Universidad Industrial de Santander

Escuela de Ingeniería Civil

Dinámica Estructural

Uso de la Integral de Duhamel para resolver un sistema de varios grados de libertad sometidos a una fuerza excitante.

Presentado por: German Camilo Parra

Código: 2101865

Presentado a: Prof. Gustavo Chio Cho

Bucaramanga, Santander

Septiembre 2 de 2013

Ejercicio:

Resolver el sistema de ecuaciones de movimiento [M ]∗{Ü }+[K e ]c∗{U }={F }, donde:

{F }={F4F7 }={2010 }∗sin (100∗t )[kN ]

Usando el método de la integral de Duhamel.

[M ]=[10,1937 00 10,1937] [ton ]

[K e ]c=[528571,26 −523800−523800 523800 ] [ kNm ]

Solución:

Dado a que el ejercicio es de la forma [M ]∗{Ü }+[K e ]c∗{U }={F } nos encontramos con un sistema

de dos ecuaciones con dos incógnitas el cual es muy difícil de solucionar a menos que desacoplemos el sistema de la siguiente manera:

[M ]∗{Ü }+[K e ]c∗{U }={F }

{U }=[ϕ ]∗{Z }

{Ü }=[ϕ ]∗{Z }

Reemplazando las dos ultima expresiones en la ecuación de movimiento, obtenemos:

[M ]∗[ϕ ]∗{Z }+ [K e ]c∗[ϕ ]∗{Z }={F }

Y ahora multiplicando por la transpuesta de la matriz phi (ϕ) se llega a lo siguiente:

[ϕ ]T∗[M ]∗[ϕ ]∗{Z }+ [ϕ ]T∗[K e ]c∗[ϕ ]∗{Z }=[ϕ ]T∗{F }

Donde:

[ϕ ]T∗[M ]∗[ϕ ]=[ I ]

[ϕ ]T∗[K e ]c∗[ϕ ]=[w2 ]

[ϕ ]T∗{F }={P }

Si reemplazamos tenemos lo siguiente:

[ I ]∗{Z }+[w2 ]∗{Z }= {P }

[1 00 1]∗{Z1Z2}+[w12 0

0 w22]∗{Z1Z2}={P4P7}

En donde los subíndices 1 y 2 representan los modos de vibración de la estructura, además si resolvemos la multiplicación de matrices llegamos a las siguientes ecuaciones:

Z1+w12∗Z1=P4

Z2+w22∗Z2=P7

Como se puede ver, ahora tenemos dos ecuaciones cada una con una incógnita, las cuales se pueden resolver aplicando la integral de Duhamel para cada caso, pero antes de hacer eso es

necesario determinar la matriz [w2 ] y [ϕ ]T.

Para eso se usa el siguiente sistema de ecuaciones deducido de un sistema de vibración libre.

([K e ]¿¿c−w2∗[M ])∗{a }=0¿

[K e ]c−w2∗[M ]=0

[528571,26 −523800−523800 523800 ]−w2∗[10,1937 0

0 10,1937 ]=0

[528571,26−10,1937∗w2 −523800−523800 523800−10,1937∗w2]=0

Para determinar los valores de w2, es necesario hallar el determinante de la matriz el cual sabemos que debe ser cero.

(528571,26−10,1937∗w2)∗(523800−10,1937∗w2 )−(523800)2=0

Por lo tanto, si resolvemos obtenemos dos valores de w2.

w12=233,5[ radseg ]

2

w22=103003,92[ radseg ]

2

Teniendo el valor de las frecuencias angulares para cada modo de vibración, el siguiente paso es determinar las amplitudes {a } para cada modo.

Determinación de {a } para w1:

[528571,26−10,1937∗w12 −523800−523800 523800−10,1937∗w1

2]∗{a11a21}=0

[526191,03 −523800−523800 521419,77 ]∗{a11a21}=0

El sistema está compuesto por dos ecuaciones con dos incógnitas pero dichas ecuaciones son linealmente dependientes, por lo que reemplazamos el valor de una amplitud y hallamos la otra.

Si a11=1 entonces a21=1,005

Con cualquiera de las dos ecuaciones da el mismo el valor de amplitud, así que usamos el sobrante para comprobar.

Determinación de {a } para w2:

[528571,26−10,1937∗w22 −523800−523800 523800−10,1937∗w2

2]∗{a21a22}=0

[−521419,8 −523800−523800 −526191,06 ]∗{a21a22}=0

Al igual que el anterior, tenemos un sistema de ecuaciones dependientes, así que suponemos el valor de una amplitud y determinamos la otra.

Si a21=1 entonces a22=−0,995

Por lo tanto la matriz de amplitudes queda de la siguiente manera.

[a ]=[a11 a12a21 a22]=[ 1 1

1,005 −0,995]Donde la primer columna representa el modo de vibración 1, y la segunda el modo de vibración 2.

Ahora el siguiente paso es normalizar la matriz de amplitudes para obtener la matriz phi, la cual es la que necesitamos para resolver los Duhamel.

Para eso primero hallamos los valores n para cada modo y proceder a hacer la normalización.

n=√∑ mi∗ai , j2

n1=√10,1937∗12+10,1937∗1,0052=4,5265

n2=√10,1937∗12+10,1937∗(−0,995)2=4,5040

Y de la siguiente manera obtenemos la matriz phi de amplitudes normalizadas.

[ϕ ]=[ a11n1 a12n2

a21n1

a22n2

]=[ϕ41 ϕ42ϕ71 ϕ72 ]=[0,2209 0,2220

0,2220 −0,2209 ]

Donde el primer subíndice significa el nodo, y el segundo subíndice el modo de vibración.

[ϕ ]T=[0,2209 0,22200,2220 −0,2209]

Con los valores de la matriz [ϕ ]T se halla el valor de la fuerza {P }.

{P }= [ϕ ]T∗{F }

{P4P7}=[0,2209 0,22200,2220 −0,2209]∗{2010}∗sin (100∗t )

P4=4,418∗sin (100∗t )+2,22∗sin (100∗t )

P7=4,44∗sin (100∗t )−2,209∗sin (100∗t)

Por lo tanto las ecuaciones a resolver con la integral de Duhamel quedan de la siguiente manera:

Z1+233,5∗Z1=4,418∗sin (100∗t )+2,22∗sin (100∗t)

Z2+103003,92∗Z2=4,44∗sin (100∗t )−2,209∗sin (100∗t)

Integral de Duhamel para Z1

El método de la integral de Duhamel nos permite hallar el valor del movimiento a lo largo del tiempo, usando un método numérico para encontrar el valor de dos constantes A y B que varian en el tiempo, necesarias para la siguiente ecuación.

Z1 ( t )=A (t )∗sin (w1∗t )−B∗cos (w1∗t)

m∗w1

Donde:

w12=233,5[ radseg ]

m=10,1937 [ ton]

Para hallar A(t) y B(t) se usa la siguiente tabla que muestra las iteraciones hechas para encontrar los valores de Z1 ( t ).

t [s] P1(t) [kN] A(t) B(t) Z1(t) [m]0 0 0 0 0

0,01 5,585684397 0,0277656 0,00283847 9,12192E-060,02 6,035916319 0,08428579 0,01608408 6,43335E-050,03 0,936754614 0,11684646 0,0284661 0,000168080,04 -5,02365496 0,0996692 0,01740834 0,0002756750,05 -6,36533934 0,05581607 -0,01883193 0,0003352020,06 -1,85476008 0,0279955 -0,04903643 0,0003341520,07 4,361077042 0,03416801 -0,03811575 0,000309940,08 6,567360041 0,0564076 0,01173846 0,0003146560,09 2,735642505 0,06935897 0,05636961 0,000366479

0,1 -3,61121213 0,06964118 0,05193102 0,0004324380,11 -6,63793499 0,07175 0,00077713 0,0004583840,12 -3,56177103 0,08081154 -0,04936103 0,0004186230,13 2,78906879 0,08133398 -0,05326974 0,0003395810,14 6,575651627 0,0588077 -0,01226991 0,0002757450,15 4,316610683 0,02633133 0,03138367 0,0002599920,16 -1,91110222 0,01828434 0,04034217 0,0002739610,17 -6,38175655 0,05232248 0,01672706 0,0002657050,18 -4,98505334 0,10292946 -0,00901774 0,0001983540,19 0,994884918 0,12164675 -0,01591009 8,50583E-05

0,2 6,060130574 0,08676269 -0,01086728 -2,1973E-050,21 5,553720129 0,02875287 -0,01027795 -7,8257E-050,22 -0,05875499 0,00148559 -0,01350339 -8,668E-050,23 -5,61721104 0,02839338 -0,00454127 -9,357E-050,24 -6,01122917 0,08069048 0,02073637 -0,000144840,25 -0,87855092 0,10942229 0,03969234 -0,000242570,26 5,061862994 0,09472207 0,02482201 -0,000341930,27 6,348423413 0,05977095 -0,02020002 -0,000391360,28 1,798272623 0,03939289 -0,05542871 -0,000379040,29 -4,40520172 0,04320874 -0,04295336 -0,00034298

0,3 -6,55855392 0,05406636 0,01072571 -0,000335450,31 -2,68200189 0,05694773 0,05679617 -0,000374460,32 3,66037031 0,0582437 0,05201542 -0,000426990,33 6,637414927 0,07152793 0,00232007 -0,000439210,34 3,51205087 0,09121532 -0,0444009 -0,000386190,35 -2,84227656 0,09230552 -0,04766564 -0,000295050,36 -6,58342803 0,06117439 -0,01234061 -0,00022059

0,37 -4,27180613 0,02009361 0,02305192 -0,000195570,38 1,967294625 0,01071451 0,0297731 -0,00020140,39 6,397673774 0,04941806 0,01401652 -0,00018623

0,4 4,946061159 0,10431238 -3,3425E-05 -0,000113680,41 -1,05293728 0,12360026 -0,00262844 2,5135E-060,42 -6,08387004 0,08804883 -0,00534508 0,0001099210,43 -5,52132074 0,03135136 -0,01742261 0,0001643340,44 0,117505379 0,00587094 -0,02635986 0,0001691490,45 5,648297596 0,03056391 -0,01151907 0,0001709960,46 5,986071052 0,07610596 0,02458227 0,000215680,47 0,820278389 0,09972397 0,04904714 0,0003049580,48 -5,09967444 0,08835466 0,03092955 0,0003939290,49 -6,33101011 0,06402948 -0,02072771 0,000431447

0,5 -1,74164428 0,05193784 -0,05920055 0,0004064290,51 4,448981269 0,05300734 -0,04569638 0,0003575020,52 6,549233956 0,05188406 0,00923037 0,0003371230,53 2,628151147 0,04469309 0,0545079 0,0003631770,54 -3,70924171 0,04716322 0,0496385 0,0004025530,55 -6,63637484 0,0710831 0,00382835 0,0004018010,56 -3,46205555 0,10034402 -0,03726255 0,0003366730,57 2,895261645 0,10175899 -0,03984484 0,0002350,58 6,590688638 0,06342652 -0,01198716 0,0001518510,59 4,226666891 0,01577848 0,01349708 0,000119796

0,6 -2,0233329 0,00563607 0,01784395 0,0001199860,61 -6,41308976 0,04719668 0,01085115 0,0001006080,62 -4,90668146 0,10371445 0,00912491 2,57238E-050,63 1,110907139 0,12262134 0,0107415 -9,0433E-050,64 6,107132842 0,08812998 0,00021912 -0,000195270,65 5,488488774 0,03547911 -0,0239225 -0,000244940,66 -0,17624656 0,01294531 -0,03795366 -0,00024340,67 -5,67894162 0,03413423 -0,01778105 -0,000237650,68 -5,96044394 0,07071421 0,02740969 -0,000273440,69 -0,76194159 0,08821147 0,0560776 -0,00035226

0,7 5,137086344 0,0808954 0,03547043 -0,000429190,71 6,313100788 0,06841035 -0,02034572 -0,000453530,72 1,684879482 0,06503371 -0,06015814 -0,000414970,73 -4,49241225 0,06308847 -0,04624746 -0,000352780,74 -6,53940088 0,04996432 0,00727293 -0,00031960,75 -2,5740945 0,03318495 0,0495939 -0,000333180,76 3,757822494 0,03692247 0,04494175 -0,000360340,77 6,634814813 0,07041473 0,00527659 -0,000347950,78 3,411788991 0,10774505 -0,0282654 -0,000272450,79 -2,94801989 0,10925666 -0,03019846 -0,00016232

0,8 -6,59743288 0,06549643 -0,01125853 -7,2842E-050,81 -4,18119651 0,01362148 0,00316046 -3,6358E-050,82 2,079212658 0,00327778 0,00513185 -3,3686E-050,83 6,428003293 0,04571589 0,00739321 -1,2993E-050,84 4,866917345 0,10112593 0,01802084 6,12871E-050,85 -1,16878997 0,1187653 0,02355994 0,0001744830,86 -6,12991717 0,08704844 0,00557025 0,0002739240,87 -5,4552268 0,04097801 -0,02944957 0,0003161680,88 0,234973934 0,02236877 -0,04772994 0,0003058220,89 5,709140716 0,03889957 -0,0230558 0,000290298

0,9 5,934349853 0,06474298 0,02904795 0,0003153330,91 0,703545103 0,07543306 0,06044166 0,0003822130,92 -5,17409577 0,07271754 0,03826375 0,0004460170,93 -6,29469685 0,07271618 -0,01902461 0,0004565370,94 -1,62798268 0,07805446 -0,05824228 0,0004042370,95 4,535491262 0,07297086 -0,04461505 0,0003290220,96 6,529055454 0,04840938 0,00489709 0,0002837360,97 2,519836172 0,02298173 0,04227055 0,000285960,98 -3,80610887 0,0279979 0,03817566 0,0003024080,99 -6,63273497 0,06952307 0,00663633 0,000280257

1 -3,36125513 0,11304434 -0,01782207 0,000196594

En donde se tomo un intervalo de tiempo de 0,01 segundos hasta completar un segundo completo, esto con el fin de tener una precisión mayor al calcular los desplazamientos de la estructura.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-0.0006

-0.0004

-0.0002

0

0.0002

0.0004

0.0006

tiempo [s]

Desp

laza

mie

nto

Z [m

]

Integral de Duhamel para Z2

Z2 ( t )=A (t )∗sin (w2∗t )−B∗cos (w2∗t)

m∗w2

Donde:

w22=233,5[ radseg ]

m=10,1937 [ ton]

t [s] P2(t) [kN] A(t) B(t) Z2(t) [m]0 0 0 0 0

0,01 1,87732177 -0,00403741 0,00571243 1,8257E-060,02 2,02864256 -0,00249397 -0,00635653 1,822E-06

0,03 0,31483874 -0,00026904 0,0014283 4,4419E-070,04 -1,68842637 -0,00525913 0,0046217 -1,7918E-060,05 -2,13936006 -0,00079696 -0,0064699 -1,7839E-060,06 -0,62337598 -0,00104394 0,00267217 -8,7638E-070,07 1,4657371 -0,00602933 0,00322022 1,7179E-060,08 2,20725825 0,00086677 -0,00603018 1,7152E-060,09 0,91943634 -0,00223185 0,00356901 1,2849E-06

0,1 -1,2137111 -0,00627191 0,00167964 -1,6027E-060,11 -2,23097815 0,00231376 -0,00507942 -1,6202E-060,12 -1,19709418 -0,00369025 0,00399724 -1,659E-060,13 0,93739266 -0,00597334 0,00018705 1,4457E-060,14 2,21004501 0,00338545 -0,00371916 1,5031E-060,15 1,45079217 -0,00524373 0,00389071 1,9886E-060,16 -0,6423123 -0,00518418 -0,00107702 -1,2478E-060,17 -2,1448778 0,00396687 -0,00209848 -1,3685E-060,18 -1,67545255 -0,00670473 0,00324658 -2,2654E-060,19 0,33437605 -0,00401311 -0,00195999 1,0115E-06

0,2 2,03678085 0,0040001 -0,00039651 1,2205E-060,21 1,86657873 -0,00789563 0,00212569 2,4824E-060,22 -0,01974727 -0,00261402 -0,00235514 -7,4006E-070,23 -1,88791772 0,00349114 0,0011987 -1,0631E-060,24 -2,02034533 -0,00866976 0,00064544 -2,6344E-060,25 -0,29527675 -0,0011678 -0,00221428 4,3852E-070,26 1,7012679 0,00250909 0,00251225 8,9984E-070,27 2,1336747 -0,00892865 -0,00103396 2,7184E-060,28 0,60439081 0,000139 -0,00155339 -1,1294E-070,29 -1,4805672 0,00117799 0,00340301 -7,3365E-07

0,3 -2,20429855 -0,00863375 -0,00272836 -2,7332E-060,31 -0,90140799 0,00113629 -0,00045077 -2,2945E-070,32 1,23023293 -0,0003378 0,00378016 5,6695E-070,33 2,23080336 -0,00781092 -0,00425133 2,6794E-060,34 1,18038347 0,00169051 0,00096222 5,805E-070,35 -0,95527554 -0,00185307 0,00361389 -4,016E-070,36 -2,21265862 -0,00654749 -0,00543605 -2,56E-060,37 -1,43573358 0,00172048 0,00251664 -9,3133E-070,38 0,6611983 -0,00318358 0,00293882 2,3889E-070,39 2,15022751 -0,00498195 -0,00615498 2,3794E-06

0,4 1,66234746 0,00120697 0,00402588 1,2726E-060,41 -0,35388717 -0,0041678 0,00184988 -7,9616E-080,42 -2,04475957 -0,00328769 -0,00633481 -2,1439E-060,43 -1,85568945 0,00019509 0,00530771 -1,5948E-060,44 0,03949299 -0,00468601 0,00049106 -7,5825E-080,45 1,89836576 -0,00165258 -0,00596509 1,8611E-06

0,46 2,0118898 -0,001211 0,00620578 1,8885E-060,47 0,27569164 -0,00467438 -0,00096164 2,2734E-070,48 -1,71397615 -0,00025688 -0,00509942 -1,5396E-060,49 -2,12782217 -0,00286032 0,00660803 -2,1447E-06

0,5 -0,5853583 -0,00413256 -0,002321 -3,7502E-070,51 1,49528129 0,00074798 -0,00384904 1,189E-060,52 2,20116616 -0,00457279 0,00645997 2,3553E-060,53 0,88330901 -0,00312368 -0,00341074 5,19E-070,54 -1,24665837 0,00125718 -0,00236976 -8,1951E-070,55 -2,23045379 -0,00616041 0,00577112 -2,5129E-060,56 -1,16358029 -0,00176694 -0,00408635 -6,5932E-070,57 0,97308357 0,00122484 -0,0008435 4,4122E-070,58 2,21509888 -0,00744942 0,00461391 2,6116E-060,59 1,42056249 -0,00022354 -0,0042522 7,9584E-07

0,6 -0,6800325 0,00066938 0,00054317 -6,4298E-080,61 -2,15540874 -0,00830065 0,00311519 -2,6472E-060,62 -1,64911213 0,00132232 -0,00387285 -9,2809E-070,63 0,37337057 -0,00032874 0,00162105 -3,016E-070,64 2,05257809 -0,00862597 0,00144128 2,6168E-060,65 1,84465478 0,00268518 -0,00297734 1,0552E-060,66 -0,05923562 -0,00163653 0,00225829 6,4755E-070,67 -1,90866507 -0,00839857 -0,00022156 -2,5198E-060,68 -2,00327666 0,00370018 -0,00165577 -1,1759E-060,69 -0,25608492 -0,00308423 0,00237594 -9,6558E-07

0,7 1,72655011 -0,00765609 -0,00168907 2,3571E-060,71 2,12180293 0,00424254 -4,8778E-05 1,2883E-060,72 0,56627992 -0,00448538 0,0019573 1,2489E-060,73 -1,50987824 -0,00649618 -0,00280069 -2,1319E-060,74 -2,19786131 0,00424226 0,00166902 -1,3902E-060,75 -0,86514083 -0,00565887 0,00104987 -1,4921E-060,76 1,26298614 -0,0050649 -0,0034384 1,8491E-060,77 2,22992947 0,00369243 0,00330951 1,479E-060,78 1,14668594 -0,00645032 -0,00024024 1,6911E-060,79 -0,99081536 -0,00353946 -0,00354061 -1,5154E-06

0,8 -2,21736559 0,00265005 0,00469327 -1,5516E-060,81 -1,40528012 -0,00675039 -0,00176079 -1,8434E-060,82 0,69881341 -0,00210736 -0,00310936 1,1391E-060,83 2,16042111 0,00122932 0,00567062 1,6048E-060,84 1,6357476 -0,00650773 -0,00333139 1,9479E-060,85 -0,39282471 -0,00094416 -0,00221006 -7,2983E-070,86 -2,0602358 -0,00041172 0,00613922 -1,6351E-060,87 -1,83347559 -0,00573504 -0,00476476 -2,0049E-060,88 0,07897361 -0,00019285 -0,00096366 2,9835E-07

0,89 1,91881484 -0,00208989 0,00605612 1,6395E-060,9 1,99450656 -0,00450772 -0,00588883 2,016E-06

0,91 0,23645814 5,3127E-05 0,00046762 1,4385E-070,92 -1,7389888 -0,00361832 0,00544277 -1,6147E-060,93 -2,11561746 -0,00295495 -0,00656701 -1,9841E-060,94 -0,54715718 -0,00023918 0,00189949 -5,8488E-070,95 1,52435689 -0,00482853 0,00438241 1,5584E-060,96 2,19438426 -0,00124458 -0,00671435 1,9128E-060,97 0,84690487 -0,00103826 0,00314736 1,0128E-060,98 -1,27921496 -0,00559021 0,00301024 -1,4683E-060,99 -2,22923045 0,0004366 -0,00630755 -1,8068E-06

1 -1,12970175 -0,00225188 0,00404822 -1,4159E-06

Al igual que para el primer Duhamel, se uso el mismo intervalo de tiempo y se obtuvo la siguiente grafica de Z2 a través del tiempo.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-0.000004

-0.000003

-0.000002

-0.000001

0

0.000001

0.000002

0.000003

0.000004

tiempo [s]

Desp

laza

mie

nto

Z [m

]

Teniendo los valores de Z1 ( t ) y Z2( t), nos devolvemos en nuestro procedimiento para hallar de esta manera los desplazamientos en la estructura.

{U }=[ϕ ]∗{Z }

{U 4

U 7}=[0,2209 0,22200,2220 −0,2209]∗{Z1Z2}

Resolviendo:

U 4=0,2209∗Z1+0,2220∗Z2

U 7=0,2220∗Z1+(−0,2209∗Z2)

Donde el primer termino de cada uno representa el modo de vibración uno, y el segundo termino el modo de vibración dos.

Si se halla los valores para U 4(t) y U 7(t ) tanto para el modo uno como para el modo dos por separado, se puede aplicar la combinación modal para hallar los valores máximos de desplazamiento, usando la siguiente ecuación.

U 4=√ (0,2209∗Z1 )2+(0,2220∗Z2)2

U 7=√(0,2220∗Z1 )2+ (−0,2209∗Z2 )2

t [seg] Z1 [m] Z2 [m] U4 Modo 1 U7 Modo 1 U4 Modo 2 U7 Modo 20 0 0 0 0 0 0

0,01 9,1219E-06 1,8257E-06 2,015E-06 2,0251E-06 4,0531E-07 -4,033E-070,02 6,4334E-05 1,822E-06 1,4211E-05 1,4282E-05 4,0448E-07 -4,0248E-070,03 0,00016808 4,4419E-07 3,7129E-05 3,7314E-05 9,861E-08 -9,8121E-080,04 0,00027568 -1,7918E-06 6,0897E-05 6,12E-05 -3,9778E-07 3,9581E-070,05 0,0003352 -1,7839E-06 7,4046E-05 7,4415E-05 -3,9603E-07 3,9407E-070,06 0,00033415 -8,7638E-07 7,3814E-05 7,4182E-05 -1,9456E-07 1,9359E-070,07 0,00030994 1,7179E-06 6,8466E-05 6,8807E-05 3,8138E-07 -3,7949E-070,08 0,00031466 1,7152E-06 6,9508E-05 6,9854E-05 3,8078E-07 -3,789E-070,09 0,00036648 1,2849E-06 8,0955E-05 8,1358E-05 2,8526E-07 -2,8384E-07

0,1 0,00043244 -1,6027E-06 9,5526E-05 9,6001E-05 -3,5579E-07 3,5403E-070,11 0,00045838 -1,6202E-06 0,00010126 0,00010176 -3,5968E-07 3,5789E-070,12 0,00041862 -1,659E-06 9,2474E-05 9,2934E-05 -3,6829E-07 3,6647E-070,13 0,00033958 1,4457E-06 7,5013E-05 7,5387E-05 3,2094E-07 -3,1935E-070,14 0,00027575 1,5031E-06 6,0912E-05 6,1215E-05 3,3369E-07 -3,3204E-070,15 0,00025999 1,9886E-06 5,7432E-05 5,7718E-05 4,4147E-07 -4,3928E-070,16 0,00027396 -1,2478E-06 6,0518E-05 6,0819E-05 -2,7702E-07 2,7565E-070,17 0,0002657 -1,3685E-06 5,8694E-05 5,8986E-05 -3,038E-07 3,023E-07

0,18 0,00019835 -2,2654E-06 4,3816E-05 4,4035E-05 -5,0291E-07 5,0042E-070,19 8,5058E-05 1,0115E-06 1,8789E-05 1,8883E-05 2,2454E-07 -2,2343E-07

0,2 -2,1973E-05 1,2205E-06 -4,8538E-06 -4,878E-06 2,7095E-07 -2,6961E-070,21 -7,8257E-05 2,4824E-06 -1,7287E-05 -1,7373E-05 5,5108E-07 -5,4835E-070,22 -8,668E-05 -7,4006E-07 -1,9148E-05 -1,9243E-05 -1,6429E-07 1,6348E-070,23 -9,357E-05 -1,0631E-06 -2,067E-05 -2,0773E-05 -2,3601E-07 2,3484E-070,24 -0,00014484 -2,6344E-06 -3,1996E-05 -3,2155E-05 -5,8484E-07 5,8195E-070,25 -0,00024257 4,3852E-07 -5,3584E-05 -5,3851E-05 9,7351E-08 -9,6868E-080,26 -0,00034193 8,9984E-07 -7,5532E-05 -7,5908E-05 1,9977E-07 -1,9878E-070,27 -0,00039136 2,7184E-06 -8,645E-05 -8,6881E-05 6,0349E-07 -6,005E-070,28 -0,00037904 -1,1294E-07 -8,373E-05 -8,4147E-05 -2,5073E-08 2,4949E-080,29 -0,00034298 -7,3365E-07 -7,5765E-05 -7,6142E-05 -1,6287E-07 1,6206E-07

0,3 -0,00033545 -2,7332E-06 -7,4101E-05 -7,447E-05 -6,0676E-07 6,0376E-070,31 -0,00037446 -2,2945E-07 -8,2719E-05 -8,3131E-05 -5,0938E-08 5,0685E-080,32 -0,00042699 5,6695E-07 -9,4321E-05 -9,4791E-05 1,2586E-07 -1,2524E-070,33 -0,00043921 2,6794E-06 -9,7023E-05 -9,7506E-05 5,9484E-07 -5,9189E-070,34 -0,00038619 5,805E-07 -8,5309E-05 -8,5733E-05 1,2887E-07 -1,2823E-070,35 -0,00029505 -4,016E-07 -6,5176E-05 -6,55E-05 -8,9155E-08 8,8713E-080,36 -0,00022059 -2,56E-06 -4,8728E-05 -4,8971E-05 -5,6832E-07 5,6551E-070,37 -0,00019557 -9,3133E-07 -4,3201E-05 -4,3416E-05 -2,0676E-07 2,0573E-070,38 -0,0002014 2,3889E-07 -4,4488E-05 -4,471E-05 5,3033E-08 -5,277E-080,39 -0,00018623 2,3794E-06 -4,1137E-05 -4,1342E-05 5,2824E-07 -5,2562E-07

0,4 -0,00011368 1,2726E-06 -2,5112E-05 -2,5237E-05 2,8252E-07 -2,8112E-070,41 2,5135E-06 -7,9616E-08 5,5523E-07 5,58E-07 -1,7675E-08 1,7587E-080,42 0,00010992 -2,1439E-06 2,4281E-05 2,4402E-05 -4,7595E-07 4,7359E-070,43 0,00016433 -1,5948E-06 3,6301E-05 3,6482E-05 -3,5405E-07 3,5229E-070,44 0,00016915 -7,5825E-08 3,7365E-05 3,7551E-05 -1,6833E-08 1,675E-080,45 0,000171 1,8611E-06 3,7773E-05 3,7961E-05 4,1316E-07 -4,1111E-070,46 0,00021568 1,8885E-06 4,7644E-05 4,7881E-05 4,1925E-07 -4,1717E-070,47 0,00030496 2,2734E-07 6,7365E-05 6,7701E-05 5,047E-08 -5,022E-080,48 0,00039393 -1,5396E-06 8,7019E-05 8,7452E-05 -3,4179E-07 3,401E-070,49 0,00043145 -2,1447E-06 9,5307E-05 9,5781E-05 -4,7613E-07 4,7377E-07

0,5 0,00040643 -3,7502E-07 8,978E-05 9,0227E-05 -8,3255E-08 8,2843E-080,51 0,0003575 1,189E-06 7,8972E-05 7,9365E-05 2,6397E-07 -2,6266E-070,52 0,00033712 2,3553E-06 7,447E-05 7,4841E-05 5,2287E-07 -5,2028E-070,53 0,00036318 5,19E-07 8,0226E-05 8,0625E-05 1,1522E-07 -1,1465E-070,54 0,00040255 -8,1951E-07 8,8924E-05 8,9367E-05 -1,8193E-07 1,8103E-070,55 0,0004018 -2,5129E-06 8,8758E-05 8,92E-05 -5,5785E-07 5,5509E-070,56 0,00033667 -6,5932E-07 7,4371E-05 7,4741E-05 -1,4637E-07 1,4564E-070,57 0,000235 4,4122E-07 5,1912E-05 5,217E-05 9,7951E-08 -9,7466E-080,58 0,00015185 2,6116E-06 3,3544E-05 3,3711E-05 5,7978E-07 -5,7691E-070,59 0,0001198 7,9584E-07 2,6463E-05 2,6595E-05 1,7668E-07 -1,758E-07

0,6 0,00011999 -6,4298E-08 2,6505E-05 2,6637E-05 -1,4274E-08 1,4203E-08

0,61 0,00010061 -2,6472E-06 2,2224E-05 2,2335E-05 -5,8767E-07 5,8476E-070,62 2,5724E-05 -9,2809E-07 5,6824E-06 5,7107E-06 -2,0604E-07 2,0501E-070,63 -9,0433E-05 -3,016E-07 -1,9977E-05 -2,0076E-05 -6,6956E-08 6,6624E-080,64 -0,00019527 2,6168E-06 -4,3136E-05 -4,3351E-05 5,8093E-07 -5,7805E-070,65 -0,00024494 1,0552E-06 -5,4107E-05 -5,4377E-05 2,3425E-07 -2,3309E-070,66 -0,0002434 6,4755E-07 -5,3767E-05 -5,4035E-05 1,4376E-07 -1,4304E-070,67 -0,00023765 -2,5198E-06 -5,2497E-05 -5,2758E-05 -5,5939E-07 5,5661E-070,68 -0,00027344 -1,1759E-06 -6,0402E-05 -6,0703E-05 -2,6104E-07 2,5975E-070,69 -0,00035226 -9,6558E-07 -7,7814E-05 -7,8201E-05 -2,1436E-07 2,133E-07

0,7 -0,00042919 2,3571E-06 -9,4808E-05 -9,528E-05 5,2328E-07 -5,2069E-070,71 -0,00045353 1,2883E-06 -0,00010019 -0,00010068 2,86E-07 -2,8459E-070,72 -0,00041497 1,2489E-06 -9,1668E-05 -9,2124E-05 2,7726E-07 -2,7589E-070,73 -0,00035278 -2,1319E-06 -7,7929E-05 -7,8317E-05 -4,7329E-07 4,7094E-070,74 -0,0003196 -1,3902E-06 -7,06E-05 -7,0952E-05 -3,0863E-07 3,071E-070,75 -0,00033318 -1,4921E-06 -7,36E-05 -7,3967E-05 -3,3125E-07 3,2961E-070,76 -0,00036034 1,8491E-06 -7,9599E-05 -7,9996E-05 4,105E-07 -4,0847E-070,77 -0,00034795 1,479E-06 -7,6862E-05 -7,7245E-05 3,2834E-07 -3,2671E-070,78 -0,00027245 1,6911E-06 -6,0184E-05 -6,0484E-05 3,7543E-07 -3,7357E-070,79 -0,00016232 -1,5154E-06 -3,5856E-05 -3,6035E-05 -3,3642E-07 3,3475E-07

0,8 -7,2842E-05 -1,5516E-06 -1,6091E-05 -1,6171E-05 -3,4445E-07 3,4275E-070,81 -3,6358E-05 -1,8434E-06 -8,0314E-06 -8,0714E-06 -4,0924E-07 4,0721E-070,82 -3,3686E-05 1,1391E-06 -7,4411E-06 -7,4782E-06 2,5288E-07 -2,5163E-070,83 -1,2993E-05 1,6048E-06 -2,8701E-06 -2,8844E-06 3,5625E-07 -3,5449E-070,84 6,1287E-05 1,9479E-06 1,3538E-05 1,3606E-05 4,3243E-07 -4,3029E-070,85 0,00017448 -7,2983E-07 3,8543E-05 3,8735E-05 -1,6202E-07 1,6122E-070,86 0,00027392 -1,6351E-06 6,051E-05 6,0811E-05 -3,63E-07 3,612E-070,87 0,00031617 -2,0049E-06 6,9841E-05 7,0189E-05 -4,4509E-07 4,4288E-070,88 0,00030582 2,9835E-07 6,7556E-05 6,7893E-05 6,6234E-08 -6,5906E-080,89 0,0002903 1,6395E-06 6,4127E-05 6,4446E-05 3,6396E-07 -3,6216E-07

0,9 0,00031533 2,016E-06 6,9657E-05 7,0004E-05 4,4756E-07 -4,4534E-070,91 0,00038221 1,4385E-07 8,4431E-05 8,4851E-05 3,1935E-08 -3,1777E-080,92 0,00044602 -1,6147E-06 9,8525E-05 9,9016E-05 -3,5847E-07 3,567E-070,93 0,00045654 -1,9841E-06 0,00010085 0,00010135 -4,4047E-07 4,3829E-070,94 0,00040424 -5,8488E-07 8,9296E-05 8,9741E-05 -1,2984E-07 1,292E-070,95 0,00032902 1,5584E-06 7,2681E-05 7,3043E-05 3,4596E-07 -3,4424E-070,96 0,00028374 1,9128E-06 6,2677E-05 6,2989E-05 4,2465E-07 -4,2254E-070,97 0,00028596 1,0128E-06 6,3169E-05 6,3483E-05 2,2483E-07 -2,2372E-070,98 0,00030241 -1,4683E-06 6,6802E-05 6,7134E-05 -3,2597E-07 3,2435E-070,99 0,00028026 -1,8068E-06 6,1909E-05 6,2217E-05 -4,011E-07 3,9911E-07

1 0,00019659 -1,4159E-06 4,3428E-05 4,3644E-05 -3,1433E-07 3,1277E-07

Y finalmente usando las ecuaciones de la combinación modal, obtenemos:

U4 [m] U7 [m]0 0

2,0554E-06 2,0648E-061,4217E-05 1,4288E-053,7129E-05 3,7314E-056,0898E-05 6,1201E-057,4047E-05 7,4416E-057,3815E-05 7,4182E-056,8467E-05 6,8808E-056,9509E-05 6,9855E-058,0956E-05 8,1359E-059,5526E-05 9,6002E-050,00010126 0,000101769,2475E-05 9,2935E-057,5014E-05 7,5388E-056,0913E-05 6,1216E-055,7434E-05 5,772E-056,0519E-05 6,082E-055,8695E-05 5,8987E-054,3819E-05 4,4038E-051,8791E-05 1,8884E-054,8614E-06 4,8854E-061,7296E-05 1,7382E-051,9148E-05 1,9244E-052,0671E-05 2,0774E-053,2001E-05 3,216E-055,3584E-05 5,3851E-057,5532E-05 7,5908E-058,6453E-05 8,6883E-05

8,373E-05 8,4147E-057,5765E-05 7,6142E-057,4103E-05 7,4472E-058,2719E-05 8,3131E-059,4321E-05 9,4791E-059,7024E-05 9,7507E-058,5309E-05 8,5734E-056,5176E-05 6,55E-054,8732E-05 4,8974E-054,3201E-05 4,3416E-054,4489E-05 4,471E-054,1141E-05 4,1345E-052,5114E-05 2,5239E-055,5551E-07 5,5827E-07

2,4286E-05 2,4407E-053,6303E-05 3,6484E-053,7365E-05 3,7551E-053,7775E-05 3,7963E-054,7646E-05 4,7883E-056,7365E-05 6,7701E-05

8,702E-05 8,7453E-059,5308E-05 9,5782E-05

8,978E-05 9,0227E-057,8973E-05 7,9366E-057,4472E-05 7,4843E-058,0226E-05 8,0625E-058,8924E-05 8,9367E-05

8,876E-05 8,9202E-057,4371E-05 7,4742E-055,1912E-05 5,217E-053,3549E-05 3,3716E-052,6464E-05 2,6595E-052,6505E-05 2,6637E-052,2232E-05 2,2343E-055,6861E-06 5,7144E-061,9977E-05 2,0076E-05

4,314E-05 4,3355E-055,4108E-05 5,4377E-055,3767E-05 5,4035E-05

5,25E-05 5,2761E-056,0402E-05 6,0703E-057,7814E-05 7,8202E-059,4809E-05 9,5281E-050,00010019 0,000100689,1668E-05 9,2125E-05

7,793E-05 7,8318E-057,0601E-05 7,0952E-057,3601E-05 7,3968E-05

7,96E-05 7,9997E-057,6863E-05 7,7245E-056,0185E-05 6,0485E-053,5858E-05 3,6036E-051,6095E-05 1,6175E-058,0418E-06 8,0817E-067,4454E-06 7,4824E-062,8922E-06 2,9061E-061,3545E-05 1,3613E-05

3,8544E-05 3,8736E-056,0511E-05 6,0812E-056,9843E-05 7,0191E-056,7556E-05 6,7893E-056,4128E-05 6,4447E-056,9659E-05 7,0005E-058,4431E-05 8,4851E-059,8526E-05 9,9016E-050,00010085 0,000101358,9296E-05 8,9741E-057,2682E-05 7,3044E-056,2679E-05 6,2991E-056,3169E-05 6,3483E-056,6803E-05 6,7135E-05

6,191E-05 6,2218E-054,3429E-05 4,3645E-05

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.00002

0.00004

0.00006

0.00008

0.0001

0.00012

Desplazamiento U4

tiempo [seg]

Desp

laza

mie

nto

[m]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.00002

0.00004

0.00006

0.00008

0.0001

0.00012

Desplazamiento U7

tiempo [seg]

Desp

laza

mie

nto

[m]

Valores máximos en ambos desplazamientos

Por último y más importante paso, calculamos el máximo desplazamiento que va a sufrir el sistema en cada uno de sus nodos con el fin de comprobar derivas máximas.

U 4MAX=0,0001013 [m ]

U 7MAX=0,0001018[m ]

Nota: Para mayor información acerca del procedimiento de la integral de Duhamel o de la combinación modal, consultar archivo de Excel adjunto.