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Cálculo Integral
[Aplicaciones con Texas Instruments Voyage 200]
2010 En este manual encontrarás aplicaciones para diversos temas del Cálculo Integral, graficación, Aplicaciones de la Integral (areas bajo la curva, longitud de arco, volúmenes de revolución, solucionador de integrales indefinidas, paso a paso en SMG.
Materia para: Todas las Ingenierías
EELLAABBOORRAADDOO PPOORR::
II..II.. ÁÁNNGGEELL GGAARRCCÍÍAAFFIIGGUUEERROOAA HHEERRNNÁÁNNDDEEZZ
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Tabla de funciones matemáticas poco usadas para la TI-V200 Página 3
Tabla de funciones matemáticas poco usadas para la TI-V200
Función Forma de
escritura en HOME
Descripción simple Ejemplo.
Valor absoluto
abs(expr)
Sólo debes teclear esta combinación de letras seguido de los respectivos paréntesis de apertura y cierre con la expresión dentro.
Logaritmo log(expr) ó log(expr,base)
Sólo debes teclear esta combinación de letras seguido de los respectivos paréntesis de apertura y cierre con la expresión dentro, seguido de una coma y la base del logaritmo, si se omite se toma como base 10.
Raíz de cualquier
orden
�������
(expr)^(n/m)
Debes teclear primero la expresión que va a elevarse a la raíz dada, luego el símbolo de potencia y entre paréntesis la división correspondiente de la raíz que tengas.
Cosecante csc(expr) Sólo debes teclear esta combinación de letras seguido de los respectivos paréntesis de apertura y cierre con la expresión dentro.
Secante sec(expr)
Cotangente cot(expr)
arc coseno cos-1(expr)
Para las primeras tres funciones simplemente teclea “2nd” + tecla seno coseno ó tangente correspondiente. Para las últimas 3 debes entrar al menú de funciones trigonométrica con “2nd” + número 5 de la parte numérica y entrar al submenú Trig. y dar ENTER sobre la opción deseada.
arc seno sen-1(expr)
arc tangente
tan-1(expr)
arc cosecante
csc-1(expr)
arc secante sec-1(expr)
arc cotangente
cot-1(expr)
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Índice General Página 4
Índice General
I. Introducción…………………………………………………………………………….5
II. Detalle Técnico………………………………………………………………………..7
III. Detalle General de Teclas………………………………………………………..9
IV. Introduciendo datos y expresiones correctamente…………………11
V. Índice de Cálculo Integral…...………………………………………………….21
VI. Contenido…………………………………………………………………………23-59
VII. Ejercicios propuestos……………………………………………………………..60
VIII. Bibliografía……………………………………………………………………………..63
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Introducción Página 5
Introducción
Bienvenido al curso Texas Instruments Voyage200, éste curso tiene la finalidad de que aprendas
el manejo eficiente y práctico de esta calculadora graficadora muy poderosa, ya que posee un gran
campo de aplicación en todas las ingenierías y por ende en la mayoría de las materias que verás a
lo largo de tu carrera, para que estudies como ingeniero y trabajes como tal.
Esta calculadora si bien tiene mucha funcionalidad y gran ventaja, es importante dejar en claro
que no debe ser usada como un medio de hacer trampa o como un sustituto del aprendizaje
impartido por el maestro, sino de un apoyo claro y específico en cada materia para agilizar
cálculos y para entender mejor los temas vistos en clase. Las materias en las que te puede ayudar
grandemente de tronco común (1°, 2° y 3° semestre) son las siguientes:
1. Química General
2. Algebra Lineal
3. Calculo Diferencial
4. Calculo Integral
5. Ecuaciones Diferenciales
6. Probabilidad y Estadística 1
7. Probabilidad y Estadística 2
8. Física 1
9. Física 2
10. Física 3
11. Fisicoquímica
12. Termodinámica
Y de las demás materias disciplinarias
(Programa Académico de Ingeniería Industrial):
13. Diseño de Experimentos
14. Computación 2
15. Resistencia de Materiales 1
16. Circuitos Eléctricos 1
17. Investigación de Operaciones 1
18. Investigación de Operaciones 2
19. Tecnología de los Materiales
20. Ingeniería Económica 1
21. Ingeniería Económica 2
22. Control Estadístico del Proceso
23. Medición del Trabajo
24. Metrología
25. Administración Financiera
Las materias en Negritas son las
que recomiendo fuertemente para
el uso de esta calculadora porque
facilita mucho el trabajo y también
existen programas específicos y
didácticos para cada una.
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Introducción Página 6
PRÉSTAMO
Existen 54 calculadoras TI-V200 disponibles para préstamo en el resguardo de ésta facultad, tú
puedes pedir que se te preste de forma inmediata una calculadora, se te presta gratuitamente por
espacio de 1 mes y puedes renovar el préstamo cuantas veces desees. Para esto debes acudir con
el encargado del material tecnológico y audiovisual, él se encuentra en el segundo piso de la
facultad casi enfrente del centro de cómputo junto a la jefatura de Ingeniería Industrial, se atiende
de 7:00 A.M. a 2:00 P.M., lo único que necesitas para que te presten la calculadora es lo siguiente:
• Copia de tu credencial de la Universidad
• Copia de tu toma de materias actual
• Copia de tu Inscripción/Reinscripción actual
Como verás es muy sencillo y en definitiva recibes a cambio una gran ayuda.
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Detalle Técnico Página 7
Detalle Técnico
Cuando pidas prestada una calculadora debes fijarte que contenga:
� 1 Calculadora
� 1 Carcasa
� 4 Pilas AAA recargables ó alcalinas (en caso de estar disponibles)
� 1 Bolsita protectora
Este es el préstamo básico, sin embargo si tú deseas instalarle algún programa desde tu
computadora debes solicitar también:
� 1 Cable TI-USB Silver-Link
Para instalación de programas complementarios ó extras, consultar el MANUAL DE INSTALACIÓN
DE SOFTWARE PARA CALCULADORA TEXAS INSTRUMENTS VOYAGE 200.
Pasos al Iniciar sesión:
1. Coloca las 4 pilas AAA adecuadamente. Estas se encuentran dentro de la bolsa protectora de la
calculadora. La parte donde se colocan las pilas es en la parte posterior de la misma.
IMPORTANTE: No muevas la pila de botón.
2. Retira la carcasa de la calculadora:
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Detalle Técnico Página 8
3. Colócala por atrás para protegerla mejor.
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Detalle General de Teclas Página 9
Detalle General de Teclas
La tecla DIAMANTE (una tecla verde al lado de la tecla ON), al presionarla una vez activa todas las
teclas que tengan leyenda verde sobre las teclas normales. Su función es múltiple y generalmente
te permite desplazarte entre programas y configurar ciertas aplicaciones de la parte gráfica.
La tecla 2nd (tecla azul al lado de la tecla DIAMANTE), al presionarla una vez activa todas las teclas
que tengan leyenda azul. Su función principal es complementar las expresiones numéricas, y en
algunos casos entrar a menús avanzados.
Las teclas F1-F8, se pueden utilizar cuando en la pantalla aparezcan opciones variadas en la parte
superior, generalmente se usan sólo para abrir menús en los programas.
Las teclas del Cursor sirven para moverte en gráficas, sobre la línea de entrada y en el historial de
Home, así como en otros programas, te irás familiarizando con el poco a poco.
La tecla APPS, despliega el menú general de la calculadora, donde se encuentran todas las
aplicaciones y programas de la misma.
La tecla MODE, despliega la pantalla para modificar la configuración general de la calculadora.
La tecla Shift, tiene la misma funcionalidad que la tecla shift del teclado de una computadora, al
dejarlo presionado y desplazarte con el cursor de un lado a otro puedes seleccionar una serie de
Cursor
Parte Numérica
Teclado Extendido Teclas especiales Shift,
DIAMANTE, 2nd
Teclas F1-F8
Tecla APPS
Tecla CLEAR Tecla ESC
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Detalle General de Teclas Página 10
datos o expresiones para después copiarlos con la combinación DIAMANTE + letra C, y pegarlos en
cualquier otra aplicación con la combinación DIAMANTE + letra V.
La tecla CLEAR sirve de forma general para borrar la línea de entrada de la calculadora y en
algunas otras aplicaciones borra gráficas y elementos marcados para graficar.
La tecla ESC se usa para cancelar opciones hechas o errores cometidos dentro de un programa.
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 11
Introduciendo datos y
expresiones
correctamente
Se ha dedicado un capítulo completo a la
explicación de cómo introducir datos y
expresiones correctamente debido a que se
han identificado numerosos errores de
escritura en muchos estudiantes a la hora de
teclear los datos, lo cual es de vital
importancia ya que de teclear
incorrectamente la información nos puede
arrojar resultados incorrectos o muy
diferentes a lo que queremos en realidad,
independientemente del programa en el que
estemos éstas reglas son para cualquier
aplicación en el que se esté trabajando, es
conveniente tomarse un tiempo para
entender y practicar estos sencillos ejercicios
para que escribas correctamente la
información en cada tarea que resuelvas.
Signo Menos
Es importante que a la hora de teclear una
expresión en la calculadora se teclee el signo
menos adecuado en cada caso. Se debe
seguir la siguiente regla:
“Cuando se escriba una expresión en la que
se inicie con signo negativo debe usarse la
tecla con signo negativo entre paréntesis
”. Esto mismo se usa con las
calculadoras científicas habituales. Veremos
un par de ejemplos. Enciende tu calculadora,
tecla ON:
Muévete con el cursor a través de las
aplicaciones y posiciónate en HOME y da
ENTER:
Por ejemplo, si queremos escribir:
�7� 8
Damos ENTER :
Vemos que se despliega correctamente y se
reacomoda en la línea de entrada. Este error
del uso del signo menos es muy común y
debe usarse ya sea en el inicio de una
expresión o en la de un exponente que
queramos a una potencia negativa o después
de que se ha cerrado un paréntesis. Para
borrar la línea de entrada teclea CLEAR.
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 12
Si se hubiera puesto el otro signo menos
hubiera salido un resultado completamente
diferente e incorrecto. Otro ejemplo:
��
Vemos que se lee correctamente, si
hubiéramos puesto el signo contrario:
Vemos que nos indica que hay un error de
sintaxis en la línea de entrada.
“En cualquier otra posición de una
expresión que no sea el inicio, el signo
negativo que debe usarse es el de la tecla
blanca .”
Por ejemplo:
��� 8� � 13
Para el primer término como esta al inicio se
usa el signo menos de la tecla negra y para el
último término se usa el signo menos de la
tecla blanca:
Como tip podemos decir que en la línea de
entrada el signo menos de la tecla negra está
un poco más pequeño y más arriba que el de
la tecla blanca.
Paréntesis
El uso correcto de los paréntesis es muy
importante ya que de igual manera va a
definir nuestras expresiones. Los paréntesis
dividen expresiones completas en la línea de
entrada de la calculadora, hay algunas
funciones como la función exponencial,
logaritmo natural o las trigonométricas que
cuando lo tecleas inmediatamente te abre un
paréntesis y lo hace con la finalidad de que
definas correctamente lo que va dentro de
esa función. Es importante recordar que
“Todo paréntesis que se abre debe
cerrarse”. Por ejemplo supongamos que
deseamos escribir:
sin 7� 8�� � ln �
Al teclear la función de seno se abre
automáticamente el paréntesis e
inmediatamente después debemos escribir
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 13
el argumento del seno para después cerrarlo
con el paréntesis de cierre:
Es importante también cerrar
ordenadamente cada paréntesis que se abra,
veamos otro ejemplo:
√cos � � sin 2�
Abrimos la raíz dando en 2nd + tecla de
signo de multiplicación y si te fijas se
abre el paréntesis inmediatamente después
del símbolo de la raíz y luego debemos
escribir la expresión de adentro y cerrar con
el paréntesis final para indicar que todo va
dentro de la raíz:
Fíjate en el orden de los paréntesis, el
primero es el que encierra a todos los demás,
damos ENTER:
Signo de División
Este es otro error algo común a la hora de
escribir las expresiones, y hay que seguir otra
regla muy simple cuando usamos el signo de
división:
“Cuando haya más de un término en el
numerador o denominador en una división,
estas expresiones deben encerrarse entre
paréntesis”
Por ejemplo si deseamos escribir:
3�9� 13
Como hay un solo término en la parte de
arriba no es necesario teclear el paréntesis,
pero como en la parte de abajo hay más de
uno, debemos teclear los paréntesis en la
parte de abajo, la forma de escritura se
podría resumir con este tip:
� �� � !é�#$ %&/� �� � !é�#$ %&
Vemos en la pantalla como se ve
correctamente la escritura de la expresión
que queremos. ¿Qué hubiera pasado si no
ponemos los paréntesis? Observa:
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 14
Vemos que al dar ENTER la calculadora
entiende otra cosa completamente distinta.
Es un muy buen tip que observes lo que
escribiste al dar ENTER en la parte izquierda
de la pantalla y veas si esa expresión es la
que quieres.
Otro ejemplo:
�� 8��7�� 3� � 15
Como en el numerador y denominador hay
más de un término deben escribirse ambos
paréntesis al inicio y al final de cada
expresión, damos ENTER:
Nótese que en el denominador como la
expresión inicia con un término con signo
negativo se empieza usando el menos de la
tecla negra, y el siguiente es con la tecla
menos blanca. Recordemos que los
paréntesis dividen expresiones completas,
por eso aunque este en medio de la línea de
entrada se usa el signo negativo negro.
También notamos que la calculadora
factoriza la parte de arriba y cambia signos
por comodidad, siendo esto una igualdad
exacta.
Exponentes
Otro error relativamente común son los
exponentes. Por ejemplo si queremos
escribir:
���)
Como veras a simple vista en la calculadora
no existe una tecla con raíz cúbica, solo esta
la de raíz cuadrada, para escribir una raíz del
orden que sea se debe usar el exponente con
la sencilla regla:
√��� * �� +⁄
Cuando se escribe un exponente en
fracciones en la calculadora, de igual
manera debe ponerse entre paréntesis
después del símbolo de exponente:
Al dar ENTER vemos la expresión correcta de
la equis con su exponente. De igual manera
se recalca la importancia de poner entre
paréntesis esta expresión ya que de no
hacerlo la calculadora entenderá otra cosa,
observa:
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 15
Vemos que al no ponerlo la calculadora
entiende que se trata de una equis cuadrada
entre tres y no es la expresión adecuada. Por
eso es MUY IMPORTANTE el escribir
correctamente la información en la
calculadora ya que de no hacerlo nos dará
resultados incorrectos.
Listas ó Matrices
Cuando escribas en listas o matrices
(generalmente las usaras en materias como
Algebra Lineal, Investigación de Operaciones
1, Ingeniería Económica 1, Ingeniería
Económica 2) es importante que recuerdes
que las comas “,” también dividen
expresiones y por lo tanto si por ejemplo
escribes un dato con signo negativo es como
si iniciara una nueva expresión y debe
teclearse con el signo menos de la tecla
negra.
Por ejemplo al escribir la lista:
-5, �6,8, �2,10
Se abren y cierran las llaves tecleando “2nd”
+ paréntesis de apertura o cierre
:
Vemos que al dar ENTER la lista se crea con
los datos de signo correctos, de poner el otro
signo menos ocurriría un error de sintaxis.
Funciones solve, factor, expand
Si estás trabajando en materias como calculo
diferencial, cálculo integral, algebra lineal es
posible que te sean útiles éstas funciones. En
general se te explicarán en el curso de la
materia que tomes si es que te son de ayuda.
De todas maneras aquí se te explica un poco
de cómo usarlas. Todas estas funciones están
en el menú F2 Algebra, al dar ENTER sobre
cada una se copia a la línea de entrada para
usarse:
Función Solve
La función solve resuelve igualdades o
inecuaciones en la línea de entrada de HOME
lo único que necesitas es introducir la
ecuación en la línea de entrada, la respectiva
igualdad o inecuación, luego la respectiva
coma e inmediatamente después la variable
que deseas que la calculadora encuentre, de
esta forma:
1%23���4�54$ó , 35�$572�&
Por ejemplo nos piden encontrar los valores
de X que satisfacen la expresión:
�� 6�� 5� 30 * 75
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 16
En la línea de entrada de HOME se debe
introducir de esta forma:
1%23���� 6�� 5� 30 * 75, �&
Ahora simplemente damos ENTER:
Y se llega al resultado.
Función Factor
La función factor como su nombre lo indica
factoriza expresiones (de ser posible) y
devuelve la multiplicación adecuada que
daría como resultado esa expresión. Su
forma de escritura es:
954!%�������1$% &
Como te puedes dar cuenta no tiene ni coma
ni variable a buscar ya que no necesita de
una variable para encontrar, sino que va a
factorizar con las variables que tengas dentro
de la expresión. Por ejemplo te piden
factorizar la siguiente expresión:
�� 9�� � 7� � 63
Para introducirlo en la línea de entrada de
HOME sería así:
954!%���� 9�� � 7� � 6&
Damos ENTER y vemos:
Nos devuelve la factorización adecuada de
binomios que daría como resultado ese
polinomio.
Función Expand
La función expand es la función inversa de
factor, cuando introduzcas una expresión
elevada a una potencia o una multiplicación
de expresiones lo que va a hacer es
desarrollar esa multiplicación para que la
visualices por completo. Su forma de
escritura es similar a la de factor:
���5 �������1$ó &
Por ejemplo supongamos que necesitas
desarrollar la expresión:
�2�� 9&�
En la línea de entrada de HOME se debe de
introducir así:
���5 ���2�� 9&�&
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 17
Damos ENTER y vemos:
Operador With
El operador “with” es un comando
condicionante, en la calculadora se puede
combinar con varias funciones de la misma
para restringir la búsqueda de una respuesta
ó para sustituir un valor en una variable en
una expresión dada. Su símbolo es |. Tú
puedes combinarlo de la siguiente forma:
1. Pidiéndole que sustituya un valor en una
variable, esto es útil cuando quieres sustituir
un valor cualquiera en una expresión grande
y tendrías que hacer varias operaciones a
mano, por ejemplo:
5� 7��3�� 12�� � 5�
Y quieres sustituir digamos 7 en donde haya
equis y evaluarlo. Primero debes teclear la
expresión completa en la línea de entrada y
luego teclear este operador, el operador
“with” sale tecleando “2nd” + letra K del
teclado extendido. En la línea de entrada
quedaría así:
Damos ENTER y vemos:
Como puedes ver opera la expresión,
también antes de dar ENTER puedes
presionar DIAMANTE y te devolverá un valor
numérico aproximado.
2. También lo puedes usar para restringir la
búsqueda de respuestas. Por ejemplo buscas
sólo la solución positiva de X para:
�� � 2� � 15 * 0
Para ésta igualdad como sabemos ocupamos
la función solve y al finalizar de escribir la
función restringimos la búsqueda a X>0:
1%23���� � 2� � 15 * 0, �&|� ; 0
En la línea de entrada quedaría así:
Damos ENTER y vemos:
El símbolo de “>” sale con “2nd”+ símbolo de
punto de la parte numérica.
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 18
Mensajes de Error Comunes
Los mensajes de error comunes suceden
cuando en la línea de entrada cometiste un
error de sintaxis o que falta una variable o
alguna expresión necesaria.
Uno de los más comunes es el mensaje de
“Missing )”:
Nos indica que falta un paréntesis ya sea de
cierre o apertura en la línea de entrada. Este
error hace referencia a la regla que dice
“Cada paréntesis que se abre debe cerrarse”
Otro error común es el de “Syntax”:
Este error nos indica que hemos escrito algo
mal en la línea de entrada, generalmente se
debe a los signos negativos, es decir que
hemos usado los inadecuados.
También tenemos éste otro error, el de “Too
few arguments”
El cual nos indica que hacen falta
argumentos para la función, esto se explicará
con el uso mismo de los programas y
software para que sepas como y donde
ponerlos.
Un último factor importante en el uso de la
calculadora es que después de que le des
una orden ya sea dando ENTER o con
cualquier otra tecla de resolución dejes que
la calculadora “piense” o resuelva lo que le
has pedido, cuando esta “ocupada” lo dice
en la esquina inferior derecha, aparece el
recuadro de BUSY, lo cual indica que esta
ocupada y no debes teclear nada hasta que
te devuelva una respuesta.
Borrando Variables
Es importante que de cuando en cuando
después de haber usado tu calculadora
elimines las variables con valores asignados
que se hayan podido guardar en la memoria,
esto ocurre algunas veces cuando ocupas la
función solve ó cuando usas el Numeric
Solver, para eliminar las variables estando en
HOME simplemente teclea F6 CleanUp y da
ENTER sobre la primera opción “Clear a-z”:
Al hacer esto borras automáticamente todos
los valores que podrían contener las
variables de la “A” a la “Z”. Es importante
que hagas esto cuando inicias un nuevo
problema.
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 19
Multiplicación Implícita de Variables
Otro error bastante común a la hora de
teclear los datos es que nosotros al escribir a
mano damos por hecho la multiplicación
implícita de variables en una expresión, por
ejemplo al escribir:
�< 3�� � 2<=
Nosotros por intuición y por lo que nos han
enseñado sabemos sin problema que en la
primer y último termino hay una
multiplicación de variables X por Y y Y por Z.
En la Texas debemos especificar ésta división
de variables ya que si las tecleamos juntas la
Texas pensará que se trata de una variable
única llamada XY ó YZ:
La forma correcta es teclear el signo de
multiplicación entre ambas variables:
Podemos ver la diferencia, como tip puedes
observar el pequeño punto entre la X y la Y,
así como entre la Y y la Z indicando la
independencia de cada variable. Es
importante teclear esto correctamente, ya
que en el uso de alguna función podría no
reconocer la variable que quieres que
resuelva, por ejemplo:
Podemos ver que al resolver una igualación a
15 y pedirle encontrar Y, no existe ésta
variable ya que para la Texas solo hay
variables X, XY y YZ, lo correcto sería:
Cuando todo falla
Se ha llegado a ver situaciones en donde la
pantalla se “frizea” ó se queda trabada, esto
ocurre generalmente cuando no esperaste
una respuesta de la misma cuando estaba en
estado BUSY, siempre debes esperar
después de darle un comando de resolución
o respuesta (ya sea ENTER o cualquier otro) a
que te devuelva un valor o mensaje, NO LA
FUERCES, se paciente y siempre fíjate en el
estado de la misma, éste se encuentra
siempre activo en la esquina inferior derecha
de la pantalla, da siempre un teclazo a la vez
y ordenadamente. De todas maneras si se te
llegara a trabar presiona al mismo tiempo
estas 3 teclas “2nd” + ON + tecla de mano:
+ + . Esto reiniciará la
calculadora completamente y sin problemas.
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 20
Ephy
Pensando en el gran número de usos en el
área de Química y sus modalidades
combinadas (Fisicoquímica, Termodinámica,
Química Orgánica, etc.) instalé en todas las
calculadoras una práctica tabla periódica de
los elementos que puedes consultar. Para
entrar a ella estando en HOME teclea en la
línea de entrada la combinación “EPHY()” y
da ENTER:
Da ENTER nuevamente para continuar:
Y verás:
Y puedes desplazarte por cada elemento, y
para ver su información da ENTER sobre el
símbolo del elemento que deseas ver y verás
su ficha completa:
La desventaja es que está en francés, pero
los símbolos químicos no cambian, son
iguales para todos, además de que es
bastante entendible, la información es
explícita, la información de cada elemento es
la siguiente:
• Nombre
• Masa Atómica
• Electronegatividad
• Densidad (gr/cm3)
• Punto de Ebullición (°C)
• Punto de Fusión (°C)
• Valencia
• Configuración Electrónica
• Radio Atómico
• Por quién fue descubierto y en que
año.
Para salir de la tabla simplemente da ESC:
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Índice de Cálculo Diferencial Página 21
Índice de Calculo Integral
C a p í t u l o 1 Gráfica de Funciones & Integral definida
1.1 Graficando funciones.……………………………………………………………………….23
i) (Encontrando áreas bajo la curva & longitud de arco). Forma Gráfica
1.2 Integral definida……………………....……………………………………………………….26
C a p í t u l o 2 La Integral Indefinida
2.1 Integrales Indefinidas.………………………………….……………………………………28
2.2 Integrales Indefinidas en SMG (paso a paso)…..…………………………………33
2.3 Librería de Fórmulas de SMG……………………………………………………………..43
C a p í t u l o 3 Aplicaciones de la Integral
3.1 Área entre 2 curvas ……………………..……………………………………………………47
i) (Sombreado)
3.2 Longitud de Arco.………………………………………………………………………………50
3.3 Series de Taylor.………………………………………………………………………………..53
3.4 Sólidos de Revolución.…………….………………………………………………………..54
Consideraciones especiales MUY IMPORTANTE............................................................55
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Índice de Cálculo Diferencial Página 22
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Graficando Funciones Página 23
Graficando Funciones
Bien ahora vamos a ver como graficar, ver y
calcular áreas bajo la curva desde la gráfica
misma. Usaremos esta función:
9��& * �� 2� 1
Enciende tu calculadora, tecla ON.
Muévete a través de las aplicaciones con las flechas hasta el programa “Y=Editor” y da ENTER
Da ENTER de nuevo y escribe sobre la línea
de entrada la ecuación x^2+2x+1
Da ENTER de nuevo y verás como se
palomeo la ecuación, es importante señalar
que en esta sección de gráficas solo se puede
usar la variable
“x” para
graficar.
Luego para ver la gráfica de la ecuación
simplemente presiona F2 (el menú de Zoom)
y selecciona la sexta opción o “ZoomStd” y
da ENTER, el cual generará una vista rápida
de la gráfica con límites en los 4 cuatro
cuadrantes con ±10 unidades en los 4
sentidos.
Ya puedes ver la gráfica y la forma de la
función.
Ya sabes como graficar una función con tu
calculadora, ahora veremos como puedes
encontrar el área bajo la curva en un
intervalo dado y la longitud de arco de esta
misma función de igual manera en un
intervalo dado.
Supongamos que nos piden el área bajo esta
curva entre los intervalos a = -1 y b = 2.
Ahora simplemente presionamos F5 , , se
despliega el menú matemático y nos
posicionamos sobre la séptima opción que
tiene el símbolo de integral de función de
equis y damos ENTER:
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Graficando Funciones Página 24
Se resalta un cursor parpadeando y en la
parte inferior nos pregunta “Lower limit”,
simplemente tecleamos -1 y
damos ENTER:
Vemos que ahora nos pregunta “Upper
Limit?”y ahora tecleamos el 2 y ENTER:
Observamos que nos sombreo el área bajo la
curva y en la parte de abajo nos indica el
área que cubre que es igual a 9.
Longitud de Arco
Ahora en esta misma grafica supongamos
que nos piden obtener la longitud de arco
entre los mismos intervalos:
Damos nuevamente en F5 y seleccionamos la
opción B y damos ENTER:
Igual que antes primero nos pregunta el
primer punto, igualmente presionamos -1
y ENTER:
Ahora nos pregunta el segundo punto y de
igual manera presionamos el 2 y ENTER:
Vemos que marca entre unas cruces el arco
que encontró y en la parte de abajo del lado
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Graficando Funciones Página 25
izquierdo el valor lineal de dicho arco. Éste
tema de longitud de arco lo verás al final del
curso de cálculo integral donde te pedirán
encontrar la longitud de arco en un intervalo
dado con una función, te lo muestro de una
vez porque que estamos aquí en la parte de
graficación y para que conozcas las
aplicaciones posibles al cálculo integral en
ésta parte de la calculadora.
Recuerda que puedes ajustar la pantalla de
graficación con DIAMANTE + letra E del
teclado extendido, luego para ver la gráfica
ya corregida damos DIAMANTE + letra R del
teclado extendido.
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Integral definida Página 26
Integral Definida
De igual manera tú puedes calcular
analíticamente el área bajo la curva (sin
graficar), en el solucionador instantáneo de
HOME, para regresar presionamos
DIAMANTE + letra Q :
Haremos algunas de las integrales que se
harán después de forma analítica, por ahora
evaluadas en un intervalo dado:
> �2� 1&����
�?
Para introducir la función de la integral
simplemente tecleamos la combinación 2nd
+ tecla 7 de la parte numérica, escribimos la
expresión y al finalizar una coma, luego la
variable de integración, luego coma y el
límite inferior y luego coma y el límite
superior, y completamos con paréntesis de
cierre:
Recordemos que el signo negativo del límite
inferior debe ser el de la tecla negra ,
ahora sólo damos ENTER:
Vemos de inmediato el resultado del área
bajo la curva en ese intervalo, recuerda que
si tienes problemas a la hora de introducir las
expresiones consulta el apartado de
“Introduciendo datos y expresiones
correctamente” al inicio de este manual.
Veremos ahora un par de ejemplos más:
> @ sec �1 tan �D� ��
E �F
G
De igual manera introducimos la integral de
la misma manera que al principio sólo que
antes de finalizar escribimos “,” y el
límite inferior y luego coma y el límite
superior:
Luego simplemente damos ENTER y vemos el
resultado inmediato expresado en
factorizada y simplificada:
Pero claro si tú quieres puedes forzar a la
calculadora a que te devuelva un valor
numérico aproximado, presiona
simplemente DIAMANTE antes de dar
ENTER:
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Integral definida Página 27
Por último ejemplificaremos con:
> �H · cos � ���E �F
E �F
Escribimos la integral igual que al inicio y
marcamos los límites y antes de dar ENTER
presionamos DIAMANTE para ver el valor
numérico exacto:
De igual forma tú puedes en los intervalos en
lugar de poner números poner variables para
que la calculadora te devuelva la expresión
un paso antes del final donde sustituyes los
valores:
Como puedes ver este es el paso antes del
final donde sustituyes los valores del
intervalo que desees.
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Integral Indefinida Página 28
Integrales Indefinidas
Esta es una de las aplicaciones más
poderosas y sorprendentes de la TIV200 ya
que puede resolver CUALQUIER integral (con
solución posible real) definida o indefinida,
doble ó triple, longitudes de arco, series de
Taylor y más, empezaremos a resolver un
ejemplo de cada tipo de integral para
mostrar como introducir los datos, para
después graficar algún ejemplo y mostrar el
área bajo la curva, primero veremos el
solucionador instantáneo que es muy útil
para corroborar resultados en un examen
difícil para luego verlo con el programa SMG
que resuelve paso a paso con tu ayuda,
veamos el siguiente ejemplo:
>�2� 1&� ��
Enciende tu calculadora tecla ON
Muévete con las flechas de desplazamiento
y posiciónate sobre el
ícono de HOME y da ENTER :
Esta es la pantalla principal de HOME, aquí se
realizan la mayoría de los cálculos difíciles y
complejos, ahora presiona F3 y verás
que se despliega un menú, posiciónate sobre
la segunda opción que dice “Integrate” y da
ENTER:
Verás que se copia la función
inmediatamente a la línea de entrada y se
encuentra el cursor parpadeando esperando
a que introduzcas la información, ahora
simplemente se escribe la ecuación:
Te muestro tecla por tecla como debes
teclear para que quede bien en la línea de
entrada, es muy importante que escribas
bien las ecuaciones sobre todo cuando hay
divisiones porque podría arrojar resultados
incorrectos, debes indicar bien con
paréntesis que hay arriba y debajo de cada
división, así como los exponentes y
argumentos de funciones trigonométricas,
también como una regla todo paréntesis que
se abre debe cerrarse, y al final de cada
función va una coma y la variable que
deseamos que calcule, aquí en este ejemplo
usamos la equis por comodidad pero podría
ser cualquier letra del abecedario, de tal
manera que quede así:
Ahora solo damos un ENTER y vemos el
resultado:
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Integral Indefinida Página 29
Borramos línea de entrada con CLEAR.
Iremos subiendo de complejidad:
>�5 · � 7&� ��
Borramos la línea de entrada con la tecla
CLEAR y hacemos los mismos pasos que
en el problema anterior, llamamos la función
del menú de “Calc” con F3 y damos ENTER
sobre la segunda opción e introducimos la
nueva integral de manera que se vea así:
NOTA: Es importante que entre la variable
“a” y la “x” haya un signo de multiplicación
por que si no la calculadora pensaría
que se trata de una variable con el nombre
“ax” y nos podría dar resultados erróneos,
para ver el resultado damos ENTER:
A esto me refería de que la calculadora
puede operar cualquier variable que tú
introduzcas no importa, te va a integrar
respecto a la que tu elijas después de la
coma.
Ahora:
> J25√� � 7
��K ��
De igual manera borramos la línea de
entrada con CLEAR y seguimos los mismos
pasos anteriores, solo que ahora debemos
tener mucho cuidado en los paréntesis de
división y raíces:
De manera que quede así:
Damos ENTER:
Veamos una con funciones trigonométricas:
> @ sec �1 tan �D� ��
Como ya sabemos realizamos los pasos
anteriores de borrar la línea de entrada y
poner la función de integrar y abrimos el
paréntesis general:
Y ahora para llamar a la función de secante
presionamos “2nd” y el número 5 de la
parte numérica y nos despliega un menú
matemático de lado izquierdo, nos movemos
con las flechas de desplazamiento
hasta la opción A que dice
“Trig” o funciones trigonométricas, abrimos
el submenú y nos posicionamos sobre la
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Integral Indefinida Página 30
función de la secante que es “sec(“ y damos
ENTER y vemos que se copia
automáticamente a la línea de entrada:
Ahora solo completamos la función cuidando
bien los paréntesis y divisiones y al final de
escribir todo como ya sabemos el respectivo
coma y la equis de manera que se lea así:
Damos ENTER y vemos el resultado:
NOTA IMPORTANTE: Es muy importante
señalar que la TIV200 siempre te va dejar el
resultado expresado en funciones
trigonométricas primarias (seno, coseno y
tangente), y de ser posible de la forma mas
simplificada y factorizada. Este ejemplo fue
tomado de un cuaderno de uno de sus
compañeros de semestres anteriores y
vemos que el resultado que tiene es:
� 11 tan �
Es importante que se entienda que ambos
resultados SON CORRECTOS, solo que
expresados en funciones diferentes, tu
puedes convertir esta expresión encontrada
manualmente a la de la Texas simplemente
sustituyendo la identidad trigonométrica de
tan � * LMN HOPL H luego haces un
quebrado simple y da el mismo resultado
que el de la Texas, también lo puedes
comprobar encontrando un área
sustituyendo algún intervalo cualquiera en
ambas ecuaciones y te darás cuenta que el
resultado es el mismo.
Veamos una de integración por partes, la
famosísima:
> �H · cos � ��
Como ya sabemos borramos la línea de
entrada y llamamos la función, ahora
escribimos normalmente y con cuidado en el
argumento de la función “e”:
De manera que quede así:
Damos ENTER y anotamos el resultado:
Este es un buen ejemplo del gran potencial
de la calculadora ya que para este ejemplo
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Integral Indefinida Página 31
en específico al hacer manualmente la
integral por partes se cicla y no se encuentra
el resultado de inmediato, debes recurrir a
otras técnicas para resolverlo, por eso es una
gran herramienta para comprobar tus
resultados en un examen.
Una de fracciones parciales:
> � 2�Q 2�� �� ��
Igual que antes borramos la línea de entrada
con CLEAR y ponemos nuestra integral y
escribimos la función de manera que se lea
así:
Observamos que se tienen que poner
paréntesis encerrando la expresión de arriba
y después del signo de división paréntesis
encerrando la expresión de abajo, esto es
importante para indicar que va arriba y que
va debajo de la división, al final nuestra coma
y equis y el paréntesis de cierre. Damos
ENTER y vemos el resultado:
En este ejemplo normalmente te llevas 1
página y media de operaciones a mano y
llegas a este resultado.
Por último veamos una de sustitución
trigonométrica antes de pasar al
solucionador paso a paso con tu ayuda:
> √25 � ��� ��
Borramos la línea d entrada y escribimos
como ya sabemos la función correctamente
de manera que quede así:
Damos ENTER y vemos el resultado:
Borramos la línea con CLEAR. Para hacer esta
integral manualmente necesitarías una tabla
de sustituciones trigonométricas y llenar una
hoja de operaciones, con esto puedes
comprobar tus resultados inmediatamente y
sin problemas. Ahora bien tú puedes en
cualquiera de los ejercicios anteriores
evaluar la integral en un intervalo dado
haciendo lo siguiente:
Simplemente vuelve a escribir la integral que
ya teníamos hecha, por ejemplo la anterior o
si quieres copia la expresión del historial a la
línea de entrada dando moviéndote con las
flechas de dirección hacia
arriba y cuando esté sombreada nuestra
integral damos ENTER y se copia
directamente en la línea de entrada:
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Integral Indefinida Página 32
Ahora simplemente nos posicionamos entre
la última equis “x” y el paréntesis de cierre y
ponemos otra coma e inmediatamente
después el intervalo menor, supongamos 3
, luego otra coma y ahora el
intervalo mayor digamos 5 , de manera
que quede así:
Damos ENTER y vemos el resultado:
Si nosotros deseamos un resultado numérico
y no factorizado o en este caso expresado
con logaritmos tecla DIAMANTE antes
de dar ENTER:
Recuerda que si tienes problemas a la hora
de introducir las expresiones consulta el
apartado de “Introduciendo datos y
expresiones correctamente” al inicio de este
manual.
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Integrales Indefinidas en SMG (paso a paso) Página 33
Integrales Indefinidas en SMG (paso a paso)
Ahora veremos como resolver las integrales
indefinidas con ayuda de este programa, es
importante señalar que a veces si eliges los
pasos incorrectos puede que te lleve a
resultados obviamente incorrectos por esto
es MUY RECOMENDABLE solucionar primero
tu integral con el solucionador instantáneo
de HOME que siempre te dirá la verdad y
luego hacerlo por pasos en éste programa.
Para entrar en él presionamos la tecla APPS
:
Es la pantalla donde iniciamos ¿recuerdan?,
bien, ahí nos desplazamos con las flechas
hasta encontrar el programa SMG, nos
posicionamos sobre el y damos ENTER.
Nos aparece una pantalla donde nos da 3
opciones; 1) “Current” que significa
continuar con el problema anterior, (no
había, por lo tanto no se puede entrar), 2)
“Open…” que es abrir un problema
anteriormente guardado y 3)”New…” que es
nuestra opción nos posicionamos sobre ella y
damos ENTER
Bien ahora nos aparece una pantalla donde
nos pregunta con que nombre va a guardar
el set de problemas y en que folder, esta es
una ventaja ya que después lo podemos
volver a cargar y visualizar que pasos usamos
para solucionarlo; nos posicionamos sobre la
ventana de abajo dando un teclazo con el
cursor hacia abajo y escribimos un nombre
cualquiera, para este ejemplo pondremos
“pro1”. Lo dejaremos guardado en la carpeta
“MAIN” que es el folder principal de la
calculadora y damos ENTER 2 veces.
Nos sale la pantalla principal, ahora
presionamos F2 y seleccionamos la primera
opción “New Problem…” para introducir un
nuevo problema y damos ENTER.
Para ejemplificar resolveremos los mismos
problemas anteriores (pags.28-32)
haciéndolos por pasos con este programa,
vemos que nos sale un menú de opciones
para las teclas “F1, F2, F3…etc”, presionamos
“F4” que dice en pantalla “Compute” y
seleccionamos la primera opción que dice
“Indefinite Integral” y damos ENTER.
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Integrales Indefinidas en SMG (paso a paso) Página 34
Vemos que nos despliega un apantalla con
una mini línea de entrada, es en esta línea
donde debemos teclear nuestra integral a
resolver paso a paso, empecemos con R�2� 1&� �� , la tecleamos en la línea
como lo haríamos en HOME:
Damos ENTER y nos sale la pantalla donde
haremos la mayoría de las transformaciones
y simplificaciones para llegar al resultado
correcto:
De aquí en adelante es presionar F4 y F3.
Con F4 se accede al menú de
transformaciones posibles de la parte
seleccionada y con F3 se selecciona una
parte de la expresión para que la
transformes, con la práctica te irás
familiarizando con ello. Damos en F4
que dice “Trans” que quiere decir
transformación:
Vemos un menú en donde nosotros
podemos seleccionar la transformación
correspondiente para resolver la integral,
seleccionamos la primera opción que dice
“integration by substitution” y damos ENTER:
Aquí vemos una herramienta didáctica en
donde ustedes pueden intentar deducir cual
es la sustitución correcta por “u” para
resolver la integral, si no puedes después de
un tiempo ó no lo logras encontrar sólo
presiona F1 y automáticamente nos da
la sustitución correcta por la variable “u”:
Y damos ENTER 2 veces:
Vemos que arriba de la nueva integral que se
creó aparece el paso que se hizo por escrito,
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Integrales Indefinidas en SMG (paso a paso) Página 35
ahora presionamos nuevamente F4
para ver la próxima transformación posible:
Observamos que la primera opción se refiere
a sacar las constantes de la integral y ese es
justamente el paso correcto, ó también el
paso de “integral of polynomial” nos llevaría
al mismo resultado, pero para ejemplificar el
uso de F3 mostraremos éste paso, damos
ENTER:
Ahora debemos seleccionar solo la integral,
para esto presionamos ahora F3:
Vemos que se enmarca con una línea
punteada la primera parte de la expresión, es
importante que aprendas como usar estas
líneas punteadas, cada vez que presionas con
el cursor hacia abajo seleccionas expresiones
más pequeñas dentro de tu expresión
general, y cuando presionas con el cursor
hacia arriba, seleccionas cada vez
expresiones más grandes y generales, y
cuando presionas a la derecha o izquierda te
mueves dentro de ese mismo nivel de
expresiones. Para pasarnos a la integral
damos una vez a la derecha con el cursor y
observamos que se enmarca la integral, ya
enmarcada presionamos F4 :
Vemos que la primera opción es la adecuada
para resolver la integral, ya que es de las
primeras formulas que les enseñan sus
profesores, damos ENTER:
Vemos que se deja representada la formula
sin operar todavía, esto lo hace la
calculadora con fines didácticos, para que tu
observes paso a paso lo que hace se hace,
ahora para que opere la expresión damos en
F5 “Tools”, nos posicionamos sobre la
segunda opción que dice “Apply” para luego
abrir el submenú y seleccionar la cuarta
opción “Simplify” y damos ENTER, (o
simplemente damos ENTER):
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Integrales Indefinidas en SMG (paso a paso) Página 36
Observamos que ya operó las fracciones, por
último debemos regresar a la sustitución
anterior, para esto damos de nuevo en F5 y
seleccionamos la quinta opción “Back
substitute..” y damos ENTER 2 veces:
Y llegamos al mismo resultado que el
operador automático de HOME. Lo genial de
esto es que tu puedes guardar tus problemas
resueltos y volverlos a cargar en cualquier
momento para ver como los realizaste y que
pasos utilizaste, muy útil en un examen.
Veamos un ejemplo más complejo:
> ��� · √�� � 25
El de la sustitución trigonométrica, primero
para hacer un nuevo problema presionamos
F2 y seleccionamos la primera opción
que dice “New Problem…” y damos ENTER:
Nos sale la pantalla que ya conocemos y
ahora simplemente escribimos en la línea de
entrada la función con su respectivo coma y
equis:
Damos ENTER y nos limpia la pantalla con
este nuevo problema, pero no te asustes el
problema que resolvimos anteriormente
sigue guardado, al final mostraremos como
cambiarte de problema a problema:
Ahora presionamos F4 para ver las
opciones de transformación posibles:
Seleccionamos la primera opción porque
como vemos es una fórmula ya existente en
la biblioteca de la calculadora y damos
ENTER:
Damos otro ENTER para que simplifique
automáticamente la expresión y vemos el
resultado completo:
NOTA IMPORTANTE: Este resultado no se ve
tan similar si lo comparamos con el del
solucionador instantáneo del HOME que nos
daría la expresión:
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Integrales Indefinidas en SMG (paso a paso) Página 37
Sin embargo es muy importante que se
entienda que AMBOS RESULTADOS SON
CORRECTOS, si tu encuentras un área con un
intervalo cualquiera en ambas expresiones y
la operas te darás cuente que el valor es el
mismo, tu puedes llegar al mismo resultado
con diferentes expresiones.
Ahora uno de Fracciones Parciales:
> � 2�Q 2�� �� ��
Nuevamente presionamos F2 y
seleccionamos “New problem…” y damos
ENTER:
Anotamos nuestra integral con los
respectivos paréntesis de cierre entre
numeradores y denominadores y también
como ya sabemos nuestra coma al final de la
expresión y equis , de manera que se vea así:
Y damos ENTER:
Damos en F4 para ver las opciones posibles
de transformación y nos damos cuenta que
es una integral de fracciones parciales, por lo
tanto seleccionamos la segunda opción y
damos ENTER :
Vemos como automáticamente nos
transforma la fracción en 4 pequeñas
fracciones que son las que a veces te toma
tanto tiempo deducir por el algebra
compleja, esta es un buen paso para
comprobar que tus fracciones que obtuviste
son las correctas:
Damos en F4 de nuevo para
seleccionar la posible transformación y nos
damos cuenta que es una integral de sumas y
diferencias y por lo tanto se puede dividir en
varias, entonces seleccionamos la primera
opción y damos ENTER:
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Integrales Indefinidas en SMG (paso a paso) Página 38
Ya las dividió en 4 integrales, ahora lo que
debemos hacer es simplemente ir
seleccionando una por una y resolverla, para
esto, ahora presionamos F3, vemos que
aparece un recuadro donde podemos
observar que esta enmarcada la primera
integral, tu puedes moverte entre integrales
con las flechas de dirección y e ir
seleccionando expresiones más pequeñas
entre expresiones con las flechas de
dirección y , empezaremos con
la primera integral, ya que está seleccionada,
damos en F4:
Seleccionamos la primera opción ya que
vemos que el 3 puede salir de la integral por
ser constante, a veces pueden parecer cosas
obvias cuando está realizando esto paso a
paso, sin embargo la calculadora lo hace para
que se entienda paso por paso lo que se hace
hasta llegar al resultado. Damos ENTER en la
primera opción:
Observamos que ya saco el 3 de la integral,
ahora volvemos a presionar F3 para
seleccionar la primera integral y damos una
vez hacia abajo y una vez a la derecha
para seleccionar solo la integral sin el 3 y
damos F4 de nuevo:
La primera opción es la correcta por ser una
formula general del logaritmo natural y
damos ENTER:
Vemos que ya quedo la primera integral,
ahora vamos por las otras, presionamos F3 y
damos una vez a la derecha vemos que se
enmarca la segunda integral:
Damos en F4:
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Integrales Indefinidas en SMG (paso a paso) Página 39
Seleccionamos la primera opción que es una
formula general y damos ENTER:
Vemos que la segunda integral ya expresó la
formula pero todavía no lo opera, esto lo
hace igualmente con fines didácticos, para
que veas lo que se hace paso a paso. Para
simplificar ahora solo damos ENTER:
Vemos que ya nos pasó al final las integrales
ya resueltas y al principio las otras 2 que nos
faltan, damos en F3 de nuevo y
seleccionamos la primera integral y damos
F4:
Nuevamente como lo indica la primera
opción, sacar la constante es lo primero que
hay que hacer y damos ENTER:
Ya afuera damos en F3 de nuevo y luego 2
veces abajo y una vez a la
derecha para enmarcar solo la integral:
Damos en F4:
Y seleccionamos la primera opción que es la
formula que ya conocemos:
Vemos que ya la operó y solo nos queda una,
damos en F3 y una vez a la derecha para
movernos a la otra integral y ahora F4:
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Integrales Indefinidas en SMG (paso a paso) Página 40
Otra vez sacar la constante es lo primero
opción 1 y ENTER:
Ahora seleccionamos solo la segunda integral
así: primero F3 y damos ya
enmarcada damos F4:
Otra vez la primera opción es la adecuada y
damos ENTER:
Vemos que ya dejo expresada la fórmula y
ahora solo damos ENTER de nuevo para que
simplifique y opere lo faltante:
Hasta aquí el resultado ya es correcto, sin
embargo si queremos juntar los logaritmos
en uno solo debemos hace un par de pasos
más:
Damos en F3 y para seleccionar ambas
expresiones con logaritmos dejamos
presionado la tecla “shift” y damos una
vez hacia la derecha , soltamos el shift y
ya que estén enmarcadas ambas expresiones
damos F4:
Seleccionamos la tercera opción que es la de
factorizar y damos ENTER:
Ahora damos en F3 de nuevo una vez hacia
abajo y luego una vez a la derecha
para seleccionar solo los logaritmos y
damos en F4:
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Integrales Indefinidas en SMG (paso a paso) Página 41
Seleccionamos la tercera opción para
reacomodar los logaritmos:
Para finalizar damos volvemos a
seleccionarlos y damos en F4 y
seleccionamos la tercera opción que es la ley
de logaritmos cuando se restan y damos
ENTER:
Y llegamos al resultado final:
Como algo adicional el SMG puede darte el
dominio de cada función de la siguiente
manera:
Presionamos F5 :
Abrimos el submenú de “Info” o primera
opción y seleccionamos la tercera opción que
dice “Domain” y damos ENTER:
Y vemos que claramente nos indica que la
suma del denominador de la fracción debe
ser diferente de cero ya que se
indeterminaría la función.
Ahora para ver los problemas anteriores sólo
damos en F6 y damos en la segunda
opción “Previous Problem” o problema
anterior en español y damos ENTER:
Vemos como nos lanza al problema anterior
y te puedes desplazar con las flechas de
dirección arriba y abajo para ver paso por
paso lo que se hizo en cada uno.
Hagamos un último problema para
integración por partes:
> � · �H��
Como ya sabemos introducimos en un nuevo
problema la función:
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Integrales Indefinidas en SMG (paso a paso) Página 42
Damos en F4 y seleccionamos la segunda
opción:
Presionamos F1 para que nos ayude a
encontrar f(x) y g´(x) y damos ENTER 2 veces:
Ésta pausa que hace SMG en ésta pantalla es
útil en el tema de Integración por partes ya
que nos muestra las variables U y dV que se
tendrían que encontrar si se hiciera
manualmente, solo que SMG lo maneja con
variables distintas, f(x) es U, g’(x) es dV, que
están en la parte superior del recuadro, éstas
son las funciones que te piden derivar e
integrar respectivamente, expresiones que
también te lo muestra ya resuelto en la parte
inferior de cada una, debajo de f(x) esta su
derivada, y debajo de la derivada de g(x) ó
g’(x) está su integral.
Damos ENTER una vez más y luego una
última vez ENTER para que simplifique:
Ahora seleccionamos la integral pendiente
con F3 y una vez a la derecha y una
vez abajo , ya enmarcada presionamos
F4:
Damos ENTER en la primera opción y vemos
el resultado:
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Librería de Fórmulas de SMG Página 43
Librería de Fórmulas de SMG
NOTA MUY IMPORTANTE: El SMG tiene
ciertas limitaciones, resuelve SOLO las
integrales que se encuentren en su base de
datos con las fórmulas que contiene, que es
muy extenso y muy completo y te servirá
para casi todo tu curso de Calculo Integral,
sin embargo he encontrado cierto tipo de
integrales que no puede resolver porque no
se encuentran en esta base de fórmulas, a
continuación vamos a mostrar cuales son las
fórmulas que contiene y luego mostraremos
cuales no. Empezaremos con las que SI
TIENE:
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Librería de Fórmulas de SMG Página 44
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Librería de Fórmulas de SMG Página 45
Estas son todas las formulas de integrales
que posee en su base de datos, las del tipo
que he visto que NO PUEDE solucionar son:
> √5� � ��� �� > ��
√5� ��
Y combinaciones de éstas, con las
expresiones iguales dentro de la raíz pero en
diferentes lugares y con la equis también,
hay otras por sustitución trigonométrica que
las resuelve con cambio de variable, como
decía un método diferente para llegar al
mismo resultado.
Es por esta razón que se es ALTAMENTE
RECOMENDADO solucionar primero la
integral en el solucionador instantáneo de
HOME, HOME puede resolver la integral que
sea sin restricciones. NOTA IMPORTANTE: En
ocasiones es posible que en el solucionador
instantáneo de HOME y los resultados que
ves en clase se vean y sean diferentes, sin
embargo es MUY IMPORTANTE dejar en
claro que el resultado que te da la Texas ES
CORRECTO, al igual que el que se hace a
mano (si lo hiciste bien claro está), se
preguntarán porque, y la respuesta es simple
y tiene que ver con la razón de ser de la
integral; la razón de ser de la integral es
evaluar un área bajo la curva, si tu evalúas tu
resultado y el de la Texas en un mismo
intervalo te debe resultar el mismo valor
numérico SIEMPRE, si no, algo hiciste mal, si
metiste bien los datos a la calculadora su
resultado es correcto, ó la otra opción es que
te hayas equivocado en alguna operación a
mano. Un ejemplo típico de esto es el
ejemplo de la primera integral que se hizo en
la página 2, también es válido desarrollar el
binomio y resolver en 3 integrales separadas.
Te invito a que lo pruebes y lo descubras por
ti mismo, evalúa el resultado de la página 28
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Librería de Fórmulas de SMG Página 46
y el del binomio desarrollado en los
intervalos 0 y 2.
En general el único tema en donde “casi” no
puede ayudarte el SMG es en el tema de
Integración por sustitución trigonométrica,
ya que no posee este método en su
programación, es en ésta parte donde solo
podrás ayudarte del solucionador
instantáneo de HOME.
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Área entre 2 curvas Página 47
Área entre 2 curvas
Este tema será de los últimos que verás en tu
clase de Cálculo Integral. Generalmente te
darán 2 curvas cualesquiera y te pedirán que
encuentres el área encerrada entre ellas.
Veamos un ejemplo:
Encuentre el área encerrada entre las curvas:
< * �� � 4 & < * 2� 4
Bien lo primero que haremos será ver los
puntos en los que se intersecan
analíticamente ambas funciones, para esto
llamaremos a la función “solve(“,
presionamos F2 y se despliega el menú de
algebra, damos ENTER para que se copie a la
línea de entrada:
Ahora tecleamos ambas ecuaciones
igualadas y después de escribirlas una coma
y equis y cerramos el último
paréntesis de cierre:
Con esto le estamos diciendo a la calculadora
que queremos que encuentre los valores
posibles de equis que cumplan esa igualdad,
damos ENTER:
Y vemos los puntos de intersección de ambas
curvas, en -2 y 4. Ahora bien ya que sabemos
en que punto se intersecan, vamos a graficar
ambas curvas para que se observe cuál es el
área a encontrar. Debemos dirigirnos al área
de gráfica presionando DIAMANTE +
letra W del teclado extendido:
Aquí como ya sabemos graficar simplemente
escribimos ambas gráficas en y1 y y2 y las
marcamos:
Damos un Zoom Standard (±10 en eje de x y
y) presionando F2 y la opción 6 que dice
ZoomStd:
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Área entre 2 curvas Página 48
Ahora bien vemos que no se alcanza a
visualizar la intersección superior, debemos
ajustar la gráfica accediendo al menú
WINDOW, para esto presionamos DIAMANTE
+ la letra E del teclado extendido:
Aquí simplemente debemos aumentar el
rango del Ymax, para ver más en la parte de
arriba, simplemente nos posicionamos sobre
este valor y tecleamos digamos 15 y damos
ENTER:
Ahora para volver a ver la nueva gráfica ya
ajustada damos en DIAMANTE + letra R
del teclado extendido:
Ya que vemos bien la gráfica vemos
claramente cual es el área a encontrar, esto
es de gran ayuda ya que además de ver
como van ambas gráficas te ayuda a ver cual
gráfica se tiene que restar a la otra, es
claramente que la gráfica de la recta se tiene
que restar a la de la curva, siempre de arriba
abajo.
Sombreado
Ahora para sombrear el área entre ambas
presionamos F5 el menú de MATH y
seleccionamos la opción número 8 que dice
“Shade” (sombra) y damos ENTER:
Ahora vemos que nos hace una pregunta en
la parte inferior y dice “Above?”, es decir
“sobre?”, y pregunta que sobre que curva.
Aquí nosotros nos podemos cambiar de
curva presionando arriba y abajo con el
cursor, sabemos que la curva sobre la que
está el área es la de la parábola o sea que
damos ENTER:
Vemos que ya marco con una pequeña cruz
la curva lo cual indica que va a sombrear
sobre ella, ahora en la parte inferior
izquierda nos pregunta “Below?” es decir
“debajo?”, y quiere decir que debajo de cuál
curva va a sombrear el área, esta curva es la
recta y ya esta sobre ella, así que sólo damos
ENTER:
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Área entre 2 curvas Página 49
Ahora bien ya que marcamos ambas curvas
nos pregunta el límite inferior “Lower
Limit?”, sabemos que el límite inferior está
en las intersecciones que encontramos y
corresponde a -2, asi que sólo tecleamos
y damos ENTER:
Y por último como habrán adivinado, el
límite superior “Upper limit?” que
corresponde a 4, así que solo tecleamos 4 y
ENTER:
Y hemos sombreado el área que es la que
piden que encontremos. Ahora para calcular
dicha área fácilmente debemos ir a HOME,
presionamos DIAMANTE + la letra Q
del teclado extendido, ya en HOME podemos
resolver el área de 2 formas, la más simple es
teclear la integral y restar ambas funciones
y2(x) - y1(x), poner que es respecto a equis y
poner los intervalos de -2 a 4:
Damos ENTER:
Y vemos el resultado que son 36 unidades
cuadradas. Es importante el orden con que
restas las funciones para encontrar el área,
para esto nos sirvió graficar, para saber que
función se restaba de la otra. Como podrás
darte cuenta tú puedes mandar llamar
funciones escritas en el área gráfica y
seguirlas usando en HOME sin necesidad de
reescribirla completa. La otra forma como lo
acabo de mencionar es simplemente
tecleando la resta de ambas funciones, luego
que es respecto a equis y el intervalo:
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Longitud de Arco Página 50
Longitud de Arco
Bien ahora veremos una función muy útil
que es la “ArcLenght” o longitud de arco en
inglés, regresamos a HOME oprimiendo tecla
DIAMANTE + tecla “Q” del
teclado extendido:
Vemos que regresamos a la pantalla original.
Sabemos que la fórmula para la longitud de
arco de una función en un intervalo dado es:
> �1 U9V��&W�X
Y��
Bueno pues con la TIV200 no tendrás que
derivar, luego elevar al cuadrado para luego
hacer la integral, hay una función que hace
todo esto y te da el resultado inmediato,
veamos un ejemplo:
9��& * 13 ��� 2&� �F
5 * 0 < 7 * 3
Damos en F3 y se abre el menú de
calculo, seleccionamos la octava opción que
dice “arcLen(“, y damos ENTER:
Como ya sabemos se copia directamente a la
línea de entrada, ahora solo tecleamos la
función con cuidado en los exponentes y
paréntesis para no confundir a la
calculadora, de manera que quede así:
Ya que hemos terminado de escribir la
función ahora solo ponemos una coma
para luego poner la variable de integración
equis , con esto referimos que es con
respecto a equis la integración, luego otra
coma e inmediatamente después
ponemos el límite inferior, en este caso 0
, luego otra coma e
inmediatamente después el límite superior,
en este caso 3 y cerramos con el
paréntesis de cierre , de manera que se
vea así:
Damos ENTER y vemos el resultado de
inmediato:
Observamos que el resultado es 12. Es así de
simple y puedes poner cualquier función que
desees, en algunas tarda un poco más que en
otras debido a su complejidad o porque
algunas las resuelve con métodos numéricos
más complejos. También puedes sustituir
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Longitud de Arco Página 51
variables en los intervalos para ver la
sustitución adecuada antes del final.
Hay ocasiones en donde te dan funciones sin
despejar en X y Y, y te piden encontrar la
longitud de arco entre 2 coordenadas, éste
tipo de ejercicios lo único que buscan es
confundirte ya que tu puedes encontrar la
longitud de arco con respecto a X ó con
respecto a Y usando las coordenadas
correspondientes de cada eje y encontrarás
la misma longitud.
Ejemplo. Halla la longitud de arco de la
siguiente función entre los siguientes pares
de coordenadas:
Z[ * \] ^ _^, √[` Z �[, ]&
Vemos que no nos dan despejada la función,
debemos despejarla, esto lo puedes hacer a
mano ó en HOME con la función solve del
menú F2 de Álgebra:
Luego de teclear la expresión podemos
indicarle cual variable deseamos que
despeje, puede ser X ó Y, empezaremos
como es costumbre con la Y:
Y vemos el resultado del despeje, es
importante entender lo que nos dice el
resultado completo, sabemos que la raíz
tiene 2 resultados es por esto que la primera
parte nos dice un resultado negativo con la
condición “and” de que x^3 ≥ -1, esto nos lo
dice claramente ya que si fuera menor a
menos 1 la raíz quedaría negativa y habría
resultado no real, es una pequeña
“exageración” de la Texas, pero nos lo deja
en claro para especificar el resultado
completo, e inmediatamente después (or)
nos marca el resultado positivo con la misma
condición. Borramos la línea de entrada con
tecla CLEAR y llamamos a la función arcLen:
Y tecleamos el despeje, únicamente la
solución positiva, en estos y muchos casos
casi siempre se tomará la solución positiva,
marcamos que es respecto a X y los límites
inferior y superior nos los dice las
coordenadas del problema, debemos
recordar solamente que si es respecto a X la
integración debemos poner los límites
inferior y superior de las coordenadas de X
únicamente, en éste caso 1,2:
Y damos ENTER, después de unos segundos
vemos:
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Longitud de Arco Página 52
Éstas son unidades lineales 1.88055,
borramos la línea de entrada y procedemos a
hacer los mismo pero con respecto a Y,
primero despejamos X:
Vemos el despeje correspondiente, ahora
borramos la línea de entrada con CLEAR,
llamamos nuevamente la función arcLen y
hacemos lo mismo pero con respecto a Y,
con límites inferior y superior de
coordenadas de Y:
Damos ENTER y vemos luego de unos
momentos:
Vemos que el resultado numérico es el
mismo para ambas expresiones. Yo te
recomiendo que cuando se te presenten
problemas de éste tipo utilices la función en
(en X ó Y) que te resulte más fácil despejar.
NOTA IMPORTANTE. Es posible que en
ocasiones debido a la complejidad de la
función pueda demorarse unos minutos (no
más de 5), sé paciente siempre te devolverá
una respuesta.
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Series de Taylor Página 53
Series de Taylor
Para las series de Taylor de igual manera está
la función que quizá y hayas visto en el
mismo menú que dice “Taylor(“, hagamos el
ejemplo más común:
9��& * sin��&
A quinto orden:
Borramos la línea de entrada con CLEAR
y presionamos F3 para para
desplegar el menú de calculo y nos
posicionamos sobre la octava opción que
dice “Taylor(“ y damos ENTER:
Vemos que se copia automáticamente a la
línea de entrada, ahora simplemente
ponemos la función seno con la tecla “sin”
, luego equis , cerramos el
paréntesis de la función seno , una coma
otra equis para indicar que es respecto
a equis , una coma más e
indicamos el orden, en este caso es el quinto
y cerramos todo con una paréntesis de
cierre , de manera que quede así:
Y damos ENTER:
Vemos el resultado de la suma de las
derivadas subsecuentes.
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Sólidos de Revolución Página 54
Sólidos de Revolución
Los sólidos de revolución como podrás darte
cuenta es todo igual que el área entre
curvas, sólo que la función es al cuadrado y
un pi π que afuera de la integral multiplica a
todo. Por ejemplo te piden el sólido
generado al girar la siguiente función
alrededor del eje X:
2 � √�
Entre 0 y 4. Solo tecleamos en la calculadora:
Y damos ENTER:
Y listo encontramos el sólido de revolución,
es importante mencionar que éste resultado
numérico representa unidades cúbicas ya
que es un sólido.
También con la combinación de la fórmula
de área entre curvas puedes encontrar un
área entre 2 curvas que giren y generen un
sólido de revolución alrededor de un eje, por
ejemplo del ejercicio de la página 47:
También es importante mencionar que
puedes encontrar áreas entre curvas, sólidos
de revolución, ó longitudes de arco con
respecto al eje Y, solo debes despejar la
función que tengas a x(y) en lugar del
cotidiano y(x) y evaluando en lugar de
coordenadas de X con coordenadas de Y.
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Consideraciones Especiales MUY IMPORTANTE Página 55
Consideraciones especiales
MUY IMPORTANTE
No siempre hay solución única
Hay ocasiones (como ya lo he mencionado)
que cuando resuelves integrales en el
solucionador instantáneo de HOME puedes
encontrar resultados poco parecidos a los
que resuelves a mano, pero es MUY
IMPORTANTE que se entienda que ambos
resultados (si hiciste todo bien claro está)
son correctos, tu puedes comprobarlo
evaluando en un intervalo cualquiera ambas
expresiones y el resultado numérico debe ser
el mismo, esto ocurre mas o menos seguido,
a continuación muestro un ejemplo típico:
>�2� 1&���
Esta integral se puede resolver de 2 formas,
una es por el método de sustitución, y el otro
desarrollando el binomio para después hacer
las 3 integrales por separado. Haremos los 2
métodos para ejemplificar esta
consideración especial. En el solucionador
instantáneo de HOME tecleamos tal cual la
integral y vemos el resultado:
Vemos que la calculadora lo resolvió por el
método de sustitución, sustituyendo “u” por
2x+1 y quedando una expresión más simple
para después integrarla normalmente como
una “u” a la “n”. Éste es un resultado, ahora
veamos el otro, borramos la línea de entrada
con la tecla CLEAR y para desarrollar el
binomio llamamos a la función “expand(“
que se encuentra en el menú de Algebra F2:
Para expandir el binomio sólo tecleamos la
expresión, cerramos el paréntesis
correspondiente y damos ENTER:
Ya que tenemos el binomio desarrollado
vamos a integrar esta misma expresión.
Sacamos la función de integración y
sombreamos del historial el binomio
desarrollado, lo copiamos dando ENTER,
integramos con respecto a X y vemos el
resultado:
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Consideraciones Especiales MUY IMPORTANTE Página 56
Como puedes darte cuenta ambos resultados
son muy diferentes, aunque factorices o
desarrolles el primer resultado jamás te
coincidirá con el segundo resultado. Sin
embargo tiene que quedar en claro que
AMBOS SON CORRECTOS, y vamos a
demostrarlo en este momento. La razón de
ser de la integral es encontrar un área bajo la
curva, es encontrar una expresión que pueda
ser evaluada en un intervalo cualquiera y
encontrar un área, entonces vamos a probar
ambas expresiones en un intervalo y el
resultado debe ser el mismo. Por poner
cualquier intervalo lo evaluaremos entre -1 y
2.
Primero seleccionamos el primer resultado y
lo evaluamos, para esto sacamos el operador
“with” que es una pequeña barra que se sale
tecleando “2nd” + letra K del teclado
extendido:
Ya que salió el operador tecleamos “x= -1”
que es el primer valor a evaluar:
Damos ENTER y vemos el primer valor
numérico:
Quitamos la sombra dando a la derecha con
el cursor y solo eliminamos el dato de -1 y
ponemos el 2:
Ahora bien ya tenemos nuestros 2 primeros
valores, debemos restarlos como ya
sabemos, el límite superior menos el límite
inferior y nos queda:
Vemos que el área es 21, este mismo valor
nos debe de dar para la otra expresión,
veamos la segunda expresión evaluada en -1:
Vemos que nos da -1/3, nada parecido al
límite inferior de la otra expresión. Veamos
el límite superior:
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Consideraciones Especiales MUY IMPORTANTE Página 57
De igual manera notamos que el límite
superior es bastante diferente. Ahora para
probarlo lo restamos:
Damos ENTER y…
Sucede la magia!!, ambas áreas son iguales,
este par de expresiones se compensan
perfectamente de forma que cuando los
evalúas en cualquier intervalo el resultado
siempre será el mismo, es por esto que no
siempre hay una solución única a las
integrales, y esto ocurre muy seguido.
Cuando veas un resultado diferente en la
Texas de lo que resolviste manualmente
primero pruébalos en un intervalo antes de
dudar de tu respuesta, si ambas áreas son
iguales entonces tu resultado es correcto.
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Consideraciones Especiales MUY IMPORTANTE Página 58
Integrales Especiales
Hay integrales que a la hora de resolverlas
en el solucionador instantáneo de HOME
parece no resolverla o te devuelve una
expresión simplemente factorizada de la
integral. Mostraré un ejemplo y como
solucionarlo:
> �9�Q � 27����
Cuando introducimos esta integral en el
solucionador de HOME y damos ENTER
vemos:
Vemos que simplemente factoriza lo de
dentro de la raíz junto con una equis y no
resuelve la integral, cuando suceda esto, lo
único que debes hacer es eliminar la función
de valor absoluto que da el resultado.
Borramos la línea de entrada con tecla CLEAR
y sombreamos el resultado y damos ENTER
para que se copie a la línea de entrada y
ahora eliminamos únicamente la función
“abs()“ que esta dentro del resultado:
Eliminando función “abs()”:
Ahora damos ENTER:
Y listo ya vemos el resultado correcto. Esto
ocurre debido a la naturaleza misma de la
función, esta función es simétrica, al
encontrar un área existen 2 expresiones que
representan la función para encontrar un
área, uno en el eje de los negativos y otro en
el de los positivos, generalmente solo va
cambiar el signo de la expresión
dependiendo de que lado vayas a encontrar
el área. Casi siempre los profesores solo
piden el resultado de los positivos (como en
éste caso), sin embargo el resultado
completo sería:
��� � 3&�/� & ���� � 3&�/� Dependiendo del área a buscar (intervalo),
ya sea en los negativos o en los positivos del
eje de la X se escoge la función solución, la
función positiva para evaluaciones en el eje
de los positivos y la función negativa para
evaluaciones en el eje de los negativos
(¿bastante obvio verdad?). Esto es digamos
una “exageración” de la Texas sin embargo
es importante que se entienda el porque lo
hace así, ésta función en específico sólo
existe en la parte positiva del eje de las Y, si
la graficamos:
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Consideraciones Especiales MUY IMPORTANTE Página 59
Vemos que hay una discontinuidad cerca del
origen y solo existe en la parte superior del
plano por lo tanto solo hay áreas bajo la
curva positivas posibles. Si evaluamos por
ejemplo un área entre 2 y 4:
Ó si evaluamos un área entre -4 y -2:
Vemos que de igual forma encuentra áreas
sólo positivas para esta función ambas con
un valor de 45.8722. Es por esto que sería un
error decir que la solución absoluta para la
integral de ésta función es ��� � 3&�/� ya
que si la evaluamos entre los límites
negativos tenemos:
Vemos un área negativa.
Sería un error decir que hay áreas negativas
para ésta función ya que acabamos que
comprobar con la gráfica que esto no es
posible, es por esto que la Texas hace esta
separación a la hora de resolver la integral.
Puede parecerte una exageración pero así es
la forma de operar matemáticamente
estricta de la Texas que no permite que haya
errores e incongruencias, ya que aunque solo
cambie el signo para ella es diferente. Es por
esto que se completa la solución con la
misma expresión pero con el signo negativo
para la misma función, si la evaluamos en los
límites negativos vemos:
Vemos ya el área positiva como debe ser.
Es importante que identifiques estas
situaciones en el solucionador instantáneo
de HOME, generalmente con éstas
situaciones en específico solo hay que quitar
la expresión “abs(” y volver a integrar sin
ésta expresión.
Con esto concluimos el curso para Cálculo
Integral apoyado con la calculadora Texas
Instruments Voyage 200, espero que te haya
sido de utilidad y le des el uso adecuado, te
recomiendo que resuelvas los ejercicios al
final de éste manual para que adquieras
habilidad a la hora de resolver tus tareas y
exámenes.
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Ejercicios Propuestos Página 60
Ejercicios Propuestos
Grafica de Funciones & Integral definida
Encuentra de cada una de forma gráfica el área solicitada:
5& > � · ��� 9Q
G��
7& > ��√1 �
?
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4& > �√�� � 1
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c& > �5�4 cos �&���?
�?
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Ejercicios Propuestos Página 61
La Integral Indefinida
Resuelve las siguientes integrales indefinidas en el solucionador instantáneo de HOME y en SMG
de ser posible.
Integrales directas
5& >�3�� � 5�� 3� 4& ��
7& > � � 1√2� � √� 1 ��
4& > cos�5 · � 7&��
�& > 2 · �H ��H�H ��
Integrales por sustitución
5& > sin � · cos � ��
7& > 4� � 32�� � 3� � 14 ��
4& > 2� · �Hd��
�& >�1 � cos �&� · sin � ��
Integración por partes
5& > � · �H ��
7& > �sin� � ��
4& > �� · ln � ��
�& >�2� 4& · ��HeQ��
5& > 3�� � � 1�� � �� ��
7& > ���� � 6 ��
4& > 6�� � 2� � 14�� � � ��
�& > 4� � 2�� � �� � 2� ��
5& > ��� · √4 � �� ��
7& > 1√1 � �� ��
4& > √25 � ��� ��
�& > �1 �Q ��
Integrales por fracciones parciales
Integrales por sustitución trigonométrica
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Ejercicios Propuestos Página 62
Aplicaciones de la Integral
Área entre 2 curvas
De los siguientes pares de curvas halla el área encerrada entre ellas.
5& < * 2 · �1 � ��& & < * 1
7& < * �� � 4� & < * 6� � �� 4& < * �� & < * √�
�& < * 3�� � �� � 10� & < * ��� 2�
Longitud de Arco
Encuentra las longitudes de arco de las siguientes curvas, entre las siguientes coordenadas dadas:
5& < * 3�� 7 � !�� �1,10& < �2,19&
7& 8< * �Q 2��� � !�� 251 4%%��� 5�51 �� � 2 < 5
4& 9<� * 4�� � !�� �0,0&< �3,2√3&
�& ��/� <�/� * 1 � !�� 251 4%%��� 5�51 �� � 1 < 1/8
Sólidos de Revolución
Encuentra el volumen de sólido de revolución generado al girar las siguientes funciones en torno
al eje X en los límites señalados
5& < * √�) � !�� � * 0 < � * 8 7& < * �� 2� � 1 � !�� � * 0 < � * 2
4& � * �< � 2&� � !�� � * 2 < � * 7 Por último encuentra el volumen de sólido de revolución generado al girar la región encerrada
entre las siguientes pares de curvas alrededor del eje X:
5& < * 2 · √� � 1 & < * � � 1
7& < * �H & < * �√� 4 � !�� � * 0 < � * 7
[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009
Bibliografía Página 63
Bibliografía
Sitio Web:
http://www.inetor.com/definidas/ejercicios_definida.html
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-INM.HTML
http://hdqtitm.blogviajes.com/1161208140/
http://www.monografias.com/trabajos61/integracion-sustitucion-trigonometrica/integracion-
sustitucion-trigonometrica2.shtml
http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Ejdefinida.htm
http://usuarios.multimania.es/calculoint21/id48.htm
http://translate.google.com.mx/translate?hl=es&langpair=en|es&u=http://tutorial.math.lamar.ed
u/Classes/CalcI/VolumeWithCylinder.aspx