INSTITUCIÓN EDUCATIVA INSTITUTO AGRICOLA · Si alguno de los sumandos es un número natural , este se puede convertir en un número decimal agregando una coma en su última cifra

INSTITUCIÓN EDUCATIVA INSTITUTO AGRICOLA JORNADA DIURNA

GUÍA DE TRABAJO # 10

Departamento de Matemáticas Esp. John Jairo Pallares Contreras

AREA: MATEMÁTICAS AGISNATURA: ARITMÉTICA GRADO: SEXTO

Instrucciones. Lee cuidadosamente los conceptos, los ejemplos y desarrolla los ejercicios propuestos. No

olvides guardar esta guía de trabajo en tu carpeta.

TEMA: FRACCIONARIOS Y DECIMALES

División de fracciones: El cociente de dos fracciones resulta de multiplicar la primera fracción por el

inverso multiplicativo de la segunda.

EJEMPLO: 5 ÷ 2 = 5 x 3 = 15 se le aplica el inverso multiplicativo a la segunda

11 3 11 2 22 fracción (voltearlos) y se cambia el signo, luego se

multiplica normalmente.

7 ÷ 8 = 7 x 2 = 14 15 ÷ 6 = 15 x 3 = 45

4 2 4 8 32 3 3 3 6 18

EJERCICIO. Resolver los siguientes cocientes y simplificar la fracción resultante en cada caso.

3

a. 2 ÷ 7 = 2 x 15 = 2 x 3 = 6

25 15 25 7 5 7 35

5

b. 23 ÷ 6 = 23 x 7 = 161

6 7 6 6 36

c. 1 ÷ 3 ÷ 2 = 1 x 5 ÷ 2 = 5 ÷ 2 = 5 x 7 = 35

2 5 7 2 3 7 6 7 6 2 12

EJERCICIO. Ahora tú, resuelve los siguientes cocientes y simplifica la fracción resultante en cada caso.

a. 7 ÷ 6 =

3 8

b. 9 ÷ 3 =

5 4

c. 21 ÷ 35 =

4 2

d. 4 ÷ 6 ÷ 3 =

5 7 2




e. 5 ÷ 8 ÷ 2 ÷ 4 =

2 3 5 6

Fracciones complejas: Las fracciones cuyo numerador y denominador son a su vez fracciones, reciben el

nombre de fracciones complejas.

3 1 + 5

EJEMPLO: Las fracciones _4_ y _6 13_ son fracciones complejas

11 4 - 3

10 5

Para simplificar fracciones complejas, se resuelven las operaciones en el numerador y el denominador.

Luego, se efectúa la división indicada entre estos dos resultados y se simplifica la fracción resultante si es

posible.

Luego de resolver las operaciones que estén arriba y abajo y de tener solo dos fracciones una arriba y la

otra abajo, se utiliza la ley de extremos y medios. Esto es,

a 7

_b_ = a x d EJEMPLO: _11_ = 7 x 5 = 35

c b x c 3 11 x 3 33

d 5

EJERCICIO. Simplificar la fracción compleja.

13 + 5 - 3 78 + 50 - 45 78 + 50 – 45 83 1

a. 10 6 4 = 60 60 60 = 60 = 60 = 83 x 6 = 83

2 - 5 12 - 5 12 – 5 7 60 x 7 70

6 6 6 6 6 10

5 + 7 + 1 75 + 42 + 10 75 + 42 + 10 127 2

b. 2 5 3 = 30 30 10 = 30 = 30 = 127 x 12 = 254

8 + 4 - 3 16 + 4 - 9 16 + 4 - 9 11 30 x 11 55

6 12 4 12 12 12 12 12 5

mcm(2, 5, 3) = 30

mcm(6, 12, 4) = 12

3 + 5 12 + 35 12 + 35 47 3

c. 7 4 = 28 28 = 28 = 28 = 47 x 21 = 141

8 - 4 56 - 12 56 - 12 44 28 x 44 176

3 7 21 21 21 21 4

mcm(7, 4) = 28

mcm(3, 7) = 21




EJERCICIO. Ahora tú, simplifica las siguientes fracciones complejas.

10 + 3 + 6

d. 5 10 4 =

4 - 1

6 3

5 + 3 + 8

e. 2 4 3 =

3 + 6 + 9

3 9 6

5 + 5

f. 8 6 =

4 - 2

6 4

Operaciones combinadas entre fracciones: Para resolver expresiones con fracciones se deben tener en

cuenta las mismas propiedades trabajadas en la expresiones aritméticas con números naturales.

EJERCICIO. Resolver las siguientes expresiones.

a. 1 ÷ 3 - 1 x 5 + 11 se cambia la división por multiplicación

3 7 3 6 6

= 1 x 7 - 1 x 5 + 11 se resuelven las multiplicaciones

3 3 3 6 6

= 7 - 5 + 11 se halla el mcm

9 18 6

= 14 - 5 + 33 = 42 = 7 se suman y restan y se simplifica.

18 18 18 18 3




b. 13 - 1 + 2 ÷ 3 x 1 se resuelve lo que está dentro del paréntesis

5 6 5 2 4

= 13 - 1 + 2 ÷ 3 se cambia la división por multiplicación

5 6 5 8

= 13 - 1 + 2 x 8 se resuelve lo que está dentro del corchete.

5 6 5 3

= 13 - 1 + 16 se resuelve lo que está dentro de las llaves.

5 6 15

= 13 - 37 se realiza la operación indicada.

5 30

= 41

30

EJERCICO. Ahora tú, resuelve las siguientes expresiones.

a. 6 ÷ 5 + 4 x 3 + 5 ÷ 6

2 3 3 2 10 4

b. 3 + 5 ÷ 4 x 5 ÷ 3

2 3 7 2 8




TALLER PARA DESARROLLAR

1) EJERCITACIÓN. Completar la siguiente tabla.

a

b

c

d

a ÷ c

b d

c ÷ a

d b

1

6

2

7

1

2

3

4

3

8

2

3

5

9

4

7

2) EJERCITACIÓN. Si cada número de la pieza superior corresponde al cociente de los números de

las piezas inferiores, escribir los números que falta.

3) EJERCITACIÓN. Resolver las siguientes operaciones. Simplificar los resultados si es posible.

a. 1 ÷ 3 ÷ 5

4 4 8

b. 5 ÷ 13 ÷ 7

6 4 6

c. 3 ÷ 1 ÷ 7 ÷ 6

5 8 3 8

d. 3 2 ÷ 7

5

a

b

4

5 5

6 1

3

1

4 3

2

21

10 8

7

a b

10




e. 4 ÷ 8 ÷ 2 ÷ 1

3 9 5 6

4) RAZONAMIENTO. Resolver.

a. 5 1 - 1 3 x 5

2 11 8

b. 9 1 + 3 1 x 5

3 4 7

c. 6 1 - 4 x 5 1 ÷ 3

3 5 2

d. 2 1 + 3 1 x 5 - 1 2

8 4 6 3

e. 8 1 ÷ 2 x 3 + 5 - 4 8

4 5 6 3 9




5) EJERCITACIÓN. Unir con líneas cada expresión con su resultado.

5 1 - 2 1

6 4 1.003

4 + 7 90

5 9

9 2 + 5

7 174

8 - 4 169

3 7

8 x 15 + 3

5 4 2 + 1 525

3 x 5 1 3 284

7

7 1 + 2 x 1

5 3 2 73

3 ÷ 7 + 5 360

2

3 x 7 + 1

2 5 3 7

8 ÷ 4 x 3 8

6 12

3 + 1 x 3 _1

5 8 13 75

5 - 2 ÷ 2 11

3

3 1 - 1 7

4 8 59

2 - 3 72

7




Decimales: Un decimal es la notación particular de una fracción decimal. Así,

Fracción Decimal Lectura

1

10 0,1 Una décima

1

100 0,01 Una centésima

1

1.000 0,001 Una milésima

1

10.000 0,0001 Una diezmilésima

Para convertir una fracción en decimal de divide el numerador entre el denominador.

Clasificación de decimales: Las expresiones se pueden clasificar según el comportamiento de sus cifras

decimales. Así, pueden ser exactas, periódicas puras o periódicas mixtas.

Las expresiones decimales finitas son aquellas que tienen un número finito de cifras decimales. Estas

expresiones provienen de fracciones cuyo denominador sólo tienen por divisores números primos a 2 o a

5.

EJEMPLO: 5 = 0,625 y 4 = 0,16 son expresiones decimales finitas.

8 25

Las expresiones decimales periódicas son aquellas que tienen una cifra o un grupo de cifras que se

repiten indefinidamente.

EJEMPLO: 0,66666…. 3,2727272727…. son expresiones decimales periódicas

Cualquier expresión decimal periódica cuyo período comience a partir de las décimas, se denomina

expresión decimal periódica pura.

EJEMPLO: 0,333333… 5,27272727… 18,585585585585585… son puras

Cualquier expresión decimal periódica cuyo período no comienza en las décimas, se denomina expresión

decimal periódica mixta.

EJEMPLO: 0,255555… 7,265656565… 26,1652652652652… son mixtas

EJERCICIO: Ahora tú, halla la expresión decimal correspondiente a cada fracción. Luego, determina las

características y clasifícala.

a. 13

50

b. 25

9

c. 19

90

d. 21

6




EJERCICIO: Continua tú, completa la tabla

Fracción Número

decimal

5

8

9

2

10

4

7

3

1

5

135

12

33

16

EJERCICIO. Sigue tú, ubica la coma decimal de tal manera que cada número se convierta en un decimal

puro.

a. 432111… b. 826151515… c. 432121333….

d. 72643222… e. 846135135… f. 1278533131…

g. 1525555… h. 3034545… i. 100125125…

j. 26781111…. k. 36465151… l. 287238723…

Adición de números decimales: Para sumar dos o más números decimales, estos deben escribirse uno

debajo de otro de tal manera que la coma decimal quede ubicada en una misma columna. Luego, se suman

los números respectivos y al resultado se le agrega la coma decimal en la columna correspondiente.

EJEMPLO: sumar 3,65 + 5,57 + 2,5 se procede de la siguiente manera:

3,65

5,37

+ 2,5

11,52

Si alguno de los sumandos es un número natural , este se puede convertir en un número decimal

agregando una coma en su última cifra y un cero como parte decimal.

EJEMPLO: sumar 65 + 5,27 + 17,351

65,0

5,27

+ 17,351

87,621

EJERCICIO. Realizar las siguientes operaciones.

a. 5,68 + 84,25 + 7,586 +,4,2 b. 5,68 + 45,547 + 24 + 4,58 + 5




5,68 5,68

84,25 45,547

7,586 24,0

+ 4,2 4,58

101,716 + 5,0

84,807

EJERCICIO. Ahora tú, operar.

a. 56,21 + 4,125 + 85,42 + 4,854 b. 875,24 +12 + 15,2 +15 + 8,246

Sustracción de números decimales. Para restar dos números decimales, se sigue el mismo procedimiento

de la suma y se tiene en cuenta que el minuendo debe tener como mínimo el mismo número de cifras

decimales que el sustraendo. Para ello, se agregan tantos ceros a las cifras decimales del minuendo como

sean necesarios.

EJEMPLO: Restar 129,24 - 78, 521 se procede así,

129,240

- 78,521

50,719

EJERCICIO. Operar.

a. 254,24 - 54,1543 b. 857,26 - 547,25486

254,2400 857,26000

- 54,1543 - 547,25486

200,0857 310,00514

EJERCICIO. Ahora tú, operar.

a. 548,5 – 248,248 b. 854,25 - 68,254852

Multiplicación de números decimales. Para multiplicar números decimales, se multiplican dichos

números como si fueran números naturales. El producto tendrá tantas cifras decimales como cifras

decimales tengan los factores.

EJEMPLO: operar. 13,5 x 1, 47 se procede de la siguiente manera.




13,5

x 1,47

945

540

135

19,845

EJERCICIO: Operar.

a. 45,24 x 6,12 b. 254,5 x 1,3

45,24 254,5

x 6,12 x 1,3

9048 7635

4524 2545__

27144__ 330,85

276,8688

EJERCICIO. Ahora tú, opera.

a. 85,54 x 2,364 b. 547,6 x 12,1

División de números decimales: Para dividir números decimales, se deben tener en cuenta los siguientes

casos:

Si el dividendo es un número decimal y el divisor un número natural se efectúa la división

correspondiente, teniendo en cuenta que al bajar la cifra decimal del dividendo, se debe poner una

coma en el cociente.

EJEMPLO: operar 135,1 ÷ 7 se procede de la siguiente manera:

135,1 7

65 19,3

21

0

EJERCICIO. Operar.

a. 310,5 ÷ 27 b. 194,4 ÷ 8 c. 370,24 ÷ 52

310,5 27 194,4 8 370,24 52

40 11,5 34 24,3 62 7,12

135 24 104

0 0 00





a. 11,5 ÷ 5 b. 59,92 ÷ 7 c. 584,2 ÷23

Si el dividendo es un número natural y el divisor un número decimal, se suprime la coma del

divisor y se añaden tantos ceros al dividendo como cifras decimales tenga el divisor.

EJEMPLO: operar. 335 ÷2,5 se procede de la siguiente manera.

3350 25

85 134 como el divisor tiene una cifra decimal se agrega un 0

100

0

EJERCICIO. Operar.

a. 483 ÷ 1,4 b. 588 ÷ 2,4 c. 12120 ÷ 2,5

4830 14 5880 24 121200 25

63 345 108 245 212 4848

70 120 120

0 00 200

00


a. 648 ÷ 1,2 b. 2548 ÷ 2,6 c. 31472 ÷ 5,62

Si el dividendo y el divisor son números decimales, se suprime la coma del divisor y se corre la

coma del dividendo tantos lugares como cifras decimales tenga el divisor. Si es necesario, se

agregan ceros al dividendo.

EJEMPLO: operar. 36,38 ÷ 1,7 se procede de la siguiente manera:

363,8 17

23 21,4

68

0

EJERCICIO. Operar. a. 134,88 ÷ 2,4 b. 125,46 ÷ 5,1 c. 162,05 ÷ 3,5

a. 1348,8 24 b. 1254,6 51 c. 1620,5 35

148 56,2 234 24,6 220 46,3

48 306 105

00 00 00





a. 355,32 ÷ 4,2 b. 326,12 ÷ 6,2 c. 201,196 ÷ 5,62

El porcentaje: Expresiones como “el 10% de descuento”, “el 15% de intereses” o “el 50% de ganancia”

tienen relación con diversas situaciones que se presentan en la vida diaria. El porcentaje o tanto por

ciento, es una forma de expresar fracciones decimales cuyo denominador es 100. Se representa con el

signo % que significa “por cada cien”.

Por ejemplo, 25% se lee “veinticinco por ciento” y es equivalente a la fracción 25 que significa 25 de

cada 100. 100

De esta forma, hallar el tanto por ciento de un número significa hallar la fracción que representa el

porcentaje de dicho número. Por ejemplo, el 25% de 60 equivale a hallar 25 de 60. Así,

100

25 x 60 = 25 x 60 = 15

100 100

Para hallar el porcentaje de un número, se multiplica el número por el porcentaje y el resultado se divide

entre 100.

EJERCICIO. Calcular los siguientes porcentajes.

a. 5% de 80 b. 20% de 140 c. 40% de 2.500

= 5 x 80 = 4 = 20 x 140 = 28 = 40 x 2.500 = 1.000

100 100 100

EJERCICIO. Ahora tú, calcula los siguientes porcentajes.

a. 20% de 150 b. 30% de 290 c. 5% de 300

El IVA es el impuesto al valor agregado que se cobra sobre la venta de determinados productos. En

Colombia, este impuesto equivale al 16% del valor de dichos productos.

PROBLEMA RESUELTO: La siguiente tabla muestra la lista de precios (sin IVA) correspondiente a

tres planes ofrecidos por una agencia de viajes. Si una familia formada por cuatro personas dispone de

$3.500.000 para vacaciones, ¿qué plan será más adecuado conforme a su presupuesto?

Precio de planes nacionales

5 días / 4 noches – Todo incluido

Santa Marta Cartagena San Andrés

$719.999 $749.999 $799.999




SOLUCIÓN:

Se calcula el costo de cada plan incluyendo el IVA. Así,

IVA correspondiente al plan de Santa Marta 719.999 x 16 = 115.199,84

100

IVA correspondiente al plan de Cartagena 749.999 x 16 = 119.999,84

100

IVA correspondiente al plan de San Andrés 799.999 x 16 = 127.999,84

100

Se suma el valor del IVA a cada uno de los planes y se multiplica por cuatro.

Plan Costo individual

sin IVA

Costo individual

IVA incluido

Costo para 4 personas

IVA incluido

Santa Marta $719.999 $835.198,84 $3.340.795,36

Cartagena $749.999 $869.998,84 $3.479.995,36

San Andrés $799.999 $927.998,84 $3.711.995,36

El plan más adecuado es Santa Marta o Cartagena.

PROBLEMA RESUELTO: En cierto almacén de electrodomésticos, un comprador paga $350.000 por

un televisor de 14 pulgadas. Si el precio original del televisor era de $500.000, ¿cuál fue el porcentaje de

descuento ofrecido por el almacén?

SOLUCIÓN:

Para saber qué porcentaje de descuento ofreció el almacén, se halla el cociente entre el precio pagado por

el comprador y el precio del electrodoméstico.

350.000 = 0,7

500.000

Luego, para calcular el porcentaje, se multiplica dicho cociente por 100. Así,

0,7 x 100 = 70%

Luego, el descuento ofrecido por el almacén es del 70%

TALLER PARA DESARROLLAR

1) EJERCITACIÓN. Efectuar las siguientes operaciones.

a. 13,2 + 7,95 b. 7,825 + 11,25 + 127,3 c. 217,25 – 63,2

2) EJERCITACIÓN. Completar la siguiente tabla

a b c a + b c - a (a + b) – c

10,2 5,3 0,35

17,3 4,08 21,36

7,06 35,2 10,05

5,13 15,03 9,301

8,032 6,907 14,508




3) RAZONAMIENTO. Ubicar la coma en el lugar correspondiente para que la igualdad se cumpla.

a. 83,256 + 12,45 = 95706

b. 43457 - 29,32 = 405,25

c. 42132 - 26256 = 395,064

d. 258936 - 125,326 = 2464,034

4) PROBLEMA. En un ascensor con capacidad de 350 Kg, se suben 5 personas cuyos pesos son

respectivamente 55,3 Kg, 45,18 Kg, 57,5 Kg, 63 Kg y 70,3 Kg.

¿El ascensor podrá soportar todo el peso? Justificar la respuesta.

Rta:

¿Es posible que pueda ingresar una persona más que pesa 60 Kg? Justificar la respuesta.

Rta:

Si se sube una persona que pesa 60,5 Kg con una carga de 220 Kg, ¿el ascensor podrá avanzar?

Rta:

5) EJERCITACIÓN. Operar.

a. 19,5 x 13 b. 27,75 x 9,3 c. 75,2 x 0,17

6) PROBLEMA. La siguiente tabla muestra el número de días y años que tardan los planetas del

sistema solar en dar una vuelta alrededor del Sol:

Planeta Tiempo

Mercurio 87,97 días

Venus 224,7 días

Tierra 365,26 días

Marte 686,98 días

Júpiter 11,86 años

Saturno 29,46 años

Urano 84,01 años

Neptuno 164,8 años

a. ¿Cuántos días tarda la Tierra en dar nueve vueltas alrededor

del Sol?

Rta:

b. ¿Cuántos días menos tarda mercurio que Venus en dar una

vuelta alrededor del Sol?

Rta:

c. ¿Cuántos años más tarda Neptuno que Saturno en dar una

vuelta alrededor del Sol?

Rta:

d. ¿Cuántos años más tarda Urano que Júpiter en dar seis

vueltas alrededor del Sol?

Rta:




7) EJERCITACIÓN. Calcular cada una de las siguientes expresiones.

a. 14,35 ÷ 3,5 b. 7,06 ÷ 2 c. 18,36 ÷ 9

d. 86,36 ÷ 2,5 e. 0,75 ÷ 0,43 f. 1435 ÷ 2,3

g. 17,06 ÷ 8 h. 25,73 ÷ 4 i. 375,02 ÷ 23

j. 36,03 ÷ 4,05 k. 430,8 ÷ 40,92 l. 756 ÷28,5

m. 4306 ÷ 0,7 n. 1005 ÷10,3

8) MODELACIÓN. Unir con líneas las expresiones que son equivalentes.

a. El 10% de 3.500 1. El 2% de 1.600

b. El 7% de 4.200 2. El 25% de 204,8

c. El 25% de 1.240 3. El 25% de 1.400

d. El 8% de 400 4. El 50% de 620

e. El 4% de 1.280 5. El 5% de 5.880

9) EJERCITACIÓN. Completar la siguiente tabla.

De 80 125 230 900

50%

25%

40%

34%

75%

80%




10) PROBLEMAS.

a. El puntaje máximo que se puede obtener en un juego es de 500 puntos.

Si un participante obtiene el 47% del puntaje, ¿cuántos puntos obtuvo?

Rta:

Si una persona obtiene el 10% del puntaje, de otra persona, ¿cuántos puntos obtuvo si dicha

persona obtuvo 340 puntos?

Rta:

b. Si la tierra tiene una superficie de 509.760.000 Km2 aproximadamente y el 72% corresponde a

agua y el resto a superficie terrestre.

¿Cuál es el área, en Km2 que ocupa el agua?

Rta:

¿Cuál es el área de la superficie terrestre en Km2?

Rta:

c. Camila tiene $135.000, Julián tiene 5% más que Camila y Natalia el 2% menos que Julián.

¿Cuánto dinero tienen entre Julián y Natalia?

Rta:

d. El precio de un computador es de $1.200.000. Si se compra con todos los accesorios

suplementarios, tiene un regalo del 15%.

¿Cuánto paga una persona por un computador con accesorios, si recibe un descuento del 10%

por pago de contado?

Rta:

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