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Equilibrio de una barra

Problemas de estáticaProblema 1

Una esfera maciza de radio R = 20 cm y masa M = 3 kg está en reposo sobre un plano inclinado de ángulo θ=30º, sostenida por una cuerda horizontal tal como muestra la figura. Calcular:

La tensión de la cuerda. La fuerza normal del plano sobre el cuerpo. La fuerza de rozamiento que actúa sobre la esfera

Solución

Equilibrio

N·sin30=T+Fr·cos30

N·cos30+Fr·sin30=3·10

Momentos respecto del centro de la esfera

T·R-Fr·R=0

Solución

T=302+3√ N  N=30 N

Problema 2

Dos cilindros macizos y homogéneos de pesos 6 y 10 kg respectivamente, se apoyan sin rozamiento sobre los planos inclinados de la figura.

Calcular el ángulo φ que forma con la horizontal la recta OO' que une los centros de los dos cilindros en la posición de equilibrio y la reacción de los planos inclinados

Solución

Equilibrio del cilindro izquierdo

Ncos15=Fsinφ-60

Fcosφ=Nsin15

Equilibrio del cilindro de la derecha

N’sin30=Fcosφ

N’cos30+Fsinφ=100

Solución

F=57.3 N, φ=59.3º, N’=58.6 N, N=113.1 N

Problema 3

Calcular el peso mínimo P que se debe colocar en el extremo de la mesa de la figura para que vuelque.

La masa del tablero es de 50 kg y de cada pata de 5 kg. Las dimensiones quedan expresadas en la figura. El centro de gravedad del tablero está en el centro del tablero. Tomar g=10 m/s2

Solución

Equilibrio

NA+NB=50·10+10·10+10·10+P

Momentos respecto al extremo de la pata B

(100-NA)·2+500·1-P·0.5=0

La mesa vuelca cuando NA=0

Solución

P=140 kg

Problema 4

Un brazo de grúa de 1200 N de peso se sostiene por el cable AB de la figura. Este brazo está sujeto al suelo mediante la articulación C, y en la parte superior se cuelga un cuerpo de 2000 N de peso.

Encontrar la tensión del cable y las componentes de reacción en la articulación.

Solución

Equilibrio

T·sin25+Fy=2000+1200

Fx=T·cos25

Momentos respecto del origen

−2000⋅L⋅cos65−1200⋅L2cos65+T3L4+Fx⋅0+Fy⋅0=0

Solución

T=1465 N, Fx=1328 N, Fy=2581 N

Problema 5

Una barra de 5 kg de peso y 50 cm de longitud descansa apoyada sobre una pared vertical lisa (sin rozamiento) en A y una clavija B distante 20 cm de la pared.

Solución

Equilibrio.

mg=N·cosθ

F=N·sinθ

Momentos respecto de A

−mg0.52cosθ+N0.2cosθ+F⋅0=0

Solución

θ=21.8º

Problema 6

Un hombre de 70 kg sube por una escalera de 2 m de longitud y 10 kg de peso, apoyada tal como se indica en la figura. El coeficiente de rozamiento entre el extremo inferior de la escalera y el suelo es 0.4. Calcular:

Hallar las reacciones en los apoyos, cuando el hombre ha ascendido x=0.5 m a lo largo de la escalera

La máxima altura x a la que puede subir el hombre por la escalera antes de que esta comience a deslizar.

Solución

Equilibrio

N’cos60+N=70·10+10·10

N’sin60=Fr

Momentos respecto de O

N'1sin60−700⋅x⋅cos60−100⋅1⋅cos60+Fr⋅0+N⋅0=0

Solución

Cuando x=0.5 m

N’=194.9 N, Fr=168.8 N, N=702.6 N

Cuando va a empezar a deslizar Fr=0.4·N

N’=300.2 N, N=649.9 N, x=0.847 m

Problema 7

Una escalera de 3 m de laongitud y 10 kg de peso está apoyada en una pared lisa AB y en un suelo horizontal AC rugoso (coeficiente estático de rozamiento 0.2)

Calcular la reacción de la pared y del suelo cuando un hombre de 70 kg ha subido 50 cm a lo largo de la escalera

¿Cuánto podrá subir como máximo por la escalera?

Solución

Resolvemos el triángulo de la figura

3sin80=2sinα  α=41.03º  β=180−80−α=58.97º

Equilibrio

 N=70·10+10·10+ N’sin10

N’cos10=Fr

Momentos respecto de O

N’cos10·3·sinβ-N’sin10·3·cosβ-100·1.5·cosβ-700·x·cosβ+N·0+Fr·0=0

Solución

o Cuando x=0.5 m

N’=113.9 N, Fr=112.2 N, N=818.9 N

o Cuando va a empezar a deslizar Fr=0.2·N

N’=168.4 N, N=829.2 N, x=0.842 m

Problema 8

Una varilla homogénea de 20 kg de peso y de 3 m de longitud se apoya sobre un plano horizontal y sobre un plano inclinado 60º, ambos lisos (sin rozamiento) tal como indica la figura. La varilla permanece en equilibrio gracias a la acción de una cuerda horizontal situada a 0.5 m de altura. Determinar:

La tensión de la cuerda Las reacciones de los planos horizontal e inclinado

Solución

Equilibrio

N’cos60+N=20·10

T=N’sin60

Momentos respecto de O

200·1.5·cos30+T·2·sin30-N·3·cos30+N’·0=0

Solución

N’=120 N, N=140 N

Problema 9

Una barra de 5 m de longitud y 20 kg de peso descansa apoyada sobre un cilindro de 30 kg de peso y 0.5 m de radio. La esfera está sujeta a su vez, por una cuerda de 1.3 m de longitud. Suponiendo que no hay rozamiento entre la barra y el cilindro, y que el coeficiente estático de rozamiento entre el extremo derecho de la barra y el plano horizontal es 0.5.

Calcular la fuerza de rozamiento y la tensión de la cuerda cuando el ángulo entre la barra y el plano horizontal es de 15º. ¿Deslizará o no la barra?. Razónese la respuesta.

Solución

Ángulo de la cuerda

sinθ=0.5/1.3, θ=22.6º

Posición x de la fuerza F, en el triángulo rectángulo de la figura

tan7.5º=0.5/x, x=3.8 m

Equilibrio de la barra

F·cos15+N=20·10

F·sin15=Fr

Momentos respecto de O

N·0+Fr·0-F·x+200·2.5·cos15=0

Solución

F=127 N, Fr=33, N=77 N

La fuerza de rozamiento máxima es μN=0.5·77=38.5 N

Luego la barra está en equilibrio en esta posición

Equilibrio del cilindro

N’=T·sinθ+F·cos15+30·10

F·sin15=T·cosθ

T=36 N, N’=436 N

Problema 10

Una barra OA de 30 kg de peso y 2 m de longitud, articulada en O, se apoya sobre una caja rectangular de 10 kg de peso y de dimensiones 0.75 y 0.5 m. La caja puede deslizar sobre el plano horizontal. Sabiendo que el ángulo entre la barra y el plano horizontal es de 30º. Calcular:

La fuerza sobre la articulación O. La fuerza que ejerce el plano horizontal sobre la caja y su punto de aplicación. ¿Deslizará o no la caja?. Razona la respuesta.

Dato: el coeficiente estático de rozamiento entre la caja y el plano horizontal vale 0.7.

Solución

Equilibrio de la barra

Fy+Ncos30=30·10

Fx=N·sin30

Momentos respecto de O

-300·1·cos30+N·1.5+Fx·0+Fy·0=0

N=1003√ N,  Fx=503√ N,  Fy=150 N

Equilibrio de la caja

10·10+Ncos30=R

N·sin30=Fr

Momentos

-N·sin30·0.75-10·0.25+R·x+Fr·0=0

x=0.36 m,  Fr=503√ N,  R=250 N

El valor máximo de la fuerza de rozamiento es μR=0.7·250=175 N

La caja no desliza

Problema 11

Una escalera de mano se arma como se muestra en la figura, un pintor de 70 kg, de masa está parado a 3 m de la base. Suponiendo que el piso no tiene fricción, determine :

La tensión de la cuerda que conecta las mitades de la escalera

Las reacciones en los apoyos A y B. Las componentes de la fuerza de reacción en la unión C que

el lado izquierdo de la escalera ejerce sobre el lado derecho

Datos, el tramo AC de la escalera pesa 2.5 kg y el tramo BC 2 Kg

Solución

cosθ=1.25/4

Equilibrio de la escalera izquierda

NA+Fy=70·10+2.5·10

Fx=T

Momentos respecto del vértice de las escaleras

-NA·1.25+25·0.625+700·1·cosθ+T·2·sinθ+Fx·0+Fy·0=0

Equilibrio de la escalera derecha

NB=Fy+2·10

Fx=T

Momentos respecto del vértice de las escaleras

NB·1.25-20·0.625-T·2·sinθ+Fx·0+Fy·0=0

Solución

NA=461.2 N, NB=283.7 N , Fx=180.1 N, Fy=263.7 N, T=180.1 N,