Embed Size (px)
Citation preview
İNTEGRAL İÇ KAPAK
Bu kitabın bütün yayın hakları saklıdır.Tüm hakları, yazarlara ve METİN YAYINLARI’na aittir. Kısmen de olsa alıntı yapılamaz. Metin, biçim ve
sorular, yayımlayan şirketin izni olmaksızın, elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılamaz, yayımlanamaz.
İSBN978-605-85523-8-8
METİN YAYINLARITel: 0538 395 11 00 – 0533 417 34 86http://www.metinyayinlari.com
Metin Yayınları
YazarlarGökhan METİN
Müjdat [email protected]
Doç. Dr. Ayhan TUTAR
Bilimsel İncelemeAyşen KÜTAHYALIOĞLU
Fatih UYANIKUmut KAPCI
Hukuk DanışmanıCihan Koray ÖZAŞAN
Grafik TasarımMerve ÖZBAY
Genel DağıtımA KARE BASIM DAĞITIM YAYIN LTD. ŞTİ.
Meşrutiyet Caddesi No: 35/3Kızılay / ANKARA
Tel: 0312 434 24 00 Faks : 0312 434 24 19 [email protected]
BaskıAydan Yayıncılık A.Ş.www.aydan-ltd.com.tr
Ankara
FASİKÜLE VERİMLİ ÇALIŞMA REHBERİ
Sevgili öğrenciler ve değerli meslektaşlarım,
Bireysel Matematik Fasikülleri, matematik bilmeyene keyifli bir yolculuk, matematik bilene hatasız soru çözme kabiliyeti kazandıracak şekilde tasarlanmıştır.
� Her fasikül, en temelden adım adım matematiğinizi geliştirip güçlendirecek tekniklerle oluşturul-muştur.
� Sayfa başlıklarıyla, her ünite, anlamayı kolaylaştırıcı alt başlıklara ayrılmıştır.
� Konu Özeti : Konu özetlerinde kavramlar madde madde vurgulanmıştır.
� : Uyarı ikonlarıyla hatırlatmalar ve dikkat edilmesi gerekenler belirtilmiştir.
� (*) : Dipnotlarla konu dışı kavramlar açıklanmıştır.
� ÖRNEK ve ÇÖZÜM : Örnekler sayfa başlığını en iyi açıklayacak şekilde özenle kurulmuş ve çözümleri kolayca anlaşılacak şekilde düzenlenmiştir.
� : Her başlıkla ilgili el alışkanlığı kazanmanızı sağlayacak bolca soru Sıra Sende kısmın-
da, cevaplarınızı kolayca kontrol edebileceğiniz şekilde sorulmuştur.
� Uygulama Zamanı : Belirli aralıklarla birikimlerinizi değerlendirme uygulamaları konulmuştur.
� Tekrar Zamanı : Ünite sonlarında öğrendiklerinizi test tekniğiyle pekiştireceğiniz ve çözüm-leriyle unuttuklarınızı hatırlayacağınız testler sunulmuştur.
� Anahtar kavramlar ve çözümler renklendirilerek fark etmeniz sağlanmıştır.
� Öğrencilerin sık düştüğü hatalar vurgulanarak belirtilmiştir.
� Pratik ve eğlenceli çözümlerle akılda kalıcılık arttırılmıştır.
� Her konu, özenle oluşturulan Konu Testi ile pekiştirilirken, " " ikonuyla belirtilen soruların
çözümünü "SİZİN İÇİN ÇÖZDÜKLERİMİZ" kısmında bulabilirsiniz.
Sonuç olarak, şunu diyebiliriz ki; matematik ayrıntılarda gizlidir. Bundan dolayı sabırla her fasikülü, üniteyi, başlığı ve maddeyi anlayarak, her örneği ve soruyu çözerek matematiği kolayca öğrenebilir, sınavlardaki matematik korkunuzdan kurtulabilirsiniz.
Başarılı bir gelecek dileğiyle...
METİN YAYINLARIhttp://www.metinyayinlari.com
İÇİNDEKİLER
BELİRSİZ İNTEGRALDiferansiyel Kavramı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1İntegral Kavramı (Belirsiz İntegral Alma) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Sabit Fonksiyonun İntegrali / f(x) = xn Fonksiyonunun İntegrali . . . . . . . . 3İntegralin Özellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Temel Trigonometrik İntegraller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Üstel Fonksiyonların İntegralleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6İntegrali lnf(x) ve Arcf(x) Olanlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7İntegral – Diferansiyel İlişkileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8İntegralden Fonksiyon Çekme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9C İntegral Sabitini Tespit Etme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Teğet – İntegral İlişkisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Uygulama Zamanı – 1 ................................................................ 12Uygulama Zamanı – 2 ................................................................ 14Tekrar ZamanıÇÖZÜMLÜ TEST – 1 ................................................................... 16ÇÖZÜMLÜ TEST – 2 ................................................................... 18
İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİDeğişken Değiştirme Yöntemi – I(Değişken Değiştirme Kavramı / Lineer Dönüşümler) . . . . . . . . . . . . . . . . 22Değişken Değiştirme Yöntemi – II(Polinomik Dönüşümler / Rasyonel ve Köklü Dönüşümler) . . . . . . . . . . . 23Değişken Değiştirme Yöntemi – III(Basit Trigonometrik Dönüşümler / Üstel ve Logaritmik Dönüşümler) . . . 24Ters Trigonometrik Değişken Değiştirmeler – I(Arcsinf(x) Dönüşümleri – A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Ters Trigonometrik Değişken Değiştirmeler – II(Arcsinf(x) Dönüşümleri – B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Ters Trigonometrik Değişken Değiştirmeler – III(Arctanf(x) Dönüşümleri – A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Ters Trigonometrik Değişken Değiştirmeler – IV(Arctanf(x) Dönüşümleri – B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
ax bm + İçeren İntegraller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29ax bm + ve ax bn + yi Birlikte İçeren İntegraller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Uygulama Zamanı – 3 ................................................................ 31Tekrar ZamanıÇÖZÜMLÜ TEST – 1 ................................................................... 33ÇÖZÜMLÜ TEST – 2 ................................................................... 35
Rasyonel Fonksiyonların İntegrali – I (Polinom Bölmesi) . . . . . . . . . . . . . 39Rasyonel Fonksiyonların İntegrali – II(1. Tip Basit Kesirlere Ayırma) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Rasyonel Fonksiyonların İntegrali – III(2. Tip Basit Kesirlere Ayırma / 3. Tip Basit Kesirlere Ayırma) . . . . . . . . 41Rasyonel Fonksiyonların İntegrali – IV(Sadeleştirme + Polinom Bölmesi + Basit Kesirlere Ayırma) . . . . . . . . . . 42Rasyonel Fonksiyonların İntegrali – V(Rasyonel Fonksiyonlara Dönüşen İntegrantlar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Uygulama Zamanı – 4 ................................................................ 44Trigonometrik Fonksiyonların İntegralleri – I(sin2 x + cos2 x = 1 Özdeşliğinden Faydalanma) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Trigonometrik Fonksiyonların İntegralleri – II(Yarım Açı Formüllerinden Faydalanma /+1 den Kurtarma) . . . . . . . . . . 47Trigonometrik Fonksiyonların İntegralleri – III(Ters Dönüşüm Formüllerinden Faydalanma) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Trigonometrik Fonksiyonların İntegralleri – IV(Tanjant ve Cotanjant Fonksiyonlarının İntegralleri) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Trigonometrik Fonksiyonların İntegralleri – V( tan
xu
2= Dönüşümü / tanx = u Dönüşümü) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Trigonometrik Fonksiyonların İntegralleri – VI(Trigonometrik Özdeşliklerden Faydalanma) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
a x , x a ve a x2 2 2 2 2 2- - + Şeklindeki İfadeleri İçeren İntegraller(Trigonometrik Değişken Değişimler) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Kısmi İntegral Yöntemi – I (Parçalı İntegrasyon ve LAPTÜ) . . . . . . . . . . 53Kısmi İntegral Yöntemi – II (Önemli Kısmi İntegraller) . . . . . . . . . . . . . . . . 54Kısmi İntegral Yöntemi – III(Tablo Yardımıyla Kısmi İntegrasyon / Ardışık Kısmi İntegrasyon) . . . . 55
Uygulama Zamanı – 5 ............................................................... 56Tekrar ZamanıÇÖZÜMLÜ TEST – 1 ................................................................... 58ÇÖZÜMLÜ TEST – 2 ................................................................... 60
BELİRLİ İNTEGRALBelirli İntegral Kavramı (Bir Eğri Altındaki Alan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Belirli İntegralin Temel Teoremi ve Elemanları (Belirli İntegral Alma) . . 65Belirli İntegralin Özellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Belirli İntegralde İntegral Alma Yöntemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Parçalı Fonksiyonunun İntegrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Mutlak Değer Fonksiyonunun İntegrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Uygulama Zamanı – 6 ................................................................ 70Belirli İntegralde Değişken Dönüşümleri – I(İntegral ve Sınır Dönüşümleri) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Belirli İntegralde Değişken Dönüşümleri – II(Fonksiyon Tanımında Dönüşümler) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Belirli İntegralde Değişken Dönüşümleri – III(Dönüşüm ile İntegral Hesaplama) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Trigonometrik Belirli İntegraller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Belirli İntegralde Kısmi İntegrasyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Tek ve Çift Fonksiyonların İntegrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Ters ve İntegrali Alınamayan Fonksiyonlarda İntegral . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Uygulama Zamanı – 7 ................................................................ 79Tekrar Zamanı ÇÖZÜMLÜ TEST – 1 ................................................................... 81ÇÖZÜMLÜ TEST – 2 ................................................................... 83
Belirli İntegral Denklemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Teğet – Türev – İntegral İlişkisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Belirli İntegral İçin Grafik Okuma – I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Belirli İntegral İçin Grafik Okuma – II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90İntegral – Süreklilik İlişkisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91İntegral – Diferansiyel İlişkileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Belirli İntegralin Türevi – I (İntegral Hesabının Temel Teoremi . . . . . . . . 93Belirli İntegralin Türevi – II (Ardışık Uygulamalar / L'Hospital) . . . . . . . . 94Belirli İntegralin Türevi – III (Nokta Değer / Fonksiyon Çekme) . . . . . . . 95
Uygulama Zamanı – 8 ................................................................ 96Tekrar ZamanıÇÖZÜMLÜ TEST – 1 ................................................................... 98
İNTEGRAL UYGULAMALARIRiemann Toplamı – I (Riemann Kavramı ve Bölüntü). . . . . . . . . . . . . . . 101Riemann Toplamı – II (Riemann Alt Toplamı) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Riemann Toplamı – III (Riemann Üst Toplamı) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Riemann Toplamı – IV(Riemann Orta Toplamı) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104Riemann Toplamı – V(Riemann Toplamı – İntegral İlişkisi) . . . . . . . . . 105İntegral ile Alan Hesabı – I (Alan-İntegral İlişkisi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106İntegral ile Alan Hesabı – II(Geometrik Şekiller Yardımıyla İntegral /Fraktal Fonksiyonların Eğrileri Altındaki Alan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107İntegral ile Alan Hesabı – III(Sık Karşılaşılan Fonksiyonların Eğrisi Altındaki Alan) . . . . . . . . . . . . . . 108İntegral ile Alan Hesabı – IV (y Ekseni ile Eğri Arasındaki Alan) . . . . 109İntegral ile Alan Hesabı – V(Bir Fonksiyon ile Tersinin Alanları Toplamı) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110İntegral ile Alan Hesabı – VI (İki Eğri Arasındaki Alan) . . . . . . . . . . . . . . . 111İntegral ile Alan Hesabı – VII(Yarım Çember Denklemleriyle İntegral Hesabı) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112İntegral ile Alan Hesabı – VIII (Verilen Alanın İntegral ile İfadesi) . . . . 113
Uygulama Zamanı – 9 .............................................................. 114Tekrar ZamanıÇÖZÜMLÜ TEST – 1 ................................................................. 116
İntegral ile Hacim Hesabı – I (x Ekseni Etrafında Döndürme) . . . . . . . 119İntegral ile Hacim Hesabı – II (y Ekseni Etrafında Döndürme) . . . . . . 120İntegral ile Hacim Hesabı – III(İki Eğri Arasındaki Bölgenin Döndürülmesi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121İntegral ile Hacim Hesabı – IV(y = k ve x = m Doğruları Etrafında Döndürme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122İntegralin Fiziksel Yorumu – I (Doğrusal Hareket Denklemi) . . . . . . . . 123İntegralin Fiziksel Yorumu – II (Yer Değiştirme ve Toplam Yol). . . . . . 124İntegralin Ekonomi ve Diğer Alanlara Uygulaması . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Kesit Alan – İntegral Hacim İlişkisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Uygulama Zamanı – 10 ............................................................ 127Tekrar ZamanıÇÖZÜMLÜ TEST – 1 ................................................................. 129KONU TESTLERİ ...................................................................... 132SİZİN İÇİN ÇÖZDÜKLERİMİZ ................................................... 184
1
7. y = f(t2)
8. u = ln(x2 + 2)
9. z eu u32= +
10. ( )y f x1
=
11. ( ) ( )y f x g x= +
12. u = f(x) ve v = g(x) olmak üzere d(u · v) diferansiyelinin u ve v cinsinden eşiti nedir?
7) dy = 2t · f'(t2) · dt 8) dux
xdx
22
2=
+ 9) dz u e du2 3 · ·u u32
= + +^ h
10) ( )
( )dy
f x
df x–
2= 11) dy = df(x) + dg(x) 12) u · dv + v · du
Aşağıda verilen fonksiyonların diferansiyellerini bulunuz.
1. y = x3
2. y = x2 + 4x
3. y = t3 + 3t2 + 2
4. u = sin2x
5. y = et
6. v = u3 – 3u2 + 4u
1) dy = 3x2dx 2) dy = (2x + 4)dx 3) dy = (3t2 + 6t)dt
4) du = 2cos2x dx 5) dy = et · dt 6) dv = (3u2 – 6u + 4)du
Konu Özeti
u Tanımlı olduğu aralıkta türevlenebilen y = f(x) fonksi-yonu için x in değerindeki değişim olan Δx e karşılık gelen y nin değerindeki değişim Δy olsun.
x in diferansiyeli dx = Δx iken
y nin diferansiyeli dy = f'(x)dx olur.
O halde, f(x) fonksiyonunun diferansiyeli,
df(x) = f'(x) dx dir.
(Diferansiyel Alma)
Aşağıdaki fonksiyonların diferansiyellerini alınız.
a) f(x) = x2 b) g(t) = sint c) y = f2(x)
a) d f(x) = d(x2) = 2xdx b) dg(t) = d(sint) = cost dt
c) dy = d(f2(x)) = 2f(x) • f'(x) dx = 2f(x) df(x) dir.d f(x)
BELİRSİZ İNTEGRALDiferansiyel Kavramı
2
Aşağıda verilen integrallerin eşitini bulunuz.
1. x dx3 2 =#
2. cos dxx2 2 =#
3. e dxx =#
4. tan x dx1 2+ =^ h#
5. x
dx1
12+=#
1) x3 + C 2) sin2x + C 3) ex + C 4) tanx + C 5) arctanx + C
6. ( )' ( )
u xu x
dx· =#
7. ' ( ) ( )f x f x dx2 =#
8. ' ( ) · ' ( ( ))g x f g x dx =#
9. ' ( ) '' ( ) ''' ( )f x f x f x dx+ - =7 A#
Ç - 1
10. ( )
' ( ) · ( ) ' ( ) · ( )g x
f x g x g x f xdx2
-=> H#
6) ( )ln u x C+ 7) f2(x) + C 8) (fog)(x) + C 9) f(x) + f'(x) – f''(x) + C 10) ( )( )
g xf x
C+
(Belirsiz İntegral Alma)
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a) x dx2# b) cosx dx#
c) ' 'f x g x g x f x dx+^ ^ ^ ^h h h h6 @# İntegral ile bir fonksiyonun ilkeli, bu ilkele C
sabitinin eklenmesi ile tüm ilkeleri belirlenir.
a) dxd x x22 =^ h olduğundan x dx x C2 2= +# dir.
b) sin cosdxd x x=^ h olduğundan cos sinx dx x C= +# dir.
c) ( ) · ( ) ' ( ) · ( ) ' ( ) · ( )dxd f x g x f x g x g x f x= +^ h olduğundan
' ( ) ( ) ' ( ) ( ) ( ) ( )f x g x g x f x dx f x g x C· · ·+ = +6 @# dir.
Konu Özeti (Belirsiz İntegral Alma)
u Belirsiz İntegral Alma: Türevi ya da diferansiyeli verilmiş bir fonksiyonun kendisini bulma işlemidir.
u f(x) fonksiyonunun türevi t(x) olsun, C ∈ R iken,
f'(x) = t(x) ⇒ ( ) ( )t x dx f x C= +# v # : İntegral işareti
v dx: integral diferansiyeli, x: integral değişkeni
v t(x): İntegral altındaki fonksiyon (integrant)
v f(x): t(x) in anti-türevi (ilkeli) 4f(x) + C
t(x) in tüm anti-türevleridir. v C: İntegrasyon sabiti
İntegral alma, türev almanın tersi olduğu için türev alma kuralları iyi bilinmelidir.(*)
(*) "Türev-I" fasikülü "Türev Alma" kurallarını tekrarlayınız.
BELİRSİZ İNTEGRAL İntegral Kavramı
3
Aşağıda verilen integralllerin eşitini bulunuz.
1. x dx2 =#
2. u du4 =#
3. x dx2– =#
4. x dx21
=#
5. dxx13 =#
6. x dx23 =#
7. u
du1=#
8. x
dx11– =#
9. x dx2 =#
10. x dxπ =#
1) x3
3 + C 2)
u5
5 + C 3) x
1– + C 4) · x
32 2
3
+ C 5) x21
–2
+ C
6) x53 3
5
+ C 7) u2 + C 8) x
C2
2+ 9)
xC
2 1
2 1+
+
+
10) x
C1
1π
r++
+
Aşağıda verilen integralllerin eşitini bulunuz.
1. dx3 =#
2. dx34 =#
3. dx =#
4. dt23– =#
5. · dxr =#
6. · du2 =#
7. e dy2 =#
8. dxy · =#
9. ·x dy =#
10. dua3 ·2 =#
11. x dy1– =#
12. lncos
xx dx1
2 0
+
+=d n#
1) 3x + C 2) x43
+ C 3) x + C 4) t
23
– + C 5) px + C 6) u2 + C
7) e2 · y + C 8) xy + C 9) yx + C 10) 3a2u + C 11) xy
C+ 12) x + C
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a) dt2# b) dx0# c) t dx5 2# İntegrasyon değişkenlerine dikkat ediniz.
a) dt Ct2 2= +# dir.
b) ·dx x C C0 0= + =# dir.
c) t dx t x C5 52 2= +# dir.
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a) xdx# b) x
dx12# c) x dx#
Kuvvetleri düzenleyip kuvvet arttırımı uygulayınız.
a) xdx x dx x C x C21 11 21
1= = + = ++
+# # dir.
b) x
dx x dx x C xx C1
11
2 1 – ––2
2 12
1– ––= = + = = +
+
+# # dir.
c) x dx x dx C x C32
1 12
1
23
21 1
2= = + = +
+
+x# # dir.
Konu Özeti (Sabit Fonksiyonun İntegrali)
u a, C ∈ R iken, a dx ax C= +# dir.
İntegrasyonun diferansiyeli altındaki değişken dışındaki diğer değişkenler sabit kabul edilir.
Örneğin, a dx# ifadesinde dx in değişkeni x e göre
integral alındığından a sabit terimdir.
Konu Özeti ( f(x) = xn Fonksiyonunun İntegrali)
u C ∈ R ve n ∈ R – {–1} iken,
x dx nx C1
nn 1
=++
+# dir.
" "x dx1–# İntegrasyonunda kuvvet arttırımı
uygulanamaz. Bu integrantın anti-türevi logaritma fonksiyonudur. İleride değinilecektir.
BELİRSİZ İNTEGRALSabit Fonksiyonun İntegrali / f(x) = xn Fonksiyonunun İntegrali
4
8. x x x
dx1 1 12 3 4+ + =c m#
9. xy dx yx dy+ =##
10. x x dxx3 2-
=c m#
11. x x dxx6 53 2
2- -
=f p#
12. xx x dx
2 -=c m#
13. x x
dx2
13
123- =f p#
14. ' ( ) ( ) ' ( ) ( )f x g x dx g x f x dx+ ##
8) x x xC
121
31
–2 3
- - + 9) x y xy
C2
2 2++ 10)
x xC
3 2
3 2+-
11) x
x x C2
652
- + + 12) x
x C2
22- + 13) x x C3- + 14) f(x) · g(x) + C
Aşağıda verilen integrallerin eşitini bulunuz.
1. x x dx3 22 + =^ h#
2. x x dx4 363 + + =^ h#
3. · x dxx 3 4+ =^ h#
4. x x dxdx3 1x x+ - - =^ ^h h##
5. x x
dx3 82 3- =c m#
6. x dx32 2+ =^ h#
7. x x dx2 + =^ h#
1) x3 + x2 + C 2) x4 + 3x2 + 3x + C 3) x3 + 2x2 + C 4) 4x + C
5) x xC
3 4–
2+ + 6)
xx x C
34
6 93
2+ + + 7) x
x C3 3
233+ +
a) cos cos cost dx t dx x t C= = +##b) ·x dx x dx dx x x C2 1 1 22 2 1
2+ += = + +^ h# ##
c) x x dx xdx x dx x x C3 3 342
3 32 4
- = - = - +^ h ###
(Temel Özellikler)
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
a) cos t dx# b) x dx2 1+^ h# c) x x dx3 3-^ h#
Konu Özeti
u İntegralin temel özellikleri ile düzenlemeler yapılarak integrali alınabilecek ifadeler elde edilir.
v
v
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
af x dx a f x dx
f x g x dx f x dx g x dx" "
=
=6 @
_
`
a
bb
bb
### ##
İntegral toplam-farka dağılabilir ancak çar-pım-bölüme DAĞILMAZ! Çarpım-bölüm için
farklı uygulamalar yapılır. İleride ayrıntılı değineceğiz.
Eşitliklerini iki yönlü
uygulayabileceğinizi
UNUTMAYINIZ!
(Düzenlemeler)
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
a) x x dx1+^ h# b) x x dxx2 -c m#
Çarpımın ve bölümün dağılımı yapılarak oluşan her terime kuvvet arttırımı uygulanır.
a) dx x x dx x x Cx x 3 21 23 2
= + = + ++^ ^h h##b) x x dx x
xxx dx x dx x x Cx 1 2
2 2 2-= - = - = - +c c ^m m h###
BELİRSİZ İNTEGRAL İntegralin Özellikleri
5
10. cos x
dx12 =#
11. tan x dx1 2+ =^ h#
12. sec x dx2 =#
13. cos
cosx
x dx12
3 +=#
14. cot x dx1 2+ =^ h#
15. cosec secx x dx– 2 2+ =^ h#
16. cos
cosx
x dx2 22 - =c m#
17. sin
sinx
dxx 32
2=
+f p#
Ç - 2
18. sin
sinx x
x x dx22 2
2 2+=#
10) tanx + C 11) tanx + C 12) tanx + C 13) sinx + tanx + C
14) –cotx + C 15) cotx + tanx + C 16) tan sinx x C221
2- +
17) x – 3cotx + C 18) cotx x C2
– - +
Aşağıda verilen integrallerin eşitini bulunuz.
1. cosx dx =#
2. cos x dx2 =#
3. cos x dx4 1+ =^ h#
4. sinx dx =#
5. sin x dx3 =#
6. sin x dx5 4+ =^ h#
7. sin cosx x dx2 2+ =^ h#
8. cos sinx x dx3 - =^ h#
9. sin cosx x dx2 1 4+ + =^ h6 @#
1) sinx + C 2) sin x C21
2 + 3) sin x C1
4 14
+ +^ h 4) cosx C– +
5) cos x C13
3– + 6) cos x C1
5 45
– + +^ h 7) cos sinx x C21
221
2– + +
8) sin cosx x C1
33
+ + 9) cos sinx Cx21
2 141
4– + ++^ h
Konu Özeti
u Her trigonometrik ifadenin integrali kolayca alınamaz. Aşağıda anti türevi belli temel trigonometrik integral-ler verilmiştir. İşaretlerine DİKKAT EDİNİZ!
v cos sinax b dx a ax b C1+ = + +^ ^h h#
v sin cosax b dx a ax b C1–+ = + +^ ^h h# v
cossec tan tan
xdx x dx x dx x C12
2 2= + = +^ h# ## v cosec cot
sincot
xdx x dx x dx x C1 –2
2 2= = + = +^ h# ##
Trigonometrik integraller alınırken trigonometrik özdeşlikler, yarım açı ve dönüşümlerden
faydalanılır. Bunlar ileride ayrıntılı anlatılacaktır. Örneğin,
" "tancos
sec1 122
2aa
a+ = = ve
" "cotsin
cosec1 122
2aa
a+ = = olduğunu hatırlayınız.
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a) sinx dx#
b) cos x dx3 2+^ h#
c) sin x
dx2#
d) tan x dx2 2 2+_ i#
İşaretlere dikkat ediniz. Gerekirse trigonomet-rik düzenlemeler yapınız.
a) sin cosx dx x C–= +#
b) cos sinx dx x C3 2 31 3 2+ = + +^ ^h h#
c) cotsin x
dx x C2 =- +#
d) tan tan tanx dx x dx x C2 2 2 1 22 2+ = + = +_ _i i# #
BELİRSİZ İNTEGRALTemel Trigonometrik İntegraller
20
1. ( )x x dx x x x C4 6 3 44
36 33
4 2
- + = - + +#= x4 – 2x2 + 3x + C bulunur. Cevap: D
2. x x dxx x C x x C2 3
2
22
322
1 22
3 2
3
- = - + = - +f p# bulunur.
Cevap: A
3. ( ) ( )u dx u x C2 1 2 12 2+ = + +# bulunur.
Cevap: B
4. ( )xx
xx
xx dx x x x dx3 4 3 4
2
6
2
4
2
34 2- + = - +f p# #
x x x C53
34
215 3 2= - + + bulunur. Cevap: C
5. lnx x x dx x x x C12 1
3 22 1
- + =---+ +- -
- -
c m#ln
x x x C21 1
2=- + + + bulunur. Cevap: C
6. ( ) ( ) ( )x x x dx x x x dx3 1 2 32 3 2- + = - -##x x x C4
132
234 3 2= - - + bulunur. Cevap: B
7. ( )e x dx e x C31x x2 3+ = + +# bulunur. Cevap: A
8. ( )cos sin sin cosx x dx x x C3 4 31 3 4
1 4- = + +# bulunur.
Cevap: A
9. ( ) · lne dx e C2 21
31
22x x x
x2 3 1 2
3 1
- = - +++#
lne C21
82x
x2
3 1
= - ++
bulunur. Cevap: D
10. d e x ex
C2 2
= +c ^m h# bulunur. Cevap: E
11. ( )dxd x x x dx x x x3 2 5 3 3 2 5 24 2 4 2- - + = - - +# bulunur.
Cevap: B
12. x x dx x dx x dx31
11
31
11
+-+
=+
-+
c m# ##ln ln lnx x C x
x C3 1 13
= + - + + =+
++ bulunur.
Cevap: E
13. lnxdx
xdx x C5 3 5
15 35
51 5 3
+=
+= + +## bulunur.
Cevap: C
14. arctan lnxdx x C
12 2 2 2
2xx
2++ = + +c m# bulunur.
Cevap: E
15. arctan lnx x dx x x C
11
2 11
21 2 1
2++
+= + + +; E# bulunur.
Cevap: D
16. ( ) ' ( ) ( ) ( )f x f x dx x x dx f x x x x C4 6 1 23 2 4 3&= = - + = - + +##f(1) = –3 ise
f(1) = 1 – 2 + 1 + C = –3 ⇒ c = –3 tür.
O halde f(2) = 24 – 2 · 23 + 2 – 3 = 16 16 2 3- + -
f(2) = –1 bulunur. Cevap: B
17. ( )( ) 'x
f xdx x x C2 4 2
›2
+= - +f p# (Her iki tarafın türevi alınırsa)
( )( ) ( )·( )x
f xx f x x x2 8 2 2 8 2–& &
+= = + - dir.
f(1) = (1 + 2) · (8 – 2) = 18 bulunur. Cevap: B
18. ( )·( ) ( ) 'f x x dx x x2 2 3 5I
3+ = - +f p# (Her iki tarafın türevi alınırsa)
⇒ f(x) (2x + 2) = 3x2 – 3
( )· ( ) ( ) ( )f x x x x2 1 3 1 1& + = - +
( )f x x23
23
& = - olduğundan sabit terim 23- bulunur.
Cevap: A
Tekrar Zamanı Test Çözümü - 1
21
1. xx
dx x x C8 14
81
32
4 1
+ = +-+
-
c m#x x C2 14& - + bulunur. Cevap: C
2. · ·x x dx x x C3 4 33
44
2 32
1
3
1
2
3
3
4
- = - +f p#x x x x C2 3 3= - + bulunur. Cevap: A
3. sinx x e
xx dx1 1
11 1x
2 2- + + +
++ +c m#
ln cot cosx x e arc x x X C1 x= + + - - + + bulunur.
Cevap: C
4. x
x
x
x dx x x dx2 22
1
2
2
12
3
2
1
+ = +J
L
KKK
fN
P
OOO
p# # x x C52
342
5
2
3
= + + bulunur.
Cevap: D
5. ( )sin cosecx x x dx3 2- +#
cos cotx x x C31 3 2
2
=- + + + bulunur. Cevap: A
6. cos
tan arcsinx x
dx x x C11
12 2+
-= + +f p# bulunur.
Cevap: E
7. ( · ) ·sin cosax a ax dxax
aa
ax C22
2 12
+ = - +#= ax2 – cos ax + C bulunur. Cevap: A
8. ( )
arctanx
e dx x e C2 1
121
31x x
23 3
++ = + +f p# bulunur.
Cevap: C
9. ( )dxd x x x dx x x x3 4 2 1 3 4 2 14 2 4 2+ - + = + - +# bulunur.
Cevap: D
10. ( )x d x x x dx x dx2 2· ·2 2= = ###x C3
2 3= + bulunur. Cevap: A
11. arcsinx
e dx x e C1
2 2 21x x
22 2
-+ = + +f p# bulunur.
Cevap: B
12. ( )sin x x
dx11 2
12 2-
-f p#
cot arcsinx x C21 2=- - + bulunur. Cevap: D
13. sin sind xx dx x
x dx21
212 2+
=+f p# bulunur.
Cevap: B
14. ( )sin cos sin cosx dx x dx x x dx2 2 2 2
1
+ = +1 2 3444 444###
· dx x C1 = +# bulunur. Cevap:A
15. ' ( ) ( ) '' ( )
x f x dx x x x xx f x
xx x2 3 6 6 1·
·I3 2
2
&= + + =+ +f p#
' ( ) ' ( )f x x x f x dx x x dx6 6 1 6 6 1& &= + + = + +c m##
( ) lnf x x x x C3 62& = + + + bulunur. Cevap: C
16. '
· ( ) 'x f x dx x x x C2 5 6 4 42 2 2- = + + +f ^p h#· ( )
x
x f x
xx2 5 18 8 4
2
2
2
2
&-
=+ +
( )f xx
x x2 5 18 8 42
2
& - =+ + dir. Her iki tarafın türevi alınırsa
' ( )( ) ( )
f xx
x x x x x2 2 5
36 8 2 18 8 4·
·4
2 2
- =+ - + +
x = –2 için 2 f'(–1) = –3 ⇒ f'(–1) = 23- bulunur.
Cevap: E
17. dx xdy dxdy
x3 3&= = tir. Yani ' ( ) ' ( )f x x f x dx x dx3 3
&= = ##( ) ( )ln lnf x x C f C C3 1 3 1 1 1
0
& & &= + = + = =8 dir.
O halde ( ) ( )ln lnf x x f e e3 1 3 12 2&= + = +- -
( )f e 6 1 52& =- + =-- bulunur. Cevap: A
18. f(x) in x = –1 deki teğetinin eğimi f'(-1) = 2 dir.
'' ( ) '' ( ) ( )f x x x f x dx x x dx4 4 3 4 4 33 3&= - + = - +##
' ( ) ' ( )f x x x x C f x x x x C44
24 3 2 3
4 24 2& &= - + + = - + +
' ( ) ' ( )f C C f1 1 2 3 2 6 0 6& & &- = - - + = = = bulunur.
Cevap: C
Tekrar Zamanı Test Çözümü - 2
Aşağıda verilen integrallerin eşitini bulunuz.
1. ( )x dx1 4+ =#
2. x dx2 1+ =#
3. ·e dxx 2=^ h#
1) ( )x C51
1 5+ + 2) ( )x C31
2 1 3+ + 3) e C12
x2 +
Aşağıda verilen integrallerin eşitini bulunuz.
1. ( ) · ' ( ) ·f x f x dx =#
2. ( )
' ( )f xf x
dx2 =#
3. ' ( )e f x dx( )f x =#
1) ( )f x
C2
2
+ 2) ( )
Cf x1
- + 3) Ce ( )f x +
Konu Özeti (Değişken Değiştirme Kavramı)
� İntegrali alınan ifade bir fonksiyon ile birlikte bu fonk-siyonun diferansiyelini içeriyorsa değişken değiş-tirme yapılarak anti – türevi tanıdık bir integral elde edilir. Matematik diliyle,
( ) ' ( )( )
f x f x dx udu u cf x
C2 2u du
2 2
= = + = +
1 2 344 449> ##
Yani, f(x) = u dönüşümü yapılırsa f'(x) dx = du olur.
Konu Özeti (Lineer Dönüşümler)
� f(x) = ax + b şeklindeki 1. derece (lineer) fonksiyonla-ra dönüşüm uygulandığında diferansiyel dönüşümü yapılırken;
ax + b = u ⇒ a dx = du dx adu=& olur.
ÖRNEK (Temel Değişken Değiştirmeler)
Aşağıda verilen integrallerin eşitini bulunuz.
a) ( )' ( )f xf x
dx# b) ( ) ' ( )f x f x dx5# c) ( ) ( ) ' ( )fog x g x dx#
ÇÖZÜM
a) f(x) = u ⇒ f'(x) dx = du dur.
( ) ( )' ( )
ln lnf x u u f x Cf x
dx du C1= = + = +##
b) f(x) = u ⇒ f'(x) dx = du dur.
( )( )
' ( )f x u u f xCf x dx du C6 6
5 56 6
= = + = +# #
c) (fog)(x) = f(g(x)) dir. g(x) = u ⇒ g'(x) dx = du dur.
( ) ( ) · ' ( ) ( ( )) ( )' ( )fog x g x dx f g x f ug x dx du= = ###
ÖRNEK
Aşağıdaki integralleri alınız.
a) ( )x dx2 3 5+# b) x dx3 1+# c) ( )sec x dx52#ÇÖZÜM
a) 2x + 3 = u ⇒ 2 dx = du ⇒ dx = du2 ise
( )x u u du u Cdx du2 3 21
21
62 ·u
5 5 56
+ = = = +> ###( )x
C122 3 6
=+
+
b) 3x + 1 = u ⇒ 3dx = du ⇒ dx = du3 ise
x u u dudx du3 1 31
321
u
+ = =1 2 344 44# # #
( )u
x CC31
23 9
2 3 1· ·23
23
= + = + +
c) 5x = u ⇒ 5 dx = du ⇒ du5 ise
( )sec sec secx u ududx du5 51
5u
2 2 2= =9 ###( )tan tanu x CC5
151 5·= + = +
Değişken Değiştirme Yöntemi – IİNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ
22
Aşağıda verilen integrallerin eşitini bulunuz.
1. x
x dx12 +
=#
2. ( )x
x dx12 4-
=#
3. x
x dx1+=#
1) ln x C21
12+ + 2) ( )x
C6 1
12 3
--
+ 3) ( )x C34
1 3+ +
Aşağıda verilen integrallerin eşitini bulunuz.
1. ( ) ·( )x x x dx3 2 32 3+ + =#
2. ( ) ·( )x x x dx3 6 12 5- - =#
3. ( ) ( )sinx x x dx2 5 52- - =#
1) ( )x x C41
32 4+ + 2) ( )x x C361
3 62 6- + 3) ( )cos x x C52- - +
Konu Özeti (Polinomik Dönüşümler)
� P(x) bir polinom olmak üzere,
( ( )) ' ( ) ( )f P x P x dx f u du= ## olur.
P(x) = u ⇒ P'(x) dx = du
Konu Özeti (Rasyonel ve Köklü Dönüşümler)
� f(g(x)) ≠ 0 olmak üzere, ( ( ))' ( )
( )f g xg x
dx f udu
= ## olur.
g(x) = u ⇒ g'(x) dx = du
Paydanın çarpanlarına ayrıldığı durumlarda ileride değineceğimiz basit kesirlere ayırma kurallarından faydalanılır.
� x > 0 olmak üzere, ( )x
f xdx f u du
a2=
+^ h ## olur.
x a
xdx du
xdu du4
22& &+ = = =
ÖRNEK
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a) ( )x x dx6 12 3+#
b) ( )cosx x dx3 2 3#
ÇÖZÜM
a) x2 + 1 = u ⇒ 2x dx = du ⇒ x dx = du2 ise
( )x u u Cx dx du6 1 6 6 21
42 · ·u
2 3 34
+ = = +> ##
( )x C43 1· 2 4= + + bulunur.
b) x3 = u ⇒ 3x2 dx = du ise
( ) ( )3x cos cos sin sinx u u C x Cdx du·2
u
3 3= = + = +9 ##
ÖRNEK
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a) ( )x
dx2 1
22+
# b) x x
x dx1
2 12 - +
-# c) x
xdx
2 4+^ h#
ÇÖZÜM
a) 2x + 1 = u ⇒ 2 dx = du ise
( )x uu du u Cdx du
2 1 12
u
2 22
1
+= = =
-+-
-
>###
C x Cu1
2 11
=- + =-++
b) x2 – x + 1 = u ⇒ (2x – 1) dx = du ise
ln lnx x u u C x x Cx dx du
112 1
u
22
- += = + = - + +
-
1 2 344 44##
c) x uxdx du
xdx du2
21 2& &+ = = = ise
( )( )
xu u x C
xdx du C
22 5 5
2 22 · ·
u
44
55+
= = + = + +
H##
Ç - 6
Değişken Değiştirme Yöntemi – II İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ
23
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
1. ( )ln
xx
dx2
=#
2. cosx dx3 ·sinx =#
3. x
e dx2
x 3
=+#
1) ( )ln Cx31 3+ 2)
lnC
33
sinx
+ 3) e Cx 3++
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
1. sin cosx x dx·2 =#
2. cossin
xx dx3 =#
3. cot x dx =#
1) sin Cx13
3 + 2) cos x
C2
12+ 3) ln sinx C+
Konu Özeti (Basit Trigonometrik Dönüşümler)
� Trigonometrik ifadelerin integrasyonunda sin x = u ⇒ cosx dx = du veya cosx = u ⇒ –sinx dx = du diferansiyel dönüşümlerden faydalanılır.
Trigonometrik integrallere ayrıntılı değinilecektir.
Konu Özeti (Üstel ve Logaritmik Dönüşümler)
� f(x) > 0 olmak üzere, ( )' ( ) · ( )
·ln
f xf x f x
dx u du=# # olur.
( ) ( )' ( )
ln f x u f xf x
dx du&= =
� a ∈ R+ – {1} olmak üzere,
· ' ( )a f x dx a du( )f x u= ## olur.
f(x) = u ⇒ f'(x) dx = du
Çözümde ya da cevapta üstel ya da logaritmik düzenlemeler yapılabilir.
ÖRNEK
Aşağıdaki integralleri inceleyiniz.
a) sin cosx x dx#
b) tanx dx#
ÇÖZÜM
a) sin x = u ⇒ cos x dx = du ise
sin sincosx u u c x Cx dx du 2 2u
2 2
= = + = +: ## dir.
b) tan cossinx x
x= olduğu için,
cos sin sinx u x dx du x dx du& &= - = =- ise,
tan cossinx dx x
x dxu
=<##
ln ln cosu u C x Cdu=- + =- +
-# bulunur.
ÖRNEK
Aşağıdaki integralleri inceleyiniz.
a) lnxx dx# b) cosx dx2sinx# c) e
lnx x2+
dx#ÇÖZÜM
a) lnx u x dx du1&= = ise
ln lnx u u C x Cx dx du 2 2
u
2 2
= = + = +
B## bulunur.
b) sin x = u ⇒ cos x dx = du ise
ln lncos C Cx dx du2 2 22
22sin
sinx u
u xu
= = + = +D ##
c) · ·e e e e x( ) ( )ln lnx xx x x2 2 2= =+ iken
·x u x dx du x dx du2 22 & &= = = ise
x dx· =e e( )ln dx e dux x x
2u
2 2
=+# # #
e +C( )
e Cx
21
21· u
2
= + = bulunur.
Ç - 7
Değişken Değiştirme Yöntemi – IIIİNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ
24
25
5. arccosx
x dx1 2-
=#
6. x
x dx1 6
2
-=#
7. e
e dx1 x
x
2-=#
8. ln x
dxx 1 2-
=#
5) arccosx C21
– 2+_ i 6) arcsin x C31 3 +_ i 7) arcsin e Cx +_ i 8) arcsin lnx C+_ i
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
1. x
dx1 4 2-
=#
2. x
dx1 25 2-
=#
3. x
dx
1 94
2-
=#
4. x
xdx1 4 4-
=#
1) arcsin x C21
2 + 2) arcsin x C51
5 + 3) arcsinx
C32
23+d n 4) arcsin x C
41
2 2 +_ i
Konu Özeti (Arcsin f(x) Dönüşümleri - A)
u( )
' ( )a f xf x dx2 2-
# ifadesinde aşağıdaki adımlar uygula-
nır.
I. Adım: ( )
' ( )( )
' ( )
aa
f xf x dx
a af x
f x dx
1 122
2 2-
=
-f p ; E
_
`
a
bb
bb
# # "a2 paran-tezine" alıp "tam kare" düzenleme
II. Adım: ( )
( ) ' ( )af x
u f x au f x dx adu& &= = = } değişken değiştirme
III. Adım: a u
a du
udu
1 12 2-=
-4# # değişken değiştirmeyi
yerine yazıp tanıdık ifadeyi elde etme
( )
( )
arccos arccos
arcsin arcsin
u
du
u C af x
C
u C af x
C
1 – –2- = + = +
= + = +
;
;
E
E_
`
a
bb
bb
_
`
a
bb
bb# eşitliklerin-
den birisi kullanılır.
" "arcsinax
dxa ax C
11
– 2= +
^^
hh# bağıntısını
bilmeniz işlem hızınızı arttıracaktır.
(f(x) = u ⇒ f'(x) dx = du Dönüşümü)
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a) dxx1 9 2-
# b) x
xdx1 4-# c) arcsin
xx dx
1 2-#
a) dx dxux x
du
1 1 19 33
x udx du
33
22 2-=
-=
-=
=^ h# # #
arcsin arcsinu
du Cu x C31
1 31
31 3
2=
-= + = +^ h#
b) xdx xdxux x
du
1 1 12
x ux dx du2
24 2 2 2-
=-
=-=
=^ h# # #
arcsin arcsinu
du C Cu x11
1 12 2 22
2=-
= + = +^ h#
c) arcsinxx dx udu
1 arcsinx u
xdx du
2
11
2
-==
-=
# # arcsinC Cu x2 22 2
= + = +
Ç - 8
Ters Trigonometrik Değişken Değiştirmeler - I İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ
26
5. x
dx3 2 2-
=#
6. x
dxx 2– 2 -
=#
7. x x
dx4 3– 2 + -
=#
8. x xdx
12 4 2-=#
5) arcsinx
C2
36
2+f p 6) arcsin x C1+ +_ i
7) arcsin x C2- +_ i 8) arcsinx
C21
32 3-
+d n
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
1. x
dx9 2-
=#
2. x
dx16 2-
=#
3. dxx9 4 2=
-#
4. x
dx4 25 2-
=#
1) arcsinx
C3+ 2) arcsin
xC
4+ 3) arcsin
xC
21 2
3+d n 4) arcsin
xC
1 55 2
+d n
(a2 Parantezine Alma ve Tam Kare Düzenleme)
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a) x
dx4 2-# b)
x xdx
2 2-#
Konu Özeti (Arcsin f(x) Dönüşümleri - B)
u Bir önceki sayfada bahsedildiği üzere;
( )' ( )
a f xf x dx
dx2 2-
# şeklindeki ifadeler a2 parantezine
alınıp tam kare düzenleyerek, değişken değiştirme ile
arcsinu
u Cdu1 2-
= +# eşitliği elde edilir.
" "arcsina xdx
ax C
2 2-= +d n# bağıntısını
bilmeniz işlem hızınızı arttıracaktır.
a) x
dxx
dxx
dx4 4 1 4 2 1 2
xu x u
dx du
2 2 2
22
2
-=
-
=
- &
&
= =
=
c ccm m m# # #
arcsin arcsind d Cu x
u
u
uu C
2 1
2
1 22 2=
-=
-= + = +c m##
b) Paydadaki kökün içindeki ifadeyi tam kareli olarak düzenleyelim;
x x x x x x x2 2 1 2 11 1 1 1–x
2 2 2
1
2
2
= + - = - - +- = - -
-
^ ^^
h hh
1 2 3444 444(terim ekleyip çıkaralım)
O halde,x xdx
xdx
udu
2 1 1 1x udx du
2 2 1 2-=
- -=
-- =
=^ h# # #
= arcsin u + C = arcsin(x – 1) + C bulunur.
Ç - 9
İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ Ters Trigonometrik Değişken Değiştirmeler - II
64
2.
1 4–6 –4
f(x)
y
xS1
S2
S3
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun integrali veril-miştir. S1, S2 ve S3 bulundukları bölgenin alanını göster-mektedir. Buna göre aşağıdaki belirli integrallerin S1, S2 ve S3 cinsinden eşitini bulunuz.
a) ( )f x dx6
4
–
–
=# d) ( )f x dx6
1
–
=#
b) ( )f x dx4
1
–
=# e) ( )f x dx4
4
–
=#
c) ( )f x dx1
4
=# f) ( )f x dx6
4
–
=#
2) a) S1 b) –S2 c) S3 d) S1 – S2 e) –S2 + S3 f) S1 – S2 + S3
1.
3 5–4
–1
f(x)y
xS1
S2
S3
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği veril-miştir. S1, S2 ve S3 bulundukları bölgenin alanını göster-mektedir. S1 = 6 br2, S2 = 4 br2 ve S3 = 2 br2 olduğuna göre aşağıdaki belirli integrallerin değerlerini bulunuz.
a) ( )f x dx4
1
–
–
=# c) ( )f x dx1
5
–
=#
b) ( )f x dx1
3
–
=# d) ( )f x dx4
5
–
=#
1) a) –6 b) 4 c) 2 d) –4
O 4S1
S2
1–3y = f(x)
y
x
Şekildeki y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. S1 ve S2 bulundukları bölgelerin alanlarını göstermektedir.
S1 = 7 br2 , S2 = 3 br2 olduğuna göre aşağıdaki belirli integral değerlerini bulunuz.
a) ( )f x dx3
1
–
# b) ( )f x dx1
4
# c) ( )f x dx3
4
–
#
a) ( )f x dx 73
1
–
=# dir. b) ( )f x dx 3–1
4
=# dir.
c) ( )f x dx 7 3 4–3
4
–
= + =_ i# bulunur.
Konu Özeti (Bir Eğri Altındaki Alan)
u Bir fonksiyonun tanımlı ve sürekli olduğu bir alt aralığı ile fonksiyon eğrisi arasında kalan bölgenin alanı be-lirli integral ile gösterilir.
v
O bA
a
f(x)y
x
Od
Bc
g(x)
yv
x
Taralı alan A ise Taralı Alan B ise
( )f x dx Aa
b
=# ( )f x dx B–c
d
=#
Eğri altındaki alanın integral ile nasıl ifade edildiği ileride "Riemann Toplamı" ile ayrıntılı
gösterilecektir.
Belirli İntegral KavramıBELİRLİ İNTEGRAL
65
6. cos x
dx1
π
20
4
=#
7. sinudu
π
0
2
=#
8. x
dx1 4 2
43
21
-=#
9. x
dx9 2
0
3
+=#
10. xdx
2 15
1
-=#
6) 1 7) 1 8) 12π
9) 12π
10) –ln3
Aşağıda verilen integrallerin değerini bulunuz.
1. dx32
4
10
=#
2. x dx2
3
0
=#
3. e dx
ln
x
0
2
=#
4. cos xdx2
π
0
4
=#
5. x dt3
x
x5
=#
1) 4 2) –9 3) 1 4) 21
5) 12
(Belirli İntegralin Değeri)
Aşağıdaki integrallerin değerini bulunuz.
a) dx3
5
# b) xdx41
2
# c) sin tdt
π
0
# d) e duu
0
1
#
a) dx x 5 3 23
5
3
5
= = - =# dir.
b) · ·xdx x x4 24 2 2 2 2 1 6
2
1
22
1
22 2
1
2
= = = - =# dır.
c) ( ) ( ) ( ) ( )sin cos cos costdt t 0 1 1 2– – π – – – – –0
0 1 1
ππ
–= = - = =< <# dir.
d) e du e e e e 1u u
0
11 0
0
1
= = - = -# dir.
Konu Özeti (Belirli İntegral Alma)
u y = f(x) fonksiyonu [a, b] aralığında integrali alınabi-len bir fonksiyon ve f(x) fonksiyonunun anti türevi F(x) iken; yani ∀ x ∈ (a, b) için F'(x) = f(x) ise
( ) ( ) ( ) ( )f x dx F x F b F aa
b
a
b
= = -# dır.
v "a" integralin alt sınırıdır.
v "b" integralin üst sınırıdır.
v "dx" integralin hangi değişkene göre alınacağını belirten diferansiyel ifadesidir.
( )f x dxa
b
# belirli integralinin değeri x den
bağımsız sabit bir reel sayıdır.
Belirli İntegralin Temel Teoremi ve Elemanları BELİRLİ İNTEGRAL
66
3. ( ) ( )g x dx f x dx2 42
10
10
2
- =##
4. ( )f x dx6
6
=#
5. ( )f x dx2
6
=#
6. ( ) ( ) ( )f x dx f x dx f x dx6
4
15
4
2
15
+ - =###
3) –40 4) 0 5) 3 6) 3
( ) , ( )f x dx f x dx6 3–10
6
2
10
= =## ve ( )g x dx 82
10
=# olduğu-
na göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
1. ( ) ( )f x g x dx2
10
+ =7 A#
2. ( ) ( )f x g x dx2 32
10
=-7 A#
1) 14 2) –12
( ) , ( ) ( )f x dx f x dx ve x dxg5 2 41
10
10
7
1
10
= = =# # #
olduğuna göre aşağıdaki belirli integrallerin değerlerini bulunuz.
a) ( ) ( )f x g x dx2 31
10
+7 A# b) ( )g x dx5
5
# c) ( )f x dx1
7
#
a) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx2 3 2 31
10
1
10
1
10
5 4
+ = +7 A1 2 344 44 1 2 344 44
# # #
= 2 · 5 + 3 · 4 = 10 + 12 = 22
b) ( )g x dx 05
5
=
_
`
a
bb
bb# Alt sıınır ve üst sınır
aynı olduğu için eğri altında alan oluşamaz.
c) ( ) ( ) ( )f x dx f x dx f x dx
( ) ( )f x dx f x dx
1
10
1
7
7
10
52– –
10
7
7
10
= +
= =
1 2 344 44 1 2 344 44
# # ###
( )f x dx5 2–1
7
& = + _ i# ( )f x 5 2 71
7
& = + =# bulunur.
Konu Özeti
u f(x) ve g(x), [a, b] aralığında integrallenebilen iki fonk-siyon olmak üzere,
v k ∈ R iken ( )( ) f x dxf x dxk ka
b
a
b
= ## tir.
v ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dxa
b
a
b
a
b
" "=7 A# ## tir.
v ( )f x dx 0a
a
=# dır.
v ( ) ( )f x dx f x dx–b
a
a
b
= ## tir.
v a < c < b ise
( ) ( ) ( )f x dx f x dx f x dx
b
aa
b
c
c
= + ### tir.
Belirli İntegralin ÖzellikleriBELİRLİ İNTEGRAL
67
5. sec x x dx2
π
2
0
4
- =_ i#
6. xxdx
121
5
+=#
7. sin cosx x dx20
2π
- =_ i#
8. xx dx
11
2
2
2
4
-
+=#
5) 16
16 π2- 6) ln 3 7) 0 8) ln
59
2 +
Aşağıda verilen integrallerin eşitini bulunuz.
1. x dx2 42
4
- =_ i#
2. x dx24
4
–
- =_ i#
3. x dxx3 42
0
3
=+_ i#
4. x dxe4 x
0
1
- =_ i#
1) 4 2) –16 3) 45 4) 3 – e
Aşağıdaki integrallerin değerlerini bulunuz.
a) x e dx2 x
0
1
+_ i# b) x
x dx12
2
0
1
+#
Konu Özeti
u Belirsiz integral alınırken kullanılan temel türev-anti türev kuralları, değişken değiştirme, basit kesirlerine ayırma, trigonometrik integraller ve kısmi integrasyon yöntemleri belirli integralin değerini tespit ederken kullanılacağından iyi bilinmelidir.
a) x e dxx
e22
2x x
0
1 2
0
1+ = +_ fi p#
= (12 + e1) – (02 + e0) = e bulunur.
b) Öncelikle integranta polinom bölmesi uygulayalım:
x2 x2 + 1x2 + 1 1 –1
xx
x11
11
2
2
2+= -
+
_
`
a
bb
bb olur.
xx
xdx dx
xdx
11
11 1
11
2
2
20
1
0
1
20
1
0
1
+= -
+= -
+< F## ##
( )arctan arctan arctanx x 1 0 1 00
1
0
1
40π
= - = - - -_ i > >π1 4= - bulunur.
Belirli İntegralde İntegral Alma Yöntemleri BELİRLİ İNTEGRAL
68
2. ( ),,
f xx xx x
3 12 2 1
1≥<2
=+
+* fonksiyonu veriliyor.
Buna göre aşağıdaki integral değerlerini bulunuz.
a) ( )f x dx0
1
=#
b) ( )f x dx2
3
=#
c) ( )f x dx10
3
- =#
d) · ( )x f x dx2
4
=#
2) a) 2 b) 7 c) 9 d) 3
148
1. ( ),,f x
x xx x x
4 2 13 2 1
–≥ –<
2=-
-* fonksiyonu veriliyor.
Buna göre aşağıdaki integral değerlerini bulunuz.
a) ( )f x dx3
2
–
–
=#
b) ( )f x dx0
2
=#
c) ( )f x dx2
0
–
=#
d) ( )f x dx3
1
–
=#
1) a) –12 b) 4 c) –6 d) –18
a) ( ) ( ) ( )f x dx f x dx f x dxx1
3
0
1
0
3
2 2 4= +
-9 9###
= dx x dx2 2 41
3
0
1
+ -_ i##
= x x x2 4 2 0 9 12 1 40
12
1
3+ - = - + - - -_ _ _ _i i i i
= 2 bulunur.
b) ( ),,
,,f x
xx x
xx x1
2 1 12 1 4 1
2 02 2 01
< <
H H+ =
+
+ - +=
-_ i* *
( )f x dx x dx x x1 2 2 2
( )x iken
f x x0
3
0
3
01 2 2
2
0
3+ = - = -
H
+ = -
_ _i i> ##
= (9 – 6) – (0 – 0) = 3 bulunur.
( ),
,f xx
x x2 12 4 1
<
H=
-* olduğuna göre aşağıdaki integral-
lerin değerini hesaplayınız.
a) ( )f x dx0
3
# b) ( )f x dx10
3
+#
Konu Özeti
u Parçalı fonksiyonların integrali, kritik noktalarına göre parçalı integrallerin toplamı şeklinde yazılarak alınır.
Kritik nokta integralin sınırları arasında değil ise parçalı integrale ayırmadan sınırların olduğu
bölgede fonksiyonun eşiti kullanılır.
BELİRLİ İNTEGRAL Parçalı Fonksiyonunun İntegrali
69
4. x x dx22
2
0
–
+ =#
5. cosx 21
0
6π
- =#
6. cos sinx x dx
π
0
2
- =#
4) 34
5) 12
6 π- 6) 2 2 2-
Aşağıda verilen integrallerin değerini bulunuz.
1. x dx12
2
–
- =#
2. x dx13
2
–
=+#
3. x x dx1 20
3
+ + - =_ i#
1) 5 2) 2
13 3) 10
b) x – 2 = 0 ⇒ x = 2 kritik noktası (0, 2) sınırlarıyla belirlenen bölgenin elemanı değildir. x ∈ (0, 2) iken | |x x2 2- = --< dir.
x dx x dx x x2 2 2 20
22
0
2
0
2
- = - = -_ di n# #
= (4 – 2) – (0 – 0) = 2 bulunur.
c) x2 – 2x = 0 ise x –∞ 0 2 +∞
x2 – 2x + – +x(x – 2 ) = 0 ⇒
x = 0 ve x = 2 kritik noktalardır. Yukarıdaki işaret tablo-suna göre integrali parçalayalım.
x x x x x x dx x x dxdx dx2 2 2 22 2 2
0
2
1
3 2
2
3
1
0
– –
- - - + -= ++ +-
1 2 344 4 1 2 344 4 1 2 344 4# ## #
x x x x dx x x dxdx2 2 22
1
0
2
0
2
2
32
–
= - - + -+_ _ _i i i# # #
x x x x x x3 3
34
34
34
34
3
– – –
32
1
02
32
3
0
2
2
3
–= - - -
= + + =
+ +d d d
d
n n n
n
1 2 3444 444 1 2 344 44 1 2 344 44
bulunur.
Aşağıdaki integrallerin değerini bulunuz.
a) x dx20
3
-# b) x dx20
2
-# c) x x dx22
3
1–
-#
a) x – 2 = 0 ⇒ x = 2 kritik noktadır
| | | | | |x dx x dx x dx2 2 22
3
0
2
0
3
- = - + -- +< <###
x dx x dx x x x x2 2 2 2 2 22
0
2 2
2
3
2
32
0
= - + - = - + -_ _ d di i n n##
4 2 0 29 6 2 4 2
5= - - + - - - =_ d _i n i7 <A F bulunur.
Konu Özeti
u Mutlak değer fonksiyonunun integrali, kritik (mutlak değerin içini sıfır yapan) noktalarına göre parçalı in-tegrallerin toplamı şeklinde yazılarak alınır.
İntegrallerin sınırları arasında kritik nokta yok ise parçalı integrale ayırmadan o bölgedeki
fonksiyonun eşiti kullanılır.
Ç - 21
BELİRLİ İNTEGRALMutlak Değer Fonksiyonunun İntegrali
101
2. [a, b] aralığında giderek incelen parçalanmalardan oluşan (Pn) = (P1, P2, ... Pn –1, Pn, Pn+1, ...) dizisine incelme dizisi denir. (Lim(Pn) = 0 dır)
Buna göre aşağıdaki dizilerden incelme olanları "İ", ol-mayanları "X" ile belirtiniz.
a) [0, 1] nı n eşit parçaya ayıran düzgün parçalanmalar-dan oluşan (Pn) dizisi. ( )
b) [2, 4] nı n! eşit parçaya ayıran düzgün parçalanma-lardan oluşan (Pn) dizisi. ( )
c) [2, 3] nı 100 eşit parçaya ayıran düzgün parçalanma-lardan oluşan (Pn) dizisi. ( )
d) [3, 4] nı 2n – 1 eşit parçaya ayıran düzgün parçalan-malardan oluşan (Pn) dizisi. ( )
a) İ b) İ c) X d) İ
1. [–1, 3] aralığında y = f(x) fonksiyonunun eğrisi altında kalan alanın yaklaşık değeri için [–1, 3] kapalı aralığı eşit uzunlukta 5 alt aralığa bölünüp Riemann toplamı uygulanacaktır. Bunun için oluşacak,
a) Aralık genişliğini bulunuz.
b) Parçalanmayı belirtiniz.
c) Alt aralıkları belirtiniz.
1) a) x54
D = b) , , , , ,P 151
5 57
511
33
– –= ( 2
c) , , , , , , , ,,151
51
53
53
5 5 5 53
7 7 11 11– – –< < < < <F F F F F
(Bölüntü)
[1, 7] aralığında y = f(x) eğrisinin altında kalan alanın yaklaşık değerinin düzgün parçalanmış 3 alt aralıklı Riemann Toplamı ile bulunabilmesi için;
a) Aralık genişliğini bulunuz. b) Alt aralıkları bulunuz.
c) Bölüntüyü belirtiniz.
∆x aralık genişliği, P bölüntü olmak üzere
a) ∆x = 37 1
36 2-
= = dir. b) [ , ], [ , ], [ , ]1 3 3 5 5 7x x x2 2 2T T T= = =C C C
c) P = {1, 3, 5, 7}
[0, π] kapalı aralığında , π , π , πP 0 3 32
= ( 2 bölüntüsüne
göre Riemann Toplamı uygulanacak alan y = f(x) fonksi-yonu için oluşturulan alt aralıkları, aralık genişliğini ve alt aralık adetini belirtiniz.
[0, π] aralığındaki alt aralıklar
[ , π ], [π , ], [ , π]π3 3 3
20 32π
πx x x
3 3 3π π
T T T= = =
E H H dir. Oluşturulan bu 3 aralığın
herbirinin ortak aralık genişliği;
∆x = π π π ππ π3 0 3 3 3
23
2- = - = - = dür.
Konu Özeti (Riemann Kavramı ve Bölüntü)
u Riemann Toplamı; bir eğrinin altındaki bölgeyi, eş tabanlı "dikdörtgenlere ayırarak" bu eğri altındaki ala-nın yaklaşık değerini tespit etmedir. Bu dikdörtgen-lerin sayısı artıkça gerçek alana daha çok yaklaşılır.
u Riemann toplamı için oluşturulan dikdörtgenlerin eşit uzunluktaki taban aralıklarına alt aralıklar bu aralık-ların sınırlarının kümesine düzgün bölüntü (parça-lanma) denir.
x0 = = x1
1 taneba
fy
xx0 = = x2
x1
2 taneba
f fy
xx0 = = xn
n taneba
y
x
Alt aralıklar: [x0, x1] [x0, x1],[x1, x2] [x0, x1], ... [xn-1, xn]
Bölüntü (P): {x0, x1} {x0, x1, x2} {x0, x1, ... , xn}
∆x, aralıkgenişliği: ∆x = b a
1- ∆x = b a
2- ∆x = b a
n-
v n → ∞ iken ∆x → 0 olduğundan;
Riemann Toplamı = Eğri Altındaki Alan = ( )f x dxa
b
#Alt aralık sayısı arttıkça dikdörtgenlerin alanları toplamı eğrinin altındaki alana yaklaşır.
Riemann Toplamı - IİNTEGRAL UYGULAMALARI
102
......
......
2. f: [0, 4] → [16, 0]
f(x) = 16 – x2 fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.
O 4
f16
y
x
[0, 4] aralığının eşit uzunluktaki,
a) İki alt aralığına göre Riemann alt toplamı nedir?
b) Dört alt aralığına göre Riemann alt toplamı nedir?
c) n alt aralığına göre n → ∞ Riemann alt toplamı nedir?
2) a) 24 b) 34 c) 3
128
1. y = x doğrusu, x ekseni ve x = 6 doğrusu arasında kalan bölgenin;
a) Alanı nedir?
b) P = {0, 2, 4, 6} bölüntüsüne göre Riemann alt toplamı nedir?
c) ∆x = 1 alt aralık genişliğine göre Riemann alt toplamı nedir?
d) [0, 6] aralığı 12 alt kapalı aralığı ayrılırsa Riemann alt toplamı ne olur?
e) [0, 6] aralığı n alt aralığa ayrıldığında n → ∞ Riemann alt toplamı ne olur?
1) a) 18 b) 12 c) 15 d) 16,5 e) 18
f: [1, 3] → [1, 9] olmak üzere f(x) = x2 fonksiyonunun tanım aralığını eşit uzunlukta iki alt aralığa bölerek Rie-mann alt toplamını bulunuz.
9
41
2 31O
f(x) = x2y
x
[1, 3] aralığı eşit uzunlukta 2 alt aralığa bölünürse aralık
genişliği x 23 1 1D =-= br
dikdörtgenlerin taban uzunluk-larıdır.
f(1) = 1 ve f(2) = 4 ise dikdörtgenlerin yükseklikleridir.
O halde, dikdörtgenlerin alanları toplamı;
( ) · ( ) ·f f br1 1 2 1 1 4 5 2
1 4+ = + =9 9 f fonksiyonunun
P = {1, 2, 3} bölüntüsüne göre alt toplamıdır.
Konu Özeti (Riemann Alt Toplamı)
u [a, b] aralığında tanımlı y = f(x) foksiyonu için
x0 =
f(xn–1)
f(x1)f(x0)
x1 x2 ... xn–1 = xn
...
ba
fy
x
...
Alt aralıkların uç noktaların-dan eğrinin altında kalacak şekilde yükseklikleri belirlenen dikdörtgenlerin alanları toplamı Riemann Alt Toplamını verir.
v P = {x0, x1, ... xn} bölüntü
v [x0, x1], [x1, x2], ... [xn–1, xn] alt aralıklar
v Aralık genişliği ∆x dikdörtgenlerin tabanları
v f(x0), f(x1), ..., f(xn–1) dikdörtgenlerin yükseklikleri olmak üzere, dikdörtgenlerin alanları toplamı
f(x0) · ∆x + f(x1) · ∆x + ... + f(xn–1) · ∆x = ( )f x xkk
n
11
D-
=
/f fonksiyonunun P bölüntüsüne göre (Riemann) alt toplamıdır.
Riemann Toplamı - II İNTEGRAL UYGULAMALARI
103
......
......
2. f: [0, 4] → [16, 0]
f(x) = 16 – x2 fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.
O 4
f16
y
x
[0, 4] aralığının eşit uzunluktaki,
a) İki alt aralığına göre Riemann üst toplamı nedir?
b) Dört alt aralığına göre Riemann üst toplamı nedir?
c) n alt aralığına göre n → ∞ Riemann üst toplamı nedir?
2) a) 56 b) 50 c) 3
128
1. y = x doğrusu, x ekseni ve x = 6 doğrusu arasında kalan bölgenin;
a) Alanı nedir?
b) P = {0, 2, 4, 6} bölüntüsüne göre Riemann üst top-lamı nedir?
c) ∆x = 1 alt aralık genişliğine göre Riemann üst toplamı nedir?
d) [0, 6] aralığı 12 alt kapalı aralığa ayrılırsa Riemann üst toplamı ne olur?
e) [0, 6] aralığı n alt aralığa ayrıldığında n → ∞ Riemann üst toplamı ne olur?
1) a) 18 b) 24 c) 21 d) 19,5 e) 18
f: [1, 3] → [1, 9] olmak üzere f(x) = x2 fonksiyonunun tanım aralığını eşit uzunlukta iki alt aralığa bölerek Rie-mann üst toplamını bulunuz.
9
41
2 31O
f(x) = x2y
x
[1, 3] aralığı eşit uzunlukta 2 alt aralığa bölünürse aralık
genişliği x 23 1 1D =-= br
dikdörtgenlerin taban uzunluklarıdır.
f(2) = 4 ve f(3) = 9 ise dikdörtgenlerin yükseklikleridir. O halde, dikdörtgenlerin alanları toplamı;
( ) ( )f f br1 12 3 4 9 13· · 2
4 9+ = + =9 9 f fonksiyonunun
P = {1, 2, 3} bölüntüsüne göre üst toplamıdır.
Konu Özeti (Riemann Üst Toplamı)
u [a, b] aralığında tanımlı y = f(x) foksiyonu için
x0 =
f(xn)
f(x2)f(x0)
x1 x2 ... xn–1 = xn
...
ba
fy
x
...
Alt aralıkların uç noktaların-dan eğrinin üstünde kalacak şekilde yükseklikleri belirle-nen dikdörtgenlerin alanları toplamı Riemann Üst Toplamını verir.
v P = {x0, x1, ... xn} bölüntü
v [x0, x1], [x1, x2], ... [xn–1, xn] alt aralıklar
v Aralık genişliği ∆x dikdörtgenlerin tabanları
v f(x0), f(x1), ... f(xn) dikdörtgenlerin yükseklikleri olmak üzere, dikdörtgenlerin alanları toplamı
f(x1) · ∆x + f(x2) · ∆x + ... + f(xn) · ∆x = ( )f x xkk
n
1
D=
/f fonksiyonunun P bölüntüsüne göre (Riemann) üst toplamıdır.
Riemann Toplamı - IIIİNTEGRAL UYGULAMALARI
104
2. f: [0, 4] → [16, 0]
f(x) = 16 – x2 parabolünün [0, 4] aralığının eşit uzun-luktaki,
a) İki alt aralığına göre Riemann orta toplamı nedir?
b) n sayıdaki alt aralığına göre n → ∞ Riemann toplamı nedir?
2) a) 44 b) 3
128
1. y = x doğrusu, x ekseni ve x = 6 doğrusu arasında kalan bölgenin;
a) P = {0, 2, 4, 6} bölüntüsüne göre Riemann alt toplamı ile Riemann üst toplamının ortalaması nedir?
b) P = {0, 2, 4, 6} bölüntüsüne göre Riemann toplamı(*) nedir?
c) [0, 6] aralığı n alt aralığı ayrıldığında n → ∞ Riemann alt toplamı ne olur?
1) a) 18 b) 18 c) 18
Konu Özeti (Riemann Orta Toplamı)
u [a, b] aralığında tanımlı y = f(x) foksiyonu için
x0 =
f(rn)
f(r2)f(r1)
x1 xn–1 = xn
...
...
...
ba
fy
xr1 r2 rn
Alt aralıkların orta noktaları-na göre yükseklikleri belirlenen dikdörtgenlerin alanları toplamı Riemann Orta Toplamını (Riemann Toplamını) verir.
v P = {x0, x1, ... xn} bölüntü
v [x0, x1], [x1, x2], ... [xn–1, xn] alt aralıklar
v r1, r2, ..., rn, bulundukları aralıkların orta noktaları
v Aralık genişliği ∆x dikdörtgenlerin tabanları
v f(r1), f(r2), ... f(rn) dikdörtgenlerin yükseklikleri ol-mak üzere, dikdörtgenlerin alanları toplamı
f(r1) · ∆x + f(r2) · ∆x + ... f(rn) · ∆x = ( )f r xkk
n
1
D=
/f fonksiyonunun P bölüntüsüne göre Riemann toplamıdır.
f: [1, 3] → [1, 9] olmak üzere f(x) = x2 fonksiyonunun tanım aralığını eşit uzunlukta iki alt aralığa bölerek Riemann orta toplamını bulunuz.
925/4
9/41
23–25–2
31O
f(x) = x2y
x
[1, 3] aralığı eşit uzunlukta 2 alt aralığa bölünürse aralık
genişliği x 23 1 1D =-= br
dikdörtgenlerin taban uzunluk-larıdır.
Aralıkların orta noktalarına göre çizilen dikdörtgenlerin
yükseklikleri f ve f23
49 5
425
2= =d dn n tür.
O halde, dikdörtgenlerin alanları toplamı;
f f br23 1 2
5 1 49
425
217· · 2
49
425
+ = + =d dn n; ;
f fonksiyonunun
P = {1, 2, 3} bölüntüsüne göre Riemann orta toplamıdır.
(*) "Rieman Toplamı" ifadesi ile "Rieman Orta Toplamı" anlaşılmalıdır.
Riemann Toplamı - IV İNTEGRAL UYGULAMALARI
105
2. [0, 4] kapalı aralığında tanımlı f(x) = 16 – x2 fonksi-yonunun eşit uzunlukta 2 alt aralığına göre Riemann toplamı A, fonksiyon eğrisi ile x ekseni arasında kalan bölgenin alanı B ise A – B farkı kaç br2 dir?
3. xdx0
6
# integral ifadesinin Riemann toplam formülü ile
ifadesi nedir?
2) 34
3) limn
k18
2 1n
k
n
21
∞-
"=
_ i/
1. f: [0, 2] → [1, 5]
f(x) = 1 + x2 fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.
f foksiyonunun P = {0, 1, 2} düzgün bölüntüsüne göre
a) Alt toplamı ile üst toplamının ortalaması kaçtır?
b) Riemann toplamı kaçtır?
c) f ile x ekseni arasında kalan bölgenin alanı kaçtır?
1) a) 5 b) 4,5 c) 3
14
f: [1, 3] → [1, 9] olmak üzere f(x) = x2 fonksiyonunun eşit uzunlukta iki alt aralığına göre Reimann alt toplamı A, fonksiyon ile x ekseni arasında kalan bölgenin alanı B ise B – A yı bulunuz.
9
41
2 31O
f(x) = x2y
x
A = 1 · 1 + 4 · 1 = 5 br2
B = x dx x br3 327
31
3262
3
1
32
1
3
= = - =#B – A = br3
26 5 311 2- = dir.
Konu Özeti (Riemann Toplamı - İntegral İlişkisi)
u Bir fonksiyon Riemann toplamındaki dikdörtgen sayı-ları arttıkça eğri altındaki alana yaklaşılacağı için alt aralık sayısı n → ∞ iken aralık genişliği ∆x → 0 ile eğri altındaki alana ulaşılır. Eğri altındaki alan ise belirli integral ile tespit edilir.
n tane alt aralıkba
fy
x...
n → ∞ iken Δx → 0
ba
fy
x
Eğri altındaki alan
( ) ( )lim f r x f x dxn k
k
n
a
b
1∞
D ="
=
/ #Dikdörtgenlerinalanları toplamı
( )f r xkk
n
1
D=
/ n → ∞∆x → 0
Ç - 30
Riemann Toplamı - VİNTEGRAL UYGULAMALARI
106
2.
y = f(x)
3–4 –2
y
xA
B
y = f(x) in grafiğinde A ve B bulundukları bölgenin alanını
belirtmektedir. A + B = 14 br2 ve ( )f x dx 64
3
–
=# olduğuna
göre A kaç br2 dir?
3.
5–1–4
y = f(x)y
xA
B
Şekildeki f(x) fonksiyonunun grafiğinde A ve B bulunduk-
ları bölgenin alanlarını göstermektedir. ( )f x dx 124
5
–
=# ve
A = 4 br2 olduğuna göre B kaç br2 dir?
2) 4 3) 16
1.
c da b
y = f(x)
y
xA
B
C
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. A = 4 br2, B = 7 br2 ve C = 5 br2 dir.
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a) ( )f x dxa
b
=#
b) ( )f x dxb
c
=#
c) ( )f x dxa
c
=#
d) y = f(x) eğrisi, x = a, x = c ve x ekseni arasın-da kalan bölgenin alanı =
e) ( )f x dxb
d
=#
f) ( )f x dxa
d
=#
g) ( ) ( )f x dx f x dxb
d
a
c
+ =##
h) y = f(x) eğrisi, x = a, x = d ve x ekseni arasında kalan bölgenin alanı =
1) a) –4 b) 7 c) 3 d) 11 e) 2 f) –2 g) 5 h) 16
(Alan ile İntegralin Farkı)
dcA1
A2
A3
ba
fy
x
Şekilde y = f(x) fonksiyo-nunun grafiği verilmiştir.
A1 = 2 br2, A2 = 3 br2, A3 = 5 br2 olduğuna göre
aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz.
a) ( )f x dxa
b
# b) f(x) eğrisi x = a ve x = b arasında kalan alan
a) ( ) ( ) ( ) ( )f x dx f x dx f x dx f x dxa
c
d
b
c
d
a
b
= + +# ###2 –3 5
= 2 + (–3) + 5 = 4 bulunur.
b) ( )f x dx br2 3 5 10a
b
2= + + =# bulunur.
Konu Özeti (Alan-İntegral İlişkisi)
u
O cS1
S2
baf
y
x
(i) ∀x ∈ [a, b] için f(x) ≥ 0 olduğundan ( )S f x dxa
b
1 = #
(ii) ∀x ∈ [b, c] için f(x) ≤ 0 olduğundan ( )S f x dx–b
c
2 = # v f fonksiyonunun a ile c arasındaki integrali
( )f x dx S Sa
c
1 2= -# dir.
v f fonksiyonunun a ile c arasındaki alanlar toplamı
( ) .S S f x dx dira
c
1 2+ =
_
`
a
bb
bb# Mutlak değeri
unutmayınız!
İntegral ile Alan Hesabı - I İNTEGRAL UYGULAMALARI
107
2.
31
f0
f1
f2
2
...O
y
x
n ∈ N için [n, n + 1) aralıklarında tanımlı ( )f xx n
2n n
3
=-_ i
biçiminde tanımlanan fonksiyonlar ile x ekseni arasında kalan bölgeler şekilde taralı olarak verilmiştir.
Buna göre tüm taralı bölgenin alanları toplamı kaçtır?
2) 21
1.
1
1
2 34–3
–2 –1–1
5 6O
y
x
Şekilde y = f(x) fonksiyonu grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a) ( )f x dx3
0
–
=#
b) ( )f x dx3
3
–
=#
c) ( )f x dx3
6
–
=#
d) ( )f x dx3
6
–
=#
1) a) 1 b) 27
c) 3 d) 6
–3 –1
–22
5
4
y = f(x)
y
x
Grafiği şekideki gibi olan y = f(x) fonksiyonu için verilen-
lere göre ( )f x dx3
5
–
# in değerini bulunuz.
S1
S2–3 –1
–22
5
4y
x
·S br22 3 2 51
2=+
=d n
(yamuğun alanı)·S br2
5 4 10 22 = =
(üçgenin alanı)
O halde ( )f x dx 5 10 5–3
5
–
= + =# bulunur.
Konu Özeti (Geometrik Şekiller Yardımıyla İntegral)
u Bir fonksiyonun grafiği altındaki alanlar, mümkünse geometrik şekillere ayrılarak bu alanlar yardımıyla fonksiyonun belirli integral değeri tespit edilebilir. Ör-nekle açıklayalım.
Konu Özeti (Fraktal Fonksiyonların Eğrileri Altındaki Alanı)
u Fraktal fonksiyon sisteminin(*) eğrileri altındaki alan tespit edilirken sonsuz geometrik dizi toplamından faydalanılır.
r 1< için ...a r r a r a r1 11∞
k
k1
1 21 1
1
+ + + = =-
=
_ i / dir.
(*) Belirli bir kurala göre küçülen ya da büyüyen grafiklerden oluşan fonksiyon sistemine fraktal geometri ile tekrarlayan fonksiyonlar denir.
n ∈ N olmak üzere [n, n + 1) aralıklarında tanımlı
( )f x x n3n n=- fonksiyon sisteminin x ekseni ile arasında
kalan bölgenin alanları toplamını bulunuz.
31
f0 f1 f2
2
...O
y
x
f0(x) = x, ( )f x x 131 1=- ,
( ) , ( )f x x f x x3
23
32 2 3 3=
-=- ,...
. . ...T A xdx x dx x dx1 23 3
Taral Alan
0
1
22
3
1
2ı
= +-
+-
+D # ##
...x x x2 3
12
131
22
· ·
/ / /
2
0
1 2
1
2
2
2
2
3
1 1 12 2 2
= +-
+-
+_ _i i
1 2 3444 444 1 2 3444 444>
...1 1 1 1 1
1 11
42 3 3 23
3·r
2 13
= + + + =
-
==
d n bulunur.
İntegral ile Alan Hesabı - IIİNTEGRAL UYGULAMALARI
108
3. y = x2 – x – 2 parabolü ile x = –2, x = 2 doğruları ve x ekseni ile sınırlanan bölgenin alanı kaç br2 dir?
4. y = x3 – 4x eğrisi x = –2, x = 2 doğruları ve x ekseni ile sınırlanan bölgenin alanı kaç br2 dir?
3) 319
4) 8
1.
O 2–2
y = x2y
x
Şekilde y = x2 parabolünün grafiği verilmiştir.
Buna göre taralı alan kaç br2 dir?
2.
1O e3
y = 2–x
y
x
Şekilde y x2
= eğrisinin grafiği verilmiştir.
Buna göre taralı alan kaç br2 dir?
1) 3
16 2) 6
1O
y = exy
x
Şekildeki taralı bölgenin alanını bulunuz.
TA e dx e dx e e e e br1
.
x x x
x R ikene d r
0
1
0
11 0 2
0
1
0 ı>x
= = = = - = -
!7# #
f(x) = x3 – x fonksiyonu x = –1 ve x = 1 doğruları ve x ekseni arasında kalan bölgenin alanını bulunuz.
O 1–1
f(x) = x3 – x
y
x
TA x x x x x xdx dx dx3
1
1
3
1
0
3
0
1
– –
= - - + -= _ _i i# # # bulunur.
x x x x br4 2 2 4 0 41
41 0 2
1–4 2
1
0 2 4
0
12
–= - + - = - + - =d d dn n n< <F F
Konu Özeti (Sık Karşılaşılan Fonksiyonların Eğrisi Altındaki Alan)
u Fonksiyon grafikleri (*) integral ile alan hesabı için iyi bilinmelidir.
y = x2v v v
y = –x2
y
x
y = x3
y = –x3
y
x
y = ex
y = lnx
y
x
y = cosxv v
y = sinx
y
x
y = (k > 0)k–xy = (k < 0)k–x
y
x
v
x = yx = –y
y
x
v y
x
y = � x
y = –� x
Ayrıca grafiği verilen fonksiyonun (doğrusal, parabolik, polinomik, ...) denklemini oluşturmayı
iyi biliniz.(*)
(*) "Türev II" fasikülü "Grafikler" ünitesini tekrarlayınız.
İntegral ile Alan Hesabı - III İNTEGRAL UYGULAMALARI
120
İntegral ile Hacim Hesabı – IIİNTEGRAL UYGULAMALARI
3. Analitik düzlemin birinci bölgesinde 2y = 4 – x2 eğrisi ve koordinat eksenleri ile sınırlı bölgenin y ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi nedir?
4. y = ln x eğrisi y = 1, y = 3 doğruları ve y ekseni ile sınırlı bölgenin y ekseni etrafında 180° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi nedir?
5. x y4 2= - eğrisinin y ekseni etrafında 180° döndü-rülmesi ile oluşan cismin hacmi nedir?
3) 4π 4) ( )e e
4π 6 2-
5) π
316
Aşağıdaki grafiklerde verilen taralı bölgelerin oy ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cisimlerin hac-mini bulunuz.
1. yy =
y = 2
xo
x
2. yy = ex
y = e2
y = e
xo
1) π
532
2) ( )e e2π 2-
Konu Özeti (y Ekseni Etrafında Döndürme)
� y = f(x) fonksiyonu y = a, y = b y
x = f(y)
a
b
xo
ve y ekseni arasında kalan böl-genin y ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi Vy olsun; öncelikle fonk-siyon x = f(y) olarak düzenlen-melidir.
V x dy [f(y)] dyπ πya
b
a
b
2 2= = ## dir.
x = f(y)
360° den küçük a kadar döndürmelerde hacim ifadesini " ° "
α360 oranı ile çarpmayı unutmayı-
nız.
ÇÖZÜM Cisim y ekseni etrafında döndürülerek
elde edileceği için y ye göre fonksiyon elde edilip dy ile integral alınır.
x y x y4 4 4 42 2 2&+ = = - dir.
a) V y dy y dy4 4 4 4ππy2 2
0
1
0
1
2= - = -^^ hh ##
yy
br4 34
4 34 0 3
8π π π3
0
13= - = - - =f c ^p m h; E bulunur.
b) V y dy4 4360180
· π°°
y2
12 2
0
1
83
π
= -6 @1 2 3444 444
#
· br21
38
34π π 3= = bulunur.
ÖRNEK
y
1
2 xo
Birinci bölgede, y ekseni, x ekseni ve x2 + 4y2 = 4 elipsi arasında kalan bölge y ekseni etrafında,a) 360° b) 180°döndürülmesi ile oluşan cisimlerin hacimlerini bulunuz.
Ç - 36
121
3. y = x2 parabolü ile y = x doğrusu arasında kalan bölge-nin y ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşuan cismin hacmi nedir?
4. y = x2 ve 8x = y2 eğrileri arasında kalan bölgenin x ekseni etrafında 180° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi nedir?
3) 6π
4) 5
24π
1. y
y = 2x2
y = –2x + 4
xo
Şekilde taralı bölgenin x ekseni etrafında 360° döndü-rülmesi ile oluşan cismin hacmi nedir?
2. yy = x2
y2 = x
xo
Şekilde taralı bölgenin y ekseni etrafında 360° döndü-rülmesi ile oluşan cismin hacmi nedir?
1) 15
32π 2)
310
π
Konu Özeti (İki Eğri Arasındaki Bölgenin Döndürülmesi)
� y = f(x) ve y = g(x) fonk y y = f(x)
y = g(x)
a b xo
siyonları, x = a ve x = b doğruları arasında ka-lan bölgenin x ekseni etrafında döndürülme-si ile oluşan cismin hacmi Vx olsun, f(x) ≥ g(x) iken;
V [f (x) g (x)]dxπxa
b
2 2= -# tir.
� İki eğri arasındaki bölgenin y ekseni etrafında dön-dürülmesi ile oluşan cismin hacmi için fonksiyonlar y eksenine göre integral alınacak şekilde düzenlenip yukarıdaki mantık çerçevesinde yorumlanır.
Fonksiyonların kesim noktalarının bulunması gereken durumlarda ortak çözüm yapılır.
ÇÖZÜM Sınırlı bölge y ekseni etrafında döndürü-leceği için fonksiyonlar dy ile integral alınacak şekilde düzenlenir.
y
2
–2 2
x + y = 2
y = x2
1xo
y = x2 ⇒ x = y (birinci bölgede)
x + y = 2 ⇒ x = 2 – y
Ortak çözüm ile kesişim noktasını bulalım;
( )y y y y y yy 4 42 22 2 2& &= - = - = - +^ h
yy y y ve 55 4 0 12& & =- + = = dir.
( ) ( )V y dy y dy2π π( )
yy
2 2
1
2
0
1
2 2
= + -
->##
( )( )
y dy y dyy y2 3
12π π π · π2
1
1
0
12
0
1 3
1
2
π π2 3
= + - = +-
1 2 344 44;##
br52 3 6π π π 3= + = bulunur.
ÖRNEK
Analitik düzlemin I. bölgesinde; x + y = 2 doğrusu ve y = x2 eğrisi arasında kalan sonlu bölgenin(*) y ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan dönel cismin hacmini bulunuz.
(*) "Sonlu Bölge" sınırlandırılmış bölge demektir.
Ç - 37
İntegral ile Hacim Hesabı – III İNTEGRAL UYGULAMALARI
122
İntegral ile Hacim Hesabı – IVİNTEGRAL UYGULAMALARI
Ç - 38
3. y = x2 – 4 parabolü ile y = –3 doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin y = –1 doğrusu etrafında 360° döndü-rülmesi ile oluşan cismin hacmi nedir?
4. y = ln x eğrisi ile x = 1 ve y = 1 doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin x = 1 doğrusu etrafında 360° döndürül-mesi ile oluşan cismin hacmini veren integral ifadesi nedir?
3) 5
32π 4) e dy1π y 2
0
1
-^ h#
1. yy = x2 + 4
y = 1
x = 2
xo
Şekildeki taralı bölgenin y = 1 doğrusu etrafında 360° döndürülmesi ile elde edilen dönel cismin hacmi nedir?
2. yy = x2
x = 1
y = 4
xo
Şekildeki taralı bölgenin x = 1 doğrusu etrafında 60° döndürülmesi ile elde edilen dönel cismin hacmini ve-ren integral ifadesi nedir?
1) 202
5π
2) π
y dy6
1 2
1
4
-^ h#
Konu Özeti (y = k ve x = m Doğruları Etrafında Döndürme)
� y = f(x) fonksiyonu x = a, x = b y
a b x
k y = k
ve y = k doğrusu arasında ka-lan bölgenin x eksenine para-lel olan y = k doğrusu etrafın-da 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi V ise,
π ( )V f x k dxa
b
2= -6 @#
Aynı yorum y eksenine paralel x = m doğrusu etrafında döndürme ve iki eğri arasındaki bölgeyi, y = k veya x = m etrafında döndürme için de uygulanır.
ÖRNEK
Analitik düzlemde y = x2 + 2 parabolü ile y ekseni, x = 1 ve y = 1 doğruları arasında kalan sınırlı bölgenin y = 1 doğrusu etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini bulunuz.
ÇÖZÜM Grafiği çizerek yorumlayalım,
y
xo
y = x2 + 2
1
1
y = 1
π ( )V x dx2 12 2
0
1
= + -#
( )V x dx1πx x
2 2
0
1
2 14 2
= +
+ +1 2 344 44#
π ( )x x dx2 14 2
0
1
= + +#
π π πx x x5 32
01
51
32 1 15
285 3
= + + = + + =c cm m bulunur.
123
İntegralin Fiziksel Yorumu – I İNTEGRAL UYGULAMALARI
c) Cismin S(t) konum fonksiyonu nedir?
d) Cismin çıkabileceği maksimum yükseklik kaç met-redir?
e) Cisim fırlatıldıktan kaç saniye sonra yere çarpar?
c) –5t2 + 30t + 80 d) 125 e) 8
1.
V = 30 m/sn
80 m
Yerden yüksekliği 80 m olan bir cisim 30 m/sn hızla düşey olarak fırlatılıyor. Yer çekimi ivmesi 10 m/sn2 olarak alındığında t saniye sonraki zamana göre aşağıdakileri bulunuz.
a) Cismin a(t) ivme fonksiyonu nedir?
b) Cismin V(t) hız fonksiyonu nedir?
1) a) –10 b) 30 – 10t
Konu Özeti (Doğrusal Hareket Denklemi)
� S yol, V hız, a ivme ve t zaman olmak üzere,
S(t) yolun zamana, V(t) hızın zamana ve a(t) ivme-nin zamana göre fonksiyonları iken "yolun türevi hızı (S'(t) = V(t)" ve "hızın türevi ivmeyi (V'(x) = a(t)" ver-diğine göre,
v İvmenin integrali hızı verir: ( ) ( )V t a t dt= #
v Hızın integrali yolu verir: ( ) ( )S t V t dt= #Belirsiz integral hesabındaki C integrasyon sabiti, hız için ilk hız V0 ve yol için ilk konum S0 dır.
ÇÖZÜM İlk konum S0 = 120 m ve ilk 50 m/sn
120 m
hız V0 = 50 m/sn olmak üzere yukarı doğru hareketi "+" aşağı doğru hareketi "–" alalım.
a) Cisme etkiyen yer çekimi ivmesi zaman ile değişme-yeceğinden,
(i) a(t) = –10 m/sn2 dir.
(ii) ( ) ( ) ( ) ( )V t a t dt V t dt10&= = -## ⇒ V(t) = –10t + C
V 50o=9 = 50 – 10t bulunur.
(iii) ( ) ( ) ( ) ( )S t V t dt S t t dt50 10&= = -## ⇒ S(t) = 50t – 5t2 + C
S 120o=9 = –5t2 + 50t + 120 bulunur.
b) Cismin maksimum yükseklikteki hızı 0 dır.
V(t) = 0 ⇒ 50 – 10t = 0 ⇒ t = 5. sn de cisim maksimum yüksekliğe ulaşır. O halde,
t = 5 için S(5) = –5 · 52 + 50 · 5 + 120 = 245 m dir.
c) Cismin yere çarptığı anda konumu 0 dır.
S(t) = 0 ⇒ 0 = –5t2 + 50t + 120 ⇒ t2 – 10t – 24 = 0
⇒ (t – 12)(t + 2) = 0 ⇒ t = 12. sn de cisim yere çarpar.
ÖRNEK
Yerden 120 m yükseklikte bulunan bir cisim 50 m/sn hızla yukarı doğru düşey olarak fırlatılıyor. Yer çekimi ivmesi 10 m/sn2 olarak alındığında, t saniye sonraki zamana göre aşağıdaki istenilenleri bulunuz.
a) Cismin a(t) ivmesini, V(t) hızını, S(t) konumunu
b) Cismin çıkabileceği maksimum yüksekliği
c) Cismin yere çarptığı ana kadar geçen süreyi
124
İntegralin Fiziksel Yorumu – IIİNTEGRAL UYGULAMALARI
2. Herhangi bir t anındaki hızı V(t) = 3t2 + 6t m/sn olan bir hareketlinin harerekete başladığı andan itibaren 3 saniyede aldığı yol kaç m dir?
3. Doğrusal bir yolda 30 m/sn hızla giden bir araç ani-den frene bastığında 6 m/sn2 ivme ile yavaşlayarak durmuştur. Bu araç frene basıldığı andan duruncaya kadar geçen sürede kaç metre yol almıştır?
2) 54 3) 75
1. Doğrusal bir yol boyunca hareket eden bir cismin hız fonksiyonu V(t) = (t2 – t) m/sn olduğuna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a) t = 0 ve t = 3 saniye anlarında bulunduğu noktalar arasındaki uzaklık kaç m dir?
b) t = 0 ve t = 3 saniye anları arasında aldığı toplam yol kaç m dir.
1) a) 29
b) 6
29
Konu Özeti (Yer Değiştirme ve Toplam Yol)
� ( ) ( )S t V t dt= # iken,
v t1 ve t2 anları arasındaki yer değişim;
( ) ( ) ( ) ( )V t dt S t S t S tt
t
t
t
2 11
2
1
2
= = -# dir.
v t1 ve t2 onları arasında alınan toplam yol;
( )V t dtt
t
1
2
# dir.
Mutlak değer fonksiyonunun integralinin kritik noktalarına göre parçalanıp alınacağını hatırlayınız.
ÇÖZÜM
( ) ( )S t V t dt= # olmak üzere,
a) Yer değişimi:
( )t t dt t t2 3 322
1
33
2
1
3- = - =-c m# tür.
Cisim 3. saniyede 1. saniyede bulunduğu noktanın 32
metre ilerisini gitmiştir.
O halde bu noktalar arası uzaklık 32 metredir.
b) Toplam yol: t t dt22 -# dir.
t2 – 2t = 0 ⇒ t(t – 2) = 0 ⇒ t = 0 ve t = 2 kritik nokta-lardır.
O halde,
t t dt t t dt t t dt2 2 22 2 2
2
3
1
2
1
3
- = - + -
+-1 2 344 44 1 2 344 44
###
( ) ( )t t dt t t dt2 22
1
2
2
2
3
= - + -# #
t t t t3 3 32
34 22
3
1
2 32
2
3
23
43
= - + - = + =c cm m1 2 344 44 1 2 344 44
bulunur.
O halde, cisim toplam 2 metre yol almıştır.
ÖRNEK
Doğrusal bir yol boyunca hareket eden bir cismin hız fonksiyonu V(t) = t2 – 2t m/sn olduğuna göre,
cismin t = 1 ve t = 3 saniye anlarında bulunduğu nokta-lar arasındaki,
a) Uzaklığı bulunuz
b) Aldığı toplam yolu bulunuz
125
İntegralin Ekonomi ve Diğer Alanlara Uygulaması İNTEGRAL UYGULAMALARI
2. M(x) bir telin sol ucundan itibaren x noktasına kadar kütlesini, M'(x) ise yoğunluğunu belirtmektedir. Buna göre sol ucundan itibaren x cm uzaklığa kadar yoğun-luğu M'(x) = 3x2 + 2x (gr/cm) olan bir telin;
a) İlk 3 cm sindeki kütlesi kaç gramdır?
b) 2. ve 4. santimetreleri arasındaki kütlesi kaç gram-dır?
2) a) 36 b) 68
1. Yeni açılan bir otomobil fabrikasının ilk 4 aylık üretim bilgilerine göre üretim hızı A'(t) = 50 + 2t (adet / ay) olarak belirlenmiştir. t fabrikanın açılışından itibaren geçen zamanı, A(t) ise fabrikanın açılışından t ay sonra adet olarak üretilen otomobil miktarını göster-mektedir.
a) Fabrikanın ilk 4 ayda ürettiği toplam otomobil sayısı kaçtır?
b) Fabrikanın 9. ve 10. aylar arasında üreteceği toplam otomobil sayısı kaçtır?
1) a) 216 b) 69
Konu Özeti
� İntegralin fiziksel uygulamasında kullanılan ilişkiler, ekonomik ve diğer alanlarda karşımıza çıkan değişim hızı (oranı) ve bu hıza (orana) bağlı değişen miktar arasında kullanılır. t zamanına bağlı miktar fonksiyo-nu F(t) ve hız fonksiyonu V(t) ise,
( ) ( )F t V t dt= # dir.
t1 ile t2 arasındaki net iş ( )V t dtt
t
1
2
# ,
toplam iş ( )V t dtt
t
1
2
# dir.
ÖRNEK (Nüfus Uygulaması)
2014 yılında nüfusu 50000 olan bir şehrin bu yıldan itibaren nüfusunun 1000 + 1000t (kişi/yıl) oranı ile deği-şeceği tahmin ediliyor. t zaman değişkeni, 2014 yılından sonra geçen yılı belirtmek üzere 2018 yılında bu şehrin tahmini nüfusunu bulunuz.
ÇÖZÜM 2014 yılı t = 0 ise 2018 yılı t = 4 deki nüfus, nüfus değişim oranının (hızının) belirli integrali alınarak bulunur.
Nüfus = ( )t dt50000 1000 10000
4
+ +#
( )t t50000 1000 500 2
0
4= + +
= 50000 + (12000 – 0) = 62000 kişidir.
ÖRNEK (Üretim Uygulaması)
Bir yayınevinin kitap basma hızı10000 + 4000 t (adet/yıl) olarak belirlenmiştir. Bu yayın evinin 1. ve 3. yıllar arasında basacağı toplam kitap sayısını bulunuz.
(t yıl olarak zamanı belirtmektedir)
ÇÖZÜM Toplam basılan kitap sayısı, basım hızının belirli integrali alınarak bulunur.
Toplam basım = ( )t dt10000 40001
3
+#
( )t t10000 2000 48000 12000 36000132= + = - = adettir
