INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL...LISTA DE TABLAS NÚMERO DE TABLA PÁGINA 1. Escala de Mohs. 4 2. Escala de Dureza Rockwell. 6 3. Diámetro de Esfera. 8 4. Factores de las Cartas de

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA METALÚRGICA

Y MATERIALES

“ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN

PRUEBAS DE DUREZA ROCKWELL C Y B”

Director de tesis:

M. EN C. SERGIO JAVIER GARCÍA NÚÑEZ.

México, D.F. Junio, 2013

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA QUIMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS

T E S I S QUE PARA OBTENER EL TITULO DE:

INGENIERO EN METALURGIA Y MATERIALES.

P R E S E N T A :

PAZ ESQUIVEL JUAN PABLO

Quiero agradecer eternamente a Dios nuestro señor por haberme acompañado durante toda mi

vida de estudiante y poder haber culminado mis estudios de nivel licenciatura de forma

satisfactoria en este presente trabajo.

Agradezco con un cariño inmenso a mi mamá Amalia y mi papa Pablo que son los pilares de mi

formación, gracias a su apoyo, comprensión, amor y sabiduría, pude terminar un ciclo muy

importante en mi vida.

De igual forma, agradezco a Ulises Fernando mi hermano por todo su apoyo incondicional en

todo momento de mi vida.

A mi amiga y novia, a ti, Xochitl por estar con vos en los momentos buenos y malos de mi vida,

te agradezco de todo corazón por todo el apoyo que me has brindado tanto en lo profesional como

en lo personal…

Le doy gracias a toda la familia Esquivel y Paz abuelitas, tíos, primos, por su apoyo

incondicional durante el periodo de mi vida académica.

A todos los profesores que fueron parte de mi formación académica a nivel licenciatura,

especialmente a M en C Sergio Javier García Núñez por todos los consejos que me

proporciono y el tiempo dedicado al presente trabajo.

Juan Pablo Paz Esquivel

I

INDICE

CONTENIDO PÁGINA

INTRODUCCIÓN 2

I. ANTECEDENTES 3

I. 1. Propiedades Mecánicas de los Metales 3

I. 2. Dureza 3 I. 2. 1. Determinación de la Dureza 3 I. 2. 2. Tipos de Dureza por Indentación 4

I. 3. Dureza Rockwell 5 I. 3. 1. Maquina de Dureza 7 I. 3. 2. Tipos de Indentador 7 I. 3. 3. Requisitos de la Probeta 9 I. 3. 4. Verificación del Durómetro 10 I. 3. 5. Bloques Patrón 11

I. 4. Límites de Control 11 I. 4. 1. Carta de Control ( -R) 13

I. 4. 1a. Límites de Control Carta de Promedios 14 I. 4. 1b. Límites de control Carta de Rangos R 16

I. 4. 2. Precisión y Exactitud 17

I. 5. Error e Incertidumbre 19 I. 5. 1. Errores de Medición 21

I. 5. 1. 1. Errores Instrumentales 21 I. 5. 1. 2. Errores de Método 21 I. 5. 1. 3. Errores Debidos Agentes Externos 22 I. 5. 1. 4. Errores Debidos al Observador 22 I. 5. 1. 5. Errores Matemáticos 22

I. 5. 2. El Concepto de Incertidumbre 23 I. 5. 3. Sistemática para Calcular la Incertidumbre 24

I. 5. 3. 1. Especificación del Mensurando 25 I. 5. 3. 2. Fuentes de Incertidumbre 26 I. 5. 3 3. Evaluación de la Incertidumbre Estándar 27 I. 5. 3. 3a. Incertidumbre Estándar Evaluación Tipo A 28 I. 5. 3. 3b. Incertidumbre Estándar Evaluación Tipo B 29 I. 5. 3. 4. Evaluación de la Incertidumbre Estándar Combinada 33

II

I. 5. 3. 5. Incertidumbre Expandida 34

II. DESARROLLO EXPERIMENTAL 35

II. 1. Principio de Medición 35

II. 2. Equipo y Material Utilizados 35

II. 3. Procedimiento del Ensayo de Dureza 36

II. 4. Experimentación 38 II. 4. 1. Pruebas de Control de Calidad 38 II. 4. 2. Procedimiento para la Estimación de la Incertidumbre 41

III. Resultados 45

III. 1. Histograma de Frecuencia 46

III. 2. Resultados de Control de Calidad 48 III. 2. 1. Resultados de Cartas de Control R 48

III. 3. Resultados de Estimación de la Incertidumbre 59 III. 3. 1. Método para la obtención de la incertidumbre en HRC 61 III. 3. 2. Método para la obtención de la incertidumbre en HRB 63

IV. Análisis de Resultados 67

IV. 1. Histograma 67

IV. 2. Cartas de Control 67

IV. 3. Incertidumbre 68

V. Metodología para obtener la Incertidumbre en Pruebas de HRC y HRB 70

Conclusiones 73

Bibliografía 74

Anexo A 75

Anexo B 78

III

LISTA DE FIGURAS

NÚMERO DE FIGURA PÁGINA

1. Indentador de Diamante. 8

2. Indentador Esférico. 9

3. Representación de los Límites de Control. 12

4. Representación Gráfica de Precisión y Exactitud. 18

5. Curva de Precisión y Exactitud. 18

6. Proceso para la estimación de la Incertidumbre. 24

7. Distribución Normal. 30

8. Distribución Rectangular. 31

9. Distribución Triangular. 32

10. Material y Equipo. 36

11. Profundidad del Indentador. 37

12. Distancias de Indentaciones. 37

13. Materiales Experimetados. 45

14. Distribución de Resultados HRC. 47

15. Distribución de Resultados HRB. 48

16. Grafica de Rango (R) de HRC. 50

17. Grafica de Promedio (X) de HRC. 50

18. Grafica de Exactitud de HRC. 52

IV

19. Grafica de Precisión de HRC. 53

20. Grafica de Rango (R) de HRB. 55

21. Grafica de Promedio (X) de HRB. 55

22. Grafica de Exactitud de HRB. 57

23. Grafica de Precisión de HRB. 58

24. Diagrama Causa – Efecto. 60

25. Regresión Lineal HRC. 62

26. Grafica de Contribución a la Incertidumbre HRC. 63

27. Regresión Lineal HRB. 64

28. Grafica de Contribución a la IncertidumbreHRB. 65

V

LISTA DE TABLAS

NÚMERO DE TABLA PÁGINA

1. Escala de Mohs. 4

2. Escala de Dureza Rockwell. 6

3. Diámetro de Esfera. 8

4. Factores de las Cartas de Control. 17

5. Tipos de Bloques Patrón. 35

6. Pruebas de Control de Calidad. 38

7. Condiciones de Repetibilidad. 43

8. Condiciones de Pruebas. 45

9. Resultados de Rockwell C. 46

10. Resultados de Rockwell B. 47

11. Resultados para Grafica de R de HRC. 49

12 Datos para el Gráfico de Exactitud de HRC. 51

13 Datos para el Gráfico de Precisión de HRC. 52

14. Resultados para Grafica de R de HRB. 54

15 Datos para el Gráfico de Exactitud de HRB. 56

16 Datos para el Gráfico de Precisión de HRB. 57

17. Datos para la Obtención de la Incertidumbre. 59

18. Resumen de Resultados de HRC. 62

19. Resumen de Resultados de HRB. 65

Instituto Politécnico Nacional

Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas

1

RESUMEN

La incertidumbre es un parámetro, asociado con el resultado de la medición, que caracteriza la

dispersión de los valores que pueden ser fundamentalmente atribuidos a lo que se mide.

El presente trabajo establece una metodología para la determinación de la incertidumbre en las

pruebas de dureza Rockwell en escala C y B, empleando el método de la norma ASTM E18

“Norma de Ensayos de Dureza Rockwell y Rockwell Superficial para materiales metálicos” y la

Norma Mexicana NMX-CH-140-INMC “Guía para la expresión de incertidumbre en las

mediciones”.

Adicionalmente se presenta un estudio estadístico de control de calidad, donde los resultados

permiten concluir que el método de la obtención de dureza, se encuentra dentro de los límites

de control de calidad basado en ciento cincuenta muestras experimentales usando bloques

patrón. Además, se demuestra que el proceso de medición es exacto y preciso.

Respecto al cálculo de la incertidumbre, se plantea un modelo matemático que permite el

cálculo de las diferentes variables que afectan al proceso de medición de dureza (No

Uniformidad del material, Repetibilidad, Resolución y Calibración del equipo) de una manera

muy práctica, y se demostró que la variable de mayor contribución es la repetibilidad de la

prueba.



2

INTRODUCCIÓN

A lo largo de los años se ha ido desarrollando técnicas cuantitativas de dureza que se basan en

un pequeño indentador que es forzado sobre una superficie del material a ensayar, en

condiciones controladas de carga y velocidad de aplicación. En estos ensayos se mide la

profundidad de una huella resultante, la cual se relaciona con un número de dureza.

Las pruebas de dureza tienen una gran importancia, ya que se utilizan para verificar la calidad

de los metales en los tratamientos térmicos, en la aceptación de los materiales durante su

inspección, en la evaluación de soldaduras, en el análisis de fallas y al igual para poder

seleccionar un material. En tales situaciones es necesario conocer las características del

material y diseñar la pieza para una tarea específica de tal manera que cualquier deformación

resultante, no sea excesiva y no se produzca en el peor de los casos la fractura.

Todo proceso varía, entre ellos, el proceso de medición ya que no existen mediciones “100 %

exactas”. Existe una variación inherente al proceso, pero esta variación ocurre dentro de un

límite permisible; estas variaciones ocurren por causas “comunes” y causas “especiales”. Las

variaciones en el proceso de medición, derivadas de la incertidumbre, están dentro de lo que

llamamos causa “comunes” si realizamos diez veces la medición de una determinada pieza,

utilizando un equipo con la suficiente sensibilidad para percibir las variaciones en el proceso de

medición, podremos encontrar diez valores diferentes (parecidos, cercanos, pero ninguno igual).

Al expresar el resultado de una medición no es completo si no posee una estimación de la

incertidumbre, con un nivel de confianza determinado. Cuando se informa el resultado de una

medición de una magnitud física es obligatorio proporcionar alguna información cuantitativa de

la calidad del resultado, de tal manera que el analista pueda apreciar su confiabilidad. Por lo

tanto es necesario que exista un procedimiento expedito, fácil de usar y aceptado de manera

general para caracterizar la calidad del resultado de medición, esto es, para evaluar y expresar

su incertidumbre.

Por lo cual, el objetivo del presente trabajo es establecer un método de control de calidad

necesario para el cálculo de la incertidumbre en la determinación de dureza Rockwell B y

Rockwell C siguiendo los lineamientos de la Norma ASTM E-18 08 y la Norma Mexicana NMX-

CH-140-INMC.



3

I. ANTECEDENTES

I. 1. Propiedades Mecánicas de los Metales

El comportamiento mecánico de un material refleja la relación entre la fuerza aplicada y la

respuesta del material, o sea, su deformación. Algunas de las propiedades mecánicas más

importantes son: la fragilidad, la elasticidad, la ductilidad y la rigidez.

Las propiedades mecánicas de los materiales se determinan realizando ensayos de laboratorio

que reproducen las condiciones de servicio. Los factores que deben considerarse son la

naturaleza de la carga aplicada, su duración, así como las condiciones del medio. La carga

puede ser una tracción, compresión, flexión o torsión, y su magnitud puede ser constante con el

tiempo o bien fluctuar continuamente. El tiempo de aplicación puede ser de solo una fracción de

segundo o durar un periodo de varios años. La temperatura de servicio es un factor importante.

I. 2. Dureza

La dureza no puede definirse en términos de alguna propiedad específica del material, aunque

ésta es conocida como una característica de la deformación local, concentrada en un pequeño

volumen de su superficie exterior, o simplemente como la resistencia que opone un material al

tratar de ser rayado o penetrado por otro. La dureza está relacionada con las propiedades

elásticas y plásticas de un material. [1]

I. 2. 1. Determinación de la Dureza

Las diversas pruebas para medir la dureza de un material se pueden dividir en tres métodos:

a. Resistencia al corte o abrasión.

b. Dureza elástica.

c. Resistencia a la indentación.

a. Resistencia al corte o abrasión:

Esta prueba la ideó Friederich Mohs, la escala consta de 10 minerales estándar arreglados en

un orden del más blando al más duro.



4

Tabla 1. Escala de Mohs.

Numeral Mineral

1 Talco

2 Yeso

3 Calcita

4 Fluorita

5 Apatita

6 Feldespato

7 Cuarzo

8 Topacio

9 Corundo

10 Diamante

b. Dureza elástica:

Este tipo de dureza se mide mediante un escleroscopio, que es un aparato con dispositivo para

medir la altura de rebote de un pequeño martillo con emboquillado de diamante, después de

que caer por su propio peso desde una altura definida sobre la superficie de la pieza a prueba.

c. Resistencia a la indentación:

Este ensayo de dureza se mide la resistencia de la superficie de un material a la penetración

por un objeto más duro.

Se han inventado una diversidad de pruebas de Dureza por indentación, pero las de uso más

común son los ensayos: Brinell, Vickers y Rockwell.

I. 2. 2. Tipos de Dureza por Indentación

Dureza Brinell

Este método de prueba utiliza un indentador de bola de acero y una vez retirada la fuerza

aplicada se mide (mediante un dispositivo óptico) el diámetro de la huella dejada por el

indentador. [2]



5

Dureza Vickers

El método consiste en hacer una huella con un indentador de diamante, en forma de pirámide

recta de base cuadrada, y medir sus diagonales una vez retirada la fuerza aplicada. La dureza

Vickers se define como el cociente de la fuerza de la prueba por la carga. [2]

I. 3. Dureza Rockwell

El ensayo de dureza Rockwell constituye el método más usado para medir la dureza debido a

que es muy rápida la determinación de la dureza de un metal, ya que esta queda indicada en la

escala del propio aparato. Se puede utilizar diferentes escalas que provienen de la utilización de

distintas combinaciones de indentadores y cargas, lo cual permite ensayar virtualmente

cualquier metal desde el más duro hasta el más blando.

Existen dos clasificaciones de la prueba Rockwell: la Dureza Rockwell y la Dureza Rockwell

Superficiales. La diferencia significativa entre las dos pruebas es las fuerzas de ensayo que se

utiliza. Para la prueba de Dureza Rockwell, la fuerza de ensayo preliminar es 10 kgf (98 N) y el

total de la prueba son fuerzas 60 kgf (589 N), 100 kgf (981 N), y 150 kgf (1471 N), dependiendo

la escala que se utiliza. Para la prueba de Dureza Rockwell Superficiales, la fuerza de ensayo

preliminar es de 3 kgf (29 N) y el total de la prueba son fuerzas 15 kgf (147 N), 30 kgf (294 N), y

45 kgf (441 N). [3]

Los diferentes tipos de escalas en la dureza Rockwell se muestran en la tabla 2, al igual de sus

condiciones de cada tipo de escala.



6

Tabla 2. Escala de Dureza Rockwell.

Escala de

Dureza

Tipo de

Indentador

Carga Mayor

(kgf)Aplicaciones Típicas de las Escalas

ACono de

Diamante60

Carburos cementados, aceros en placas delgadas y

acero de capa poco profunda.

BEsfera de

1/16 pulgada1000

Aleaciones de cobre, aceros suaves, aleaciones de

Aluminio, hierros maleables.

CCono de

Diamante150

Acero, fundiciones de hierro duras, hierro perlitico

maleable, titanio, aceros cementados de capas

profunda y otros materiales cuya dureza sea de 100 B.

DCono de

Diamante100

Acero en placas delgadas, acero cementado de capa

de espesor medio y hierro maleable perlítico.

EEsfera de

1/8 pulgada100

Fundición de hierro, aleaciones de aluminio y

magnesio y metales para cojinetes.

FEsfera de

1/16 pulgada60

Aleaciones de cobre recocidas, metales laminados

blandos.

GEsfera de

1/16 pulgada150

Bronce al fósforo, aleaciones berilio-cobre, hierros

maleables.

HEsfera de

1/8 pulgada60 Aluminio, Zinc y Plomo.

KEsfera de

1/8 pulgada150

Metales para cojinetes y otros materiales muy blandos

y muy delgados.

LEsfera de

1/4 pulgada60

MEsfera de

1/4 pulgada100

PEsfera de

1/4 pulgada150

REsfera de

1/2 pulgada60

SEsfera de

1/2 pulgada100

VEsfera de

1/2 pulgada150



7

El número de dureza obtenido de la prueba Rockwell se expresan siempre: con el símbolo de

dureza, el símbolo de escala y el símbolo de indentador. Cuando un indentador esférico es

utilizado, la escala de designación es seguida de la letra W para indentador de carburo de

tungsteno y la S para indentador de acero.

A continuación se indica un ejemplo de una dureza de 70 con Rockwell B utilizando un

indentador de carburo de tungsteno.

I. 3. 1. Máquina de Dureza

La máquina de prueba consiste en un yunque o soporte rígido, sobre el cual se coloca la

probeta. El soporte de la probeta debe ser de acero templado de una dureza igual o mayor a 58

HRC. La cara de apoyo debe estar pulida, no debe presentar rayas o marcas que afecten las

lecturas. En las pruebas de productos de espesores delgados utilizando la escala B, el efecto

del soporte puede tener una influencia sensible, por el hecho de una posible aparición de

marcas en la cara posterior de la probeta.

I. 3. 2. Tipos de Indentador

a. Indentador de Diamante.

Este tipo de indentador se debe emplear en pruebas de dureza para las escalas A, C y D.

Consiste en un cono de diamante cuyo ángulo es de 120° ± 0.5° (2.09 rad ± 0.008) y una punta

con un radio de curvatura de 0,2 mm ± 0,005 mm, ver figura 1.



8

Figura 1. Indentador de Diamante.

b. Indentador esférico de acero o carburo de tungsteno.

Este tipo de indentador debe emplearse en los ensayos de dureza para las escalas B, E, F, G,

H, K y T. Consiste en un balín de acero templado y pulido, con un diámetro especifico, ver tabla

3 y figura 2.

Tabla 3. Diámetro de Esfera.

Escala de Dureza

Rockwell

Diámetro de esfera

(mm)

B

1,587 5F

G

T

E

3,175H

K

Dicho balín debe estar pulido y no debe presentar defectos superficiales. Debe eliminarse y

anularse la prueba si presenta una deformación mayor a la tolerancia indicada.



9

Figura 2. Indentador Esférico.

El indentador de carburo de tungsteno se utiliza para pruebas de Dureza Rockwell mientras que

el indentador de acero se utiliza para la prueba de Dureza Rockwell Superficial según la Norma

ASTM E-18 08. En dicha norma se demuestra que se obtienen diferentes resultados entre un

indentador de carburo de tungsteno y uno de acero, por ejemplo, en la escala Rockwell B con

un indentador de carburo de tungsteno se adquiere resultado de una dureza Rockwell inferior

con respecto a la dureza que produce un indentador de acero.

I. 3. 3. Requisitos de la Probeta

El ensayo se debe llevar a cabo sobre una superficie plana, uniforme, libre de escamas de

óxido, materiales extraños y completamente libres de lubricantes, al menos que se especifique

lo contrario en las normas del producto o del material. Se hace una excepción con los metales

reactivos como el titanio, que pueden pegarse al indentador. En estos casos, se puede utilizar

un lubricante adecuado, como queroseno. El uso de un lubricante debe registrarse en el informe

del ensayo. Después del ensayo no debe apreciarse ninguna deformación en la superficie de la

probeta opuesta a la indentación.

El espesor de la probeta o de la capa sometida a ensayo debe ser de al menos diez veces la

profundidad de la indentación para indentadores cónicos y de quince veces la profundidad

permanente de la indentación para indentadores esféricos.



10

I. 3. 4. Verificación del durómetro

Esto se realiza para verificar que el equipo se encuentre funcionando adecuadamente.

Existen tres métodos para poder realizar dicha verificación: verificación directa, verificación

indirecta y verificación diaria, en cualquiera de los tres métodos se debe de realizar a una

temperatura de 23°C ± 5 °C.

Debe realizarse una verificación indirecta al menos una vez cada 12 meses y después de que

se haya realizado una verificación directa.

a. Verificación Directa

Es un proceso de comprobar que los componentes críticos de la máquina de prueba de dureza

están dentro de las tolerancias permitidas por la verificación directa, estos incluyen los aspectos

siguientes: calibración de la fuerza de ensayo, verificación del indentador, calibración del

dispositivo de medición de profundidad y verificación del ciclo de ensayo. [4]

b. Verificación Indirecta

La máquina de ensayo se debe verificar para cada escala que se vaya a utilizar, para cada

escala se deben utilizar bloques patrón. Se deben elegir los bloques cuyos valores de dureza se

aproximen a los límites del uso previsto. [4]

Sobre cada bloque patrón, se deben distribuir uniformemente cinco indentaciones sobre la

superficie de ensayo. Antes de realizar estas indentaciones, se deben realizar al menos dos

indentaciones preliminares para asegurarse de que la máquina trabaja libremente y que el

bloque patrón, el indentador y el apoyo están correctamente asentados. Los resultados de estas

se deben de ignorar.

c. Verificación Diaria

La verificación diaria es un proceso para supervisar el rendimiento de la máquina. Esta

verificación asegura al operador que el indentador está en buenas condiciones y que la

máquina esté operando correctamente.



11

I. 3. 5. Bloques Patrón

Se deben usar periódicamente los bloques patrón para verificar la máquina de prueba. El

bloque de prueba debe ser de un material uniforme, suficientemente gruesos para estar libre del

"efecto del soporte" con ambas superficies tersas y con una área de prueba no mayor de 26

cm2. Debe contar con un acabado superficial razonablemente fino, la altura promedio entre la

línea del centro y la rugosidad superficial debe ser como máximo de 0.0003mm y debe además

inspeccionarse con el fin de constatar que está libre de defectos mayores en la superficie o

imperfecciones que puedan afectar las lecturas de dureza.[3]

Se recomienda que los bloques patrón tengan un espesor comprendido entre 6 mm y 16 mm.

Para minimizar el efecto del cambio de dureza al incrementarse el número de indentaciones.

I. 4. Límites de Control

Los límites de control son especificaciones, tolerancias o deseos para el proceso. Éstos se

calculan a partir de la variación del estadístico (dato W) que se representan en la carta. De esta

forma, la clave está en establecer los límites para cubrir cierto porcentaje de la variación natural

del proceso, pero se debe tener cuidado para que tal porcentaje sea el adecuado, ya que si es

demasiado alto (99.9999%) los límites serán muy amplios y será muy difícil detectar los

cambios en el proceso; mientras que si el porcentaje es pequeño, los límites serán demasiado

estrechos, con lo que se incrementa el error, es decir, que se detectan cambios, cuando en

realidad no existen.

Para calcular los límites de control se debe proceder de forma que, bajo condiciones de control

estadístico, los datos que se grafican en la carta tengan alta probabilidad de caer dentro del

rango de los límites. Por lo que una forma de proceder es encontrar la distribución de

probabilidades de variables, estimar sus parámetros y ubicar los límites de una forma que un

alto porcentaje (99.73%) de la distribución estén en ellos. Esta forma de proceder se conoce

como límites de probabilidad.

Una forma más sencilla y usual, es obtener a partir de la relación entre la media y la desviación

estándar de W, que para el caso que W se distribuye normal con la media µ y la desviación

estándar y bajo condiciones de control estadístico, se tiene que -3 y +3 se

encuentran el 99.73% de los posibles valores de W.



12

Ejemplo, sea W el estadístico que se va a graficar en la carta (figura 3) y supongamos que su

media es y su desviación estándar , entonces el límite de control inferior (LCI), la línea

central y el límite de control superior (LCS) están dados por:

Límite de Control Superior = LCS = +3

Línea central = LC =

Límite de Control Inferior = LCI= – 3

Figura 3. Representación de los Límites.

Donde:

= Media de Datos

= Desviación Estándar de datos

Con estos límites y bajo condiciones de control estadístico se tendrá alta probabilidad de que

los valores de W estén dentro de ellos. Este tipo de cartas de control fueron originalmente

propuestas por el doctor Walter A. Shewhart, por lo que se les conoce como cartas de control

tipo Shewhart. [6]

Existen dos tipos generales de cartas de control: para variables y para atributos. Las cartas de

control para variables se aplican a características de calidad tipo continuo, que intuitivamente



13

son aquellas que requieren un instrumento de medición (en nuestro caso particular, mediciones

de dureza). Las cartas para variables tipo Shewhart más usuales son:

(de promedios)

R (de rangos)

S (de desviaciones estándar)

X (de medidas individuales)

Estas formas distintas de llamarles a una carta de control se debe al tipo estadístico que se

gráfica: promedio, rango, etc., por medio de la cual se tratará de analizar una característica

importante de un producto o un proceso.

I. 4. 1. Carta de Control ( -R)

Shewhart observó a través de la experimentación que cuando tomaba muestras del mismo

tamaño a partir de una población sin cambios (proceso estable), los promedios de esas

muestras variaron de acuerdo a una distribución normal. [6]

Existen muchos procesos industriales que pueden decirse que son de tipo “masivo”, en el

sentido de que producen muchos artículos, partes o componentes durante un lapso pequeño.

Algunos de estos procesos harán miles de operaciones por día, mientras que otros efectuarán

varias decenas o centenas. En ambos casos estaremos en un proceso masivo. Si además las

variables de salida de estos procesos son de tipo continuo, entonces estamos ante el campo

ideal de aplicación de las cartas de control -R.

Datos que se requieren para una carta de promedios y rangos (X y R)

Los puntos graficados sobre una carta X y R son tomados a partir de medidas individuales de un

proceso. Estas mediciones son agrupadas como subgrupos, son los promedios y los rangos de

estos subgrupos lo que se utilizan para construir la gráfica de control. La manera en que son

recolectados los datos iníciales y son agrupados es muy importante.

Tamaño del subgrupo – El tamaño de cada subgrupo debe ser de por lo menos dos y puede ser

tan grande como doce. El tamaño real del subgrupo es una decisión de gestión y será una

función de la velocidad de producción, inspección, tiempo, etc.



14

En primer lugar, el trabajo de Shewhart sugiere que el tamaño de un subgrupo de cuatro o más

tienden a producir promedios que son probablemente distribuidos normalmente. Por lo tanto el

tamaño del subgrupo que se recomienda es de cuatro o cinco. En segundo lugar, para

minimizar la posibilidad de variaciones especiales que ocurran dentro de un subgrupo, una

muestra individual que compone el subgrupo debe seleccionarse en periodos cortos de tiempo,

producidos consecutivamente si es posible.

I. 4. 1a. Límites de Control Carta de Promedios

Los límites de control de las cartas de tipo Shewhart están determinadas por la media y la

desviación estándar del estadístico W (datos) que se grafica en la carta, mediante la expresión

± 3 . En el caso de la carta el estadístico W que se grafica es la media de las muestras

, por lo que los límites están determinados por:

± 3 …………………..[1]

Donde:

= Media de las Medias

= La desviación estándar de las medias

Que en un estudio inicial se estiman de la siguiente manera:

= y =

Donde:

= Media de las medias de los subgrupos

= Desviación estándar del proceso y es el que indica que tan variables son las medidas

individuales

n= Tamaño del subgrupo



15

Como por lo general en un estudio inicial se conoce este puede eliminarse de varias maneras.

Directamente a través de la desviación estándar S, de un población de las muestras tomadas

en las mediciones. Sin embargo, hacerlo de esta forma incluirá la variabilidad entre las

muestras y dentro de las muestras ( de largo plazo) y para la carta es más apropiado solo

incluir la variabilidad dentro de las muestras y que se utiliza cuando el tamaño de subgrupo es

menor de diez, consiste en estimar mediante la media de los rangos , de la siguiente

manera.

………………..[2]

Donde es una constante que depende del tamaño de subgrupo o muestra, posteriormente se

presenta la tabla 4 con varios valores de para distintos valores de n.

Esta constante es la media del rango relativo, = , que es una variable que establece la

relación entre el rango de una muestra de distribución normal, y la desviación estándar de la

misma, de esta manera:

3 =3 = = …………………….[3]

Es una estimación de 3 veces la desviación estándar de las medias, que se ha simplificado al

sustituir por la constante , que esta tabulada en la tabla 4 y que depende del tamaño de

subgrupo n. Con base a lo anterior, los límites de control para una carta , es un estudio inicial,

se obtiene de la siguiente manera:

= + ………………..[4]

Línea central=

= ………………..[5]



16

I. 4. 1b. Límites de control carta de Rangos R

Con esta carta se detectan cambios en la amplitud de la variación del proceso, y sus límites se

determinaran a partir de la media y la desviación estándar de los rangos de los subgrupos, ya

que en este caso es el estadístico W que se grafica en la carta R. Por ello los límites se

obtienen con la expresión:

±3 ………………..[6]

Donde significa la media de los rangos y la desviación estándar de los rangos, que en un

estudio inicial se estima de la siguiente manera:

= = ………………..[7]

Donde es la media de los rangos de los subgrupos, la desviación estándar del proceso,

es una constante que depende del tamaño de subgrupo, que se encuentran los valores en la

tabla 4.

Esta constante es la desviación estándar del rango relativo, = .

Como por lo general en un estudio inicial no se conoce , esta puede estimarse a través de

, como se explica en la ecuación 2. En forma explícita los límites de control para la carta R

se calculan con: [9]

= + 3 = 1 + 3 = ………………..[8]

Línea central =

= 3 = 1 3 = ……………….. [9]



17

En la tabla 4, se muestran los factores para las cartas de control de promedios y rangos.

Tabla 4. Factores para la Construcción de las Cartas de Control.

Tamaño de Muestra (n)

Carta Carta R

2 1.880 0.853 0 3.2686

3 1.023 0.888 0 2.5735

4 0.729 0.880 0 2.2882

5 0.577 0.864 0 2.1144

6 0.483 0.848 0 2.0039

7 0.419 0.833 0.0758 1.9242

8 0.373 0.820 0.1359 1.8641

9 0.337 0.808 0.1838 1.8162

10 0.308 0.797 0.2232 1.7768

I. 4. 2. Precisión y Exactitud

La precisión y la exactitud son dos manifestaciones de la variabilidad en cualquier proceso de

medición. La precisión es la variación que presentan los resultados al medir varias veces una

misma magnitud o mensurando con un mismo equipo y está relacionada con la repetibilidad y la

reproducibilidad.

La repetibilidad es la proximidad de la concordancia entre los resultados de las mediciones

sucesivas del mismo mensurando, sin variar las condiciones. Cuando se varían estas

condiciones, entonces estamos hablando de reproducibilidad.

La exactitud se refiere al desfase o desplazamiento que tiene el resultado de una medición en

relación al valor verdadero del mensurando, la exactitud se estima mediante la diferencia entre

la medida observada ( ) y el valor verdadero (N) del mensurando.

Es más fácil entender lo que es precisión y exactitud a partir de la figura 4, en la cual el objeto o

patrón a medir es el centro y los puntos son los resultados observados en el procesos de

medición, y en la figura 5 se muestra la curva normal que representa el proceso de medición y

se debe apreciar la dispersión y que tan desfasado esta con respecto al valor verdadero (N).



18

En el inciso a), se trata de un tirador impreciso, ya que sus disparos o mediciones están

dispersas y tampoco es exacto porque en promedio sus disparos están desfasados respecto al

centro. El proceso b) tiene una exactitud adecuada, porque en promedio le pega al centro valor

nominal (N), pero es impreciso porque sus disparos son demasiados dispersión. En el inciso c)

los disparos tiene buena precisión (poca variabilidad), pero su exactitud es mala (están

desfasados del centro), y en el último inciso d) tiene un proceso de medición que es preciso y

exacto, ya que en promedio le pega a la magnitud verdadera (el centro con poca variabilidad).

Lo más deseable es que el proceso de medición sea preciso y exacto (caso d), es decir, que

cuando mida el mismo objeto arroje resultados similares (poca dispersión) y que el promedio de

dichos resultados sea la magnitud verdadera del objeto. [9]

Figura4. Representación Gráfica de Precisión y Exactitud.

Figura 5. Curva de Precisión y Exactitud.



19

I. 5. Error e Incertidumbre

En general, todo procedimiento de medición tiene imperfecciones que dan lugar a un error en el

resultado de la medición, lo que provoca que el resultado sea sólo una aproximación o estimado

del valor del mensurando.

Es importante distinguir entre error e incertidumbre. El error es definido como la diferencia entre

el resultado individual de una medición y el valor verdadero del mensurando. Es decir, el error

es simple un valor. En principio el valor de un error conocido puede ser aplicado como una

corrección al resultado de una medición. [9]

El valor verdadero del mensurando es aquel que caracteriza idealmente al resultado de la

medición, o sea, el que resultaría de una medición “perfecta”.

El error es un concepto idealizado y los errores no pueden ser conocidos exactamente.

La incertidumbre por otro lado, toma la forma de un intervalo, y, si es estimada para un

procedimiento de medición, puede aplicarse a todas las determinaciones descritas en dicho

procedimiento. En general, el valor de incertidumbre no puede utilizarse para corregir el

resultado de una medición.

Para ilustrar la diferencia, el resultado de una medición después de la corrección puede estar

muy cercano al valor verdadero del mensurando, y por lo tanto tener un error despreciable. Sin

embargo, la incertidumbre puede ser todavía muy grande, simplemente porque la persona que

ejecuta la medición está muy insegura de cuan cercano está el resultado del valor del

mensurando.

La incertidumbre del resultado de una medición nunca debe ser interpretada como la propia

representación de error ni como el error remanente después de la corrección.

En general, una medición tiene imperfecciones que dan origen a un error en el resultado de la

medición. Se considerado que un error tiene dos componentes, una sistemática y una aleatoria.



20

El error aleatorio normalmente se origina de variaciones impredecibles de magnitudes

influyentes. Estos efectos aleatorios dan origen a variaciones en observaciones repetidas del

mensurando. El error aleatorio del resultado de una medición no puede ser compensado por el

incremento del número de mediciones, pero este puede ser normalmente disminuido por tal

incremento.

El error sistemático es definido como la componente de error la cual en el curso de un número

de mediciones del mismo mensurando, permanece constante o varía de una forma predecible.

Este es independiente del número de mediciones llevadas a cabo y no puede por lo tanto ser

disminuido por el incremento del número de mediciones bajo condiciones constantes de

medición.

Los errores sistemáticos constantes, tal como la inexactitud en la calibración en múltiples

puntos de un instrumento, son constantes para un nivel dado del valor del mensurando pero

pueden variar con el nivel del valor medido.

Los efectos que cambian sistemáticamente es la magnitud durante una serie de mediciones,

causados. Por ejemplo, por el inadecuado control de las condiciones experimentales dando

origen a errores sistemáticos que no son constantes.

El resultado de una medición debe ser corregido para todos los efectos sistemáticos

significativos reconocidos.

La corrección, es un valor agregado algebraicamente al resultado corregido de una medición,

para compensar el error sistemático.

El factor numérico por el cual se multiplica el resultado no corregido de una medición para

compensar el error sistemático se denomina factor de corrección.

Los instrumentos y sistemas de medición son frecuentemente ajustados o calibrados utilizando

patrones de medición y materiales de referencia para corregir efectos sistemáticos. Las

incertidumbres asociadas con estos patrones y materiales de referencia y la incertidumbre de la

corrección tienen que ser tomados en cuenta.



21

I. 5. 1. Errores de Medición

I. 5. 1. 1. Errores Instrumentales

La primera fuente de error es la propia limitación de los instrumentos de medición que

utilizamos, las cuales podemos considerarlos de dos tipos fundamentales:

a. Los errores que se determinan en el proceso de calibración del instrumento, los cuales

son debidos al propio diseño estructural del instrumento de medición, a las propiedades

de los metales que lo componen, a imperfecciones en la tecnología de su fabricación y

al envejecimiento de sus partes componentes durante el proceso de su explotación. De

hecho, todo instrumento de medición debe ser calibrado periódicamente, ya que de otra

forma no se puede asegurar si las lecturas proporcionadas son o no correctas.

b. Errores que surgen a consecuencia de la influencia del instrumento de medición sobre

las propiedades del objeto o fenómeno que se mide. Tales situaciones surgen, por

ejemplo, al medir la longitud cuando el esfuerzo de medición del instrumento utilizado es

demasiado grande, al registrar procesos que ocurren con rapidez con equipos que

funcionan insuficientemente rápido; al medir la temperatura con termómetros de líquido,

etc. Aunque la calidad de un instrumento está relacionada con los errores que produce,

éstos también dependen de la forma en que sean utilizados. Por tanto, se recomienda

conocer lo mejor posible las características de un instrumento antes de utilizarlos.

I. 5. 1. 2. Errores de Método

Los errores de método, también denominados errores técnicos, son los debidos a la

imperfección del método de medición. Entre estos podemos señalar los siguientes:

a) Errores que son la consecuencia de ciertas aproximaciones al aplicar el principio de

medición y considerar que se cumple una ley física determinada o al utilizar

determinadas relaciones empíricas.

b) Errores del método que surgen al extrapolar la propiedad que se mide en una parte

limitada del objeto de medición al objeto completo, si este no posee homogeneidad de

las propiedades de medida.



22

I. 5. 1. 3. Errores Debidos Agentes Externos

Los agentes externos que actúan en el proceso de medición se pueden clasificar en dos grupos:

Factores ambientales. Tanto la magnitud a medir como la respuesta de los instrumentos de

medición, dependen en mayor o menor grado de las condiciones ambientales en que el proceso

se lleva a cabo. Como variables ambientales citaremos la temperatura, la humedad y la presión,

la primera es sin duda la más significativa. Es necesario considerar además el nivel de

iluminación, la contaminación del ambiente, el nivel de polvo, etc.

Presencia de señales o elementos parásitos. Los elementos parásitos que generalmente se

presentan al efectuar una medición, pueden ser de dos tipos:

a. Los que inciden sobre la medición de forma errática, perturbando las condiciones de

equilibrio del sistema de medición y disminuyendo su exactitud. Por ejemplo, vibraciones

mecánicas, corrientes de aire, zumbidos de la red eléctrica y señales de radiofrecuencia.

b. Agentes físicos de igual naturaleza que la magnitud a medir que se hallan presentes de

modo prácticamente constante. Por ejemplo, campos electrostáticos magnetos taticos

(como puede ser el campo magnético terrestre), fuerzas electromotrices termoeléctricas

o de contacto presentes en una instalación de medición, etc.

I. 5. 1. 4. Errores Debidos al Observador

Entre los errores debido al observador podemos señalar:

a. Errores de paralaje o de interpolación visual al leer en la escala de un instrumento.

b. Errores debido a un manejo equivocado del instrumento.

c. Omisión de operaciones previas o durante la medición, como puede ser un ajuste a

cero, tiempo mínimo de precalentamiento, etc.

I. 5. 1. 5. Errores Matemáticos

Frecuentemente, con los datos de las mediciones es necesario realizar determinados cálculos

para obtener el resultado final; por lo tanto, otra fuente de error son los errores matemáticos que

se comenten al emplear las fórmulas inadecuadas, redondear las cantidades, etc.



23

I. 5. 2. El concepto de Incertidumbre

La palabra incertidumbre significa duda, por lo tanto, en un sentido más amplio “incertidumbre

de medición” significa duda en la validez del resultado de una medición. Dicho en otras

palabras, la incertidumbre del resultado de una medición refleja la falta del conocimiento exacto

del valor del mensurando. [7]

La incertidumbre de la medición es una forma de expresar el hecho de que, para un

mensurando y su resultado de medición, no hay un solo valor, sino un número infinito de valores

dispersos alrededor del resultado, que son consistentes con todas las observaciones y

conocimientos que se tengan del mundo físico, y que con distintos grados de credibilidad

pueden ser atribuidos al mensurando.

Siempre que se realiza una medición inevitablemente se cometen errores debido a muchas

causas, algunas pueden ser controladas y otras son incontrolables o inclusive desconocidas.

Por lo tanto, para realizar medidas con calidad y obtener resultados confiables es necesario que

la persona que realiza la medición tenga el conocimiento, la técnica y la disciplina necesaria.

La mayoría de las mediciones son realizadas con instrumentos sujetos a verificación periódica.

Si se conoce que estos instrumentos están en conformidad con los errores máximos permisibles

establecidos en su especificación o en documentos normativos aplicados y que las diferentes

fuentes de incertidumbre que interviene en el proceso de medición pueden ser cuantificadas y

minimizadas, la incertidumbre asociada con el resultado de la medición puede ser calculada.

En general el uso de la palabra incertidumbre se relaciona con el concepto de duda. La palabra

incertidumbre sin adjetivos se refiere a un parámetro asociado con la definición anterior o al

conocimiento limitado a cerca de un valor particular. La incertidumbre de la medición no implica

duda acerca de la validez de un mensurando; por lo contrario, el conocimiento de la

incertidumbre implica el incremento de la confianza en la validez del resultado de una medición.



24

I. 5. 3. Sistemática para Calcular la Incertidumbre

La figura 6 muestra el proceso para la obtención de la incertidumbre de medición.

Figura 6. Proceso para la estimación de la Incertidumbre.

Primer Paso

Segundo Paso

Tercer Paso

Cuarto Paso



25

I. 5. 3. 1. Especificación del Mensurando

Escribir un enunciado claro de que es medido, incluyendo la relación entre el mensurando y las

magnitudes de entrada sobre las cuales esta depende (por ejemplo magnitudes medidas,

constantes, valores de patrones de calibración, etc).

El propósito de una medición es determinar el valor de una magnitud, llamado mensurando. El

mensurando es la magnitud particular que se va a medir.

La definición del mensurando es vital para obtener buenos resultados de la medición. Toda

medición lleva implícita una incertidumbre y es un parámetro que caracteriza la dispersión de

los valores que pueden ser atribuidos razonablemente al mensurando.

Un modelo físico consiste en el conjunto de suposiciones sobre el propio mensurando. Una

medición física, por simple que sea, tiene asociado un modelo que sólo aproxima el proceso

real.

Un modelo matemático de medición es la relación entre las magnitudes de entrada , ,.., ,

y el mensurando Y como la magnitud de salida, la cual se representa con la siguiente función:

= ( ) = ( , ,…, )………………..[10]

Las magnitudes de entrada , ,…, de las cuales depende la magnitud de salida Y, pueden

visualizarse a la vez como mensurando y depender de otras magnitudes, incluyendo

correcciones y factores de corrección para efectos sistemáticos, todo ello dando lugar a una

complicada relación funcional f que pudiera nunca expresarse explícitamente. La función f debe

interpretarse como aquella función que contiene cada magnitud, incluyendo todas las

correcciones y factores de corrección. [7]

El conjunto de las magnitudes de entrada , ,…, pueden dividirse en las siguientes

categorías:

Magnitudes cuyos valores e incertidumbre se determinan directamente en la presente

medición. Estos valores e incertidumbre pueden obtenerse, por ejemplo, de una sola

observación, observaciones repetidas o por juicio basado en la experiencia, y puede



26

involucrar la determinación de correcciones en las lecturas del instrumento y

correcciones debidas a la presencia de magnitudes cuya influencia deba tomarse en

cuenta, tales como la temperatura ambiental, la presión barométrica y la humedad.

Magnitudes cuyos valores e incertidumbre se incorporan a la medición y que proviene de

fuentes externas, tales como magnitudes asociadas con patrones de medición

calibrados, materiales de referencia certificados y datos de referencia obtenidos de

manuales. [7]

Un estimado del mensurando Y denotado como y se obtiene de la ecuación [10] usando los

estimados de las magnitudes de entrada , ,…, para los valores de las N magnitudes ,

,…, . Por lo tanto, el estimado de la magnitud resultante y, que es el resultado de la

medición, está dado por:

= ( , , … )…………………[11]

I. 5. 3. 2. Fuentes de Incertidumbre

Se debe realizar una lista de todas las fuentes relevantes de incertidumbre. Es conveniente

comenzar con el análisis del modelo matemático utilizado para calcular el valor del mensurando.

Todos los parámetros utilizados pueden tener una incertidumbre asociada con sus valores.

El diagrama causa y efecto es una forma muy conveniente de listar las fuentes de

incertidumbre, mostrando cómo se relaciona cada una e indicando su influencia en la

incertidumbre del resultado.

En la práctica, existen muchas fuentes posibles de ocasionar la incertidumbre en una medición,

a continuación se mencionas unas de tantas:

a. Definición incompleta del mensurando.

b. Realización imperfecta de la definición del mensurando.

c. Muestreos no representativos – la muestra medida puede no representar el mensurando

definido.

d. Conocimiento inadecuado de los efectos de las condiciones ambientales, sobre las

mediciones, o mediciones imperfectas de dichas condiciones ambientales.

e. Errores de apreciación del operador en la lectura de instrumentos analógicos.



27

f. Resolución finita del instrumento.

g. Valores inexactos de patrones de medición y de materiales de referencia.

h. Valores inexactos de constantes y otros parámetros obtenidos de fuentes externas y

usadas en algoritmos de reducción de datos.

i. Aproximaciones y suposiciones incorporadas en los métodos y procedimientos de

medición.

j. Variaciones en observaciones repetidas del mensurando bajo condiciones

aparentemente iguales.

Estas fuentes no son necesariamente independientes, y algunas fuentes desde la a. hasta la i.

pueden contribuir a la fuente j.

I. 5. 3. 3. Evaluación de la Incertidumbre Estándar

Una vez que se tienen identificadas las fuentes de incertidumbre es necesario evaluar las

incertidumbre originada de cada fuente individual, para luego obtener la incertidumbre

combinada.

La incertidumbre estándar es la incertidumbre del resultado expresada como una desviación

estándar y se denota por ( ). [4]

La recomendaciones INC-1 (1980) del grupo de trabajo para la expresión de incertidumbres

agrupa a los componentes en dos categorías: Tipo A y Tipo B.

Evaluación de incertidumbre tipo A. método para evaluar la incertidumbre mediante un

análisis estadístico de una serie de mediciones.

Evaluación de incertidumbre tipo B. método para evaluar la incertidumbre por otro medio

que no sea el análisis estadístico de una serie de mediciones.

El propósito de clasificar tipo A y B es para indicar las dos diferentes maneras de evaluar los

componentes de incertidumbre y es por conveniencia de discusión solamente; la clasificación

no significa que exista alguna diferencia en la naturaleza de los componentes que resulten de

cada uno de los tipos de evaluación. Ambos tipos de evaluación están basados en distribución

de probabilidad, y los componentes de incertidumbre resultantes de cualquier tipo son

cuantificados por varianzas y desviaciones estándar.



28

I. 5. 3. 3a. Incertidumbre Estándar Evaluación Tipo A

La incertidumbre de una magnitud de entrada obtenida a partir de observaciones repetidas

bajo condiciones de repetibilidad, se estima con base de la dispersión de los resultados de

mediciones individuales.

Si se determina por n mediciones independientes, resultando en valores q1,q2,..,qn, el mejor

estimado de es la media de los resultados, como se observa a continuación:

= = ………………..[12]

La dispersión de los resultados de la medición q1,q2,..qn para las magnitudes de entrada Xi se

expresa por su desviación estándar experimental ( ):

( ) =( )

…………….[13]

La incertidumbre estándar u(x1) de X1 se obtiene finalmente mediante el cálculo de la desviación

estándar experimental de la media:

( ) = ( ) =( )

( )…………….[14]

Existen casos prácticos donde un efecto aleatorio puede producir una fluctuación en la

indicación de un instrumento que puede ser significativa en términos de incertidumbre. Esta no

es una situación común, pero se estima la incertidumbre estándar asumiendo que las

observaciones se distribuyen uniformemente en los límites del recorrido. Es decir:

( ) = ……………[15]

Donde y son las indicaciones máxima y mínima obtenidas con el instrumento de

medición.

Para un método bien caracterizado y bajo condiciones controladas, es razonable suponer que la

distribución de los q1 no cambia, o se mantiene prácticamente igual para mediciones razonables



29

en diferentes días, por diferentes personas, etc., es decir la medición está bajo control

estadístico. En este caso es más confiable determinar a partir de la desviación estándar sp:

( ) = ( ) = ……………[16]

Existen otros métodos estadísticos para evaluar la incertidumbre de tipo A que se aplican en

ciertas clases de mediciones, por ejemplo, análisis de varianza, estudios de reproducibilidad,

regresión lineal (método de los mínimos cuadrados), entre otros.

I. 5. 3. 3b. Incertidumbre Estándar Evaluación Tipo B

Una evaluación tipo B de la incertidumbre estándar se realiza cuando no se dispone de

información, sobre la posible variabilidad de la magnitud para realizar un análisis estadístico.

En tal caso la incertidumbre estándar ( ) se evalúa mediante juicios y criterios científicos,

basados en toda la información disponible sobre la variabilidad de .

Las fuentes de información pueden ser:

Certificados de calibración.

Manuales de los instrumentos de medición.

Normas o literatura.

Valores de mediciones anteriores.

Conocimiento sobre las características o el comportamiento del sistema de medición.

Al evaluar las componentes individuales de incertidumbre en un proceso de medición se

consideran, al menos, las siguientes posibles fuentes:

Incertidumbre reportada en los certificados de calibración de los instrumentos patrones y

cualquier deriva o inestabilidad en sus valores o lecturas.

Los equipos de medición; por ejemplo, su resolución, histéresis e inestabilidad durante la

realización de las mediciones.

El efecto de las condiciones ambientales.

El método y procedimiento de medición.



30

Los equipos auxiliares, como la línea de conexión, fuentes de alimentación, baños

termostáticos, etc., y cualquier inestabilidad en sus valores o lecturas.

Distribución normal:

Los resultados de una medición, repetida afectada por una o más magnitudes de influencia que

varían aleatoriamente, generalmente siguen una aproximación de distribución normal. También

la incertidumbre indicada en certificados de calibración se refiere generalmente a una

distribución normal.

La incertidumbre asignada a no necesariamente está dada como un múltiplo de una

desviación estándar. Puede encontrarse como un intervalo de nivel de confianza de (90, 95 y 99

%). Se asume que es una distribución normal y se obtiene la incertidumbre estándar:

( ) = ………………..[17]

Figura 7. Distribución Normal.

Los resultados de una medición repetida afectada por una o más magnitudes de influencia que

varían aleatoriamente, generalmente siguen en una buena aproximación una distribución

normal.

Distribución rectangular:

Puede que solo sea posible estimar sólo los límites (superior e inferior) para en particular

para establecer que la probabilidad que el valor de este dentro del intervalo de [a-: a+] para



31

todos los propósitos prácticos es igual a uno y la probabilidad de que caiga fuera de ese

intervalo es esencialmente cero.

( ) =( )

………………..[18]

Si la diferencia entre los límites a+ y a- se denota por 2a, entonces la incertidumbre estándar tipo

B de se evalúa como:

( ) = …………………[19]

La fórmula [19] se utiliza generalmente cuando se analizan componentes individuales de

incertidumbre tales como:

El error de un instrumento de medición el cual se supone que está comprendido dentro

de los límites del error máximo permisible (±EMP).

La resolución (R) de un instrumento digital o la apreciación de las lecturas con un

instrumento analógico.

La histéresis (H) de las indicaciones de un instrumento de medición.

En estos casos se sustituye a, en la fórmula [19] por EMP; R/2; A/2; H/2 según corresponda.

Figura 8. Distribución Rectangular.

Distribución triangular:

Como en una distribución rectangular para una magnitud de entrada , que tiene una

distribución triangular con los límites , el mejor estimado para el valor de , está dado

por:



32

= ………………..[20]

La incertidumbre estándar se calcula en este caso por:

( ) = =/

……………….[21]

Figura 9. Distribución Triangular.

Utilización de la información disponible sobre el instrumento de medición:

En las mediciones una de las componentes que más pesa en la incertidumbre estándar

combinada es la que aporta el propio instrumento de medición. La información para cuantificar

su valor debe buscarse en el certificado de calibración, en las especificaciones técnicas dadas

por el fabricante, etc.

Durante la ejecución de las mediciones se nos pueden presentar dos casos:

a. Se cuenta con la información que aporta el certificado de calibración del instrumento:

La incertidumbre estándar de la corrección se calcula como:

( ) = ………………..[22]

b. Cuando no se utiliza la información que aporta en el certificado de calibración y sólo se

establece que el instrumento se encuentra calibrado. En este caso el modelo

matemático se expresa como:

= ……………[23]



33

Donde es la indicación del instrumento. En dicho modelo matemático una de las

fuentes de incertidumbre es la asociada al error máximo permisible del instrumento.

I. 5. 3. 4. Evaluación de la Incertidumbre Estándar Combinada

Es la incertidumbre estándar del resultado de una medición cuando el resultado se obtiene a

partir de otras magnitudes, es iguales a la raíz cuadrada positiva de una suma de términos,

siendo estos términos la varianza y las covarianzas de estas otras magnitudes ponderadas de

acuerdo a cómo el resultado de la medición varía con respecto a cambio en estas magnitudes.[7]

La incertidumbre estándar combinada se determina mediante:

( ) = ( ) + 2 + ( , )………….[25]

Donde:

( , … ): Es una función de varias magnitudes de entrada ( , … )

. . . . : Son los coeficientes de sensibilidad evaluados como = y =

Es decir son las derivadas parciales de y respecto a

La ecuación [25] es la fórmula de la propagación de incertidumbre en su forma más completa,

cuando las magnitudes de entrada estas correlacionadas.

Si no existe una correlación cuando todas las magnitudes de entrada son independientes.

La incertidumbre estándar combinada para magnitudes no correlacionadas está dada por:

( ) = ( )………………..[26]

Cuando el conocimiento que tenemos en el proceso de medición nos lleva a pensar que todas

las magnitudes estas correlacionadas al máximo entonces la incertidumbre combinada se

calcula así:

( ) = ( )…………….[27]



34

I. 5. 3. 5. Incertidumbre expandida

Aunque la incertidumbre combinada puede usarse universalmente para expresar la

incertidumbre del resultado de una medición, en algunas aplicaciones, es necesario

proporcionar una medida de la incertidumbre que define un intervalo alrededor del resultado de

la medición que se espera incluya una fracción grande de la distribución de valores que puedan

atribuirse razonablemente al mensurando.

La medida adicional de la incertidumbre que cumple con el requisito de definir un intervalo, se

llama incertidumbre expandida y se denota por el símbolo U. La incertidumbre expandida U se

obtiene al multiplicar la incertidumbre estándar combinada ( ) por un factor de cobertura K:

= ( )………………….[28]

El resultado de una medición se expresa entonces, convenientemente, como = ± , que se

interpreta diciendo que el intervalo va de + por lo cual abarque una fracción

importante de la distribución de los valores que pueden atribuirse razonablemente a Y. tal

intervalo también se puede expresar como + .

El factor de cobertura K es utilizado como multiplicador de la incertidumbre estándar con el

propósito de obtener una incertidumbre expandida, tiene valores que se encuentran

comúnmente de 2 a 3 y la elección está basada en el nivel de confianza requerido para el

intervalo de + .

Para un nivel de confianza aproximado de 95% K es igual 2 y para 99% K es igual 3.

Específicamente, se debe interpretar U como el valor que define un intervalo alrededor del

resultado de la medición que abarca una fracción grande de p de la distribución de probabilidad

caracterizada por ese resultado y también por su incertidumbre entandar combinada, y p es la

probabilidad de cobertura o nivel de confianza del intervalo.

Cuando sea posible el nivel de confianza p asociado con el intervalo definido por U deberá

estimarse y declararse.



35

II. DESARROLLO EXPERIMENTAL

II. 1. Principio de Medición

El procedimiento del ensayo se realiza de acuerdo a la Norma ASTM E-18 08 “Norma de

Ensayos de Dureza Rockwell y Rockwell Superficial para materiales metálicos”. [3]

II. 2. Equipo y Material Utilizados

Durómetro Wilson 3TTBRB.

Indentador Cono de Diamante.

Indentador Esférico de Carburo de Tungsteno.

Termómetro.

Cronometro.

Nivel.

Bloques Patrón, ver tabla 5.

Tabla 5. Tipos de Bloques Patrón.

Bloques Patrón

Escala de

DurezaMaterial Dureza de Bloque Patrón

HRC

A 45,6 ± 1

B 33 ± 1

C 25,4 ± 1

HRB

A 91,3 ± 1

B 81 ± 1

C 65,07 ± 1



36

Figura 10. Material y Equipo.

II. 3. Procedimiento del Ensayo de Dureza

1. Colocar el indentador según la escala de dureza a trabajar.

2. Fijar la carga de trabajo 100 kg o 150 kg, según la escala a utilizar.

3. Colocar la probeta, verificar que no ocurra desplazamiento.

4. Poner en contacto el indentador con la superficie de la probeta y aplicar la precarga F0

en dirección perpendicular a la superficie, evitar vibraciones, la duración de la aplicación

de la fuerza preliminar de ensayo F0 no debe exceder de 3 s.

5. Establecer la posición de referencia y aplicar la fuerza F1 para alcanzar la “fuerza total

de la prueba” F en un tiempo mínimo de 1s y máximo de 8s, con lo cual se obtiene la

carga total del ensayo.

6. Se retira la fuerza adicional F1, regresando a la fuerza preliminar. Se mide la

profundidad que es la diferencia “h” de la indentación que ha quedado en la superficie

bajo la fuerza preliminar de ensayo.

Esto se puede entender mejor, tal y como lo explica la figura 11.

7. El número de dureza Rockwell se determina por la diferencia de profundidades de

penetración y es leído directamente en una escala del cero al cien.

8. La distancia desde el centro de una indentación a un borde de la probeta debe ser de al

menos dos veces y medio el diámetro de la indentación, ver figura 11.



37

Figura 11. Profundidad del Indentador.

Donde:

1. Profundidad de la indentación por efecto de la fuerza preliminar F0.

2. Profundidad de la indentación por efecto de la fuerza adicional F1.

3. Recuperación elástica inmediatamente después de eliminar la fuerza adicional F1.

4. Profundidad permanente de la indentación h.

5. Superficie de la probeta.

6. Plano de referencia para la medición.

7. Posición del indentador.

Figura 11. Distancias de Indentaciones.



38

II. 4. Experimentación

II. 4. 1. Pruebas de Control de Calidad

Se realizaron 150 indentaciones para HRC y HRB, en bloques patrón para cada escala de

dureza respectivamente. La metodología utilizada fue la mencionada anteriormente en el

procedimiento de ensayo.

Estas pruebas fueron efectuadas en un solo día, consecutivamente, para poder mantener

controladas las variables del proceso de medición.

La realización de las pruebas de control del proceso se puede entender mejor al observar la

tabla 6.

Tabla 6. Pruebas de control de Calidad.

Pruebas de Control de Calidad

DurezaDureza de

Bloque PatrónNúmero de

IndentacionesGeneración de

Subgrupos

HRC 45,6 ± 1 150 30

HRB 91,3 ± 1 150 30

Una vez que se obtuvieron los subgrupos de cinco datos, se realizó un histograma de

frecuencias, con los 30 subgrupos obtenidos.

A continuación, se realizaron cartas de control de Rangos y Promedios con los subgrupos

obtenidos.

Para la obtención de las cartas de control de Rangos y Promedios se tiene que llevar a cabo el

procedimiento que se menciona a continuación:

1. Se forman subgrupos, para este caso, se tienen 150 mediciones para formar 30

subgrupos de 5 datos cada uno.

2. Se identifican las constantes estadísticas que corresponden con el subgrupo, ver tabla 4

en antecedentes capítulo I. 4. 1b. Las constantes para un subgrupo de 5 datos son:



39

A2 = 0.58 D3 = 0.00 D4 = 2.114

3. Colocar las mediciones en una forma vertical hasta formar los 30 subgrupos.

4. Realizar la suma de cada subgrupo, para obtener la media de cada subgrupo, mediante la

siguiente ecuación.

Se recomienda ver el anexo A, para comprender mejor los conceptos de estadística.

= ………………..[29]

5. Obtener el rango para cada subgrupo, mediante la siguiente ecuación.

= á í ……………….[30]

6. Se obtiene la (media de las treinta mediciones) y el Rango promedio (promedio del

rango de las treinta mediciones).

7. Se emplean las fórmulas para calcular los límites de control para los gráficos de rango (R)

y para los gráficos de promedios ( ), ,mediante las siguientes formulas:

Formulas Estadísticas para Rangos:

( ) = 4 ………………..[31]

( ) = 3 ………………...[32]

Formulas Estadísticas para Promedios:

( ) = + 2 ………………[33]

( ) = 2 ……………….[34]

Donde:

LSC = Límite Superior de Control

LIC = Límite Inferior de Control



40

Se obtiene gráficos de Exactitud y Precisión de los resultados, para poder determinar que

nuestras pruebas se encuentran en control estadístico.

Para la obtención de las cartas de Exactitud se utilizan las siguientes formulas:

V.E. = Valor Esperado

Error = V.E. –

LSCe = Limite Superior de Control = Promedio de error + 3 * Desvest. de errores

LICe = Límite Inferior de Control = Promedio de error - 3 * Desvest. de errores

Para la obtener de las cartas de Precisión se parte de formar seis grupos de nuestros treinta

datos y con la aplicación de las siguientes formulas:

=.

.......................[35]

= …………………..[36]

Donde:

CV’s = Coeficiente de Variación

CVm = Promedio de CV’s

CVde = Desviación Estándar del CV’s

LSCp = Limite Superior de Control de Precisión = CVm + 3CVde

LICp = Límite Inferior de Control de Precisión = CVm - 3CVde



41

II. 4. 2. Procedimiento para la Estimación de la Incertidumbre

Este procedimiento engloba la determinación de incertidumbre para la prueba de dureza

Rockwell en escala B y C.

Desarrollo para obtener la Incertidumbre:

1. Conocer, definir él mensurando y su proceso de medición. Para este proceso el

mensurando es:

Valor de Dureza Rockwell B y C.

Equipo a utilizar.

Durómetro Wilson 3TTBRB.

PC Hoja de cálculo de Microsoft Office Excel.

2. Establecer las variables que están involucradas en el proceso de medición. Esto

significa que se deben definir cuáles son las variables independientes que pueden

afectar al resultado de la medición.

Las fuentes de incertidumbre, relevantes para el ensayo se mostraran en un diagrama

de causa – efecto, también conocido como diagrama Ishikawa. [10]

Fuentes de Incertidumbre:

No Uniformidad

Resolución del Equipo

Calibración del Equipo

Repetibilidad del método

3. Establecer las fuentes de incertidumbre, empleando la ley de la expansión de la

incertidumbre.

= U2nouniformidad + U2res + U2calib + U2rep……………[37]



42

Donde:

U no uniformidad = Incertidumbre asociada a la falta de uniformidad del material.

U res = Incertidumbre debida a la resolución del equipo.

U calib = Incertidumbre debida a la calibración del equipo.

U rep = Incertidumbre asociada a la repetibilidad del método.

4. Calculo de la incertidumbre estándar de cada mensurando de entrada:

Cada uno de estos valores se calcula de la siguiente manera.

No Uniformidad:

U no uniformidad = ……………….[38]

Donde:

= Desviación Estándar para la mediciones de Dureza

n = Número de determinaciones efectuadas

Resolución del Equipo:

Se asume una distribución rectangular donde cada valor proporcionado tiene la

misma probabilidad.

U res = ………………..[39]

Donde:

r = resolución del equipo



43

Calibración:

U calib =

…………………[40]

Donde:

Ucert = Incertidumbre estándar del certificado de calibración

K = Factor de cobertura del informe de calibración

Repetibilidad:

La repetibilidad, se obtuvo realizando 150 indentaciones, para los materiales A, B y C,

ver tabla 7. Esto se realizó para HRC y HRB.

Tabla 7. Condiciones de Repetibilidad

Repetibilidad

Dureza MaterialDureza de

Bloque Patrón

Número de Indentaciones

Número de Subgrupos

HRC

C 25,4 ± 1 150 30

B 33 ± 1 150 30

A 45,6 ± 1 150 30

HRB

C 65,07 ± 1 150 30

B 81 ± 1 150 30

A 91,3 ± 1 150 30

Se obtuvo el promedio de los treinta datos y se grafican contra la desviación estándar,

se realiza una regresión lineal para obtener la ecuación de la recta y se sustituye los

valores en la ecuación para obtener el resultado de la incertidumbre de reproducibilidad.

y = mx + b……………..[41]



44

5. Calculo de la incertidumbre combinada.

= + + +

Sustituyendo en la ecuación [37]:

=n

+r

12+

U cert

k+ (y = mx + b)

6. Obtención de la Incertidumbre expandida.

El factor de cobertura K es utilizado como multiplicador de la incertidumbre estándar con

el propósito de obtener una incertidumbre expandida, tiene valores que se encuentran

comúnmente de 2 a 3 y la elección está basada en el nivel de confianza requerido para

obtener un intervalo.

Finalmente, la incertidumbre expandida, utilizando un factor de cobertura al 95% (k=2),

tendremos:

= ………..………….[42]



45

III. Resultados

Las condiciones de la prueba para la obtención de dureza Rockwell C, son mencionadas en la

tabla 8 y en la figura 13 se observan los bloques patrón con las ciento cincuenta indentaciones

respectivamente.

Tabla 8. Condiciones de pruebas.

Condiciones de Pruebas

CondiciónDatos

HRC HRB

Indentador Diamante Tungsteno

Precarga 10 kgf 10 kgf

Carga Total 150 kgf 100 kgf

Tiempo de Estabilidad 8 s 8 s

Temperatura 27.10 °C 27.50 °C

Figura 13. Materiales Experimentados.



46

III. 1.Histograma de Frecuencia

A partir de treinta subgrupos de cinco valores cada subgrupo, se realizó un histograma de

frecuencias de resultados, con la media de cada subgrupo se grafica la dureza contra la

frecuencia de repetibilidad de cada dureza, ver figura 14 y 14.

Resultados de Dureza Rockwell C

Tabla 9. Resultados de Rockwell C con un material A.

En la figura 14 se muestra el comportamiento de la distribución de los datos experimentales

para la escala de dureza Rockwell C.



47

Figura 14. Distribución de Resultados HRC, Material A.

Resultados de Dureza Rockwell B

Tabla 10. Resultados de Rockwell B con un material A.

0

2

4

6

8

10

12

44, 4 44,6 44,8 45 45,2 45,4 45,6 45,8 46 46,2 46,4 46,6 44,8

Fre

cue

nci

a

Dureza

Distribución de Resultados



48

En la figura 15 se muestra el comportamiento de la distribución de los datos experimentales

para la escala de dureza Rockwell B.

Figura 15. Distribución de Resultados HRB.

III. 2. Resultados de Control de Calidad

III. 2. 1. Resultados de Cartas de Control R

En las cartas de Rangos y Promedios se puede observar, si los resultados obtenidos se

encuentran en control estadístico para la metodología propuesta.

Cartas de Control para Dureza Rockwell C

En la tabla 11, se muestran los resultados para la obtención de las cartas de control de calidad

para dureza Rockwell C donde ya se obtiene el rango, valor máximo y valor mínimo de cada

subgrupo.

0

2

4

6

8

10

12

14

90,2 90,4 90,6 90,8 91 91,2 91,4 91,6 91,8 92 92,2 92,4

Frec

uanc

ia

Dureza

Distribución de Resultados



49

Tabla 11. Resultados para grafica de R de HRC en un Material A.

( ) = 4 = 2.114 1.50 = 3.17 ( ) = 3 = 0.00 1.50 = 0.00

( ) = + 2 = 45.48 + (0.58 1.50) = 46.35

( ) = 2 = 45.48 (0.58 1.50) = 44.61

LSE = 44.60 LIE = 46.60

A partir de los datos calculados, es posible obtener los gráficos de control del proceso. En la

figura 16 se muestra el comportamiento de Rangos donde se grafican los 30 datos contra el

rango de cada subgrupo y en la figura 17 se muestra el de promedios donde se grafican los 30

datos contra el promedio de cada uno.



50

Figura 16. Grafica de Rango (R) de HRC, Material A.

Figura 17. Grafica de Promedio (X) de HRC, Material A.



51

Gráficos exactitud y precisión de HRC.

Estos gráficos de exactitud y precisión nos sirven para demostrar que las pruebas se

encuentran dentro de los límites de control de exactitud y precisión y poder demostrar que el

proceso se encuentra en control estadístico.

Tabla 12 Datos para el gráfico de Exactitud para HRC.

En la figura 18, se muestra la exactitud del procedimiento en la dureza Rockwell C donde se

grafica los treinta datos contra el error de cada uno de ellos.



52

Figura 18. Grafica de Exactitud de HRC, Material A.

En la tabla 13 se muestran los seis subgrupos con cinco datos cada uno de ellos, para la

realización de la gráfica de Precisión en HRC.

Tabla 13 Datos para el gráfico de Precisión para HRC.



53

En la figura 19, se muestran el comportamiento de la precisión, donde se grafican los seis

subgrupos contra el coeficiente de variación de cada subgrupo.

Figura 19. Grafica de Precisión de HRC, Material A.

Cartas de Control para dureza Rockwell B

En la tabla 14, se muestran los resultados para la obtención de las cartas de control de calidad

para dureza Rockwell B, en donde ya se obtuvo el rango, valor máximo y mínimo de cada

subgrupo.



54

Tabla 14. Resultados para grafica de R de HRB en un Material A.

( ) = 4 = 2.114 1.13 = 2.40 ( ) = 3 = 0.00 1.13 = 0.00

( ) = + 2 = 91.13 + (0.58 1.13) = 91,80

( ) = 2 = 91.13 (0.58 1.13) =90,48

LSE = 90.30 LIE = 92.30

A partir de los datos calculados, es posible obtener los gráficos de control del proceso. En la

figura 20 se muestra el comportamiento de Rangos donde se grafican los treinta datos contra el

rango de cada dato y en la figura 21 se muestra la carta de promedios en cual se grafican los

datos contra el promedio de cada dato.



55

Figura 20. Grafica de Rango (R) de HRB, Material A.

Figura 21. Grafica de Promedio (X) de HRB, Material A.



56

Gráficos Exactitud y Precisión de HRB.

Estos gráficos de exactitud y precisión nos sirven para demostrar que las pruebas se

encuentran dentro de los límites de control de exactitud y precisión y poder demostrar que el

proceso es adecuado.

Los gráficos que están a continuación corresponden a la exactitud y precisión de HRB.

Tabla 15 Datos para el gráfico de Exactitud para HRB.

En la figura 22, se muestra la exactitud, donde se grafica datos contra error de cada uno de

ellos en la dureza Rockwell B.



57

Figura 22. Grafica de Exactitud de HRB, Material A.

En la tabla 16 se muestran los seis subgrupos con cinco datos cada uno, esto es para la

realización de la gráfica de Precisión.

Tabla 16 Datos para el gráfico de Precisión para HRB.



58

En la figura 23, se grafica los seis subgrupos contra el coeficiente de variación para obtener el

comportamiento de la precisión de nuestra experimentación.

Figura 23. Grafica de Precisión de HRB, Material A.



59

III. 3. Resultados de Estimación de la Incertidumbre

La hoja de incertidumbre se alimentara con los próximos valores que se muestran en la tabla

17. Estos valores son las primeras diez indentaciones de los datos de control, para cada tipo de

escala.

Tabla 17. Datos para la obtención de la Incertidumbre.

Datos para la Incertidumbre

HRC HRB

Número Dureza Número Dureza

1 44 1 91

2 45 2 91

3 46 3 91

4 46 4 92

5 46 5 91

6 45 6 91

7 45 7 91

8 46 8 92

9 46 9 91

10 46 10 91

Es necesario determinar los aspectos para cada una de las variables determinadas en el

modelo matemático, para lo cual se realizó un diagrama causa- efecto del proceso de medición,

observar la figura 24.



60

Figura 24. Diagrama Causa - Efecto

Fuentes de Incertidumbre:

Uniformidad

Resolución del Equipo

Calibración del Equipo

Repetibilidad del método

Empleando la ley de la propagación de la incertidumbre, ecuación [37]:

= U2nouniformidad + U2res + U2calib + U2rep



61

III. 3. 1. Método para la obtención de la incertidumbre en HRC

Obtención de las diferentes magnitudes de influencia para determinar la incertidumbre en las

pruebas de dureza Rockwell C.

Componente de Incertidumbre provocado por la No Uniformidad. Sustituyendo en la ecuación

[38].

U no uniformidad =0,7071

10 = 0.2236

Componente de Incertidumbre provocado por la Resolución del Equipo. Sustituyendo en la

ecuación [39]:

U res =0,2

12 = 0.0577

Componente de Incertidumbre provocado por la Calibración. Sustituyendo en la ecuación [40]:

U calib =0,51

2= 0.255

Componente de Incertidumbre provocado por la Repetibilidad. Sustituyendo en la ecuación [41]:

= (0.0002 45.5) + 0.233 = 0.324

En la figura 25, se muestra el comportamiento de los tres valores promedios de dureza

Rockwell C vs Desviación Estándar de cada uno de ellos. Para la obtención de la repetibilidad.



62

Figura 25. Regresión Lineal, HRC.

Estimación de la Incertidumbre combinada, sustituyendo los valores de cada incertidumbre

estándar:

= (0.2236)2 + (0.0577)2 + (0.255)2 + (0.324)2 = 0.4725

En la tabla 18, se observa el comportamiento de la contribución de las variables para la

obtención de la Incertidumbre y en la figura 26 se observa gráficamente que variable tiene una

mayor contribución hacía la incertidumbre, en este caso es la repetibilidad; entre tanto la

resolución influye en menor medida.

Tabla 18. Resumen de Resultados de HRC

MagnitudIncertidumbre

EstándarFuente de

DistribuciónIncertidumbre

Combinada

Uniformidad 0.2236 Tipo A

0.4725Resolución 0.0577 Tipo B

Calibración 0.255 Tipo B

Repetibilidad 0.324 Tipo A

y = 0.0027x + 0.2338

R² = 0.9767

0.29

0.3

0.31

0.32

0.33

0.34

0.35

0.36

15 20 25 30 35 40 45 50

De

sv

. E

stá

nd

ar

Promedio



63

Figura 26. Grafica de Contribución a la Incertidumbre, HRC

Una vez obtenida la incertidumbre combinada ( ) este valor se multiplica por el factor de

cobertura, que en este trabajo es K=2, para obtener la incertidumbre expandida. Sustituyendo

en la ecuación [42]:

= 2 0.4725 = 0.9451

Expresión del resultado final es la siguiente:

Dureza= 46 ±0.9451 HRC

III. 3. 2. Método para la obtención de la incertidumbre en la dureza Rockwell B

Obtención de las diferentes magnitudes de influencia para determinar la incertidumbre en las

pruebas de dureza Rockwell B.

Componente de Incertidumbre provocado por la No Uniformidad. Sustituyendo en la ecuación

[38].

U no uniformidad =0,4216

10 = 0.1333

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35

1

2

3

4U repetibilidad

U calibración

U resolución

U no uniform.

Contribución a la Incertidumbre



64

Componente de Incertidumbre provocado por la Resolución del Equipo. Sustituyendo en la

ecuación [39]:

U res =0,2

12 = 0.0577

Componente de Incertidumbre provocado por la Calibración. Sustituyendo en la ecuación [40]:

U calib =0,643

2= 0.3216

Componente de Incertidumbre provocado por la Repetibilidad. Sustituyendo en la ecuación [41]:

= (0.010 91.2) 0.562 = 0.35

En la figura 27, se muestra el comportamiento de los tres valores promedios de dureza

Rockwell B de los tres materiales vs Desviación Estándar de cada una de ellas. Para la

obtención de la repetibilidad.

Figura 27. Regresión Lineal, HRB.

y = 0.0108x - 0.5629

R² = 0.9756

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

60 65 70 75 80 85 90 95

De

sv

. E

stá

nd

ar

Promedio



65

Estimación de la Incertidumbre combinada, sustituyendo los valores de incertidumbre estándar:

= (0.1333)2 + (0.0577)2 + (0.3216)2 + (0.35)2 = 0.4970

En la tabla 19, se observa el comportamiento de la contribución de las variables de entrada para

la obtención de la Incertidumbre y en la figura 28 se observa gráficamente que variable tiene

una mayor contribución hacía la incertidumbre en este caso es la repetibilidad; entre tanto la

resolución influye en menor medida.

Tabla 19. Resumen de Resultados de HRB

MagnitudIncertidumbre

EstándarFuente de

DistribuciónIncertidumbre

Combinada

Uniformidad 0.1333 Tipo A

0.4970Resolución 0.0577 Tipo B

Calibración 0.3216 Tipo B

Repetibilidad 0.35 Tipo A

Figura 28. Grafica de Contribución a la Incertidumbre, HRB

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4

1

2

3

4

U no uniform.

U resolución

U calibración

U repetib.

Contribución a la Incertidumbre



66

Una vez obtenida la incertidumbre combinada ( ) este valor se multiplica por el factor de

cobertura, que en este trabajo es K=2, para obtener la incertidumbre expandida. Sustituyendo

en la ecuación [42]:

= 2 0.4970 = 0.9941

Expresión del resultado final es la siguiente:

Dureza= 91 ± 0.9941 HRB



67

IV. Análisis de Resultados

IV. 1. Histograma

Se observa en los histograma de frecuencias de HRC, que los resultados se presentan dentro

del intervalo que representa al valor del mensurando (45,6 ± 1) y la dureza de 45,6 es la que se

repite con mayor frecuencia.

En el histograma de HRB, los resultados se presentan dentro del intervalo del valor del

mensurando (91,3±1) y la dureza de 91,2 es la que se repite con mayor frecuencia.

Cabe mencionar, que en cualquiera de los dos procesos (HRC y HRB) se observa que la

tendencia de los datos sufre un sesgo negativo partiendo del valor verdadero, lo anterior es

atribuido al método de medición, en lo general, los valores obtenidos corresponden a una

distribución tipo Gaussiana (se encuentran alrededor del valor verdadero), lo cual es susceptible

de ser tratado como un proceso estadístico simple y que el proceso no debe presentar

variaciones con el tiempo.

IV. 2. Cartas de Control

Dureza Rockwell C

La figura 16 corresponde a la carta de control de Rangos, donde se observa que los treinta

valores se encuentran dentro del intervalo del límite Superior igual a 3.171 y límite Inferior igual

a 0.00, por lo cual es posible determinar que el proceso de medición de HRC es el adecuado

para la determinación.

La carta de promedio se observa que los treinta valores están dentro de control ya que estos se

encuentran dentro del intervalo del límite Superior 46.35 y el límite Inferior 44.61 y que estos

límites se encuentran dentro del intervalo que marca el patrón de referencia (45,6±1), ver figura

17.

El proceso de medición de dureza se encuentra bajo control de exactitud y precisión ya que

ninguno de los treinta valores se encuentra fuera de los límites Superior e Inferior de Control,

esto se puede observar en la figura 18 y figura 19.



68

Dureza Rockwell B

La figura 20 corresponde a la carta de control de Rangos en HRB, donde se observa que los

treinta valores están dentro de control estadístico ya que se encuentran dentro del intervalo del

límite Superior igual a 2.395 y límite Inferior igual a 0.00.

La carta de promedio se observa en la figura 21, donde el valor 24 con una dureza de 90.60 se

acerca un poco al límite inferior; pero aun así se encuentra dentro del intervalo del límite

Superior de 91.13 y límite Inferior de 90.48, al igual que los 29 valores restantes. Además estos

límites se encuentran dentro del intervalo que marca el patrón de referencia (90,3±1).

Nuestro proceso de medición de HRB se encuentra bajo control de exactitud y precisión ya que

ninguno de los treinta valores se encuentra fuera de los límites Superior e Inferior de Control,

esto se puede observar en la figura 22 y figura 23.

IV. 3. Incertidumbre

Es importante mencionar que para determinar la incertidumbre de cualquier proceso de

medición, las contribuciones a la incertidumbre deben ser susceptibles de ser determinadas

matemáticamente. Ese criterio fue tomado en cuenta en esta metodología.

Cada indentación se tiene que realizar en un sitio diferente y no puede realizarse una

indentación en el mismo sitio donde ya se realizó una anterior, según la metodología de la

norma ASTM E 18. Es por eso que se toma en cuenta la fuente de incertidumbre de no

Uniformidad (Uno uniformidad) de la pieza, ya que se tienen que realizar diez indentación en la

pieza muestra y sus propiedades metalúrgicas de la muestra patrón pueden variar en diferentes

puntos de la pieza.

Al realizar una medición de dureza hay una incertidumbre producida en la indicación de

profundidad, debido a la Resolución del equipo, esta fuente de incertidumbre la proporciona el

equipo y es una característica específica del fabricante. Esta información es proporcionada en

el reporte de calibración, ver Anexo B.



69

La máquina Wilson 3TT b RB fue calibrada el 15 de Noviembre de 2012, la calibración del

durómetro nos proporciona el error máximo permisible de la máquina, que es la fuente de

incertidumbre de calibración (Ucalib), la cual viene en el certificado de calibración del durómetro

Wilson 3TT b RB, ver anexo B.

Se realizaron 150 indentaciones en las escalas de HRB y HRC para los materiales A, B y C

respectivamente, sin cambiar ninguna variable (procedimiento de medición, tiempo entre

mediciones, instrumento, observador) durante la experimentación. Esto se realizó para poder

obtener la fuente de incertidumbre de Repetibilidad (Urep) del método de medición de dureza.

Cada una de estas fuentes de incertidumbre tiene por objetivo el incremento de la exactitud del

resultado de la medición de dureza en las dos escalas de dureza.

A partir de la incertidumbre combinada ( ( )) se obtiene la incertidumbre expandida que es

multiplicada por un factor de cobertura de K=2, que define un intervalo, para que tenga una alta

probabilidad de cobertura especificada o nivel de confianza del 95%.



70

V. Metodología para obtener la Incertidumbre en Pruebas de HRC y HRB:

1) Realizar diez indentaciones al material analizar, seguir las recomendaciones del

Procedimiento del Ensayo de Dureza, capitulo II. 3.

2) Obtener su media aritmética y la desviación estándar de las diez indentaciones.

3) Obtener la incertidumbre estándar de No Uniformidad.

Sustituir en la fórmula:

U no uniformidad =n

= 10

Donde:

= Desvest de las diez indentaciones.

n = Número de Indentaciones.

4) Obtener la incertidumbre combinada :

= U nouniformidad + U resolución + U calibración + U repetibilidad

Fórmula para HRC:

=10

+ (0.0577) + (0.255) + (0.324)

Fórmula para HRB:

=10

+ (0.0577) + (0.3216) + (0.350)

5) Se prosigue a calcular la incertidumbre expandida U que se obtiene multiplicando por

un factor de cobertura K.

Para un proceso con un factor de cobertura del 95%. K es igual a 2.

Sustituir en la fórmula:

= = 2

6) Para expresar el resultado se obtiene la media de las diez indentaciones más menos

la incertidumbre expandida U.

Resultado de HRC

Dureza = ± U HRC

Resultado de HRB

Dureza = ± U HRB



71

Ejemplos:

HRC

1) Indentaciones del material

Indentaciones HRC

No. Dureza No. Dureza

1 25.4 6 24.4

2 22.8 7 25.8

3 23 8 25.6

4 22.4 9 25

5 25.4 10 25.2

2) Media y Desviación estándar de la muestra:

= 24

= 1.41

3) Incertidumbre estándar de no uniformidad:

U no uniformidad =n

= 1.41

10= 0.4472

4) Incertidumbre Combinada:

= (0.4472) + (0.0577) + (0.255) + (0.324) = 0.5893

5) Incertidumbre Expandida:

= = 2 0.5893 = 1.1786

6) Expresión del Resultado:

24 ± 1.1786 HRC



72

HRB

1) Indentaciones del material

Indentaciones HRB

No. Dureza No. Dureza

1 86 6 85

2 85 7 86

3 85 8 84

4 85 9 84

5 86 10 86

2) Media y Desviación estándar de la muestra:

= 85.2

= 0.788

3) Incertidumbre estándar de no uniformidad:

U no uniformidad =n

= 0.788

10= 0.2494

4) Incertidumbre Combinada:

= (0.2494) + (0.0577) + (0.3216) + (0.350) = 0.5031

5) Incertidumbre Expandida:

= = 2 0.5031 = 1.006

6) Expresión del Resultado:

85.2 ± 1.006 HRB



73

Conclusiones

Se estableció una metodología para el cálculo de la incertidumbre en pruebas de dureza

Rockwell C y Rockwell B.

El proceso de medición determinación de la dureza en escala HRC y HRB, es confiable

ya que los datos se encuentran en su totalidad dentro de una distribución gaussiana, lo

que significa que el método se encuentra en control estadístico

Las gráficas de control de rangos y promedios; se encuentran dentro de los límites

establecidos por lo que se concluye que los resultados obtenidos en la experimentación

son válidos.

El proceso de medición utilizado en las dos escalas, es exacto y preciso, debido a que

los resultados obtenidos en la experimentación, se encuentran dentro de los límites de

control. El hecho de que el proceso de medición es exacto y preciso permite establecer

una metodología para el cálculo de la incertidumbre.

De acuerdo al cálculo de la incertidumbre, se demuestra que la fuente de incertidumbre

crítica en el proceso de medición de dureza Rockwell en las escalas HRC y HRB, es la

repetibilidad, por lo que es la variable que ha de monitorearse.

La calibración es una fuente de incertidumbre intrínseca, proveniente del equipo mismo,

por lo tanto siempre deberá ser considerada.



74

Bibliografía

1. Callister William, “Ciencia e Ingeniería de los Materiales” Editorial Reverté, 2007.

2. Donald R. Askeland “Ciencia e Ingeniería de los Materiales” Editorial Thomson

International, 1998.

3. Norma ASTM E 18 08. “Norma de Ensayos para Dureza Rockwell y Rockwell Superficial

para materiales metálicos”, 2008.

4. Norma NM ISO 6508-1 ”Materiales Metálicos – Ensayo de dureza Rockwell – Parte 1”,

2008.

5. Jay L. Devore “Probabilidad y Estadística para Ingenieros y Ciencias” Editorial Cengage

Learning, 2005.

6. Murray R. Spiegel “Estadística” Editorial Schaum, 1993.

7. Norma NMX-CH-140-IMNC “Guía para la expresión de incertidumbre en las

mediciones”, 2002.

8. CENAM “Guía técnica sobre trazabilidad e incertidumbre en los servicios de calibración

de máquinas de medición del número de dureza Rockwell, utilizando la calibración

indirecta”. 2008.

9. Sifredo J. Saéz Ruiz, Luis Font Ávila “Incertidumbre de la Medición: Teoría Y Práctica”,

Consultores C.A. 2001.

10. Pérez Fernández de Velasco, José Antonio, “Gestión de la Calidad Orientada a los

Procesos”, Editorial Esic, 1999.



75

Anexo A

Variables Aleatorias

El concepto de variación es que en el mundo, no hay dos cosas que sean exactamente iguales.

La experiencia nos muestra que por mucho que se trate, es imposible lograr la misma

combinación de factores en cada observación repetida. En la industria, esta variación es

esperada y debe ser tomada en consideración. Por lo tanto, el resultado de una medición es

una variable aleatoria, para el tratamiento de las cuales se usan los métodos de la teoría de

probabilidades y las estadísticas matemáticas.

Cualquier proceso de fabricación es en realidad una combinación de varios elementos o

factores que interactúan para producir un resultado o un servicio.

Existen dos tipos de variables aleatorias:

variables aleatorias discretas.

variables aleatorias continuas.

Un proceso opera con variabilidad normal cuando cada elemento varía de forma discreta,

dentro de los límites esperados, que ninguna cantidad mensurable de variables puede atribuirse

a un solo elemento.

La variable continua se presenta cuando uno o más de los elementos son operados de una

forma, no discreta y contribuye en cantidad excesiva sobre el total de las variables. En esta

situación la fuente de variable excesiva debe ser identificada y tomar acciones correctivas para

eliminar la causa de la variable continua.

Conceptos Básicos de Estadística

La estadística es un método sistemático de colección, clasificación, presentación e

interpretación de información numérica. Por esta razón se ha definido a la estadística como “El

arte y la ciencia de la recolección y análisis de los datos”.



76

Media Aritmética

Para un conjunto dado de números , , … , , la medida más conocida y útil del centro es

lamedia aritmética o simplemente media. La media aritmética es igual a la suma de un grupo o

series de números, dividido por el número de valores en el grupo:

= ……………[1]

Donde:

= Es la notación para la media de la muestra

= Letra griega que significa “sumatoria”

X= Es la notación para una lectura individual

n= es el tamaño de la muestra

Mediana

La palabra mediana es sinónimo de “medio” por lo tanto la mediana es el valor medio una vez

que se ordenan las observaciones de la más pequeña a la más grande. Cuando las

observaciones están denotadas por , … , , se utilizará el símbolo para representar la

mediana.

Moda

La moda de una serie de números es el valor que ocurre con mayor frecuencia, es decir, el

valor más frecuente.

Rango

El rango de la muestra se denota por R, y es la diferencia entre el mayor y el menor de toda la

muestra:

= ……………[2]



77

Donde:

= Valor máximo en un subgrupo de mediciones realizadas

= Valor mínimo en un subgrupo de mediciones realizadas.

Desviación Estándar

La media de variables que se utiliza con mayor frecuencia es la desviación estándar de la

muestra.

La desviación estándar es una forma estandarizada de cuantificar cómo los valores en una

distribución se desvían del valor medio de la distribución. La desviación estándar se denota por

la letra . Su fórmula para el cálculo de la desviación estándar es la siguiente:

=( )

( )................[3]

Donde:

= Desviación estándar de la muestra

X = Lecturas individuales

X = Promedio

n = Número de lecturas

La desviación estándar es estadísticamente muy útil, y cuando es utilizada con modelos

estadísticos como la distribución normal, permite fácilmente hacer predicciones acerca de lo

que se espera de la variación del proceso (población), basada sobre una muestra real del

proceso.



78

ANEXO B



79

Documents

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL...LISTA DE TABLAS NÚMERO DE TABLA PÁGINA 1. Escala de Mohs. 4 2. Escala de Dureza Rockwell. 6 3. Diámetro de Esfera. 8 4. Factores de las Cartas de