Integral Es

1.-

2.-

3.-

3.-

4.-

5.-

6.-

Para calcular A, B y C, sustituimos x por −3:

Derivamos y volvemos a sustituir por −3:

Volvemos a derivar:

También podemos hallar los coeficientes realizando las operaciones e igualando coeficientes:

integrales

1 .-

2.-

3.-

4.-

5.-

Se efectúa la suma:

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

Calculamos los coeficientes de A, B y C dando a la x los valores que anulan al denominador.

Se calculan las integrales de las fracciones simples:

Otra forna de hallar los coeficientes es realizando las operaciones e igualando coeficientes.

Igualamos coeficientes:

6.-

Para calcular los valores de A, B y C, damos a x los valores que anulan al denominador y otro más.

Definición de integral

Función primitiva o antiderivada

Función primitiva de una función dada f(x), es otra función F(x) cuya derivada es la solución dada.

F'(x) = f(x)

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integral indefinida

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee : integral de x diferencial de x.

∫ es el signo de integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Línealidad de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

Fórmulas de integrales

Sean a, k, y C constantes (números reales) y consideremos a u como función y a u' como la derivada de u.

Integral de una constante

La integral de una constante es igual a la constante por x.

Ejemplo

Integral de cero

Integral de x

Si la función a integrar es x, las fórmulas de integración son:

Ejemplos

Integrales de potencias

Ejemplos

Integral logaritmica

Ejemplos

Integral exponencial

Ejemplos

Integral del seno

Ejemplos

Integral del coseno

Ejemplos

Integral de la tangente

Ejemplos

Integral de la cotangente

Ejemplos

Integral del arcoseno

Ejemplos

Integral del arcotangente

Ejemplos

Vamos a transformar el denominador de modo que podamos aplicar la fórmula de la integral del arcotangente.

Transformamos el denominador en un binomio al cuadrado.

Multiplicamos numerador y denominador por 4/3, para obtener uno en el denominador.

Dentro del binomio al cuadrado multiplicaremos por su raíz cuadrada de 4/3.

Integrales por partes

Integración por partes I

http://www.inetor.com/metodos/integracion_partes.html

Integración por partes I I

Integración por partes I I I

Integración por partes IV

Ejerc ic ios integrales por partes

Integrales racionales

El denominador t iene sólo ra íces reales s imples

El denominador t iene sólo ra íces reales múlt ip les

El denominador t iene ra íces complejas s imples

Ejerc ic ios integrales rac ionales

Integrales por sustitución

Integrales por cambio de var iable

Cambio de var iable x = a sen t

Cambio de var iable x = a tg t

Cambio de var iable x = a sec t

Integrales i rrac ionales rac ionales

Integrales i rrac ionales con dist intos índices

Integrales rac ionales (sen x, cos x) pares

Integrales rac ionales (sen x, cos x) no pares

http://www.inetor.com/metodos/integracion_sustitucion8.html







http://www.inetor.com/metodos/integracion_sustitucion.html

http://www.inetor.com/metodos/ejercicios_racionales.html

http://www.inetor.com/metodos/integrales_racionales3.html

http://www.inetor.com/metodos/integrales_racionales2.html

http://www.inetor.com/metodos/integrales_racionales.html

http://www.inetor.com/metodos/ejercicios_partes.html

http://www.inetor.com/metodos/integracion_partes4.html



Ejerc ic ios de integración por sust i tuc ión

Integrales tr igonométricas

Potencias pares de sen x o cos x

Potencias impares de sen x o cos x

Con exponente par e impar

Productos de t ipo sen(nx) · cos(mx)

Integrales tr igonométr icas rac ionales

Integración por partes I

E l método de integración por partes se basa en la der ivada de un producto y se u t i l i za para reso lver a lgunas integrales de productos .

Tenemos que derivar u e integrar v' , por lo que será conven iente que la integral de v' sea inmediata .

Las func iones po l inómicas , l ogar í tmicas y a rcotangente se e l igen

como u .

Las func iones exponenc ia les y t r ígonométr i cas de l t ipo seno y coseno , se e l igen como v' .

http://www.inetor.com/metodos/trigonometricas_racionales.html

http://www.inetor.com/metodos/integrales_trigonometricas4.html



http://www.inetor.com/metodos/integrales_trigonometricas.html

http://www.inetor.com/metodos/ejercicios_sustitucion.html

Ejercicios

Integración por partes II

S i a l integrar por partes tomamos u = x n hay que repet i r e l p roceso n veces .

Ejercicios

Integración por partes III

S i tenemos una integral en la que só lo aparece un logar i tmo o un "arco" , integramos por partes tomando: v' = 1 .

Ejercicios

Integración por partes IV

S i a l integrar por partes aparece en e l segundo miembro la in tegra l que hay que ca lcu la r , se resue lve como una ecuac ión .

Ejercicios

Ejercicios por partes

1

Ejercicios resueltos de integración por partes

2


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7


8


9


10

Integrales racionales I

En la integración de funciones rac ionales se t ra ta de ha l la r la in tegra l

, s iendo P (x ) y Q(x ) po l inomios .

En pr imer lugar , supondremos e l g rado de P (x ) es menor que e l de Q(x ) , s i no fuera as í se d iv id i r ía .

C(x ) es e l coc iente y R(x ) e l res to de la d iv i s ión po l inómica .

Una vez que sabemos que e l denominador t iene mayor grado que numerador , descomponemos e l denominador en fac tores .

Depend iendo de las ra íces de l denominador nos encont ramos con

los s igu ientes casos :

1º El denominador t iene sólo raíces reales simples

La f racc ión puede escr ib i r se as í :

A , B y C son números que que se obt ienen e fec tuando la suma e ident i f i cando coe f i c ientes o dando va lo res a x .

Ejemplo

Se e fec túa la suma:

Como las dos f racc iones t ienen e l mismo denominador , l os numeradores han de ser igua les :

Ca lcu lamos los coe f i c ientes de A , B y C dando a la x los va lo res que anu lan a l denominador .

Se ca lcu lan las in tegra les de las f racc iones s imp les :

Ot ra fo rna de ha l la r los coe f i c ientes es rea l i zando las operac iones e igua lando coe f i c ientes .

Igua lamos coe f i c ientes :

Integrales racionales I I

2º El denominador t iene sólo raíces reales múltiples


Ejemplo I

Para ca lcu la r A , B y C , sus t i tu imos x por −3:

Der ivamos y vo lvemos a sus t i tu i r por menos −3:

Vo lvemos a der ivar :

También podemos ha l la r los coe f i c ientes rea l i zando las operac iones e igua lando coe f i c ientes :

Ejemplo I I

Para ca lcu la r los va lo res de A , B y C , damos a x los va lo res que anu lan a l denominador y o t ro más .

Integrales racionales III

3º El denominador t iene raíces complejas simples


Es ta in tegra l se descompone en una de t ipo lograr i tmico y o t ra de t ipo a rcotangente .

Ejemplo I

I gua lamos los coe f i c ientes de los dos miembros .

La pr imera in tegra l es de t ipo logar i í tmico y la segunda la tenemos que descomponer en dos , que serán de t ipo logar í tmico y t ipo arcotangente .

Mu l t ip l i camos por 2 en la segunda in tegra l para i r p reparádo la .

E l 2 de l numerador de segunda in tegra l l o t ran formamos en 1 + 1 .

Descomponemos la segunda in tegra l en o t ras dos .

Las dos pr imeras in tegra les son de t ipo logar í tmico .

La in tegra l que nos queda es de t ipo a rcotangente .

Vamos a t rans formar e l denominador de modo que podamos ap l i car la fó rmula de la in tegra l de l a rcotangente .

T rans formamos e l denominador en un b inomio a l cuadrado .

Mu l t ip l i camos numerador y denominador por 4 /3 , para obtener uno en e l denominador .

Dent ro de l b inomio a l cuadrado mul t ip l i ca remos por su ra í z cuadrada de 4 /3 .

Ejemplo I I

Sumamos y res tamos 3 en e l numerador , descomponemos en dos f racc iones y en la p r imera sacamos fac tor común 3 .

Mu l t ip l i camos y d iv id imos en la p r imera f racc ión por 2 .

Vamos a t rans formar e l denominador de modo que podamos ap l i car la fó rmula de la in tegra l de l a rcotangente .

T rans formamos e l denominador en un b inomio a l cuadrado .

Rea l i zamos un cambio de var iable .

Ejercicios resueltos de integrales racionales

1


2

http://www.inetor.com/metodos/integracion_sustitucion.html


3


4

Sust i tu imos x por −2

Der ivamos y vo lvemos a sus t i tu i r por menos −3:

Vo lvemos a der ivar :


5


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Integra les por sust i tuc ión

Integrales por sustitución I

E l método de integración por sust i tuc ión o cambio de var iable se basa en la reg la de la cadena .

E l método se basa en ident i f i ca r una par te de lo que se va a in tegrar con una nueva var iable t , de modo que se obtenga una integral más senc i l l a .

Pasos para integrar por sustitución

1º Se hace e l cambio de var iable y se d i fe renc ia en los dos té rminos :

Se despe ja u y dx , su t i tuyendo en la in tegra l :

2º S i la integral resu l tante es más senc i l l a , p rocedemos a in tegrar :

3º Se vue lve a la var iable in ica l :

Ejercicios

Integrales por sustitución II

Cambio de variable x = a sen t

Integrales por sustitución III

Cambio de variable x = a tg t

Integrales por sustitución IV

Cambio de variable x = a sec t

Integrales por sustitución V

Integrales irracionales racionales

Integramos por partes .

Se rea l i za la integral rac ional .

http://www.inetor.com/metodos/integrales_racionales.html

http://www.inetor.com/metodos/integracion_partes.html

Apl i camos las propiedades de los logar i tmos .

Integrales por sustitución VI

Integrales irracionales con distintos índices

En las funciones rac ionales de radicales con dist intos índices , de un mismo rad icando l inea l ax + b , e l cambio de var iable es t e levado a l mín imo común múl t ip lo de los índ ices .

http://www.vitutor.net/1/12.html

Integrales por sustitución VI I

Integrales racionales (sen x, cos x) pares

Si es par

Es dec i r :

Se rea l i za e l cambio t = tg x .

También se u t i l i za es te cambio para toda func ión rac iona l de tg x .

Ejercicios

Integrales por sustitución VIII

Integrales racionales (sen x, cos x) no pares

Si no es par

Se rea l i za en cambio .

Ejercicios

1

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3


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Documents

Integral Es