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8/7/2019 Inte Doppi
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8/7/2019 Inte Doppi
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2 Integrali doppi: esercizi svolti
g) x (1 y) dxdy, = (x, y )R 2 : 0 < y 0, y > 073 +
1516
r ) x x2 + y2 dxdy, = (x, y )R 2 : x2 + y2 < 1, x2 + y2 < 2y, x < 0 320
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Integrali doppi: esercizi svolti 3
s) (x + y) dxdy, = (x, y )R 2 : 2x2 + 3 y2 < 4, x > 0, y > 04
93 + 2
Svolgimento
a ) Consideriamo lintegrale (x + y) dxdy , dove = (x, y )
R 2 : 0 < y 0, y > 0 .
x
y
0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Fig. 4: Linsieme (in azzurro).
Linsieme e sia x -semplice che y-semplice. Osserviamo che presenta una sim-
metria radiale. Possiamo quindi passare in coordinate polari nel piano. Poniamo
quindi
:x = cos
y = sin ,
0, 0
2,
|det J (, )
|= .
Allora
(x, y ) 1 < < 2
0 < < 2 .
Quindi si ha che = ( ), dove
= (, )R 2 : 1 < < 2, 0 < 0 .
x
y
1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
Fig. 6: Linsieme (in azzurro).
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Integrali doppi: esercizi svolti 7
Passiamo in coordinate polari nel piano. Poniamo quindi
:
x = cos
y = sin , 0, 0 2, |det J (, )| = .Allora
(x, y )
0 < < 1
0 < < 2cos
0 < < 2 .
Quindi si ha che = ( ), dove = 12, con
1 = (, )R 2 : 0 < < 1, 0 < 0, y > 0 .
x
y
1 0.5 0 0.5 1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fig. 8: Linsieme (in azzurro).
Essendo la parte del I quadrante inclusa nellellisse di equazione x2 + y2
12
= 1,
passiamo in coordinate ellittiche nel piano. Poniamo quindi
:x = cos
y =22 sin ,
0, 0 2, |det J (, )| =22
.
Allora
(x, y ) 0 < < 1
0 < < 2 .
Quindi si ha che = ( ), dove
= (, )R 2 : 0 < < 1, 0