=

11+ K R K F

Acestea sunt identice cu cele pentru regulator P.

Prezenta componentei derivative aduce mbuntiri n regimul tranzitoriu al sistemului i nu n cel staionar. Ea permite scderea suprareglajului i a duratei procesului tranzitoriu (a timpului de cretere).Regulatorul de tip PD nu este ntlnit singular ci numai n prezena componentelor integrative.

44

H F (s)=K F

(T 1 s+ 1)(T 2 s+ 1)

u+

--

y

y

v

r

y

1s

1s

H R (s )=K R(1+ T d s )

Rspunsul indicial al regulatorului PID

Algoritmul PID se recomanda n general, pentru procese cu doua constante de timp predominante, alegnd astfel parametrii de acord ai regulatorului nct aceste constante sa fie reduse.

Analiza unui SRA cu REG de tip PID i parte fixat de tip elem. de ntrziere de ordinul II:

Pentru procesul cu doua constante de timp predominante, se recomanda un regulator PID avnd funcia de transfer :

46

1

KR

t

u(t) ideal

real

D PI

H F (s)=K F

(T 1 s+ 1)(T 2 s+ 1)

u+

--

y

v

r

1s

1s

H R (s )=K R(1+ 1T i s+ T d s)

H R (s)=K R(1 s+ 1)(2 s+ 1)

K s ( s+ 1)

Se aleg 1=T1 i 2=T2 Astfel

H 0(s)=K

s( s+ 1)+ K=

K

s2+ 1 s+K

, unde sa notat K=K R K F

Performanele rspunsului sunt:=0 ; = f (K )

. In cazul proceselor cu timp mort, introducerea componentei derivative nu aduce mbuntiri semnificative.

47

ACORDAREA REGULATOARELOR PENTRU PROCESE RAPIDE

Proces rapid: este caracterizat prin constante de timp mici i timp mort neglijabil. Se considera ca o constanta de timp este mica daca iT < 10 sec .Alegerea tipului de regulator este n general funcie de criteriile de performanta impuse rspunsului sub aciunea intrrii i a eventualelor mrimi perturbatoare. n cazul sistemelor rapide se va propune un algoritm de reglare care sa asigure urmrirea cat mai fidela a referinei i rejecia perturbaiilor daca acestea intervin. Algoritmul de reglare va conduce la un SRA cu o comportare satisfctoare din aceste doua puncte de vedere nsa nu permite satisfacerea anumitor performane care s-ar impune eventual rspunsului.

CRITERIUL MODULULUI

In cazul unui sistem liniar monovariabil suspus unei perturbaii aditive P, n cazul unei comportri ideale, mrimea de ieire y trebuie sa urmreasc cu exactitate mrimea de intrare, fie ea i variabila:( ) ( )y t r t=

att n regim staionar cat i tranzitoriu.

Y (s )=H 0(s )R (s )Y R(s )

+ H 0v(s)V (s )Y V (s)

unde YR(s) reprezint ieirea datorat efectului referinei R(s), iar YV(s) reprezint ieirea datorat perturbaiilor V(s).

Sistemul SRA are o comportare ideala daca: Y (s )=Y R(s )=R(s )

Y V (s)=0ptr. orice s , adica ptr.orice

48

uH

F1(s)H

R(s)r

+

--

y

y

v

HF2

(s)

{Y R(s )=H 0(s)R(s)=R(s)Y V (s )=H 0V(s)V (s)=0 }{H 0(s)=1H 0V(s )=0}{ H 0( j)=1H 0V( j)=0arg (H 0(s ))=0} ptr.orice . ceea ce se traduce prin :

urmrirea exacta a referinei( referina este urmrita n modul i faza vezi condiia de modul i argument)

rejecia perturbaieiAceste condiii trebuie ndeplinite pentru toata gama posibila de variaie a pulsaiei. Din aceste condiii impuse modulelor deriva i denumirea de "criteriul modului".

Pentru procese rapide cum sunt: acionrile electrice i hidraulice, deoarece se pot identifica modelele matematice ale proceselor reale (deci se recomanda aplicarea variantei Kessler a criteriului modului. Acesta varianta ofer un algoritm de acordare optima a regulatorului care sa asigure simultan o comportare buna att n raport cu semnalele de intrare cat i n raport cu

perturbaiile, fr a trata separat asigurarea anumitor performane.

H FI (s )=

K F

(T s+ 1)i=1

n

(T i s+ 1)(1)

sauH F

II (s)=K F

s (T s+ 1)i=1

n

(T i s+ 1)(2)

nde:KF - reprezint coeficientul de transfer al parii fixateTi reprezint constantele dominante (mari) de timp (constante de timp principale):

10iT 0 (condiie de realizabilitate fizic a prii fixate)

Condiia de realizabilitate fizic a unui SRA este e0>eF (acesta rezult din aceea ca excesul de poli ai lui Hd(s) este egal cu cel al lui H0(s) iar e0=eHd=eHR+eHFeHF)

n funcie de ordinul sistemului prii fixate putem avea cazurile:

eF = 1 => e0 1 --- n acest caz se ncearc transpunerea performanelor pentru un sistem de ordinul I

H 0(s)=K 0

T 0 s+ 1

eF = 2 => e0 2 --- n acest caz se ncearc transpunerea performanelor pentru un sistem de ordinul II

H 0( s)=K 0n

2

s2+2 n s+n2

eF = 3 => e0 3 --- n acest caz se ncearc

52

transpunerea performanelor pentru un sistem de ordinul II cu un pol suplimentar.

H 0(s)=K 0 p3n

2

(s2+ 2 n s+ n2)(s+ p3)

cazul n care este necesar adaugarea unui zerou suplimentar pentru mbuntirea performanelor sistemului nchis

H 0(s)=K 0

n2

z1(s+ z1)

s2+ 2n s+ n2

cazul n care este necesar adaugarea att a unui zerou suplimentar ct i a unui pol suplimentar

H 0(s)=K 0p3

n2

z1(s+ z1)

(s2+ 2 n s+ n2)(s+ p3)

n continuare se vor detalia performanele pentru fiecare tip de sistem.

SISTEME CU DOI POLISe studiaz repartiia polilor i a zerourilor daca

sistemul are impuse anumite performane : > in regim staionar, dependente numai de factorul

de amplificare K: eroarea staionar st : la intrare treapt unitar; eroarea de vitez v : la intrare sau ramp; > in regim tranzitoriu n , , , t t , dependente numai de

poziia polilor n planul complex; > restricii impuse de caracteristicile rspunsului

n frecventa : M c , M (care indica gradul de stabilitate al

53

sistemului), (banda de frecventa sau lrgimea de banda ce indica comportarea sistemului fata de perturbaiile de frecventa nalt)

Sistem cu doi poli:

A. E roarea staionara nul la intrarea treapta unitara :st=0

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

00 0 0

0 0 00 0

lim lim lim lim 1

1lim 1 lim 1 1 0

st t s s s

st s s

t s s s R s Y s s H s R s

s H s H s H ss

e e e

e

= = = - = -

= - = - = - = H 0(0)=1 pentru reacie unitara.

Dac dorim s punem in eviden polii sistemului avem:

( ) ( )( )0 1 20 st

CH ss p s p

e= = + + ( ) ( )( ) ( )

1 20

1 2

1 22

1 2 1 21 1pp p p

s p p s p pH s

p p=

+ + +=

+ +

Dac dorim s punem in eviden elementele caracteristice ale unui sistem oscilant de ordinul II:

H 0(s)=K 0n

2

s2+2n s+n2 unde p1,2=n12

p1=p2=2n2+n2(12)=n2=n cos()=B. C ondii a de suprareglaj : = f ()

II = e

12100

541

100%

0

p1

p2

n

( ) ( ) ( )

Restricia privind timpul de tranziie va plasa polii in stnga dreptei dat de n

Ex: t t=10 sec 4n10 n4

10 n0.4

D. Performane n domeniul frecventelor : B lrgimea de band

Pentru a rejecta perturbaiile aceata trebuie s fie ct mai mic B

( )( ) ( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

SISTEME CU DOI POLI I CU UN ZERO

Sistemele au forma: ( )( )( )1 2

031 2

Cp p s zH

s p s p+

=+ +

A. E roarea staionara nul la intrarea treapta unitara :st=0

H 03(0)=1C=1z

pentru reacie unitara.

H 03(s)=

p1 p2z

(s+z)

(s+ p1)(s+ p2), de asemenea H 03( s)=

n2

z(s+z)

s2+2n s+n2

H 03( s)=

n2

z(s+z )

s2+2n s+n2=

n2

s2+2n s+n2+

1z ( n2s2+2n s+n2) s

ceea ce corespundeH 03( s)=Y (s)+

1z

s Y (s) y3(t )= yII (t )+1z

dy IIdt

Oscilaiile procesului tranzitoriu cresc ceea ce conduce implicit la scderea duratei regimului tranzitoriu. Aceasta duce la modificarea la modificarea lrgimii de band.Contracia n domeniul timpului corespunde dilatrii n domeniul frecventelor i invers.

B. Condiia de suprareglaj: H 03( s)= f () ,=nz [0,2]

Introducerea unui zero este justificata daca [ ] 0,2 . Daca zeroul este plasat spre + , efectul introducerii lui este neglijabil.Pentru a determina suprareglajul se pune condiia: dy3

dt=0

Prin derivare se obtine:

58

p1

p2

n

z

3( ,n ,)=e ()

12 22+1 unde tg()=12

iar =nz

C E ro a r ea la viteza v (intrarea este rampa)

v=1p1+ 1

p21

z=2n

1z Rezulta ca pentru un sistem de ordinul II,

prin introducerea unui zero suplimentar eroarea la viteza se reduce comparativ cu cea a sistemului necompensat

SISTEME CU TREI POLI

Sistemele au forma: H 04(s)=C p1 p2

(s+ p1)(s+ p2)(s+ p3)

A. E roarea staionara nul la intrarea treapta unitara :st=0

H 04(0)=1 pentru reacie unitara.

H 04(s)=n

2 p3(s2+2n s+n

2)(s+ p3)sau H 04(s)=

p1 p2 p3(s+ p1)(s+ p2)(s+ p3)

Raspunsul indicial:Y 4(s)=Y 2(s)+

p3s+ p3

C y4(t)= y II(t )+ep3 t C

In acest caz suprareglajul, timpul de tranzitie si eroarea la viteza cresc. Datorita cresterii timpului de tranzitie se reduce largimea de banda.Polii suplimentari trebuie introdui pentru realizabilitatea fizica a sistemului astfel nct: p3(510)n

EFECTELE INTRODUCERII UNEI PERECHI POL-ZERO

59

H 05( s)=

n2 p3z

(s+ z)

(s2+2n s+n2)(s+ p3)

sau H 05( s)=p1 p2 p3

z(s+z )

(s+ p1)(s+ p2)( s+ p3)

varianta 1:(dipol) Att zeroul cat i polul se aleg apropiai

de origine astfel nct z< p3 ;p3z1.01...1.05 =(1..5) %. Deci

varianta introducerii unui dipol conduce la scderea suprareglajului n raport cu cel al sistemului necompensat cu dipol.Varianta 2: polul este proporionat, departe de polii dominani p3(5. .10)n

v=1p1+ 1p2

+ 1p31z

60