Upload
emperatriz-ponce-de-leon
View
10
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD
ANTERIOR SALIR
3 PolinomiosEl Álgebra, la parte de las Matemáticas de la que los polinomios son la base, nació con los árabes en Bagdad en el siglo IX. La palabra árabe “álgebra” alude al hábil manejo de los cálculos con signos, similar a la maestría de los autores del intricado arte decorativo árabe.
MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 3: Polinomios
INTERNET
LECTURA INICIAL
ESQUEMA
ACTIVIDAD
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD
ANTERIOR SALIR
Enlace a una historia de la Matemática árabe
Enlace a la Casa de la Sabiduría de Bagdad y la ciencia islámica
MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 3: Polinomios
Árabes y matemáticas
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD
ANTERIOR SALIR
MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 3: Polinomios
Esquema de contenidos
Polinomios
Monomios
Concepto
Monomios semejantes Polinomios
ConceptosGrado Valor numérico Operaciones con polinomios
Suma y resta
Multiplicación
División
Fracciones algebraicas
Simplificación
Igualdades notables
Cuadrado de una suma
Cuadrado de una diferencia
Suma por diferencia
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD
ANTERIOR SALIR
División de polinomios
La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso.
Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1.
Para que pueda realizarse la división, el grado del dividendo debe ser mayor que el
del divisor.
MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 3: Polinomios
SIGUIENTE
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD
ANTERIOR SALIR
División de polinomios
La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso.
Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1.
Disponemos los polinomios dividendo y divisor, dejando huecos en el dividendo cuando
falte una potencia.
3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1
MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 3: Polinomios
SIGUIENTE
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD
ANTERIOR SALIR
División de polinomios
La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso.
Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1.
3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1
3 x 2 Dividimos el primer monomio del dividendo
por el primero del divisor y el resultado es el
primero del cociente.
MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 3: Polinomios
SIGUIENTE
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD
ANTERIOR SALIR
División de polinomios
La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso.
Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1.
3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1
3 x 2 Multiplicamos ese monomio por todo el divisor y el resultado,
cambiado de signo, se pone bajo el dividendo.
– 3 x 4 – 9 x 3 + 3 x 2
MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 3: Polinomios
SIGUIENTE
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD
ANTERIOR SALIR
División de polinomios
La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso.
Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1.
3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1
3 x 2 – 2x Se repite el proceso hasta que el polinomio resultante del dividendo
sea de grado menor que el del divisor.
– 3 x 4 – 9 x 3 + 3 x 2
– 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x – 4
MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 3: Polinomios
SIGUIENTE
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD
ANTERIOR SALIR
División de polinomios
La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso.
Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1.
3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1
3 x 2 – 2x
Que no se te olvide cambiar el signo….
– 3 x 4 – 9 x 3 + 3 x 2
– 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x – 4
+ 2 x 3 + 6 x 2 – 2 x
MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 3: Polinomios
SIGUIENTE
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD
ANTERIOR SALIR
División de polinomios
La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso.
Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1.
3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1
3 x 2 – 2x + 9 – 3 x 4 – 9 x 3 + 3 x 2
– 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x – 4
+ 2 x 3 + 6 x 2 – 2 x
9 x 2 – 4
MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 3: Polinomios
SIGUIENTE
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD
ANTERIOR SALIR
División de polinomios
La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso.
Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1.
3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1
3 x 2 – 2x + 9 – 3 x 4 – 9 x 3 + 3 x 2
– 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x – 4
+ 2 x 3 + 6 x 2 – 2 x
9 x 2 – 4 – 9 x 2 – 27x + 9
MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 3: Polinomios
SIGUIENTE
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD
ANTERIOR SALIR
División de polinomios
La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso.
Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1.
3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1
3 x 2 – 2x + 9 – 3 x 4 – 9 x 3 + 3 x 2
– 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x – 4
+ 2 x 3 + 6 x 2 – 2 x
9 x 2 – 4 – 9 x 2 – 27x + 9
– 27x + 5
Puesto que el grado del polinomio resultante es
menor que el del divisor, la división ha terminado.
Resultado:
Cociente: 3 x 2 – 2x + 9
Resto: – 27x + 5
MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 3: Polinomios
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD
ANTERIOR SALIR
Identidades notables: Cuadrado de una suma
Uno de los errores más frecuentes es considerar que la expresión (a + b)2 y la expresión a2 + b2 son iguales. Pero esto es falso. Para ello basta que observes la figura:
En ella se observa que el cuadrado de (a + b), el cuadrado grande es mayor que la suma de los cuadrados de a (en rojo y de b (en verde).
MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 3: Polinomios
SIGUIENTE
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD
ANTERIOR SALIR
Identidades notables: Cuadrado de una suma
(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
Uno de los errores más frecuentes es considerar que la expresión (a + b)2 y la expresión a2 + b2 son iguales. Pero esto es falso. Para ello basta que observes la figura:
En ella se observa que el cuadrado de (a + b), el cuadrado grande es mayor que la suma de los cuadrados de a (en rojo y de b (en verde).
La expresión correcta es:
Lo puedes ver en la figura y podrás verlo mejor en la imagen dinámica a la que accedes haciendo clic en el enlace siguiente:
Cuadrado suma
MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 3: Polinomios
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD
ANTERIOR SALIR
Identidades notables: Cuadrado de una diferencia
La expresión (a – b)2, llamada cuadrado de la diferencia se desarrolla, al quitar paréntesis, así:
(a – b)2 = a2 – 2 a b + b2
MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 3: Polinomios
SIGUIENTE
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD
ANTERIOR SALIR
Identidades notables: Cuadrado de una diferencia
La expresión (a – b) 2 llamada cuadrado de una diferencia se desarrolla, al quitar paréntesis, así:
(a – b)2 = a2 – 2 a b + b2
Lo podrás ver bien si accedes, haciendo clic en el enlace siguiente, a la imagen dinámica correspondiente:
Cuadrado diferencia
MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 3: Polinomios
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD
ANTERIOR SALIR
Identidades notables: Diferencia de cuadrados
La expresión a2 – b2 es la resta de los cuadrados de dos cantidades. Equivale al producto (a + b) por (a – b). Es decir:
a2 – b2 = (a + b) · (a – b)
MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 3: Polinomios
SIGUIENTE
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD
ANTERIOR SALIR
Identidades notables: Diferencia de cuadrados
La expresión a2 – b2 es la resta de los cuadrados de dos cantidades. Equivale al producto (a + b) por (a – b). Es decir:
a2 – b2 = (a + b) · (a – b)
Puedes comprobar esta identidad en la imagen que sigue al enlace:
Diferencia de cuadrados
MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 3: Polinomios
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD
ANTERIOR SALIR
Sacar factor común y simplificar fracciones
Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no.
Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes:
a) b) x
5xx2 1x
1yxxy
MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 3: Polinomios
SIGUIENTE
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD
ANTERIOR SALIR
Sacar factor común y simplificar fracciones
Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes:
a) b) x
5xx2 1x
1yxxy
Vamos a simplificar de dos maneras, una correcta y otra incorrecta. Tú has de elegir la correcta y señalar dónde se produce el error en la incorrecta.
5xx
x5xx
x5x 222
ó 5xx
)5x(xx
5xx2
MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 3: Polinomios
SIGUIENTE
Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no.
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD
ANTERIOR SALIR
Sacar factor común y simplificar fracciones
Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes:
a) b) x
5xx2 1x
1yxxy
Vamos a simplificar de dos maneras, una correcta y otra incorrecta. Tú has de elegir la correcta y señalar dónde se produce el error en la incorrecta.
5xx
x5xx
x5x 222
ó 5xx
)5x(xx
5xx2
La correcta es la expresión de la derecha, en la que hemos simplificado un factor de TODO el numerador. En la primera, x sólo ha sido eliminado en un sumando.
Basta con que hagas las pruebas de las dos divisiones para certificarlo:
x (x2 + 5) = x3 + 5 x ≠ x 2 + 5 x x (x + 5) = x 2 + 5 x
MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 3: Polinomios
SIGUIENTE
Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no.
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD
ANTERIOR SALIR
Sacar factor común y simplificar fracciones
Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes:
a) b) x
5xx2 1x
1yxxy
5xx
x5xx
x5x 222
5xx
)5x(xx
5xx2
MALBIENa) ó
MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 3: Polinomios
SIGUIENTE
Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no.
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD
ANTERIOR SALIR
Sacar factor común y simplificar fracciones
Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes:
a) b) x
5xx2 1x
1yxxy
5xx
x5xx
x5x 222
5xx
)5x(xx
5xx2
MALBIEN
En el caso b), no podemos simplificar tal y como está. Se puede sacar factor común a x en el numerador a los dos primeros sumandos:
a) ó
MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 3: Polinomios
SIGUIENTE
Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no.
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD
ANTERIOR SALIR
Sacar factor común y simplificar fracciones
Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes:
a) b) x
5xx2 1x
1yxxy
5xx
x5xx
x5x 222
5xx
)5x(xx
5xx2
MALBIEN
En el caso b), no podemos simplificar tal y como está. Se puede sacar factor común a x en el numerador a los dos primeros sumandos:
x y + x + y + 1 = x · (y + 1 ) + y +1
y, curiosamente, se puede ahora sacar factor común a (y + 1):
a) ó
MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 3: Polinomios
SIGUIENTE
Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no.
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD
ANTERIOR SALIR
Sacar factor común y simplificar fracciones
Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes:
a) b) x
5xx2 1x
1yxxy
5xx
x5xx
x5x 222
5xx
)5x(xx
5xx2
MALBIEN
En el caso b), no podemos simplificar tal y como está. Se puede sacar factor común a x en el numerador a los dos primeros sumandos:
x y + x + y + 1 = x (y + 1 ) + y +1
y, curiosamente, se puede ahora sacar factor común a (y + 1):
a) ó
x y + x + y + 1 = x · (y + 1 ) + y +1 = (x + 1) · (y +1)
Se va a poder simplificar la fracción del caso b):
MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 3: Polinomios
SIGUIENTE
Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no.
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD
ANTERIOR SALIR
Sacar factor común y simplificar fracciones
Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes:
a) b) x
5xx2 1x
1yxxy
5xx
x5xx
x5x 222
5xx
)5x(xx
5xx2
MALBIENa) ó
1y1x
)1y()1x(1x
1y)1y(x1x
1yxxy
b)
MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 3: Polinomios
Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no.
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD
ANTERIOR SALIR
Enlaces de interés
Actividades de la BBCActividades y Diccionario
IR A ESTA WEB IR A ESTA WEB
MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 3: Polinomios
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD
ANTERIOR SALIR
Actividad: Moquetas de superficies variables
Aparecen aquí diversas situaciones en las que, al enmoquetar el suelo de una habitación, surgen expresiones polinómicas.
Para conocerlo, sigue este enlace.
Dirección: http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/telech/MOQUETTES.PDF
MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 3: Polinomios