INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL · 2017. 6. 9. · LÓPEZ GÓMEZ JUAN PABLO ZEPEDA MARTÍNEZ BERENICE YAMELI O B J E T I V O “Simular los convertidores digital-analógico R-2R y

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

UNIDAD PROFESIONAL “ADOLFO LÓPEZ MATEOS”

INGENIERÍA EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA

“Simulación de los DAC R-2R y Delta-Sigma aplicados a señales de audio”

TESIS

QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE: INGENIERO EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA

PRESENTAN:

Juan Pablo López Gómez

Berenice Yameli Zepeda Martínez

ASESORES:

M. en I. Carlos Mira González

Dr. Rabindranath Reséndiz Vázquez M. en C. Pedro Gustavo Magaña del Río

Ciudad de México, 2016

Dedicatorias

A mi abuelita Soledad que donde

quiera que se encuentre me enseñó

siempre a valorar a las personas y las cosas

día con día.

A mis padres por el esfuerzo que hacen día

con día para salir adelante, por apoyarme e

todas y cada una de las cosas que hago, porque

sin ellos esto no sería posible.

A mis amados hermanos por escucharme, entenderme y siempre hacer

mi vida mas divertida.

A mi querido amigo Juan Pablo, un admirable compañero y ser humano por siempre apoyarme

y alentarme en el transcurso de la carrera, incluso cuando parecía que iba a rendirme.

Al profesor Pedro Gustavo Magaña Del Rio, excelente ser humano, quién fue parte importante y

de gran apoyo para la realización de este proyecto.

Al ser supremo por permitirme cumplir una de las más grandes metas de mi vida y por siempre

ponerme a las personas correctas en mi camino.

Bere

Agradecimientos

A mis amigos Aarón, Jazmín, Juan Manuel y Gabriela por escucharme, aconsejarme,

estar conmigo y sacarme una sonrisa en los peores momentos.

A mis tías Rosa María y Soledad por estar para mí incondicionalmente.

A José Luis y Maty por siempre ser un gran apoyo para mi familia y para mí.

A la Sra. Susana por su apoyo, consejos y por siempre

recibirme con los brazos abiertos.

Bere

Dedicatorias y Agradecimientos

Con profundo amor y cariño a la

extraordinaria mujer que siempre me

aconsejó, escuchó, y lo dio todo por mí, que

me instruyó con la mejor educación y moral

posible, para que me maneje en la vida con

rectitud y honestidad, ahora es momento

que yo vea por ti mamá, jamás será

suficiente mi gratitud.

A mi papá, persona comprensiva, equilibrada y

sensata que con amor y entrega siempre veló por

mí bien, procurando que no me faltara nada, te

agradezco enormemente todo lo que contribuiste

para que yo llegara hasta donde estoy.

A mi hermano, quién nunca dudo en externarme sus opiniones y hacerme ver con obviedad

cuando me alejaba de mis objetivos, además de los alegres momentos compartidos necesarios

para equilibrar la vida. Siempre estaré para ti bro.

Personas con las que siempre sé que voy a contar y

que a lo largo de nuestra vida como familia, han

sido nuestros ángeles de la guarda, apoyando y

estando al lado de mi crecimiento como persona,

los quiero mucho tío Rene y tía Edith.

A Bere, mi estimada compañera y amiga, que siempre me brindó su amistad, emitió sugerencias

y me apoyó en diversas índoles, siendo una gran persona, con la que me siento agradecido de

haber correspondido para el desarrollo de este proyecto.

Al Prof. Pedro Gustavo Magaña del Río, quien de manera ciega confió en nosotros e hizo todo lo

que estuvo en sus manos para que esto se llevara a cabo, un excelente asesor y orientador, a mí

me complace el hecho de que forme parte de mi trabajo.

A las personas que me estiman y muestran interés en mí, y con reciprocidad estando en mi

corazón y mente, lo tanto que han hecho por mí, abuelas, tíos, primos y mejores amigos les

agradezco eternamente.

Y por último y más importante: Al Ser Supremo

porque sin su guía, bendiciones y la claridad que me

brindó para el andar de mi camino, no llegaría tan lejos.

Juan Pablo

“Simulación de los

DAC R-2R y Delta-

Sigma aplicados a

señales de audio”

Instituto Politécnico Nacional E S I M E

II | Página LÓPEZ GÓMEZ JUAN PABLO ZEPEDA MARTÍNEZ BERENICE YAMELI

O B J E T I V O

“Simular los convertidores digital-analógico R-2R y Delta-Sigma, y

analizar su desempeño en la aplicación para señales de audio.”


III | Página LÓPEZ GÓMEZ JUAN PABLO ZEPEDA MARTÍNEZ BERENICE YAMELI

Índice

INTRODUCCIÓN VI

ANTECEDENTES IX

CONTENIDO SINTÉTICO XII

Capitulo 1 “Tecnicas para la digitalización de una señal” 1

1.1 Muestreo 2

1.1.1 Fenómeno de aliasing 4

1.1.2 Sobremuestreo 5

1.1.3 Interpolación de Orden Cero 5

1.2 Cuantización 7

1.2.1 Cuantización uniforme 9

1.2.2 Cuantizador Mid-Rise 10

1.2.3 Cuantizador Mid-Tread 11

1.2.4 Compansión de Ley-A 12

1.2.4.1 Compresión Analógica 13

1.2.4.2 Expansión Analógica 15

1.3 Relación Señal a Ruido (SNR) 15

1.3.1 Relación Señal a Ruido de Cuantización 17

1.4 Codificación 18


IV | Página LÓPEZ GÓMEZ JUAN PABLO ZEPEDA MARTÍNEZ BERENICE YAMELI

Capitulo 2 “Filtros” 19

2.1 Teorema de Convolución 20

2.2 Filtros 22

2.2.1 Filtros digitales 24

2.2.2 Filtros analógicos 25

2.2.3 Filtros pasa bajas 26

Capitulo 3 “Convertidores Digital – Analógico” 30

3.1 Convertidor Digital-Analógico R-2R 33

3.2 Convertidor Digital-Analógico Delta Sigma 35

Capítulo 4 “Análisis del desempeño de los Convertidores” 39

4.1 Convertidor D/A de Red R-2R 41

4.1.1 Parámetros de la señal 42

4.1.2 Cuantización 44

4.1.3 Interpolación 47

4.1.4 Filtrado 49

4.1.5 Señal analógica resultante 51

4.2 Convertidor D/A Delta-Sigma (ΔΣ) 53

4.2.1 Parámetros de la señal 54

4.2.2 Cuantización 55

4.2.3 Interpolación 56

4.2.4 Recuantización de 1 bit 61


V | Página LÓPEZ GÓMEZ JUAN PABLO ZEPEDA MARTÍNEZ BERENICE YAMELI

4.2.5 Filtrado 64

4.2.6 Señal analógica resultante 65

CONCLUSIONES 72

Biblografía / Referencias 74

Introducción


VII | Página

INTRODUCCIÓN

Debido al gran avance tecnológico de las diferentes formas para darle un tratamiento

adecuado a las señales digitales, han existido cambios significativos entre los

sistemas tecnológicos que han sido desarrollados en las diversas etapas del

conocimiento humano.

Primeramente, se partió con el estudio de los sistemas analógicos, dichos sistemas

trabajan con señales que varían con el tiempo de manera continua, que por la forma

con la que conducen la información son provechosas, al contar con el potencial para

brindarle gran resolución a la señal, pero por el modo en la que se ven afectadas por

agentes externos, como el ruido, y otros factores como las grandes distancias, es

mayor la dificultad para manipular y recuperar esa información con exactitud,

repercutiendo en un mayor consumo de recursos y limitación en la cantidad de la

información, entre otros. Un ejemplo de estas señales es la voz, que por sus

características es fácilmente distinguible para el oído, sin importar cualquier

alteración en la voz, como al estar ronco, resfriado, etc.

Al contar con las grandes desventajas que brindaban estos sistemas en su

manipulación, se dio paso a una era de digitalización. Es decir, sistemas digitales

que trabajan con cantidades o señales establecidas, lo que nos permite flexibilidad

en su manejo, que sean de bajo costo, de tamaño discreto, además de su fiabilidad y

fácil detección de errores, etc.

Por lo que se ha vuelto de suma importancia entender y dominar esa transición, así

como conversión (analógico-digital) para su correcta manipulación. Una de las áreas

que grandes cambios ha presentado con el tratamiento de sus señales ha sido el del

audio.

De esta manera la representación de los datos digitales ha sido importante para

prevenir la degradación comúnmente asociada con el almacenamiento y


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manipulación analógica, como la clara desventaja que sufre ahora el cassette ante el

CD.

Existen tres áreas prominentes dentro del procesamiento digital de señales de audio,

por ejemplo:

Reproducción de música de alta fidelidad

Redes telefónicas

Habla mediante computadores

Antecedentes


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ANTECEDENTES

A finales del siglo XIX con la invención del teléfono por Alexander Graham Bell, se

reconoció la posibilidad de transmitir la voz como señal analógica a través del mismo,

pero por las diferentes dificultades que traía el ajustar los canales de transmisión

ideales para que se pudiera llevar acabo este proceso, fue tan sólo una invención,

sin embargo eso dio comienzo al estudio de la teoría de la información, pero fue

hasta mediados del siglo XX con los primeros avances en la transformación de

señales analógicas a digitales con miras a su posible transmisión, que dieron pauta a

que ingenieros y personas calificadas como Harry Nyquist presentaran sus estudios

donde se daban las recomendaciones necesarias para que partiendo de pulsos

digitales se pudieran igualar señales analógicas.

Conforme al paso de los años, el dominio de la digitalización se hizo presente,

logrando así reducir los costos de aplicaciones comerciales en el ámbito de

transmisión de datos.

Pero en virtud del gran porcentaje mayoritario en el mundo que son las señales

analógicas ante las digitales fue necesario también manejar la conversión inversora

(digital-analógico) adecuada para continuar con la señal analógica una vez tratada

digitalmente.

Por lo que con el avance de la tecnología y las diferentes necesidades que surgían,

existieron convertidores digital a analógico de distinta índole, desde aquéllos que su

objetivo primordial era ofrecer buena resolución en las señales analógicas, aquéllos

que su conversión fuera rápida y acertada, hasta aquéllos donde se pudieran

sacrificar estos factores para obtenerlos económicamente accesibles.

Pero sin importar las diferentes aplicaciones o problemas que se tengan que cubrir

en el área del audio, además de las distintas características o técnicas posibles que

diferencien a cada convertidor, es conveniente destacar el gran valor que representa


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el tratamiento adecuado de las señales audibles ya que todas están unidas por un

árbitro en común: el oído humano.


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CONTENIDO SINTÉTICO

CAPÍTULO “1” “TÉCNICAS PARA LA DIGITALIZACIÓN DE UNA SEÑAL”

“En este capitulo se explica brevemente el proceso de las etapas que son necesarias

para poder digitalizar una señal de audio analógica (muestreo, cuantización y

codificación), además de conceptos clave dentro la digitalización de una señal”

CAPÍTULO “2” “FILTROS”

“En este capitulo se muestran los filtros pasa bajos, así como una breve clasificación

analógica y digital de éstos.”

CAPÍTULO “3” “CONVERTIDORES DIGITAL – ANALÓGICO”

“En este capitulo se explica el funcionamiento de los convertidores, así como las

ventajas y desventajas de los convertidores R-2R y Delta-Sigma.”

CAPÍTULO “4” “ANÁLISIS DEL DESEMPEÑO DE LOS CONVERTIDORES”

“En este capitulo se muestran los resultados del análisis de cinco señales de audio

con los convertidores R-2R y Delta-Sigma.

CAPÍTULO 1

“Técnicas para la

digitalización de

una señal”


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CAPÍTULO “1” “TÉCNICAS PARA LA DIGITALIZACIÓN

DE UNA SEÑAL”

1.1 Muestreo

Consiste en la conversión de una señal continua en el tiempo a una señal

discreta en el tiempo, obteniendo la toma de “muestras” de la señal

continua en tiempo y amplitud en instantes discretos de tiempo con la

continuidad en amplitud. En la Figura 1.1 se muestra una señal analógica

Xa(t) entrando al sistema muestreador, comportándose éste como un

interruptor, que al transcurrir un tiempo T, se cierra, creando una muestra o

impulso en dicho tiempo, resultando a la salida del sistema una señal

discreta en el tiempo de n muestras, con periodo T, y misma amplitud que la

señal analógica.

Matemáticamente se representa como:

x[n]=Xa(nT) - ∞ < n < ∞ (1.1)

Donde:

x[n]= Señal discreta en el tiempo obtenida de las muestras tomadas

de la señal analógica cada T segundos.

Xa(t)= Señal analógica.

T= Periodo o intervalo de muestreo.

n= Número de muestras.


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Fig. 1.1 Muestreo periódico de una señal analógica [1]

Es necesario mencionar el Teorema de Muestreo o también conocido como

Teorema de Nyquist, siendo Harry Nyquist quien en 1928 propuso la posibilidad

de reconstruir una señal analógica a partir de muestras periódicas.

Tomando algunas consideraciones para el logro de esto, como son las siguientes:

Se puede muestrear una señal sólo si está limitado en banda.

La tasa de muestreo debe ser por lo menos igual o mayor del doble

de la frecuencia máxima contenida en la señal analógica.

Fs ≥ 2Fmax (1.2)

La reconstrucción de la señal se realiza con ayuda de un filtro pasa

bajas como elemento.[3]


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1.1.1 Fenómeno de aliasing

Para poder entender el porqué es necesario considerar la frecuencia de muestreo,

es importante saber lo que es el fenómeno “aliasing”.

Este fenómeno se presenta justamente cuando la frecuencia de muestreo es

menor a lo mínimo requerido de la tasa de Nyquist, provocando que se presenten

frecuencias fantasmas que afectan al comportamiento de la frecuencia original,

principalmente a las frecuencias altas, como se muestra en la Figura 1.2.

Logrando que las señales continuas originales no sean visibles al muestrearlas

digitalmente con tal frecuencia de muestreo.

Fig. 1.2 Fenómeno de aliasing en una señal analógica [2]


5 | Página

1.1.2 Sobremuestreo

El sobremuestreo, también conocido como interpolación, es un proceso que

principalmente, se utiliza para reconstruir una señal mediante valores aproximados

de sus muestras.

Llevándose a cabo la reconstrucción con exactitud, cuando sus muestras están

muy cercanas una con otra, originando que la frecuencia de muestreo sea mayor

que la tasa de Nyquist, y con esto, alcanzando una calidad óptima de la señal

prescindiendo en muchas ocasiones, de la precisa tolerancia que otros elementos

involucrados pudieran ofrecer.[3]

1.1.3 Interpolación de Orden Cero

Es un método de reconstrucción de una señal digital a analógica, normalmente

usado en los convertidores D/A convencionales.

Este método consiste en que el valor de cada muestra se mantenga hasta un

intervalo de la misma, es decir T = 1

Fs .

La manera como se logra realizar esta reconstrucción consiste en la convolución

de la señal digital tratada con una señal rectangular o un tren de pulsos. De

manera que la señal es filtrada como si de un filtro pasa bajas se tratase,

generando una señal escalón, parecida a la señal original. Como lo ilustra la

Figura 1.3.


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Fig 1.3. Interpolación de orden cero [4]

En la Figura 1.3 se observa como una señal continua x(t), es primeramente

multiplicada por un sistema muestreador p(t), de manera que la señal se digitalice,

una vez hecho esto, la señal xP(t) se convoluciona con la señal rectangular h0(t),

con duración de un intervalo T. Finalmente se obtiene la señal escalón x0(t).


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1.2 Cuantización

En este proceso se pasa de una señal discreta en tiempo y continua en amplitud,

a una señal digital, discreta en tiempo y amplitud. Obteniéndose una secuencia de

muestras finitas completamente, es decir, el valor en amplitud de cada muestra de

la señal se representa mediante un valor seleccionado dentro de un conjunto finito

de posibles valores (Fig 1.4).

Xq(n) = Q[x(n)] (1.3)

Donde:

Q[x(n)]= Operación de cuantización de muestras.

Xq(n)= Secuencia de muestras cuantizadas a la salida.

La diferencia entre la señal cuantizada Xq(n) y la señal sin cuantizar x(n) establece

el error de cuantización, representándose de la siguiente manera:

eq(n) = Xq(n)−x(n) (1.4)


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Fig. 1.4 Proceso de cuantización [5]

Como se puede ver en la Figura 1.4 el proceso de cuantización consiste en

asignar niveles de cuantización (Δ) en el eje de ordenadas del cuantizador,

dándole a cada muestra una nueva amplitud dependiendo de la aproximación que

tenga su amplitud original con el nivel de cuantización. Como se observa en la

Figura 1.4, existen también los errores de cuantización.

La cuantización está dividida en varios tipos, en este caso, con fines de interés

particular, sólo se mencionará la cuantización uniforme y la cuantización

logarítmica.


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1.2.1 Cuantización uniforme

La cuantización uniforme es aquélla en donde los niveles de reconstrucción o bien

llamados valores de muestra son divididos en longitudes iguales “Δ”, excepto en

los intervalos extremos (Fig 1.5), cabe mencionar que el número de niveles

depende del número de bits utilizados para expresar el valor de la muestra.

Fig. 1.5 Cuantización uniforme [6]

Donde la fórmula para determinar el número de niveles de cuantización es:

L= 2n (1.5)

Donde:

L= Número de niveles de cuantización.

n= Número de bits por muestra.

Q(x)= Salida del Cuantizador

x= Entrada de la señal del cuantizador


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Y el intervalo de cada nivel de cuantización “Δ” se obtiene de la siguiente manera:

𝚫 =𝑽𝒎𝒂𝒙−𝑽𝒎𝒊𝒏

𝑳 (1.6)

Donde:

Vmax = Valor de voltaje máximo de la función.

Vmin = Valor de voltaje mínimo de la función.

Dentro de los cuantizadores uniformes existen principalmente dos clases el “Mid-

Rise” y el “Mid-Tread”. [7]

1.2.2 Cuantizador Mid-Rise

Este cuantizador uniforme (Fig 1.6), se caracteriza porque su número de niveles

de cuantización siempre es un número par, es decir, que los niveles positivos y

negativos son los mismos, a su vez se encuentran simétricamente posicionados

respecto al origen, pero el cero no cuenta como nivel de reconstrucción.

Cada nivel de cuantización respectivamente, dependerá de su valor y del intervalo

de nivel.

Niveles a la salida del cuantizador= +/- 1

2𝚫 +/-

3

2𝚫 +/-

5

2𝚫 …… +/-

𝑛

2𝚫 (1.7)


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Fig. 1.6 Cuantizador uniforme Mid-Rise [8]

1.2.3 Cuantizador Mid-Tread

Este cuantizador al contrario del anterior (Fig 1.7), se caracteriza porque el

número de niveles de cuantización es impar, ya que el cero cuenta como nivel de

reconstrucción. Este tipo de cuantizadores regularmente es utilizado para control y

audio, esto para generar una salida nula.

Niveles a la salida del cuantizador = +/- 1𝚫 +/- 2𝚫 +/- 3𝚫 …… +/- n𝚫 (1.8)


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Fig. 1.7 Cuantizador uniforme Mid-Tread [8]

Los cuantizadores uniformes tienen como ventaja que son los más simples y los

menos costosos de implementar.

Una de las características de esta cuantización es que el error generado es similar

para cualquier valor de amplitud, esto implica un problema para muestras con

amplitud pequeña (la voz por ejemplo), ya que el error puede ser tan grande como

el valor de la muestra, generando como consecuencia que la relación señal a ruido

empeore.

1.2.4 Compansión de ley-A

La compansión de la Ley-A es un estándar dentro de las recomendaciones de la

ITU-T en G.711, usada en Europa, donde se limitan los valores de las muestras a

8 bits de magnitud.

Este proceso es conveniente para señales con un rango dinámico elevado (como

la voz humana) que se desean transmitir a través de un sistema de comunicación,


13 | Página

por lo que antes de su transmisión, específicamente antes de la cuantización

uniforme, las muestras son comprimidas.

El fin de la compresión es, reducir el error de cuantización, al brindar mayor

resolución a los niveles de amplitud bajos, al ser éstos los más frecuentes dentro

de la señal y otorgarle la menor resolución a los de mayor amplitud.

De manera inversa el receptor deberá expandir la señal para su correcta

manipulación, regresando al rango dinámico con el cual contaba la señal desde su

inicio. [9]

Existen dos tipos de compansión:

Analógica

Digital

1.2.4.1 Compresión Analógica

Esta compresión se define por dos ecuaciones:

𝐀∗|𝐱|

𝟏+𝐥𝐧(𝐀) , |x| <

𝟏

𝐀

F(x) = signo(x)

𝟏+𝐥𝐧(𝐀∗|𝐱|)

𝟏+𝐥𝐧(𝐀) ,

𝟏

𝐀 ≤ |x| ≤ 1 (1.9)

Donde:

Signo = Hace referencia al signo del valor de cada muestra.

A = Es el parámetro de compresión utilizado en Europa siendo, A = 87.6.


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X = Es la señal que se va a comprimir normalizada por el valor máximo de

su amplitud.

En la Figura 1.8, se puede observar la curva de compresión de la Ley A que se

obtiene, al graficar la señal de entrada y la señal comprimida, y dependiendo del

parámetro de compresión que se utilice.

Fig. 1.8 Compresión logarítmica ley-A [9]


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1.2.4.2 Expansión Analógica

Esta expansión se define por dos ecuaciones:

|𝐱|(𝟏+𝐥𝐧(𝐀))

𝐀 , |x| <

𝟏

𝟏+𝐥𝐧(𝐀)

F-1 (x) = signo(x)

𝐞(|𝐱|∗(𝟏+𝐥𝐧(𝐀))−𝟏)

𝐀 ,

𝟏

𝟏+𝐥𝐧(𝐀) ≤ |x| ≤ 1 (1.10)

El proceso de compansión digital simplemente se hace bajo unas tablas de

codificación/decodificación.

1.3 Relación Señal a Ruido (SNR)

La relación señal a ruido está dada por la diferencia entre el nivel de la señal y el

nivel de ruido (en dB) o bien, de la potencia promedio total de la señal entre la

potencia promedio total del ruido que la corrompe, pudiendo también ser

expresada en dB, siendo más comúnmente usada.

Esta relación podría expresarse de la siguiente manera:

𝑺𝑵𝑹 =𝐏𝐬

𝐏𝐧 (1.11)


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Donde:

Ps = Potencia promedio total de la señal.

Pn= Potencia promedio total del ruido.

Ruido se le llama a cualquier señal que se origine sin ser un fenómeno deseado.

La importancia de esta relación es debido a que el nivel de ruido es de sumo

interés, ya que puede ser perjudicial para la señal, creándole una cierta distorsión,

mientras más pequeña sea la señal a ruido, el ruido sobresaldrá de la señal y por

lo tanto la señal se debilitará y se verá interferida por el mismo.

Se dice que el error de cuantización se amplifica dependiendo del tamaño de la

muestra y el valor de cada uno de los niveles de cuantización, repercutiendo así

directamente en la Relación Señal a Ruido. Mientras más alta sea la SNR (Fig

1.9), la señal tendrá mejor calidad y por consiguiente el ruido se atenuará

significativamente. [10]

Fig. 1.9 Relación señal a ruido [10]


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1.3.1 Relación Señal a Ruido de Cuantización

El ruido de cuantización o error de cuantización, es un fenómeno que está dado

por la diferencia entre la muestra original y la muestra cuantizada, para mayor

calidad de la señal se toma mucho en cuenta los “n” número de bits existentes,

para los “2n” estados posibles del cuantizador.

Entre mayor sea el número de bits existe una mejor resolución en la señal, lo que

determina, la Relación Señal a Ruido de Cuantización (dB), expresando que en

una señal por cada bit que se agregue en la cuantización, la SNR aumenta

aproximadamente 6 dB. Se debe tener en cuenta que si se requiere aumento de

SNR mediante el número de bits, se tiene como consecuencia un mayor tiempo de

conversión, por lo tanto el ancho de banda que es aceptable para la señal de

entrada se reduce significativamente.

Fig. 1.10 Relación Señal a Ruido de Cuantización [11]


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En la figura 1.10 se puede observar la función de densidad de probabilidad de

error de una señal sinusoidal (azul), donde a mayor número de bits la distribución

del error es más uniforme, en cuanto el número de bits es considerable, en este

caso n=12, la función se estabiliza en 1/q, donde q=Δ, es el nivel de cuantización.

1.4 Codificación

La codificación (Fig 1.11), es el proceso donde cada valor discreto y cuantizado

Xq(n) se representa mediante una secuencia binaria de b-bits, mismos b-bits que

sirvieron para los niveles de cuantización, sin embargo, en la codificación cada

muestra de la señal digital es representada por dígitos binarios y ya no por un

valor de amplitud.

Fig. 1.11 Codificación de una señal digital [12]

CAPÍTULO 2

“Filtros”


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CAPÍTULO “2” “FILTROS”

Los filtros son utilizados en muchos ámbitos del procesamiento de las señales, ya

que son parte fundamental en las comunicaciones. Pueden aplicarse en señales

de todo tipo ya sean audio, imagen, video, entre otras.

En la parte de audio, se define un filtro específicamente como aquél que altera el

espectro o el contenido frecuencial de la señal.

Existen principalmente dos tipos de filtros: analógico y digital, la función general de

cada uno de ellos es eliminar partes no deseadas de la señal, tales como ruido,

permitiendo el paso de un cierto rango de frecuencias, dependiendo del tipo de

filtro de acuerdo a su función.

Es necesario primeramente hacer mención del Teorema de Convolución, ya que

esta va implícita en el funcionamiento del filtrado de la señal.

2.1 Teorema de Convolución

Se debe hacer mención de la respuesta al impulso unitario, ya que es de suma

importancia debido a que los Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo

quedan caracterizados por su respuesta al impulso unitario (Fig. 2.2).

La respuesta al impulso h[n] es la salida del sistema cuando la entrada es

alimentada con un impulso unitario, también conocido como Delta de Dirac δ[n],

donde el impulso unitario queda determinado por:

1, δ[n] = 0

0, δ[n] ≠ 0 (2.1) δ[n] =


21 | Página

Fig. 2.1 Impulso Unitario [13]

Fig. 2.2 Respuesta al impulso unitario [14]

El teorema de convolución, permite determinar la respuesta del sistema ante

cualquier entrada, partiendo del conocimiento de la respuesta al impulso unitario

h[n]. Se dice que si la respuesta del sistema ante el impulso se denota como h[n],

la salida de un Sistema Lineal e Invariante en el Tiempo, cuando la entrada es

x[n], esta dada por la siguiente expresión:

𝒚[𝒏] = ∑ 𝒙[𝒌]𝒉[𝒏 − 𝒌] = ∑ 𝒉[𝒌]𝒙[𝒏 − 𝒌]∞𝒌=−∞ ∞

𝒌=−∞ (2.2)


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Donde y(n) es la convolución de las funciones x(n) y h(n) (Fig. 2.3), denotándose

de la siguiente manera:

𝒚[𝒏] = 𝒙[𝒏] ∗ 𝒉[𝒏] (2.3)

Fig. 2.3 Convolución [15]

2.2 Filtros

Un filtro es definido como un elemento capaz de controlar el paso de los rangos de

frecuencias, de manera que los rangos deseados los deja pasar y los no

deseados, los atenúa o bien los elimina.

Las características de un filtro, en general se pueden determinar partiendo de su

respuesta en frecuencia, que esta constituida por la respuesta en magnitud y la

respuesta en fase.


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La respuesta en magnitud es la relación entre amplitud de salida del filtro y su

amplitud de entrada, esa relación es también conocida como ganancia, mientras

que la respuesta en fase es la cantidad y el modo en que cambiará la fase de la

señal al ser filtrada. [16] (Fig. 2.4).

Fig. 2.4 Respuesta en Amplitud y Fase [16]

Estos elementos pueden ser analógicos o digitales, y se clasifican dependiendo de

su función y características, por ejemplo filtros pasa bajas, pasa altas, pasa banda,

rechaza banda, etc.

Respuesta en Magnitud Respuesta en Fase


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2.2.1 Filtros digitales

Los filtros digitales se caracterizan por tener como entrada y salida una secuencia

discreta, siendo la salida quien sufre variaciones en amplitud y/o fase dependiendo

el tipo de filtro que se utilice.

Este tipo de filtros discriminan las señales de acuerdo con las características

frecuenciales de las que disponga el mismo y se caracterizan principalmente por

que son usados para modificar el espectro de una señal mediante el uso de

hardware digital como bloque funcional básico, además de ser sistemas

predecibles, flexibles, simulables, consistentes y precisos. También es posible,

cambiar las especificaciones de éstos, mediante la reprogramación, siendo una de

sus ventajas que al ser digital, permite calcular y simular la respuesta del filtro

usando procesadores de uso general. [17]

Aunque los filtros digitales son muy útiles, tienen un pequeño inconveniente que

consiste en no cumplir con los requerimientos del criterio de Nyquist, debido a esto

es necesario tener el bloque de procesamiento digital de un filtro pasa banda

análogo como parte obligatoria del sistema para prevenir el fenómeno de aliasing.

(Fig. 1.2).

Es útil al elegir un filtro considerar, aspectos como el costo y la utilización de

recursos del sistema como la carga en el procesador, memoria, consumo de

potencia, entre otras cosas.

Los filtros digitales, cumplen con una etapa de aproximación, donde se genera una

función de transferencia que cumple con las especificaciones de la aplicación y

normalmente se estudian respuestas tanto en dominio de frecuencia como en

tiempo, después de esta etapa sigue la etapa de realización, en donde la función

de transferencia es expresada como una red de filtros limitándose a la

disponibilidad del procesador, las etapas anteriores parten de una base de un


25 | Página

sistema de precisión infinita, debido a esto se tiene una etapa de implementación,

que está muy relacionada con el hardware y la programación, que al contar con

una precisión finita se deben analizar los efectos de los errores matemáticos en la

respuesta del filtro. [17]

2.2.2 Filtros analógicos

Los filtros analógicos, al contrario de los digitales se caracterizan por que la señal

puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo.

Este tipo de filtros regularmente son usados para procesos analógicos o señales

en tiempo continuo, es decir que a la entrada del filtro estará una señal analógica,

donde los valores de esta señal son aleatorios en un intervalo de tiempo continúo.

Estos filtros se dividen en dos de acuerdo a su estructura, los filtros analógicos

pasivos, y filtros analógicos activos, esto se determina partiendo de los elementos

que empleen en su realización o diseño. Los componentes pasivos son, resistores,

capacitores e inductancias, etc. Los componentes activos en su mayoría son

amplificadores operacionales, contando con la ventaja que son componentes de

bajo ruido, mejorando la respuesta del filtro.

Al igual que los filtros digitales, los analógicos tienen muchas aplicaciones en el

ámbito de las comunicaciones, como poder extraer o separar la información de las

señales según las características especificas.

El diseño de los filtros analógicos generalmente involucra especificaciones de fase

y magnitud. La operación de estos filtros se basa principalmente en bloquear las

señales en cuanto a su espectro, dejando pasar señales cuya frecuencia se


26 | Página

encuentre dentro de un rango conocido como Banda de Paso (Fig. 2.5) y

rechazando aquellas señales que estén fuera del rango que se considere.

La señal filtrada dependerá mucho del filtro que se esté utilizando, ya que además

de ser clasificados como pasivos y activos, existen otras maneras de clasificarlos

según su configuración y la función para la que fueron diseñados.

2.2.3 Filtros pasa bajas

En los filtros pasa bajas, también conocidos como “Low Pass”, su funcionamiento

consiste en dejar pasar las frecuencias inferiores a la frecuencia de corte, sin que

estas sean alteradas, a este rango de frecuencias se le llama “Banda de Paso”.

Las frecuencias superiores a la frecuencia de corte son atenuadas o bien,

eliminadas, a este rango de frecuencias se les denomina Banda de Transición.

Finalmente al rango de frecuencias que está después de esta banda se le llama

“Para Banda”, en este rango dejan de existir las frecuencias no deseadas.

La frecuencia de corte es aquélla donde la amplitud de la señal entrante cae hasta

un 70.7% de su valor máximo. (Fig. 2.5)


27 | Página

Fig. 2.5 Filtro Pasa Bajas

En la figura 2.6 se puede apreciar la respuesta ideal y la real de los filtros pasa

bajas, cabe mencionar que la respuesta real no siempre tendrá la misma

respuesta, esto dependerá del tipo de configuración del filtro que se esté

utilizando.

Fig. 2.6 Respuesta ideal y real de un filtro pasa bajas


28 | Página

En comparación con el filtro ideal, los filtros reales tienen algunas desventajas

como son:

La transición entre la banda que se quiere dejar pasar y la que se quiere

eliminar no es abrupta, sino que tiene una determinada pendiente que

depende del número de orden del filtro (Fig. 2.7).

La respuesta en fase normalmente no es lineal, esto aumenta la distorsión

de la señal significativamente.

La ganancia y la fase de un filtro pueden optimizarse para satisfacer uno de los

siguientes criterios:

Una respuesta máxima plana en la banda de paso.

Una transición rápida entre la banda de la señal deseada y la no deseada.

Una respuesta de fase lineal.

Es importante mencionar el número de orden del filtro, ya que esto determina en

muchas ocasiones la complejidad de éste, a mayor número de orden, la curva de

la respuesta en frecuencia será más rápida, y más abrupta (Fig. 2.7), lo ideal en

todos los casos es que la respuesta fuese cuadrada como se aprecia en la figura

2.6. Esta perfección se puede lograr aumentando dicho orden trayendo como

ventaja una banda de transición más angosta y una atenuación considerable de la

señal. Aunque las desventajas que origina, serían el alargamiento en tiempo de la

respuesta, y dependiendo del filtro, el posible aumento de rizo en la banda de

paso.

Este orden es determinado en función a su estructura por el número de elementos

o células que conformen al filtro, o bien el número de coeficientes si se trata de un

filtro digital.

Se dice que un filtro es de primer orden cuando lo conforma una célula básica.

[18,19]


29 | Página

Fig. 2.7 Respuesta real de los filtros dependiendo el número de orden. [20]

CAPÍTULO 3

“Convertidores

Digital-Analógico”


31 | Página

CAPÍTULO “3” “CONVERTIDORES DIGITAL -ANALÓGICO”

La evolución de la tecnología comenzó con los dispositivos analógicos y poco a

poco se fue fortaleciendo con los dispositivos digitales. El mundo real es

fundamentalmente analógico, en los sistemas digitales la información procesada

se presenta en forma binaria y para manifestarse en el medio externo debe ser

convertida a un valor de tensión analógico, para esto se crearon dispositivos

capaces de procesar las señales, como los Convertidores Digital-Analógico o DAC

(“Digital to Analog Converter”), que con el paso del tiempo han ido mejorando, en

cuanto a la velocidad, complejidad y resolución. [21]

Un Convertidor Digital-Analógico es un elemento que en su entrada tiene

información digital, o bien palabras de “n” bits, y se encarga de transformar esa

información en una señal analógica, donde cada una de las combinaciones

digitales que hay en la entrada se convierten en niveles lógicos a la salida, en

otras palabras, el convertidor se encarga de asignarle un nivel de tensión

previamente establecido a cada una de las palabras binarias que fueron recibidas,

aplicando también, un intervalo de tiempo constante entre las muestras. Al término

de este proceso, es necesaria la conversión de las muestras de la señal digital a

una forma continua en tiempo, con la utilización de filtros.

Algunas de las características que definen a estos elementos son:

Resolución: Depende únicamente del número de bits, y a mayor número,

mejor resolución.

Precisión: Este parámetro lo establece el fabricante y es expresado como

un porcentaje de salida, mientras más preciso sea el DAC genera mayor

costo.


32 | Página

Tiempo de respuesta: Es la velocidad de operación de estos dispositivos,

tratando de tener a la salida el mínimo error posible. Siendo los

convertidores con salida de corriente los que tienen menor tiempo de

respuesta que los de voltaje.

La clasificación de los DAC’s varía mucho dependiendo de la aplicación de cada

uno, pero los dos más importantes son:

DAC’s Convencionales

DAC’s de Sobremuestreo

Existen diversos tipos de Convertidores Digital-Analógico, algunos de éstos son:

DAC PCM

DAC Delta-Sigma

DAC Resistencias Ponderadas

DAC R-2R

DAC Termómetro

En este caso sólo se abordarán los Convertidores Digital – Analógico R-2R y Delta

–Sigma, por la buena resolución que otorgan a los sistemas de audio. [22]


33 | Página

3.1 Convertidor Digital-Analógico R-2R

El convertidor de escalera o red R-2R hace uso de una red de resistencias para

generar una señal analógica partiendo de una digital, este tipo de convertidor es

sencillo de utilizar, ya que es la mejora del DAC de Resistencias Ponderadas, el

cual utiliza resistencias de valores diferentes, lo que hace que aumente la

complejidad en la precisión y el número de elementos que se necesita para esta

red, en cambio las ventajas de la red R-2R son que los valores de las resistencias

son sólo dos (R y 2R) y su utilización se hace más sencilla, además de que su

velocidad de conversión es superior a otros convertidores llegando a ser

aproximadamente de 100 ns, contando con una alta precisión.

Al igual que en el DAC de resistencias ponderadas, la red R-2R tiene como

desventaja el necesitar una gran cantidad de resistencias dependiendo del número

de bits que se emplee, requiriendo de una tolerancia de error muy baja en estos

elementos.

En este convertidor teóricamente se dice que no importa el número de bits que se

estén utilizando, si se requiere de más bits, solamente se le agrega un par de

resistencias a la red. Donde la fórmula para calcular el número de resistencias que

se requieren en la red, sería 2n, donde n es el número de bits requeridos para el

convertidor, pero existe un inconveniente, que entre más número de arreglos de

resistencias se le agreguen a la red, el voltaje o corriente disminuye, lo que hace

necesaria una tolerancia muy baja de error, implicando gasto ya que quizá la

tolerancia de las resistencias no sea comercial, por esta razón prácticamente se

dice que el número de bits para el funcionamiento óptimo de este convertidor es

hasta 18 bits. [23]

Como se puede observar en la Figura 3.1 las tensiones de esta red se van

dividiendo y se van atenuando conforme pasa cada arreglo de resistencias R-2R,

el bit menos significativo tendrá una menor tensión que el más significativo, donde

cada uno de los arreglos de resistencias que conformen la red significa un bit.


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Cada uno de los arreglos está conectado a un interruptor, lo que hace que

conmute entre dos valores de tensión (0 o 1), dependiendo de cada arreglo de

resistencias.

El análisis de este convertidor se realiza con la evaluación de los equivalentes de

Thevenin, donde se observa que en cualquiera de los puntos que se tome, la

resistencia equivalente es R, pero cada arreglo de la red, yendo del bit más

significativo al bit menos significativo, el voltaje se irá dividiendo en potencias de

dos. En ocasiones a la salida se conecta a un amplificador operacional que

permite conectar la red sin carga a la siguiente etapa y generar mayor ganancia a

la salida, aunque, se puede prescindir de este circuito. [22]

Fig. 3.1Convertidor Digital-Analógico R-2R. [24]


35 | Página

Matemáticamente la figura se expresa como:

𝒗𝑫𝑨𝑪 =𝟏

𝟐𝑵 [𝑩𝟎 +𝟐𝑩𝟏 + 𝟒𝑩𝟐 +⋯+ 𝟐𝑵−𝟏𝑩𝑵−𝟏]𝑽𝒆𝒏𝒕 (3.1)

Donde:

𝑩𝟎, 𝑩𝟏, … 𝑩𝑵−𝟏 son las terminales donde se colocan las señales binarias

normalizadas en dos valores “1” y “0”.

𝑽𝒆𝒏𝒕 es el voltaje que alimenta a cada terminal.

𝑩𝟎 es el bit menos significativo.

𝑩𝑵−𝟏 es el bit más significativo.

𝑵 es el número de bits.

Algunas de las aplicaciones [23] de este tipo de DAC son las siguientes:

Transmisión de voz

Control industrial

Precisión en equipo de instrumentación

Equipo de prueba automático

3.2 Convertidor Digital-Analógico Delta-Sigma.

El Convertidor Delta-Sigma surgió en los años 60’s con el fin de superar a otros

convertidores, teniendo como gran ventaja el bajo costo ya que el tipo de

tecnología que usa para su fabricación es CMOS, muy semejante a la utilizada

para la fabricación de circuitos integrados digitales, que son creados a base de

silicio.


36 | Página

Los Convertidores Delta-Sigma requieren estructuras electrónicas complejas que

determinan la linealidad de conversión y su resolución, determinándose por el

número de niveles que tenga el cuantizador.

Éstos operan con la técnica de sobremuestreo utilizando una resolución baja,

típicamente de un bit. Para minimizar el error de cuantización utilizan técnicas de

Procesamiento Digital de Señales que más adelante serán mencionadas.

Su funcionamiento se basa principalmente en los siguientes pasos, que son los

que caracterizan a este convertidor: [25]

Cuantización a 1 bit

Tramado

Modelado de ruido

Previo a la cuantización, es necesario, realizar un sobremuestreo, que ayuda a

enriquecer la resolución de las muestras pese al bajo nivel de bits, posteriormente,

se realiza un filtrado digital ya que hace uso de un alto factor de sobremuestreo.

La cuantización a un bit consiste principalmente en tomar solamente dos valores,

ya sea unipolar, es decir, valores que valgan “0” y “1”, o bien, valores bipolares,

que en este caso tomaría valores de “1” y “-1”.

La señal a un bit se convierte en una señal analógica al basarse en la Modulación

por Densidad de Pulso, ya que la densidad de las transiciones está en función de

la amplitud de la señal original. [26]

Si una señal es cuantizada sin utilizar el tramado, la señal sufre distorsiones de

cuantización, que son asociadas con la señal de entrada, lo que puede ocasionar

señales indeseables como armónicos fantasmas, entre otros, por esta razón es

importante que la señal lleve la técnica de tramado, que básicamente consiste en


37 | Página

agregar un ruido fijo y constante a la señal que evita, lo ya previamente referido.

[27]

Y por último el Modelado de ruido que va de la mano con la técnica de tramado, se

logra básicamente alterando el espectro de la señal de ruido que introduce el

tramado y la cuantización, de tal manera que la potencia de ruido incrementa, sin

embargo, este ruido es desplazado a un rango de frecuencias donde no es

perceptible, su principal objetivo es aumentar en gran cantidad la Relación Señal a

Ruido (SNR) de la señal resultante. [28]

Fig. 3.2 Proceso del Convertidor Digital-Analógico Delta-Sigma. [26]

Por lo tanto el Delta-Sigma como se puede observar en la Figura 3.2 consiste de

una señal digitalizada x[n], que pasa por un proceso de sobremuestreo mediante

la agregación de K-1 ceros, posteriormente, la señal sobremuestreada x0[n/K]

prosigue a ser filtrada digitalmente mediante un filtro pasa bajas con un rango de

banda de paso de [0, Fs/2]. La señal filtrada x(n/K), se introduce a un cuantizador


38 | Página

de un bit que incluye la técnica de modelado de ruido, seguido de esto, la señal

con un nuevo nivel de amplitud x'(n/K) se inserta a un sistema de sujeción digital a

analógico de manera que salga una señal analógica de escalón x*(t), por último

ésta misma es afinada por un filtro analógico S(f) para que se obtenga la señal

símil x(t) de la original.

Por lo tanto este Delta-Sigma en conjunto, logra aumentar la calidad del audio con

menor número de bits, es decir que con un sólo bit se pueden alcanzar

resoluciones altas, utilizando un amplio rango de frecuencia, lo que ayuda a

optimizar el número bits, o bien cantidad de almacenamiento.

Este tipo de convertidores son empleados en aplicaciones que requieren una

resolución muy alta, aunque una desventaja es la velocidad, ya que ésta es

relativamente baja comparada con otros convertidores. Comúnmente este

convertidor se utiliza para el tratamiento de pistas de audio, además de la voz,

control de procesos, transmisores inteligentes, instrumentos portátiles, medicina,

comunicaciones, aunque se han extendido hoy en día, gracias a sus grandes

ventajas, como son el bajo nivel de ruido, buena calidad en audio, el ahorro de

bits, bajo costo, compactibilidad, entre otras. [23]

La resolución para la que se ocupan este tipo de convertidores va desde los 12 a

los 24 bits, aunque hoy en día se dice que puede alcanzar los 31 bits de

resolución y su velocidad de conversión llega a ser aproximadamente de 2 ms,

siendo notorio una velocidad menor a la del DAC R-2R, pero contando con mayor

resolución. [23]

CAPÍTULO 4

“Análisis del

desempeño de los

convertidores”


40 | Página

CAPÍTULO “4” “ANÁLISIS DEL DESEMPEÑO DE LOS

CONVERTIDORES”

Con la herramienta de emulación Matlab se empleó el diseño de dos

Convertidores Digital-Analógico respectivamente: “El DAC de Red R-2R” y “El

DAC Delta-Sigma”. Dos tipos de DAC conocidos por su buena eficacia en

resolución.

Llevándose a cabo simulaciones de 5 diferentes tipos de audio, siendo cada uno

tratado digitalmente por los dos DAC, con el fin de poder obtener una señal

analógica adecuadamente perceptible por el odio.

El motivo del diseño de los dos DAC, es observar y comprobar la estrecha relación

que se tiene con ambos, en la calidad resultante de los audios con dichos

sistemas digitales.

Los 5 audios estudiados son:

Función compuesta por la suma de senos y cosenos

Tono “La – 440Hz”

Platillo de batería

Pista de audio “Get Lucky – Daft Punk”

Grabación de voz

Por practicidad sólo se evaluó la función compuesta por la suma de senos y

cosenos, sin deslucir los 4 restantes, ya que el proceso que se efectuó para la

señal evaluada en su mayoría, es el mismo para todos, excepto por una variante

(dentro de los 3 últimos), que se comentará más adelante.


41 | Página

Es importante mencionar que al realizar la simulación de las señales de audio

mediante Matlab, siendo ya, propiamente digitales, fue necesario enfatizar en el

concepto de la digitalización de una señal, por lo que pedagógicamente se

implementaron las etapas que conforman dicho concepto para cada una de las

señales.

Pero la envergadura de la parte práctica como lo ejemplifica el Diagrama a

bloques 4.1, reside en la transición de la señal de audio digital a una analógica

mediante la conversión de ésta, al pasar por un Convertidor Digital - Analógico.

Diagrama a bloques 4.1 Convertidor Digital-Analógico

4.1 Convertidor D/A de Red R-2R

Para el diseño del convertidor se llevaron a cabo 3 pasos, como lo muestra el

Diagrama a bloques 4.2:

Cuantización de acuerdo a la Red R-2R (formando parte de la digitalización

de la señal)

Interpolación de Orden Cero

Filtrado analógico


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Diagrama a Bloques 4.2 Convertidor R-2R

Por lo que se procederá a hablar detalladamente sobre cada una de estas etapas.

4.1.1 Parámetros de la señal

La señal digital con frecuencia de muestreo (Fs = 9600) a estudiar es:

x[n] = 𝟐𝐬𝐞𝐧 (𝟐𝛑∗𝟒𝟒𝟎∗𝐧

𝟗𝟔𝟎𝟎) +

𝟏

𝟑𝐬𝐞𝐧 (

𝟐𝛑∗𝟓𝟓𝟓∗𝐧

𝟗𝟔𝟎𝟎) − 𝟓𝐜𝐨𝐬 (

𝟐𝛑∗𝟐𝟔𝟐∗𝐧

𝟗𝟔𝟎𝟎) −

𝟏𝟎

𝟕𝐜𝐨𝐬 (

𝟐𝛑∗𝟑𝟗𝟒∗𝐧

𝟗𝟔𝟎𝟎)

El diseño de este DAC por conveniencia fue de 5 bits de resolución, alimentada la

red con un voltaje de referencia (Vref), siendo necesaria normalizar x[n] en función

del máximo valor de amplitud de las muestras, para poder trabajar con el mismo

Vref dentro del proceso de cuantización.


43 | Página

Fig. 4.1 Segmento de 400 muestras de la señal x[n]

En la Figura 4.1 se observa un fragmento de la señal x[n], que al ser normalizada,

sus valores máximos y minimos adquieren 1.35 V.


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Fig. 4.2 Función de Densidad Espectral de Potencia de la señal x[n]

Observando en su Función de Densidad Espectral de Potencia (DEP) (Fig. 4.2)

que la mayor energía de la señal x[n] se concentra desde cero y hasta la última

frecuencia fundamental.

Donde en la Figura 4.2 es notorio que las frecuencias fundamentales de la señal

están en 262, 394, 440 y 555 Hz, y alcanza un máximo de potencia de -13.16 dB.

4.1.2 Cuantización

A la señal x[n] previo a la cuantización, le fue necesario agregar la técnica de

“Tramado”, generando al final del proceso de cuantización, mayor error de

cuantización, pero evitando así, la correlación de la misma señal con el error de

cuantización. Esta técnica es útil para todas las señales que no son aleatorias,

asegurando que el ruido de cuantización se escuche de manera similar al Ruido

Blanco Aditivo Gaussiano.


45 | Página

El tramado consiste en agregar ruido aleatorio a la señal previo a su cuantización,

la mejor manera de obtener ese ruido aleatorio, es sumar dos señales

independientes de ruido blanco, con su respectivo rango de [−Δ

2 ,Δ

2].

La cuantización de la señal x[n] (Figura 4.3) se obtuvo a partir de 25 = 32 niveles

de cuantización, éstos mismos conformados por los voltajes de las posibles 32

combinaciones de conmutación entre “0´s” y “1´s” de la red R-2R.

La cuantización se llevó a cabo mediante una expresión, que asigna los valores de

amplitud a la señal normalizada x[n], para así obtener la señal cuantizada xq[n],

dicha expresión es la siguiente:

𝐗𝐪[𝐧] = 𝐕𝐫𝐞𝐟

𝟐𝟏𝒚𝑴𝑺𝑩 +

𝐕𝐫𝐞𝐟

𝟐𝟐𝒚𝟐 +

𝐕𝐫𝐞𝐟

𝟐𝟑𝒚𝟑 +

𝐕𝐫𝐞𝐟

𝟐𝟒𝒚𝟒 +

𝐕𝐫𝐞𝐟

𝟐𝟓𝒚𝑳𝑺𝑩

Donde:

Vref = Voltaje de referencia = 1.5 V.

yP = Es un valor, ya sea “0” o “1”, dependiendo del bit que se tenga de las

32 combinaciones de código binario. (Siendo el bit más significativo el

primero, de izquierda a derecha y el menos significativo el último).


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Fig. 4.3 Fragmento de la señal cuantizada xq[n]

En la Figura 4.3 se observa un fragmento de la señal cuantizada, donde ciertos

errores son perceptibles visualmente. De igual manera los valores máximos y

mínimos adquieren un valor de 1.35V.

Fig. 4.4 Fragmento del error de cuantización eq[n]


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En la Figura 4.4 se observa que el error de cuantización está descorrelacionado

con la señal de entrada, es decir, es apreciable que cualquier fragmento que se

compare del error de cuantización con la señal x[n] no tiene ningún parentesco.

Además, los valores en amplitud del error, varían entre +/- 0.046875 V, quedando

acorde a lo establecido en la cuantización.

Obteniéndose una Relación Señal a Ruido de la señal cuantizada de:

SNR = 26.8117 dB

4.1.3 Interpolación

La señal xq[n] es interpolada por un método denominado Interpolación de Orden

Cero. Dicha interpolación es con el fin de mantener el voltaje ya asignado a cada

muestra, en forma constante por un período de Ts = 1

Fs , para así obtener una señal

de tipo escalón (analógica).

La Interpolación de Orden Cero se puede conseguir de manera digital,

consistiendo en dos pasos:

1. Sobremuestreando la señal xq[n] a un factor deseado, en este caso se optó

por K=11. De manera que se le agregó a la señal xq[n] K-1 ceros entre

muestra y muestra.

Únicamente con el fin de representar con mayor precisión la señal analógica al ser

filtrada por un filtro analógico, ya que se atenúan de mejor forma las imágenes

espectrales.

Teniendo:

Fs’ = 11 * Fs = 105.6 kHz


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2. Convolucionando la señal sobremuestreada x+[n] con una señal rectangular

o tren de impulsos h[n] de duración Ts ‘ = 1

Fs′ .

Lo que actuará como un filtro básico pasa bajas, permitiendo ligeramente atenuar

las imágenes espectrales.

La Figura 4.5 muestra la señal escalón x*[n] obtenida finalmente por la

Interpolación de Orden Cero.

:

Fig. 4.5 Fragmento de la señal escalonada x*[n]

Se observa también que los valores máximos y mínimos se fijaron a un voltaje de

1.3125 V, así mismo se nota que con la frecuencia de sobremuestreo a 105.6 kHz

y la convolución de la señal rectangular, logrando una mejor claridad de la señal,

reflejado en la corta duración de los escalones que ayudan a la formación de ésta.


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Fig. 4.6 Función de Densidad Espectral de Potencia de la señal escalonada

En la Figura 4.6 se observa la ventaja del sobremuestreo, al extender el espectro

frecuencial de la señal por 11 veces, de manera que pueda ser fácilmente filtrada

analógicamente, además se ve la ligera atenuación de cada uno de los múltiplos

de la frecuencia fundamental hasta aproximadamente -50 dB.

4.1.4 Filtrado

De acuerdo al espectro frecuencial de la señal x*[n], se diseñó un filtro analógico

pasa bajas que cumpliera con las propiedades necesarias para matizar la señal

escalón x*[n], con el fin de acercarse a la forma de la función trigonométrica

original, el filtro se conformó por las siguientes características:

Filtro tipo Buttherworth

Con frecuencia límite para el paso de banda (fp = 555Hz)


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Con frecuencia límite para la banda de rechazo (fr = 9045Hz)

Rizo de 0.1 dB

Atenuación en la banda de rechazo de 40 dB

Fig. 4.7 Filtro analógico pasa baja de tipo Butterworth.

Se observa en la Figura 4.7 que el filtro analógico resulta de orden 3, siendo su

banda de transición menos abrupta, yendo de 3,487 a 56,831 rad

s, su respuesta

en la banda de paso se plantea que sea lisa, y que todas las señales pasando la

banda de rechazo se atenúen a 40 dB.


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4.1.5 Señal analógica resultante

Finalmente se obtuvo la señal analógica x(t) al ser filtrada por el filtro analógico

previo, asemejándose a la señal normalizada x[n] en el dominio del tiempo. (Fig.

4.8).

Fig 4.8 Fragmento de la señal analógica x(t)

En la figura anterior se observa la señal resultante continua en tiempo, con valores

máximos y mínimos de amplitud de 1.32 V. Se puede apreciar también las ligeras

distorsiones que contiene en los picos, debido a la falta total de atenuación de los

múltiplos de las imágenes espectrales.


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Como se observa en su DEP (Fig. 4.9), de manera eficiente el filtro pasa bajas

canceló la mayor parte de las imágenes espectrales debido al sobremuestreo,

creando en el dominio del tiempo, una señal analógica suavizada con muy buena

resolución.

Fig. 4.9 Función de Densidad Espectral de Potencia de la señal analógica x(t)

Es de notar que las imágenes espectrales a partir de los 9.045 y 10.155 kHz no se

eliminan completamente, afectando la precisión de la señal x(t), a partir del

segundo múltiplo se vuelven despreciables.

Por lo que al comparar esta señal x(t) con la señal digital original a una frecuencia

de muestreo Fs’, se consiguió una Relación Señal a Ruido de:

SNR = 27.2322 dB

Siendo incluso mejor que la SNR de cuantización que resultó de la Red R-2R, de

manera que se consiguió obtener una buena Relación Señal a Ruido al final del


53 | Página

proceso de conversión, siendo esto importante para la adecuada percepción del

audio por el oído.

4.2 Convertidor D/A Delta-Sigma (ΔΣ)

Dentro del diseño del convertidor se llevaron a cabo 4 pasos, como se observa en

el Diagrama a bloques 4.3:

Cuantización uniforme mediante un cuantizador Mid-Rise

La Interpolación consistiendo en dos etapas:

- Sobremuestreo

- Filtrado digital

Recuantización a 1 bit, con ayuda de la técnica de Modelado de Ruido

Filtrado analógico

Diagrama a bloques 4.3 Delta-Sigma


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Por lo que se procederá a hablar detalladamente sobre cada una de estas etapas.

4.2.1 Parámetros de la señal

Prácticamente la señal es la misma a la utilizada con el convertidor R-2R (Fig.

4.10), conservando también la frecuencia de muestreo (Fs = 9600), puesto que

vamos a ver el resultado del tratamiento de la misma señal con el convertidor

Delta-Sigma.

Realizamos la misma normalización ya que también el cálculo del valor del nivel

de cuantización (Δ) del Cuantizador Uniforme Mid-Rise, se hizo con una amplitud

máxima (V = 1.5V).

Fig. 4.10 Fragmento de la señal digital x[n]


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En esta misma figura se observa un fragmento de la señal x[n], que al ser

normalizada, sus valores máximos y minimos adquieren 1.35 V.

4.2.2 Cuantización

Puesto que la señal x[n] es una señal continua, volvimos a hacer uso de la técnica

de Tramado para descorrelacionar la señal con el error de cuantización.

La cuantización uniforme también se realizó con 5 bits de resolución (Figura 4.11).

Fig. 4.11 Fragmento de la señal cuantizada xq[n]

En esta figura se observa un fragmento de la señal cuantizada, por la diferente

forma que se llevó a cabo el proceso de cuantificación, presenta diferentes errores

a comparación de la señal cuantizada del convertidor R-2R, además sus valores

máximos y mínimos adquieren en promedio una amplitud de 1.4 V.


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Al igual que el DAC R-2R, dentro del proceso de cuantización se presentó un error

de cuantización que varía de:

-0.046875 ≤ eq[n] ≤ 0.046875

Siendo el error de cuantización que se debería obtener con los parámetros del

cuantizador.

Posterior a este proceso de cuantización se obtuvo una Relación Señal a Ruido de

la señal cuantizada xq[n] de:

SNR = 27.2040 dB

4.2.3 Interpolación

La señal cuantizada xq[n] posteriormente es interpolada. La Interpolación se

consiguió en dos pasos:

1. Sobremuestreando la señal xq[n] a un factor deseado, en este caso de

K=16. De manera que se le agregaba a la señal xq[n] K-1 ceros entre

muestra y muestra.

A diferencia del DAC R-2R, aquí se lleva a cabo el sobremuestreo de manera

forzosa, ya que para que el DAC Delta-Sigma pueda conseguir la misma

resolución con un solo bit que teniendo 5 bits, hace uso de tasas de

sobremuestreo elevadas que contrarresten la ausencia de un gran número de bits.

Permite que al desplazar las imágenes espectrales a un mayor rango de

frecuencias, se tenga un mejor manejo de estas imágenes para su atenuación, ya

que el filtrado analógico se lleva a cabo con un filtro de menor orden, es decir, se

amplía la banda de transición de éste y se obtiene una banda de paso mucho más

plana.


57 | Página

También permite que el ruido de cuantización se distribuya a lo largo del espectro

de la señal, es decir, de [0, K𝐹𝑠

2], mejorando la SNR de la señal.

Existe un porqué del valor de K, ya que más adelante con una técnica que se

utilizó, llamada “Modelado de Ruido” es posible que al multiplicar la frecuencia de

muestreo por un factor de “2” se gane un bit de resolución, de manera que al

multiplicar Fs*16, se obtiene una ganancia de 4 bits, siendo este el porqué, se

puede prescindir de cinco bits y solamente utilizar un bit.

Entonces se tiene:

Fs’ = 16 * Fs = 153.6 kHz

En la Figura 4.12 se presenta el DEP de la señal sobremuestreada x+[n],

pudiéndose observar los múltiplos de las imágenes espectrales.

Fig. 4.12 Función de Densidad Espectral de Potencia de la señal sobremuestreada x+[n]


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Como lo muestra la figura anterior, se puede tener una mejor manipulación del

espectro frecuencial de la señal, al tener su última imagen espectral a 76.245 kHz.

2. Filtrando la señal sobremuestreada x+[n] con un filtro digital pasa bajas.

Permitiendo atenuar parte de las imágenes espectrales, además de una porción

del ruido de cuantización.

El filtro digital permite solamente pasar, aproximadamente 1

16 de Fs de todo el

rango de frecuencias de la señal x+[n], siendo su banda demasiado estrecha, para

obtener una rápida atenuación de la componentes frecuenciales de la señal.

Éste cumple con características, como:

Su función de transferencia consta de 500 coeficientes.

En ocasiones lo conveniente no es utilizar un gran número de coeficientes, ya que

además de ralentizar el proceso de filtrado, entre mayor sea el orden del filtro,

puede provocar mayor distorsión a la señal por el desfasamiento que se produce a

la salida del mismo.

Con frecuencia límite para el paso de banda (fp = 540Hz)

Con frecuencia límite para la banda de rechazo (fr = 555Hz)

En la Figura 4.13, se muestra la respuesta del filtro digital comparado con lo que

sería la de uno ideal.


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Fig. 4.13 Filtro digital pasa bajas.

Las frecuencias que permitieron delimitar el diseño del filtro en la banda de paso y

en la banda de rechazo mencionadas anteriormente, son los valores deseados

para influir en la señal x+[n], sin embargo como se puede apreciar en la figura

anterior, los valores reales son otros, siendo realmente delimitado por una

frecuencia de 525 Hz en la banda de paso y una de 581 Hz en la banda

normalizados de acuerdo a la frecuencia de muestreo (Fs=9600).

La señal interpolada x”[n] resultante comparada con la señal original muestreada a

Fs’ se observa en la Figura 4.14.


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Fig. 4.14 Fragmento de la señal interpolada x”[n] en comparación con la señal muestreada a Fs’.

La figura anterior nos señala la sobreposición de la señal interpolada con la señal

original muestreada a Fs’, para que sea visible la distorsión que se adquirió

posterior al filtro digital, de manera que se observa que aún está lejos de ser con

exactitud símil a la señal original, pero no pierde su aspecto.

La DEP de la señal x”[n], mostrada en la Figura 4.15, deja ver que con el

sobremuestreo y consecutivamente el filtrado, se obtiene una respuesta en

frecuencia más plana. A su vez, también se percibe la ligera atenuación de las

imágenes espectrales cada múltiplo de Fs.


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Fig. 4.15 Función de Densidad Espectral de Potencia de la señal interpolada x”[n].

Como se observa en la figura previa, las imágenes espectrales se atenúan a un

valor promedio de -65 dB.

Con este tratamiento de la señal, conseguimos que la Relación Señal a Ruido de

la señal x”[n] comparada con la señal original muestreada a Fs’ sea:

SNR = 22.6730 dB

4.2.4 Recuantización de 1 bit

El objetivo de este proceso de recuantización es hacer a la señal interpolada x’’[n],

en una señal analógica bipolar x’[n] al conmutar entre un valor positivo o negativo

de amplitud, realizándose esto, con el mismo Cuantizador Mid-Rise.

Pero a diferencia de la señal escalón resultante del DAC R-2R, donde el voltaje

permanece constante cada Ts’, aquí se consigue la señal escalón, a partir de la


62 | Página

Modulación por Densidad de Pulso, donde la densidad de cada transición

dependerá de la amplitud de la señal interpolada.

Otra importancia de este proceso es el uso de la técnica de “Modelado de Ruido”,

que con apoyo de nueva cuenta de la técnica de Tramado, utilizada cada vez que

se desee cuantizar, provocan que además de la ventaja en ganancia de resolución

por el K factor de sobremuestreo, se pueda incrementar la SNR efectiva, al

desplazar el error de cuantización a rangos de frecuencia no audibles por el oído,

comprendidas entre [Fs

2 , K

Fs

2].

La Figura 4.16 muestra la señal recuantizada a un bit con valor en amplitud de +/-

1.5V, que al ser comparada con la señal interpolada, consigue diferentes

densidades en la señal escalonada x´[n].

Fig. 4.16 Señal recuantizada a un bit x’[n] comparada con la señal interpolada.

Es decir, es observable que las crestas de la señal recuantizada son más amplias

conforme se alcanza el pico de la cresta de la señal interpolada y de igual manera

los valles de x’[n] son más anchos al alcanzar el pico del valle de la señal

interpolada.


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En ocasiones es conveniente incrementar el orden de la técnica de Modelado de

Ruido para la obtención de menor error de cuantización, en este caso, fue

conveniente dejarlo con orden 1, ya que al final del filtrado analógico se obtuvo

una buena SNR, por lo que no fue necesario modificarlo.

La Figura 4.17 muestra la DEP de la señal x’[n], donde se puede observar que el

ruido de cuantización ya no se encuentra distribuido uniformemente a lo largo de

todo el rango de frecuencias, por lo que a este tipo de ruido se le conoce como

“coloreado”, ya que comprende un cierto rango de éstas.

Fig. 4.17 Función de Densidad Espectral de Potencia de la señal recuantizada x’[n].

La figura anterior, describe como el error es perceptible en otro rango de

frecuencias, de igual manera se tendrá una mejora en la SNR final, ya que solo 1

16

de Fs del error de recuantización afectará a la Relación Señal a Ruido, es decir,

solamente el error que se presenta hasta los 600 Hz de la DEP.


64 | Página

Por el mismo incremento de la potencia de error de cuantización con esta técnica,

se consigue una muy baja Relación Señal a Ruido de la señal recuantizada:

SNR = -6.9530 dB

4.2.5 Filtrado

De acuerdo al espectro frecuencial de la señal x’[n], se diseñó un filtro analógico

pasa bajas que cumpliera con las propiedades necesarias para matizar la señal

recuantizada con el fin de acercarse a la forma de la función trigonométrica

original, por lo que el filtro se conformó por las siguientes características:

Filtro tipo Chebyshev tipo I

Con frecuencia límite para el paso de banda (fp = 555 Hz)

Con frecuencia límite para la banda de rechazo (fr = 76.8 kHz)

Rizo de 0.1 dB

Atenuación en la banda de rechazo de 80 Db

Fig. 4.18 Filtro analógico pasa bajas de tipo Chebyshev tipo I.


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Se observa en la Figura 4.18 que el filtro analógico resulta de orden 3, siendo su

banda de transición menos abrupta, con un ligero rizo en la banda de paso, siendo

normal dentro de la respuesta de los filtros de tipo Chebyshev, y con una

atenuación de 80 dB sobre todas las señales dentro de la zona de rechazo.

4.2.6 Señal analógica resultante

Finalmente se obtuvo la señal analógica x(t) al ser filtrada por el filtro analógico,

asemejándose a la señal normalizada x[n] (Figura 4.19).

Fig. 4.19 Fragmento de la señal analógica x(t)

En esta figura se muestra la señal resultante continua en tiempo, con valores

máximos y mínimos de amplitud de 1.35 V. Se puede apreciar también, que a

comparación de la señal analógica resultante del DAC R-2R, este fragmento de


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x(t) es exacta a la señal x[n], producto de la buena atenuación de las imágenes

espectrales a lo largo de todo su espectro.

Como se observa en la DEP de x(t) (Figura 4.20), de manera eficiente el filtro pasa

bajas canceló la totalidad de las imágenes espectrales con ayuda del

sobremuestreo, originando una señal x(t) con muy buena resolución.

Fig. 4.20 Función de Densidad Espectral de Potencia de la señal analógica x(t)

Prácticamente se nota en la figura, que ya no son visibles los múltiplos de las

frecuencias fundamentales, además la potencia de la señal se conservó de inicio a

fin, al tener un valor de -13.18 dB, sobresaliendo de la potencia del ruido de

cuantización final.

Al comparar esta señal x(t) con la señal digital original muestreada a Fs’, se

consiguió una Relación Señal a Ruido de:

SNR = 28.6417 dB


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Siendo incluso mejor esta SNR que la presentada en la cuantización de 5 bits, de

manera que también se consiguió obtener una buena Relación Señal a Ruido al

final del proceso de conversión para la adecuada percepción del audio por el oído.

Con respecto a lo visto anteriormente, se observa claramente que la calidad de la

señal, al pasar por ambos convertidores es semejante y favorable. Lo cual ocurre

también con las señales restantes, sin embargo es importante hacer mención de

las variantes presentes en su estudio.

Por ejemplo:

En el análisis de las señales como el “Platillo de batería”, el “Tono La” y la

“Grabación de voz”, previo a su desarrollo en ambos convertidores, se tuvo que

normalizar la señal en función de su desviación estándar para la correcta

manipulación de la potencia de la misma.

Para las señales como el “Platillo de batería”, la “Grabación de voz” y la “Pista de

audio Get Lucky – Daft Punk” previo al proceso de cuantización resultó

conveniente, para obtener una mejor SNR, la compresión logarítmica, logrando

con esto, un menor error de cuantización en las muestras con pequeña amplitud y

un mayor error en las de amplitud superior.

Este tipo de cuantizador logarítmico se usa normalmente en señales como la voz,

donde la mayoría de las muestras son pequeñas. Para pistas de audio, es útil un

cuantizador no uniforme, donde se minimiza el error al asignar los niveles de

cuantización dependiendo del estudio de la función de distribución de la pista.

Posterior a la obtención de la señal analógica resultante en dichas señales, se

procedió a expandir la señal para su correcta reproducción.


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La forma en que se llevó a cabo la compresión logarítmica fue mediante las

ecuaciones para compresiones analógicas referidas a la “Ley - A”. Ahora en día se

utilizan diferentes métodos (digitales) para obtener la compansión.

La siguiente tabla, muestra los principales parámetros que conformaron el estudio

de las señales en ambos DAC´s.


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Tabla 4.1 “Resultados de las señales evaluadas”

Señal Parámetros DAC de Red R-2R DAC Delta-Sigma

Tono “La”

Normalización

En función de la

desviación estándar (σ)

En función de la


Bits de resolución (n) 5 bits 5 bits

Vmax (V) 1.5 1.5

SNR Cuantización (dB) 31.4095 32.3874

Factor de Sobremuestreo

(K) 11 16

Filtro Digital ---- Algoritmo: Parks-McClellan

Coeficientes: 500

Filtro Analógico Tipo: Butterworth

Orden: 3

Tipo: Chebyshev

Orden: 3

SNR Analógica

resultante (dB) 30.4198 32.8216

Platillo de batería

Normalización

En función de la


En función de la



Vmax (V) 1 1



(K) 11 16


Coeficientes: 300


Orden: 3

Tipo: Butterworth

Orden: 2

SNR Analógica

resultante (dB) 20.9375* 21.4321*


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Pista de audio

Normalización

En función de la amplitud

(Vmax)

En función de la amplitud

(Vmax)


Vmax (V) 1 1



(K) 12 32


Coeficientes: 700


Orden: 2

Tipo: Butterworth

Orden: 2

SNR Analógica

resultante (dB) 25.3428 30.4746

Grabación de voz

Normalización

En función de la


En función de la



Vmax (V) 1 1



(K) 12 16


Coeficientes: 400


Orden: 2

Tipo: Butterworth

Orden: 3

SNR Analógica

resultante (dB) 24.1137* 23.5004

Tabla 4.1 Continuación de Resultados de las señales evaluadas.


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La precisión de la SNR de estas señales no son las más acertadas, debido

a que el diseño de estos convertidores fue, con técnicas básicas con fines

prácticos, ya que existen métodos que facilitan una mejora en los

resultados, como el aumento del orden de los filtros en cascada, el uso

también de otros tipos de filtros, por ejemplo de Bessel, que no agregan

tanta distorsión a las señales no lineales, la implementación de un mayor

orden de Modelado de Ruido, sobremuestreo por cascada, agregación de

filtros tipo “peine” para una atenuación previa al filtro digital (únicamente) en

el DAC Delta-Sigma, etc.

Para la obtención de una mejor resolución en las señales, es conveniente en el

caso del DAC Delta-Sigma no hacerlo de un sólo bit, sino implementar un

convertidor multi-bit, por ejemplo de hasta 20 bits.

“Conclusiones”


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“CONCLUSIONES”

Al realizar la comparación de los dos DAC´s es de apreciarse que ambos

muestran resultados favorables en las señales analógicas resultantes en la

mayoría de los 5 tipos de audio, ya que su SNR, es mejor o similar a comparación

de la obtenida después de la cuantización. Siendo buen auspicio para su

percepción a la hora de la reproducción.

Considerando que, a pesar de que los Convertidores Delta-Sigma cuentan con

una gran ventaja sobre el R-2R (al ser éste último, el antecesor al ΔΣ), por su

flexibilidad en costo, por su misma o mejor calidad del audio tratado, y por su

portabilidad, pese a todas las etapas que conforman la conversión, es considerado

en muchas ocasiones complejo, por las deformaciones que sufre la señal, para

poder procesarse en hardware más sencillos que trabajen a un bit.

Aunque la mayoría de los convertidores en el mercado sean ΔΣ, no hay punto de

comparación alguna en cuanto a la nitidez del audio que ofrece un convertidor R-

2R, ya que de una manera rápida y sencilla, realiza la transición digital a

analógica, sin hacerle cambios significativos al audio. Sin embargo, cuenta con

una notoria desventaja en la posible adquisición de mayor resolución, al tener

como fuerte limitante el margen de error de los elementos analógicos que utiliza,

incrementando su costo.

Es por eso que en búsqueda de la mejor solución en la creación de un convertidor

óptimo, es útil y vital, tomar en cuenta las características que ofrecen ambos, para

solventar cada uno de los problemas con los que se cuenta, el dar tratamiento a

un sistema de audio digital.

“Referencias”


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REFERENCIAS

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Documents

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL · 2017. 6. 9. · LÓPEZ GÓMEZ JUAN PABLO ZEPEDA MARTÍNEZ BERENICE YAMELI O B J E T I V O “Simular los convertidores digital-analógico R-2R y