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Análisis numerico
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Metodos NumericosCIV-371
Diferenciacion e Integracion Numerica
Prof: Joaquın Mura
Escuela de Ingenierıa CivilPontificia Universidad Catolica de Valparaıso
2015
Derivacion e Integracion Numerica¿Para que?
Consideremos el siguiente ejemplo:∫ π
0cos(4x) cos(3 sin(x)) dx = π
(3
2
)4 ∞∑k=0
(−9/4)k
k!(k + 4)!
Claramente, no podemos esperar que todas las integrales puedan tener unasolucion explıcita. Si hubiese solucion explıcita, como en este caso,podrıamos truncar la serie en un valor N >> 1 con tal de tener una buenaaproximacion.
¿Existe una mejor manera de evaluar numericamenteuna derivada o una integral?
(EIC-PUCV) Metodos Numericos 2015 2 / 24
Diferenciacion numerica
(EIC-PUCV) Metodos Numericos 2015 3 / 24
Aproximacion de derivadas de funcionesDerivadas de primer orden
Consideremos una funcion f : [a, b]→ R de clase C1[a, b]. Buscamos unaaproximacion de la primera derivada de en un punto x en [a, b].De los cursos de Calculo, sabemos que para un cierto valor de h losuficientemente pequeno (y positivo), podemos asumir que la cantidad
Diferencia finita hacia adelante (forward finite difference)
δ+f(x) :=f(x+ h)− f(x)
h
es una aproximacion de f ′(x).
(EIC-PUCV) Metodos Numericos 2015 4 / 24
Aproximacion de derivadas de funcionesDerivadas de primer orden
Para estimar el error cometido en esta aproximacion, basta con considerarla expansion de f en serie de Taylor, obteniendo
f(x+ h) = f(x) + hf ′(x) +h2
2f ′′(ξ) ξ ∈ (x, x+ h).
Por lo tanto,
δ+f(x) = f ′(x) +h
2f ′′(ξ).
Ası podemos ver que δ+f entrega una aproximacion a primer orden de f ′
con respecto de h:
||δ+f − f ′|| ≤ Ch (con C = C(f ′′) > 0).
(EIC-PUCV) Metodos Numericos 2015 5 / 24
Aproximacion de derivadas de funcionesDerivadas de primer orden
Procediendo de un modo analogo, se puede definir la
Diferencia finita hacia atras (backward finite difference)
δ−f(x) :=f(x)− f(x− h)
h
Es facil ver que esta es tambien una aproximacion a primer orden de f ′
con respecto de h.
(EIC-PUCV) Metodos Numericos 2015 6 / 24
Aproximacion de derivadas de funcionesDerivadas de primer orden
Finalmente, se puede definir
Diferencia finita centrada (centered finite difference)
δf(x) :=f(x+ h)− f(x− h)
2h
Este esquema es una aproximacion a segundo orden de f ′ con respecto deh:
δf(x)− f ′(x) =h2
12
(f ′′′(ξ) + f ′′′(η)
)donde ξ ∈ (x, x+ h) y η ∈ (x− h, x), respectivamente.
(EIC-PUCV) Metodos Numericos 2015 7 / 24
Aproximacion de derivadas de funcionesDerivadas de orden superior
Si ademas, asumimos que la funcion f tiene derivadas de orden superior,podemos definir la diferencia finita centrada de segundo orden a partir dela siguiente consideracion:
f ′′(x) ≈ 1
h
(f ′(x+)− f ′(x−)
)≈ 1
h(δ+f(x)− δ−f(x))
=1
h
(f(x+ h)− f(x)
h− f(x)− f(x− h)
h
)es decir,
Diferencia finita centrada de segundo orden
δ2f(x) :=f(x+ h)− 2f(x) + f(x− h)
h2
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Aproximacion de derivadas de funcionesDerivadas de orden superior
Similarmente, se pueden encontrar las siguientes expresiones
Diferencia finita centrada de tercer orden
δ3f(x) :=f(x+ 2h)− 2f(x+ h) + 2f(x− h)− f(x− 2h)
2h3
Diferencia finita centrada de cuarto orden
δ4f(x) :=f(x+ 2h)− 4f(x+ h) + 6f(x)− 4f(x− h) + f(x− h)
h4
(EIC-PUCV) Metodos Numericos 2015 9 / 24
Derivacion NumericaEvaluacion nodal:¿Como hacerlo?
Supongamos que disponemos de la funcion f evaluada sobre un conjuntodiscreto de puntos P = {x0, x1, . . . , xM}. Si reemplazamos x por unpunto generico xk, tendremos evidentemente que x− h = xk−1 yx+ h = xk+1. Mas aun, reemplazamos h por el ancho del intervalo enconsideracion. Esto implica que, por ejemplo, la formula de diferenciasfinita centradas de primer orden queda de la siguiente manera:
δf(xk) =fk+1 − fk−1xk+1 − xk−1
,
donde fk := f(xk).
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Integracion numerica
(EIC-PUCV) Metodos Numericos 2015 11 / 24
Integracion numerica
En esta seccion introduciremos metodos para aproximar el valor de laintegral
I(f) =
∫ b
af(x) dx
donde f es una funcion definida en [a, b].
(EIC-PUCV) Metodos Numericos 2015 12 / 24
Integracion numerica
Un procedimiento simple para aproximar I(f) puede encontrarseparticionando al intervalo [a, b] en subtintervalos Ik = [xk, xk+1], conk = 0, . . . ,M (M + 1 nodos=M intervalos), ası xk = a+ kh yh = (b− a)/M .Luego,
I(f) =M∑k
∫Ik
f(x) dx
Sobre cada subintervalo Ik podemos aproximar el valor de la integral de fpor un polinomio f .
(EIC-PUCV) Metodos Numericos 2015 13 / 24
Integracion numericaFormula del punto medio
La manera mas simple es elegir a f como constante en Ik. Por ejemplo,
xk =xk−1 + xk
2
Entonces obtenemos
Formula de integracion del punto medio
Ic(f) := h
M∑k=0
f(xk)
Esta formula aproxima el valor de I(f) hasta segundo orden en h pues
|I(f)− Ic(f)| = b− a24
h2|f ′′(ξ)| ξ ∈ [a, b]
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Integracion numericaFormula del punto medio
(EIC-PUCV) Metodos Numericos 2015 15 / 24
Integracion numericaFormula del Trapecio
Otra manera de aproximar a f en un subintervalo, es reemplazandola porsu interpolante lineal
(EIC-PUCV) Metodos Numericos 2015 16 / 24
Integracion numericaFormula del Trapecio
La formula ahora es
It(f) :=h
2
M∑k=1
(f(xk−1) + f(xk))
O bien,
Formula de integracion del trapecio
It(f) :=h
2(f(a) + f(b)) + h
M−1∑k=1
f(xk)
Esta formula aproxima el valor de I(f) hasta segundo orden en h pues
|I(f)− It(f)| = b− a12
h2|f ′′(ξ)| ξ ∈ [a, b]
(EIC-PUCV) Metodos Numericos 2015 17 / 24
Integracion numericaFormula de Simpson
Si reemplazamos f por un polinomio de grado 2 en los nodos xk−1, xk(pto. medio) y xk, donde el polinomio de interpolacion es
p(x) =2(x− xk)(x− xk)
h2f(xk−1) +
4
h2(xk−1 − x)(x− xk)f(xk)
+2
h2(x− xk)(x− xk−1)f(xk).
El resultado es la llamada formula de (cuadratura de) Simpson ...
(EIC-PUCV) Metodos Numericos 2015 18 / 24
Integracion numericaFormula de Simpson
Formula de integracion de Simpson
Is(f) :=h
6
M∑k=1
(f(xk−1) + 4f(xk) + f(xk))
El error asociado a esta formula es
|I(f)− Is(f)| = b− a180
h4
16|f (4)(ξ)| ξ ∈ [a, b]
(EIC-PUCV) Metodos Numericos 2015 19 / 24
Integracion numericaCuadratura Gaussiana
La cuadratura gaussiana corresponde a una clase de metodos que tienen lavirtud de aumentar la exactitud del valor aproximado de la integral,escogiendo coeficientes y nodos apropiadamente.A partir de una modificacion del metodo del trapecio, se pueden considerarcomo puntos del subintervalo Ik a:
γk−1 :=xk−1 + xk
2− 1√
3
(xk − xk−1
2
)= xk−1 +
(1− 1√
3
)h
2
γk :=xk−1 + xk
2+
1√3
(xk − xk−1
2
)= xk−1 +
(1 +
1√3
)h
2
(EIC-PUCV) Metodos Numericos 2015 20 / 24
Integracion numericaCuadratura Gaussiana
(EIC-PUCV) Metodos Numericos 2015 21 / 24
Integracion numericaCuadratura Gaussiana
Formula de cuadratura Gaussiana (dos puntos)
Ig,2(f) :=h
2
M∑k=0
(f(γk−1) + f(γk))
Se puede demostrar que el error es
|I(f)− Ig(f)| = (b− a)5
4320|f (4)(ξ)| ξ ∈ [a, b]
(EIC-PUCV) Metodos Numericos 2015 22 / 24
Integracion numericaCuadratura Gaussiana
Importante: En general, los metodos de cuadratura estan tabulados en laliteratura para calcular
I(f) :=
∫ 1
−1f(x) dx ≈
p∑k=1
wkf(γk)
p γk wk1 0 2
2 ±1/√
3 1
3 0,±√
3/5 8/9, 5/9
Ej. (p = 2):∫ 1−1 f dx ≈ 1× f(− 1√
3) + 1× f( 1√
3).
(EIC-PUCV) Metodos Numericos 2015 23 / 24
Integracion numericaCuadratura Gaussiana
Para calcular la integral en un intervalo arbitrario [a, b], debemos elegiruna transformacion biyectiva de coordenadas tal que [a, b]↔ [−1, 1]. Porejemplo, si
u =2x− a− bb− a
(u = −1 → x = a, u = 1 → x = b)
Tendremos que
I(f) =b− a
2
∫ 1
−1f
(b− a
2u+
a+ b
2
)du
≈ b− a2
p∑i=1
wif
(b− a
2γi +
a+ b
2
)
(EIC-PUCV) Metodos Numericos 2015 24 / 24