Integral 1

INTEGRAL

A. Ringkasan

1. Integral tak tentu

1.∫ xn dx= 1

n+1xn+1+c, dg n ≠ -1

2.∫ axn dx= a

n+1xn+1+c, dg n ≠ -1

3. ∫ xn dx=ax+c

2. Integral Fungsi Trigonometri

No. f (x) ∫ f (x) dx

1. sin x - cos x + c

2. cox x sin x + c

3. a sin bx

-

ab cos bx + c

4. a cos bx ab sin bx + c

5. sinn x . cos x 1n+1 sinn+1 x + c

6. cosn x . sin x

-

1n+1 cosn+1 x + c

7. sec2 x tan x + c

8. cosec2 x - cot x + c

9. sin (ax + b)

-

1a cos (ax + b)

10. cos (ax + b) 1a sin (ax + b) + c

11. sec2 (ax + b) 1a tan (ax + b) + c

12. cosec2 (ax + b)

-

1a cot (ax + b) + c

3. Integral Substitusi

Tidak selalu soal-soal integral diselesaikan dengan memakai rumus langsung.

Seringkali harus dilakukan perubahan variabel (substitusi). Misal ada y = f(x) dan y’

= f’(x) dx. Bentuk ∫ fn(x) g(x) dx dapat diselesaikan dengan memisalkan f(x) = u →

df(x) = du = g(x) dx.

Jadi : ∫ f n ( x ) g ( x ) dx=∫un du

4. Integral Parsial

d (U . V) = dU . V + U . dU

U . dV = d (UV) – V . dU

∫ U dV = ∫ d (UV) - ∫ V dU

∫U dV=UV−∫V dU

5. Integral Substitusi Trigonometri

Fungsi Integral Substitusi Hasil Substitusi

√a2−x2 x = a sin θ a cos θ

√a2+x2 x = a tan θ a sec θ

√ x2−a2 x = a sec θ a tan θ

6. Integral Tertentu

Jika f(x) = F’(x) maka : ∫a

b

f ( x )dx=F (x )|ab=F (b )−F (a )

7. Luas Daerah

a.

b.

c.

8. Volume Benda Putar

a. Diputar mengelilingi sumbu x

b. Diputar mengelilingi sumbu y

B. Soal

1. SPMB ’03 (Regional I)

Luas daerah antara kurva y = (x + 1)3, garis y = 1, x = -1 dan x = 2 dapat dinyatakan

sebagai …

A.∫−1

2

( x+1 )3 dx−∫−1

2

dx

B.∫−1

2

( x+1 )3 dx+∫−1

2

dx

C.∫−1

0

dx−∫0

2

dx∫−1

0

(x+1 )3 dx+∫0

2

( x+1 )3dx

D.∫−1

0

dx−∫0

2

dx+∫−1

0

( x+1 )3dx−∫0

2

( x+1 )3dx

E.∫−1

0

dx−∫−1

0

( x+1 )3dx+∫0

2

( x+1 )3 dx

2. SPMB ’03 (Regional II)

Luas daerah dalam kuadran I yang dibatasi y = 4 – x2, y = 3x, dan y = 0, dapat

dinyatakan sebagai …

A.∫0

1

( 4−x2−3x ) dx

B.∫0

2

( 4−x2−3x ) dx

C.∫0

2

(3x−3−3x )dx

D.∫0

1

3xdx−∫1

2

( 4−x2) dx

E.∫0

1

3xdx−∫1

2

( x2−4 ) dx

3. UMPTN ’93 (Rayon C)

Grafik fungsi f(x) melalui titik (3, 12). Jika f(x) = 2x + 2, maka luas daerah yang

dibatasi kurva y = f(x), sumbu X, sumbu Y, dan garis x = 2, adalah …

A. 4

B. 9

C. 11

D. 19

E. 27

4. UMPTN ’03 (Rayon A)

Jika

df ( x )dx

=x3+x3

dan f (1 )=−11

20,∫

1

2

( x )dx = …

A. 2

B. 1

C.

12

D.

14

E. -

14


Diketahui

df ( x )dx

=3√ x. Jika f(4) = 198, maka f(1) = …

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

E. 6

6. UMPTN ’94 (Rayon B)

Turunan pertama fungsi f ( x ) 4

x3+1

. Jika f(1) = 5, maka f(2) = …

A. 6

B. 7

12

C. 8

12 D. 8

13

E. 9


Gradien garis singgung suatu kurva di titik (x, y) sama dengan 2x – 5. Jika kurva ini

melalui titik (4, 7), maka kurva tersebut memotong sumbu Y di …

A. (0, 11)

B. (0, 10)

C. (0, 9)

D. (0, 8)

E. (0, 7)


Jika f ( x )=ax+b, ∫

0

1

f ( x ) dx=1 dan

∫1

2

f ( x )dx=5, maka a + b = …

A. 3

B. 4

C. 5

D. - 3

E. - 4


Diketahui f ( x )=∫ x2 dx . Jika f (2 )=−19

3 , maka kurva itu memotong sumbu X

pada …

A. (0, 0)

B. (1, 0)

C. (2, 0)

D. (3, 0) E. (

193 , 0)


Titik-titik A (3, 9), B (-2, 4), C (2, 4), dan D (3, 9) terletak pada parabola y = x 2

garis AC dan BD berpotongan di titik E. Jumlah luas daerah EAB dan daerah ECD

adalah …

A. 12

B.

373

C. 15

D. 18 E.

323

11. UMPTN ’98 (Rayon A, B, C)

Grafik fungsi y = cos x disinggung oleh garis g di titik C (−π

2 ,0) dan oleh garis h di

titik A (

π2 ,0). Kurva grafik fungsi cosinus tersebut dengan garis g dan garis h

membatasi daerah D. Luas daerah D adalah …

A.

π 2

8−1

B.

π 2

4−1

C.

π 2

4−2

D.

π 2

2−4

E. x2 – 8

12. UMPTN ’98 (RAYON A, B, C)

Luas daerah yang dibatasi garis y =

12 dan kurva y =

x2

1+ x2 dapat dinyatakan

sebagai integral tertentu …

A.∫0

1x2−1

x2+1dx

B.2∫

0

11−x2

1+x2dx

C.∫0

11−x2

1+x2dx

D.2∫

0

1x2

1+x2dx

E.2∫

0

1x

1+x2dx


Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = 6x – x2 dan y = x2 – 2x adalah …

A. 32

B.

203

C.

643

D. 16

E. 2


Grafik fungsi f melalui titik (1, 0) dan (2, -1). Jika grafik garis singgungnya di

setiap titik (x,y) dapat dituliskan dalam bentuk ax + 1 dengan a konstan, maka

grafik fungsi f memotong sumbu y di titik …

A. (0,1)

B. (0,

12 )

C. (0,

13 )

D. (0,-

13 )

E. (0, -1)


Luas daerah yang dibatasi oleh sumbu Y, kurva y = sin x, y = cos x, dan garis x = π

adalah …

A. √2

B. 2

C. 2 + √2

D. 2√2

E. 2 - √2


Daerah pada bidang datar yang dibatasi oleh y =

1

√x , sumbu X, garis x = 1, dan

garis x = 4 diputar mengelilingi sumbu Y. Volume benda putar yang terbentuk

adalah …

A.

283

π

B.

143

π

C.

43

π

D.

23

π

E.

13

π

17. UMPTN ’01 (Rayon A) Kode 551

Daerah D dibatasi oleh kurva y = sin x, 0 ≤ x ≤ π dan sumbu X. Jika dibatasi D

diputar terhadap sumbu X, maka volum pada benda putar yang terjadi adalah …

A. π

B. π2

C.

12

π2

D. 2 π

E. 2 π2


Jika D adalah daerah yang dibatasi oleh parabola y = 4x – x2 serta garis yang

melalui (4,0) dan puncak parabola, maka luas D adalah …

A.

43

B.

163

C.

203

D.

263

E.

283


Garis g menyinggung kurva y = sin x di titik (π,0). Jika daerah yang dibatasi oleh

garis g, garis x =

12 π dan kurva y = sin x diputar mengelilingi sumbu X, maka

volume benda putar yang terjadi adalah …

A.

π2

16( π2−6 )

B.

π2

16( π2−8 )

C.

π2

24( π 2−6 )

D.

π2

24( π 2−8 )

E.

π 2

8( π2−8 )

20. ∫ (x2 – 3x + 2)2 (2x – 3) dx = …

A. (x2 – 3x + 2)3 + c

B. (x2 – 3x + 2)3 + c

C. 3(x2 – 3x + 2)3 + c

D. (x2 – 3x + 2)3 + c

E.

12 (x2 – 3x + 2)3 + c

21.∫ 3 y

√2 y2+5dy

= …

A.

38√2 y2+5+c

B.

34

√2 y2+5+c

C.

32√2 y2+5+c

D. √2 y2+5+c

E.

12√2 y2+5+c

22. ∫ √1−cos xdx = …

A. 2√2 cos

12 x + c

B. √2 cos

12 x + c

C. -2 √2 cos

12 x + c

D. -

12 √2 sin

12 x + c

E. -√2 sin

12 x + c

23. ∫ sec2 2x . tan 2x dx = …

A.

12 tan2 2x + c

B.

13 sec3 2x + c

C.

12 sec 2x tan 2x + c

D.

14 tan2 2x + c

E.

16 sec3 2x + c

24. ∫ 4 sin 5 x . cos 3x dx = …

A. 2 cos 5x + 3 sin x + c

B. -2 cos 8 x – cos 2x + c

C. -

14 cos 8x – cos 2x + c

D. -

12 cos 8x -

14 cos 2x + c

E. -2 cos 8x – 2 sin 3x + c

25. ∫ sin3 x . cos x dx = …

A.

14 sin4 x + c

B.

14 cos4 x + c

C. -

14 cos2 x + c

D.

13 sin2 x + c

E. -

13 sin4 x + c

26. ∫ 4x(2x – 1)-1/3 dx = …

A.

65 (x + 3) (2 – 1)2/3 + c

B.

310 (4x + 1) (2x – 1)2/3 + c

C.

310 (4x + 3) (2x – 1)2/3 + c

D.

65 (x – 3) (2 – 1)2/3 + c

E.

310 (4x – 3) (2x – 1)2/3 + c

27. Nilai ∫

−π /6

π /3

(3cosx−5sinx ) dx= …

A. 4 - 4√3

B. – 1 -√3

C. 4 - √3

D. – 1 + √3

E. 4 + 4√3

28. Nilai dari ∫0

π4

sin x . sin x dx = …

A. -

112

B. -

18

C.

124

D.

112

E.

18

29.∫−3

3

|x2−2 x−3|dx = …

A. 0

B. 18

C.

683

D.

643

E. 9

30.∫ dx

x2+4 = …

A.

12 arc tan

x2 + c

B. -

12 arc tan

x2 + c

C. arc tan

x2 + c

D. –arc tan

x2 + c

E.

12 arc cot

x2 + c

31. ∫ √4−x2dx = …

A. -2 arc sin

x2 +

x2

√4−x2+c

B. 2 arc sin

x2 +

x2

√4−x2+c

C. 2 arc sin

x2 -

x2

√4−x2+c

D. -2 arc sin

x2 -

x2

√4−x2+c

E. 2 arc cos

x2 +

x2

√4−x2+c

32. ∫ x2 . sin (x + π) dx = …

A. x2 sin x + 2x sin x – 2 sin x + c

B. x2 sin x – 2x sin x + 2 sin x + c

C. x2 cos x + 2x sin x – 2 cos x + c

D. x2 cos x – 2x sin x – 2 cos x + c

E. x2 sin x – 2x sin x – 2 xin x + c

33. ∫ x cos x . sin x dx = …

A.− x

2 cos 2x +

sin 2x8

+c

B.− x

4 cos 2x +

sin 2x8

+c

C.− x

4 sin 2x +

sin 2x8

+c

D.− x

2 sin 2x +

sin 2x8

+c

E.− x

2 cos 2x +

sin 2x4

+c

34. ∫ sin2 x . cos2 x dx = …

A.

38

x2

-

3 x32 cos 4x -

3128 sin 4x + c

B.

316

x2

-

3 x32 cos 4x -

3128 sin 4x + c

C.

316

x2

-

3 x32 sin 4x -

3128 cos 4x +

c

D.

38

x2

-

3 x32 sin 4x -

3128 cos 4x + c

E.

38

x2

+

3 x32 cos 4x -

3128 cos 4x + c

35. ∫ 2 cos (π – 3x) dx = …

A. 2 sin (π – 3x) + c

B. -2 sin (π – 3x) + c

C.

−23 sin (π – 3x) + c

D.

23 sin (π – 3x) + c

E. - sin (π – 3x) + c

36.∫ In x

xdx

= …

A.

12 In x2 + c

B.

14 (In x2) + c

C.

13 In x2 + c

D.

12 (In x2) + c

E. 2 (In x)2 + c

37. ∫ In x dx = …

A. x (In x + 1) + c

B. x (In x – 1) + c

C. x (in x + x) + c

D. –x (In x – 1) + c

E. –x (In x + 1) + c

38.∫ dx

√9−x2 = …

A. 3 arc sin

x3 + c

B. 2 arc sin

x3 + c

C. arc sin

x3 + c

D. -3 arc sin

x3 + c

E. -2 arc sin

x3 + c

39. Dari kurva y = f(x) diketahui

d2 ydx2

=6 x−18 dan gradien garis singgung tersebut di

titik A (2,-5) adalah -20, persamaan kurva tersebut adalah …

A. y = x3 – 9x2 + 4x + 15

B. y = x3 – 9x2 + 4x – 15

C. y = x3 – 9x2 + 44x + 65

D. y = x3 – 9x2 + 44x – 65

E. y = x3 – 18x + 4

40.∫π /6

2π /3

sin x cos x dx = …

A. 0,25

B. 0,5

C. 0,75

D. 1

E. 1,25

Documents

Integral 1