INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECyT “MIGUEL BERNARD PERALES

INFORME DEL PROYECTO DE INVESTIGACIÓN EDUCATIVA

Planteamiento de Laboratorio Virtual para el estudio de las Matemáticas

como alternativa didáctica

M.E. OSCAR T. GÁMIZ CASARRUBIAS

M. C. BEATRIZ E. GÁMIZ CASARRUBIAS

ING. PEDRO ESCOBAR BALLESTEROS

Resumen:

La matemática es una ciencia exacta creada por el hombre con la finalidad de ayudarle

en su vida diaria, y a la vez, ayudarle a comprender y explicar una gran cantidad de

fenómenos.

Aunque muchas veces escuchamos que la matemática es una materia muy complicada

es importante tener conocimientos básicos de ella. El desarrollo vertiginoso del mundo

en que vivimos se debe en gran medida al avance de la matemática y a los nuevos

conceptos y aplicaciones que de ella se desprenden. Agrupándose una serie de ayudas

tanto físicas como virtuales que facilitan el aprendizaje.

1) Físicos, que se definen como cualquier material u objeto físico del mundo real que

los estudiantes pueden palpar para ver y experimentar conceptos matemáticos.

2) Virtuales, que se definen como representaciones digitales de la realidad posibilitadas

por los computadores, y que el estudiante puede también manipular con el mismo

objetivo de los primeros. Los manipulables virtuales tienen además la capacidad de

hacer visible lo que es difícil de ver e imaginar.

En esta investigación se pretende desarrollar un laboratorio virtual y elaborar un

software con aplicaciones virtuales ya que los instrumentos bien diseñados y bien

utilizados (físicos o virtuales) ayudan a los estudiantes a construir, fortalecer y conectar

varias representaciones de ideas matemáticas al tiempo que aumentan la variedad de

problemas sobre los que pueden pensar y resolver.

Asimismo, los instrumentos ofrecen a los estudiantes objetos para reflexionar y hablar.

Les suministran un lenguaje adicional para comunicar ideas matemáticas sobre sus

percepciones visuales, táctiles y espaciales.

Introducción

El proyecto surge al detectar que los estudiantes de bachillerato presentan serios

problemas en el manejo, interpretación y aplicación de las matemáticas. Entre las

causales se observa que en sus diferentes cursos de matemáticas no han logrado la

construcción de marcos referenciales sólidos. Si el fin es que el alumno adquiera

aprendizajes significativos es necesario entre otras cosas conocer y analizar cuales son

los factores dentro del ambiente escolar - factores intrínsecos al proceso de enseñanza

aprendizaje - y los que están fuera del ambiente escolar - factores extrínsecos que se

encuentran dentro del contexto social -. Por otra parte, en esta investigación se pretende

hacer uso de un laboratorio virtual para simular diferentes ambientes de aprendizaje en

los cuales puede desenvolverse el alumno.

El planteamiento del Laboratorio de Matemáticas busca promover, impulsar y fortalecer

la investigación sobre las formas de aplicación de las matemáticas contemporáneas a

problemas técnicos y científicos de naturaleza interdisciplinaria mediante herramientas

de cómputo científico. Además el Laboratorio de Matemáticas es un punto de encuentro

entre profesores, estudiantes e investigadores en torno a problemas abiertos donde se

requiere simulación numérica y modelación matemática para alcanzar soluciones

efectivas a problemas interdisciplinarios.

El laboratorio promueve actividades docentes, elaboración de cursos de extensión,

planes de educación virtual. Sus áreas de trabajo son algebra, geometría y trigonometría,

geometría analítica, cálculo diferencial e integral y Estadística.

Descripción del Problema

La dificultad que implica para los profesores del nivel medio (secundaria y bachillerato)

la enseñanza del conocimiento matemático, ha quedado de manifiesto en diversos

estudios. Numerosos reportes nacionales y extranjeros (Booth 1984; Kieran 1980, 1988;

Filloy y Rojano, 1985; Ursini 1990) han investigado y catalogado las dificultades y

errores más comunes que cometen los alumnos que se inician en el estudio de las

operaciones fundamentales de la aritmética y del álgebra elemental.

Se señala, por ejemplo, que los alumnos:

-No interiorizan el significado de las operaciones fundamentales de suma, resta,

multiplicación y división.

-No interpretan geométricamente el significado de las fracciones.

-Tienden a interpretar el signo de igualdad sólo como signo de acción, mientras que este

signo suele emplearse para representar equivalencias.

-Tienen dificultad para entender que mientras en aritmética las operaciones se ejecutan

y se obtienen resultados numéricos, en álgebra las operaciones se indican y su ejecución

efectiva queda suspendida.

-Tienen dificultades con la adquisición de conceptos nuevos, propios del álgebra, por

ejemplo, el concepto de variable.

-No incorporan interpretaciones geométricas a la formación de los conceptos simbólicos

del álgebra, etc.

Estos elementos constituyen un obstáculo para el aprendizaje de las matemáticas. Se

enfatiza entonces que para lograr un manejo adecuado del álgebra, es necesario que los

alumnos, por un lado, desarrollen una capacidad para percibir la simbología y las

operaciones aritméticas de manera distinta, y por el otro, construyan nociones

completamente propias del álgebra y la geometría.

Se comprende que los factores incidentes en la apropiación del conocimiento

matemático son múltiples: hay razones económicas, sociales, herencia cultural, actitudes

y creencias.

Pregunta de investigación.

¿El Laboratorio virtual de matemáticas ayuda a disminuir las dificultades y errores más

comunes que cometen los alumnos de nivel medio superior en la aplicación de las

matemáticas?

Objetivo general

Analizar el propósito de las matemáticas y sus implicaciones así como la vinculación

con otras asignaturas.

Investigar las aplicaciones de dichos conceptos en la vida diaria como estrategia para

resolución de problemas.

Estudiar aplicaciones del Laboratorio Virtual. Como atender las necesidades y dar

servicios de asesoramiento en el área de matemáticas a los estudiantes utilizando

material de referencia.

Proveer un espacio en el Internet que sea de ayuda para los estudiantes que cursan

Matemáticas; proveyéndoles ayuda en temas específicos y,

Facilitar el intercambio de ideas entre educadores de matemáticas mediante cursos de

Educación Continua.

Hipótesis general

El uso del laboratorio virtual en la enseñanza de las matemáticas puede favorecer

procesos cognitivos tales como razonamiento abstracto, observación y análisis que

redundaran en el aprendizaje y comprensión de las matemáticas

Preguntas de investigación

¿El laboratorio de matemáticas ayuda a los profesores y alumnos al aprendizaje de las

matemáticas?

¿Qué los estudiantes piensan sobre la enseñanza y el aprendizaje mediante la modalidad

del internet?

¿Cuáles son las actitudes y percepciones de la facultad y personas en la comunidad

sobre los cursos en internet?

Objetivos específicos

1. Análisis de diferentes ambientes educativos variando las formas de interacción

del docente y alumno.

2. Análisis de diferentes estrategias de enseñanza.

3. Análisis de los marcos referenciales previos de los estudiantes

4. Identificar factores intrínsecos del proceso de enseñanza y aprendizaje

5. Identificar factores extrínsecos que influyen en el proceso de enseñanza y

aprendizaje

Hipótesis específicas

1.- El alumno interactúa de manera más eficaz con el profesor si se emplean diferentes

ambientes educativos, porque al variar el ambiente su percepción de las matemáticas

cambia mejorando su aprendizaje

2.- Las mejores maneras de enseñanza en la interacción personalizada con el alumno

3.- Los marcos referenciales de los estudiantes son el rechazo a las matemáticas por

complejas, la no comprensión de las matemáticas hasta que se les presenta su aplicación

real.

4.- Los factores intrínsecos son el rechazo a las matemáticas y todo lo que se refiere a

ellas incluyendo a el profesor

5.- Los factores extrínsecos es la falta de aplicación de las matemáticas a problemas

reales

Justificación

El modelo educativo del Instituto Politécnico Nacional "promueve cambios muy

especiales de las estructuras cognoscitivas en la relación profesor-alumno mediante el

impulso del espíritu analítico, crítico, creador y participativo en una constante búsqueda

de alternativas de solución de los problemas de la realidad social."(Córdoba y Gutiérrez,

1996: p.12). Este modelo educativo, centrado en el alumno, se apoya en dos

herramientas didácticas que son la investigación y el trabajo grupal a través de las

cuales se pretende que el alumno tenga una participación activa en su propio

aprendizaje y que sea capaz de reflexionar sobre lo que le rodea, para actuar sobre esa

realidad y transformarla. Sobre estas bases, el empleo de materiales educativos

especiales e innovadores no sólo cabe dentro del modelo sino que funciona de acuerdo

con él.

Es precisamente en la enseñanza de temas de matemáticas donde los docentes se

enfrentan con un reto muy especial, ya que desafortunadamente resulta muy común que

los estudiantes carezcan de las bases necesarias para poder avanzar en la adquisición de

conocimientos.

Los alumnos se inician en estos temas a partir del primer semestre, cuyo contenido se

centra en álgebra y es aquí donde se tienen detectados dos problemas importantes:

1) El manejo del álgebra básica por parte de la mayoría de los alumnos es muy pobre;

2) En los diversos cursos que tocan temas de Álgebra y de Cálculo Diferencial es muy

común que no sea posible dedicar suficiente tiempo a realizar revisiones de puntos

básicos de temas vistos anteriormente, ya sea a través de ejercicios en clase o tareas, que

en caso de utilizarse rara vez se revisan en detalle durante las sesiones en el aula, lo cual

también ocurre para la solución de problemas sobre nuevos temas. Al faltar el apoyo

que proporciona la revisión detallada de soluciones a ejercicios de diversos grados de

dificultad, ocurre que los estudiantes enfrentan serias dificultades cuando más adelante

deben aplicar lo aprendido al planteamiento y solución de modelos matemáticos en

otros semestres, durante o al concluir su vocacional. A fin de cubrir un contenido tan

amplio en los semestres, consideramos que es necesario recurrir al uso de materiales

didácticos que faciliten un aprendizaje significativo para el alumno.

Otro de los problemas que se presenta con la enseñanza de Matemáticas es que el

docente no siempre logra que el alumno participe activamente en el proceso de

enseñanza y aprendizaje, ni puede alcanzar la vinculación entre los contenidos

matemáticos, cuya lógica interna exige impartirlos en determinada secuencia y acorde

con los contenidos del programa.

Para resolver toda esta problemática, entre muchas otras medidas, existen guias con

ejercicios de Álgebra y Cálculo Diferencial y se han utilizado y probado diferentes tipos

de materiales educativos interactivos (Fournier, Rouquette, Ariza, 2000: p.261) como

resultado de la preocupación de docentes y autoridades. Desafortunadamente, al menos

en México, es común que el estudiante defina su vocación precisamente a partir de su

falta de facilidad para las Matemáticas.

Es bien sabido que desde la escuela primaria los programas educacionales de

matemáticas son largas listas de detalles que el estudiante debe ser capaz de repetir al

terminar cada nivel, y de operaciones que deberá repetir mecánicamente sin haberlas

comprendido. Sobre este punto, De la Peña (1999: pp.16-17) afirma que: "las reformas

recientes en la enseñanza de las matemáticas en diversos países, México entre ellos,

enfatizan en la necesidad de que los alumnos adquieran ciertas habilidades al

presentárseles de manera sistemática 'situaciones didácticas' convenientes", lo que en

opinión de él mismo parece ser "la dirección correcta" aunque tiene reservas al respecto,

ya que duda: "que la mayoría de los maestros realmente busque desarrollar las

habilidades deseadas entre sus alumnos". Con base en lo que llama "una rápida encuesta

entre conocidos" descubre que: "al igual que cuando nosotros estuvimos en la escuela

primaria, el énfasis de las matemáticas sigue estando en las mecanizaciones.

Recientemente, una encuesta mostró que la pregunta 'Si al echar dos volados con una

moneda normal obtiene usted águilas, ¿qué obtendrá con mayor probabilidad al echar el

tercer volado?' sólo era contestada correctamente por 38% de los encuestados (entre

estudiantes de la UNAM se obtuvo un impresionante -por lo bajo- 47% de respuestas

correctas).”

Debido a toda esta situación que se presenta con las matemáticas, desde temprana edad

los estudiantes adquieren actitudes de temor y rechazo hacia esta disciplina, lo que se irá

acentuando en cursos posteriores, conforme aumenta el nivel de abstracción de los

temas, por el arrastre de conceptos no entendidos, por las pocas oportunidades de

participar activamente en el aprendizaje y por la escasa relación entre las matemáticas y

la realidad del alumno (Ariza, Rouquette, 2002: p.201).

Esto va a dificultar que el estudiante pueda complementar sus carencias matemáticas a

través del autoaprendizaje con materiales tradicionales, como cuadernos de ejercicios y

problemarios tomados de textos convencionales. En nuestro caso, hemos probado en

condiciones controladas (Fournier, Rouquette, Ariza, 2000: p.235), que el uso de

materiales didácticos innovadores para usarse en equipo PC permite que los estudiantes

adquieran conocimientos, además de resultarles interesante y representar un reto.

Hay un inconveniente con los materiales didácticos ya elaborados, es que pocas veces

coinciden con las necesidades de los estudiantes, ya que la mayoría están basados en el

esquema tradicional de materias por temas, que se imparten en cursos semestrales. Los

contenidos rara vez van a coincidir con las necesidades de nuestros contenidos.

De esta forma, tomando en cuenta las características del estudiante, las propias del

Sistema en temas de Matemáticas a través del uso de nuevas tecnologías, estamos

convencidos de que el uso de materiales desarrollados especialmente para cubrir las

necesidades de los estudiantes, puede contribuir a mejorar el aprendizaje.

La evolución de las nuevas tecnologías de la información representa un fenómeno de

amplio espectro con consecuencias importantes para el mundo actual. De hecho hay

autores que defienden la existencia de un nuevo paradigma tecnológico, con una gran

incidencia en nuestra cultura, organizado en torno a las tecnologías de la información.

En el último cuarto de este siglo, la informática, las telecomunicaciones y la tecnología

audiovisual han contribuido a la evolución de la sociedad ya que más allá de un

conjunto de medios más o menos sofisticados, las nuevas tecnologías de la información

deben ser valoradas como un paradigma con un importante impacto cultural.

La utilización de las nuevas tecnologías de comunicación y de informática en la

educación ha causado un cambio tanto en los roles del docente y del alumno, como en la

forma de interactuar con la información, es evidente que a nivel universitario debemos

tratar de dar respuesta a lo que no es sino una demanda social que exige desde una

elaboración de un pensamiento científico sobre la tecnología y su influencia en planos

como el de los valores, las conductas sociales, las nuevas profesiones, etc., hasta el

dominio del diseño de materiales educativos, pasando por el conocimiento de las

aplicaciones de las nuevas tecnologías en diferentes campos profesionales.

Por causa de los contextos escolares donde varía el tamaño del grupo y el tiempo de

cada sesión entre otras, algunos docentes centran su esfuerzo en el aprendizaje de tipo

informativo, pero actualmente con la ayuda de las tecnologías se vislumbra a corto

plazo la posibilidad de centrar los esfuerzos escolares al manejo de grandes volúmenes

de información, es decir se da un cambio en las funciones escolares ya que de ser

solamente fuentes de información permiten actualmente generar ambientes virtuales

donde se puede simular lo que ocurre en el aula escolar.

El proceso educativo dentro de la tecnología informática es un sistema que está formado

por el docente, el alumno y los materiales educativos interactivos. Cada integrante es un

subsistema que está constituido por diferentes elementos que en su conjunto

determinan el éxito o el fracaso escolar (Lieu M. W., 1997).

La enseñanza

El docente, dentro de este proceso, programa la estrategia de enseñanza y las secuencias

remediales o cursos de acción que toman en cuenta el desempeño individual de los

estudiantes. De este modo se resuelven los problemas específicos de cada estudiante.

Cada docente posee su propio estilo de enseñanza en el que, entre otros, intervienen los

siguientes elementos:

a) La velocidad de presentación de los contenidos.

b) La forma de presentación de los contenidos, como ser de lo general a lo particular o

de lo particular a lo general.

c) El nivel asociado al material educativo, que puede ser informativo como en la

presentación de conceptos o fórmulas, la elaboración de un resumen y el remarcar los

puntos importantes.

d) El nivel de análisis logrado por la presentación de ejemplos y contraejemplos.

e) El uso de analogías o de preguntas para validar el aprendizaje.

f) El nivel de síntesis logrado por la realización de ejercicios aplicados a problemáticas

reales o significativas para el alumno.

El aprendizaje

Los nuevos modelos cognitivos incluyen componentes de procesos de aprendizaje como

codificación y representación de conocimientos, almacenamiento y recuperación de

información, así como incorporación e integración de los nuevos conocimientos con los

conocimientos previos (Saettler, 1990).

El docente debe tomar en cuenta los estilos de aprendizaje de los alumnos para poder

proporcionar la ayuda pedagógica adecuada y para mantener la motivación del alumno

si es que se quiere lograr un aprendizaje significativo. Los alumnos presentan ciertas

habilidades de aprendizaje, que están determinadas por los marcos referenciales previos

y la motivación intrínseca o extrínseca del proceso.

Los materiales educativos

Como formas o modalidades concretas del manejo de los materiales educativos se

pueden clasificar de la siguiente manera: la Tutorial, la de ejercitación y práctica, los

juegos, las simulaciones, las herramientas, el descubrimiento.

La modalidad Tutorial presenta un material en la pantalla de la computadora y

eventualmente hace preguntas sobre dicho material. En las versiones avanzadas de

tutoriales, las preguntas se convierten en evaluaciones más o menos complicadas

dependiendo de las cuales aparece una retroalimentación diferente y se toma un camino

alterno para continuar con la presentación del resto del material.

Desde el punto de vista de la lección a preparar hay tres grandes elementos a considerar

que son:

a) la información,

b) los objetivos,

c) el perfil del estudiante.

El primer elemento es la descripción precisa de la información, que puede ser definida

como lo que se pretende decir o enseñar e incluso en ciertos momentos qué material se

necesita o está relacionado con el tema o que material debe ser excluido. En general,

son los tópicos a cubrir, el tipo de material que se pretende emplear, es decir las

lecturas, conferencias, etc.

El siguiente elemento a considerar es la definición de los objetivos del curso, esto es las

razones, las condiciones por las que el material debe ser realizado de esta manera, así

como las metas que se proponen ser alcanzadas por el estudiante con tal realización. A

veces, los objetivos se conjugan con cuestiones específicas sobre el tipo de

conocimiento o habilidad que se pretende adquirir, en qué tiempo debe realizarse y bajo

qué condiciones.

El otro punto importante es el perfil del estudiante que nos sirve para acotar cuál es el

público o el auditorio a quién está destinado el material a enseñar, cuál es el promedio

de edad que tiene, cuál es el tipo de antecedentes, marcos referenciales o preparación

por la cual ha pasado, cuáles son sus motivaciones principales, etc.

La determinación del objetivo y las tareas permite tener una perspectiva sobre la

amplitud del tema, lo que da una idea del tamaño en términos de tiempo necesario de

trabajo para la presentación y adquisición del material a aprender. Dado que las

lecciones o los módulos en computadora no pueden ser muy extensas en tiempo; según

algunos autores, 15 o 20 minutos deben ser suficientes, algunos otros hablan hasta de 30

o 40 minutos máximos por lección. Bajo el supuesto, claro está, de que un módulo debe

de poder ser revisado en una sola sesión de computadora. Si cada pantalla necesita de n

minutos, esto indica un máximo de unas 30/n pantallas. En general el tiempo para hacer

la lectura de cada pantalla es de al menos 3 minutos, lo que implica un máximo también

de 13 pantallas por lección.

La motivación

Un elemento fundamental en el acto docente es la motivación que se puede catalogar en

la de tipo individual y en la de tipo social.

En la motivación de tipo individual se encuentra:

El desafío: provoca en el sujeto confrontar la dificultad y la confianza que tiene

el sujeto a su autoestima para poder superar la dificultad y llegar al resultado.

Esto se ve matizado por todo el manejo computarizado que se puede dar para

presentar la dificultad y de qué manera ésta va avanzando en diferentes niveles

de las matemáticas.

La curiosidad: en general se identifica al hombre como un sujeto

fundamentalmente curioso. Como un sujeto que naturalmente quiere averiguar y

aprender. Se aprende únicamente aquello que se desconoce. Entonces una buena

curiosidad es aquello que presenta no sólo lo desconocido sino lo novedoso, es

decir algo que se desea aprender. En matemáticas la novedad no debe de ser tan

diferente de los marcos referenciales anteriores que presente una barrera

infranqueable, deben presentarse los nuevos conceptos y términos matemáticos

de manera paulatina para dar tiempo necesario a su asimilación.

El control: permite la satisfacción de obtener sentido del dominio sobre la

computadora, sobre el fenómeno de la simulación y sobre el objeto a través del

modelo. Esta motivación es incrementada, mientras más libertad presente el

sistema. En aquellos sistemas donde todo está predeterminado de alguna manera

el sujeto se siente manipulado mientras que en el caso interactivo le da una

motivación de autosuficiencia, de autoestima que difícilmente se obtiene de otra

forma.

El entendimiento global: es importante promover la capacidad de visualización

de las diferentes formas de resolución de problemas y sus implicaciones, así

como una estrategia para poder decidir entre todas las opciones cuál es la

respuesta adecuada.

Entre las motivaciones sociales están las siguientes:

La competencia es una de las motivaciones sociales, ya que es el obtener el

reconocimiento o prestigio social por haber triunfado.

El reconocimiento es también otra motivación indirecta de tipo social empleada

que puede tomar diversas formas: unos aplausos y fanfarrias por sonido o

mediante frases que animen a los estudiantes mencionando sus logros.

El desarrollo de la tecnología informática ha ofrecido en diferentes momentos

herramientas muy útiles a la educación tanto para apoyar la labor de docencia como la

de investigación. En la docencia los Sistemas Tutoriales han evolucionado de ser

solamente libros electrónicos a sistemas que se ajustan al desempeño de los estudiantes

y que proporcionan la ayuda pedagógica adecuada para propiciar un buen aprendizaje y

actualmente se pueden construir Sistemas que requieren de materiales multimedios, sin

problema técnico alguno.

En la labor de investigación, la informática permite actualmente programar todo tipo de

espacios virtuales. Los Sistemas Tutoriales son una de las formas más usadas en la

enseñanza como auxiliares para lograr el proceso de enseñanza aprendizaje.

La función de un Sistema Tutorial es presentar conocimiento al estudiante por medio de

un programa de computadora que se asemeje a un instructor privado y paciente que

atienda individualmente a cada estudiante. Las características principales son:

1. Que promueve una respuesta activa: el estudiante aprende mejor realizando

actividades cuando aplica un conocimiento recién adquirido. Por ejemplo, en nuestros

tutoriales de “Álgebra” y “Leyes de los Exponentes” se le pregunta al estudiante por

conceptos, definiciones o procedimientos y que resuelva ejercicios o problemas que en

la mayoría de los casos requieren procesos de abstracción y generalización.

2. Que informa al estudiante sobre su desempeño: consiste en proporcionar al estudiante

la comprobación inmediata sobre lo correcto o incorrecto de su respuesta. Esta

información se presenta en forma inmediata ante la respuesta proporcionada por el

alumno, con lo que se establece un proceso de evaluación continua después de presentar

pequeñas cápsulas de conocimiento. De esta manera la revisión del Sistema Tutorial

depende del desempeño de cada alumno.

3. Permite el avance del estudiante a su propio ritmo: indica que las personas cubren

con diferente inversión de tiempo el mismo contenido instruccional. Esto no es

problema en los Sistemas Tutoriales, porque en la construcción se individualizan las

estrategias y técnicas de instrucción, con actividades complementarias para adaptar el

material durante su uso, al ritmo de los avances de cada alumno. Cuentan con

secuencias remediales para cada nivel de conocimiento.

4. Promueven que el alumno trabaje con el mínimo error, es decir que los individuos

en sus experiencias de instrucción aprenden cometiendo cada vez menos errores. Esto se

tiene contemplado en los Sistemas Tutoriales porque el proceso se divide en pasos

suficientemente pequeños para permitir que el reforzamiento pueda darse

inmediatamente después de la realización de cada paso.

El procedimiento básico de un Sistema Tutorial se describe en el siguiente diagrama:

Los materiales educativos interactivos son una de las formas usadas en la enseñanza por

computadora como auxiliares para lograr el proceso de enseñanza aprendizaje. Su

función es presentar conocimiento al estudiante por medio de un programa de

computadora que se asemeje a un instructor privado y paciente que trabaje con un solo

estudiante. Los materiales educativos permiten individualizar la exposición del material

para cada estudiante, quien avanza a su propia velocidad, llevar un registro de su

desempeño y proporcionarle retroalimentación inmediata. Además, permiten la

realización de ejercicios repetitivos para lograr el aprendizaje y como el material se

encuentra fraccionado en lecciones, los usuarios pueden reiniciarlo a partir de cualquier

punto, tal vez hasta donde se haya llegado en alguna sesión previa.

MARCO TEÓRICO

Marco Conceptual

Principios didácticos.

En cada momento de la enseñanza en cada uno de sus componentes, se deben

manifestar los principios didácticos. En función de las características de un momento u

otro se pone de manifiesto el papel rector de uno u otro principio, ya que no siempre

todos ellos intervienen con la misma intensidad. Es por esto, que a continuación vamos

a caracterizar cada principio y daremos a cada cual “su personalidad propia” aunque en

la práctica veamos la relación mutua y la interdependencia entre ellos lo cual les

concede el carácter de sistema. Los principios didácticos, constituyen una alternativa

más de organizar el proceso de la teoría de la dirección del proceso de asimilación y de

la psicología cognitiva.

Carácter científico

Este principio exige que la enseñanza sea exacta con relación a la matemática como

ciencia. También presupone que en la enseñanza de la matemática hay que mostrar el

movimiento y desarrollo de modelos matemáticos, conceptos, teoremas, métodos

matemáticos, y que estos tienen su origen en la realidad objetiva, en las relaciones de

conjunto, estructurales y de posición y que son sus imágenes abstractas a menudo muy

alejadas de la realidad.

Asequibilidad.

La enseñanza de las matemáticas impone altas exigencias al pensamiento abstracto.

Asequibilidad significa que la enseñanza tiene que corresponder al desarrollo intelectual

de los estudiantes. En virtud de la asequibilidad se hacen con frecuencia

simplificaciones didácticas. Algunas definiciones se sustituyen por explicaciones, los

teoremas no siempre se demuestran o se trabaja un tipo especial de demostración. En la

solución de problemas o ejercicios se realizan a menudo simplificaciones didácticas; los

datos de partida se adaptan, se prescinde de algunas condiciones variables, el problema

en general se simplifica; pero en lo esencial, es decir, la selección del método de

solución, su aplicación y el planteo matemático se mantienen.

La facilidad de la enseñanza disminuye el interés por el estudio y la actividad

intelectual.”Ni tan fácil que no provoque conflicto, ni tan difícil que no se pueda

resolver” La exageración de la dificultad no conduce al éxito sino a la frustración.

La asequibilidad presupone:

Partir de lo conocido a lo desconocido.

Ir de lo sencillo a lo complejo.

Colocar al estudiante frente a dificultades y crear las condiciones para que pueda

superarlas.

No exigir ni por debajo ni por encima de las posibilidades de asimilación de los

estudiantes.

Este principio se asegura cuando se establece la “retroalimentación” entre el profesor y

el estudiante. Es menester garantizar los medios seguros de “retroalimentación”

mediante el control operativo de la asimilación de los conocimientos.

Carácter sistemático.

Este principio significa comparar el conocimiento adquirido a fin de asociarlo a una

estructura o sistema establecido en su conocimiento. Significa que se analicen e

investiguen propiedades comunes y diferencias. Significa hacer visibles las relaciones

existentes. Es menester que al preparar cada clase, el profesor ponga de manifiesto las

relaciones existentes entre los conceptos, no sólo dentro de la matemática, sino fuera de

ella. Es decir la sistematización estricta y la secuencia lógica de la exposición de la

materia, son requisitos necesarios pero no suficientes para una exitosa realización del

proceso docente.

Cumplir con el carácter sistemático, presupone:

Trabajar los nuevos conocimientos en relación con los conocimientos que tienen una

significación afín.

Planificar cada clase en su relación con el cuadro de asociaciones de la asignatura o

disciplina.

Entrenar a los estudiantes a sistematizar, tanto en el plano cognitivo, como en el plano

material (gráficos, algoritmos, cuadros sinópticos, expresión de nodos cognitivos).

Lo fundamental es determinar la correspondencia entre la preparación teórica y la

preparación práctica. No teorización exagerada separada de la práctica, ni un

practicismo.

Visualización

A través de este principio se trata de hacer una objetivación adecuada, que corresponda

al objeto de conocimiento y al nivel en cuanto a capacidad de abstracción de los

estudiantes. La visualización puede servir de base a una abstracción o como elemento

heurístico, pero también puede ayudar a comprender más profundamente una relación

abstracta.

Este principio presupone:

Que los estudiantes capten por la vía sensorial las representaciones gráficas de

determinados conceptos.

Establecer las relaciones y regularidades mediante esquemas o modelos

Utilizar los procedimientos algorítmicos.

Visualizar presupone:

Orientar la percepción de los estudiantes para facilitar la introducción en la

esencia de las cosas, a partir de visualizar los fenómenos.

Proporcionar a los estudiantes, tantos hechos como sean necesarios para llegar a

una generalización.

Con la visualización en matemáticas se pretende que las ideas, conceptos y métodos de

las matemáticas presenten una gran riqueza de contenidos visuales, representables

intuitivamente, geométricamente, cuya utilización resulta muy provechosa, tanto en las

tareas de presentación y manejo de tales conceptos y métodos como en la manipulación

con ellos para la resolución de los problemas del campo.

Los expertos poseen imágenes visuales, modos intuitivos de percibir los conceptos y

métodos, de gran valor y eficacia en su trabajo creativo y en su dominio del campo en

que se mueven. Mediante ellos son capaces de relacionar, de modo muy versátil y

variado, constelaciones frecuentemente muy complejas de hechos y resultados de su

teoría y a través de tales redes significativas son capaces de escoger de manera natural y

sin esfuerzo, los modos de ataque más eficaces para resolver los problemas con que se

enfrentan.

Las ideas básicas del análisis elemental, por ejemplo orden, distancia, operaciones entre

números, nacen de situaciones bien concretas y visuales. Todo experto conoce la

utilidad de atender a tal origen concreto cuando quiere manejar con destreza los objetos

abstractos correspondientes. Lo mismo sucede con otras partes aparentemente más

abstractas de la matemática.

Esta forma de actuar con atención explícita a las posibles representaciones concretas en

cuanto desvelan las relaciones abstractas que al matemático interesan constituye lo que

denominamos visualización en matemáticas.

La matemática trata de explorar las estructuras de la realidad que son accesibles

mediante ese tipo de manipulación especial que llamamos matematización, que se

podría describir como sigue. Se da inicialmente una percepción de ciertas semejanzas en

las cosas sensibles que nos lleva a abstraer de estas percepciones lo que es común,

abstraíble, y someterlo a una elaboración racional, simbólica, que nos permita manejar

más claramente la estructura subyacente a tales percepciones.

La aritmética, por ejemplo, surge del intento de dominar la multiplicidad presente en la

realidad, con la geometría se trata de explorar racionalmente la forma y la extensión, el

álgebra se ocupa de explorar, en una abstracción de segundo orden, las estructuras

subyacentes a los números y a las operaciones entre ellos, es una especie de símbolo del

símbolo, el análisis matemático nació con la intención de explorar las estructuras del

cambio y de las transformaciones de las cosas en el tiempo y en el espacio,...

Este proceso se ha manifestado extraordinariamente útil a la hora de entender mejor las

estructuras comunes de las cosas y de aprovecharnos de ellas cuando lo consideramos

oportuno.

Nuestra percepción es prioritariamente visual y así no es de extrañar en absoluto que el

apoyo continuo en lo visual esté tan presente en las tareas de matematización, no sólo en

aquellas que, como la geometría, se refieren más directamente a la exploración

específica de aspectos del espacio, sino también en otras, como el análisis, que nacieron

para explorar los cambios de los objetos materiales en sí mismos y en sus aspectos

espaciales.

Y aun en aquellas actividades matemáticas en las que la abstracción parece llevarnos

mucho más lejos de lo perceptible por la vista, los matemáticos muy a menudo se valen

de procesos simbólicos, diagramas visuales y otras formas de procesos imaginativos que

les acompañan en su trabajo haciéndoles adquirir lo que se podría llamar una intuición

de lo abstracto, un conjunto de reflejos, una especie de familiaridad con el objeto que

les facilita extraordinariamente algo así como una visión unitaria y descansada de las

relaciones entre objetos, un apercibimiento directo de la situación relativa de las partes

de su objeto de estudio.

La visualización aparece así como algo profundamente natural tanto en el nacimiento

del pensamiento matemático como en el descubrimiento de nuevas relaciones entre los

objetos matemáticos, y también, naturalmente, en la transmisión y comunicación

propias del quehacer matemático.

He aquí un ejemplo. La siguiente figura se suele presentar como paradigma de lo que

constituye una demostración visual del teorema de Pitágoras

Probablemente el novicio que mira con atención esta figura ve, con suerte, dos

cuadrados iguales que se han diseccionado de dos formas distintas y será capaz tal vez

de comprender, a través de las indicaciones escritas, que el cuadrado sobre la hipotenusa

del triángulo rectángulo que ha resultado, que parece ser copia de los otros que aparecen

en diversas posiciones en la figura tiene un área igual a la suma de las áreas de los

cuadrados sobre los dos catetos. Para llegar de ahí al teorema de Pitágoras será

necesario que se pueda cerciorar de que efectivamente los triángulos que resultan son

iguales y que esa misma situación se puede dar para cualquier triángulo rectángulo, es

decir es una situación genérica.

La pretendida absoluta inmediatez ante la anterior disección o alguna de las otras

disecciones clásicas que tratan de poner de manifiesto el teorema de Pitágoras no deja

de ser hasta cierto punto engañosa, pues todas ellas necesitan una labor de

descodificación en la que es necesario introducir al no iniciado.

Esta consideración es una de las razones profundas de que la iniciación a la

visualización, por ejemplo en la enseñanza, sea una tarea nada fácil ya que requiere muy

esencialmente la conciencia clara de quien la transmite de que la transparencia del

proceso, tal vez real para él mismo por razón de la familiaridad adquirida con la práctica

a lo largo del tiempo, puede ser inexistente para el que comienza a adentrarse en este

tipo de proceso.

Papel de la visualización en el análisis matemático

La imagen, como hemos ido observando, tiene papeles muy diferentes e importantes en

el quehacer de los matemáticos. La imagen es, muy frecuentemente,

*matriz de la que surgen los conceptos y métodos mismos del campo,

*estimuladora de problemas de interés relacionados con los objetos de la teoría,

*sugeridora de relaciones de otra forma un tanto ocultas capaces de conducir de forma

fiable hacia la resolución de los problemas y hacia la construcción de la teoría,

*auxiliar potente para la retención de forma unitaria y sintética de los contextos que

surgen recurrentemente en el trabajo,

*vehículo eficaz de transmisión rápida de las ideas,

*ayuda poderosa en la actividad subconsciente en torno a los problemas complicados de

la teoría.

Constante consolidación de los resultados.

Este principio indica al docente sobre el conocimiento de los objetivos generales y

particulares previstos e indica la marcha del aprendizaje.

Se le da personalidad propia a este principio, porque la constante consolidación de los

resultados no es sólo un problema de medidas especiales a tomar en las evaluaciones o

en la sistematización, sino es un problema de equilibrar la asimilación de la nueva

materia y su consolidación.

En el proceso docente no se vale solo hacer una buena rememorización de la

conferencia anterior o una elegante motivación o una introducción interesante de un

nuevo concepto Es necesario la repetición, la sistematización planificada (fijación,

ejercitación, repaso, control, evaluación).

METODOLOGÍA

La metodología a emplear es una propuesta ampliamente documentada en la

bibliografía, la cual tiene como marco teórico de referencia el constructivismo social. El

presente proyecto de intervención pedagógica es una propuesta para trabajar

conjuntamente con grupos de profesores. En dicho proyecto proponemos una

metodología en la que los alumnos, a través de la manipulación del material,

encuentran una ilustración atractiva de los correspondientes procesos del modelo

abstracto de la teoría matemática subyacente. La propuesta radica, por un lado, en

revisar algunos aspectos que la educación matemática presentó en un pasado reciente.

Por otro lado, se hace mención de algunas tendencias generales que señalan las líneas de

trabajo en la actualidad. De estas tendencias se derivan algunos cambios en los

principios metodológicos que deberían guiar la enseñanza y aprendizaje, en nuestros

días, de la educación matemática.

Mediante el uso de las nuevas tecnologías de informática actualmente se pueden

implementar en la educación ambientes virtuales que permiten el análisis de los

diferentes factores que intervienen en el proceso educativo. Así es posible analizar los

roles del docente, los del alumno y los materiales involucrados.

Con el fin de investigar las causas del bajo desempeño académico de los estudiantes en

el área de matemáticas se construye un laboratorio que denominamos laboratorio

virtual de matemáticas que utiliza un Sistema Tutorial para identificar los elementos que

promueven o que impiden que los alumnos tengan un aprendizaje significativo.

En el laboratorio virtual se pueden realizar experimentos en situaciones controladas o

utilizarlo como apoyo didáctico para promover el aprendizaje de ciertos contenidos.

Además es posible empezar a desglosar los cambios que se efectúan en los marcos

referenciales del alumno, ya que en general, del proceso de enseñanza aprendizaje

conocemos sólo cuales son las entradas y cuales las salidas, pero no se conoce a ciencia

cierta cómo y cuando el alumno realiza los procesos de acomodación y asimilación.

Como complemento en el aula se pueden utilizar los Sistemas Tutoriales para aprender

contenidos de un tema o contenidos presentados con diferentes niveles de complejidad.

El laboratorio virtual en su versión de Sistema Tutorial es interactivo y además de

proporcionar conocimientos al alumno, cuentan con un TUTOR en el que se plasma la

experiencia del docente para permitir al alumno la adquisición de los conocimientos

específicos del tema. En este tipo de Sistema Tutorial no sólo se presentan conceptos,

definiciones y comentarios al estudiante, sino que se le plantean preguntas y ejercicios,

dosificados de acuerdo con la experiencia del docente que desarrolló el tema, que debe

responder en forma interactiva a fin de comprobar si ha asimilado el conocimiento.

Dependiendo de que la respuesta sea o no correcta, el estudiante seguirá una secuencia

diferente en el transcurso de la lección, ya que cuando el TUTOR detecta a través de

una respuesta incorrecta que el alumno no ha logrado adquirir el conocimiento, le guía a

través de una secuencia remedial en la que se plantean los puntos de la falla en forma

diferente y desglosada. Este tipo de Sistema Tutorial parece ser el más adecuado para la

presentación de conocimiento de tipo procedimental de cualquier área.

Cada Sistema Tutorial contiene las secuencias necesarias para proporcionarle al alumno

el conocimiento de acuerdo con su desempeño al interactuar con el programa en el

transcurso de una lección. El programa cuenta también con un Administrador de

lecciones que sirve para revisar el material específico de cada lección y cada Sistema

Tutorial contiene una base de conocimiento referente a un área específica en donde se

encuentra tanto el conocimiento experto del profesor que desarrolló el curso, como su

experiencia docente al diseñar las secuencias de aprendizaje y las derivaciones

remediales. También en los Sistemas Tutoriales Interactivos el Administrador de

Lecciones se encarga del control de las mismas presentando el menú de lecciones del

curso.

Análisis

Cómo trabajar en matemáticas

Sobre todo trata de entender.

¿Cómo se hace para tratar de entender? Aquí tienes un refrán que te recuerda la

fórmula: Oigo, y olvido. Veo, y recuerdo. Hago, y entiendo. Saber matemáticas es saber

hacer cosas con lo que aprendes. Por eso cuando estudias matemáticas debes tener

constantemente tu boli en acción. Repite ejemplos, haz los ejercicios, invéntate otros.

Dibuja a tu modo.

Repite a tu modo las gráficas, imágenes y esquemas que el texto te va proporcionando.

Hazte tú mismo las que te puedan ayudar a dominar lo que lees.

Los diferentes objetos matemáticos son herramientas para hacer algo con ellas.

Entérate bien a fondo para qué sirven y cómo se manejan. Observa cómo los utiliza el

profesor, tus compañeros, para hacer tú igual. No permitas que sea otro el que los a usa

delante de ti mientras tú te limitas a mirar pasivamente.

La pregunta es el anzuelo para pescar en el mar de las ideas.

Pregunta. Quien pregunta aprende. Pregunta cuanto antes puedas aquello que no

entiendas bien. Al profesor, a tus compañeros. Lo que te parezca entender, coméntalo

para asegurarte de que lo entiendes bien.

Para qué la memoria en matemáticas.

No trates de memorizar nada antes de haber entendido bien a fondo.

No trates de memorizar nada antes de haber experimentado un buen rato con los objetos

que tienes delante. Observa con atención los diferentes pasos por los que procedes. Esto

es lo más interesante que has de tratar que quede en tu memoria.

Activa frecuentemente lo que has aprendido.

No dejes que las cosas se te oxiden por no usarlas. Cada semana trata de activar, hacer

ejercicios, problemas que tienen que ver con las cosas que esa semana has aprendido.

Cada mes trata de activar las cosas que has aprendido a lo largo del mes. No hace falta

que esperes a que vengan las evaluaciones.

Memoriza lo que es de uso constante.

Te vendrá bien aprender de memoria alguna que otra fórmula sencilla y de uso

constante, pero nunca trates de retener fórmulas complicadas en la cabeza. Te

equivocarás con frecuencia. Más te vale tratar de retener las ideas del proceso por el que

se llega a ellas.

Cómo usar el libro de texto.

En espiral.

El trabajo con un texto de matemáticas se hace más fácil procediendo en espiral. Dale a

la sección o tema una primera pasada. Muchas cosas son fáciles. Otras quedan oscuras.

A la siguiente pasada verás que algunas de las oscuras te resultan más claras.

Activa lo que ya sabes relacionado con el tema.

Tu actividad propia, con tu lápiz constantemente en acción, debe comenzar

comprobando cómo, efectivamente, con lo que ya sabes puedes ir realizando las

actividades que antes de adentrarte en el tema se te proponen.

Haz tú mismo los ejemplos y ejercicios aclaratorios.

Trabajando el cuerpo de cada tema debes asegurarte de que entiendes las ideas que se

exponen, de que te resulta claro cómo los ejemplos corresponden a esas ideas y de que

tú mismo eres capaz de desarrollar por tu cuenta esos ejemplos. Cuando se han expuesto

unas cuantas ideas importantes, se te proponen ejercicios para que tú mismo, ahora sin

guía tan cercana, los resuelvas.

Cuando los ejercicios te resultan difíciles.

Si no consigues enfocar y resolver bien los ejercicios, vuelve a leer pausadamente lo

que precede del tema. Es posible que algo que hay ahí se te haya pasado por alto. En

una primera pasada trata de hacer algunos de los más sencillos y más adelante, en

posibles vueltas sucesivas, harás el resto.

Evalúa tu trabajo.

Al final de cada capítulo de cualquier libro que utilices encontrarás unos ejercicios de

evaluación que te servirán para comprobar que has conseguido asimilar y dominar los

temas del capítulo. Si hay algunos que no te salen bien, sabrás qué temas debes repasar

mejor.

Identifica lo que has de tratar de retener del capítulo.

Al terminar el capítulo especialmente trata de identificar las porciones más importantes

e interesantes que has aprendido a fin de que queden bien señaladas en tus esquemas de

conocimiento. Valdrá la pena que procures memorizarlas bien para el futuro.

Ejercítate en hacer problemas con método.

Hacer muchos problemas es muy bueno. Mejor todavía es hacerlos con cierto método

para aprovechar mejor el tiempo que en ello empleas.

Recomendaciones para los docentes de matemática

1. Explorar el uso de las computadoras en las lecciones de Matemática, empezando

por la edición de los exámenes, los registros de calificaciones mediante una hoja

electrónica, etc.

2. Acondicionar un aula con una computadora personal, un televisor y un

convertidor de señal, en caso de que no se dieran las condiciones económicas,

entonces que dicha aula sea para todo el departamento de Matemática.

3. El docente debe capacitarse en cursos de computación, Internet, multimedia, etc.

que le permita introducirse en forma adecuada, al uso de la tecnología.

4. El recurso de la computadora debe ser implementado de manera progresiva. Por

ejemplo, al principio una vez al mes, luego cada dos semanas, y posteriormente una

vez a la semana.

5. Una vez superada la introducción, si en la semana se tienen tres sesiones con los

estudiantes, a lo sumo dos sesiones deben ser con la computadora, lo idóneo sería

que una de ellas fuera en el Laboratorio.

6. El recurso computacional no debe emplearse por más de quince minutos en una

sesión de ochenta minutos. La estrategia didáctica se podría realizar fraccionando

los tiempos de empleo del recurso multimedial con el objeto de lograr una mayor

atención por parte de los educandos.

7. Es importante conocer varios programas de cómputo, para desarrollar un mismo

objetivo, entre mayores posibilidades de escoger se tengan, mayor es la posibilidad

de obtener el éxito al trabajar el objetivo.

8. Partiendo de que las licencias de los programas de computación son caras, se

recomienda tomar de Internet las licencias que son libres de pago.

9. Los proyectos de Multimedia que se utilicen en las clases deben ser sencillos,

discretos, sin efectos especiales; en cuanto al sonido, debe tenerse el cuidado de que

todos escuchen bien, el tamaño de las letras y símbolos sea el apropiado, para que

todos puedan verlo bien, el uso de los colores debe ser balanceado.

10. Es conveniente utilizar otros recursos, los cuales permitan combinarse

adecuadamente para que las lecciones de Matemática siempre sean no solo del

agrado de los estudiantes, sino que además de mucho provecho.

11. Uso de bitácora que permita retroalimentar la experiencia.

Conclusiones

Hay aspectos adicionales que determinan las fortalezas del recurso de la computadora,

en las clases de Matemática:

• Los estudiantes entienden mejor los contenidos.

• Hay mayor interés por parte de ellos.

• Se facilita el hacer los trabajos tanto para el docente como para el estudiante.

• Hay mayor provecho, el aprendizaje es mejor y más rápido, el trabajo en el

aula es más dinámico.

• Se visualizan mejor los ejemplos.

• Las lecciones de Matemática son más agradables.

• Se facilita el proceso de enseñanza.

Impacto del Laboratorio de Matemáticas.

El impacto que se espera es sobre el aprovechamiento de los alumnos en la asignatura

de matemáticas, se espera reducir el índice de reprobación que actualmente en la

materia de álgebra es muy alto, en el semestre pasado se presentó del 65%.

Otro aspecto que podrá ser modificado es en la manera de ver las matemáticas, ya que

en la actualidad el 90% del alumnado manifiesta que no les gusta las matemáticas, se

espera que con este laboratorio se modifique la forma de pensar y mejore su actitud

hacia la materia.

Además de contar con una metodología y material didáctico, que permite interactuar a

los alumnos durante su aprendizaje, ayuda en el fomento del razonamiento abstracto que

proporcionan las matemáticas y que se reflejará a lo largo de su carrera en el área de

Ingeniería y Ciencias Fisicomatemáticas.

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